Kako riješiti diferencijalne jednadžbe trećeg reda. Red diferencijalne jednadžbe i njeno rješenje, Cauchyjev problem

Za dublje razumijevanje onoga što se događa u ovom članku, možete pročitati.

Razmotrimo homogeni sistem diferencijalnih jednačina trećeg reda

Ovdje su x(t), y(t), z(t) tražene funkcije na intervalu (a, b), a ij (i, j =1, 2, 3) su realni brojevi.

Zapišimo originalni sistem u matričnom obliku
,
Gdje

Tražićemo rešenje za originalni sistem u formi
,
Gdje , C 1 , C 2 , C 3 su proizvoljne konstante.

Da biste pronašli osnovni sistem rješenja, potrebno je riješiti takozvanu karakterističnu jednačinu

Ova jednadžba je algebarska jednadžba trećeg reda, stoga ima 3 korijena. Mogući su sljedeći slučajevi:

1. Korijeni (svojstvene vrijednosti) su stvarni i različiti.

2. Među korijenima (svojstvenim vrijednostima) postoje kompleksno konjugirani, neka
- pravi korijen
=

3. Korijeni (svojstvene vrijednosti) su realni. Jedan od korijena je višestruki.

Da bismo shvatili kako postupiti u svakom od ovih slučajeva, trebat će nam:
Teorema 1.
Neka su parno različite svojstvene vrijednosti matrice A, i neka su njihovi odgovarajući svojstveni vektori. Onda

formiraju fundamentalni sistem rješenja originalnog sistema.

Komentar .
Neka je stvarna svojstvena vrijednost matrice A (pravi korijen karakteristične jednadžbe), i neka je odgovarajući svojstveni vektor.
= - kompleksne svojstvene vrijednosti matrice A, - odgovarajući - svojstveni vektor. Onda

(Re - stvarni dio, Im - imaginarni dio)
formiraju fundamentalni sistem rješenja originalnog sistema. (tj. i = razmatrano zajedno)

Teorema 3.
Neka je korijen karakteristične jednadžbe višestrukosti 2. Tada originalni sistem ima 2 linearno nezavisna rješenja oblika
,
gdje su , vektorske konstante. Ako je višestrukost 3, tada postoje 3 linearno nezavisna rješenja oblika
.
Vektori se nalaze zamjenom rješenja (*) i (**) u originalni sistem.
Da biste bolje razumjeli metodu za pronalaženje rješenja oblika (*) i (**), pogledajte tipične primjere u nastavku.

Sada pogledajmo svaki od gore navedenih slučajeva detaljnije.

1. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju različitih realnih korijena karakteristične jednačine.
S obzirom na sistem

1) Sastavljamo karakterističnu jednačinu

- stvarne i različite svojstvene vrijednosti 9 korijena ove jednadžbe).
2) Mi gradimo gde

3) Mi gradimo gde
- svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. - bilo koje sistemsko rješenje

4) Mi gradimo gde
- svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. - bilo koje sistemsko rješenje

5)

čine temeljni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema u obliku
,
ovdje su C 1, C 2, C 3 proizvoljne konstante,
,
ili u koordinatnom obliku

Pogledajmo nekoliko primjera:
Primjer 1.

2) Pronađite

3) Nalazimo

4) Vektorske funkcije

ili u koordinatnoj notaciji

Primjer 2.

1) Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu:

2) Pronađite

3) Nalazimo

4) Nađi

5) Vektorske funkcije

formiraju fundamentalni sistem. Opšte rješenje ima oblik

ili u koordinatnoj notaciji

2. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju kompleksnih konjugiranih korijena karakteristične jednačine.

- pravi korijen,

2) Mi gradimo gde

3) Mi gradimo

- svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. zadovoljava sistem

Ovdje je Re pravi dio
Im - imaginarni dio
4) čine temeljni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema:
, Gdje
C 1, C 2, C 3 su proizvoljne konstante.

Primjer 1.

1) Sastavite i riješite karakterističnu jednačinu

2) Gradimo

3) Mi gradimo
, Gdje

Smanjimo prvu jednačinu za 2. Zatim drugoj jednačini dodajte prvu pomnoženu sa 2i, a od treće jednačine oduzmite prvu pomnoženu sa 2.

Dalje

dakle,

4) - osnovni sistem rješenja. Zapišimo generalno rješenje originalnog sistema:

Primjer 2.

1) Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu

2) Gradimo

(tj. i razmatrani zajedno), gdje

Pomnožite drugu jednačinu sa (1-i) i smanjite za 2.

dakle,

3)
Opšte rješenje originalnog sistema

ili

2. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju višestrukih korijena karakteristične jednačine.
Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu

Postoje dva moguća slučaja:

Razmotrimo slučaj a) 1), gdje

- svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. zadovoljava sistem

2) Pozovimo se na teoremu 3, iz koje slijedi da postoje dva linearno nezavisna rješenja oblika
,
gdje su , su konstantni vektori. Uzmimo ih za .
3) - osnovni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema:

Razmotrimo slučaj b):
1) Pozovimo se na teoremu 3, iz koje slijedi da postoje tri linearno nezavisna rješenja oblika
,
gdje su , , konstantni vektori. Uzmimo ih za .
2) - osnovni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema.

Da biste bolje razumjeli kako pronaći rješenja oblika (*), razmotrite nekoliko tipičnih primjera.

Primjer 1.

Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu:

Imamo slučaj a)
1) Mi gradimo
, Gdje

Od druge jednačine oduzimamo prvu:

? Treći red je sličan drugom, precrtavamo ga. Oduzmi drugu od prve jednačine:

2) = 1 (višestruko od 2)
Prema T.3, ovaj korijen mora odgovarati dvama linearno nezavisnim rješenjima oblika .
Pokušajmo pronaći sva linearno nezavisna rješenja za koja, tj. rješenja oblika
.
Takav vektor će biti rješenje ako i samo ako svojstveni vektor odgovara =1, tj.
, ili
, drugi i treći red su slični prvom, izbacite ih.

Sistem je sveden na jednu jednačinu. Prema tome, postoje dvije slobodne nepoznanice, na primjer, i . Hajde da im prvo damo vrednosti 1, 0; zatim vrijednosti 0, 1. Dobijamo sljedeća rješenja:
.
dakle, .
3) - osnovni sistem rješenja. Ostaje da zapišemo opšte rešenje originalnog sistema:
. .. Dakle, postoji samo jedno rešenje oblika Zamenimo X 3 u ovaj sistem: Precrtaj treći red (sličan je drugom). Sistem je konzistentan (ima rješenje) za bilo koje c. Neka je c=1.
ili

Navedene su glavne vrste običnih diferencijalnih jednadžbi višeg reda (DE) koje se mogu riješiti. Ukratko su navedene metode za njihovo rješavanje. Date su veze do stranica sa detaljnim opisima metoda rješenja i primjera.

Sadržaj

Vidi također: Diferencijalne jednadžbe prvog reda
Linearne parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Diferencijalne jednadžbe višeg reda, omogućavaju redukciju reda

Jednačine rješavane direktnom integracijom

Razmotrite sljedeću diferencijalnu jednačinu:
.
Integriramo n puta.
;
;
i tako dalje. Možete koristiti i formulu:
.
Vidi Diferencijalne jednadžbe koje se mogu riješiti direktno integracija >> >

Jednačine koje ne sadrže eksplicitno zavisnu varijablu y

Zamjena snižava red jednačine za jedan. Ovdje je funkcija iz .
Vidi Diferencijalne jednadžbe višeg reda koje ne sadrže funkciju eksplicitno > > >

Jednačine koje ne uključuju eksplicitno nezavisnu varijablu x

.
Smatramo da je to funkcija . Onda
.
Slično i za druge derivate. Kao rezultat toga, redoslijed jednačine se smanjuje za jedan.
Pogledajte Diferencijalne jednadžbe višeg reda koje ne sadrže eksplicitnu varijablu > > >

Jednačine homogene s obzirom na y, y′, y′′, ...

Da bismo riješili ovu jednačinu, vršimo zamjenu
,
gdje je funkcija od . Onda
.
Na sličan način transformiramo derivate, itd. Kao rezultat toga, redoslijed jednačine se smanjuje za jedan.
Vidi diferencijalne jednadžbe višeg reda koje su homogene u odnosu na funkciju i njene derivate >>>

Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda

Hajde da razmotrimo linearna homogena diferencijalna jednadžba n-tog reda:
(1) ,
gdje su funkcije nezavisne varijable. Neka postoji n linearno nezavisnih rješenja ove jednačine. Tada opće rješenje jednačine (1) ima oblik:
(2) ,
gdje su proizvoljne konstante. Same funkcije čine temeljni sistem rješenja.
Sistem fundamentalnih rješenja linearne homogene jednadžbe n-tog reda su n linearno nezavisnih rješenja ove jednačine.

Hajde da razmotrimo linearna nehomogena diferencijalna jednadžba n-tog reda:
.
Neka postoji određeno (bilo koje) rješenje ove jednačine. Tada opće rješenje ima oblik:
,
gdje je opšte rješenje homogene jednačine (1).

Linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima i svodive na njih

Linearne homogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima

Ovo su jednadžbe oblika:
(3) .
Evo pravih brojeva. Da bismo pronašli opšte rešenje ove jednačine, potrebno je da pronađemo n linearno nezavisnih rešenja koja čine fundamentalni sistem rešenja. Tada je opće rješenje određeno formulom (2):
(2) .

Tražimo rješenje u formi . Dobijamo karakteristična jednačina:
(4) .

Ako ova jednačina ima razni koreni, tada osnovni sistem rješenja ima oblik:
.

Ako je dostupno složeni korijen
,
onda postoji i složeni konjugirani korijen. Ova dva korijena odgovaraju rješenjima i , koje uključujemo u osnovni sistem umjesto složenih rješenja i .

Višestruki korijeni višestrukosti odgovaraju linearno nezavisnim rješenjima: .

Višestruki složeni korijeni višestrukosti i njihove kompleksne konjugirane vrijednosti odgovaraju linearno nezavisnim rješenjima:
.

Linearne nehomogene jednadžbe sa posebnim nehomogenim dijelom

Razmotrimo jednačinu oblika
,
gdje su polinomi stupnjeva s 1 i s 2 ; - trajno.

Prvo tražimo opšte rješenje homogene jednačine (3). Ako je karakteristična jednadžba (4) ne sadrži root, tada tražimo određeno rješenje u obliku:
,
Gdje
;
;
s - najveći od s 1 i s 2 .

Ako je karakteristična jednadžba (4) ima korijen višestrukost, onda tražimo određeno rješenje u obliku:
.

Nakon ovoga dobijamo opće rješenje:
.

Linearne nehomogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima

Ovdje postoje tri moguća rješenja.

1) Bernulijeva metoda.
Prvo, nalazimo bilo koje rješenje koje nije nula za homogenu jednadžbinu
.
Zatim vršimo zamjenu
,
gdje je funkcija varijable x. Dobijamo diferencijalnu jednadžbu za u, koja sadrži samo izvode od u u odnosu na x. Provodeći supstituciju, dobijamo jednačinu n - 1 - ti red.

2) Metoda linearne supstitucije.
Hajde da napravimo zamenu
,
gdje je jedan od korijena karakteristične jednadžbe (4). Kao rezultat, dobijamo linearnu nehomogenu jednačinu sa konstantnim koeficijentima reda. Dosljedno primjenjujući ovu zamjenu, svodimo originalnu jednačinu na jednadžbu prvog reda.

3) Metoda varijacije Lagrangeovih konstanti.
U ovoj metodi prvo rješavamo homogenu jednačinu (3). Njegovo rešenje izgleda ovako:
(2) .
Nadalje pretpostavljamo da su konstante funkcije varijable x. Tada rješenje originalne jednadžbe ima oblik:
,
gdje su nepoznate funkcije. Zamjenom u originalnu jednačinu i nametanjem nekih ograničenja, dobijamo jednadžbe iz kojih možemo pronaći tip funkcija.

Ojlerova jednačina

On se supstitucijom svodi na linearnu jednačinu sa konstantnim koeficijentima:
.
Međutim, da bi se riješila Eulerova jednačina, nema potrebe za takvom zamjenom. Možete odmah potražiti rješenje homogene jednadžbe u obliku
.
Kao rezultat, dobijamo ista pravila kao i za jednadžbu s konstantnim koeficijentima, u kojoj umjesto varijable trebate zamijeniti .

Reference:
V.V. Stepanov, Kurs diferencijalnih jednačina, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.

Vidi također:

Diferencijalne jednadžbe višeg reda

Osnovna terminologija diferencijalnih jednačina višeg reda (DEHE).

Jednadžba oblika , gdje n >1 (2)

naziva se diferencijalna jednačina višeg reda, tj. n-th red.

područje definicije DU, n reda postoji regija .

Na ovom kursu će se razmatrati sljedeće vrste upravljačkih sistema:

Cauchy problem DU VP:

Dajte daljinski upravljač,
i početni uslovi n/a: brojevi .

Morate pronaći kontinuiranu i n puta diferencibilnu funkciju
:

1)
je rješenje za datu DE na , tj.
;

2) zadovoljava date početne uslove: .

Za DE drugog reda, geometrijska interpretacija rješenja problema je sljedeća: traži se integralna kriva koja prolazi kroz tačku (x 0 , y 0 ) i tangenta na pravu liniju sa ugaonim koeficijentom k = y 0 ́ .

Teorema postojanja i jedinstvenosti(rješenja Cauchyjevog problema za DE (2)):

ako 1)
kontinuirano (ukupno (n+1) argumenti) na tom području
; 2)
kontinuirano (preko ukupnosti argumenata
) u , dakle ! rješenje Cauchyjevog problema za DE, zadovoljavajući date početne uslove n/a: .

Region se naziva region jedinstvenosti DE.

Opšte rješenje daljinskog upravljanja VP (2) – n -parametrijski funkcija,
, Gdje
– proizvoljne konstante, koje zadovoljavaju sljedeće zahtjeve:

1)

– rješenje DE (2) na ;

2) n/a iz oblasti jedinstvenosti!
:
zadovoljava zadate početne uslove.

Komentar.

Pogledaj odnos
, koje implicitno određuje opće rješenje DE (2) se zove opšti integral DU.

Privatno rješenje DE (2) se dobija iz njegovog opšteg rešenja za određenu vrednost .

Integracija VP daljinskog upravljanja.

Diferencijalne jednadžbe višeg reda se po pravilu ne mogu riješiti egzaktnim analitičkim metodama.

Identifikujemo određeni tip DUVP-a koji dozvoljava redukcije po redu i može se svesti na kvadrature. Hajde da tabelarno prikažemo ove vrste jednačina i metode za smanjenje njihovog reda.

VP DU koji dozvoljavaju smanjenje narudžbi

		Metoda smanjenja narudžbe
	Kontrolni sistem je nekompletan, ne sadrži . Na primjer,	itd. Poslije n Višestruka integracija daje opće rješenje za DE.
	Jednačina je nepotpuna; očito ne sadrži traženu funkciju i ona prvi derivati. Na primjer,	Zamjena snižava red jednačine za k jedinice.
	Nepotpuna jednadžba; očigledno ne sadrži argument željenu funkciju. Na primjer,	Zamjena red jednadžbe se smanjuje za jedan.
	Jednačina je u egzaktnim derivatima; može biti potpuna ili nepotpuna. Takva jednačina se može transformirati u oblik () ́= ()́, gdje su desna i lijeva strana jednadžbe tačni izvod nekih funkcija.	Integriranje desne i lijeve strane jednačine preko argumenta snižava red jednačine za jedan.
		Zamjena snižava red jednačine za jedan.

Definicija homogene funkcije:

Funkcija
naziva se homogenim u varijablama
, Ako

u bilo kojoj tački u domeni definicije funkcije
;

– red homogenosti.

Na primjer, je homogena funkcija 2. reda u odnosu na
, tj. .

Primjer 1:

Pronađite opšte rješenje daljinskog upravljača
.

DE 3. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno
. Jednačinu uzastopno integrišemo tri puta.

– opšte rešenje daljinskog upravljača.

Primjer 2:

Riješite Cauchyjev problem za daljinsko upravljanje
at

.

DE drugog reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno .

Zamjena
i njen derivat
će smanjiti redosled daljinskog upravljača za jedan.

. Dobili smo DE prvog reda – Bernoullijevu jednačinu. Za rješavanje ove jednačine koristimo Bernoullijevu zamjenu:

i ubacite ga u jednačinu.

U ovoj fazi rješavamo Cauchyjev problem za jednačinu
:
.

– jednačina prvog reda sa odvojivim varijablama.

Početne uslove zamjenjujemo u posljednju jednakost:

odgovor:
je rješenje Cauchyjevog problema koje zadovoljava početne uslove.

Primjer 3:

Riješi DE.

– DE 2. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno varijablu , i stoga dozvoljava da se red smanji za jedan pomoću zamjene ili
.

Dobijamo jednačinu
(neka
).

– DE 1. reda sa razdvojenim varijablama. Hajde da ih razdvojimo.

– opšti integral DE.

Primjer 4:

Riješi DE.

Jednačina
postoji jednadžba u egzaktnim derivatima. stvarno,
.

Integrirajmo lijevu i desnu stranu s obzirom na , tj.
ili . Dobili smo DE 1. reda sa odvojivim varijablama, tj.
– opšti integral DE.

Primjer 5:

Riješite Cauchyjev problem za
u .

DE 4. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno
. Primjećujući da je ova jednadžba u egzaktnim derivatima, dobijamo
ili
,
. Zamenimo početne uslove u ovu jednačinu:
. Uzmimo daljinski
3. red prvog tipa (vidi tabelu). Integrirajmo ga tri puta, a nakon svake integracije zamijenićemo početne uslove u jednačinu:

odgovor:
- rješenje Cauchyjevog problema originalnog DE.

Primjer 6:

Riješite jednačinu.

– DE 2. reda, kompletan, sadrži homogenost u odnosu na
. Zamjena
će smanjiti red jednačine. Da bismo to učinili, svestimo jednačinu na oblik
, dijeleći obje strane originalne jednadžbe sa . I razlikovati funkciju str:

Zamenimo
I
u daljinskom upravljanju:
. Ovo je jednačina 1. reda sa odvojivim varijablama.

S obzirom na to
, dobijamo daljinsko upravljanje ili
– opšte rješenje originalnog DE.

Teorija linearnih diferencijalnih jednadžbi višeg reda.

Osnovna terminologija.

– NLDU reda, gdje su kontinuirane funkcije na određenom intervalu.

Zove se interval kontinuiteta daljinskog upravljača (3).

Hajde da uvedemo (uslovni) diferencijalni operator th reda

Kada djeluje na funkciju, dobivamo

To jest, lijeva strana linearne diferencijalne jednadžbe th reda.

Kao rezultat, LDE se može napisati

Linearna svojstva operatora
:

1) – svojstvo aditivnosti

2)
– broj – svojstvo homogenosti

Svojstva se lako provjeravaju, jer derivacije ovih funkcija imaju slična svojstva (konačan zbir izvoda jednak je zbiru konačnog broja izvoda; konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka izvoda).

To.
– linearni operator.

Razmotrimo pitanje postojanja i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema za LDE
.

Hajde da riješimo LDE u odnosu na
: ,
, – interval kontinuiteta.

Funkcija kontinuirana u domeni, derivati
kontinuirano u regionu

Posljedično, područje jedinstvenosti u kojem Cauchy LDE problem (3) ima jedinstveno rješenje i zavisi samo od izbora tačke
, sve ostale vrijednosti argumenata
funkcije
može se uzeti proizvoljno.

Opća teorija OLDE-a.

– interval kontinuiteta.

Glavna svojstva OLDE rješenja:

1. Svojstvo aditivnosti

(
– rješenje OLDE (4) na )
(
– rješenje OLDE (4) na ).

dokaz:

– rješenje OLDE (4) uključeno

Onda

2. Svojstvo homogenosti

( – rješenje OLDE (4) na ) (
(– numeričko polje))

– rješenje za OLDE (4) na .

Dokaz je sličan.

Svojstva aditivnosti i homogenosti nazivaju se linearnim svojstvima OLDE (4).

Posljedica:

(
– rješenje za OLDE (4) na )(

– rješenje OLDE (4) na ).

3. ( – kompleksno rješenje OLDE (4) na )(
su realnovrijedna rješenja OLDE (4) na ).

dokaz:

Ako je rješenje za OLDE (4) na , onda kada se zameni u jednadžbu to ga pretvara u identitet, tj.
.

Zbog linearnosti operatora, lijeva strana posljednje jednakosti može se napisati na sljedeći način:
.

To znači da su , tj. realnovrijedna rješenja OLDE (4) na .

Naknadna svojstva rješenja starih vezana su za koncept “ linearna zavisnost”.

Određivanje linearne zavisnosti konačnog sistema funkcija

Za sistem funkcija se kaže da je linearno zavisan od toga da li postoji netrivijalan skup brojeva
tako da je linearna kombinacija
funkcije
sa ovim brojevima je identično jednak nuli na , tj.
.n što je netačno. Teorema je dokazana jednačineviširedova veličine(4 sata...

Za ovu jednačinu imamo:

; (5.22)

. (5.23)

Poslednja determinanta daje uslov a 3 > 0. Uslov Δ 2 > 0, za a 0 > 0, a 1 > 0 i a 3 > 0, može biti zadovoljen samo za a 2 > 0.

Shodno tome, za jednačinu trećeg reda, pozitivnost svih koeficijenata karakteristične jednačine više nije dovoljna. Također je potrebno ispuniti određeni odnos između koeficijenata a 1 a 2 > a 0 a 3.

4. Jednačina četvrtog reda

Slično kao što je gore urađeno, možemo dobiti da za jednačinu četvrtog reda, pored pozitivnosti svih koeficijenata, mora biti ispunjen i sljedeći uvjet:

Značajan nedostatak algebarskih kriterijuma, uključujući Hurwitzov kriterijum, je i to što se za jednačine visokog reda, u najboljem slučaju, može dobiti odgovor da li je sistem automatskog upravljanja stabilan ili nestabilan. Štaviše, u slučaju nestabilnog sistema, kriterijum ne odgovara kako bi se parametri sistema trebalo promeniti da bi bio stabilan. Ova okolnost dovela je do traženja drugih kriterija koji bi bili pogodniji u inženjerskoj praksi.

5.3. Mihajlovljev kriterijum stabilnosti

Razmotrimo odvojeno lijevu stranu karakteristične jednadžbe (5.7), koja je karakteristični polinom

Zamijenimo u ovaj polinom čisto imaginarnu vrijednost p = j, gdje  predstavlja ugaonu frekvenciju oscilacija koja odgovara čisto imaginarnom korijenu karakterističnog rješenja. U ovom slučaju dobijamo karakterističan kompleks

gdje će pravi dio sadržavati parne snage frekvencije

i imaginarne – neparne snage frekvencije

Rice. 5.4. Mihailovljev hodograf

Ako su dati svi koeficijenti i određena vrijednost frekvencije, tada će vrijednost D(j) biti prikazana na kompleksnoj ravni kao tačka sa koordinatama U i V ili kao vektor koji povezuje ovu tačku sa ishodištem. Ako se vrijednost frekvencije kontinuirano mijenja od nule do beskonačnosti, tada će se vektor mijenjati po veličini i smjeru, opisujući svojim krajem određenu krivulju (hodograf), koja se naziva Mihajlova kriva (Sl. 5.4).

U praksi, Mihajlovljeva kriva se konstruiše tačku po tačku, a specificiraju se različite vrednosti frekvencije  i U() i V() se izračunavaju pomoću formula (5.28), (5.29). Rezultati proračuna su sažeti u tabeli. 5.1.

Tabela 5.1

Konstrukcija Mihajlovljeve krive

Koristeći ovu tabelu, konstruiše se i sama kriva (slika 5.4).

Odredimo koliko treba da bude jednak ugao rotacije  vektora D(j) kada se frekvencija  menja od nule do beskonačnosti. Da bismo to učinili, zapisujemo karakteristični polinom kao proizvod faktora

gdje su  1 –  n korijeni karakteristične jednadžbe.

Karakteristični vektor se tada može predstaviti na sljedeći način:

Svaka zagrada predstavlja kompleksan broj. Dakle, D(j) je proizvod n kompleksnih brojeva. Prilikom množenja dodaju se argumenti kompleksnih brojeva. Stoga će rezultujući ugao rotacije vektora D(j) biti jednak zbiru uglova rotacije pojedinačnih faktora (5.31) kada se frekvencija  promijeni od nule do beskonačnosti

Definirajmo svaki član u (5.31) posebno. Da biste generalizirali problem, razmotrite različite vrste korijena.

1. Neka je neki korijen, na primjer  1 stvarne i negativne , odnosno 1 = – 1 . Faktor u izrazu (5.31), određen ovim korijenom, imat će oblik ( 1 + j). Konstruirajmo hodograf ovog vektora na kompleksnoj ravni kako se frekvencija mijenja od nule do beskonačnosti (slika 5.5, A). Kada je = 0, realni dio je U= 1, a imaginarni dio je V= 0. Ovo odgovara tački A koja leži na realnoj osi. Na 0, vektor će se promijeniti tako da će njegov realni dio i dalje biti jednak , a imaginarni dio V = (tačka B na grafu). Kako frekvencija raste do beskonačnosti, vektor ide u beskonačnost, a kraj vektora uvijek ostaje na okomitoj pravoj liniji koja prolazi kroz tačku A, a vektor se rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Rice. 5.5. Pravi koreni

Rezultirajući ugao rotacije vektora  1 = +( / 2).

2. Neka je sada korijen  1 stvarno i pozitivno , odnosno 1 = + 1. Tada će faktor u (5.31) određen ovim korijenom imati oblik (– 1 + j). Slične konstrukcije (sl. 5.5, b) pokazuju da će rezultujući ugao rotacije biti  1 = –( / 2). Znak minus označava da se vektor rotira u smjeru kazaljke na satu.

3. Neka su dva konjugirana korijena, na primjer  2 i  3 kompleks sa negativnim realnim dijelom , odnosno 2;3 = –±j. Slično, faktori u izrazu (5.31), određeni ovim korijenima, imat će oblik (–j + j)( + j + j).

Kada je = 0, početne pozicije dva vektora određene su tačkama A 1 i A 2 (slika 5.6, A). Prvi vektor se rotira u smjeru kazaljke na satu u odnosu na realnu osu za ugao jednak arctg( / ), a drugi vektor rotira za isti ugao u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Sa postepenim povećanjem  od nule do beskonačnosti, krajevi oba vektora idu do beskonačnosti i oba vektora se na kraju spajaju sa imaginarnom osom.

Rezultirajući ugao rotacije prvog vektora je  2 = ( / 2) + . Rezultirajući ugao rotacije drugog vektora 3 = ( / 2) –. Vektor koji odgovara proizvodu (–j + j)( + j + j) će se rotirati za ugao  2 +  3 = 2 / 2 =.

Rice. 5.6. Složeni korijeni

4. Neka budu isti složeni korijeni imaju pozitivan stvarni dio , odnosno 2;3 = +±j.

Izvođenje konstrukcije slično kao u prethodno razmatranom slučaju (slika 5.6, b), dobijamo rezultujući ugao rotacije 2 +  3 = –2 / 2 = –.

Dakle, ako karakteristična jednadžba ima f korijena s pozitivnim realnim dijelom, onda kakvi god da su ti korijeni (stvarni ili kompleksni), oni će odgovarati zbiru uglova rotacije jednakom –f ( / 2). Svi ostali (n – f) korijeni karakteristične jednadžbe koji imaju negativne realne dijelove odgovarat će zbiru uglova rotacije jednakim +(n – f)( / 2). Kao rezultat toga, ukupni ugao rotacije vektora D(j) kada se frekvencija  promijeni od nule do beskonačnosti prema formuli (5.32) imat će oblik

 = (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)

Ovaj izraz određuje željenu vezu između oblika Mihajlovljeve krive i znakova realnih dijelova korijena karakteristične jednačine. Godine 1936. A.V. Mihajlov je formulisao sledeći kriterijum stabilnosti za linearne sisteme bilo kog reda.

Za stabilnost sistema n-tog reda potrebno je i dovoljno da vektor D(j  ), koji opisuje krivulju Mihajlova, pri promeni  imao ugao rotacije od nule do beskonačnosti  = n (  / 2).

Ova formulacija direktno slijedi iz (5.33). Da bi sistem bio stabilan, potrebno je da svi korijeni leže u lijevoj poluravni. Odavde se određuje traženi rezultujući ugao rotacije vektora.

Mikhailovljev kriterijum stabilnosti je formulisan na sledeći način: za stabilnost linearnog ACS-a potrebno je i dovoljno da Mihajlovljev hodograf, kada se frekvencija mijenja od nule do beskonačnosti, počevši od pozitivne poluravnine i ne prelazi ishodište koordinata, sekvencijalno presijeca onoliko kvadranata kompleksa ravan kao red polinoma karakteristične jednačine sistema.

Rice. 5.7. Otporan ATS

čini se da Mihajlovljeva kriva za stabilne sisteme uvek ima glatki spiralni oblik, a njen kraj ide u beskonačnost u tom kvadrantu kompleksne ravni, čiji je broj jednak stepenu karakteristične jednačine (slika 5.7). Mihajlovljeva kriva ne može proći više od n broja kvadranata. Stoga je nestabilnost sistema uvijek povezana s činjenicom da je u krivulji Mihajlova poremećen redoslijed prolaska kvadranata, zbog čega se ugao rotacije vektora D(j) ispostavlja manjim. nego n ( / 2) (slika 5.8).

Za stabilan sistem, Mihajlovljeva kriva prolazi kroz sukcesivno n kvadranata kompleksne ravni.

Prisustvo granica stabilnosti sva tri tipa može se odrediti iz Mihajlovljeve krive na sledeći način.

U prisustvu granice stabilnosti prvi tip (nulti koren) nema slobodnog člana karakterističnog polinoma n = 0, a Mihajlovljeva kriva napušta ishodište (slika 5.9, kriva 1)

Rice. 5.8. Nestabilan ATS

Rice. 5.9. Granice stabilnosti

Na granici stabilnosti drugi tip (granica oscilatorne stabilnosti) lijeva strana karakteristične jednadžbe, odnosno karakteristični polinom, nestaje pri zamjeni p = j 0

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

To implicira dvije jednakosti: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. To znači da tačka  =  0 na krivulji Mihajlova pada na početak koordinata (slika 5.9, kriva 2). U ovom slučaju, vrijednost  0 je frekvencija neprigušenih oscilacija sistema.

Za granicu stabilnosti treći tip (beskonačan koren) kraj Mihajlovljeve krive se baca (slika 5.9, kriva 3) iz jednog kvadranta u drugi kroz beskonačnost. U ovom slučaju, koeficijent a 0 karakterističnog polinoma (5.7) će proći kroz nultu vrijednost, mijenjajući predznak sa plus na minus.