Jedna od najtežih tema za studente je rješavanje jednačina koje sadrže varijablu pod predznakom modula. Hajde da shvatimo za početak, sa čime je to povezano? Zašto, na primjer, kvadratne jednačine većina djece škljoca kao orasi, a sa tako daleko od komplikovanog koncepta kao što je modul, ima toliko problema?
Po mom mišljenju, sve ove poteškoće su povezane sa nedostatkom jasno formulisanih pravila za rešavanje jednačina sa modulom. Dakle, rješavajući kvadratnu jednačinu, učenik sigurno zna da prvo treba primijeniti diskriminantnu formulu, a zatim formulu za korijene kvadratne jednadžbe. Ali šta ako postoji modul u jednačini? Pokušaćemo da jasno opišemo neophodan akcioni plan za slučaj kada jednačina sadrži nepoznanicu pod predznakom modula. Evo nekoliko primjera za svaki slučaj.
Ali prvo, prisjetimo se definicija modula... Dakle, modul broja a sam ovaj broj se zove if a nenegativni i -a ako je broj a manje od nule. Možete to napisati ovako:
a | = a ako je a ≥ 0 i |a | = -a ako a< 0
Govoreći o geometrijskom smislu modula, treba imati na umu da svaki realni broj odgovara određenoj tački na numeričkoj osi - njegovom k 
koordinata. Dakle, modul ili apsolutna vrijednost broja je udaljenost od ove tačke do početka numeričke ose. Udaljenost je uvijek navedena kao pozitivan broj. Dakle, apsolutna vrijednost bilo kojeg negativnog broja je pozitivan broj. Usput, čak iu ovoj fazi mnogi učenici počinju da se zbunjuju. U modulu može biti bilo koji broj, ali rezultat primjene modula je uvijek pozitivan broj.
Sada idemo direktno na rješavanje jednačina.
1. Razmotrimo jednačinu oblika | x | = c, gdje je c realan broj. Ova jednačina se može riješiti korištenjem definicije modula.
Sve realne brojeve dijelimo u tri grupe: one koji su veći od nule, one koji su manji od nule, a treća grupa je broj 0. Zapišimo rješenje u obliku dijagrama:
(± c ako je c> 0
Ako | x | = c, tada je x = (0, ako je c = 0
(bez korijena ako je sa< 0
1) | x | = 5, jer 5> 0, tada je x = ± 5;
2) |x | = -5, jer -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x | = 0, tada je x = 0.
2. Jednačina oblika |f (x) | = b, gdje je b> 0. Za rješavanje ove jednačine potrebno je riješiti se modula. Radimo to ovako: f (x) = b ili f (x) = -b. Sada je potrebno svaku od dobijenih jednačina posebno riješiti. Ako je u originalnoj jednadžbi b< 0, решений не будет.
1) |x + 2 | = 4, jer 4> 0, onda
x + 2 = 4 ili x + 2 = -4
2) |x 2 - 5 | = 11, jer 11> 0, onda
x 2 - 5 = 11 ili x 2 - 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 bez korijena
3) |x 2 - 5x | = -8, jer -osam< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Jednadžba oblika | f (x) | = g (x). U smislu modula, takva jednačina će imati rješenja ako je njena desna strana veća ili jednaka nuli, tj. g (x) ≥ 0. Tada ćemo imati:
f (x) = g (x) ili f (x) = -g (x).
1) | 2x - 1 | = 5x - 10. Ova jednačina će imati korijen ako je 5x - 10 ≥ 0. Od toga počinje rješavanje takvih jednačina.
1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0
2. Rješenje:
2x - 1 = 5x - 10 ili 2x - 1 = - (5x - 10)
3. Ujedinjujemo ODZ. a rješenje dobijamo:
Koren x = 11/7 ne odgovara prema O.D.Z.-u, manji je od 2, a x = 3 zadovoljava ovaj uslov.
Odgovor: x = 3
2) |x - 1 | = 1 - x 2.
1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Ovu nejednačinu rješavamo metodom intervala:
(1 - x) (1 + x) ≥ 0
2. Rješenje:
x - 1 = 1 - x 2 ili x - 1 = - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0
x = -2 ili x = 1 x = 0 ili x = 1
3. Kombiniramo rješenje i ODZ:
Pogodni su samo korijeni x = 1 i x = 0.
Odgovor: x = 0, x = 1.
4. Jednačina oblika |f (x) | = |g (x) |. Ova jednačina je ekvivalentna sljedećim dvjema jednačinama f (x) = g (x) ili f (x) = -g (x).
1) |x 2 - 5x + 7 | = |2x - 5 |. Ova jednačina je ekvivalentna sljedećim dvjema:
x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 ili x 2 - 5x +7 = -2x + 5
x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0
x = 3 ili x = 4 x = 2 ili x = 1
Odgovor: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Jednačine riješene metodom zamjene (promjena varijable). Ovu metodu rješenja najlakše je objasniti konkretnim primjerom. Dakle, neka je data kvadratna jednačina sa modulom:
x 2 - 6 | x | + 5 = 0. Po svojstvu modula x 2 = | x | 2, pa se jednačina može prepisati na sljedeći način:
|x | 2 - 6 | x | + 5 = 0. Zamijenimo | x | = t ≥ 0, tada ćemo imati:
t 2 - 6t + 5 = 0. Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo da je t = 1 ili t = 5. Vratimo se zamjeni:
|x | = 1 ili |x | = 5
x = ± 1 x = ± 5
Odgovor: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Uzmimo još jedan primjer:
x 2 + |x | - 2 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x | 2, dakle
|x | 2 + | x | - 2 = 0. Zamijenimo | x | = t ≥ 0, tada:
t 2 + t - 2 = 0. Rješavanjem ove jednačine dobijamo t = -2 ili t = 1. Vratimo se zamjeni:
|x | = -2 ili |x | = 1
Nema korijena x = ± 1
Odgovor: x = -1, x = 1.
6. Druga vrsta jednadžbi su jednačine sa "složenim" modulom. Ove jednačine uključuju jednačine koje imaju „module u modulu“. Jednačine ove vrste mogu se riješiti korištenjem svojstava modula.
1) | 3 - | x || = 4. Postupit ćemo na isti način kao u jednačinama drugog tipa. Jer 4> 0, tada dobijamo dvije jednačine:
3 - |x | = 4 ili 3 - |x | = -4.
Sada u svakoj jednačini izražavamo modul x, a zatim | x | = -1 ili |x | = 7.
Rješavamo svaku od dobijenih jednačina. U prvoj jednadžbi nema korijena, jer -jedan< 0, а во втором x = ±7.
Odgovor je x = -7, x = 7.
2) |3 + | x + 1 || = 5. Ovu jednačinu rješavamo na isti način:
3 + | x + 1 | = 5 ili 3 + | x + 1 | = -5
x + 1 | = 2 | x + 1 | = -8
x + 1 = 2 ili x + 1 = -2. Nema korijena.
Odgovor: x = -3, x = 1.
Postoji i univerzalna metoda za rješavanje jednačina s modulom. Ovo je metoda razmaka. Ali razmotrićemo to kasnije.
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Apsolutna vrijednost broja a Je udaljenost od početka do tačke A(a).
Da biste razumjeli ovu definiciju, zamijenite varijablu a bilo koji broj, na primjer 3 i pokušajte ga ponovo pročitati:
Apsolutna vrijednost broja 3 Je udaljenost od početka do tačke A(3 ).
Postaje jasno da modul nije ništa više od normalne udaljenosti. Pokušajmo vidjeti udaljenost od početka do tačke A ( 3 )
Udaljenost od početka do tačke A ( 3 ) je jednako 3 (tri jedinice ili tri koraka).
Modul broja označen je sa dvije okomite linije, na primjer:
Modul broja 3 označava se na sljedeći način: | 3 |
Modul broja 4 označava se na sljedeći način: | 4 |
Modul broja 5 označava se na sljedeći način: | 5 |
Tražili smo modul broja 3 i našli da je on jednak 3. Tako pišemo:
to glasi: "Modul broja tri je tri"
Pokušajmo sada pronaći modul broja -3. Ponovo se vratite na definiciju i zamenite broj -3 u nju. Samo umjesto boda A koristite novu tačku B... Poenta A već smo koristili u prvom primjeru.
Modulo brojevi - 3 je udaljenost od početka do tačke B(—3 ).
Udaljenost od jedne tačke do druge ne može biti negativna. Dakle, modul bilo kojeg negativnog broja, budući da je udaljenost, također neće biti negativan. Modul broja -3 će biti broj 3. Udaljenost od početka do tačke B (-3) je također tri jedinice:
to glasi: "Modul broja minus tri je jednak tri"
Apsolutna vrijednost broja 0 je 0, pošto se tačka sa koordinatom 0 poklapa sa ishodištem, tj. udaljenost od početka do tačke O (0) je jednako nuli:
"Nulti modul je nula"
Izvlačimo zaključke:
- Modul broja ne može biti negativan;
- Za pozitivan broj i nulu, modul je jednak samom broju, a za negativan broj, suprotan broj;
- Suprotni brojevi imaju jednake module.
Suprotni brojevi
Pozivaju se brojevi koji se razlikuju samo po znacima suprotno... Na primjer, brojevi −2 i 2 su suprotni. Razlikuju se samo po znakovima. Broj −2 ima znak minus, a 2 znak plus, ali ga ne vidimo, jer se plus, kao što smo ranije rekli, tradicionalno ne piše.
Još primjera suprotnih brojeva:
Suprotni brojevi imaju jednake module. Na primjer, pronađimo module za −2 i 2
Slika pokazuje da je udaljenost od početka do tačaka A (−2) i B (2) jednako je dva koraka.
Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj Vkontakte grupi i počnite primati obavijesti o novim lekcijama
Rješavanje jednadžbi i nejednačina sa modulomčesto je teško. Međutim, ako dobro razumete šta je apsolutnu vrijednost broja, i kako pravilno proširiti izraze koji sadrže znak modula, zatim prisustvo u jednačini izraz ispod znaka modula, prestaje biti prepreka njegovom rješavanju.
Malo teorije. Svaki broj ima dvije karakteristike: apsolutnu vrijednost broja i njegov znak.
Na primjer, broj +5 ili samo 5 ima znak "+" i apsolutnu vrijednost 5.
Broj -5 ima znak "-" i apsolutnu vrijednost 5.
Apsolutne vrijednosti 5 i -5 su 5.
Apsolutna vrijednost broja x naziva se modulom broja i označava se sa | x |.
Kao što vidimo, modul broja jednak je samom broju, ako je ovaj broj veći ili jednak nuli, i ovom broju suprotnog predznaka, ako je ovaj broj negativan.
Isto važi i za sve izraze koji se nalaze pod znakom modula.
Pravilo proširenja modula izgleda ovako:
f (x) | = f (x) ako je f (x) ≥ 0, i
| f (x) | = - f (x) ako je f (x)< 0
Na primjer | x-3 | = x-3 ako je x-3≥0 i | x-3 | = - (x-3) = 3-x ako je x-3<0.
Da biste riješili jednačinu koja sadrži izraz pod predznakom modula, prvo morate proširite modul prema pravilu proširenja modula.
Tada se naša jednadžba ili nejednakost transformira u dvije različite jednačine koje postoje u dva različita numerička raspona.
Jedna jednačina postoji na numeričkom intervalu gdje izraz pod predznakom modula nije negativan.
A druga jednadžba postoji na intervalu na kojem je izraz pod predznakom modula negativan.
Pogledajmo jednostavan primjer.
Rešimo jednačinu:
|x-3 | = -x 2 + 4x-3
1. Proširimo modul.
|x-3 | = x-3 ako je x-3≥0, tj. ako je x≥3
|x-3 | = - (x-3) = 3-x ako je x-3<0, т.е. если х<3
2. Dobili smo dva numerička raspona: x≥3 i x<3.
Razmotrite u koje se jednadžbe transformira originalna jednadžba u svakom intervalu:
A) Za x≥3 | x-3 | = x-3, a naša jednadžba ima oblik:
Pažnja! Ova jednačina postoji samo na intervalu x≥3!
Proširimo zagrade, daćemo slične pojmove:
i riješi ovu jednačinu.
Ova jednadžba ima korijene:
x 1 = 0, x 2 = 3
Pažnja! budući da jednačina x-3 = -x 2 + 4x-3 postoji samo na intervalu x≥3, zanimaju nas samo korijeni koji pripadaju ovom intervalu. Ovaj uslov je zadovoljen samo sa x 2 = 3.
B) Za x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Pažnja! Ova jednačina postoji samo na intervalu x<3!
Hajde da proširimo zagrade i damo slične pojmove. Dobijamo jednačinu:
x 1 = 2, x 2 = 3
Pažnja! budući da jednačina 3-x = -x 2 + 4x-3 postoji samo na intervalu x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Dakle: iz prvog intervala uzimamo samo korijen x = 3, iz drugog - korijen x = 2.
Mi ne biramo matematiku njena profesija, a ona bira nas.
Ruski matematičar Yu.I. Manin
Jednačine sa modulom
Najteži zadaci školske matematike su jednačine koje sadrže varijable pod predznakom modula. Da biste uspješno riješili takve jednačine, morate znati definiciju i osnovna svojstva modula. Naravno, učenici treba da posjeduju vještine rješavanja jednačina ovog tipa.
Osnovni koncepti i svojstva
Modul (apsolutna vrijednost) realnog broja označeno i definira se na sljedeći način:
Jednostavna svojstva modula uključuju sljedeće omjere:
Bilješka, da posljednja dva svojstva vrijede za bilo koji paran stepen.
Osim toga, ako, gdje, onda
Složenija svojstva modula, koji se može efikasno koristiti za rješavanje jednačina sa modulima, formulirani su pomoću sljedećih teorema:
Teorema 1.Za bilo koje analitičke funkcije i nejednakost je tačna
Teorema 2. Jednakost je ekvivalentna nejednakosti.
Teorema 3. Jednakost jednako nejednakosti.
Razmotrimo tipične primjere rješavanja problema na temu "Jednačine, koji sadrže varijable pod znakom modula ".
Rješavanje jednadžbi s modulom
Najčešća metoda u školskoj matematici za rješavanje jednačina sa modulom je metoda, baziran na proširenju modula. Ova metoda je raznovrsna, međutim, općenito, njegova primjena može dovesti do vrlo glomaznih proračuna. U tom smislu, učenici treba da budu svjesni drugih, efikasnije metode i tehnike za rješavanje ovakvih jednačina. Posebno, morate imati vještine primjene teorema, dato u ovom članku.
Primjer 1. Riješite jednačinu. (jedan)
Rješenje. Jednačina (1) će se rješavati "klasičnom" metodom - metodom proširenja modula. Da bismo to učinili, podijelimo brojčanu osu bodova i u intervale i razmotriti tri slučaja.
1. Ako, onda,,, i jednačina (1) ima oblik. Otuda slijedi. Međutim, ovdje, dakle, pronađena vrijednost nije korijen jednačine (1).
2. Ako, onda iz jednačine (1) dobijamo ili .
Od tada korijen jednačine (1).
3. Ako, tada jednačina (1) poprima oblik ili . Zapiši to.
Odgovor: , .
Prilikom rješavanja sljedećih jednačina sa modulom, aktivno ćemo koristiti svojstva modula kako bismo povećali efikasnost rješavanja takvih jednačina.
Primjer 2. Riješite jednačinu.
Rješenje. Od i, onda jednačina implicira... S tim u vezi,,, i jednačina poprima oblik... Iz ovoga dobijamo... ali , prema tome, originalna jednadžba nema korijen.
Odgovor: nema korijena.
Primjer 3. Riješite jednačinu.
Rješenje. Od tada. Ako onda, i jednačina poprima oblik.
Odavde dobijamo.
Primjer 4. Riješite jednačinu.
Rješenje.Prepisujemo jednačinu u ekvivalentnom obliku. (2)
Rezultirajuća jednačina pripada jednadžbi tipa.
Uzimajući u obzir teoremu 2, može se tvrditi da je jednačina (2) ekvivalentna nejednakosti. Odavde dobijamo.
Odgovor: .
Primjer 5. Riješite jednačinu.
Rješenje. Ova jednačina ima oblik... dakle, prema teoremi 3, ovdje imamo nejednakost ili .
Primjer 6. Riješite jednačinu.
Rješenje. Pretpostavimo da. jer , tada data jednačina poprima oblik kvadratne jednačine, (3)
gdje ... Budući da jednačina (3) ima jedan pozitivan korijen i onda ... Dakle, dobijamo dva korena originalne jednadžbe: i .
Primjer 7. Riješite jednačinu. (4)
Rješenje. Pošto jednačinaje ekvivalentno kombinaciji dvije jednačine: i , tada je pri rješavanju jednačine (4) potrebno razmotriti dva slučaja.
1. Ako, onda ili.
Odavde dobijamo i.
2. Ako, onda ili.
Od tada.
Odgovor: , , , .
Primjer 8.Riješite jednačinu . (5)
Rješenje. Od i tada. Iz ovoga i iz jednačine (5) slijedi da i, tj. ovdje imamo sistem jednačina
Međutim, ovaj sistem jednačina je nedosljedan.
Odgovor: nema korijena.
Primjer 9. Riješite jednačinu. (6)
Rješenje. Ako označimo, onda a iz jednačine (6) dobijamo
Ili . (7)
Pošto jednačina (7) ima oblik, ova jednačina je ekvivalentna nejednakosti. Odavde dobijamo. Od tada ili.
Odgovor: .
Primjer 10.Riješite jednačinu. (8)
Rješenje.Prema teoremi 1, možemo pisati
(9)
Uzimajući u obzir jednačinu (8), zaključujemo da se obje nejednačine (9) pretvaraju u jednakosti, tj. sistem jednačina vrijedi
Međutim, prema teoremi 3, gornji sistem jednačina je ekvivalentan sistemu nejednačina
(10)
Rješavajući sistem nejednačina (10), dobijamo. Pošto je sistem nejednačina (10) ekvivalentan jednačini (8), originalna jednačina ima jedan korijen.
Odgovor: .
Primjer 11. Riješite jednačinu. (11)
Rješenje. Neka i, onda iz jednačine (11) slijedi jednakost.
Otuda slijedi da i. Dakle, ovdje imamo sistem nejednakosti
Rješenje ovog sistema nejednakosti je i .
Odgovor: , .
Primjer 12.Riješite jednačinu. (12)
Rješenje. Jednačina (12) će se rješavati metodom sekvencijalnog proširenja modula. Da biste to učinili, razmotrite nekoliko slučajeva.
1. Ako, onda.
1.1. Ako, onda i,.
1.2. Ako onda. ali , stoga, u ovom slučaju, jednačina (12) nema korijen.
2. Ako, onda.
2.1. Ako, onda i,.
2.2. Ako, onda i.
Odgovor: , , , , .
Primjer 13.Riješite jednačinu. (13)
Rješenje. Pošto je leva strana jednačine (13) nenegativna, onda i. S tim u vezi, i jednadžba (13)
poprima oblik ili.
Poznato je da je jednadžba je ekvivalentno kombinaciji dvije jednačine i , odlučujemo šta ćemo dobiti,. jer , tada jednačina (13) ima jedan korijen.
Odgovor: .
Primjer 14. Riješiti sistem jednačina (14)
Rješenje. Od i, zatim i. Dakle, iz sistema jednačina (14) dobijamo četiri sistema jednačina:
Korijeni gornjih sistema jednačina su korijeni sistema jednačina (14).
Odgovor: ,, , , , , , .
Primjer 15. Riješiti sistem jednačina (15)
Rješenje. Od tada. S tim u vezi, iz sistema jednačina (15) dobijamo dva sistema jednačina
Korijeni prvog sistema jednačina su i, a iz drugog sistema jednačina dobijamo i.
Odgovor: , , , .
Primjer 16. Riješiti sistem jednačina (16)
Rješenje. Iz prve jednačine sistema (16) slijedi da.
Od tada ... Razmotrimo drugu jednačinu sistema. Ukoliko, zatim , i jednačina poprima oblik, , ili .
Ako zamijenite vrijednostu prvu jednačinu sistema (16), zatim, ili.
Odgovor: , .
Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema, vezano za rješavanje jednačina, koji sadrži varijable ispod znaka modula, možete preporučiti tutorijale sa liste preporučene literature.
1. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za tehničke fakultete / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Mir i obrazovanje, 2013.-- 608 str.
2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: problemi povećane složenosti. - M.: KD "Librokom" / URSS, 2017.-- 200 str.
3. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: nestandardne metode rješavanja problema. - M.: KD "Librokom" / URSS, 2017.-- 296 str.
Imate još pitanja?
Za pomoć od tutora -.
blog stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Među primjeri za modulečesto postoje jednadžbe koje trebate pronaći korijeni modula u modulu, odnosno jednačina oblika
|| a * x-b | -c | = k * x + m.
Ako je k = 0, odnosno desna strana jednaka konstanti (m), onda je lakše tražiti rješenje jednadžbe sa modulima grafički. Ispod je tehnika postavljanje duplih modula na primjerima uobičajenim za praksu. Dobro analizirajte algoritam za izračunavanje jednačina sa modulima kako ne biste imali problema na kontroli, testovima i samo da znate.
Primjer 1. Riješite jednadžbu modula u modulu | 3 | x | -5 | = -2x-2.
Rješenje: Uvijek počnite otkrivati jednačine iz unutrašnjeg modula
|x | = 0 <->x = 0.
U tački x = 0, jednačina modula je podijeljena sa 2.
Za x< 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
-3x-5 | = -2x-2.
Za x> 0 ili jednako, proširenjem modula dobijamo
| 3x-5 | = -2x-2.
Hajde da riješimo jednačinu za negativne varijable (x< 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Iz prve jednadžbe dobijamo da rješenje ne smije prelaziti (-1), tj.
Ovo ograničenje u potpunosti pripada oblasti u kojoj se rješavamo. Prenosimo varijable i konstante na suprotne strane jednakosti u prvom i drugom sistemu
i pronađite rješenje 
Obje vrijednosti pripadaju intervalu koji se razmatra, odnosno korijeni su.
Razmotrimo jednačinu sa modulima za pozitivne varijable
| 3x-5 | = -2x-2.
Proširujući modul, dobijamo dva sistema jednačina 
Iz prve jednačine, koja je zajednička za dva sistema, dobijamo poznati uslov
koji na preseku sa skupom na kome tražimo rešenje daje prazan skup (nema presečnih tačaka). Dakle, jedini korijeni modula s modulom su vrijednosti
x = -3; x = -1,4.
Primjer 2. Riješite jednačinu sa modulom || x-1 | -2 | = 3x-4.
Rješenje: Počnimo s proširenjem unutrašnjeg modula
|x-1 |=0 <=>x = 1.
Funkcija podmodula mijenja predznak na jedan. Na nižim vrijednostima je negativan, pri višim vrijednostima pozitivan. U skladu s tim, pri otvaranju unutrašnjeg modula dobijamo dvije jednačine sa modulom
x | - (x-1) -2 | = 3x-4;
x> = 1 -> | x-1-2 | = 3x-4.
Obavezno provjerite desnu stranu jednadžbe sa modulom, on mora biti veći od nule.
3x-4> = 0 -> x> = 4/3.
To znači da nema potrebe rješavati prvu od jednačina, jer je napisana za x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3 |=3x-4 ->
x-3 = 3x-4 ili x-3 = 4-3x;
4-3 = 3x-x ili x + 3x = 4 + 3;
2x = 1 ili 4x = 7;
x = 1/2 ili x = 7/4.
Dobili smo dvije vrijednosti, od kojih je prva odbijena jer ne pripada traženom intervalu. Konačno, jednačina ima jedno rješenje x = 7/4.
Primjer 3. Riješite jednačinu sa modulom || 2x-5 | -1 | = x + 3.
Rješenje: Otvorimo interni modul
|2x-5 |=0 <=>x = 5/2 = 2,5.
Tačka x = 2,5 dijeli brojevnu osu na dva intervala. odnosno funkcija podmodula mijenja predznak pri prolasku kroz 2.5. Zapišimo uslov za rješenje na desnoj strani jednačine sa modulom.
x + 3> = 0 -> x> = - 3.
Dakle, rješenje može biti vrijednosti ne manje od (-3). Otvorimo modul za negativnu vrijednost unutrašnjeg modula
- (2x-5) -1 | = x + 3;
| -2x + 4 | = x + 3.
Ovaj modul, kada se proširi, također će dati 2 jednačine
-2x + 4 = x + 3 ili 2x-4 = x + 3;
2x + x = 4-3 ili 2x-x = 3 + 4;
3x = 1; x = 1/3 ili x = 7.
Odbacujemo vrijednost x = 7, jer smo tražili rješenje u intervalu [-3; 2.5]. Sada otvaramo interni modul za x> 2.5. Dobijamo jednačinu sa jednim modulom
2x-5-1 | = x + 3;
| 2x-6 | = x + 3.
Proširujući modul dobijamo sledeće linearne jednačine
-2x + 6 = x + 3 ili 2x-6 = x + 3;
2x + x = 6-3 ili 2x-x = 3 + 6;
3x = 3; x = 1 ili x = 9.
Prva vrijednost x = 1 ne zadovoljava uslov x> 2.5. Dakle, na ovom intervalu imamo jedan korijen jednadžbe sa modulom x = 9, a postoje samo dva (x = 1/3) Zamjena može provjeriti ispravnost proračuna
Odgovor: x = 1/3; x = 9.
Primjer 4. Pronađite rješenja za dvostruki modul || 3x-1 | -5 | = 2x-3.
Rješenje: Otvorimo unutrašnji modul jednačine
|3x-1 |=0 <=>x = 1/3.
Tačka x = 2,5 dijeli numeričku osu na dva intervala, a datu jednačinu na dva slučaja. Zapisujemo uslov za rješenje, na osnovu oblika jednačine na desnoj strani
2x-3> = 0 -> x> = 3/2 = 1,5.
Iz toga slijedi da nas zanimaju vrijednosti > = 1,5. Na ovaj način modularna jednačina razmatrana u dva intervala
,
- (3x-1) -5 | = 2x-3;
-3x-4 | = 2x-3.
Rezultirajući modul, kada se otvori, dijeli se na 2 jednačine
-3x-4 = 2x-3 ili 3x + 4 = 2x-3;
2x + 3x = -4 + 3 ili 3x-2x = -3-4;
5x = -1; x = -1 / 5 ili x = -7.
Obje vrijednosti ne spadaju u interval, odnosno nisu rješenja jednadžbe sa modulima. Zatim širimo modul za x> 2.5. Dobijamo sljedeću jednačinu
3x-1-5 = 2x-3;
3x-6 = 2x-3.
Proširujući modul dobijamo 2 linearne jednačine
3x-6 = 2x-3 ili - (3x-6) = 2x-3;
3x-2x = -3 + 6 ili 2x + 3x = 6 + 3;
x = 3 ili 5x = 9; x = 9/5 = 1,8.
Druga vrijednost od pronađenih ne odgovara uvjetu x> 2,5, odbacujemo je.
Konačno, imamo jedan korijen jednadžbe sa modulima x = 3.
Provjeravam
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Korijen jednadžbe sa modulom je ispravno izračunat.
Odgovor: x = 1/3; x = 9.