Dinamika relativnog kretanja. Dinamika sistema Opšte teoreme dinamike mehaničkog sistema

Teorijska mehanika je dio mehanike koji postavlja osnovne zakone mehaničkog kretanja i mehaničke interakcije materijalnih tijela.

Teorijska mehanika je nauka koja proučava kretanje tela tokom vremena (mehanička kretanja). Služi kao osnova za druge grane mehanike (teorija elastičnosti, čvrstoće materijala, teorija plastičnosti, teorija mehanizama i mašina, hidroaerodinamika) i mnoge tehničke discipline.

Mehanički pokret- ovo je promena tokom vremena u relativnom položaju materijalnih tela u prostoru.

Mehanička interakcija- ovo je interakcija uslijed koje se mijenja mehaničko kretanje ili se mijenja relativni položaj dijelova tijela.

Statika krutog tijela

Statika je dio teorijske mehanike koji se bavi problemima ravnoteže čvrstih tijela i transformacije jednog sistema sila u drugi, njemu ekvivalentan.

Osnovni pojmovi i zakoni statike

Apsolutno kruto tijelo(čvrsto tijelo, tijelo) je materijalno tijelo, rastojanje između bilo koje tačke u kojem se ne mijenja.
Materijalna tačka je tijelo čije se dimenzije, prema uslovima problema, mogu zanemariti.
Slobodno tijelo- ovo je tijelo na čije kretanje nisu nametnuta ograničenja.
Neslobodno (vezano) tijelo je tijelo čije je kretanje podložno ograničenjima.
Veze– to su tijela koja sprečavaju kretanje predmetnog objekta (tijela ili sistema tijela).
Komunikacijska reakcija je sila koja karakterizira djelovanje veze na čvrsto tijelo. Ako silu kojom čvrsto tijelo djeluje na vezu smatramo djelovanjem, onda je reakcija veze reakcija. U ovom slučaju, sila - djelovanje se primjenjuje na vezu, a reakcija veze primjenjuje se na čvrsto tijelo.
Mehanički sistem je skup međusobno povezanih tijela ili materijalnih tačaka.
Solid se može posmatrati kao mehanički sistem čiji se položaji i rastojanja između tačaka ne menjaju.
Force je vektorska veličina koja karakterizira mehaničko djelovanje jednog materijalnog tijela na drugo.
Silu kao vektor karakterizira tačka primjene, smjer djelovanja i apsolutna vrijednost. Jedinica modula sile je Njutn.
Linija djelovanja sile je prava linija duž koje je usmjeren vektor sile.
Fokusirana snaga– sila primijenjena u jednoj tački.
Raspodijeljene sile (distribuirano opterećenje)- to su sile koje djeluju na sve tačke volumena, površine ili dužine tijela.
Distribuirano opterećenje je određeno silom koja djeluje po jedinici volumena (površine, dužine).
Dimenzija raspoređenog opterećenja je N/m 3 (N/m 2, N/m).
Spoljna sila je sila koja djeluje iz tijela koje ne pripada mehaničkom sistemu koji se razmatra.
Unutrašnja snaga je sila koja djeluje na materijalnu tačku mehaničkog sistema iz druge materijalne tačke koja pripada sistemu koji se razmatra.
Sistem sile je skup sila koje djeluju na mehanički sistem.
Ravni sistem sile je sistem sila čije linije djelovanja leže u istoj ravni.
Prostorni sistem snaga je sistem sila čije linije djelovanja ne leže u istoj ravni.
Sistem konvergirajućih sila je sistem sila čije se linije djelovanja seku u jednoj tački.
Proizvoljni sistem sila je sistem sila čije se linije djelovanja ne seku u jednoj tački.
Sistemi ekvivalentnih sila- to su sistemi sila čija zamjena jedne drugima ne mijenja mehaničko stanje tijela.
Prihvaćena oznaka: .
Equilibrium- ovo je stanje u kojem tijelo pod djelovanjem sila ostaje nepomično ili se kreće ravnomjerno pravolinijski.
Uravnotežen sistem snaga- ovo je sistem sila koji, kada se primijeni na slobodno čvrsto tijelo, ne mijenja njegovo mehaničko stanje (ne izbacuje ga iz ravnoteže).
.
Rezultirajuća sila je sila čije je djelovanje na tijelo ekvivalentno djelovanju sistema sila.
.
Trenutak snage je veličina koja karakteriše rotirajuću sposobnost sile.
Par sila je sistem dvije paralelne sile jednake veličine i suprotno usmjerene.
Prihvaćena oznaka: .
Pod uticajem para sila, telo će izvršiti rotacioni pokret.
Projekcija sile na osu- ovo je segment zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu os.
Projekcija je pozitivna ako se smjer segmenta poklapa s pozitivnim smjerom ose.
Projekcija sile na ravan je vektor na ravni, zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu ravan.
Zakon 1 (zakon inercije). Izolovana materijalna tačka miruje ili se kreće jednoliko i pravolinijski.
Ujednačeno i pravolinijsko kretanje materijalne tačke je kretanje po inerciji. Stanje ravnoteže materijalne tačke i krutog tela ne shvata se samo kao stanje mirovanja, već i kao kretanje po inerciji. Za kruto tijelo postoje različite vrste kretanja po inerciji, na primjer, ravnomjerna rotacija krutog tijela oko fiksne ose.
Zakon 2. Kruto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dviju sila samo ako su te sile jednake po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž zajedničke linije djelovanja.
Ove dvije sile se nazivaju balansiranjem.
Općenito, sile se nazivaju uravnoteženim ako čvrsto tijelo na koje se te sile primjenjuju miruje.
Zakon 3. Bez narušavanja stanja (reč „stanje“ ovde označava stanje kretanja ili mirovanja) krutog tela, može se dodati i odbaciti balansne sile.
Posljedica. Bez narušavanja stanja čvrstog tijela, sila se može prenijeti duž njegove linije djelovanja na bilo koju tačku tijela.
Dva sistema sila nazivaju se ekvivalentnima ako se jedan od njih može zamijeniti drugim bez narušavanja stanja čvrstog tijela.
Zakon 4. Rezultanta dvije sile primijenjene u jednoj tački, primijenjene u istoj tački, jednaka je po veličini dijagonali paralelograma konstruiranog na tim silama i usmjerena je duž ove
dijagonale.
Apsolutna vrijednost rezultante je:
Zakon 5 (zakon jednakosti akcije i reakcije). Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž iste prave linije.
Treba to imati na umu akcija- sila primijenjena na tijelo B, And opozicija- sila primijenjena na tijelo A, nisu izbalansirani, jer se primjenjuju na različita tijela.
Zakon 6 (zakon očvršćavanja). Ravnoteža nečvrstog tijela se ne narušava kada se očvrsne.
Ne treba zaboraviti da su uslovi ravnoteže, koji su neophodni i dovoljni za čvrsto telo, neophodni, ali nedovoljni za odgovarajuće nečvrsto telo.
Zakon 7 (zakon emancipacije od veza). Neslobodno čvrsto tijelo može se smatrati slobodnim ako je mentalno oslobođeno veza, zamjenjujući djelovanje veza odgovarajućim reakcijama veza.

Veze i njihove reakcije

Glatka površina ograničava kretanje normalno na površinu potpore. Reakcija je usmjerena okomito na površinu.
Zglobni pokretni oslonac ograničava kretanje tijela normalno na referentnu ravan. Reakcija je usmjerena normalno na površinu potpore.
Zglobni fiksni oslonac suprotstavlja se svakom kretanju u ravni okomitoj na os rotacije.
Zglobni bestežinski štap sprečava kretanje tijela duž linije štapa. Reakcija će biti usmjerena duž linije štapa.
Slijepi pečat sprečava svako kretanje i rotaciju u ravnini. Njegovo djelovanje može se zamijeniti silom predstavljenom u obliku dvije komponente i parom sila s momentom.

Kinematika

Kinematika- dio teorijske mehanike koji ispituje opća geometrijska svojstva mehaničkog kretanja kao procesa koji se odvija u prostoru i vremenu. Pokretni objekti se smatraju geometrijskim tačkama ili geometrijskim tijelima.

Osnovni pojmovi kinematike

Zakon o kretanju tačke (tela)– ovo je zavisnost položaja tačke (tijela) u prostoru od vremena.
Putanja tačke– ovo je geometrijski položaj tačke u prostoru tokom njenog kretanja.
Brzina tačke (tijela)– ovo je karakteristika promjene u vremenu položaja tačke (tijela) u prostoru.
Ubrzanje tačke (tijela)– ovo je karakteristika promjene u vremenu brzine tačke (tijela).

Određivanje kinematičkih karakteristika tačke

Putanja tačke
U vektorskom referentnom sistemu, putanja se opisuje izrazom: .
U koordinatnom referentnom sistemu, putanja je određena zakonom kretanja tačke i opisana je izrazima z = f(x,y)- u svemiru, ili y = f(x)- u avionu.
U prirodnom referentnom sistemu, putanja je unaprijed specificirana.
Određivanje brzine tačke u vektorskom koordinatnom sistemu
Kada se specificira kretanje tačke u vektorskom koordinatnom sistemu, omjer kretanja i vremenskog intervala naziva se prosječna vrijednost brzine u ovom vremenskom intervalu: .
Uzimajući vremenski interval kao beskonačno malu vrijednost, dobijamo vrijednost brzine u datom trenutku (trenutna vrijednost brzine): .
Vektor prosječne brzine usmjeren je duž vektora u smjeru kretanja točke, a vektor trenutne brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke.
zaključak: brzina tačke je vektorska veličina jednaka vremenskom izvodu zakona kretanja.
Svojstvo derivata: derivacija bilo koje veličine u odnosu na vrijeme određuje brzinu promjene ove veličine.
Određivanje brzine tačke u koordinatnom referentnom sistemu
Brzina promjene koordinata tačke:
.
Modul ukupne brzine tačke sa pravougaonim koordinatnim sistemom biće jednak:
.
Smjer vektora brzine određen je kosinusima uglova smjera:
,
gdje su uglovi između vektora brzine i koordinatnih osa.
Određivanje brzine tačke u prirodnom referentnom sistemu
Brzina tačke u prirodnom referentnom sistemu definisana je kao derivacija zakona kretanja tačke: .
Prema prethodnim zaključcima, vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke i u osi je određen samo jednom projekcijom.

Kinematika krutog tijela

U kinematici krutih tijela rješavaju se dva glavna problema:
1) postavljanje kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika tela u celini;
2) određivanje kinematičkih karakteristika tačaka tela.
Translacijsko kretanje krutog tijela
Translacijsko kretanje je kretanje u kojem prava linija povučena kroz dvije točke tijela ostaje paralelna svom prvobitnom položaju.
Teorema: za vrijeme translacijskog kretanja, sve točke tijela kreću se po identičnim putanjama i u svakom trenutku imaju istu veličinu i smjer brzine i ubrzanja.
zaključak: translacijsko gibanje krutog tijela određeno je kretanjem bilo koje njegove tačke, pa se stoga zadatak i proučavanje njegovog kretanja svodi na kinematiku tačke.
Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose
Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose je kretanje krutog tijela u kojem dvije tačke koje pripadaju tijelu ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja.
Položaj tijela je određen uglom rotacije. Mjerna jedinica za ugao je radijan. (Radijan je središnji ugao kruga čija je dužina luka jednaka poluprečniku; ukupni ugao kružnice sadrži 2π radijan.)
Zakon rotacionog kretanja tijela oko fiksne ose.
Ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje tijela određujemo metodom diferencijacije:
— ugaona brzina, rad/s;
— ugaono ubrzanje, rad/s².
Ako secirate tijelo ravninom okomitom na os, odaberite tačku na osi rotacije WITH i proizvoljna tačka M, zatim pokažite Mće opisati oko tačke WITH radijus kruga R. Tokom dt postoji elementarna rotacija kroz ugao , i tačka M kretat će se duž putanje na udaljenosti .
Modul linearne brzine:
.
Ubrzanje tačke M sa poznatom putanjom, određen je njegovim komponentama:
,
Gdje .
Kao rezultat, dobijamo formule
tangencijalno ubrzanje: ;
normalno ubrzanje: .

Dynamics

Dynamics je dio teorijske mehanike u kojem se proučavaju mehanička kretanja materijalnih tijela ovisno o uzrocima koji ih uzrokuju.

Osnovni pojmovi dinamike

Inercija- ovo je svojstvo materijalnih tijela da održavaju stanje mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja sve dok vanjske sile ne promijene ovo stanje.
Težina je kvantitativna mjera inercije tijela. Jedinica mase je kilogram (kg).
Materijalna tačka- ovo je tijelo sa masom, čije se dimenzije zanemaruju pri rješavanju ovog problema.
Centar mase mehaničkog sistema- geometrijska tačka čije su koordinate određene formulama:

Gdje m k , x k , y k , z k— masa i koordinate k- ta tačka mehaničkog sistema, m— masa sistema.
U jednoličnom polju gravitacije, položaj centra mase se poklapa sa položajem težišta.
Moment inercije materijalnog tijela u odnosu na osu je kvantitativna mjera inercije tokom rotacionog kretanja.
Moment inercije materijalne tačke u odnosu na osu jednak je umnošku mase tačke na kvadrat udaljenosti tačke od ose:
.
Moment inercije sistema (tijela) u odnosu na osu jednak je aritmetičkom zbiru momenata inercije svih tačaka:
Sila inercije materijalne tačke je vektorska veličina jednaka po modulu proizvodu mase tačke i modula ubrzanja i usmjerena suprotno od vektora ubrzanja:
Sila inercije materijalnog tijela je vektorska veličina jednaka po modulu proizvodu mase tijela i modula ubrzanja centra mase tijela i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja centra mase: ,
gdje je ubrzanje centra mase tijela.
Elementarni impuls sile je vektorska veličina jednaka proizvodu vektora sile i beskonačno malog vremenskog perioda dt:
.
Ukupni impuls sile za Δt jednak je integralu elementarnih impulsa:
.
Elementarni rad sile je skalarna veličina dA, jednako skalarnom proi

Teorema o kretanju centra masa. Diferencijalne jednačine kretanja mehaničkog sistema. Teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema. Zakon održanja kretanja centra masa.

Teorema o promjeni impulsa. Količina kretanja materijalne tačke. Elementarni impuls sile. Impuls sile za konačan vremenski period i njegova projekcija na koordinatne ose. Teorema o promjeni impulsa materijalne tačke u diferencijalnim i konačnim oblicima.

Količina kretanja mehaničkog sistema; njegov izraz kroz masu sistema i brzinu njegovog centra mase. Teorema o promjeni impulsa mehaničkog sistema u diferencijalnim i konačnim oblicima. Zakon održanja impulsa mehaničke

(Koncept tijela i tačke promjenjive mase. Jednačina Meščerskog. Formula Ciolkovskog.)

Teorema o promjeni ugaonog momenta. Moment impulsa materijalne tačke u odnosu na centar i u odnosu na osu. Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke. Centralna snaga. Očuvanje ugaonog momenta materijalne tačke u slučaju centralne sile. (Koncept sektorske brzine. Zakon površina.)

Glavni moment impulsa ili kinetički moment mehaničkog sistema u odnosu na centar i u odnosu na osu. Kinetički moment rotacionog krutog tijela oko ose rotacije. Teorema o promjeni kinetičkog momenta mehaničkog sistema. Zakon održanja ugaonog momenta mehaničkog sistema. (Teorema o promjeni ugaonog momenta mehaničkog sistema u relativnom kretanju u odnosu na centar mase.)

Teorema o promjeni kinetičke energije. Kinetička energija materijalne tačke. Elementarni rad sile; analitički izraz elementarnog rada. Rad sile na konačnom pomaku tačke njene primjene. Rad gravitacije, sile elastičnosti i sile gravitacije. Teorema o promjeni kinetičke energije materijalne točke u diferencijalnim i konačnim oblicima.

Kinetička energija mehaničkog sistema. Formule za izračunavanje kinetičke energije krutog tijela za vrijeme translacijskog kretanja, tijekom rotacije oko fiksne ose i u općenitom slučaju kretanja (posebno za vrijeme ravnoparalelnog kretanja). Teorema o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema u diferencijalnim i konačnim oblicima. Zbir rada unutrašnjih sila u čvrstom tijelu jednak je nuli. Rad i snaga sila koje se primjenjuju na kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose.

Koncept polja sile. Potencijalno polje sila i funkcija sile. Izraz projekcija sile kroz funkciju sile. Površine jednakog potencijala. Rad sile na konačnom pomaku tačke u potencijalnom polju sila. Potencijalna energija. Primjeri polja potencijalnih sila: jednolično gravitacijsko polje i gravitacijsko polje. Zakon održanja mehaničke energije.

Dinamika krutog tijela. Diferencijalne jednadžbe translacijskog kretanja krutog tijela. Diferencijalna jednadžba za rotaciju krutog tijela oko fiksne ose. Fizičko klatno. Diferencijalne jednadžbe ravnog kretanja krutog tijela.

D'Alambertov princip. D'Alembertov princip za materijalnu tačku; inercijalna sila. D'Alembertov princip za mehanički sistem. Dovođenje sila inercije tačaka krutog tijela u centar; glavni vektor i glavni moment inercijskih sila.

(Određivanje dinamičkih reakcija ležajeva pri rotaciji krutog tijela oko fiksne ose. Slučaj kada je osa rotacije glavna centralna os inercije tijela.)

Princip mogućih kretanja i opšta jednačina dinamike. Veze nametnute mehaničkom sistemu. Moguća (ili virtuelna) kretanja materijalne tačke i mehaničkog sistema. Broj stepeni slobode sistema. Idealne veze. Princip mogućih pokreta. Opća jednadžba dinamike.

Jednačine kretanja sistema u generalizovanim koordinatama (Lagrangeove jednačine). Generalizirane koordinate sistema; generalizovane brzine. Izražavanje elementarnog rada u generaliziranim koordinatama. Generalizovane sile i njihov proračun; slučaj sila sa potencijalom. Uslovi za ravnotežu sistema u generalizovanim koordinatama. Diferencijalne jednačine kretanja sistema u generalizovanim koordinatama ili Lagranževe jednačine 2. vrste. Lagrangeove jednadžbe u slučaju potencijalnih sila; Lagrangeova funkcija (kinetički potencijal).

Koncept stabilnosti ravnoteže. Male slobodne vibracije mehaničkog sistema sa jednim stepenom slobode u blizini položaja stabilne ravnoteže sistema i njihova svojstva.

Elementi teorije udara. Fenomen uticaja. Udarna sila i udarni impuls. Djelovanje udarne sile na materijalnu tačku. Teorema o promjeni impulsa mehaničkog sistema pri udaru. Direktan centralni udar tijela na stacionarnu površinu; elastični i neelastični udari. Koeficijent povrata udarca i njegovo eksperimentalno određivanje. Direktan centralni udar dva tijela. Carnotova teorema.

BIBLIOGRAFIJA

Basic

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Kurs teorijske mehanike. T. 1, 2. M., 1985. i prethodna izdanja.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurs teorijske mehanike. M., 1983.

Staržinski V. M. Teorijska mehanika. M., 1980.

Targ S. M. Kratki kurs teorijske mehanike. M., 1986. i prethodna izdanja.

Yablonski A. A., Nikiforova V. M. Kurs teorijske mehanike. Dio 1. M., 1984. i prethodna izdanja.

Yablonsky A. A. Kurs teorijske mehanike. Dio 2. M., 1984. i prethodna izdanja.

Meshchersky I. V. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike. M., 1986. i prethodna izdanja.

Zbirka zadataka iz teorijske mehanike/Ur. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Dodatno

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Teorijska mehanika u primjerima i problemima. Dijelovi 1, 2. M., 1984. i prethodna izdanja.

Zbirka zadataka iz teorijske mehanike/5razhnichen/so N. A., Kan V. L., Mintzberg B. L. i dr. M., 1987.

Novožilov I. V., Zatsepin M. F. Tipični računarski proračuni u teorijskoj mehanici. M., 1986,

Zbirka zadataka za nastavni rad iz teorijske mehanike / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985. i prethodna izdanja (sadrži primjere rješavanja problema).

Upotreba zdravstvenog osiguranja u rješavanju problema povezana je sa određenim poteškoćama. Stoga se obično uspostavljaju dodatni odnosi između karakteristika kretanja i sila koje su pogodnije za praktičnu primjenu. Takvi odnosi jesu opšte teoreme dinamike. One, kao posljedice OMS-a, uspostavljaju odnose između brzine promjene nekih posebno uvedenih mjera kretanja i karakteristika vanjskih sila.

Teorema o promjeni impulsa. Hajde da uvedemo koncept vektora momenta (R. Descartes) materijalne tačke (slika 3.4):

I i = t V G (3.9)

Rice. 3.4.

Za sistem uvodimo koncept glavni vektor impulsa sistema kao geometrijski zbir:

Q = Y, m " V r

U skladu sa OZMS: Xu, -^=i) ili X

R (E) .

Uzimajući u obzir da je /w, = const dobijamo: -Ym,!" = R (E) ,

ili u konačnom obliku

dO/di = A (E (3.11)

one. prvi izvod u odnosu na vrijeme glavnog vektora impulsa sistema jednak je glavnom vektoru vanjskih sila.

Teorema o kretanju centra masa. Centar mase sistema naziva se geometrijska tačka čiji položaj zavisi T, itd. iz raspodele masa /g/, u sistemu i određen je izrazom za vektor radijusa centra mase (slika 3.5):

Gdje g s - radijus vektor centra mase.

Rice. 3.5.

Pozovimo = t sa masom sistema. Nakon množenja izraza

primjenom (3.12) na nazivnik i razlikovanjem obje strane rezultirajućeg

imaćemo vrijednu jednakost: g s t s = ^t.U. = 0, ili 0 = t s U s.

Dakle, glavni vektor momenta sistema jednak je proizvodu mase sistema i brzine centra mase. Koristeći teoremu o promjeni impulsa (3.11), dobijamo:

t s dU s / dí = A (E) , ili

Formula (3.13) izražava teoremu o kretanju centra mase: centar mase sistema se kreće kao materijalna tačka koja ima masu sistema na koju deluje glavni vektor spoljnih sila.

Teorema o promjeni ugaonog momenta. Hajde da uvedemo koncept ugaone količine gibanja materijalne tačke kao vektorskog proizvoda njenog radijus vektora i količine gibanja:

to oh = bl X to, (3.14)

Gdje za OI - ugaoni moment materijalne tačke u odnosu na fiksnu tačku O(Sl. 3.6).

Sada definišemo ugaoni moment mehaničkog sistema kao geometrijski zbir:

K() = X ko, = ŠU, ? O-15>

Diferencirajući (3.15), dobijamo:

Ґ sec--- X t i U. + g u X t i

S obzirom na to = U G U i X t i u i= 0, i formule (3.2), dobijamo:

síK a /s1í̈ - í̈ 0 .

Na osnovu drugog izraza u (3.6), konačno ćemo imati teoremu o promjeni ugaonog momenta sistema:

Prvi vremenski izvod momenta količine kretanja mehaničkog sistema u odnosu na fiksni centar O jednak je glavnom momentu vanjskih sila koje djeluju na ovaj sistem u odnosu na isti centar.

Prilikom izvođenja relacije (3.16) pretpostavljeno je da O- fiksna tačka. Međutim, može se pokazati da se u nizu drugih slučajeva oblik relacije (3.16) neće promijeniti, posebno ako se pri kretanju u ravnini odabere trenutna tačka u centru mase, trenutnom centru brzina ili ubrzanja. Osim toga, ako je poenta O koincidira sa pokretnom materijalnom tačkom, jednakost (3.16) zapisana za ovu tačku će se pretvoriti u identitet 0 = 0.

Teorema o promjeni kinetičke energije. Kada se mehanički sistem kreće, mijenjaju se i "vanjska" i unutrašnja energija sistema. Ako karakteristike unutrašnjih sila, glavnog vektora i glavnog momenta, ne utiču na promjenu glavnog vektora i glavnog momenta broja ubrzanja, tada unutrašnje sile se mogu uključiti u procjenu procesa energetskog stanja sistema. Stoga je prilikom razmatranja promjena u energiji sistema potrebno uzeti u obzir kretanja pojedinih tačaka, na koje se primjenjuju i unutrašnje sile.

Kinetička energija materijalne tačke je definisana kao količina

T^tuTsg. (3.17)

Kinetička energija mehaničkog sistema jednaka je zbiru kinetičkih energija materijalnih tačaka sistema:

primeti, to T > 0.

Definirajmo snagu sile kao skalarni proizvod vektora sile i vektora brzine:

Diferencijalne jednačine kretanja sistema.

Primjenjujemo drugi (osnovni) zakon dinamike, dobijamo

Dobijamo sličan tip jednačine za bilo koju tačku u sistemu, tj. ukupno za sistem koji se razmatra biće n takvih jednačina (k= 1, 2….n). Ovaj sistem jednačina je diferencijalne jednadžbe kretanja mehaničkog sistema u vektorskom obliku.

Projektovanjem jednakosti (2) na neke koordinatne ose dobijamo sistem diferencijalnih jednačina kretanja sistema u projekcijama na te ose.

Kao rezultat integracije sistema diferencijalnih jednačina (što je veoma teško), dobijamo zakone kretanja svake tačke sistema. Mnogo je zgodnije odrediti neke zbirne karakteristike kretanja cijelog sistema u cjelini i iz njih, ako je potrebno, pronaći odgovarajuće parametre kretanja pojedinih tačaka sistema.

Takve karakteristike su mjere kretanja sistema: impuls, ugaoni moment, kinetička energija.

Štaviše, svaka od ovih mjera za sistem je definirana kao zbir odgovarajućih mjera kretanja svih njegovih tačaka.

Shodno tome, uticaji na sistem se razmatraju ukupno (glavni vektor i glavni moment sila koje se primenjuju na sistem, količina rada itd.).

Odnos između mjera kretanja sistema i mjera uticaja na njega izražava se pomoću opšte teoreme sistemi materijalnih tačaka.

Opće teoreme dinamike sistema su posljedice sistema jednačina (2).

2) Masa sistema. Centar mase

Mehanički sistem je sistem materijalnih tačaka, od kojih svaka ima određenu masu i zauzima određenu poziciju u prostoru u datom trenutku vremena.

Radi praktičnosti rješavanja problema dinamike mehaničkih sistema, poželjno je imati neke generalizovane (tj. ukupne) karakteristike koje bi odražavale i masu sistema i njegovu „geometriju mase“, tj. lokacija u prostoru materijalnih tačaka sistema.

Masa sistema M jednaka je aritmetičkom zbiru masa svih tačaka ili tela koja čine sistem:

Centar mase mehaničkog sistema je geometrijska tačka C, čiji je poluprečnik vektor

gdje je radijus vektor tačaka koje formiraju sistem.

Mase tačaka mehaničkog sistema

M je masa sistema.

Centar mase sistema nije materijalna tačka, već geometrijska. Možda se ne podudara ni sa jednom materijalnom tačkom sistema. Centar mase sistema karakteriše raspodelu masa u sistemu.

Teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema.

Teorema: Centar mase sistema se kreće kao materijalna tačka čija je masa jednaka masi čitavog sistema i na koju se primenjuju sve spoljne sile koje deluju na sistem.

Gdje je ubrzanje centra mase.

Glavni vektor vanjskih sila.

Projektovanjem obe strane jednačine na koordinatne ose, dobijamo:

gdje su ,, koordinate centra mase.

Iz teoreme o kretanju centra mase mogu se dobiti sljedeće važne posljedice koje izražavaju zakon održanja centra mase mehaničkog sistema.

Ako je geometrijski sistem svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak 0 (), to znači da ili, tj. centar mase ovog sistema kreće se brzinom konstantnom po veličini i pravcu (drugim rečima, ravnomerno i pravolinijsko). U određenom slučaju, ako je prvo središte mase mirovalo () onda će ostati u mirovanju, tj. ().

Ako su vanjske sile koje djeluju na sistem takve da je zbir njihovih projekcija na neku osu (na primjer, os X jednaka 0, odnosno projekcija brzine centra mase sistema na ovu osu je konstantna vrijednost.U konkretnom slučaju, ako u početnom trenutku, onda će u svakom narednom trenutku ta vrijednost ostati ista, pa se stoga koordinata centra mase sistema neće mijenjati, tj. = konst.

Teoreme o promjeni impulsa tačke i sistema

Definicija: količina kretanja materijalne tačke je vektorska veličina jednaka proizvodu mase tačke i njenog vektora brzine. Vektor se primjenjuje na pokretnu tačku.

Definicija: Količina kretanja mehaničkog sistema je vektor jednak geometrijskom zbiru količina kretanja svih tačaka sistema.

Vektor je slobodan vektor. Po pravilu su brzine svih tačaka sistema različite i stoga je direktno sabiranje vektora na desnoj strani jednakosti teško.

Koristimo formulu da odredimo centar mase mehaničkog sistema (1)

Ili možemo to napisati u formularu

Razlikovanjem oba dela izraza s obzirom na vreme dobijamo:

Upoređujući formule (4) i (5), nalazimo da je količina kretanja sistema jednaka proizvodu mase cijelog sistema i brzine njegovog centra mase.

Vektor je generalizovani vektor karakterističan za kretanje čitavog mehaničkog sistema. Uopšteno govoreći, kretanje sistema, njegov zamah se može smatrati karakteristikama translacionog dela kretanja sistema zajedno sa centrom mase. Ako, kada se sistem (tijelo) kreće, centar mase miruje, tada će količina kretanja biti jednaka 0. Na primjer, količina kretanja tijela koje rotira oko fiksne ose koja prolazi kroz njegovo središte mase.

Zapišimo drugi zakon dinamike za materijalnu tačku: uzimajući u obzir da dobijamo (7)

U svakom trenutku vremena, vremenski izvod impulsa tačke jednak je sili koja djeluje na tačku.

Ako se obje strane jednakosti (7) pomnože sa dt, tada dobivamo vektorsku količinu na desnoj strani ove jednakosti koja karakterizira djelovanje sile na tijelo u elementarnom vremenskom periodu dt ova veličina se naziva elementarni impuls sile, tj.

Opće teoreme dinamike- ovo je teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema, teorema o promjeni količine gibanja, teorema o promjeni glavnog ugaonog momenta (kinetičkog momenta) i teorema o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema.

Teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema

Teorema o kretanju centra masa.
Proizvod mase sistema i ubrzanja njegovog centra mase jednak je vektorskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem:
.

Ovdje je M masa sistema:
;
a C je ubrzanje centra mase sistema:
;
v C - brzina centra mase sistema:
;
r C - radijus vektor (koordinate) centra mase sistema:
;
- koordinate (u odnosu na fiksni centar) i mase tačaka koje čine sistem.

Teorema o promjeni impulsa (momenta)

Količina kretanja (impulsa) sistema jednak je proizvodu mase čitavog sistema brzinom njegovog centra mase ili zbirom impulsa (zbir impulsa) pojedinih tačaka ili delova koji čine sistem:
.

Teorema o promjeni impulsa u diferencijalnom obliku.
Vremenski izvod količine kretanja (momenta) sistema jednak je vektorskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem:
.

Teorema o promjeni impulsa u integralnom obliku.
Promjena impulsa (impulsa) sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa vanjskih sila u istom vremenskom periodu:
.

Zakon održanja količine gibanja (momenta).
Ako je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli, tada će vektor zamaha sistema biti konstantan. Odnosno, sve njegove projekcije na koordinatne ose održavat će konstantne vrijednosti.

Ako je zbir projekcija vanjskih sila na bilo koju osu nula, tada će projekcija količine kretanja sistema na ovu osu biti konstantna.

Teorema o promjeni glavnog ugaonog momenta (teorema o momentima)

Glavni ugaoni moment sistema u odnosu na dati centar O je veličina jednaka vektorskom zbroju ugaonog momenta svih tačaka sistema u odnosu na ovaj centar:
.
Ovdje uglaste zagrade označavaju unakrsni proizvod.

Priključeni sistemi

Sljedeća teorema se primjenjuje na slučaj kada mehanički sistem ima fiksnu tačku ili osu koja je fiksirana u odnosu na inercijalni referentni okvir. Na primjer, tijelo osigurano sfernim ležajem. Ili sistem tijela koji se kreće oko fiksnog centra. Takođe može biti fiksna osa oko koje se rotira tijelo ili sistem tijela. U ovom slučaju, momente treba shvatiti kao momente impulsa i sila u odnosu na fiksnu osu.

Teorema o promjeni glavnog ugaonog momenta (teorema o momentima)
Vremenski izvod glavnog ugaonog momenta sistema u odnosu na neki fiksni centar O jednak je zbiru momenata svih spoljnih sila sistema u odnosu na isti centar.

Zakon održanja glavnog ugaonog momenta (kutnog momenta).
Ako je zbir momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sistem u odnosu na dati fiksni centar O jednak nuli, tada će glavni ugaoni moment sistema u odnosu na ovaj centar biti konstantan. Odnosno, sve njegove projekcije na koordinatne ose održavat će konstantne vrijednosti.

Ako je zbir momenata vanjskih sila u odnosu na neku fiksnu osu jednak nuli, tada će ugaoni moment sistema u odnosu na ovu osu biti konstantan.

Proizvoljni sistemi

Sljedeća teorema ima univerzalni karakter. Primjenjuje se i na fiksne i na slobodno pokretne sisteme. U slučaju fiksnih sistema, potrebno je uzeti u obzir reakcije veza na fiksnim tačkama. Razlikuje se od prethodne teoreme po tome što umjesto fiksne tačke O treba uzeti centar mase C sistema.

Teorema momenata o centru masa
Vremenski izvod glavnog ugaonog momenta sistema u odnosu na centar mase C jednak je zbiru momenata svih spoljnih sila sistema u odnosu na isti centar.

Zakon održanja ugaonog momenta.
Ako je zbir momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sistem u odnosu na centar mase C jednak nuli, tada će glavni moment količine kretanja sistema u odnosu na ovaj centar biti konstantan. Odnosno, sve njegove projekcije na koordinatne ose održavat će konstantne vrijednosti.

Moment inercije tijela

Ako se tijelo rotira oko z ose sa ugaonom brzinom ω z, tada se njegov ugaoni moment (kinetički moment) u odnosu na osu z određuje formulom:
L z = J z ω z ,
gdje je J z moment inercije tijela u odnosu na osu z.

Moment inercije tijela u odnosu na osu z određena formulom:
,
gdje je h k udaljenost od tačke mase m k do ose z.
Za tanak prsten mase M i poluprečnika R, ili cilindar čija je masa raspoređena duž njegovog ruba,
J z = M R 2 .
Za čvrsti homogeni prsten ili cilindar,
.

Steiner-Huygensova teorema.
Neka je Cz osa koja prolazi kroz centar mase tijela, a Oz osa paralelna s njim. Tada su momenti inercije tijela u odnosu na ove ose povezani relacijom:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
gdje je M tjelesna težina; a je rastojanje između osa.

U opštijem slučaju:
,
gdje je tenzor inercije tijela.
Ovdje je vektor povučen iz centra mase tijela do tačke mase m k.

Teorema o promjeni kinetičke energije

Neka tijelo mase M vrši translacijsko i rotacijsko kretanje ugaonom brzinom ω oko neke ose z. Tada se kinetička energija tijela određuje formulom:
,
gdje je v C brzina kretanja centra mase tijela;
J Cz je moment inercije tijela u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase tijela paralelno s osom rotacije. Smjer ose rotacije se može promijeniti tokom vremena. Ova formula daje trenutnu vrijednost kinetičke energije.

Teorema o promjeni kinetičke energije sistema u diferencijalnom obliku.
Diferencijal (prirast) kinetičke energije sistema tokom nekog kretanja jednak je zbiru diferencijala rada na ovom kretanju svih spoljašnjih i unutrašnjih sila primenjenih na sistem:
.

Teorema o promjeni kinetičke energije sistema u integralnom obliku.
Promjena kinetičke energije sistema pri nekom kretanju jednaka je zbiru rada na ovom kretanju svih vanjskih i unutrašnjih sila primijenjenih na sistem:
.

Posao koji je izvršila sila, jednak je skalarnom proizvodu vektora sila i beskonačno malog pomaka točke njegove primjene:
,
odnosno proizvod apsolutnih vrijednosti vektora F i ds kosinusom ugla između njih.

Rad obavljen u momentu sile, jednak je skalarnom proizvodu vektora momenta i beskonačno malog ugla rotacije:
.

d'Alambertov princip

Suština d'Alamberovog principa je da se problemi dinamike svedu na probleme statike. Da bismo to učinili, pretpostavlja se (ili je unaprijed poznato) da tijela sistema imaju određena (ugaona) ubrzanja. Zatim se uvode inercijalne sile i (ili) momenti inercijskih sila, koji su po veličini jednaki i suprotni po smjeru silama i momentima sila koje bi, prema zakonima mehanike, stvorile zadana ubrzanja ili kutna ubrzanja.

Pogledajmo primjer. Tijelo je podvrgnuto translacijskom kretanju i na njega djeluju vanjske sile. Nadalje pretpostavljamo da ove sile stvaraju ubrzanje centra mase sistema. Prema teoremi o kretanju centra mase, centar mase tijela imao bi isto ubrzanje da na tijelo djeluje sila. Zatim uvodimo silu inercije:
.
Nakon ovoga, problem dinamike:
.
;
.

Za rotacijsko kretanje postupite na isti način. Neka tijelo rotira oko z ose i na njega djeluju vanjski momenti sile M e zk . Pretpostavljamo da ovi momenti stvaraju ugaono ubrzanje ε z. Zatim uvodimo moment sile inercije M I = - J z ε z. Nakon ovoga, problem dinamike:
.
Pretvara se u problem statike:
;
.

Princip mogućih pokreta

Za rješavanje statičkih problema koristi se princip mogućih pomaka. U nekim problemima daje kraće rješenje od sastavljanja jednadžbi ravnoteže. Ovo posebno važi za sisteme sa vezama (na primer, sisteme tela povezanih nitima i blokovima) koji se sastoje od mnogo tela

Princip mogućih pokreta.
Za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim vezama potrebno je i dovoljno da zbir elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega deluju za svako moguće kretanje sistema bude jednak nuli.

Moguće preseljenje sistema- ovo je mali pokret u kojem se ne prekidaju veze nametnute sistemu.

Idealne veze- to su veze koje ne rade kada se sistem kreće. Preciznije, količina posla koju obavljaju same veze pri pomicanju sistema je nula.

Opća jednadžba dinamike (D'Alembert - Lagrangeov princip)

D'Alembert-Lagrangeov princip je kombinacija D'Alembertovog principa sa principom mogućih kretanja. Odnosno, prilikom rješavanja dinamičkog problema uvodimo inercijalne sile i problem svodimo na statički problem koji rješavamo po principu mogućih pomaka.

D'Alembert-Lagrangeov princip.
Kada se mehanički sistem sa idealnim vezama kreće, u svakom trenutku vremena zbir elementarnih radova svih primenjenih aktivnih sila i svih inercijskih sila na bilo koje moguće kretanje sistema je nula:
.
Ova jednačina se zove opšta jednačina dinamike.

Lagrangeove jednadžbe

Generalizirane q koordinate 1 , q 2 , ..., q n je skup od n veličina koje jedinstveno određuju položaj sistema.

Broj generalizovanih koordinata n poklapa se sa brojem stepeni slobode sistema.

Generalizirane brzine su derivati generaliziranih koordinata u odnosu na vrijeme t.

Generalizovane sile Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Razmotrimo moguće kretanje sistema, pri čemu će koordinata q k dobiti kretanje δq k. Preostale koordinate ostaju nepromijenjene. Neka je δA k rad vanjskih sila tokom takvog kretanja. Onda
δA k = Q k δq k , ili
.

Ako se uz moguće kretanje sistema mijenjaju sve koordinate, tada rad vanjskih sila tokom takvog kretanja ima oblik:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Tada su generalizirane sile parcijalni derivati rada na pomacima:
.

Za potencijalne snage sa potencijalom Π,
.

Lagrangeove jednadžbe su jednadžbe kretanja mehaničkog sistema u generaliziranim koordinatama:

Ovdje je T kinetička energija. To je funkcija generaliziranih koordinata, brzina i, moguće, vremena. Stoga je njegov parcijalni izvod također funkcija generaliziranih koordinata, brzina i vremena. Zatim, morate uzeti u obzir da su koordinate i brzine funkcije vremena. Stoga, da biste pronašli ukupni izvod s obzirom na vrijeme, morate primijeniti pravilo diferencijacije složene funkcije:
.

Reference:
S. M. Targ, Kratki kurs iz teorijske mehanike, “Viša škola”, 2010.