Для нахождения результата интерференции вторичных волн Френель предложил метод разбиения волнового фронта на зоны, называемые зонами Френеля.
Предположим, что источник света S (рис. 17.18) точечный и монохроматический, а среда, в которой распространяется свет, изотропная. Волновой фронт в произвольный момент времени будет иметь форму сферы радиусом \(~r=ct.\) Каждая точка на этой сферической поверхности является вторичным источником волн. Колебания во всех точках волновой поверхности происходят с одинаковой часто-той и в одинаковой фазе. Следовательно, все эти вторичные источники когерентны. Для нахождения амплитуды колебаний в точке М необходимо произвести сложение когерентных колебаний от всех вторичных источников на волновой поверхности.
Френель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до точки М отличались на \(\frac{\lambda}{2},\) т.е. \(P_1M - P_0M = P_2M - P_1M = \frac{\lambda}{2}.\)
Так как разность хода от двух соседних зон равна \(\frac{\lambda}{2},\) то колебания от них приходят в точку М в противоположных фазах и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М будет равна
\(A = A_1 - A_2 + A_3 - A_4 + \ldots \pm A_m,\) (17.5)
где \(A_1, A_2, \ldots , A_m,\) - амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, .., m-й зонами.
Френель предположил также, что действие отдельных зон в точке М зависит от направления распростронения (от угла \(\varphi_m\) (рис. 17.19) между нормалью \(~\vec n \) к поверхности зоны и направлением на точку М). С увеличением \(\varphi_m\) действие зон убывает и при углах \(\varphi_m \ge 90^\circ\) амплитуда возбуждаемых вторичных волн равна 0. Кроме того, интенсивность излучения в направлении точки М уменьшается с ростом и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М Учитывая оба фактора, можно записать, что
\(A_1 >A_2 >A_3 > \cdots\)
1. Объяснение прямолинейности распространения света.
Общее число зон Френеля, вмещающихся на полусфере радиусом SP 0 , равным расстоянию от источника света S до фронта волны, очень велико. Поэтому в первом приближении можно считать, что амплитуда колебаний А m от некоторой m-й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд, примыкающих к ней зон, т.е.
\(A_m = \frac{ A_{m-1} + A_{m+1} }{2}.\)
Тогда выражение (17.5) можно записать в виде
\(A = \frac{A_1}{2} + \Bigr(\frac{A_1}{2} - A_2 + \frac{A_3}{2} \Bigl) + \Bigr(\frac{A_3}{2} - A_4 + \frac{A_5}{2} \Bigl) + \ldots \pm \frac{A_m}{2}.\)
Так как выражения, стоящие в скобках, равны 0, а \(\frac{A_m}{2}\) ничтожно мала, то
\(A = \frac{A_1}{2} \pm \frac{A_m}{2} \approx \frac{A_1}{2}.\) (17.6)
Таким образом, амплитуда колебаний, создаваемая в произвольной точке М сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной центральной зоной. Из рисунка 17.19 радиус г m-ной зоны зоны Френеля \(r_m = \sqrt{\Bigr(b + \frac{m \lambda}{2} \Bigl)^2 - (b + h_m)^2}.\) Так как \(~h_m \ll b\) и длина волны света мала, то \(r_m \approx \sqrt{\Bigr(b + \frac{m \lambda}{2} \Bigl)^2 - b^2} = \sqrt{mb \lambda + \frac{m^2 \lambda^2}{4}} \approx \sqrt{mb\lambda}.\) Значит, радиус первой Учитывая, что \(~\lambda\) длина волны может иметь значения от 300 до 860 нм, получим \(~r_1 \ll b.\) Следовательно, распространение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, диаметр которого меньше радиуса первой зоны Френеля, т.е. прямолинейно.
2. Дифракция на круглом отверстии.
Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием (рис. 17.20). Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Согласно (17.5) и (17.6) в точке B амплитуда результирующего колебания
\(A = \frac{A_1}{2} \pm \frac{A_m}{2},\)
где знак "плюс" соответствует нечетным m, а знак "минус" - четным m.
Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда колебаний в точке В будет больше, чем при отсутствии экрана. Если в отверстии укладывается одна зона Френеля, то в точке В амплитуда \(~A = A_1\) т.е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана. Если в отверстии укладываются две зоны Френеля, то их действие в точке В практически уничтожает друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если m - четное, то в центре темное кольцо, если m - нечетное - светлое кольцо), причем интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 514-517.
Дифракция Волн - явление огибания волнами препятствий и проникновение их в область геометрической тени. Явление дифракции можно качественно объяснить применением принципа Гюйгенса к распространению волн в среде при наличии преград.
Рассмотрим плоскую преграду ab (рис. 69). На рисунке показаны построенные по принципу Гюйгенса волновые поверхности позади преграды. Видно, что волны действи-
тельно загибаются в область тени. Но принцип Гюйгенса ничего не говорит об амплитуде колебаний в волне за преградой. Ее можно найти, рассматривая интерференцию волн, приходящих в область геометрической тени. Распределение амплитуд колебаний позади преграды называетсядифракционной картиной . Полный вид дифракционной картины позади преграды зависит от соотношения между длиной волны Л, размером преграды d и расстоянием L от преграды до точки наблюдения. Если длина волны Л больше размеров преграды d, то волна его почти не замечает. Если длина волны Л одного порядка с размером преграды d, то дифракция проявляется даже на очень малом расстоянии L, и волны за преградой лишь чуть-чуть слабее, чем в свободном волновом поле с обеих сторон. Если, наконец, длины волн много меньше размеров препятствия, то дифракционную картину можно наблюдать только на большом расстоянии от преграды, величина которой зависит от Л и d.
Принцип Гюйгенса - Френеля является развитием принципа, который ввёл Христиан Гюйгенс в 1678 году: каждая точка фронта (поверхности, достигнутой волной) является вторичным (т.е. новым) источником сферических волн. Огибающая фронтов волн всех вторичных источников становится фронтом волны в следующий момент времени.
Принцип Гюйгенса объясняет распространение волн, согласующееся с законами геометрической оптики, но не может объяснить явлений дифракции. Огюстен Жан Френель в 1815 году дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности и интерференции элементарных волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса - Френеля и дифракционные явления.
Принцип Гюйгенса - Френеля формулируется следующим образом:
Густав Кирхгоф придал принципу Гюйгенса строгий математический вид, показав, что его можно считать приближенной формой теоремы, называемой интегральной теоремой Кирхгофа.
Фронтом волны точечного источника в однородном изотропном пространстве является сфера. Амплитуда возмущения во всех точках сферического фронта волны, распространяющейся от точечного источника, одинакова.
Дальнейшим обобщением и развитием принципа Гюйгенса является формулировка через интегралы по траекториям, служащая основой современной квантовой механики.
Метод зон Френеля Френель предложил метод разбиения фронта волны на кольцевые зоны, который впоследствии получил название метод зон Френеля .
Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP.
Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на l/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.
Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна l/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.
Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.
Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности S на зоны, позволивший сильно упростить решение задач (метод зон Френеля ).
Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S , находящиеся на расстоянии от точки M (рис. 9.2). Точки сферы S , находящиеся на расстояниях , , и т.д. от точки M , образуют 2, 3 и т.д. зоны Френеля.
Колебания, возбуждаемые в точке M между двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки M .
Поэтому при сложении этих колебаний, они должны взаимно ослаблять друг друга:
| , | (9.2.2) |
где A – амплитуда результирующего колебания, – амплитуда колебаний, возбуждаемая i -й зоной Френеля.
Величина зависит от площади зоны и угла между нормалью к поверхности и прямой, направленной в точку M .
Площадь одной зоны
Отсюда видно, что площадь зоны Френеля не зависит от номера зоны i . Это значит, что при не слишком больших i площади соседних зон одинаковы.
В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол и, следовательно, уменьшается интенсивность излучения зоны в направлении точки M , т.е. уменьшается амплитуда . Она уменьшается также из-за увеличения расстояния до точки M :
Общее число зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращенной в сторону точки M , очень велико: при , , число зон , а радиус первой зоны .
Отсюда следует, что углы между нормалью к зоне и направлением на точку M у соседних зон примерно равны, т.е. что амплитуды волн, приходящих в точку M от соседних зон , примерно равны.
Световая волна распространяется прямолинейно. Фазы колебаний, возбуждаемые соседними зонами, отличаются на π. Поэтому в качестве допустимого приближения можно считать, что амплитуда колебания от некоторой m -й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е.
.
Тогда выражение (9.2.1) можно записать в виде
| . | (9.2.2) |
Так как площади соседних зон одинаковы, то выражения в скобках равны нулю, значит результирующая амплитуда .
Интенсивность излучения .
Таким образом, результирующая амплитуда, создаваемая в некоторой точке M всей сферической поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной , а интенсивность .
Так как радиус центральной зоны мал (), следовательно, можно считать, что свет от точки P до точки M распространяется прямолинейно .
Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда в точке M будет равна . Соответственно, интенсивность в точке M будет в 4 раза больше, чем при отсутствии экрана (т.к. ). Интенсивность света увеличивается, если закрыть все четные зоны.
Таким образом, принцип Гюйгенса–Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.
Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются зонные пластинки – система чередующихся прозрачных и непрозрачных колец.
Опыт подтверждает, что с помощью зонных пластинок можно увеличить освещенность в точке М , подобно собирающей линзе.
Дифракция света (от лат. diffractus - разломанный, преломлённый) - отклонение при распространении света от законов геометрической оптики, выражающееся в огибании лучами света границы непрозрачных тел, проникновение света в область геометрической тени, огибание светом малых препятствий. Дифракция наблюдается при распространении света в среде с резко выраженными неоднородностями. Дифракция света - проявление волновых свойств света в предельных условиях перехода от волновой оптики к геометрической. Явление дифракции света можно объяснить на основании принципа Гюйгенса.
Принцип Гюйгенса - принцип, согласно которому каждая точка волнового фронта в данный момент времени является центром вторичных элементарных волн, огибающая которых дает положение волнового фронта в следующий момент времени. Принцип Гюйгенса позволяет объяснить законы отражения и преломления света, однако он недостаточен для объяснения дифракционных явлений, Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн.
Гюйгенса-Френеля принцип - дальнейшее развитие принципа Х. Гюйгенса О. Френелем, введшего представление о когерентности и интерференции вторичных элементарных волн. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля волновое возмущение в некоторой точке может быть представлено как результат интерференции когерентных вторичных элементарных волн, излучаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности (волнового фронта). Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить и дифракционные явления. Каждый элемент волновой поверхности площадью является источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади элемента. В точку наблюдения от этого элемента приходит колебание
(6.37.21)
где - коэффициент, зависящий от угла между нормалью к поверхности и направлением на точку наблюдения; - расстояние от элемента поверхности до точки наблюдения; - фаза колебания в месте расположения элемента .
Результирующее колебание в точке наблюдения представляет собой суперпозицию когерентных колебаний от всех элементов волновой поверхности, пришедших в точку наблюдения. Для расчета амплитуды результирующего колебания для случаев, отличающихся симметрией, Френель предложил метод, получивший название метода зон Френеля. Различают два вида дифракции: дифракция Фраунгофера и дифракция Френеля.
Дифракция Фраунгофера (в параллельных лучах) - дифракция плоских волн на препятствии (источник света удалён от препятствия на бесконечно большое расстояние).
Дифракция Френеля - дифракция сферической световой волны на неоднородности (например, отверстии в экране). Дифракция Френеля осуществляется в тех случаях, когда источник света и экран, служащий для наблюдения дифракционной картины, находятся на конечных расстояниях от препятствия, вызвавшего дифракцию.
Метод зон Френеля.
Зоны Френеля - кольцевые участки, на которые разбивают сферическую поверхность фронта световой волны при рассмотрении задач о дифракции волн в соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке пространства. Пусть монохроматическая волна распространяется из точки в точку наблюдения . Положение волнового фронта в определенный момент времени указано на рисунке. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля действие источника заменяют действием вторичных (воображаемых) источников, расположенных на поверхности фронта сферической волны, которую разбивают на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краёв соседних зон до точки наблюдения отличались на где - длина волны. (На рисунке - точка пересечения фронта волны с линией , расстояние = , = ). Тогда расстояние от края -й зоны до точки наблюдения равно
(6.37.22)
Внешний радиус -й зоны Френеля
(6.37.23)
площадь -й зоны
(6.37.24)
при не слишком больших площади зон Френеля одинаковы.
Так как колебания от соседних зон проходят до точки расстояния, отличающиеся на то в точку они приходят в противофазе. При вычислении амплитуды результирующего колебания в точке методом зон Френеля необходимо также учесть, что с ростом номера зоны амплитуды колебаний, приходящих в точку ,
монотонноубывают: А 1 > А 2 > А 3 > А 4 > ….
Можно положить, что амплитуда колебания А m
равна среднему арифметическому амплитуд примыкающих к ней зон: 
Поэтому амплитуда результирующего светового колебания, приходящего от всего волнового фронта в точку будет равна:
А = А 1 - А 2 + А 3 - А 4 + …….. А к.
Это выражение можно представить в следующем виде:
так как выражения в скобках равны нулю, а амплитуда от последней зоны Френеля бесконечно мала. Следовательно, амплитуда, создаваемая в точке всем сферическим волновым фронтом, равна половине амплитуды, создаваемой центральной зоной Френеля. Если 1м, 0,5 мкм, то радиус первой зоны Френеля равен 0,5 мм. Следовательно, свет от источника к точке наблюдения распространяется как бы в пределах узкого прямого канала, т.е. практически прямолинейно.
Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и взаимно ослабляют друг друга. Если какое-либо препятствие перекрывает часть сферического волнового фронта, то при расчете амплитуды результирующего колебания в точке наблюдения методом зон Френеля учитываются только открытые зоны Френеля. Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывала бы все четные или нечетные зоны Френеля, то амплитуда колебания в точке наблюдения резко возрастает. Такая пластинка называется зонной . Зонная пластинка во много раз увеличивает интенсивность света в точке , действуя подобно собирающей линзе.
Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля.
Лекция 3. Дифракция света
План лекции
3.1. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля.
3.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.
3.3. Дифракция Фраунгофера на щели и решетке.
3.4. Рентгеноструктурные методы исследования строительных материалов.
Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля.
Дифракцией называется отклонение волн от прямолинейного распространения, когда волны, огибая препятствия, заходят в область геометрической тени.
Дифракция света - частный случай дифракции волн. Она проявляется в чередующихся max и min интенсивности, когда фронт световой волны частично экранирован .
Как показывают эксперименты и расчеты, условием получения дифракции света с длиной волны λ от препятствия (или отверстия) размером b , находящегося на расстоянии l от источника, являются соотношения:
Поэтому различают два типа дифракции света:
1) дифракция Френеля – дифракция в сходящихся световых пучках, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, т.е. когда b 2 ~ l λ;
2) дифракция Фраунгофера 1 – дифракция в параллельных лучах, когда источник света и экран расположены далеко один от другого, т.е. когда b 2 << l λ.
Направление распространения волнового фронта можно объяснить по принципу Гюйгенса 2 , который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + Dt по известному положению фронта в момент времени t (см. рис. 3.1).
|
|
Рис. 3.1
И. Фраунгофер (1787 – 1826), немецкий физик.
2 Х. Гюйгенс (1629 – 1695), нидерландский ученый
Принцип Гюйгенса гласит: каждая точка, до которой доходит волна (в момент времени t), служит центром вторичных волн, огибающая которых дает положение волнового фронта в следующий момент времени (t + Δt).
Однако, принцип Гюйгенса, являясь чисто геометрическим способом построения волновых поверхностей, не затрагивает по существу вопроса об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям.
Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл , дополнив его интерференцией вторичных волн.
Принцип Гюйгенса-Френеля гласит: световая волна, возбуждаемая каким либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции (интерференции ) вторичных когерентных световых волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источниками могут служить физически бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве такой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно.
Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и экраном находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии – такая же, как при отсутствии экрана.
Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства.
Используя принцип Гюйгенса-Френеля для вторичных волн можно рассчитать результирующую амплитуду световой волны, учитывая фазы интерферирующих волн.
Однако проще это сделать по методу зон Френеля (см. рис. 3.2). Найдем в произвольной точке P экрана амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на воображаемой поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S.
 |
Рис. 3.2
Согласно методу зон Френеля, на волновой поверхности Ф (радиуса a ) проводятся из точки Р экрана кольцевые зоны, отличающиеся по радиусу r на величину .
При этом площади каждой зоны будут примерно одинаковы:
а, следовательно, будут практически равны и амплитуды световых колебаний в точке экрана Р, т.е.
.
Т.к. колебания от соседних зон проходят расстояния до экрана, отличающиеся на λ/2, то они приходят в точку наблюдения Р в противофазе. Значит амплитуда результирующего светового колебания в точке Р будет:
где i - число зон (номер последней зоны).
Число зон на полусфере будет
При а = r = 10 см и λ = 0,5 мкм: , т. е. N очень велико.
Следовательно, для открытого фронта , т.е.