В этой главе мы вернемся к полной системе из четырех уравнений Максвелла, которые мы приняли как отправной пункт в гл. 1 (вып. 5). До сих пор мы изучали уравнения Максвелла небольшими частями, кусочками; теперь пора уже прибавить последнюю часть и соединить их все воедино. Тогда мы будем иметь полное и точное описание электромагнитных полей, которые могут изменяться со временем произвольным образом. Все сказанное в этой главе, если даже оно и будет противоречить чему-то сказанному ранее, правильно, а то, что говорилось ранее в этих случаях, неверно, потому что все высказанное ранее применялось к таким частным случаям, как, скажем, случаи постоянного тока или фиксированных зарядов. Хотя всякий раз, когда мы записывали уравнение, мы весьма старательно указывали ограничения, легко позабыть все эти оговорки и слишком хорошо заучить ошибочные уравнения. Теперь мы можем изложить всю истину, без всяких ограничений (или почти без них).
Все уравнения Максвелла записаны в табл. 18.1 как словесно, так и в математических символах. Тот факт, что слова эквивалентны уравнениям, должен быть сейчас вам уже знаком — вы должны уметь переводить одну форму в другую и обратно.
Первое уравнение — дивергенция Е равна плотности заряда, деленной на ε 0 ,— правильно всегда. Закон Гаусса справедлив всегда как в динамических, так и в статических полях Поток Е через любую замкнутую поверхность пропорционален заключенному внутри заряду. Третье уравнение — соответствующий общий закон для магнитных полей. Поскольку магнитных зарядов нет, поток В через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Второе уравнение v x E= -∂B / ∂t — это закон Фарадея, и обсуждался он в последних двух главах. Он тоже верен в общем случае. Но последнее уравнение содержит нечто новое. Раньше мы встречались только с частью его, которая годится для постоянных токов. В этом случае мы говорили, что ротор В равен j/ε o c 2 , но правильное общее уравнение имеет новый член, который был открыт Максвеллом.
До появления работы Максвелла известные законы электричества и магнетизма были такими же, как те, что мы изучали в гл. 3—14 (вып. 5) и гл. 15—17. В частности, уравнение для магнитного поля постоянных токов было известно только в виде
Максвелл начал с рассмотрения этих известных законов и выразил их в виде дифференциальных уравнений, так же как мы поступили здесь. (Хотя символ v еще не был придуман, впервые, в основном благодаря Максвеллу, стала очевидной важность таких комбинаций производных, которые мы сегодня называем ротором и дивергенцией.) Максвелл тогда заметил, что в уравнении (18.1) есть нечто странное. Если взять дивергенцию от этого уравнения, то левая сторона обратится в нуль, потому что дивергенция ротора всегда равна нулю. Таким образом, это уравнение требует, чтобы дивергенция j также была равна нулю. Но если дивергенция j равна нулю, то полный ток через любую замкнутую поверхность тоже равен нулю.
Полный ток через замкнутую поверхность равен уменьшению заряда внутри этой поверхности. Он наверняка не может быть всегда равен нулю, так как мы знаем, что заряды могут перемещаться из одного места в другое. Уравнение
фактически есть наше определение j. Это уравнение выражает самый фундаментальный закон — сохранение электрического заряда: любой поток заряда должен поступать из какого-то запаса. Максвелл заметил эту трудность и, чтобы избежать ее, предложил добавить ∂E
/
∂t
в правую часть уравнения (18.1); тогда он и получил уравнение IV в табл. 18.1:
Во времена Максвелла еще не привыкли мыслить в терминах абстрактных полей. Максвелл обсуждал свои идеи с помощью модели, в которой вакуум был подобен упругому телу. Он пытался также объяснить смысл своего нового уравнения с помощью механической модели. Теория Максвелла принималась очень неохотно, во-первых, из-за модели, а, во-вторых, потому, что вначале не было экспериментального подтверждения. Сейчас мы лучше понимаем, что дело в самих уравнениях, а не в модели, с помощью которой они были получены. Мы можем только задать вопрос, правильны ли эти уравнения или они ошибочны. Ответ дает эксперимент. И уравнения Максвелла были подтверждены в бессчетных экспериментах. Если мы отбросим все строительные леса, которыми пользовался Максвелл, чтобы построить уравнения, мы придем к заключению, что прекрасное здание, созданное Максвеллом, держится само по себе. Он свел воедино все законы электричества и магнетизма и создал законченную и прекрасную теорию.
Давайте покажем, что добавочный член имеет тот самый вид, который требуется, чтобы преодолеть обнаруженную Максвеллом трудность. Взяв дивергенцию его уравнения (IV в табл. 18.1), мы должны получить, что дивергенция правой части равна нулю:
Во втором слагаемом можно переставить порядок дифференцирования по координатам и времени, так что уравнение может быть переписано в виде
Но, согласно первому из уравнений Максвелла, дивергенция Е равна ρ/ε 0 . Подставляя это равенство в (18.4), мы придем к уравнению (18.2), которое, как мы знаем, правильно. И наоборот, если мы принимаем уравнения Максвелла (а мы принимаем их потому, что никто никогда не обнаружил эксперимента, который опроверг бы их), мы должны прийти к выводу, что заряд всегда сохраняется.
Законы физики не дают ответа па вопрос: «Что случится, если заряд внезапно возникнет в этой точке, какие будут при этом электромагнитные эффекты?». Ответ дать нельзя, потому что наши уравнения утверждают, что такого не происходит. Если бы это случилось, нам понадобились бы новые законы, но мы не можем сказать, какими бы они были. Нам не приходилось наблюдать, как ведет себя мир без сохранения заряда. Согласно нашим уравнениям, если вы внезапно поместите заряд в некоторой точке, вы должны принести его туда откуда-то еще. В таком случае мы можем говорить о том, что произошло.
Когда мы добавили новый член в уравнение для ротора Е, мы обнаружили, что им описывается целый новый класс явлений. Мы увидим также, что небольшая добавка Максвелла к уравнению для v X В имеет далеко идущие последствия. Мы затронем лишь некоторые из них в этой главе.
Ток смещения. Для обобщения уравнений электромагнитного поля в вакууме на переменные поля необходимо изменить только одно из написанных ранее уравнений (см. разд. 3.4, 3.12); три уравнения оказываются верными в общем случае. Однако закон полного тока для магнитного поля в случае переменных полей и токов оказывается неверным. В соответствии с этим законом ток должен быть одинаковым для любых двух натянутых на контур поверхностей; если заряд в объеме между выбранными поверхностями меняется, то это утверждение вступает в противоречие с законом сохранения заряда. Например, при зарядке конденсатора (рис. 45) ток через одну из указанных поверхностей равен а через другую (проходящую между пластинами) - нулю. Чтобы снять указанное противоречие, Максвелл ввел в это уравнение ток смещения, пропорциональный скорости изменения электрического поля:
В диэлектрической среде выражение для тока смещения принимает вид:
Первый член представляет собой плотность тока смещения в вакууме, второй - реальный ток, обусловленный движением связанных зарядов при изменении поляризованности. Ток смещения через поверхность равен где Ф - поток вектора через поверхность. Введение тока смещения снимает противоречие с законом сохранения заряда. Например, при зарядке плоского конденсатора ток смещения через поверхность, проходящую между пластинами, равен току по подводящим проводам.
Система уравнений Максвелла в вакууме. После введения тока смещения система уравнений Максвелла в дифференциальной форме принимает вид:
Система уравнений Максвелла в интегральной форме:
Приведем также запись уравнений Максвелла в дифференциальной форме в системе СГС:
Плотности заряда и тока связаны соотношением
выражающим закон сохранения заряда (это уравнение является следствием уравнений Максвелла).
Уравнения Максвелла в среде имеют вид: дифференциальная форма интегральная форма
и служат для определения четырех величин . К уравнениям Максвелла, в среде надо добавить материальные уравнения связи между , характеризующие электрические и магнитные свойства среды. Для изотропных линейных сред эти уравнения имеют вид:
Из уравнений Максвелла можно получить граничные условия для (см. разд. 3.6, 3.13).
Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.
Из уравнений Максвелла можно вывести следующее уравнение для любого объема V, ограниченного поверхностью
Первый член описывает изменение энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме. Видно, что в общем случае для плотности энергии электромагнитного поля оказываются верными формулы, полученные ранее для постоянного электрического и магнитного полей. Второй член представляет собой работу поля над частицами в рассматриваемом объеме. Наконец, третий член описывает поток электромагнитной энергии через ограничивающую объем замкнутую поверхность. Плотность потока энергии в данной точке пространства (вектор Пойнтинга) определяется векторами Е и В в этой же точке:
Последнее выражение справедливо и для плотности потока электромагнитной энергии в веществе. Плотность энергии в среде имеет вид:
Пример 1. Рассмотрим зарядку плоского конденсатора с круглыми пластинами, расположенными на расстоянии . Скорость изменения энергии в цилиндре радиусом (меньше размеров пластин) равна
Напряженность магнитного поля найдем из второго уравнения Максвелла: (справа стоит ток смещения). Получаем, что скорость притока энергии через боковую поверхность цилиндра: равна скорости изменения энергии в объеме.
Релятивистские свойства полей. При переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую изменяются как источники электромагнитного поля (плотности заряда и тока), так и сами поля, но уравнения Максвелла сохраняют свой вид. Проще всего выглядят формулы преобразования для источников - плотность движущегося заряда). Если обозначить за плотность заряда в ИСО, в которой то с учетом сокращения продольных размеров (см. разд. 1.11) получим
Сравнивая с -вектором энергии-импульса, видим, что образуют -вектор, т.е. преобразуются друг через друга так же, как по формулам преобразования Лоренца. Зная, как преобразуются источники поля, можно найти формулы для преобразования Е, В. Они выглядят так:
Здесь - скорость системы отсчета К относительно системы К, преобразования записаны для компонент полей, параллельных и перпендикулярных Инвариантами этих преобразований являются скалярные величины
При с формулы преобразования полей принимают следующий упрощенный вид:
Пример 2. Магнитное поле нерелятивистской частицы. Рассмотрим частицу, которая движется относительно ИСО К с постоянной нерелятивистской скоростью V. В ИСО связанной с движущейся частицей, имеется только электрическое поле Для перехода в ИСО К надо записать формулы
преобразования Учитывая, что в нерелятивистском пределе длины отрезков не меняются, получим (для момента, когда частица проходи в К через начало координат):
При выводе этих формул было использовано равенство
Пример 3. Поляризация диэлектрика при движении в магнитном поле. При движении диэлектрика с нерелятивистской скоростью перпендикулярно линиям индукции магнитного поля происходит его поляризация. В ИСО, связанной с диэлектриком, существует поперечное электрическое поле . Характер поляризации диэлектрика зависит от его формы.
Пример 4. Электрическое поле релятивистской частицы. Рассмотрим частицу, которая движется относительно ИСО К с постоянной релятивистской скоростью V. В ИСО К связанной с движущейся частицей, имеется только электрическое поле Для перехода в ИСО К следует использовать формулы преобразования (92) с Запишем ответ для момента времени, когда частица в ИСО К проходит через начало координат, для точки, лежащей в плоскости При переходе от координат к координатам надо учесть, что (координаты точки измеряются в К одновременно с прохождением частицы через начало координат). В результате получим
Видно, что вектор Е коллинеарен вектору Однако на одном и том же расстоянии от заряда поле в точке, расположенной На линии его движения, меньше, чем в точке, расположенной на перпендикуляре к скорости. Магнитное поле в той же точке определяется выражением:
Отметим, что рассмотренное электрическое поле не является потенциальным.
Значение уравнений Максвелла
Уравнения Дж. Максвелла создают основу для предложенной им теории электромагнитных явлений, которая объяснила все известные в то время эмпирические факты, некоторые эффекты предсказала. Главным выводом теории Максвелла стало положение о существовании электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света.
Замечание
Уравнения, предложенные Максвеллом, в электромагнетизме играют роль подобную роли законов Ньютона в классической механике. Они явились обобщением экспериментальных законов и продолжением идей ученых (Кулона, Ампера, Фарадея и др.) изучавших электромагнетизм до Максвелла.
Замечание 1
Сам Максвелл предложил двадцать уравнений в дифференциальной форме с двадцатью неизвестными величинами. В современном виде мы имеем систему уравнений Максвелла благодаря немецкому физику Г. Герцу и англичанину О. Хэвисайду . С помощью этих уравнений можно описать все электромагнитные явления.
Система уравнений Максвелла
Определение 1
Систему уравнений Максвелла составляют:
\ \ \ \
Выражения (1)-(4) называют полевыми уравнениями , они применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений. Иногда уравнения системы Максвелла группируют в пары, первую пару составляют из второго и третьего уравнения, вторую пару -- из первого и четвертого уравнений. При этом говорят, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля ($\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{B}$), а во вторую пару - вспомогательные ($\overrightarrow{D}\ и\ \overrightarrow{H}$).
Каждое из векторных уравнений (1) и (2) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Эти уравнения связывают компоненты векторов, которые находятся в левой и правой частях выражений. Так, в скалярном виде уравнение (1) представляется как:
В скалярном виде уравнение (2) запишем как:
Третье уравнение из системы Максвелла в скалярном виде:
Четвертое уравнение в скалярной форме примет следующий вид:
Для того чтобы рассмотреть конкретную ситуацию, систему уравнений (1)-(4) дополняют следующими материальными уравнениями, которые учитывают электромагнитные свойства среды:
Замечание 2
Необходимо отметить, что существует целый ряд явлений, в которых материальные уравнения существенно отличны от уравнений (5), например, если речь идет о нелинейных явлениях. В таких случаях получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.
Физический смысл уравнений Максвелла
Уравнение (1) системы указывает на то, что двумя возможными источниками магнитного поля являются токи проводимости ($\overrightarrow{j}$) и токи смещения ($\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$).
Уравнение (2) является законом электромагнитной индукции и отображает тот факт, что переменное магнитное поле -- один из источников возникновения электрического поля.
Следующим источником электрического поля служат электрические заряды, что и отображает уравнение (4), которое является, по сути, законом Кулона.
Уравнение (3) означает, что линии магнитной индукции не имеют источников (они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность), что приводит к выводу об отсутствии магнитных зарядов, которые создают магнитное поле.
Материальные уравнения (5) -- это соотношения между векторами поля и токами. Диэлектрические свойства среды заключены в диэлектрической проницаемости ($\varepsilon $). Магнитные свойства, которые описывает намагниченность, учтены в магнитной проницаемости ($\mu $). Проводящие свойства среды сосредоточены в удельной проводимости ($\sigma $).
Уравнения поля линейны и учитывают принцип суперпозиции.
Границы применимости уравнений Максвелла
Система уравнений Максвелла ограничена следующими условиями:
Материальные тела должны быть неподвижны в поле.
Постоянные $\varepsilon ,\ \mu ,\sigma $ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля.
В поле не должно находиться постоянных магнитов и ферромагнитных тел.
Если существует необходимость учета движения среды, то уравнения системы Максвелла оставляют неизменными, а движение учитывается в материальных уравнениях, которые становятся зависимыми от скорости среды и существенно усложняются. Кроме прочего материальные уравнения перестают быть соотношениями между парами величин, как в (5). Например, плотность тока проводимости становится зависимой от индукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля.
Замечание 3
Магнитное поле постоянных магнитов, например, можно описать, используя систему Максвелла, если известна намагниченность. Но, если заданы токи, то в присутствии ферромагнетиков описать поле при помощи данных уравнений не получится.
Пример 1
Задание: Докажите, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения заряда.
Решение:
В качестве основания для решения задачи используем из системы Максвелла уравнение:
Проведем операцию дивергирования в обеих частях выражения (1.1):
Для выражения (1.2) в соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:
Следовательно, получаем:
Рассмотрим второе слагаемое в правой части. Мы можем поменять порядок дифференцирования, так как время и пространственные координаты независимы, то есть записать:
В соответствии с системой Максвелла мы знаем, что источниками электрических полей служат заряды или:
Что позволяет нам записать уравнение (1.4) в виде:
Что дает нам закон сохранения заряда, который записан в виде:
Данное уравнение называют уравнением непрерывности тока, оно содержит в себе закон сохранения заряда, что совершенно очевидно, если выражение (1.8), записать в интегральной форме:
\[\oint\limits_S{\overrightarrow{j}}d\overrightarrow{S}=-\frac{\partial }{\partial t}\int{\rho dV}(1.9).\]
тогда если области замкнуты и изолированы получаем:
\[\oint\limits_S{\overrightarrow{j}}d\overrightarrow{S}=0\to \int{\rho dV}=const.\]
Что требовалось доказать.
Пример 2
Задание: Покажите, что уравнения $rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ и $div\overrightarrow{B}=0$ , входящие в систему Максвелла не противоречат друг другу.
Решение:
За основу решения примем уравнение:
Возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения:
В соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:
Соответственно, получаем, что
Выражение $div\overrightarrow{B}=const$ не противоречит тому, что $div\overrightarrow{B}=0$.
Мы получили, что уравнения $rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ и $div\overrightarrow{B}=0$ совместны, что требовалось показать.
ТЕМА 4.1. Оптика
4.1.1. Теория распространения
электромагнитных волн Максвелла.
Уравнения Максвелла
Теория Д.К. Максвелла лежит в основе объяснения существования и свойств любых электромагнитных волн, таких, как световые волны, радиоволны, инфракрасное и ультрафиолетовое излучения. Эта теория является феноменологической, т.е. в ней не рассматриваются молекулярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих в среде под действием электрического и магнитного полей. Электрические и магнитные свойства среды характеризуются относительной диэлектрической проницаемостью ε, относительной магнитной проницаемостью m и удельной электрической проводимостью σ. Предполагается, что эти параметры среды определяются из эксперимента.
Теория Максвелла - макроскопическая. Это означает, что рассматриваются макроскопические поля зарядов и токов, пространственные размеры которых неизмеримо больше размеров отдельных молекул и атомов.
Математическим выражением теории Максвелла служит система из четырех уравнений, которые записывают в двух формах - дифференциальной и интегральной.
Дифференциальные уравнения Максвелла получаются из интегральных с помощью двух теорем векторного анализа: теоремы Остроградского-Гаусса и теоремы Стокса.
Рассмотрим теорему Остроградского-Гаусса .
Пусть для характеристики какого-либо поля выбран вектор . Тогда поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, мысленно проведенную в этом поле, равен интегралу от дивергенции вектора , взятому по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью S:
Операция дивергенции над произвольным вектором сводится к пространственной производной вида:
где a x , a y , a z - проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат.
Рассмотрим теорему Стокса .
Пусть для характеристики какого-либо поля выбран вектор . Тогда циркуляция вектора вдоль произвольного замкнутого контура L, мысленно проведенного в этом поле, равна потоку вектора rot через поверхность S, ограниченную замкнутым контуром L:
Векторная операция rot в декартовых координатах выражается так:
Первое уравнение Максвелла
Это уравнение представляет собой обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея:
Однако для произвольного контура выполняется взаимосвязь:
Поскольку в общем случае , то для не изменяющегося во времени контура имеет место соотношение:
Сравнивая (4.1.5) и (4.1.7) с учетом (4.1.6), для произвольного контура L, мысленно проведенного в переменном магнитном поле, можно записать:
Силу тока проводимости можно также представить в виде:
или, окончательно:
Из двух последних уравнений (4.1.47) следует, что , что указывает на поперечность электромагнитной волны. Из первого уравнения (4.1.47) ясно, что вектор Н как результат векторного произведения, должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Аналогично, из второго уравнения (4.1.47) следует, что вектор электрического поля должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Окончательно получается, что для любой электромагнитной волны вектора , и составляют тройку ортогональных векторов (Рис. 4.1.1).
4.1.3. Шкала электромагнитных волн
В зависимости от частоты ν = ω/2π или длины волны в вакууме λ 0 = с/ν, а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн:
- радиоволны;
- оптическое излучение;
- рентгеновское излучение;
- гамма-излучение.
Радиволнами называются электромагнитные волны, у которых длина волны в вакууме λ 0 > 5·10 -5 м (ν < 6·10 12 Гц). Весь диапазон радиоволн принято делить на 9 поддиапазонов (Табл. 4.1.1).
Таблица 4.1.1
Оптическим излучением или светом называются электромагнитные волны, у которых длина волны в вакууме лежит в диапазоне 10 нм >λ 0 > 1 мм (границы условны). К оптическому излучению относят инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое излучения.
Инфракрасным (ИК) называются электромагнитные волны, испускаемые нагретыми телами, у которых длина волны в вакууме лежит в диапазоне 1 мм > λ 0 > 770 нм.
Видимым излучением (светом) называются электромагнитные волны, у которых длины волны в вакууме лежат в диапазоне 770 нм > λ 0 > 380 нм. Свет способен вызывать зрительные ощущения в человеческом глазе.
Ультрафиолетовым излучением (УФ) называются электромагнитные волны, у которых длины волны в вакууме лежат в диапазоне 380 нм > λ 0 > 10 нм.
Рентгеновским излучением (рентгеновскими лучами) называются электромагнитные волны, которые возникают при взаимодействии заряженных частиц и фотонов с атомами вещества. Оно характеризуется длинами волны в вакууме в диапазоне с условными границами (10-100 нм) > λ 0 > (0,01-1 пм).
Гамма-излучением (γ-лучами) называются электромагнитные волны с длинами волны в вакууме 0,1 нм > λ 0 . Это излучение испускается возбужденными атомными ядрами при радиоактивных превращениях и ядерных реакциях, а также возникает при распаде частиц, аннигиляции пар "частица-античастица" и других процессах.
4.1.4. Световая волна
Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других - как поток особых частиц (фотонов).
В электромагнитной волне колеблются векторы электрического и магнитного полей. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются наличием колебаний электрического вектора, который называют в этом случае световым вектором . Его изменения в пространстве и времени задаются уравнением плоской волны:
Здесь r - расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения волны.
Отношение скорости световой волны в вакууме с к ее фазовой скорости v в некоторой прозрачной среде называется абсолютным показателем преломления этой среды:
Показатель преломления связан с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями соотношением:
Для подавляющего большинства прозрачных веществ величина μ ≈ 1. Поэтому можно считать, что выполняется:
Значения показателя преломления характеризуют оптическую плотность среды. Среда с большим n будет более оптически плотной.
Длины волн видимого света в вакууме заключены в пределах:
В веществе длины волн будут другими. В случае колебаний с частотой ν длина волны света в вакууме равна:
Используя соотношение (4.1.49), имеем для длины света в веществе формулу:
Частоты видимого света лежат в пределах:
Модуль среднего по времени потока энергии, переносимого волной, называется интенсивностью света I в данной точке пространства. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды волны:
| I ∼ A 2 | (4.1.56) |
Световая волна, как и другие электромагнитные волны, является поперечной, т.е. направления колебаний электрического и магнитного векторов перпендикулярны к направлению ее распространения. В естественном свете присутствуют все направления колебаний электрического и магнитного векторов. Если в волне присутствуют колебания электрического вектора только в одной плоскости (а магнитного вектора в перпендикулярной плоскости), такую волну называют плоскополяризованной (линейно поляризованной) . Есть и более сложные случаи поляризации волн - круговая и эллиптическая. В случае круговой поляризации электрический и магнитный векторы вращаются по кругу с частотой изменения волны.
4.1.5. Геометрическая оптика
Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (∼10 -7 м), поэтому распространение видимого света в первом приближении можно рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых прямых линий, называемых лучами. В предельном случае, когда длина волны света λ→0, законы оптики можно сформулировать на языке геометрии.
Основу геометрической оптики составляют 4 закона:
- закон прямолинейного распространения света;
- закон независимости световых лучей;
- закон отражения света;
- закон преломления света.
Закон прямолинейного распространения света утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно . Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия, размеры которых сравнимы с диной волны света, наблюдается отклонение от прямолинейности, тем большее, чем меньше отверстие.
Закон независимости световых лучей утверждает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга . Это означает, что пересечение лучей не мешает каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон справедлив при не слишком больших интенсивностях световых волн.
В основу геометрической оптики был положен принцип Ферма : свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время .
Пусть для прохождения участка ds свету требуется время dt = ds/v, где v - скорость света в данной точке среды. Поскольку v = c/n, то получим:
Следовательно, время τ, необходимое для прохождения пути от точки 1 до точки 2 (Рис. 4.1.2), равно:
Рис. 4.1.2. К принципу Ферма
Имеющая размерность длины величина
называется оптической длиной пути . В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути на показатель преломления:
Следовательно,
Пропорциональность времени прохождения оптической длине пути дает возможность сформулировать принцип Ферма так: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.
Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален при движении света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении.
Получим с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света. Пусть свет попадает из точки А в точку В, отразившись от поверхности MN (Рис. 4.1.3).
Рис. 4.1.3. Закон отражения света как следствие принципа Ферма
Прямой путь из А в В прегражден экраном Э. Среда, в которой распространяется луч, однородна, поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности геометрической длины пути. Геометрическая длина произвольно взятого пути равна АО"B = A"O"B, поскольку вспомогательная точка A" является зеркальным отражением точки А, и АО" = A"O". Из Рис. 4.1.3 видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке О, для которой угол отражения равен углу падения. При удалении точки O" от точки О геометрическая длина пути неограниченно возрастает, что противоречит принципу Ферма. Этот результат можно записать так:
Соотношение (4.1.62) выражает закон отражения света : отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.
Найдем точку, в которой должен преломиться луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая длина пути была минимальной (Рис. 4.1.4).
Рис. 4.1.4. К расчету закона преломления света из принципа Ферма
Для произвольного луча оптическая длина пути равна:
Чтобы найти минимальное значение оптической длины пути, продифференцируем L по х и приравняем производную к нулю:
Множители при n 1 и n 2 равны, соответственно, sinθ и sinθ". Поэтому получаем соотношение:
которое выражает закон преломления света. Используя взаимосвязь показателей преломления с фазовыми скоростями распространения света в средах, можно записать соотношение (4.1.65) в виде:
Следовательно, закон преломления света гласит: преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ.
В (4.1.66) n 12 - относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому. Из (4.1.65) видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения сопровождается более быстрым ростом угла преломления, и при достижении некоторого предельного угла падения угол преломления будет равным 90°:
При углах падения, лежащих в пределах от θ пред пред до 90°, преломленной волны не существует, вся энергия падающей волны переходит в энергию отраженной волны. Это явление называется полным внутренним отражением.
Таблица 4.1.2
Во многих оптических приборах для преломления света используются стеклянные призмы. На Рис. 4.1.5 показан ход луча монохроматического света в призме.
Рис. 4.1.5. Ход лучей в призме
После двукратного преломления луч оказывается отклоненным от первоначального положения на угол δ (угол отклонения ). Угол θ, заключенный между преломляющими гранями, называется преломляющим углом . Угол δ зависит от преломляющего угла θ и показателя преломления призмы. Эта зависимость может быть легко показана для призмы с малым преломляющим углом θ (тонкой призмы) в случае малого угла падения α. Исходя из закона преломления и принимая значение показателя преломления воздуха равным единице, можно записать:
При малых углах α и θ углы α 1 , γ и γ 1 также малы. Поэтому вместо (4.1.69) можно приближенно записать:
Из четырехугольника BQDE, в котором углы при В и D - прямые, найдем, что угол BED равен 180° - θ. Тогда из четырехугольника BСDE находим:
Угол δ из треугольника BED равен:
Подставляя в (4.1.72) результаты (4.1.73) и (4.1.70), получим окончательно:
4.1.6. Преломление в линзе
В практических применениях большое значение имеет преломление света на сферической границе раздела двух сред. Основная деталь оптических приборов - линза - обычно представляет собой стеклянное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями. В частном случае одна из поверхностей линзы может быть плоской. Такую поверхность можно рассматривать как сферическую с бесконечно большим радиусом кривизны.
Линзы могут быть изготовлены не только из стекла, а из любого прозрачного вещества с показателем преломления, превышающим единицу, например, из кварца, каменной соли, пластмасс и других материалов. Поверхности линз могут быть и более сложной формы - цилиндрические, параболические и т.д.
Рассмотрим линзу, ограниченную двумя сферическими преломляющими поверхностями PO 1 Q и PO 2 Q (Рис. 4.1.6).
Рис. 4.1.6. Тонкая линза
Центр первой преломляющей поверхности PO 1 Q лежит в точке С 1 , центр второй поверхности PO 2 Q - в точке С 2 . Будем считать, что расстояние O 1 O 2 мало по сравнению с O 1 С 1 или O 2 С 2 . В таком случае точки O 1 и O 2 можно считать практически совпадающими с точкой О - оптического центра линзы. Всякая прямая, проходящая через оптический центр, называется оптической осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих преломляющих поверхностей, называется главной оптической осью , остальные - побочными осями .
Луч, идущий по какой-либо оптической оси, проходя через тонкую линзу, не меняет своего направления. Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе пересекаются в одной точке F, расположенной на главной оптической оси и называемой главным фокусом .
Покажем, что лучи, исходящие под небольшими углами α из некоторой точки А, лежащей на главной оптической оси, собираются линзой в одну точку А 1 , расположенную также на этой оптической оси и называемую изображением точки А (Рис. 4.1.7).
Рис. 4.1.7. Преломление в тонкой линзе
Построим плоскости, касательные к поверхностям линзы в точках М и N (в местах падения луча на линзу и его выхода из линзы), и проведем в эти точки радиусы R 1 и R 2 кривизны поверхностей линзы. Тогда луч AMNA 1 можно рассматривать как луч, преломленный в тонкой призме с преломляющим углом θ. Учитывая малость углов α, β, α 1 , β 1 и толщины линзы, можно записать:
где а и b - расстояния от источника света А и от его изображения А 1 до оптического центра линзы.
Из треугольников АНА 1 и ВЕВ 1 следует, что:
Принимая во внимание формулы (4.1.75), получим:
Учтено, что для тонкой линзы h 1 ≈ h 2 ≈ h. Поскольку, согласно формуле () для тонкой призмы выполняется: θ = (n-1)δ, то, с помощью (4.1.77) имеем формулу линзы :
В эту формулу не входит величина h, что означает, что расстояние b не зависит от от положения точки М. Следовательно, все лучи, исходящие из точки А, соберутся после преломления разными частями линзы в одной точке А 1 .
Если точка А находится бесконечно далеко от линзы (а = ∞), т.е. если лучи падают на линзу параллельно главной оптической оси, то, согласно формуле (4.1.78), имеем:
Величина b = f называется фокусным расстоянием линзы :
Фокусом линзы называется точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.
Принимая во внимание (4.1.80), формулу линзы (4.1.78) можно сейчас переписать так:
Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы :
Оптическая сила выражается в диоптриях (дп). 1 дп - оптическая сила линзы с фокусным расстоянием в 1 м.
4.1.7. Принцип Гюйгенса
В приближении геометрической оптики свет за преградой не должен проникать в область геометрической тени. В действительности световая волна распространяется во всем пространстве за преградой, проникая проникать в область геометрической тени, причем это проникновение будет тем более существенным, чем меньше размеры отверстия. При диаметре отверстия или ширине щели, сравнимых с длиной волны, приближение геометрической оптики становится совершенно неприменимым.
Качественно поведение света за преградой с отверстием может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса . Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени. Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (Рис. 4.1.8).
Рис. 4.1.8. К принципу Гюйгенса
Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими. Построив огибающую вторичных волн, можно убедиться в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая края преграды.
4.1.8. Интерференция световых волн
Если в среде распространяются одновременно несколько электромагнитных волн, то волны просто накладываются друг на друга, не возмущая одна другую. Это утверждение, подкрепленное опытом, называется принципом суперпозиции.
В случае, когда колебания электрического и магнитного векторов в каждой из волн происходят так, что между соответственными векторами в разных волнах имеется постоянный во времени и в пространстве фазовый сдвиг, такие волны называются когерентными . Очевидно, что условие когерентности может существовать лишь для волн, которые имеют одинаковые частоты и, соответственно, длины волны.
При сложении когерентных волн возникает явление интерференции , заключающееся в том, что электромагнитные волны в одних точках пространства усиливают, а в других ослабляют друг друга.
Пусть две волны одинаковой частоты, распространяющиеся в одном направлении, возбуждают в некоторой точке пространства колебания:
Эти векторы можно представить как вращающиеся с частотой ω вокруг общего начала коор-динат. Поскольку сдвиг фаз различен, в какой-либо момент времени эти вектора займут различные положения (Рис. 4.1.9).
Рис. 4.1.9. К расчету интерференции волн
Используя теорему косинусов, получим амплитуду результирующего колебания:
Если сдвиг фаз между когерентными колебаниями равен нулю (волны - в фазе), то амплитуда результирующей волны максимальна и равна A = A 1 + A 2 . Пусть амплитуды этих волн равны. В этом случае имеем амплитуду результирующей волны:
Если сдвиг фаз между когерентными колебаниями равен ±π (волны - в противофазе), то амплитуда результирующей волны минимальна и равна A = A 1 - A 2 . Если амплитуды этих волн равны, то в этом случае они гасят друг друга:
Когерентные световые волны можно получить, разделив, например, с помощью зеркал волну, излучаемую одним источником, на две. Если заставить эти волны пройти разные пути, а затем наложить их друг на друга, будет наблюдаться интерференция. Пусть такое разделение происходит в точке О (Рис. 4.1.10).
Рис. 4.1.10. Образование когерентных волн
До точки Р первая волна пройдет в среде с показателем преломления n 1 путь S 1 , вторая волна пройдет в среде с показателем преломления n 2 путь S 2 . Если в точке О фаза колебания была равна ωt, то первая волна возбудит в точке Р колебание
а вторая волна - колебание
то разность фаз оказывается кратной 2π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в фазе. Следовательно, (4.1.93) является условием интерференционного максимума.
Если Δ равна полуцелому числу длин волн в вакууме:
то разность фаз оказывается равной δ = ±(2m + 1)π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (4.1.94) является условием интерференционного минимума.
4.1.9. Дифракция световых волн
Дифракцией называется совокупность явлений, связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. В частности, вследствие дифракции происходит огибание световыми волнами препятствий и проникновение света в область геометрической тени.
Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия.
Свет, идущий от небольшого яркого источника через круглое отверстие (Рис. 4.1.11) должен по правилам геометрической оптики дать на экране резко ограниченный светлый кружок на темном фоне.
Рис. 4.1.11. Дифракция от круглого отверстия
Такая картина наблюдается при обычных условиях опыта. Но если расстояние от отверстия до экрана в несколько тысяч раз превосходит размеры отверстия, то образуется более сложная картина, которая состоит из совокупности светлых и темных концентрических колец.
Интересный случай дифракции осуществляется с помощью дифракционной решетки, которая представляет собой пластинку, на поверхности которой чередуются узкие параллельные прозрачные и непрозрачные полоски. Сумму ширины прозрачной и непрозрачной полосок называют периодом решетки. Пусть на решетку падает монохроматический свет с длиной волны λ (Рис. 4.1.12). Фронт волны параллелен плоскости решетки.
Рис. 4.1.12. Дифракционная решетка
Разности хода лучей, идущих от соответствующих точек отверстий, например от правых краев (точки А, А 1 , А 2 , ...), или от левых краев (точки В, В 1 , В 2 , ...) имеют одно и то же значение:
Для того, чтобы все пучки усиливали друг друга, необходимо, чтобы разность хода равнялась целому числу длин волн:
где m - целое число.
Это условие позволяет определить те значения углов φ и соответствующие направления, в которых будут наблюдаться максимумы света длины волны λ.
Для данной длины волны может наблюдаться несколько максимумов. Направление, соответствующее m = 0, есть φ = 0. Это - направление первоначального пучка. Соответствущий максимум носит название максимума нулевого порядка. При m = 1 имеем: sinφ 1 = λ/d, при m = 1 имеем: sinφ" 1 = λ/d, т.е. имеется два максимума первого порядка, расположенных симметрично по обеим сторонам от нулевого максимума. Аналогично располагаются максимумы второго, третьего и т.д. порядков.
Отсюда следует, что для волн разной длины λ положения максимумов нулевого порядка совпадают , а положения максимумов первого, второго и т.д. порядков различны: чем больше λ, тем больше соответствующие углы.
Если на решетку падает белый свет, то в плоскости экрана получается ряд цветных изображений щели. На месте нулевого максимума будет изображение щели в белом свете, а по обе стороны от него развернутся цветные полосы от фиолетового к красному концу.
Чем больше общий размер решетки, т.е. чем больше полосок она содержит, тем выше ее качество: увеличение числа полосок увеличивает количество пропускаемого решеткой света (максимумы становятся ярче), и улучшает разрешение близких волн (максимумы становятся резче).
Зная период дифракционной решетки, ее можно использовать для определения длины световой волны, измерив величину угла φ, определяющего положение максимума данного порядка. В этом случае имеем:
Измерение длины световой волны с помощью дифракционной решетки принадлежит к числу наиболее точных методов.
4.1.10. Поляризация световых волн
Поляризованным называется свет, в котором направления колебаний электрического и магнитного векторов упорядочены каким-либо образом. В естественном свете колебания происходят в различных направлениях, быстро и беспорядочно сменяя друг друга.
Различают свет эллиптически поляризованный, поляризованный по кругу, плоскополяризованный. В случае эллиптической или круговой поляризаций электрический и магнитный векторы вращаются в пространстве с частотой, равной частоте волны, причем концы этих векторов описывают либо эллипс, либо круг. Вращение может происходить как по, так и против часовой стрелки. Если вектор вращается в пространстве как правый винт, то поляризацию называют правой, и левой - если вектор вращается в пространстве как левый винт.
Важный частный случай - плоская поляризация. В этом случае вектор электрического поля колеблется в плоскости, проходящей через направление распространения волны и этот вектор. Такую плоскость называют плоскостью колебаний . Вектор магнитного поля колеблется в плоскости, также проходящей через направление распространения волны и этот вектор, но данная плоскость - плоскость поляризации - составляет с плоскостью колебаний прямой угол (Рис. 4.1.13).
Рис. 4.1.13. Структура плоскополяризованной световой волны
Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с помощью устройств, которые называются поляризаторами . Эти устройства свободно пропускают волны с колебаниями, плоскость которых совпадает с плоскостью пропускания поляризатора, и задерживают все другие волны.
Пусть на поляризатор падает плоскополяризованный свет амплитуды А 0 и интенсивности I 0 . Сквозь устройство пройдет составляющая колебания с амплитудой А || = А 0 cosφ, где угол φ - угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью пропускания поляризатора (Рис. 4.1.14).
Рис. 4.1.14. Прохождение плоскополяризованного света через поляризатор
Следовательно, интенсивность прошедшего света определяется выражением:
Это соотношение носит название закона Малюса.
Пусть на пути естественного луча стоят два поляризатора, плоскости пропускания которых составляют угол φ. Из первого поляризатора выйдет плоскополяризованный свет, интенсивность которого I0 составит половину интенсивности естественного неполяризованного света I ест. Используя закон Малюса, получаем:
Максимальная интенсивность получается при φ = 0 (плоскости пропускания поляризаторов параллельны). При φ = 90° интенсивность равна нулю - скрещенные поляризаторы не пропускают свет.
4.1.11. Вращение плоскости
поляризации световых волн
Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают способностью вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через них плоскополяризованного света. К числу таких веществ относятся кристаллы кварц, киноварь и др, некоторые жидкости (скипидар, никотин), растворы оптически активных веществ в оптически неактивных растворителях (водные растворы сахара, винной кислоты и др.)
Угол поворота плоскости поляризации в твердых веществах пропорционален пути l, пройденному лучом в кристалле:
где α - постоянная оптического вращения, различная для разных веществ.
В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути l, пройденному светом в растворе и концентрации с активного вещества:
Здесь [α] - удельная постоянная вращения.
В зависимости от направления вращения вещества подразделяются на право- и левовращающие. Существуют правый и левый кварц, правый и левый сахар и т.д. Молекулы или кристаллы одной модификации являются зеркальным отражением молекул или кристаллов другой модификации.
Если между двумя скрещенными поляризаторами поместить оптически активное вещество, то поле зрения просветляется. Чтобы снова затемнить его, надо повернуть один из поляризаторов на угол, определяемый соотношениями (4.1.99) или (4.11.100). Таким методом можно измерить концентрацию активного вещества в растворе, в частности, концентрацию сахара.