Karakteristike crtanja periodičnih funkcija
Graf periodične funkcije obično se prvo gradi na intervalu [ x 0 ; x 0 + T). Izvodi se paralelni prijenos tačaka grafa na cijelo područje definicije.
Primjeri periodičnih funkcija i njihovih grafova.
Trigonometrijske funkcije mogu poslužiti kao primjeri periodičnih funkcija. Razmotrimo glavne.
Funkcija F(x)=sin(x)
a) Područje definicije: D (sin x) = R .
b) Skup vrijednosti: E (sin x) = [– 1 , 1] .
c) Parno, neparno: funkcija je neparna.
d) Periodičnost: funkcija je periodična s glavnim periodom.
e) Nule funkcije: sin x = 0 za , n Z.
f) Intervali konstantnosti funkcije:
g) Intervali monotonosti: funkcija raste na ;
funkcija se smanjuje kada ,
h) Ekstremi funkcije:
; .
Grafikon funkcije y= sin x prikazan je na slici.
Funkcija F(x) = cos(x)
a) Područje definicije.
b) Skup vrijednosti: E (cos x) = [ – 1 , 1 ] .
c) Parno, neparno: funkcija je parna.
G ) Periodičnost: Funkcija je periodična s osnovnim periodom od .
e) Nule funkcije: na .
f) Intervali konstantnosti predznaka:
g) Intervali monotonosti:
funkcija raste na ;
funkcija se smanjuje kada
h) Ekstremi:
Funkcijski grafikon y= cos x prikazano na slici.
Funkcija F(x) = tg(x)
a) Obim:
b) Skup vrijednosti: E ()
c) Parno, neparno. Funkcija je čudna.
d) Periodičnost. Periodična funkcija sa glavnim periodom
e) Nule funkcije: tg x = 0 za x = n, n Z.
f) Intervali konstantnosti znaka:
g) Intervali monotonosti: funkcija raste na svakom intervalu koji u potpunosti pripada njenoj domeni definicije.
h) Ekstremi: nema.
Funkcijski grafikon y=tg x prikazano na slici.
Funkcija F(x) = ctg(x)
a) Područje definicije: D (ctg x) = R\ (n(n Z) ).
b) Skup vrijednosti: E (ctg x) = R .
c) Parna, neparna funkcija je neparna.
d) Periodičnost: funkcija je periodična sa glavnim periodom T = .
e) Nule funkcije: ctg x = 0 za x = /2 + n, n Z.
f) Intervali konstantnosti predznaka;
g) Intervali monotonosti: funkcija opada na svakom intervalu koji u potpunosti pripada njenoj domeni definicije.
h) Ekstremi: nema.
Grafikon funkcije y = ctg x prikazan je na slici.
Zanimljivi grafovi se dobijaju superpozicijom – formiranjem kompleksnih funkcija na osnovu trigonometrijskih periodičnih funkcija.
Dijagram periodične funkcije
II. Primjene periodičnih funkcija. periodične fluktuacije.
Fluktuacije.
fluktuacije nazivaju procesi koji se razlikuju u različitom stepenu ponavljanja. Oscilacije su procesi koji se ponavljaju u pravilnim intervalima (međutim, nisu svi procesi koji se ponavljaju oscilacije). U zavisnosti od fizičke prirode procesa koji se ponavlja, razlikuju se mehaničke, elektromagnetne, elektromehaničke itd. oscilacije. Tokom mehaničkih vibracija, položaj i koordinate tijela se periodično mijenjaju. Sa električnom - naponom i strujom. U zavisnosti od prirode uticaja na oscilirajući sistem razlikuju se slobodne oscilacije, prisilne oscilacije, autooscilacije i parametarske oscilacije.
ponavljajući procesi se kontinuirano odvijaju unutar bilo kojeg živog organizma, na primjer: srčane kontrakcije, funkcija pluća; drhtimo kada nam je hladno; čujemo i govorimo zahvaljujući vibracijama bubnih opna i glasnih žica; Kada hodamo, naše noge vrše oscilatorne pokrete. Atomi koji nas čine da vibriramo. Svijet u kojem živimo sklon je fluktuacijama.
periodične fluktuacije.
periodično nazivaju se takve oscilacije u kojima se sve karakteristike kretanja ponavljaju nakon određenog vremenskog perioda.
Za periodične oscilacije koriste se sljedeće karakteristike:
period oscilovanja T, jednako vremenu tokom kojeg se odvija jedna potpuna oscilacija;
frekvencija oscilovanjaν, jednako broju oscilacija u sekundi (ν = 1/T);
Parametarske oscilacije se izvode s periodičnom promjenom parametara oscilirajućeg sistema (osoba koja se ljulja na ljuljašci povremeno podiže i spušta svoje težište, mijenjajući tako parametre sistema). Pod određenim uslovima sistem postaje nestabilan - nasumično odstupanje od ravnotežnog položaja dovodi do pojave i rasta oscilacija. Ova pojava se naziva parametarska pobuda oscilacija (tj. oscilacije se pobuđuju promjenom parametara sistema), a same oscilacije se nazivaju parametarskim. Uprkos različitoj fizičkoj prirodi, oscilacije karakterišu iste pravilnosti, koje se proučavaju opštim metodama. Važna kinematička karakteristika je oblik vibracija. Određuje se oblikom funkcije vremena, koja opisuje promjenu jedne ili druge fizičke veličine tokom oscilacija. Najvažnije su one fluktuacije kod kojih se fluktuirajuća vrijednost mijenja s vremenom prema sinusnom ili kosinusnom zakonu. Zovu se harmonici. Ova vrsta oscilovanja je posebno važna iz sledećih razloga. Prvo, oscilacije u prirodi i tehnologiji često imaju karakter vrlo blizak harmonijskom. Drugo, periodični procesi različitog oblika (sa različitom vremenskom zavisnošću) mogu se predstaviti kao preklapanje, ili superpozicija, harmonijskih oscilacija.
Aplikacija br. 7
Opštinska obrazovna ustanova
srednja škola br.3
Učitelju
Korotkov
Asya Edikovna
Kurganinsk
2008
SADRŽAJ
Uvod …………………………………………………………… 2-3
Periodične funkcije i njihova svojstva ……………. 4-6
Zadaci …………………………………………………………… 7-14
Uvod
Imajte na umu da problemi periodičnosti u nastavnoj i metodičkoj literaturi imaju tešku sudbinu. To se objašnjava čudnom tradicijom - dopustiti jedan ili drugi nemar u definiciji periodičnih funkcija koje dovode do kontroverznih odluka i izazivaju incidente na ispitima.
Na primjer, u knjizi “Explantatory Dictionary of Mathematical Terms” - M, 1965, data je sljedeća definicija: “periodična funkcija je funkcija
y = f(x), za koji postoji broj t > 0, koji je za sve x i x + t iz domene f(x + t) = f(x).
Navedimo protuprimjer koji pokazuje netačnost ove definicije. Prema ovoj definiciji, funkcija je periodična sa periodom t = 2π
s(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 sa ograničenim domenom definicije, što je u suprotnosti sa opšteprihvaćenom tačkom gledišta o periodičnim funkcijama.
Slični problemi se javljaju u mnogim najnovijim alternativnim udžbenicima za školu.
Udžbenik AN Kolmogorova daje sljedeću definiciju: „Govoreći o periodičnosti funkcije f, vjeruje se da postoji takav broj T ≠ 0 da domen definicije D (f) zajedno sa svakom tačkom x sadrži tačke koje su dobijene iz x paralelnim prevođenjem duž ose Ox (desno i lijevo) za udaljenost T. Poziva se funkcija f periodični sa periodom T ≠ 0, ako su za bilo koju oblast definicije vrijednosti ove funkcije u tačkama x, x - T, x + T jednake, tj. f (x + T) \u003d f (x) \u003d f (x - T) ". Dalje u udžbeniku piše: „Pošto su sinus i kosinus definirani na cijeloj brojevnoj pravoj i Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) \u003d Cos x za bilo koji x, sinus i kosinus su period funkcije s periodom od 2π.
Iz nekog razloga, ovaj primjer ne provjerava šta je potrebno u definiciji uslova koji
Sin (x - 2π) \u003d Sin x. Sta je bilo? Poenta je da je ovaj uslov suvišan u definiciji. Zaista, ako je T > 0 period funkcije f(x), tada će T također biti period ove funkcije.
Želim dati još jednu definiciju iz udžbenika M.I. Bashmakova "Algebra i početak analize u 10-11 ćelija." „Funkcija y \u003d f (x) naziva se periodičnom ako postoji takav broj T ≠ 0 da je jednakost
f(x + T) = f(x) vrijedi identično za sve vrijednosti x.
Gornja definicija ne govori ništa o opsegu funkcije, iako znači x iz opsega definicije, a ne bilo koji realni x. Prema ovoj definiciji, funkcija y \u003d Sin (√x) može biti periodična 2 , definisan samo za x ≥ 0, što nije tačno.
Na jedinstvenom državnom ispitu postoje zadaci za periodičnost. U jednom naučnom periodičnom časopisu, kao obuka za odjeljak C USE, dato je rješenje problema: „da li je funkcija y (x) \u003d Sin 2 (2 + x) - 2 Sin 2 Sin x Cos (2 + x) periodično?
Rješenje pokazuje da je y (x - π) \u003d y (x) u odgovoru - dodatni unos
"T = π" (uostalom, ne postavlja se pitanje pronalaženja najmanjeg pozitivnog perioda). Da li je zaista potrebno izvesti složenu trigonometrijsku formaciju da bi se riješio ovaj problem? Na kraju krajeva, ovdje se možete fokusirati na koncept periodičnosti, kao ključnog u stanju problema.
Rješenje.
f1 (x) \u003d Sin x - periodična funkcija s periodom T \u003d 2π
f2 (x) = Cos x je periodična funkcija s periodom T = 2π, tada je 2π period i za funkcije f 3(x) = Sin(2+x) i f 4 (x) = Cos (2 + x), (ovo slijedi iz definicije periodičnosti)
f5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, njegov period je bilo koji broj, uključujući 2π.
Jer zbir i proizvod periodičnih funkcija sa zajedničkim periodom T je također T-periodičan, tada je ova funkcija periodična.
Nadam se da će materijal predstavljen u ovom radu pomoći u pripremi za jedinstveni državni ispit u rješavanju problema za periodičnost.
Periodične funkcije i njihova svojstva
Definicija: funkcija f(t) se naziva periodičnom ako za bilo koje t iz domene definicije ove funkcije D f postoji broj ω ≠ 0 takav da je:
1) brojevi (t ± ω) ê D f ;
2) f(t + ω) = f(t).
1. Ako je broj ω = period funkcije f (t), tada je broj kω, gdje je k = ±1, ±2, ±3, … također periodi funkcije f(t).
PRIMJER f(t) = Sint. Broj T = 2π je najmanji pozitivni period ove funkcije. Neka T 1 = 4π. Pokažimo da je T 1 je također period ove funkcije.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Dakle T 1 je period funkcije f (t) = Sin t.
2. Ako je funkcija f(t) - ω periodična funkcija, tada su i funkcije f (at), gdje je a ê R, i f (t + c), gdje je c proizvoljna konstanta, također periodične.
Odrediti period funkcije f(at).
f(at) = f(at + ω) = f (a(t + ω/a)), tj. f (at) = f (a(t + ω/a).
Dakle, period funkcije f(at) – ω 1 = ω/a.
PRIMJER 1. Odrediti period funkcije y = Sin t/2.
Primjer 2. Pronađite period funkcije y \u003d Sin (t + π / 3).
Neka je f(t) = Sin t; y 0 \u003d Sin (t 0 + π / 3).
Tada će funkcija f(t) = Sin t također uzeti vrijednost y 0 za t = t 0 + π/3.
One. sve vrijednosti koje zauzima funkcija y također preuzima funkcija f(t). Ako se t tumači kao vrijeme, onda svaka vrijednost y 0 funkcija y \u003d Sin (t + π / 3) uzima se π / 3 jedinice vremena ranije od funkcije f (t) "pomak" ulijevo za π / 3. Očigledno, period funkcije se neće promijeniti od ovoga, tj. T y \u003d T 1.
3. Ako je F(x) neka funkcija, a f(t) je periodična funkcija, i takva da f(t) pripada domeni funkcije F(x) – D F , tada je funkcija F(f (t)) periodična funkcija.
Neka je F(f (t)) = φ.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) za bilo koje tê D f.
PRIMJER Istražite funkciju za periodičnost: F(x) = ℓ sin x .
Opseg ove funkcije D f poklapa se sa skupom realnih brojeva R. f (x) = Sin x.
Skup vrijednosti ove funkcije je [-1; jedan]. Jer segment [-1; 1] pripada D f , tada je funkcija F(x) periodična.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π je period ove funkcije.
4. Ako su funkcije f 1 (t) i f 2 (t) periodični, redom, sa periodima ω 1 i ω 2 i ω 1 / ω 2 = r, gdje je r racionalan broj, zatim funkcije
S 1 f 1 (t) + S 2 f 2 (t) i f 1 (t) f 2 (t) su periodične (~ 1 i C 2 su konstante).
Napomena: 1) Ako je r = ω 1 /ω 2 = p/q, jer r je onda racionalan broj
ω 1 q = ω 2 p = ω, gdje je ω najmanji zajednički višekratnik brojeva ω 1 i ω 2 (LCM).
Razmotrimo funkciju C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).
Zaista, ω = LCM (ω 1 , ω 2 ) - period ove funkcije
S 1 f 1 (t) + S 2 f 2 (t) = S 1 f 1 (t+ ω 1 q) + S 2 f 2 (t+ ω 2 p) + S 1 f 1 (t) + S 2 f 2 (t) .
2) ω je period funkcije f 1 (t) f 2 (t), jer
f 1 (t + ω) f 2 (t + ω = f 1 (t + ω 1 q) f 2 (t = ω 2 p) \u003d f 1 (t) f 2 (t).
Definicija: Neka f 1 (t) i f (t) su periodične funkcije sa periodima, respektivno, ω 1 i ω 2 , tada se kaže da su dva perioda uporediva akoω 1 / ω 2 = r je racionalan broj.
3) Ako su periodi ω 1 i ω 2 nisu sumjerljive, onda funkcije f 1 (t) + f 2 (t) i
f 1 (t) f 2 (t) nisu periodični. To jest, ako je f 1 (t) i f 2 (t) se razlikuju od konstantnih, periodičnih, kontinuiranih, njihovi periodi nisu srazmjerni, tada f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) nisu periodični.
4) Neka je f(t) = S, gdje je S proizvoljna konstanta. Ova funkcija je periodična. Njegov period je bilo koji racionalni broj, što znači da nema najmanji pozitivni period.
5) Tvrdnja je tačna i za više funkcija.
Primjer 1. Istražiti periodičnost funkcije
F(x) = Sin x + Cos x.
Rješenje. Neka je f 1 (x) = Sin x, tada je ω 1 = 2πk, gdje je k ê Z.
T 1 = 2π je najmanji pozitivni period.
f 2 (x) \u003d Cos x, T 2 \u003d 2π.
Odnos T 1 /T 2 = 2π/2π = 1 je racionalan broj, tj. periodi funkcija f 1 (x) i f 2 (x) su srazmjerne. Dakle, ova funkcija je periodična. Hajde da nađemo njen period. Po definiciji periodične funkcije, imamo
Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,
Sin (x + T) - Sin x \u003d Cos x - Cos (x + T),
2 Cos 2x + π / 2 Sin T / 2 \u003d 2 Sin 2x + T / 2 Sin T / 2,
Sin T / 2 (Cos T + 2x / 2 - Sin T + 2x / 2) \u003d 0,
√2 Sin T / 2 Sin (π / 4 - T + 2x / 2) \u003d 0, dakle,
Sin T/2 = 0, tada je T = 2πk.
Jer (h ± 2πk) ê D f , gdje je f(x) = Sin x + Cos x,
f(h + t) = f(h), tada je funkcija f(h) periodična sa najmanjim pozitivnim periodom 2π.
Primjer 2. Da li je periodična funkcija f (x) \u003d Cos 2x Sin x, koliki je njen period?
Rješenje. Neka je f 1 (x) \u003d Cos 2x, zatim T 1 \u003d 2π: 2 = π (vidi 2)
Neka je f 2 (x) = Sin x, onda je T 2 = 2π. Jer π/2π = ½ je racionalan broj, tada je ova funkcija periodična. Njegov period T = LCM
(π, 2π) = 2π.
Dakle, ova funkcija je periodična sa periodom od 2π.
5. Neka je funkcija f(t), koja nije identično jednaka konstanti, kontinuirana i periodična, tada ima najmanji pozitivni period ω 0 , svaki drugi period njegovog ω ima oblik: ω= kω 0 , gdje je k ê Z.
Napomena: 1) Dva uslova su veoma važna u ovoj osobini:
f(t) je kontinuiran, f(t) ≠ C, gdje je C konstanta.
2) Obratno nije tačno. Odnosno, ako su svi periodi uporedivi, onda iz ovoga ne proizlazi da postoji najmanji pozitivni period. One. periodična funkcija možda nema najmanji pozitivan period.
PRIMJER 1. f(t) = C, periodično. Njegov period je bilo koji realan broj, ne postoji najmanji period.
Primjer 2. Dirichletova funkcija:
D(x) =
Svaki racionalni broj je njegov period, ne postoji najmanji pozitivni period.
6. Ako je f(t) kontinuirana periodična funkcija i ω 0 je njen najmanji pozitivni period, tada funkcija f(αt + β) ima najmanji pozitivni period ω 0 //α/. Ova izjava proizilazi iz tačke 2.
Primjer 1. Pronađite period funkcije y \u003d Sin (2x - 5).
Rješenje. y = Sin (2x - 5) = Sin (2 (x - 5/2)).
Grafikon funkcije y se dobija iz grafika funkcije Sin x, prvo dvostrukim “komprimiranjem”, a zatim “pomjeranjem” udesno za 2,5. „Pomeranje ne utiče na periodičnost, T = π je period ove funkcije.
Lako je dobiti period ove funkcije koristeći svojstvo stavke 6:
T = 2π / 2 \u003d π.
7. Ako je f (t) - ω periodična funkcija i ima kontinuirani izvod f "(t), onda je f" (t) također periodična funkcija, T \u003d ω
PRIMJER 1. f(t) = Sin t, T = 2πk. Njegov izvod f"(t) = Cos t
F "(t) = Cos t, T \u003d 2πk, k ê Z.
PRIMJER 2. f(t) = Cos t, T = 2πk. Njegov derivat
F "(t) \u003d - Sin t, T \u003d 2πk, k ê Z.
Primjer 3. f(t) =tg t, njegov period je T = πk.
F "(t) \u003d 1 / Cos 2 t je također periodičan prema osobini 7 i ima period T = πk. Njegov najmanji pozitivni period je T = π.
ZADACI.
№ 1
Je li funkcija f(t) = Sin t + Sin πt periodična?
Rješenje. Poređenja radi, ovaj problem rješavamo na dva načina.
Prvo, po definiciji periodične funkcije. Pretpostavimo da je f(t) periodično, onda za bilo koje t ê D f imamo:
Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + T) - Sin t \u003d Sin πt - Sin π (t + T),
2 Cos 2t + T/2 Sin T/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Jer ovo važi za bilo koje t ê D f , zatim, posebno za t 0 , pri čemu lijeva strana posljednje jednakosti nestaje.
Tada imamo: 1) Cos 2t 0 + T/2 Sin T/2 = 0. Odluči u odnosu na T.
Sin T/2 = 0 na T = 2 πk, gdje je k ê Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. Razlučiti u odnosu na T.
Sin πT/2 = 0, tada je T = 2πn/ π = 2n, n≠0, gdje je nê Z.
Jer imamo identitet, onda je 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, što ne može biti, jer π je iracionalan broj, a n/ k je racionalan. Odnosno, naša pretpostavka da je funkcija f(t) periodična nije bila tačna.
Drugo, rješenje je mnogo jednostavnije ako koristimo gornja svojstva periodičnih funkcija:
Neka je f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. Tada je T 1 /T 2 = 2π/2 = π je iracionalan broj, tj. periodi T 1 , T 2 nisu srazmjerne, tako da f(t) nije periodična.
Odgovor: ne.
№ 2
Pokažite da ako je α iracionalan broj, onda je funkcija
F(t) = Cos t + Cos αt
nije periodično.
Rješenje. Neka je f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.
Tada su njihovi periodi T 1 \u003d 2π, T 2 = 2π//α/ - najmanji pozitivni periodi. Hajde da nađemo, T 1 /T 2 = 2π/α//2π = /α/ je iracionalan broj. Dakle, T 1 i T 2 su nesamjerljive, a funkcija
f(t) nije periodična.
№ 3
Odrediti najmanji pozitivni period funkcije f(t) = Sin 5t.
Rješenje. Po svojstvu 2 imamo:
f(t) je periodična; T = 2π/5.
Odgovor: 2π/5.
№ 4
Da li je F(x) = arccos x + arcsin x periodična funkcija?
Rješenje. Razmotrite ovu funkciju
F(x) \u003d arccos x + arcsin x \u003d π - arcsin x + arcsin x \u003d π,
one. F(x) je periodična funkcija (vidi stavku svojstva 5, primjer 1.).
Odgovor: da.
№ 5
Je periodična funkcija
F (x) \u003d Sin 2x + Cos 4x + 5?
rješenje. Neka je f 1 (x) = Sin 2x, tada je T 1 = π;
F 2 (x) \u003d Cos 4x, zatim T 2 \u003d 2π / 4 = π / 2;
F 3 (x) \u003d 5, T 3 - bilo koji realan broj, posebno T 3 možemo pretpostaviti da je jednako T 1 ili T 2 . Tada je period ove funkcije T = LCM (π, π/2) = π. To jest, f(x) je periodična sa periodom T = π.
Odgovor: da.
№ 6
Je li funkcija f(x) = x - E(x) periodična, gdje je E(x) funkcija koja pridružuje argument x najmanjem cijelom broju koji ne prelazi dati.
Rješenje. Često se funkcija f (x) označava sa (x) - razlomkom broja x, tj.
F(x) = (x) = x - E (x).
Neka je f(h) periodična funkcija, tj. postoji broj T >0 takav da je x - E(x) = x + T - E(x + T). Napišimo ovu jednačinu
(x) + E(x) - E(x) = (x + T) + E(x + T) - E(x + T),
(x) + (x + T) - tačno za bilo koje x iz domena D f, pod uslovom da je T ≠ 0 i T ê Z. Najmanja pozitivna od njih je T = 1, tj. T = 1 tako da je
X + T - E (x + T) \u003d x - E (x),
Štaviše, (h ± Tk) ê D f , gdje je k ê Z.
Odgovor: Ova funkcija je periodična.
№ 7
Je li funkcija f(x) = Sin x periodična? 2 .
Rješenje. Recimo f(x) = Sin x 2 periodična funkcija. Tada, po definiciji periodične funkcije, postoji broj T ≠ 0 takav da je: Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 za bilo koji x ê D f.
Sin x 2 = Sin (x + T) 2 = 0,
2 Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0, tada
Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 = 0 ili Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 = 0.
Razmotrimo prvu jednačinu:
Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d 0,
X 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d π (1 + 2 k) / 2 (k ê Z),
T \u003d √ π (1 + 2 k) - x 2 - x. (jedan)
Razmotrimo drugu jednačinu:
Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0,
X + T \u003d √- 2πk + x 2,
T \u003d √x 2 - 2πk - x. (2)
Iz izraza (1) i (2) se vidi da pronađene vrijednosti T zavise od x, tj. ne postoji T>0 takav da
Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2
Za bilo koji x iz domene ove funkcije. f(x) nije periodična.
Odgovor: ne
№ 8
Istražiti periodičnost funkcije f(x) = Cos 2 x.
Rješenje. Predstavimo f(x) formulom kosinusa dvostrukog ugla
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
Neka je f 1 (x) = ½, onda je T 1 - može biti bilo koji realan broj; f 2 (x) \u003d ½ Cos 2x je periodična funkcija, jer proizvod dvije periodične funkcije koje imaju zajednički period T 2 = pi. Zatim najmanji pozitivni period ove funkcije
T \u003d LCM (T 1, T 2) \u003d π.
Dakle, funkcija f(x) = Cos 2 x – π – je periodično.
Odgovor: π je periodično.
№ 9
Može li domena periodične funkcije biti:
A) poluprava [a, ∞),
B) rez?
Rješenje. Ne, jer
A) po definiciji periodične funkcije, ako je hê D f, tada i x ± ω
Mora pripadati opsegu funkcije. Neka je onda x = a
X 1 \u003d (a - ω) ê [a, ∞);
B) neka je x = 1, a zatim x 1 \u003d (1 + T) ê.
№ 10
Može li periodična funkcija biti:
A) strogo monotono;
B) čak;
B) čak ni?
Rješenje. a) Neka je f(x) periodična funkcija, tj. postoji T≠0 takav da za bilo koji x iz domena funkcija D f šta
(x ± T) ê D f i f (x ± T) \u003d f (x).
Popravi bilo koji x 0 º D f , jer f(x) je periodična, onda (x 0 + T) ê D f i f (x 0) \u003d f (x 0 + T).
Pretpostavimo da je f(x) striktno monotona i na cijeloj domeni definicije D f , na primjer, povećava. Tada po definiciji rastuće funkcije za bilo koji x 1 i x 2 sa domena D f iz nejednakosti x 1 2 slijedi da je f(x 1 ) 2 ). Konkretno, iz uslova x 0 0 + T, iz toga slijedi
F(x 0 ) 0 +T), što je u suprotnosti sa uslovom.
To znači da periodična funkcija ne može biti striktno monotona.
b) Da, periodična funkcija može biti parna. Uzmimo nekoliko primjera.
F (x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T \u003d 2π, f (x) je parna periodična funkcija.
0 ako je x racionalan broj;
D(x) =
1 ako je x iracionalan broj.
D(x) = D(-x), domen funkcije D(x) je simetričan.
Direchletova funkcija D(x) je parna periodična funkcija.
f(x) = (x),
f (-x) = -x - E (-x) \u003d (-x) ≠ (x).
Ova funkcija nije ravnomjerna.
c) Periodična funkcija može biti neparna.
f (x) = Sin x, f (-x) = Sin (-x) \u003d - Sin = - f (x)
f(x) je neparna periodična funkcija.
f (x) - Sin x Cos x, f (-x) \u003d Sin (-x) Cos (-x) \u003d - Sin x Cos x = - f (x),
f(x) je neparan i periodičan.
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) nije neparna.
f(h) = tg x je neparna periodična funkcija.
Odgovor: ne; Da; Da.
№ 11
Koliko nula može imati periodična funkcija na:
jedan) ; 2) na cijeloj realnoj osi, ako je period funkcije jednak T?
Rješenje: 1. a) Na segmentu [a, b] periodična funkcija možda nema nule, na primjer, f(x) = C, C≠0; f (x) \u003d Cos x + 2.
b) Na segmentu [a, b], periodična funkcija može imati beskonačan broj nula, na primjer, Direchletova funkcija
0 ako je x racionalan broj,
D(x) =
1 ako je x iracionalan broj.
c) Na segmentu [a, b], periodična funkcija može imati konačan broj nula. Hajde da nađemo ovaj broj.
Neka je T period funkcije. Označiti
X 0 = (min x ê(a,b), tako da je f(h) = 0).
Tada je broj nula na segmentu [a, b]: N = 1 + E (u x 0 /T).
Primjer 1. x ê [-2, 7π / 2], f (x) \u003d Cos 2 h je periodična funkcija s periodom T = π; X 0 = -π/2; zatim broj nula funkcije f(x) na datom segmentu
N = 1 + E (7π / 2 - (-π / 2) / 2) \u003d 1 + E (8π / 2π) = 5.
Primjer 2. f (x) \u003d x - E (x), x ê [-2; 8.5]. f(h) – periodična funkcija, T + 1,
x 0 = -2. Zatim broj nula funkcije f(x) na datom segmentu
N = 1 + E (8,5 - (-2) / 1) = 1 + E (10,5 / 1) = 1 + 10 \u003d 11.
Primjer 3. f (x) \u003d Cos x, x ê [-3π; π], T 0 \u003d 2π, x 0 \u003d - 5π / 2.
Zatim broj nula ove funkcije na datom segmentu
N = 1 + E (π - (-5π / 2) / 2π) = 1 + E (7π / 2π) = 1 + 3 \u003d 4.
2. a) Beskonačan broj nula, jer X 0 ê D f i f(h 0 ) = 0, zatim za sve brojeve
X 0 + Tk, gdje je k ê Z, f (x 0 ± Tk) = f (x 0 ) =0, i tačke oblika x 0 ± Tk je beskonačan skup;
b) nemaju nule; ako je f(h) periodično i za bilo koje
h ê D f funkcija f(x) >0 ili f(x)
F(x) \u003d Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;
F(x) \u003d Sin x - 8 + Cos x;
F(x) = Sin x Cos x + 5.
№ 12
Može li zbir neperiodičnih funkcija biti periodičan?
Rješenje. Da možda. Na primjer:
- f1 (h) = h je neperiodično, f 2 (x) \u003d E (x) - neperiodično
F (x) \u003d f 1 (x) - f 2 (x) \u003d x - E (x) - periodično.
- f1 (x) \u003d x - neperiodično, f (x) \u003d Sin x + x - neperiodično
F (x) \u003d f 2 (x) - f 1 (x) = Sin x - periodično.
Odgovor: da.
№ 13
Funkcije f(x) i φ(x) su periodične s periodima T 1 i T 2 respektivno. Da li je njihov proizvod uvijek periodična funkcija?
Rješenje. Ne, samo ako T 1 i T 2 - uporedivo. Na primjer,
F(x) \u003d Sin x Sin πx, T 1 \u003d 2π, T 2 \u003d 2; onda T 1 /T 2 = 2π/2 = π je iracionalan broj, tako da f(h) nije periodičan.
f (x) = (x) Cos x = (x - E (x)) Cos x. Neka f 1 (x) = x - E (x), T 1 = 1;
f 2 (x) \u003d Cos (x), T 2 = 2π. T 2 /T 1 = 2π/1 = 2π, pa f(x) nije periodična.
Odgovor: Ne.
Zadaci za samostalno rješavanje
Koje od funkcija su periodične, pronaći period?
1. f (x) = Sin 2x, 10. f (x) = Sin x / 2 + tg x,
2. f (x) = Cos x / 2, 11. f (x) = Sin 3x + Cos 4x,
3. f (x) = tg 3x, 12. f (x) = Sin 2 x+1,
4. f(x) = Cos (1 - 2x), 13. f(x) = tg x + ctg√2x,
5. f (x) = Sin x Cos x, 14. f (x) \u003d Sin πx + Cos x,
6. f (x) = ctg x / 3, 15. f (x) \u003d x 2 - E (x 2),
7. f (x) \u003d Sin (3x - π / 4), 16. f (x) = (x - E (x)) 2 ,
8. f (x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f (x) = 2 x - E (x),
9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1 ako je n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
Neka je f(x) - T periodična funkcija. Koje od funkcija su periodične (naći T)?
- φ(x) = f(x + λ) je periodična, jer "pomak" duž ose Ox ne utiče na ω; njegov period ω = T.
- φ(h) = a f(h + λ) + v je periodična funkcija sa periodom ω = T.
- φ(x) = f(kx) je periodična funkcija s periodom ω = T/k.
- φ(x) \u003d f (ax + b) - periodična funkcija s periodom ω \u003d T / a.
- φ(x) = f(√x) nije periodična, jer njegov domen definicije Dφ = (x/x ≥ 0), dok domen definicije periodične funkcije ne može biti poluosa.
- φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) - 1) je periodična funkcija, jer
φ (x + T) \u003d f (x + T) + 1 / f (x + T) - 1 = φ (x), ω = T.
- φ (x) \u003d a f 2 (x) + in f (x) + c.
Neka je φ 1 (x) = a f 2 (x) - periodično, ω 1 = t/2;
φ 2 (h) = u f(h) – periodično, ω 2=T/T=T;
φ 3 (h) = s – periodično, ω 3 - bilo koji broj;
tada je ω = LCM(T/2; T) = T, φ(h) je periodičan.
Inače, jer domena definicije ove funkcije je cijela brojevna prava, zatim skup vrijednosti funkcije f - E f ê D φ , dakle funkcija
φ(h) je periodičan i ω = T.
- φ(h) = √φ(h), f(h) ≥ 0.
φ(h) je periodičan sa periodom ω = T, jer za bilo koji x, funkcija f(x) uzima vrijednosti f(x) ≥ 0, tj. njegov skup vrijednosti E f ê D φ , gdje je
Dφ je domen definicije funkcije φ(z) = √z.
№ 15
Je li funkcija f(x) = x 2 periodično?
Rješenje. Uzmimo x ≥ 0, tada za f(x) postoji inverzna funkcija √x, što znači da je na ovom intervalu f(x) monotona funkcija, onda ne može biti periodična (vidi br. 10).
№ 16
Dat je polinom P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ... a n x.
Da li je P(x) periodična funkcija?
Rješenje. 1. Ako je identitet konstantan, tada je P(x) periodična funkcija, tj. ako a i = 0, gdje je i ≥ 1.
2. Neka je P(x) ≠ c, gdje je c neka konstanta. Neka je P(x) periodična funkcija, i neka P(x) ima realne korijene, onda pošto P(x) je periodična funkcija, onda ih mora postojati beskonačan broj. A prema osnovnoj teoremi algebre, njihov broj k je takav da je k ≤ n. Dakle, P(x) nije periodična funkcija.
3. Neka je P(x) polinom koji je identično različit od nule i nema realnih korijena. Recimo da je P(x) periodična funkcija. Uvodimo polinom q(x) = a 0 , q(h) je periodična funkcija. Razmotrimo razliku P(x) - q(x) = a 1 x 2 + ... + a n x n.
Jer na lijevoj strani jednakosti postoji periodična funkcija, tada je i funkcija na desnoj strani periodična, štoviše, ima barem jedan pravi korijen, x = 0. Ako je funkcija periodična, onda mora postojati beskonačan broj nula. Imamo kontradikciju.
P(x) nije periodična funkcija.
№ 17
Funkcija f(t) – T je periodična. Je li funkcija f do (t), gdje
kê Z, periodična funkcija, kako su njihovi periodi povezani?
Rješenje. Dokaz će se provesti metodom matematičke funkcije. Neka
f 1 = f(t), zatim f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),
F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 je periodična funkcija prema svojstvu stavke 4.
………………………………………………………………………….
Neka je f k-1 = f k-1 (t) je periodična funkcija i njen period T k-1 srazmjerno s periodom T. Pomnožimo oba dijela posljednje jednakosti sa f(t), dobićemo f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),
F to = f to (t) je periodična funkcija prema osobini 4. ω ≤ T.
№ 18
Neka je f(x) proizvoljna funkcija definirana na . Da li je funkcija f((x)) periodična?
A n e t: da, jer skup vrijednosti funkcije (x) pripada domeni definicije funkcije f(x), tada je po svojstvu 3 f((x)) periodična funkcija, njen period ω = T = 1.
№ 19
F(x) je proizvoljna funkcija definirana na [-1; 1], da li je funkcija f(sinx) periodična?
Odgovor: da, njegov period je ω = T = 2π (dokaz je sličan #18).
HARMONIČKA ANALIZA
Uvod.
Savremeni razvoj tehnologije postavlja sve veće zahtjeve za matematičku obuku inženjera. Kao rezultat formulacije i proučavanja niza specifičnih problema u mehanici i fizici, nastala je teorija trigonometrijskih nizova. Fourierovi redovi imaju najvažniju ulogu u svim oblastima tehnologije zasnovane na teoriji oscilacija i teoriji spektralne analize. Na primjer, u sistemima za prijenos podataka za opisivanje signala, praktična primjena spektralnih reprezentacija uvijek dovodi do potrebe za eksperimentalnom implementacijom Fourierove ekspanzije. Uloga trigonometrijskih redova u elektrotehnici je posebno velika u proučavanju periodičnih nesinusoidnih struja: amplitudski spektar funkcije nalazi se pomoću Fourierovog reda u složenom obliku. Fourierov integral se koristi za predstavljanje neperiodičnih procesa.
Trigonometrijski nizovi imaju važne primjene u brojnim granama matematike i pružaju posebno pogodne metode za rješavanje teških problema u matematičkoj fizici, kao što su vibracije žice i širenje topline u štapu.
Periodične funkcije.
Mnogi problemi nauke i tehnologije povezani su s periodičnim funkcijama koje odražavaju ciklične procese.
Definicija 1. Periodične pojave nazivaju se pojave koje se ponavljaju u istom nizu iu istom obliku u određenim intervalima argumenta.
Primjer. U spektralnoj analizi - spektri.
Definicija 2. Funkcija at = f(x) se naziva periodičnom sa tačkom T, ako f(x + T) = f(x) za sve X i x + T iz opsega funkcije.
Na slici je period prikazane funkcije T = 2.
Definicija 3. Najmanji pozitivni period funkcije naziva se glavni period.
Tamo gdje se treba baviti periodičnim pojavama, gotovo uvijek se susreću trigonometrijske funkcije.
Period funkcije 
je jednako , period funkcija 
je jednako .
Period trigonometrijskih funkcija s argumentom ( Oh) se nalazi po formuli:
.
Primjer. Pronađite glavni period funkcija 1) 
.
Rješenje. 1) . 2) .
Lemma. Ako f(x) ima period T, zatim integral ove funkcije, uzet u granicama koje se razlikuju za T, ne zavisi od izbora donje granice integracije, tj. = .
Glavni period je težak periodična funkcija at = f(x) (koji se sastoji od zbira periodičnih funkcija) je najmanji zajednički višekratnik perioda sastavnih funkcija.
Odnosno, ako f(x) = f 1 (x) + f 2 (x), T 1 - period funkcije f 1 (x), T 2 - period funkcije f 2 (x), zatim najmanji pozitivni period T mora zadovoljiti uslov:
T = nt 1 + kT 2, gdje(*) –
U normalnim školskim zadacima dokazati periodičnost ova ili ona funkcija obično nije teška: stoga, da bismo potvrdili da je funkcija $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ periodična, dovoljno je jednostavno primijetiti da je proizvod $T=4\times7\times 2 \pi$ je njegov period: ako dodamo broj T na x, onda će ovaj proizvod "pojesti" oba nazivnika i ispod predznaka sinusa bit će suvišni samo cijeli višekratnici od $2\pi$, koje će sam sinus "pojesti" .
Ali dokaz neperiodičnosti jedna ili druga funkcija direktno po definiciji možda uopće nije jednostavna. Dakle, da biste dokazali neperiodičnost gornje funkcije $y=\sin x^2$, možete napisati jednakost $sin(x+T)^2=\sin x^2$, ali nemojte riješiti ovu trigonometrijsku jednadžba iz navike, ali je zamijenite u nju x=0, nakon čega će se ostatak dobiti gotovo automatski: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, gdje je k neki cijeli broj veći od 0, tj $T=\sqrt (k\pi)$, a ako sada pogodite i zamijenite $x=\sqrt (\pi)$ u njega, ispada da je $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, odakle je $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, pa je p korijen jednačine $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, tj. je algebarski, što nije tačno: $\pi$ je, kao što znamo, transcendentalno, tj. nije korijen bilo koje algebarske jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima. Međutim, u budućnosti ćemo dobiti mnogo jednostavniji dokaz ove tvrdnje – ali uz pomoć alata matematičke analize.
Prilikom dokazivanja neperiodičnosti funkcija često pomaže elementarni logički trik: ako sve periodične funkcije imaju neko svojstvo, ali ga ova funkcija nema, onda je, naravno, nije periodično. Dakle, periodična funkcija poprima bilo koju od svojih vrijednosti beskonačno mnogo puta, pa je, na primjer, funkcija $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ nije periodično, pošto je vrijednost 7 potrebna samo dva boda. Često, da bi se dokazala neperiodičnost, zgodno je koristiti njegove singularnosti domene, a da biste pronašli željeno svojstvo periodičnih funkcija, ponekad morate pokazati određenu maštu.
Također napominjemo da se vrlo često na pitanje šta je neperiodična funkcija mora čuti odgovor u stilu o kojem smo govorili u vezi parne i neparne funkcije, je kada je $f(x+T)\neq f(x)$, što, naravno, nije dozvoljeno.
A tačan odgovor zavisi od konkretne definicije periodične funkcije, a na osnovu gore date definicije može se, naravno, reći da je funkcija neperiodična ako nema jednu tačku, ali to će biti “loša” definicija koja ne daje smjer dokaz neperiodičnosti. A ako to dalje dešifrujemo, opisujući šta znači rečenica "funkcija f nema tačku", ili, što je isto, "nijedan broj $T \neq 0$ nije period funkcije f", onda ćemo dobiti da funkcija f nije periodična ako i samo ako za svaki $T \neq 0$ postoji broj $x\u D(f)$ takav da je barem jedan od brojeva $x+T$ i $xT$ ne pripada D(f) ili $f(x+T)\neq f(x)$.
Može se reći i drugačije: "Postoji broj $x\u D(f)$ takav da jednakost $f(x+T) = f(x)$ ne vrijedi" - ova jednakost možda ne vrijedi za dva razlozi: ili to nema smisla, tj. jedan od njegovih dijelova nije definiran, ili - u suprotnom, biti nevažeći. Zanimljivosti radi, dodajemo da se i ovdje manifestuje jezički efekat o kojem smo gore govorili: jer jednakost, „ne biti istinit” i „biti u krivu” nisu ista stvar – jednakost možda ipak nema smisla.
Detaljno razjašnjenje uzroka i posledica ovog jezičkog efekta zapravo nije predmet matematike, već teorije jezika, lingvistike, odnosno njenog posebnog odeljka: semantike - nauke o značenju, gde se, međutim, ova pitanja nalaze. vrlo složene i nemaju jednoznačno rješenje. A matematika, uključujući i školsku matematiku, prinuđena je da trpi ove poteškoće i prevazilazi jezičke „poremećaje“ – sve dotle i u meri u kojoj koristi, uz simbolički, prirodni jezik.
Svrha: uopštavanje i sistematizacija znanja učenika na temu „Periodnost funkcija“; formirati vještine primjene svojstava periodične funkcije, pronalaženja najmanjeg pozitivnog perioda funkcije, crtanja periodičnih funkcija; promovirati interesovanje za proučavanje matematike; negovati zapažanje, tačnost.
Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, kartice sa zadacima, slajdovi, satovi, ornamenti, elementi narodnog zanata
“Matematika je ono što ljudi koriste da kontrolišu prirodu i sebe”
A.N. Kolmogorov
Tokom nastave
I. Organizaciona faza.
Provjera spremnosti učenika za nastavu. Prezentacija teme i ciljeva časa.
II. Provjera domaćeg zadatka.
Provjeravamo domaće zadatke prema uzorcima, raspravljamo o najtežim tačkama.
III. Generalizacija i sistematizacija znanja.
1. Oralni frontalni rad.
Teorijska pitanja.
1) Formirajte definiciju perioda funkcije
2) Koji je najmanji pozitivni period funkcija y=sin(x), y=cos(x)
3). Koji je najmanji pozitivni period funkcija y=tg(x), y=ctg(x)
4) Koristite krug da dokažete ispravnost odnosa:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z
sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z
5) Kako nacrtati periodičnu funkciju?
oralne vježbe.
1) Dokažite sljedeće relacije
a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)
2. Dokazati da je ugao od 540º jedan od perioda funkcije y= cos(2x)
3. Dokazati da je ugao od 360º jedan od perioda funkcije y=tg(x)
4. Transformirajte ove izraze tako da uglovi uključeni u njih ne prelaze 90º u apsolutnoj vrijednosti.
a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)
5. Gdje ste se susreli sa riječima PERIOD, PERIODIČNOST?
Odgovori učenika: Period u muzici je konstrukcija u kojoj se iznosi manje ili više cjelovita muzička misao. Geološki period je deo jedne ere i podeljen je na epohe sa periodom od 35 do 90 miliona godina.
Poluživot radioaktivne supstance. Periodični razlomak. Periodične publikacije su štampane publikacije koje se pojavljuju u strogo određenim datumima. Periodični sistem Mendeljejeva.
6. Slike prikazuju dijelove grafova periodičnih funkcija. Definirajte period funkcije. Odredite period funkcije.
Odgovori: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. Gdje ste se u životu susreli sa konstrukcijom ponavljajućih elemenata?
Učenici odgovaraju: Elementi ornamenta, narodna umjetnost.
IV. Kolektivno rješavanje problema.
(Rješavanje problema na slajdovima.)
Razmotrimo jedan od načina proučavanja funkcije za periodičnost.
Ova metoda zaobilazi poteškoće povezane s dokazivanjem da je jedan ili drugi period najmanji, a također nema potrebe doticati pitanja o aritmetičkim operacijama nad periodičnim funkcijama i o periodičnosti složene funkcije. Obrazloženje se zasniva samo na definiciji periodične funkcije i na sljedećoj činjenici: ako je T period funkcije, onda je nT(n? 0) njen period.
Zadatak 1. Pronađite najmanji pozitivni period funkcije f(x)=1+3(x+q>5)
Rješenje: Pretpostavimo da je T-period ove funkcije. Tada je f(x+T)=f(x) za sve x ∈ D(f), tj.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Neka dobijemo x=-0,25
(T)=0<=>T=n, n ∈ Z
Dobili smo da su svi periodi razmatrane funkcije (ako postoje) među cijelim brojevima. Odaberite među ovim brojevima najmanji pozitivan broj. Ovo 1 . Hajde da proverimo da li je to zapravo period 1 .
f(x+1)=3(x+1+0,25)+1
Kako je (T+1)=(T) za bilo koji T, onda je f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), tj. 1 - tačka f. Kako je 1 najmanji od svih pozitivnih cijelih brojeva, onda je T=1.
Zadatak 2. Pokazati da je funkcija f(x)=cos 2 (x) periodična i pronaći njen glavni period.
Zadatak 3. Pronađite glavni period funkcije
f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
Pretpostavimo T-period funkcije, zatim za bilo koju X odnos
sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
Ako je x=0 onda
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5
Ako je x=-T, onda
sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)
5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)
| sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 |
Zbrajanjem dobijamo:
10cos(0.75T)=10
2π n, n € Z
Odaberimo od svih brojeva "sumnjivih" za period najmanji pozitivan i provjerimo da li je to period za f. Ovaj broj
f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)
Dakle, glavni je period funkcije f.
Zadatak 4. Provjerite je li funkcija f(x)=sin(x) periodična
Neka je T period funkcije f. Zatim za bilo koji x
sin|x+T|=sin|x|
Ako je x=0, onda sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.
Pretpostavimo. Da je za neko n broj π n tačka
razmatrana funkcija π n>0. Tada sin|π n+x|=sin|x|
Ovo implicira da n mora biti i paran i neparan u isto vrijeme, što je nemoguće. Stoga ova funkcija nije periodična.
Zadatak 5. Provjerite je li funkcija periodična
f(x)= 
Neka je T onda period f
, dakle sinT=0, T=π n, n € Z. Pretpostavimo da je za neko n broj π n zaista period date funkcije. Tada će i broj 2π n biti tačka
Pošto su brojnici jednaki, jednaki su i imenioci, dakle
Dakle, funkcija f nije periodična.
Grupni rad.
Zadaci za grupu 1.
Zadaci za grupu 2.
Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njen glavni period (ako postoji).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Zadaci za grupu 3.
Na kraju rada grupe predstavljaju svoja rješenja.
VI. Sumiranje lekcije.
Refleksija.
Nastavnik daje učenicima kartice sa crtežima i nudi da prefarbaju deo prvog crteža u skladu sa stepenom u kojem su, kako im se čini, savladali metode proučavanja funkcije za periodičnost, a u delu drugog crteža , u skladu sa njihovim doprinosom u radu na času.
VII. Zadaća
jedan). Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njen glavni period (ako postoji)
b). f(x)=x 2 -2x+4
c). f(x)=2tg(3x+5)
2). Funkcija y=f(x) ima period T=2 i f(x)=x 2 +2x za x € [-2; 0]. Pronađite vrijednost izraza -2f(-3)-4f(3,5)
književnost/
- Mordkovich A.G. Algebra i početak analize uz dubinsko proučavanje.
- Matematika. Priprema za ispit. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra i početna analiza za 10-11 razred.