Čista krivina. Direktno čisto savijanje poprečno ravno savijanje vanredni profesor Vanjske sile koje uzrokuju ravno savijanje

count greda za savijanje postoji nekoliko opcija:
1. Proračun maksimalnog opterećenja koje će izdržati
2. Izbor presjeka ove grede
3. Proračun maksimalno dozvoljenih napona (za verifikaciju)
hajde da razmotrimo opšti princip izbora presjeka grede na dva nosača opterećena ravnomjerno raspoređenim opterećenjem ili koncentriranom silom.
Za početak, morat ćete pronaći tačku (odjeljak) u kojoj će postojati maksimalni trenutak. Zavisi od potpore grede ili njenog završetka. Ispod su dijagrami momenata savijanja za sheme koje su najčešće.

Nakon pronalaženja momenta savijanja, moramo pronaći modul Wx ovog presjeka prema formuli datoj u tabeli:

Dalje, kada se maksimalni moment savijanja podijeli sa momentom otpora u datom presjeku, dobivamo maksimalno naprezanje u gredi i to naprezanje moramo uporediti sa naprezanjem koje naša greda od datog materijala općenito može izdržati.

Za plastične materijale(čelik, aluminijum, itd.) maksimalni napon će biti jednak granica tečenja materijala, ali za krhke(liveno gvožde) - zatezna čvrstoća. Granicu tečenja i vlačnu čvrstoću možemo pronaći iz tabela ispod.

Pogledajmo nekoliko primjera:
1. [i] Želite provjeriti može li vas I-greda br. 10 (St3sp5 čelik) dužine 2 metra čvrsto ugrađena u zid izdržati ako visite o njoj. Neka vaša masa bude 90 kg.
Prvo, moramo odabrati šemu proračuna.

Ovaj dijagram pokazuje da će maksimalni moment biti u završetku, a od našeg I-greda ima isti dio po cijeloj dužini, tada će maksimalni napon biti u terminaciji. Hajde da ga pronađemo:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Prema tabeli asortimana I-greda nalazimo moment otpora I-grede br.10.

To će biti jednako 39,7 cm3. Pretvorite u kubne metre i dobijete 0,0000397 m3.
Nadalje, prema formuli nalazimo maksimalne napone koje imamo u gredi.

b = M / Š = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Nakon što smo pronašli maksimalno naprezanje koje se javlja u gredi, možemo ga uporediti sa maksimalnim dopuštenim naprezanjem jednakim granici tečenja čelika St3sp5 - 245 MPa.

45,34 MPa - desno, tako da ova I-greda može izdržati masu od 90 kg.

2. [i] Pošto smo dobili dosta veliku marginu, riješit ćemo drugi problem u kojem ćemo pronaći maksimalnu moguću masu koju ista I-greda br. 10, dužine 2 metra, može izdržati.
Ako želimo pronaći maksimalnu masu, tada vrijednosti granice popuštanja i napona koji će se pojaviti u gredi moramo izjednačiti (b = 245 MPa = 245 000 kN * m2).

10.1. Opći koncepti i definicije

bend- ovo je vrsta opterećenja u kojoj se štap opterećuje momentima u ravninama koje prolaze kroz uzdužnu os štapa.

Štap koji radi pri savijanju naziva se greda (ili greda). U budućnosti ćemo razmotriti ravne grede, čiji poprečni presjek ima barem jednu os simetrije.

U otpornosti materijala, savijanje je ravno, koso i složeno.

ravna krivina- savijanje, pri čemu sve sile koje savijaju gredu leže u jednoj od ravni simetrije grede (u jednoj od glavnih ravnina).

Glavne ravni inercije grede su ravnine koje prolaze kroz glavne ose poprečnih presjeka i geometrijsku os grede (x os).

kosi zavoj- savijanje, pri čemu opterećenja djeluju u jednoj ravni koja se ne poklapa s glavnim ravnima inercije.

Kompleksna krivina- savijanje, pri čemu opterećenja djeluju u različitim (proizvoljnim) ravninama.

10.2. Određivanje unutrašnjih sila savijanja

Razmotrimo dva karakteristična slučaja savijanja: u prvom slučaju, konzolna greda je savijena za koncentrirani moment Mo; u drugom, koncentrisanom silom F.

Metodom mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječene dijelove grede određujemo unutrašnje sile u oba slučaja:

Ostale jednačine ravnoteže su očigledno identično jednake nuli.

Dakle, u opštem slučaju ravnog savijanja u presjeku grede, od šest unutrašnjih sila nastaju dvije - moment savijanja Mz and poprečna sila Qy (ili pri savijanju oko druge glavne ose - moment savijanja My i poprečna sila Qz).

U ovom slučaju, u skladu s dva razmatrana slučaja opterećenja, ravno savijanje se može podijeliti na čisto i poprečno.

Pure bend- ravno savijanje, pri kojem samo jedna od šest unutrašnjih sila nastaje u dijelovima štapa - moment savijanja (vidi prvi slučaj).

poprečna krivina- savijanje, u kojem se, osim unutrašnjeg momenta savijanja, javlja i poprečna sila u dijelovima šipke (vidi drugi slučaj).

Strogo govoreći, samo čisto savijanje spada u jednostavne vrste otpora; poprečno savijanje se uvjetno odnosi na jednostavne vrste otpora, jer se u većini slučajeva (za dovoljno dugačke grede) djelovanje poprečne sile može zanemariti u proračunima čvrstoće.

Prilikom određivanja unutrašnjih sila pridržavat ćemo se sljedećeg pravila znakova:

1) poprečna sila Qy se smatra pozitivnom ako teži da rotira razmatrani element grede u smjeru kazaljke na satu;

2) moment savijanja Mz smatra se pozitivnim ako se pri savijanju elementa grede gornja vlakna elementa sabijaju, a donja rastežu (kišobransko pravilo).

Tako će se rješenje zadatka određivanja unutrašnjih sila pri savijanju graditi prema sljedećem planu: 1) u prvoj fazi, s obzirom na ravnotežne uslove konstrukcije u cjelini, određujemo, ako je potrebno, nepoznate reakcije oslonaca (imajte na umu da za konzolnu gredu, reakcije u ugradnji mogu biti i ne pronađene ako uzmemo u obzir gredu sa slobodnog kraja); 2) u drugoj fazi odabiremo karakteristične presjeke grede, uzimajući kao granice presjeka tačke primjene sila, tačke promjene oblika ili dimenzija grede, tačke pričvršćivanja grede; 3) u trećoj fazi određujemo unutrašnje sile u presjecima grede, s obzirom na uslove ravnoteže za elemente grede u svakom od presjeka.

10.3. Diferencijalne zavisnosti u savijanju

Uspostavimo neke odnose između unutarnjih sila i vanjskih opterećenja na savijanje, kao i karakteristične karakteristike Q i M dijagrama, čije će poznavanje olakšati konstrukciju dijagrama i omogućiti vam kontrolu njihove ispravnosti. Radi lakšeg označavanja, označićemo: M≡Mz, Q≡Qy.

Dodijelimo mali element dx u presjeku grede sa proizvoljnim opterećenjem na mjestu gdje nema koncentrisanih sila i momenata. Budući da je cijela greda u ravnoteži, element dx će biti u ravnoteži i pod djelovanjem poprečnih sila koje se na njega primjenjuju, momenata savijanja i vanjskog opterećenja. Pošto Q i M generalno variraju

osi grede, tada će u presjecima elementa dx postojati poprečne sile Q i Q + dQ, kao i momenti savijanja M i M + dM. Iz uslova ravnoteže odabranog elementa dobijamo

Prva od dvije napisane jednadžbe daje uvjet

Iz druge jednačine, zanemarujući pojam q dx (dx/2) kao beskonačno malu veličinu drugog reda, nalazimo

Uzimajući u obzir izraze (10.1) i (10.2) zajedno možemo dobiti

Relacije (10.1), (10.2) i (10.3) nazivaju se diferencijalnim ovisnosti D. I. Žuravskog u savijanju.

Analiza gore navedenih diferencijalnih ovisnosti u savijanju omogućava nam da uspostavimo neke karakteristike (pravila) za konstruiranje dijagrama momenata savijanja i posmičnih sila: a - u područjima gdje nema raspoređenog opterećenja q, dijagrami Q su ograničeni na prave linije paralelne sa baza, a dijagrami M su nagnute prave linije; b - u presjecima gdje se na gredu primjenjuje raspoređeno opterećenje q, Q dijagrami su ograničeni kosim pravim linijama, a M dijagrami su ograničeni kvadratnim parabolama.

U ovom slučaju, ako gradimo dijagram M "na rastegnutom vlaknu", tada će konveksnost parabole biti usmjerena u smjeru djelovanja q, a ekstrem će se nalaziti u dijelu gdje dijagram Q siječe bazu linija; c - u odsjecima gdje je koncentrisana sila primijenjena na gredu, na Q dijagramu će biti skokova za vrijednost i u smjeru ove sile, a na M dijagramu ima pregiba, vrh usmjeren u smjeru ove sile sila; d - u dijelovima gdje se koncentrirani moment primjenjuje na gredu, neće biti promjena na Q dijagramu, a na M dijagramu će biti skokova za vrijednost ovog momenta; e - u odsjecima gdje Q>0, moment M raste, i u dijelovima gdje Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalni naponi kod čistog savijanja ravne grede

Razmotrimo slučaj čistog planarnog savijanja grede i izvedimo formulu za određivanje normalnih napona za ovaj slučaj.

Napominjemo da je u teoriji elastičnosti moguće dobiti točnu ovisnost za normalna naprezanja pri čistom savijanju, ali ako se ovaj problem riješi metodama otpornosti materijala, potrebno je uvesti neke pretpostavke.

Postoje tri takve hipoteze za savijanje:

a - hipoteza ravnih presjeka (Bernoullijeva hipoteza) - presjeci su ravni prije deformacije i ostaju ravni nakon deformacije, ali se samo rotiraju oko određene linije, koja se naziva neutralna os presjeka grede. U tom slučaju, vlakna grede, koja leže s jedne strane neutralne ose, bit će rastegnuta, a s druge stisnuta; vlakna koja leže na neutralnoj osi ne mijenjaju svoju dužinu;

b - hipoteza konstantnosti normalnih napona - naponi koji djeluju na istoj udaljenosti y od neutralne ose su konstantni po širini grede;

c – hipoteza o odsustvu bočnih pritisaka – susjedna uzdužna vlakna ne pritiskaju jedno na drugo.

Statička strana problema

Da bismo odredili napone u poprečnim presjecima grede, razmatramo, prije svega, statičke strane problema. Primjenom metode mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječeni dio grede, nalazimo unutrašnje sile pri savijanju. Kao što je ranije pokazano, jedina unutarnja sila koja djeluje u presjeku šipke s čistim savijanjem je unutrašnji moment savijanja, što znači da će ovdje nastati normalni naponi povezani s njim.

Odnos između unutrašnjih sila i normalnih naprezanja u presjeku grede nalazimo uzimajući u obzir naprezanja na elementarnoj površini dA, odabranoj u poprečnom presjeku A grede u tački s koordinatama y i z (os y je usmjerena nadole radi lakšeg analize):

Kao što vidimo, problem je interno statički neodređen, jer je priroda raspodjele normalnih napona po poprečnom presjeku nepoznata. Da biste riješili problem, razmotrite geometrijski obrazac deformacija.

Geometrijska strana problema

Razmotrimo deformaciju elementa grede dužine dx odabranog od šipke za savijanje u proizvoljnoj tački s koordinatom x. Uzimajući u obzir prethodno prihvaćenu hipotezu o ravnim presjecima, nakon savijanja presjeka grede, rotirati u odnosu na neutralnu osu (nr) za ugao dϕ, dok će se vlakno ab, koje se nalazi na udaljenosti y od neutralne ose, pretvoriti u kružni luk a1b1, a njegova dužina će se promijeniti za neku veličinu. Ovdje podsjećamo da se dužina vlakana koja leže na neutralnoj osi ne mijenja, pa stoga luk a0b0 (čiji polumjer zakrivljenosti označavamo sa ρ) ima istu dužinu kao i segment a0b0 prije deformacije a0b0=dx.

Nađimo relativnu linearnu deformaciju εx vlakna ab zakrivljene grede.

Zadatak. Napravite dijagrame Q i M za statički neodređenu gredu. Grede izračunavamo prema formuli:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Beam jednom je statički neodređen, što znači jedan reakcija je "ekstra" nepoznato. Za "ekstra" nepoznanicu uzet ćemo reakciju podrške IN — R B.

Statički određen snop, koji se iz date dobija uklanjanjem "dodatne" veze, naziva se glavnim sistemom. (b).

Sada treba predstaviti ovaj sistem ekvivalentan dato. Da biste to učinili, učitajte glavni sistem dato opterećenje i na tački IN primijeniti "ekstra" reakcija R B(pirinač. in).

Međutim, za ekvivalencija ovo nije dovoljno, budući da je u takvom snopu tačka IN možda kretati okomito, i u datom snopu (sl. ali ) ovo se ne može dogoditi. Stoga, dodajemo stanje, šta otklon t. IN u glavnom sistemu mora biti jednak 0. Deflection t. IN sastoji se od otklon od djelujućeg opterećenja Δ F i od otklon od "ekstra" reakcije Δ R.

Onda komponujemo uslov kompatibilnosti pomaka:

Δ F + Δ R=0 (1)

Sada ostaje da izračunamo ove pokreti (progibi).

Učitavanje osnovni sistem dato opterećenje(pirinač .G) i izgraditi kargo dijagramM F (pirinač. d ).

IN T. IN primijeniti i izgraditi ep. (pirinač. jež ).

Simpsonovom formulom definiramo otklon opterećenja.

Hajde sada da definišemo otklon od djelovanja "ekstra" reakcije R B , za ovo učitavamo glavni sistem R B (pirinač. h ) i nacrtajte trenutke iz njegove radnje GOSPODIN (pirinač. I ).

Sastavite i odlučite jednadžba (1):

Hajde da gradimo ep. Q I M (pirinač. do, l ).

Izrada dijagrama Q.

Hajde da napravimo parcelu M metoda karakteristične tačke. Postavljamo tačke na gredi - to su tačke početka i kraja grede ( D,A ), koncentrirani trenutak ( B ), a kao karakterističnu tačku zabilježite sredinu ravnomjerno raspoređenog opterećenja ( K ) je dodatna tačka za konstruisanje paraboličke krive.

Odredite momente savijanja u tačkama. Pravilo znakova cm. - .

Trenutak unutra IN biće definisan na sledeći način. Prvo da definišemo:

tačka TO hajde da uđemo srednji područje sa ravnomjerno raspoređenim opterećenjem.

Izrada dijagrama M . Parcela AB – parabolična kriva(pravilo "kišobrana"), zaplet BD – ravna kosa linija.

Za gredu, odredite reakcije oslonca i nacrtajte dijagrame momenta savijanja ( M) i posmične sile ( Q).

Mi odredimo podržava pisma ALI I IN i usmjeravaju reakcije podrške R A I R B .

Kompajliranje jednačine ravnoteže.

Ispitivanje

Zapišite vrijednosti R A I R B na shema proračuna.

2. Ucrtavanje poprečne sile metoda sekcije. Postavljamo sekcije karakteristična područja(između izmjena). Prema dimenzijskom navoju - 4 sekcije, 4 sekcije.

sec. 1-1 pokret lijevo.

Sekcija prolazi kroz sekciju sa ravnomerno raspoređeno opterećenje, obratite pažnju na veličinu z 1 lijevo od sekcije prije početka dionice. Dužina parcele 2 m. Pravilo znakova za Q - cm.

Gradimo na pronađenoj vrijednosti dijagramQ.

sec. 2-2 potez desno.

Odsjek opet prolazi kroz područje s ravnomjerno raspoređenim opterećenjem, obratite pažnju na veličinu z 2 desno od sekcije do početka sekcije. Dužina parcele 6 m.

Izrada dijagrama Q.

sec. 3-3 potez desno.

sec. 4-4 pomaknite se udesno.

Mi gradimo dijagramQ.

3. Izgradnja dijagrami M metoda karakteristične tačke.

karakteristična tačka- tačka, bilo koja primetna na gredi. Ovo su tačke ALI, IN, OD, D , kao i poenta TO , pri čemu Q=0 I moment savijanja ima ekstrem. takođe u srednji konzola stavlja dodatnu tačku E, budući da je u ovoj oblasti pod ravnomjerno raspoređenim opterećenjem dijagram M opisano krivo liniju, a izgrađena je, barem, prema 3 bodova.

Dakle, tačke su postavljene, nastavljamo da određujemo vrednosti u njima momenti savijanja. Pravilo znakova - vidi..

Parcele NA, AD – parabolična kriva(pravilo „kišobran“ za mašinske specijalitete ili „pravilo jedra“ za građevinarstvo), sekcije DC, SW – ravne kose linije.

Trenutak u trenutku D treba utvrditi i lijevo i desno sa tačke D . Sam trenutak u ovim izrazima Isključeno. U tački D dobijamo dva vrijednosti iz razlika po iznosu m – skok na svoju veličinu.

Sada treba da odredimo trenutak u toj tački TO (Q=0). Međutim, prvo definišemo pozicija tačke TO , označavajući udaljenost od njega do početka sekcije nepoznatom X .

T. TO pripada sekunda karakteristično područje, jednadžba sile smicanja(vidi gore)

Ali poprečna sila u t. TO je jednako sa 0 , ali z 2 jednako nepoznato X .

Dobijamo jednačinu:

Sada znam X, odrediti trenutak u tački TO na desnoj strani.

Izrada dijagrama M . Izgradnja je izvodljiva za mehanički specijalnosti, odgađajući pozitivne vrijednosti gore od nulte linije i koristeći "kišobran" pravilo.

Za datu shemu konzolne grede potrebno je nacrtati dijagrame poprečne sile Q i momenta savijanja M, izvršiti proračunski proračun odabirom kružnog presjeka.

Materijal - drvo, projektna otpornost materijala R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Postoje dva načina za izgradnju dijagrama u konzolnoj gredi sa krutim završetkom - uobičajeni, nakon što su prethodno određene reakcije oslonca, i bez određivanja reakcija oslonca, ako uzmemo u obzir presjeke, koji idu od slobodnog kraja grede i odbacuju lijevi dio sa prestankom. Napravimo dijagrame običan način.

1. Definirajte reakcije podrške.

Ravnomjerno raspoređeno opterećenje q zamijeniti uslovnu silu Q= q 0,84=6,72 kN

U krutom ugradnji postoje tri reakcije potpore - vertikalna, horizontalna i momentna, u našem slučaju horizontalna reakcija je 0.

Hajde da nađemo vertikalno reakcija podrške R A I referentni trenutak M A iz jednadžbi ravnoteže.

U prva dva dijela na desnoj strani nema poprečne sile. Na početku dionice sa ravnomjerno raspoređenim opterećenjem (desno) Q=0, pozadi - veličina reakcije R.A.
3. Za izgradnju, sastavit ćemo izraze za njihovu definiciju na sekcijama. Dijagram momenta crtamo na vlaknima, tj. dolje.

(zaplet pojedinačnih trenutaka je već izgrađen ranije)

Rješavamo jednačinu (1), smanjujemo za EI

Otkrivena statička neodređenost, nalazi se vrijednost "ekstra" reakcije. Možete početi crtati Q i M dijagrame za statički neodređenu gredu... Skiciramo datu shemu grede i naznačimo vrijednost reakcije Rb. U ovom snopu, reakcije u prekidu se ne mogu odrediti ako se ide udesno.

Zgrada parcele Q za statički neodređeni snop

Plot Q.

Ucrtavanje M

Definiramo M u tački ekstrema - u tački TO. Prvo, hajde da definišemo njegovu poziciju. Označavamo udaljenost do njega kao nepoznatu " X". Onda

Planiramo M.

Određivanje posmičnih napona u I-presjeku. Razmotrite odeljak I-beam. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Za određivanje posmičnog naprezanja koristi se formula, gdje je Q poprečna sila u presjeku, S x 0 je statički moment dijela poprečnog presjeka koji se nalazi na jednoj strani sloja u kojem se određuju posmični naponi, I x je moment inercije cijelog križa presjek, b je širina presjeka na mjestu gdje se određuje posmično naprezanje

Izračunaj maksimum napon smicanja:

Izračunajmo statički moment za gornja polica:

Sada izračunajmo posmična naprezanja:

Mi gradimo dijagram posmičnog naprezanja:

Projektovanje i verifikacioni proračuni. Za gredu sa konstruisanim dijagramima unutrašnjih sila, izaberite presjek u obliku dva kanala iz uvjeta čvrstoće za normalna naprezanja. Provjerite čvrstoću grede koristeći uvjet posmične čvrstoće i kriterij energetske čvrstoće. Dato:

Pokažimo gredu sa konstruisanim parcele Q i M

Prema dijagramu momenata savijanja, opasno je odjeljak C, u kojem M C \u003d M max = 48,3 kNm.

Stanje snage za normalna naprezanja jer ova greda ima oblik σ max \u003d M C / W X ≤σ adm. Potrebno je odabrati dio sa dva kanala.

Odredite potrebnu izračunatu vrijednost modul aksijalnog presjeka:

Za dio u obliku dva kanala, prema prihvatiti dva kanala №20a, moment inercije svakog kanala I x =1670cm 4, onda aksijalni moment otpora cijelog presjeka:

Prenapon (podnapon) na opasnim tačkama računamo po formuli: Onda dobijemo podnapon:

Sada provjerimo snagu zraka, na osnovu uslovi čvrstoće za posmična naprezanja. Prema dijagram posmičnih sila opasno su sekcije u sekciji BC i sekciji D. Kao što se vidi iz dijagrama, Q max \u003d 48,9 kN.

Uvjet čvrstoće za posmična naprezanja izgleda kao:

Za kanal br. 20 a: statički moment površine S x 1 = 95,9 cm 3, moment inercije presjeka I x 1 = 1670 cm 4, debljina zida d 1 = 5,2 mm, prosječna debljina police t 1 \u003d 9,7 mm, visina kanala h 1 = 20 cm, širina police b 1 = 8 cm.

Za poprečno sekcije dva kanala:

S x = 2S x 1 = 2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 = 2 1670 = 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 = 1,04 cm.

Određivanje vrijednosti maksimalno naprezanje smicanja:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 = 27 MPa.

kao što se vidi, τmax<τ adm (27MPa<75МПа).

shodno tome, uslov čvrstoće je ispunjen.

Čvrstoću snopa provjeravamo prema energetskom kriteriju.

Van obzira dijagrami Q i M sledi to dio C je opasan, u kojem M C =M max =48,3 kNm i Q C =Q max =48,9 kN.

Hajde da potrošimo analiza naponskog stanja u tačkama presjeka C

Hajde da definišemo normalna i posmična naprezanja na nekoliko nivoa (označeno na dijagramu presjeka)

Nivo 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normalno i tangentno voltaža:

Main voltaža:

Nivo 2-2: y 2-2 = h 1 / 2-t 1 = 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Glavni naponi:

Nivo 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 = 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Normalna i posmična naprezanja: