Kvadratna jednadžba - lako riješiti! *Dalje u tekstu "KU". Prijatelji, čini se da u matematici to može biti lakše od rješavanja takve jednačine. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam da vidim koliko utisaka Yandex daje po zahtjevu mjesečno. Evo šta se desilo, pogledajte:

Šta to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ovu informaciju, a ovo je ljeto, a šta će biti tokom školske godine - zahtjeva će biti duplo više. To nije iznenađujuće, jer oni momci i djevojke koji su odavno završili školu i spremaju se za ispit traže ove informacije, a i školarci pokušavaju osvježiti pamćenje.

Uprkos činjenici da postoji mnogo sajtova koji govore kako da se reši ova jednačina, odlučio sam da doprinesem i objavim materijal. Prvo, želim da posjetioci dođu na moju stranicu na ovaj zahtjev; drugo, u drugim člancima, kada dođe do govora „KU“, daću link do ovog članka; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Hajde da počnemo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednačina je jednačina oblika:

gdje su koeficijenti a,bi sa proizvoljnim brojevima, sa a≠0.

U školskom kursu gradivo se daje u sledećem obliku - uslovno se vrši podela jednačina na tri razreda:

1. Imati dva korijena.

2. * Imajte samo jedan korijen.

3. Nemate korijene. Ovdje je vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Računamo diskriminanta. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule se moraju znati napamet.

Možete odmah zapisati i odlučiti:

primjer:

1. Ako je D > 0, onda jednačina ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, onda jednačina ima jedan korijen.

3. Ako D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednačinu:

Ovom prilikom, kada je diskriminanta nula, školski kurs kaže da se dobija jedan koren, ovde je jednak devet. Tako je, ali...

Ovaj prikaz je donekle netačan. U stvari, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, ispada dva jednaka korijena, a da budemo matematički tačni, u odgovoru treba napisati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete zapisati i reći da postoji samo jedan korijen.

Sada slijedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne izdvaja, tako da u ovom slučaju nema rješenja.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Evo kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je izuzetno važno razumjeti (u budućnosti ćemo, u jednom od članaka, detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednakosti).

Ovo je funkcija oblika:

gdje su x i y varijable

a, b, c su dati brojevi, gdje je a ≠ 0

Grafikon je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe sa "y" jednakom nuli, nalazimo točke presjeka parabole sa x-osom. Mogu postojati dvije od ovih tačaka (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) ili nijedna (diskriminanta je negativna). Više o kvadratnoj funkciji Možete pogledatičlanak Inna Feldman.

Razmotrimo primjere:

Primjer 1: Odlučite se 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = -12

* Mogli biste odmah podijeliti lijevu i desnu stranu jednačine sa 2, odnosno pojednostaviti je. Proračuni će biti lakši.

Primjer 2: Odlučite se x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dobili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dozvoljeno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odlučite se x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativan, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminant. Znate li išta o kompleksnim brojevima? Neću ovdje ulaziti u detalje zašto i gdje su nastali i koja je njihova specifična uloga i neophodnost u matematici, ovo je tema za veliki poseban članak.

Koncept kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi je JEDAN BROJ, a ne sabir.

Imaginarna jedinica je jednaka korijenu minus jedan:

Sada razmotrite jednačinu:

Dobiti dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent "b" ili "c" jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Lako se rješavaju bez ikakvih diskriminacija.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednačina ima oblik:

transformirajmo:

primjer:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednačina ima oblik:

Transformiraj, faktoriziraj:

*Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja omogućavaju rješavanje jednačina sa velikim koeficijentima.

ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a + b+ c = 0, onda

— ako za koeficijente jednačine ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a+ sa =b, onda

Ova svojstva pomažu u rješavanju određene vrste jednadžbe.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbir koeficijenata je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, dakle

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost a+ sa =b, znači

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" je numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" je numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx - c = 0 koeficijent "b" jednako (a 2 – 1), a koeficijent “c” numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni jednaki

sjekira 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficijent "b" jednak (a 2 - 1), a koeficijent c je numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Vietin teorem.

Vietina teorema je dobila ime po poznatom francuskom matematičaru Francois Vieti. Koristeći Vietin teorem, može se izraziti zbir i proizvod korijena proizvoljnog KU u smislu njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sve u svemu, broj 14 daje samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazanu teoremu, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Štaviše, Vietin teorem. zgodno jer nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajeni način (kroz diskriminantu), rezultujući korijeni se mogu provjeriti. Preporučujem da ovo radite stalno.

NAČIN PRENOSA

Ovom metodom koeficijent "a" se množi slobodnim članom, kao da se "prenosi" na njega, zbog čega se naziva metod prenosa. Ova metoda se koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe koristeći Vietin teorem i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Ako a a± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Prema Vietinoj teoremi u jednadžbi (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Dobijeni korijeni jednadžbe se moraju podijeliti sa 2 (pošto su dva "izbačena" iz x 2), dobijamo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Šta je obrazloženje? Vidi šta se dešava.

Diskriminante jednačina (1) i (2) su:

Ako pogledate korijene jednadžbi, onda se dobivaju samo različiti nazivnici, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu na x 2:

Drugi (modificirani) korijeni su 2 puta veći.

Stoga, rezultat dijelimo sa 2.

*Ako bacamo trojku, onda rezultat dijelimo sa 3, i tako dalje.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq. ur-ie i ispit.

Reći ću ukratko o njenoj važnosti - TREBA DA MOŽETE DA ODLUČITE brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminanta napamet. Mnogi zadaci koji su dio zadataka USE svode se na rješavanje kvadratne jednadžbe (uključujući i geometrijske).

Šta je vredno pažnje!

1. Oblik jednačine može biti "implicitan". Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (da se ne zbunite prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata vrijednost i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.

Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Diskriminant vam omogućava da riješite bilo koje kvadratne jednadžbe koristeći opću formulu, koja ima sljedeći oblik:

Diskriminantna formula zavisi od stepena polinoma. Gornja formula je pogodna za rješavanje kvadratnih jednadžbi sljedećeg oblika:

Diskriminant ima sljedeća svojstva koja morate znati:

* "D" je 0 kada polinom ima višestruke korijene (jednaki korijeni);

* "D" je simetričan polinom u odnosu na korijene polinoma i stoga je polinom u svojim koeficijentima; štaviše, koeficijenti ovog polinoma su cijeli brojevi, bez obzira na ekstenziju u kojoj su korijeni uzeti.

Pretpostavimo da nam je data kvadratna jednadžba sljedećeg oblika:

1 jednadžba

Prema formuli imamo:

Pošto \, onda jednačina ima 2 korijena. Hajde da ih definišemo:

Gdje mogu riješiti jednačinu putem diskriminantnog online rješavača?

Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbu bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što treba da uradite je da unesete svoje podatke u rešavač. Također možete pogledati video instrukciju i naučiti kako riješiti jednačinu na našoj web stranici, a ako imate pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.

Kvadratne jednadžbe. Diskriminantno. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Šta je kvadratna jednačina? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednačina ključna riječ je "kvadrat". To znači da u jednačini obavezno mora postojati x na kvadrat. Pored toga, u jednačini može postojati (ili ne mora biti!) samo x (do prvog stepena) i samo broj (besplatni član). I ne bi trebalo biti x u stepenu većem od dva.

U matematičkom smislu, kvadratna jednačina je jednačina oblika:

Evo a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koje, ali a- sve osim nule. Na primjer:

Evo a =1; b = 3; c = -4

Evo a =2; b = -0,5; c = 2,2

Evo a =-3; b = 6; c = -18

Pa, shvatili ste...

U ovim kvadratnim jednačinama, na lijevoj strani, postoji full setčlanovi. x na kvadrat sa koeficijentom a, x na prvi stepen sa koeficijentom b i besplatni član

Takve kvadratne jednačine se nazivaju kompletan.

I ako b= 0, šta ćemo dobiti? Imamo X će nestati u prvom stepenu. To se događa množenjem sa nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

itd. A ako oba koeficijenta b i c jednaki su nuli, onda je još jednostavnije:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takve jednačine, gdje nešto nedostaje, nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.

Usput zašto a ne može biti nula? I umjesto toga zamijenite a nula.) X u kvadratu će nestati! Jednačina će postati linearna. I to se radi drugačije...

To su sve glavne vrste kvadratnih jednačina. Potpuna i nepotpuna.

Rješenje kvadratnih jednadžbi.

Rješenje kompletnih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne jednačine je lako riješiti. Prema formulama i jasnim jednostavnim pravilima. U prvoj fazi potrebno je zadatu jednačinu dovesti u standardni oblik, tj. do pogleda:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, a, b i c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena se zove diskriminatorno. Ali više o njemu u nastavku. Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo se samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i računajte. Zamena sa tvojim znacima! Na primjer, u jednadžbi:

a =1; b = 3; c= -4. Ovdje pišemo:

Primjer skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Sve je vrlo jednostavno. A šta mislite, ne možete pogriješiti? Pa da, kako...

Najčešće greške su zabuna sa znakovima vrijednosti a, b i c. Ili bolje rečeno, ne njihovim predznacima (gdje se tu treba miješati?), nego zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje se čuva detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi sa proračunima, pa uradi to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da retko dobijate odgovore prvi put.

Pa, nemoj biti lijen. Trebat će 30 sekundi da se napiše dodatni red i broj grešaka će naglo pasti. Zato pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se da je neverovatno teško slikati tako pažljivo. Ali to samo izgleda. Probaj. Pa, ili biraj. Što je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo farbate. Samo će ispasti kako treba. Pogotovo ako primjenjujete praktične tehnike, koje su opisane u nastavku. Ovaj zao primjer sa gomilom minusa će se riješiti lako i bez grešaka!

Ali, često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Da li ste znali?) Da! Ovo je nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Oni se također mogu riješiti općom formulom. Samo treba ispravno shvatiti šta je ovdje jednako a, b i c.

Realized? U prvom primjeru a = 1; b = -4; a c? Uopšte ne postoji! Pa, da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Umjesto nule u formulu c, i sve će nam uspjeti. Slično i sa drugim primjerom. Samo nulu nemamo ovdje sa, a b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo lakše. Bez ikakvih formula. Razmotrimo prvu nepotpunu jednačinu. Šta se može uraditi na lijevoj strani? Možete izvaditi X iz zagrada! Hajde da ga izvadimo.

I šta od ovoga? A činjenica da je proizvod jednak nuli ako, i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete? Pa, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? nešto...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.

Sve. Ovo će biti korijeni naše jednadžbe. Obojica odgovaraju. Prilikom zamjene bilo koje od njih u originalnu jednačinu, dobijamo tačan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije od opće formule. Napominjem, uzgred, koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Lako pisati po redu x 1- šta god je manje x 2- ono što je više.

Druga jednačina se također može lako riješiti. Idemo 9 na desnu stranu. Dobijamo:

Ostaje izdvojiti korijen iz 9 i to je to. Nabavite:

takođe dva korena . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili uklanjanjem X iz zagrada, ili jednostavnim prenošenjem broja udesno, nakon čega slijedi izdvajanje korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove metode. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen iz X, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema šta vaditi iz zagrada...

Diskriminantno. Diskriminantna formula.

Čarobna riječ diskriminatorno ! Rijetki srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz „odlučite se kroz diskriminator“ umiruje i umiruje. Jer nema potrebe čekati trikove od diskriminatora! Jednostavan je i bez problema za korištenje.) Podsjećam vas na najopštiju formulu za rješavanje bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminant. Diskriminant se obično označava slovom D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

I šta je tako posebno u ovom izrazu? Zašto zaslužuje poseban naziv? Šta značenje diskriminanta? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli ne imenuju posebno ... Slova i slova.

Poenta je u ovome. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule, moguće je samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da možete izvući korijen iz njega. Drugo je pitanje da li je korijen dobro ili loše izvađen. Bitno je šta se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Pošto dodavanje ili oduzimanje nule u brojiocu ne mijenja ništa. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, ali dva identična. Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o tome jedno rešenje.

3. Diskriminant je negativan. Negativan broj ne uzima kvadratni korijen. Pa, ok. To znači da nema rješenja.

Da budem iskren, sa jednostavnim rješenjem kvadratnih jednadžbi, koncept diskriminanta zapravo nije potreban. Zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formuli i razmatramo. Tamo sve ispada samo od sebe, i dva korijena, i jedan, a ne jedan. Međutim, kod rješavanja složenijih zadataka, bez znanja značenje i diskriminantna formula nije dovoljno. Posebno - u jednadžbama s parametrima. Takve jednadžbe su akrobatika za GIA i Jedinstveni državni ispit!)

dakle, kako se rješavaju kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg si zapamtio. Ili naučeno, što također nije loše.) Znate kako se ispravno identificirati a, b i c. Znate li kako pažljivo zamijenite ih u korijen formulu i pažljivo prebrojati rezultat. Da li ste razumeli da je ključna reč ovde - pažljivo?

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka. Baš one koje su zbog nepažnje... za koje je onda bolno i uvredljivo...

Prvi prijem . Nemojte biti lijeni prije rješavanja kvadratne jednadžbe kako biste je doveli u standardni oblik. Šta to znači?
Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti da napišete formulu korijena! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c. Napravi primjer ispravno. Prvo, x na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:

I opet, ne žurite! Minus prije x na kvadrat može vas jako uznemiriti. Lako je zaboraviti... Oslobodite se minusa. Kako? Da, kao što smo učili u prethodnoj temi! Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i dovršiti primjer. Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! Prema Vietinoj teoremi. Ne brini, sve ću ti objasniti! Provjeravam zadnja stvar jednačina. One. onaj kojim smo zapisali formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, lako provjerite korijenje. Dovoljno ih je umnožiti. Trebao bi dobiti besplatan termin, tj. u našem slučaju -2. Obratite pažnju, ne 2, već -2! besplatni član sa tvojim znakom . Ako nije išlo, znači da su već negdje zabrljali. Potražite grešku.

Ako je uspjelo, morate presavijati korijene. Poslednja i konačna provera. Trebao bi biti omjer b sa suprotno sign. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred x, je jednako -1. Dakle, sve je tačno!
Šteta što je tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, sa koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednačine! Biće manje grešaka.

Prijem treći . Ako vaša jednadžba ima frakcione koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožite jednačinu sa zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u lekciji "Kako riješiti jednadžbe? Transformacije identiteta". Kada radite sa razlomcima, greške se iz nekog razloga penju ...

Inače, obećao sam zao primjer sa gomilom minusa za pojednostavljenje. Nema na čemu! Eno ga.

Da se ne bismo zabunili u minusima, pomnožimo jednačinu sa -1. Dobijamo:

To je sve! Odlučivanje je zabavno!

Dakle, da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik, gradimo je u pravu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred x u kvadratu, eliminiramo ga množenjem cijele jednačine sa -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminišemo množenjem cijele jednačine odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent za njega jednak je jedan, rješenje se lako može provjeriti Vietinom teoremom. Učini to!

Sada možete odlučiti.)

Riješite jednačine:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (u neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - bilo koji broj

x 1 = -3
x 2 = 3

nema rješenja

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Da li sve odgovara? Fino! Kvadratne jednačine nisu vaša glavobolja. Prva tri su se pokazala, ali ostali nisu? Tada problem nije u kvadratnim jednačinama. Problem je u identičnim transformacijama jednačina. Pogledajte link, od pomoći je.

Ne radi baš? Ili uopšte ne radi? Onda će vam pomoći Odjeljak 555. Tu su svi ovi primjeri razvrstani po kostima. Showing main greške u rješenju. Naravno, opisana je i primjena identičnih transformacija u rješavanju različitih jednačina. Pomaže puno!

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Nastavljamo da proučavamo temu rješenje jednačina". Već smo se upoznali sa linearnim jednačinama, a sada ćemo se upoznati sa kvadratne jednačine.

Prvo ćemo razgovarati o tome šta je kvadratna jednadžba, kako se piše u opštem obliku i dati povezane definicije. Nakon toga, koristeći primjere, detaljno ćemo analizirati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Zatim prelazimo na rješavanje kompletnih jednadžbi, dobijamo formulu za korijene, upoznajemo se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmatramo rješenja tipičnih primjera. Na kraju, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Šta je kvadratna jednačina? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti šta je kvadratna jednačina. Stoga je logično da se o kvadratnim jednadžbama započne s definicijom kvadratne jednačine, kao i definicijama u vezi s njom. Nakon toga, možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: redukovane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a se razlikuje od nule.

Recimo odmah da se kvadratne jednačine često nazivaju jednačinama drugog stepena. To je zato što je kvadratna jednačina algebarska jednačina drugi stepen.

Zvučna definicija nam omogućava da damo primjere kvadratnih jednačina. Dakle, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a , b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 +b x + c=0, a koeficijent a se naziva prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b je drugi koeficijent, ili koeficijent na x, a c je slobodni član.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu oblika 5 x 2 −2 x−3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je −2, a slobodni član je −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo datom primjeru, koristi se kratki oblik kvadratne jednadžbe oblika 5 x 2 −2 x−3=0, a ne 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Vrijedi napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, tada oni obično nisu eksplicitno prisutni u zapisu kvadratne jednadžbe, što je zbog posebnosti zapisa takvog . Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0, vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent na y je −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

U zavisnosti od vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se redukovane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Dajemo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 redukovana kvadratna jednačina. Inače, kvadratna jednačina je nesmanjen.

Prema ovoj definiciji, kvadratne jednačine x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, itd. - smanjen, u svakom od njih je prvi koeficijent jednak jedan. I 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe čiji su vodeći koeficijenti različiti od 1.

Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem oba njena dijela vodećim koeficijentom, možete prijeći na redukovanu. Ova akcija je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobijena redukovana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao i originalna nereducirana kvadratna jednadžba, ili, poput nje, nema korijena.

Uzmimo primjer kako se izvodi prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe u redukovanu.

Primjer.

Iz jednačine 3 x 2 +12 x−7=0 idite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednačinu.

Odluka.

Dovoljno je da izvršimo podjelu oba dijela izvorne jednadžbe sa vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, pa možemo izvršiti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto kao (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, i tako dalje (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , odakle . Tako smo dobili redukovanu kvadratnu jednačinu, koja je ekvivalentna originalnoj.

odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

U definiciji kvadratne jednačine postoji uslov a≠0. Ovaj uslov je neophodan da bi jednačina a x 2 +b x+c=0 bila tačno kvadratna, pošto sa a=0 zapravo postaje linearna jednačina oblika b x+c=0 .

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, kako odvojeno tako i zajedno. U ovim slučajevima, kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednačina a x 2 +b x+c=0 se zove nepotpuna, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Zauzvrat

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Ova imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz sljedeće rasprave.

Ako je koeficijent b jednak nuli, tada kvadratna jednačina ima oblik a x 2 +0 x+c=0 i ekvivalentna je jednačini a x 2 +c=0. Ako je c=0, odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +b x+0=0, onda se može prepisati kao a x 2 +b x=0. A sa b=0 i c=0 dobijamo kvadratnu jednačinu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednačine se razlikuju od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ili oboje. Otuda i njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednačine x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednačina, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz informacija iz prethodnog stava proizilazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 =0, njemu odgovaraju koeficijenti b=0 i c=0;
• a x 2 +c=0 kada je b=0;
• i a x 2 +b x=0 kada je c=0 .

Analizirajmo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svakog od ovih tipova.

a x 2 \u003d 0

Počnimo rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno sa jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednačina a·x 2 =0 je ekvivalentna jednačini x 2 =0, koja se dobija iz originala dijeljenjem oba njena dijela brojem a koji nije nula. Očigledno je da je korijen jednadžbe x 2 = 0 nula, budući da je 0 2 = 0. Ova jednadžba nema druge korijene, što je objašnjeno, zaista, za bilo koji broj p različit od nule, postoji nejednakost p 2 >0, što implicira da za p≠0, jednakost p 2 =0 nikada nije postignuta.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 = 0 ima jedan korijen x \u003d 0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4·x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 = 0, njen jedini korijen je x = 0, stoga izvorna jednadžba ima jedan korijen nula.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se izdati na sljedeći način:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sada razmotrite kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b jednak nuli, a c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da prenošenje člana s jedne strane jednačine na drugu sa suprotnim predznakom, kao i podjela obje strane jednačine brojem različitom od nule, daju ekvivalentnu jednačinu. Stoga se mogu izvesti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

• pomjeriti c na desnu stranu, što daje jednačinu a x 2 =−c,
• i podijeliti oba njegova dijela po a , dobivamo .

Rezultirajuća jednačina nam omogućava da izvučemo zaključke o njenim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, onda ) ili pozitivna, (na primjer, ako je a=−2 i c=6 , tada ), nije jednako nuli , jer po uslovu c≠0 . Zasebno ćemo analizirati slučajeve i .

Ako , tada jednadžba nema korijena. Ova izjava slijedi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , Tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , onda je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se prisjetimo, tada korijen jednadžbe odmah postaje očigledan, to je broj, pošto. Lako je pogoditi da je broj također korijen jednadžbe , zaista, . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može prikazati, na primjer, kontradikcijom. Hajde da to uradimo.

Označimo upravo naglašene korijene jednačine kao x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednačina ima još jedan korijen x 2 različit od navedenih korijena x 1 i −x 1 . Poznato je da zamjena u jednadžbu umjesto x njenih korijena pretvara jednačinu u pravu numeričku jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo , a za x 2 imamo . Svojstva numeričkih jednakosti nam omogućavaju da izvodimo pojam po članu oduzimanje pravih numeričkih jednakosti, tako da oduzimanjem odgovarajućih dijelova jednakosti dobijemo x 1 2 − x 2 2 =0. Svojstva operacija sa brojevima nam omogućavaju da prepišemo rezultujuću jednakost kao (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Znamo da je proizvod dva broja jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz dobijene jednakosti slijedi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0 , što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 = −x 1 . Tako smo došli do kontradikcije, pošto smo na početku rekli da je korijen jednačine x 2 različit od x 1 i −x 1 . Ovo dokazuje da jednadžba nema druge korijene osim i .

Hajde da sumiramo informacije u ovom paragrafu. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi , koja

• nema korijena ako ,
• ima dva korijena i ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0 .

Počnimo s kvadratnom jednačinom 9 x 2 +7=0. Nakon prenošenja slobodnog člana na desnu stranu jednačine, on će poprimiti oblik 9·x 2 =−7. Dijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa 9 , dolazimo do . S obzirom da se na desnoj strani dobija negativan broj, ova jednadžba nema korijena, stoga originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7=0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednačinu −x 2 +9=0. Prenosimo devet na desnu stranu: -x 2 = -9. Sada podijelimo oba dijela sa −1, dobićemo x 2 =9. Desna strana sadrži pozitivan broj, iz čega zaključujemo da je ili . Nakon što zapišemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednačina −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje da se pozabavimo rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0 . Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 +b x=0 vam omogućavaju da riješite metoda faktorizacije. Očigledno možemo, smješteni na lijevoj strani jednačine, za što je dovoljno uzeti zajednički faktor x iz zagrada. Ovo nam omogućava da pređemo sa originalne nepotpune kvadratne jednačine na ekvivalentnu jednačinu oblika x·(a·x+b)=0. A ova jednačina je ekvivalentna skupu dvije jednačine x=0 i a x+b=0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednačina a x 2 +b x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.

Primjer.

Riješite jednačinu.

Odluka.

Izvlačimo x iz zagrada, ovo daje jednačinu. To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Rješavamo rezultirajuću linearnu jednačinu: , i nakon dijeljenja mješovitog broja običnim razlomkom, nalazimo . Stoga su korijeni originalne jednadžbe x=0 i .

Nakon što ste dobili potrebnu praksu, rješenja ovakvih jednačina mogu se ukratko napisati:

odgovor:

x=0 , .

Diskriminant, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Hajde da zapišemo formula korijena kvadratne jednadžbe: , gdje D=b 2 −4 a c- takozvani diskriminanta kvadratne jednačine. Notacija u suštini znači da .

Korisno je znati kako je dobijena formula korijena i kako se primjenjuje u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Hajde da se pozabavimo ovim.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednačinu a·x 2 +b·x+c=0 . Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:

• Možemo podijeliti oba dijela ove jednadžbe brojem različitom od nule a, kao rezultat dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu.
• Sad odaberite cijeli kvadrat na njegovoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednačina će poprimiti oblik.
• U ovoj fazi moguće je izvršiti prijenos posljednja dva člana na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
• I transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednačine , koja je ekvivalentna originalnoj kvadratnoj jednačini a·x 2 +b·x+c=0 .

Jednadžbe slične forme već smo rješavali u prethodnim paragrafima kada smo analizirali . To nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

• ako je , tada jednačina nema realnih rješenja;
• ako , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojeg je vidljiv njen jedini korijen;
• ako , onda ili , što je isto kao ili , To jest, jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisustvo ili odsustvo korijena jednadžbe, a time i originalne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza je određen predznakom brojilaca, pošto je imenilac 4 a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznak izraza b 2 −4 a c . Ovaj izraz b 2 −4 a c se zove diskriminanta kvadratne jednačine i označeno slovom D. Odavde je suština diskriminanta jasna - po njegovoj vrijednosti i predznaku se zaključuje da li kvadratna jednačina ima realne korijene, i ako ima, koji je njihov broj - jedan ili dva.

Vraćamo se na jednadžbu , prepisujemo je koristeći notaciju diskriminanta: . I zaključujemo:

• ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ako je D=0, onda ova jednadžba ima jedan korijen;
• konačno, ako je D>0, tada jednadžba ima dva korijena ili , koji se može prepisati u obliku ili , a nakon proširenja i svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, dobivamo .

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, izgledaju kao , gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D=b 2 −4 a c .

Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminanta jednaka nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena koja odgovara jedinom rješenju kvadratne jednadžbe. A kod negativnog diskriminanta, kada pokušavamo da koristimo formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočavamo se s izvlačenjem kvadratnog korijena iz negativnog broja, što nas vodi izvan okvira školskog programa. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par kompleksni konjugat korijene, koji se mogu naći korištenjem istih korijenskih formula koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena, pomoću koje možete izračunati njihove vrijednosti. Ali ovo je više o pronalaženju složenih korijena.

Međutim, u školskom kursu algebre obično ne govorimo o kompleksnim, već o realnim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju, preporučljivo je prvo pronaći diskriminanta prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, uvjeriti se da nije negativan (inače možemo zaključiti da jednačina nema realnih korijena), a nakon toga izračunaj vrijednosti korijena.

Gornje rezonovanje nam omogućava da pišemo algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe. Da biste riješili kvadratnu jednadžbu a x 2 + b x + c = 0, trebate:

• koristeći diskriminantnu formulu D=b 2 −4 a c izračunati njegovu vrijednost;
• zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravi korijen ako je diskriminanta negativna;
• izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu ako je D=0 ;
• pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminanta pozitivna.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminant jednak nuli, formula se također može koristiti, ona će dati istu vrijednost kao .

Možete prijeći na primjere primjene algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Razmotrimo rješenja tri kvadratne jednadžbe sa pozitivnim, negativnim i nultim diskriminantom. Nakon što smo se pozabavili njihovim rješenjem, po analogiji će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednačinu. Počnimo.

Primjer.

Naći korijene jednačine x 2 +2 x−6=0 .

Odluka.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednačine: a=1, b=2 i c=−6. Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminanta, za to zamjenjujemo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Pošto je 28>0, odnosno diskriminanta veća od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Nađimo ih po formuli korijena , dobivamo , ovdje možemo pojednostaviti izraze dobivene tako što ćemo rastavljajući predznak korijena nakon čega slijedi smanjenje frakcije:

odgovor:

Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Odluka.

Počinjemo od pronalaženja diskriminanta: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

odgovor:

x=3,5 .

Ostaje da razmotrimo rješenje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednačinu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Odluka.

Evo koeficijenata kvadratne jednačine: a=5, b=6 i c=2. Zamjenom ovih vrijednosti u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema realne korijene.

Ako trebate specificirati kompleksne korijene, tada koristimo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije sa kompleksnim brojevima:

odgovor:

nema pravih korena, kompleksni koreni su: .

Još jednom napominjemo da ako je diskriminanta kvadratne jednadžbe negativna, onda škola obično odmah zapiše odgovor, u kojem ukazuju da nema pravih korijena, i da ne nalaze kompleksne korijene.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje D=b 2 −4 a c vam omogućava da dobijete kompaktniju formulu koja vam omogućava da rješavate kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom na x (ili jednostavno s koeficijentom koji izgleda kao 2 n , na primjer, ili 14 ln5=2 7 ln5 ). Hajde da je izvedemo.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednačinu oblika a x 2 +2 n x + c=0 . Pronađimo njegove korijene koristeći nam poznatu formulu. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminanta D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo korijen formulu:

Označimo izraz n 2 − a c kao D 1 (ponekad se označava kao D"). Tada formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom 2 n poprima oblik , gdje je D 1 =n 2 −a c .

Lako je vidjeti da je D=4·D 1 , ili D 1 =D/4 . Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je predznak D 1 isti kao i znak D . Odnosno, znak D 1 je takođe indikator prisustva ili odsustva korena kvadratne jednačine.

Dakle, da biste riješili kvadratnu jednačinu sa drugim koeficijentom 2 n, trebate

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ako je D 1 =0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu;
• Ako je D 1 >0, pronađite dva realna korijena koristeći formulu.

Razmotrimo rješenje primjera koristeći formulu korijena dobivenu u ovom paragrafu.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Odluka.

Drugi koeficijent ove jednačine može se predstaviti kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati originalnu kvadratnu jednačinu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ovdje a=5 , n=−3 i c=−32 , i izračunati četvrti dio diskriminatorno: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Pošto je njena vrijednost pozitivna, jednačina ima dva realna korijena. Pronalazimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju bi se moralo obaviti više računskog rada.

odgovor:

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što se upustimo u izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi postaviti pitanje: „Da li je moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe“? Slažemo se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednačinu 11 x 2 −4 x −6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Obično se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe postiže množenjem ili dijeljenjem obje strane s nekim brojem. Na primjer, u prethodnom pasusu uspjeli smo postići pojednostavljenje jednačine 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100 .

Slična transformacija se provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju, oba dijela jednadžbe se obično dijele apsolutnim vrijednostima njenih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Podijeleći oba dijela originalne kvadratne jednačine sa 6, dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednačine 2 x 2 −7 x+8=0.

A množenje oba dijela kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se vrši na nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se oba dijela kvadratne jednadžbe pomnože sa LCM(6, 3, 1)=6, tada će poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4 x−18=0.

U zaključku ovog paragrafa, napominjemo da se skoro uvijek riješite minusa na najvećem koeficijentu kvadratne jednačine promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) oba dijela sa −1. Na primjer, obično iz kvadratne jednačine −2·x 2 −3·x+7=0 idemo na rješenje 2·x 2 +3·x−7=0 .

Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe u smislu njenih koeficijenata. Na osnovu formule korijena, možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i primjenjive formule iz Vietine teoreme su oblika i . Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a proizvod korijena je slobodni član. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x+22=0, možete odmah reći da je zbir njenih korijena 7/3, a proizvod korijena 22/3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe u smislu njenih koeficijenata: .

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadratna jednačina je jednačina koja izgleda kao ax 2 + dx + c = 0. Ima značenje a, c i sa bilo koji broj, dok a nije jednako nuli.

Sve kvadratne jednadžbe podijeljene su u nekoliko tipova, i to:

Jednačine sa samo jednim korijenom.
- Jednačine sa dva različita korijena.
- Jednačine u kojima uopće nema korijena.

To je ono što razlikuje linearne jednadžbe u kojima je korijen uvijek isti, od kvadratnih. Da biste razumjeli koliko korijena u izrazu, trebate Kvadratni diskriminant.

Recimo da je naša jednačina ax 2 + dx + c =0. Sredstva diskriminanta kvadratne jednačine -

D \u003d b 2 - 4 ac

I ovo se mora zauvijek pamtiti. Uz pomoć ove jednadžbe određujemo broj korijena u kvadratnoj jednadžbi. A mi to radimo ovako:

Kada je D manji od nule, jednačina nema korijena.
- Kada je D nula, postoji samo jedan korijen.
- Kada je D veći od nule, u jednačini postoje dva korijena.
Zapamtite da diskriminant pokazuje koliko je korijena u jednadžbi bez promjene predznaka.

Razmotrite radi jasnoće:

Morate saznati koliko korijena ima u ovoj kvadratnoj jednadžbi.

1) x 2 - 8x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0

Unesemo vrijednosti u prvu jednačinu, nađemo diskriminanta.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Diskriminant sa znakom plus znači da u ovoj jednakosti postoje dva korijena.

Uradite isto sa drugom jednačinom
a=1, b=3, c=7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Vrijednost je minus, što znači da u ovoj jednakosti nema korijena.

Analogno ćemo proširiti sljedeću jednačinu.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
kao posljedicu, imamo jedan korijen u jednadžbi.

Važno je da smo u svakoj jednačini ispisali koeficijente. Naravno, ovo nije dugotrajan proces, ali nam je pomogao da se ne zbunimo i spriječio greške. Ako takve jednadžbe rješavate vrlo često, tada možete mentalno izvoditi proračune i unaprijed znati koliko korijena ima jednačina.

Pogledajmo još jedan primjer:

1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0

Izlaganje prvog
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, što je veće od nule, znači dva korijena, mi ćemo ih izvesti
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

Polažemo drugi
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, što je veće od nule i također ima dva korijena. Hajde da ih izvadimo:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Izlažemo treći
a = 1, b = 12, c = 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, što je nula i ima jedan korijen
x \u003d -12 +? 0 / 2 * 1 = -6.
Rješavanje ovih jednačina nije teško.

Ako nam je data nepotpuna kvadratna jednadžba. Kao npr

1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

Ove jednačine se razlikuju od gore navedenih, jer nije potpuna, nema treću vrijednost. Ali uprkos tome, jednostavnija je od pune kvadratne jednadžbe i nema potrebe tražiti diskriminanta u njoj.

Šta učiniti kada vam je hitno potrebna teza ili esej, a nemate vremena za pisanje? Sve ovo i još mnogo toga možete naručiti na web stranici Deeplom.by (http://deeplom.by/) i dobiti najvišu ocjenu.

Povratak