Цель работы: ознакомиться с явлением удара на примере соударения шаров, рассчитать коэффициент восстановления энергии, проверить закон сохранения импульса.
Теоретические сведения
Отклоним шарик А с массой на угол
где и показания по шкале измерения. При этом шарик поднимется на высоту (см. рис.1). Как видно из рисунка высоту подъема можно выразить через длину подвеса и угол отклонения:
После освобождения шарика без начальной скорости он будет ускоряться и в нижней точке своей траектории приобретет горизонтальную скорость, которую можно найти из закона сохранения энергии:
В нижней точке своей траектории шарик А сталкивается с шариком В, и после очень короткого удара они разлетаются в противоположные стороны с горизонтальными скоростями и (см. рис.2). Так как во время удара силы натяжения нитей и силы тяжести, действующие на шарики, направлены по вертикали, то должен выполняться закон сохранения горизонтальной проекции импульса системы:
В большинстве случаев реальные удары тел не являются упругими из-за возникновения диссипативных сил внутри этих тел (внутреннее трение), поэтому кинетическая энергия системы в целом при ударе уменьшается. Коэффициентом восстановления кинетической энергии называется величина, равная:
Коэффициент восстановления скорости всегда меньше единицы:. Равенство единице означает полное сохранение энергии, что может быть только в идеальном случае отсутствия диссипативных сил в системе.
После столкновения (см. рис. 3) действие диссипативных сил внутреннего трения прекращается, и, если пренебречь потерей энергии во время движения из-за сопротивления воздуха, можно воспользоваться законом сохранения энергии для каждого шара в отдельности. Шар А отклонится на угол и поднимется на высоту, а шар В отклонится на угол и поднимется на высоту
Используя уравнения аналогичные уравнениям (1) и (2), выразим скорости шаров после удара:
Подставляя (2) и (5) в (4), получим выражение для расчета коэффициента восстановления энергии:
Подставляя (2) и (5) в (3), получим закон сохранения импульса в виде:
Оборудование: стойка с двумя грузами (шарами), повешенными на бифилярном подвесе.
Рабочее задание: определить коэффициент восстановления скорости тела при неупругом ударе шаров.
Порядок выполнения работы
Записать начальные положения 0 и 0, соответствующие точкам пересечения нитей бифилярных подвесов с линией деления шкалы, когда шары неподвижны. Здесь и в дальнейшем обозначение "" относится к шару А с меньшей массой m1, а "" - к шару В с меньшей массой m2.
Отклонить шар А на угол 1 от 10є до 15 и отпустить без начальной скорости. Произвести отсчет первого отброса обоих шаров 2 и 2 (так как сразу практически невозможно взять два отсчета, то поступают так: сначала берут отсчет для одного шара, затем производят повторный удар из того же положения шара А и берут отсчет для второго шара). Удар из данного положения производят не менее 10 раз, чтобы для каждого шара получить не менее пяти значений отбросов нитей после удара (2 и 2). Найти среднее <2> и <2>.
Опыт проделать для двух других значений 1. (от 20 до 25, от 30 до 35). Заполнить таблицу 1.
Проверить закон сохранения импульса (7). Для этого рассчитать скорости и по формулам (2) и (5), учитывая, что
и правую часть уравнения (7)
Результаты измерений и расчетов записать в табл. 1 и 2. Вычислить коэффициент восстановления энергии по формуле (6).
Таблица 1
Контрольные вопросы
Будет ли система шаров замкнутой?
Сформулировать закон сохранения импульса системы.
Сохраняется ли импульс системы шаров после удара? Почему?
Вид удара в данной работе. Проанализируйте полученный коэффициент восстановления энергии.
Когда полная механическая энергия системы сохраняется? Равны ли кинетические энергии системы шаров до и после удара?
Может ли в некоторой системе не сохраняться механическая энергия и оставаться постоянным момент импульса?
Получить расчетные формулы скоростей шаров после удара.
Список использованных источников
Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. - СПб.: Лань, 2007. - 432 с.- гл. II, §23, с.75-77, гл. III, §27-30, с.89-106
Цели работы:
1) изучение законов упругого и неупругого соударения шаров,
2) определение отношения скоростей и масс шаров.
Основные понятия и закономерности
Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.
Удар (или соударение) – это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. При ударе тела испытывают деформацию. Явление удара протекает обычно в сотые, тысячные и миллионные доли секунды. Время соударения тем меньше, чем меньше деформации тел. Так как при этом количество движения тел изменяется на конечную величину, то при соударении развиваются огромные силы.
Процесс удара разделяют на две фазы.
Первая фаза – с момента соприкосновения тел до момента, когда их относительная скорость становится равной нулю.
Вторая фаза – от этого последнего момента до момента, когда соприкосновение тел прекращается.
С момента возникновения деформаций в местах соприкосновения тел начинают действовать силы, направленные противоположно относительным скоростям тел. При этом происходит переход энергии механического движения тел в энергию упругой деформации (первая фаза удара).
Во второй фазе удара, когда относительная скорость стала равной нулю, начинается частичное или полное восстановление формы тел, затем тела расходятся и удар заканчивается. В этой фазе кинетическая энергия системы растет за счет положительной работы упругих сил.
У реальных тел относительная скорость после удара не достигает той величины, которую она имела до удара, так как часть механической энергии необратимо переходит во внутреннюю и другие формы энергии.
Различают два предельных типа удара:
а) удар абсолютно неупругий;
б) удар абсолютно упругий .
Абсолютно неупругий удар (близкий к нему) возникает при столкновении тел из пластических материалов (глина, пластилин, свинец и др.), форма которых не восстанавливается после прекращения действия внешней силы.
Абсолютно неупругим ударом называется удар, после которого возникшие в телах деформации полностью сохраняются. После абсолютно неупругого удара тела движутся с общей скоростью.
Абсолютно упругий удар (близкий к нему) возникает при столкновении тел из упругих материалов (сталь, слоновая кость и др.0, форма которых после прекращения действия внешней силы полностью (или почти полностью) восстанавливается. При упругом ударе восстанавливается форма тел и величина их кинетической энергии. После удара тела движутся с разными скоростями, но сумма кинетических энергий тел до удара равна сумме кинетических энергий после удара. Прямая, совпадающая с нормалью к поверхности тел в точке их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если линия удара проходит через центры тяжести тел. Если векторы скоростей тел до удара лежали на линии удара, то удар называется прямым.
При соударении тел выполняются два закона сохранения.
1. Закон сохранения импульса .
В замкнутой системе (система, для которой результирующая всех внешних сил равна нулю) векторная сумма импульсов тел не изменяется, т.е. величина постоянная:
= = = const , (4.1)
где – полный импульс системы,
– импульс i –го тела системы.
2. Закон сохранения энергии
В замкнутой системе тел сумма кинетической, потенциальной и внутренней энергии остается величиной постоянной:
W к + W n + Q = const, (4.2)
Где W к – кинетическая энергия системы,
W n – потенциальная энергия системы,
Q – энергия теплового движения молекул (тепловая энергия).
Простейшим случаем соударения тел является центральный удар двух шаров. Рассмотрим удар шаров массами m i и m 2 .
Скорости шаров до удара и после удара и . Для них законы сохранения импульса и энергии запишутся так:
. (4.4)
Удар шаров характеризуется коэффициентом восстановления К , который определяется отношением относительной скорости шаров после удара к относительной скорости шаров до удара . , взятое по абсолютной величине т.е.
Скорости первого шара относительно второго до и после удара равны:
, 
. (4.6)
Тогда коэффициент восстановления шаров равен:
. (4.7)
При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения механической энергии, Q = 0, относительные скорости шаров до и после взаимодействия равны и коэффициент восстановления равен 1.
При абсолютно неупругом ударе механическая энергия системы не сохраняется, часть ее переходит во внутреннюю. Тела деформируются. После взаимодействия тела двигаются с одинаковой скоростью, т.е. их относительная скорость равна 0, поэтому коэффициент восстановления тоже равен нулю, К = 0. Закон сохранения импульса запишется в виде
где – скорость тел после взаимодействия.
Закон сохранения энергии примет вид:
. (4.9)
Из уравнения (4.9) можно найти Q – механическую энергию, перешедшую во внутреннюю.
На практике предельные случаи взаимодействия осуществляются редко. Чаще взаимодействие носит промежуточный характер, и коэффициент восстановления К имеет значение.
Цель работы:
Экспериментальное и теоретическое нахождение значения импульса шаров до и после столкновения, коэффициента восстановления кинетической энергии, средней силы соударения двух шаров. Проверка закона сохранения импульса. Проверка закона сохранения механической энергии для упругих столкновений.
Оборудование: установка «Соударение шаров» ФМ 17,состоящая из: основания 1, стойки 2, в верхней части которой устанавливается кронштейн верхний 3, предназначенный для подвески шаров; корпуса, предназначенного для крепления шкалы 4 угловых перемещений; электромагнита 5, предназначенного для фиксации исходного положения одного из шаров 6; узлов регулировки, обеспечивающие прямой центральный удар шаров; нити 7 для подвески металлических шаров; провода для обеспечения электрического контакта шаров с клеммами 8. Для пуска шара и подсчета времени до соударения служит блок управления 9. Металлические шары 6 выполнены из алюминия, латуни и стали. Масса шаров: латунь 110,00±0,03 г; сталь 117,90±0,03 г; алюминий 40,70±0,03 г.
Краткая теория.
При соударение шаров силы взаимодействия довольно резко изменяются с расстоянием между центрами масс, весь процесс взаимодействия протекает в очень малом пространстве и в очень короткий промежуток времени. Такое взаимодействие называют ударом.
Различают два вида ударов: если тела являются абсолютно упругими, то удар называют абсолютно упругим. Если же тела абсолютно неупругие, то удар абсолютно неупругий. В данной лабораторной работе мы будем рассматривать только центральный удар, то есть удар, который происходит по линии, соединяющий центы шаров.
Рассмотрим абсолютно неупругий удар . Этот удар можно наблюдать на двух свинцовых или восковых шарах, подвешенных на нити одинаковой длинны. Процесс соударения протекает следующим образом. Как только шары А и В придут в соприкосновение, начнется их деформация, в результате которой возникнут силы сопротивления (вязкое трение), затормаживающие шар А и ускоряющие шар В. Так как эти силы пропорциональны скорости изменения деформации (т. е. относительной скорости движения шаров), то по мере уменьшения относительной скорости они убывают и обращаются в нуль, как только скорости шаров выровняться. С этого момента шары, «слившись», движутся вместе.
Рассмотрим задачу о ударе неупругих шаров количественно. Будем считать, что на них ни какие третьи тела не действуют. Тогда шары образуют замкнутую систему, в которой можно применить законы сохранения энергии и импульса. Однако силы действующие на них не консервативны. Поэтому к системе применим закон сохранения энергии:
где А- работа не упругих (консервативных) сил;
E и E′ – полная энергия двух шаров соответственно до и после удара, состоящая из кинетической энергии обоих шаров и потенциальной энергии их взаимодействия между собой:
U, 
(2)
Так как до и после удара шары не взаимодействуют, то и соотношение (1) принимает вид:
Где массы шаров; - их скорости до соударения; v′ - скорость шаров после удара. Поскольку A<0, то равенство (3) показывает, что кинетическая энергия системы уменьшилась. Деформация и нагрев шаров произошли за счет убыли кинетической энергии.
Для определения конечной скорости шаров следует воспользоваться законом сохранения импульса
Так как удар центральный, то все векторы скоростей лежат на одной прямой. Принимая эту прямую за ость X и проецируя уравнение (5) на эту ось, получим скалярное уравнение:
(6)
Из этого видно, что если шары до удара двигались в одну сторону, то после удара они будут двигаться в ту же сторону. Если же шары до удара двигались навстречу друг другу то после удара они будут двигаться в ту сторону, куда двигался шар, имеющий больший импульс.
Поставим v′ из (6), в равенство (4):
(7)
Таким образом, работа внутренних неконсервативных сил при деформации шаров пропорциональна квадрату относительной скорости шаров.
Абсолютно упругий удар протекает в два этапа. Первый этап – От начала соприкосновения шаров до выравнивания скоростей – протекает также, как и при абсолютно неупругом ударе, с той лишь разницей, что силы взаимодействия (как силы упругости) зависят только от величины деформации и не зависят от скорости её изменения. Пока скорости шаров не сравнялись деформация будет нарастать и силы взаимодействия, замедляющие один шар и ускоряющие другой. В момент, когда скорости шаров сравняются, силы взаимодействия будут наибольшими, с этого момента начинается второй этап упругого удара: деформированные тела действуют друг на друга в том же направлении, в каком они действовали до выравнивания скоростей. Поэтому то тело, которое замедлялось будет продолжать замедляться, а то которое ускорялось – ускоряться, до тех пор пока деформация не исчезнет. При восстановлении формы тел вся потенциальная энергия вновь переходит в кинетическую энергию шаров, т. о. при абсолютно упругом ударе тела не изменяют своей внутренней энергии.
Будем считать, что два соударяющихся шара образуют замкнутую систему, в которой силы являются консервативными. В таком случаи работа этих сил приводит к увеличению потенциальной энергии взаимодействующих тел. Закон сохранения энергии запишется следующим образом:
где - кинетические энергии шаров в произвольный момент времени t (в процессе удара), а U - потенциальная энергия системы в тот же момент. − значение тех же величин в другой момент времени t′. Если момент времени t соответствует началу соударения, то 
; если t′ соответствует концу соударения, то 
Запишем законы сохранения энергии и импульса для двух этих моментов времени:
(8)
Решим систему уравнений (9) и (10) относительно 1 v′ и 2 v′. Для этого перепишем её в следующем виде:
Поделим первое уравнение на второе:
(11)
Решая систему из уравнения (11) и второго уравнения (10), получим:
, 
(12)
Здесь скорости имеют положительный знак, если они совпадают с положительным направлением оси, и отрицательный – в противном случаи.
Установка «Соударение шаров» ФМ 17: устройство и принцип работы:
1 Установка "Соударение шаров" представлена на рисунке и состоит из: основание 1, стойку 2, в верхней части которой устанавливается кронштейн верхний 3, предназначенный для подвески шаров; корпус, предназначенный для крепления шкалы 4 угловых перемещений; электромагнит 5, предназначенный для фиксации исходного положения одного из шаров 6; узлы регулировки, обеспечивающие прямой центральный удар шаров; нити 7 для подвески металлических шаров; провода для обеспечения электрического контакта шаров с клеммами 8. Для пуска шара и подсчета времени до соударения служит блок управления 9. Металлические шары 6 выполнены из алюминия, латуни и стали.
Практическая часть
Подготовка прибора к работе
Перед началом выполнения работы необходимо проверить является удар шаров центральным, для этого нужно отклонить первый шар (меньшей массы) на некоторый угол и нажать клавишу Пуск . Плоскости траекторий движения шаров после столкновения должны совпадать с плоскостью движения первого шара до столкновения. Центра масс шаров в момент соударения должны находится на одной горизонтальной линии. Если этого не наблюдается, то необходимо выполнить следующие действия:
1. С помощью винтов 2 добиться вертикального положения колонны 3 (рис. 1).
2. Изменяя длину нити подвеса одного из шаров необходимо добиться того, что центры масс шаров находились на одной горизонтальной линии. При соприкосновении шаров нити должны быть вертикальны. Это достигается перемещением винтов 7 (см. рис. 1).
3. Необходимо добиться того, чтобы плоскости траекторий движения шаров после соударения совпадали с плоскостью траектории первого шара до столкновения. Это достигается с помощью винтов 8 и 10.
4. Отпустить гайки 20, угловые шкалы 15,16 установить таким образом, чтобы указатели углов в момент, когда шары занимают положение покоя, показывали на шкалах ноль. Затянуть гайки 20.
Задание 1 .Определить время соударения шаров.
1. Вставит алюминиевые шары в скобы подвеса.
2. Включить установку
3. Отвести первый шар на угол и зафиксировать его с помощью электромагнита.
4. Нажать кнопу «ПУСК». При этом произойдет удар шаров.
5. По таймеру определить время соударения шаров.
6. Занести результаты в таблицу.
7. Сделать 10 измерений, результаты занести в таблицу
9. Сделать вывод о зависимости времени соударения от механических свойств материалов соударяющихся тел.
Задание 2. Определить коэффициенты восстановления скорости и энергии для случая упругого удара шаров.
1. В скобы вставить алюминиевые, стальные или латунные шары (по указанию преподавателя). Материал шаров:
2. Отвести первый шар к электромагниту и записать угол бросания
3. Нажать кнопу «ПУСК». При этом произойдет удар шаров.
4. При помощи шкал визуально определить углы отскока шаров
5. Результаты занести в таблицу.
| № п/п | W | ||||||||
| ……… | |||||||||
| Среднее значение |
6. Произвести 10 измерений результаты занести в таблицу.
7. По полученным результатам произвести расчет оставшихся величин по формулам.
Скорости шаров до и после удара можно вычислить следующим образом:
где l - расстояние от точки подвеса до центра тяжести шаров;
Угол бросания, градусов;
Угол отскока правого шара, градусов;
Угол отскока левого шара, градусов.
Коэффициент восстановления скорости можно определить по формуле:
Коэффициент восстановления энергии можно определить по формуле:
Потерю энергии при частично упругом соударении можно вычислить по формуле:
8. Произвести расчеты средних значений всех величин.
9.Произвести расчет погрешностей по формулам:
=
=
=
=
=
=
10. Записать получившиеся результаты с учётом погрешности в стандартом виде.
Задание 3. Проверка закона сохранения импульса при неупругом центральном ударе. Определение коэффициента восстановления кинетической энергии.
Для изучения неупругого удара берутся два стальных шара, но на одном из них в месте, где происходит удар, прикрепляют кусочек пластилина. Шар, который отклоняют к электромагниту, считается первым.
Таблица №1
| № опыта | |||||||||||
1. Получите у преподавателя начальное значение угла отклонения первого шара и запишите его в таблицу №1.
2. Установите электромагнит так, чтобы угол отклонения первого шара соответствовал заданному значению
3. Отклоните первый шар на заданный угол, нажмите клавишу <ПУСК> и произведите отсчёт угла отклонения второго шара . Опыт повторите 5 раз. Полученные значения угла отклонения запишите в таблицу № 1.
4. Масса шаров указанны на установке.
5. По формуле найдите импульс первого шара до столкновения и запишите результат в табл. №1.
6. По формуле найдите 5 значений импульса системы шаров после столкновения и запишите результат в табл. №1.
7. По формуле 
8. По формуле 
найдите дисперсию среднего значения импульса системы шаров после столкновения. Найдите среднеквадратичное отклонение среднего значения импульса системы после столкновения. Полученное значение занесите в таблицу №1.
9. По формуле 
найдите начальное значение кинетической энергии первого шара до столкновения , и занесите его в таблицу №1.
10. По формуле найдите пять значений кинетической энергии системы шаров после столкновения , и занесите их в табл. №1.
11. По формуле 
5 найдите среднее значение кинетической энергии системы после столкновения.
12. По формуле 
13. По формуле найдите коэффициент восстановления кинетической энергии По полученному значению коэффициента восстановления кинетической энергии сделайте вывод о сохранении энергии системы во время столкновения.
14. Запишите ответ для импульса системы после столкновения в виде
15. Найдите отношение проекции импульса системы после неупругого удара к начальному значению проекции импульса системы до удара . По полученному значению отношения проекции импульсов до и после столкновения сделайте вывод о сохранении импульса системы во время столкновения.
Задание 4. Проверка закона сохранения импульса и механической энергии при упругом центральном ударе. Определение силы взаимодействия шаров при столкновении.
Для изучения упругого удара берутся два стальных шара. Шар, который отклоняют к электромагниту, считается первым.
Таблица №2.
| № опыта | |||||||||||||
1. Получите у преподавателя начальное значение угла отклонения первого шара и записать в табл. №2
2. Установите электромагнит так, чтобы угол отклонения первого шара соответствовал заданному значению .
3. Отклоните первый шар на заданный угол, нажмите на клавишу <ПУСК> и произведите отсчёт углов отклонения первого шара и второго шара и времени соударения шаров . Опыт повторите 5 раз. Полученные значения углов отклонения и времени соударения запишите в табл. №2.
4. Массы шаров указаны на установке.
5. По формуле найдите импульс первого шара до столкновения и запишите результат в таблицу №2.
6. По формуле найдите 3 значений импульса системы шаров после столкновения и запишите результат в табл. №2.
7. По формуле 
найдите среднее значение импульса системы после столкновения.
8. по Формуле 
найти дисперсию среднего значения импульса системы шаров после столкновения. Найдите среднеквадратичное отклонение среднего значения импульса системы после столкновения. Полученное значение занесите в таблицу №2.
9. По формуле найдите начальное значение кинетической энергии первого шара до столкновения и результат занесите в табл. №2.
10. По формуле найдите пять значений кинетической энергии системы шаров после столкновения , и результаты занесите в табл. № 2.
11. По формуле 
найдите среднее значение кинетической энергии системы после столкновения
12. По формуле 
найти дисперсию среднего значения кинетической энергии системы шаров после столкновения. Найдите среднеквадратичное отклонение среднего значения 
кинетической энергии системы после столкновения. Полученное значение занесите в табл. №2.
13. По формуле найдите коэффициент восстановления кинетической энергии .
14. По формуле 
найдите среднее значение силы взаимодействия и результат занесите в таблицу №2.
15. Запишите ответ для импульса системы после столкновения в виде: .
16. Запишите интервал для кинетической энергии системы после столкновения в виде: 
.
17. Найдите отношение проекции импульса системы после упругого удара к начальному значению проекции импульса до удара . По полученному значению отношения проекции импульсов до и после столкновения сделайте вывод о сохранении импульса системы во время столкновения.
18. Найдите отношение кинетической энергии системы после упругого удара к значению кинетической энергии системы до удара . По полученному значению отношения кинетических энергий до и после столкновения сделайте вывод о сохранении механической энергии системы во время столкновения.
19. Сравните полученное значение величины силы взаимодействия с силой тяжести шара большей массы. Сделайте вывод об интенсивности сил взаимного отталкивания, действующих во время удара.
Контрольные вопросы:
1. Охарактеризуйте виды ударов, укажите какие законы при ударе выполняются?
2. Механическая система. Закон изменения импульса, закон сохранения импульса. Понятие о замкнутой механической системе. Когда для незамкнутой механической системы можно применить закон сохранения импульса?
3. Определите скорости тел одинаковой массы после удара в следующих случаях:
1) первое тело движется второе покоиться.
2) оба тела движутся в одном направлении.
3) оба тела движутся в противоположном направлении.
4. Определите величину изменения импульса равномерно вращающейся по окружности точки массой m. Через полтора, через четверть периода.
5. Сформируйте закон сохранения механической энергии, в каких случаях он не выполняется.
6. Запишите формулы для определения коэффициентов восстановления скорости и энергии, объясните физический смысл.
7. От чего зависит величина потери энергии при частично упругом ударе?
8. Импульс тела и импульс силы, виды механической энергии. Механическая работа силы.
Лабораторная работа
Измерение времени соударения упругих шаров
Цель работы : Измерение времени соударения упругих шаров, определение закона упругой силы, возникающей при соударении шаров.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Соударение упругих шаров не является мгновенным. Соприкосновение шаров длится хотя и малый, но конечный промежуток времени, а силы, возникающие при ударе хотя и велики, но также конечны.
С момента соприкосновения шаров начинается процесс их деформации. Точка соприкосновения переходит в круглую площадку, при этом кинетическая энергия переходит в энергию упругой деформации. Возникают упругие силы, которые достигают наибольшей величины в момент наибольшего сжатия шаров. Затем идет обратный процесс перехода потенциальной энергии деформации в кинетическую энергию движения, заканчивающийся в момент расхождения шаров. Все эти процессы взаимного перехода энергии разворачиваются на очень малом промежутке времени, называемом временем соударения. В общем случае время соударения зависит от упругих свойств материала шаров, их относительной скорости в момент начала удара и от их размеров.
Время соударения определяется законом упругой силы, возникающей при соударении шаров. Известно, что при упругой деформации линейных пружин, стержней упругая сила F определяется законом Гука F = -kh , где h - величина деформации пружины. При деформации тел сложной формы зависимость упругой силы от величины сжатия можно представить в следующем виде
Такой вид зависимости F от h следует из решения так называемой контактной задачи теории упругости, решенной Г.Герцем. При этом было получено, что показатель n=3/2 , а величина k при соударении шаров радиуса R и R" определяется формулой
.
(2)
где D зависит от упругих свойств материала шаров.
Н
еобходимо
отметить, что при ударе деформируются
оба шара, поэтому под величиной сжатия
h
в формуле
(1) следует понимать разность между
суммой R+R"
и
расстоянием между центрами шаров при
соприкосновении (см. рис.1).
Потенциальная энергия соприкасающихся деформированных шаров можно определить, используя известную формулу F=-dU/dh .
.
(3)
Зависимость времени соударения шаров от параметров k и n в законе упругой силы (1) можно получить, используя закон сохранения энергии. В системе отсчета, в которой центр инерции шаров покоится, энергия до столкновения равна кинетической энергии относительного движения V2/2 , где V - относительная скорость сталкивающихся шаров, а =m1m2 /(m1+m2) их приведенная масса.
В течение столкновения относительная скорость V=dh/dt будет в начале уменьшаться до нуля. Также будет уменьшаться и кинетическая энергия, равная ( /2)(dh / dt )2 . Одновременно будет возрастать величина сжатия, которая достигнет значения h0 в тот момент, когда относительная скорость окажется равной нулю. После достижения максимального сжатия процессы пойдут в обратном направлении. Систему сталкивающихся упругих шаров можно считать замкнутой, поэтому в ней должен выполняться закон сохранения энергии, в силу которого сумма кинетической энергии - V2/2 и потенциальной энергии - (k / n +1) hn +1 в течение деформации постоянна и равна энергии шаров до соприкосновения, то есть
.
(4)
Из этого уравнения можно определить максимальное сближение шаров h0 , которое достигается, когда скорость dh/dt=0 . Получаем из (4)
.
(5)
Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его относительно dt , получаем
Время , в течение которого длится столкновение (т.е. h меняется от 0 до h0 $ и обратно до нуля), равно
Этот интеграл удобно взять, если ввести новую переменную
Нетрудно видеть также, что x0 - значение новой переменной в точке максимального сжатия равно 1. Имеем
Последний интеграл является табличным, его значение зависеть только от числа n . Таким образом, зависимость времени соударения от скорости приобретает следующий вид.
,
(6)
где I(n) -- значение интеграла, зависящее от n .
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Вид формулы (6) подсказывает методику эксперимента для определения параметров в законе упругой силы (1). Представим формулу (6) в следующем виде
Где
(7)
Прологарифмируем обе части этого выражения
Отсюда видно, что если экспериментально измерить время соударения при различных значениях относительной скорости V и по этим данным построить зависимость ln от lnV , то она, согласно (8), представляет собой прямую линию. Причем тангенс угла наклона этой прямой равен b , а отсекаемая часть - lnA . По величине b , можно определить показатель степени n в законе упругой силы. Далее по известным значениям n и A , зная массу шаров (т.е. величину ), можно рассчитать и значение k .
Установка для измерения зависимости от V такова. На основании установлена колонка, на которой закреплены два кронштейна. На верхнем кронштейне закрепляются стержни, служащие для подвеса шаров. Расстояние между этими стержнями может изменяться при помощи воротка. На стержнях помещены передвижные держатели подвеса шаров. Через эти подвесы подводится напряжение к нижним подвесам, а через них к шарам. Длина подвесов может регулироваться при помощи специальных втулок с винтами. На нижнем кронштейне закреплена угловая шкала, по которой можно перемещать электромагнит и фиксировать высоту его установки.
К основанию прибора привинчен электронный секундомер, на задней панели которого находится разъем, подающий напряжение к шарам и электромагниту. На лицевой панели секундомера расположены цифровое табло, кнопка "Сеть ", а также кнопки управления "Пуск " и "Сброс ".
Электронная часть установки работает следующим образом. При нажатии кнопки "Пуск " отключается напряжение, питающее электромагнит. Правый шар, удерживаемый до этого электромагнитом под определенным углом к вертикали, отрывается от него и приходит в контакт с покоящимся левым шаром. Шары соединены с контактами блока формирования импульсов. Таким образом, в момент начала соударения происходит короткое замыкание этих контактов, и блок формирования генерирует электрический сигнал. Этот сигнал подключает к счетчику импульсов кварцевый генератор, частота которого очень стабильна и равна 1000000 1Гц , т.е. длительность одного импульса равна 1мкс. Эти импульсы, если их число меньше 999, подсчитываются счетчиком, то есть можно измерять интервалы времени до 999мкс. В конце соударения, когда шары расходятся, блок формирования вырабатывает новый импульс, который отключает кварцевый генератор от счетчика импульсов. Число импульсов, сосчитанных счетчиком за время контакта шаров, или, что то же самое, длительность столкновения в микросекундах высвечивается на цифровом табло. Если длительность контакта шаров превышает 999мкс, на лицевой панели секундомера загорается лампочка "переполнение ". При нажатии кнопки "Сброс " показания секундомера обнуляются, все электронные схемы переводятся в первоначальное состояние, прибор готов к следующим измерениям.
Таким образом, видно, что измерение
времени в данной работе является прямым
измерением. Систематическая погрешность
измерения составляет 1мкс.
Измерение скорости в этой работе,
напротив, является измерением косвенным.
Она о
пределяется
следующим образом.
Скорость V
шара в момент удара такая же, какая была
у шара, падающего по вертикали с высоты
H
, то есть
V=
2gH
.
Из рис.2 видно, что H=l-a
,
где l
- длина
подвеса. Но a=l
cos
значит H=l(1-
cos
)
$.
Из тригонометрии известно, что
1-
cos
=2
sin2(
/2),
откуда H=2l
sin2(
/2)
.Таким
образом,
.
(9)
Длина подвеса измеряется непосредственно линейкой, значение отсчитывается по шкале с точностью 0,5 .
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
1. Откорректировать установку шаров. Для этого воротком, находящемся на верхнем кронштейне, установить такое расстояние между стержнями, чтобы шары соприкасались друг с другом. Отрегулировать высоту подвеса так, чтобы центры шаров были на одном уровне.
2. Включить микросекундомер в сеть. Нажать кнопку "Сеть ". При этом на цифровом табло должны загореться нули. Кнопка "Пуск " должна быть отжата.
3. Установить электромагнит так, чтобы правый шар, удерживаемый электромагнитом, был отклонен на максимальный угол. Нажав кнопки "Сброс ", а затем "Пуск " провести пробное измерение. При этом надо проследить, чтобы соударение было центральным, то есть траектория движения левого шара после столкновения должна находиться в плоскости движения правого шара до столкновения.
4. Установить с помощью электромагнита шар под максимально возможным углом к вертикали. Не менее 5 раз провести измерение времени соударения для данного угла. Следить за тем, чтобы левый шар в момент удара не двигался. Рассчитать скорость правого шара перед соударением по формуле (9), рассчитать погрешность определения V . Провести обработку результатов измерения времени столкновения, то есть рассчитать среднее значение, среднеквадратичное отклонение, доверительные границы. Провести анализ результатов измерения времени на промах.
5. Изменяя угол подвеса шаров в диапазоне до минимально возможного провести измерение времени соударения аналогично пункту 4. Результаты представить в виде таблицы. Построить график зависимости ln от lnV .
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Дальнейшая обработка экспериментальной зависимости ln от lnV предполагает использование формулы (8). Чтобы подчеркнуть линейный характер зависимости ln от lnV , введем новые обозначения x =lnV , y =ln , a =lnA . Тогда (8) примет обычный для линейной функции вид
Задача состоит в нахождении таких значений a и b , при которых функция y=a+bx наилучшим образом соответствует опытным данным. (Смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).
За меру отклонения функции (10) от экспериментальных данных для i -го опыта выбирается величина (yi-a-bxi)2 . Почему берется именно такая величина, а не просто (yi-a-bxi) ? Ясно, что оба знака уклонения a+bxi от yi нехороши: плохо, если a и b , таковы, что yi , но также нехорошо, если a и b , таковы, что yi>a+bxi . Если бы за меру отклонения была бы взята величина yi-a-bxi , а затем находилась бы сумма отклонений в нескольких опытах, то можно было бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаком. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что параметры a и b подобраны удачно. Если же за меру отклонения берется (yi-a-bxi)2 , то такого взаимного уничтожения не произойдет, так как все величины (yi-a-bxi)2>0 .
В качестве меры общей ошибки S в описании опытных данных функцией y=a+bx берется сумма мер отклонений для всех опытов (их число обозначим l ), т.е.
.
(11)
Метод определения констант a и b , входящих в формулу (10), из требования минимальности общего отклонения, называется методом наименьших квадратов.
Таким образом, надо выбрать
a
и b
,
так, чтобы величина была наименьшей.
Для этого используются правила нахождения
экстремумов, известные из матанализа.
Если бы a
было
уже найдено, то в правой части (11) можно
было бы изменять только b
,
поэтому должно было бы быть так -
Аналогично, если бы было
найдено b
, то
-
Эти два условия дают следующую систему уравнений для определения a и b
.
(12)
Величины xi , yi , xi 2 и xiyi просто можно рассчитать по данным эксперимента. Тогда система (12) есть система 2-х линейных уравнений относительно 2-х неизвестных a и b . Решая ее любым способом, нетрудно получить
Таким образом, параметры a и b , рассчитанные по формулам (13) дают наилучшее приближение функции (10) к экспериментальным данным.
Определив величины a и b , можно рассчитать среднеквадратичное отклонение S0 , характеризующее степень отклонения данных от рассчитанной прямой, по формуле
.
(14)
Здесь a и b - параметры прямой, вычисленные по формулам (13). Среднеквадратичные погрешности каждого параметра определяют по формулам
.
(15)
Наконец, доверительные границы a и b параметров прямой при доверительной вероятности рассчитываются следующим образом
то есть коэффициент Стьюдента выбирается по таблицам для некоторой эффективной вероятности, равной (1+ )/2 и для числа точек, равного l-2 . Например, если надо найти доверительные интервалы параметров прямой, полученных методом наименьших квадратов 10 точек (l=10 ) при доверительной вероятности =0.9 , то в формулы (16) необходимо подставить коэффициент Стьюдента t0,95, 8 = 2,36.
Определив параметр b , можно восстановить показатель в законе упругой силой. Для этого вспоминаем, что b=(1-n)/(1+n) . Тогда для n получаем
.
(17)
Погрешность n определяется как погрешность косвенного измерения по формуле
где b вычислено по формуле (16). Полученное значение n теперь можно сравнить с теоретическим, равным для шаров 3/2 .
Определение константы k в законе (1) представляет существенно более сложную задачу. Учитывая, что a =lnA , имеем A=ea и, согласно формуле (7), получаем.
Сложность вычисления k по этой формуле заключается в том, что интеграл, достаточно просто берется лишь для n , кратных ½ . Этого для экспериментально определяемых n ожидать трудно. Для произвольных n этот интеграл можно выразить через, так называемую гамма-функцию, зависящую от n . Используя таблицы для гамма-функции, можно получить значение интеграла. Другим способом расчета значения I(n) является численное интегрирование на ЭВМ. Получив значение I(n) тем или иным способом, затем просто рассчитывается величина k . Отметим, что, в принципе, возможно определить и погрешность k , зная n и a . Но эта задача представляет большие сложности и здесь не рассматривается.
Таким образом, определяются параметры в законе упругой силы (1). По известным k и n далее рассчитываются величина максимального сближения шаров h0 по формуле (5). Такие расчеты надо провести для максимальной и минимальной в данном эксперименте скоростях. После этого можно рассчитать по формуле (1) и силы, действующие в этих случаях при максимальном сжатии шаров.
Представляет интерес оценка площади контакта шаров, в момент максимального сжатия, что можно сделать, зная величину h , из геометрических соображений. Очевидно, что пятно контакта представляет собой круг, площадь которого можно считать равной площади основания шарового сегмента радиуса R и высотой h .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Лабораторная работа >> Физика... соударения . Общий вид прибора для исследования столкновения шаров ... зависят от упругих свойств материалов шаров . При столкновении шара с неподвижной... на угол 1. Порядок выполнения работы Измерение времени взаимодействия шаров и углов , β, γ, γ1. 1) ...
Ультразвук и его применение (2)
Научная работа >> ФизикаРавновесия. В этом случае на шар действует возвращающая сила, направленная... точности расчетов. На принципе измерения времени запаздывания основана гидроакустическая локация и... таким образом, служит мерой упругости , и упругость воздуха, как и других газов...
Физические величины. Основы физики
Шпаргалка >> Физика73 км/с. 15. Соударения тел. Упругое и неупругое взаимодействия. Абсолютно... столкновении двух одинаковых абсолютно упругих шаров они просто обмениваются скоростями. ... классическим методам измерения вязкости, таким как измерение времени вытекания заданного...
Механика, молекулярная физика и термодинамика
Учебное пособие >> Физика... времени между событиями. где - промежуток времени между событиями, измеренный ... какую высоту поднимутся шары после соударения , если удар неупругий... шар догоняет меньший. 158. Абсолютно упругий шар массой 1,8 кг сталкивается с покоящимся упругим шаром ...