Koja procjena parametara se smatra dosljednom, nepristrasnom, efikasnom?

1) Dosljedna procjena

Bogati procjena u matematičkoj statistici je tačkasta procjena koja konvergira po vjerovatnoći parametru koji se procjenjuje.

Definicije

· Neka-- uzorkovanje iz distribucije u zavisnosti od parametra. Tada se procjena naziva konzistentna ako

prema vjerovatnoći u.

U suprotnom, procjena se naziva nevažećom.

· Za procjenu se kaže da je jako konzistentna ako

skoro verovatno kod.

Svojstva

· Iz svojstava konvergencija slučajne varijable imamo da je jako konzistentna procjena uvijek konzistentna. Obrnuto, generalno govoreći, nije tačno.

• · Srednja vrijednost uzorka je konzistentna procjena matematičkog očekivanja X i .
• · Periodogram je nepristrasna, ali nedosljedna procjena spektralne gustine.
• 2) Nepristrasna procjena

Nepristrasna procjena u matematičkoj statistici je tačkasta procjena čije je matematičko očekivanje jednako procijenjenom parametru.

Definicija

Neka je uzorak iz distribucije ovisno o parametru. Tada se procjena naziva nepristrasna ako

Inače, procjena se naziva pristrasna, a slučajna varijabla njena pristranost.

Prosek uzorka

je nepristrasna procjena matematičkog očekivanja od X i, budući da ako

· Neka slučajne varijable X i imaju konačnu varijansu DX i = ? 2. Hajde da napravimo procjene

Varijanca uzorka,

Ispravljena varijansa uzorka.

Da li je onda procjena parametra pristrasna, a S 2 nepristrasna? 2.

3) Efikasna procjena

Trenutna verzija (nije testirana)

Definicija

Procjena parametra se naziva efikasnom procjenom u klasi ako nejednakost za bilo koji vrijedi za bilo koju drugu procjenu.

Nepristrasne procjene igraju posebnu ulogu u matematičkoj statistici. Ako je nepristrasni estimator efikasan estimator u klasi nepristrasnih, onda se takva statistika obično naziva jednostavno efektivnom.

Efektivna procjena u klasi u kojoj je određena funkcija postoji i jedinstvena je do vrijednosti na skupu čija je vjerovatnoća da je u njoj nula ().

Procjena parametra se naziva efektivnom ako za nju Cramer-Rao nejednakost postane jednakost. Dakle, nejednakost se može koristiti da se dokaže da je varijansa date procjene najmanja moguća, odnosno da je ova procjena u nekom smislu bolja od svih ostalih.

U matematičkoj statistici, Cramer-Ramo nejednakost (u čast Haralda Cramera i K.R. Raoa) je nejednakost koja, pod određenim uslovima na statističkom modelu, daje donju granicu za varijansu procjene nepoznatog parametra, izražavajući je u uslove Fisherovih informacija.

Jedan od glavnih zahtjeva pri izradi procjena je da se dobiju procjene sa minimalnom varijansom ili minimalnom disperzijom (ako postoje). S tim u vezi, koncept efektivnih procjena je uveden u matematičku statistiku,

U odnosu na pristrasne procjene parametra signala, procjena se naziva efektivnom ako prosječna vrijednost kvadratnog odstupanja procjene od prave vrijednosti procijenjenog parametra I ne prelazi prosječnu vrijednost kvadrata odstupanja bilo koje druge procjene y , tj. nejednakost je zadovoljena

Za nepristrasni estimator, disperzija estimatora je ista kao i njegova varijansa, stoga je efektivna nepristrasna estimator definirana kao procjenitelj sa minimalnom varijansom.

S. Rao i Cramer su nezavisno dobili izraze za donje granice uslovnih varijansi i disperzije procjena, koje su disperzija i disperzija efektivnih procjena, pod uslovom da postoje za date parametre.

Hajde da predstavimo izvođenje ovog izraza, pod pretpostavkom da su potrebne pretpostavke validne.

Predstavljamo procjenu parametra y u skraćenom obliku gdje je X višedimenzionalni uzorak iz implementacije u vremenskom intervalu

Hajde da usredsredimo izraz

za sve moguće vrijednosti višedimenzionalnog uzorka X, koji je opisan uslovnom gustinom vjerovatnoće. Uzimajući u obzir poznatu relaciju za izvod prirodnog logaritma nakon usrednjavanja, dobijamo

Zbog svojstva normalizacije gustine vjerovatnoće, posljednji član u (1.3.3) jednak je nuli. Integral prvog člana predstavlja prosječnu vrijednost procjene

Uzimajući ovo drugo u obzir, prosječna vrijednost se može napisati u obliku

Lijeva strana ovog izraza je prosjek proizvoda dvije slučajne varijable sa konačnim vrijednostima prva dva momenta. Pod ovim uslovima, nejednakost Bunyakovsky-Schwartz, poznata iz matematičke statistike, vrijedi za slučajne varijable

koja se pretvara u jednakost ako su slučajne varijable povezane determinističkom zavisnošću. Uzimajući u obzir (1.3.6), iz izraza (1.3.5) možemo dobiti

Za nepristrasne i konstantno pristrasne estimatore, varijansa estimatora zadovoljava Rao-Kramerovu nejednakost

Treba napomenuti da se u svim relacijama usrednjavanje vrši preko višedimenzionalnog uzorka posmatranih podataka X (uz kontinuiranu obradu - preko svih mogućih implementacija

derivati ​​se uzimaju u tački prave vrijednosti procijenjenog parametra.

Znak jednakosti u izrazima (1.3.7) i (1-3.8) postiže se samo za efektivne procjene.

U odnosu na izraz (1.3.7), razmatramo uslove pod kojima se nejednakost pretvara u jednakost, tj. procjena parametra je efektivna pristrasna procjena. Prema (1.3.6), ovo zahtijeva da koeficijent unakrsne korelacije između biti jednaka jedinici, tj. tako da su ove slučajne funkcije povezane determinističkim linearnim odnosom.

Zaista, predstavimo derivaciju logaritma funkcije vjerovatnoće u obliku

gdje je funkcija koja ne ovisi o procjeni y i uzorku posmatranih podataka, ali može zavisiti od procijenjenog parametra. Kada se (1.3.5) i (1.3.9) zamijene u nejednakost (1.3.7), pretvara u jednakost. Međutim, prikaz derivacije logaritma funkcije vjerovatnoće u obliku (1.3.9) je moguć ako je uvjet dovoljnosti (1.2.9) zadovoljen za procjenu y, iz čega slijedi da

i stoga, ako derivacija logaritma omjera vjerovatnoće linearno ovisi o dovoljnoj procjeni, tada koeficijent proporcionalnosti ne ovisi o uzorku

Dakle, za postojanje pristrasne efektivne procjene moraju biti ispunjena dva uslova: procjena mora biti dovoljna (1.2.9) i relacija (1.3.9) mora biti zadovoljena. Slična ograničenja nameću se i na postojanje efektivnih nepristrasnih procjena, pod kojima se u izrazu (1.3.8) znak nejednakosti pretvara u jednakost.

Gore dobijen izraz za donju granicu disperzije pristrasne procjene vrijedi i za donju granicu disperzije pristrasne procjene, jer tj.

Posljednja nejednakost prelazi u jednakost ako je, pored uvjeta dovoljnosti procjene, tačan i sljedeći odnos:

gdje ima isto značenje kao u izrazu (1.3.9).

Formula (1.3.10) se izvodi slično kao (1.3.7), ako se u izvornom izrazu (1.3.2) umjesto razmatranja

Iz prirode uslova (1.2.9) i (1.3.9) jasno je da efektivne procjene postoje samo u vrlo specifičnim slučajevima. Takođe treba napomenuti da efektivna procjena nužno pripada klasi dovoljnih procjena, dok dovoljna procjena nije nužno efektivna.

Analiza izraza za varijansu efektivnog mješovitog estimatora 1.3.7) pokazuje da mogu postojati pristrasni estimatori koji daju manju varijansu estimatora od nepristrasnih. Da bi se to postiglo, potrebno je da derivacija pomaka ima negativnu vrijednost i da bude blizu jedinice u apsolutnoj vrijednosti u tački prave vrijednosti parametra.

Budući da je u većini slučajeva zanimljiv prosječni kvadrat rezultirajuće greške procjene (disperzije), ima smisla govoriti o prosječnom kvadratu greške procjene, koji je za bilo koju procjenu ograničen odozdo:

U ovom slučaju, za efektivne procjene postoji znak jednakosti.

Lako je pokazati da se relacije (1.3.10) i (1.3.12) poklapaju ako su ispunjeni uslovi (1.3.11) i (1.3.9). Zaista, zamjenom vrijednosti izraženih kroz funkcije u brojnik i nazivnik (1.3.10) dobijamo (1.3.12).

Koristeći svojstva efektivnih procjena o kojima smo gore govorili, razjasnit ćemo njihovu definiciju. Procjenu y ćemo nazvati efektivnom ako su za nju zadovoljeni uslovi (1.2.9) i (1.3.11) ili ako ima disperziju za datu pristrasnost

ili rasipanje

ili sa nultom pristrasnošću ova procjena ima varijansu

Imajte na umu da se karakteristike efektivne procjene (1.3.13) - (1.3.15) mogu izračunati i za one parametre za koje ne postoji efektivna procjena. U ovom slučaju, vrijednosti (1.3.13) - (1.3.15) određuju donju granicu (nedostižnu) za odgovarajuće karakteristike procjene.

Za poređenje stvarnih procjena sa efektivnim u matematičkoj statistici, uveden je koncept relativne efikasnosti procjena, koji predstavlja omjer srednje kvadratne devijacije efektivne procjene u odnosu na pravu vrijednost parametra i srednje kvadratne devijacije stvarne procjene. procjena u odnosu na pravu vrijednost parametra:

Ovdje je y stvarna procjena, čija je efektivnost jednaka efektivnoj procjeni.

Iz definicije varijanse efektivne procjene (1.3.1) jasno je da relativna efikasnost procjene varira unutar

Pored koncepta efektivnih procjena, postoji i koncept asimptotski efektivnih procjena. Pretpostavlja se da je za dovoljno dugo vrijeme posmatranja ili neograničeno povećanje odnosa signal-šum, granična vrijednost relativne efikasnosti stvarne procjene jednaka jedinici. To znači da je uz asimptotski efikasnu procjenu varijansa procjene za datu pristrasnost određena izrazom (1.3.13), a u odsustvu pristrasnosti izrazom (1.3.15).

vjerovatnoće, koja ima svojstvo da kako se broj opservacija povećava, vjerovatnoća odstupanja procjene od procijenjenog parametra za iznos veći od određenog datog broja teži nuli. Tačnije: neka X 1 , X 2 ,......, X n - nezavisni rezultati opservacije, čija distribucija zavisi od nepoznatog parametra θ, i za svaki n funkcija Tn = Tn(X 1,..., X n) je procjena θ konstruisana iz prve n zapažanja, zatim redoslijed procjena ( Tn) se naziva dosljednim ako n→ ∞ za svaki proizvoljni broj ε > 0 i bilo koju dopuštenu vrijednost θ

(tj. Tn konvergira na θ po vjerovatnoći). Na primjer, bilo koja nepristrasna procjena (vidi Nepristrasna procjena) Tn parametar θ (ili procjena sa ETn→ 0), čija disperzija teži nuli s povećanjem n, je S. o. parametar θ zbog Čebiševe nejednakosti

Dakle, srednja vrednost uzorka

Konzistentnost, koja je poželjna karakteristika svake statističke procjene, odnosi se samo na asimptotička svojstva procjene i slabo karakterizira kvalitet procjene za konačnu veličinu uzorka u praktičnim problemima. Postoje kriteriji koji vam omogućavaju da birate između svih mogućih S. o. neki parametar je onaj koji ima potrebne kvalitete. Vidi Statističke procjene.

Koncept S. o. prvi je predložio engleski matematičar R. Fisher (1922).

Lit.: Kramer G., Matematičke metode statistike, trans. sa engleskog M., 1975; Rao S. R., Linearne statističke metode i njihove primjene, trans. sa engleskog M., 1968.

A. V. Prokhorov.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Pogledajte šta je „Substancijalna procjena“ u drugim rječnicima:

U matematičkoj statistici, ovo je tačkasta procjena koja konvergira po vjerovatnoći parametru koji se procjenjuje. Sadržaj 1 Definicije 2 Svojstva 3 ... Wikipedia

Skraćena verzija izraza „dosljedan slijed evaluacija... Mathematical Encyclopedia

- ... Wikipedia

Funkcija slučajnih varijabli koja se koristi za procjenu nepoznatih teorijskih parametara. distribucije vjerovatnoće. Metode teorije O. s. služe kao osnova za modernu teoriju grešaka; obično se nepoznati parametri mjere fizički ... ... Mathematical Encyclopedia

PROCJENA KONZISTENTNA- STATISTIČKA OCJENA… Sociologija: Enciklopedija

Koncept koji proširuje ideju efikasne procjene na velike uzorke. Nedvosmislena definicija A. e. O. nema. Na primjer, u klasici opciji govorimo o asimptotici. efektivnost procjene u prikladno odabranoj klasi procjena. Upravo,… … Mathematical Encyclopedia

Superefikasna procjena, općeprihvaćena skraćenica od termina superefikasna (superefikasna) sekvenca procjena, koja se koristi u odnosu na konzistentan niz asimptotski normalnih procjena nepoznatog parametra, do raja... Mathematical Encyclopedia

- (probit model, engleski probit) koji se koristi u raznim oblastima (ekonometrija, toksikologija itd.) statistički (nelinearni) model i metoda analize zavisnosti kvalitativnih (prvenstveno binarnih) varijabli od skupa... ... Wikipedia

Uzorkova (empirijska) sredina je aproksimacija teorijske sredine distribucije na osnovu uzorka iz nje. Definicija Neka uzorak iz distribucije vjerovatnoće definiran na nekom prostoru vjerovatnoće... ... Wikipedia

Statističke procjene su statistike koje se koriste za procjenu nepoznatih parametara distribucije slučajne varijable. Na primjer, ako su to nezavisne slučajne varijable sa datom normalnom distribucijom, onda će postojati... ... Wikipedia

Knjige

• Jednostavan, pozitivan poludefinitni estimator asimptotske kovarijansne matrice, konzistentan u prisustvu heteroskedastičnosti i autokorelacije, Whitney Newey. Rad Whitney K. Newey i Kenneth D. West jedan je od najcitiranijih i nadaleko poznatijih radova u ekonomiji zbog svog širokog obima.…

• Neka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): X_1,\ldots, X_n,\ldots- uzorak za distribuciju u zavisnosti od parametra Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta \u \Theta. Zatim procjena Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \hat(\theta) \equiv \hat(\theta)(X_1,\ldots,X_n) se naziva bogatim ako

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc po vjerovatnoći pri Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc .

U suprotnom, procjena se naziva nevažećom.

• Ocjena Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \hat(\theta) pozvao veoma bogat, Ako

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \hat(\theta) \to \theta,\quad \forall \theta\in \Theta gotovo sigurno kod Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć za podešavanje.): n \to \infty .

U praksi, nije moguće „vidjeti“ konvergenciju „gotovo sigurno“, budući da su uzorci konačni. Dakle, za primijenjenu statistiku dovoljno je zahtijevati konzistentnost procjene. Štaviše, procene koje bi bile razumne, ali ne baš bogate, „u životu” su veoma retke. Zakon velikih brojeva za identično raspoređene i nezavisne veličine s konačnim prvim momentom također je ispunjen u pojačanoj verziji; sve statistike ekstremnog reda također konvergiraju zbog monotonosti, ne samo vjerovatno, već gotovo sigurno.

Potpiši

• Ako procjena konvergira pravoj vrijednosti parametra "u srednjem kvadratu" ili ako je procjena asimptotski nepristrasna i njena varijansa teži nuli, tada će takva procjena biti konzistentna.

Svojstva

• Iz svojstava konvergencije slučajnih varijabli imamo da je jako konzistentna procjena uvijek konzistentna. Obrnuto, generalno govoreći, nije tačno.
• Budući da disperzija konzistentnih procjena teži nuli, često brzinom reda 1/n, konzistentne procjene se međusobno uspoređuju asimptotičkom disperzijom slučajne varijable Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \sqrt (n) (\hat(\theta)-\theta)(asimptotičko matematičko očekivanje ove vrijednosti je nula).

Povezani koncepti

• Rezultat se zove super bogat, ako je varijansa slučajne varijable Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): n (\hat(\theta)-\theta) teži konačnoj vrijednosti. Odnosno, stopa konvergencije procene na pravu vrednost je znatno veća od one konzistentne procene. Na primjer, procjene parametara regresije kointegrisanih vremenskih serija pokazuju se kao super konzistentne.

Primjeri

• Uzorak srednji Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \bar(X) = \frac(1)(n) \sum\limits_(i=1)^n X_i je jako konzistentna procjena matematičkog očekivanja Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): X_i .
• Periodogram je nepristrasna, ali nedosljedna procjena spektralne gustine.

vidi takođe

Napišite recenziju o članku "Sound Assessment"

Izvod koji karakteriše smislenu procjenu

Isidorina iskrena, duboko tužna priča umrtvila je bolom naša dječija srca, ne dajući vremena da se razbude... Činilo se da nema granice neljudskoj muci koju su bezosjećajne duše ružnih dželata nanijele ovoj čudesnoj i hrabroj ženi! .. Iskreno sam se plašila i uznemirila, samo razmišljajući šta nas čeka na kraju njene neverovatne priče!..
Pogledao sam Stelu - moja ratoborna drugarica uplašeno se stisnula uz Anu, ne skidajući šokirane, razrogačene oči s Isidore... Očigledno je čak i ona - tako hrabra i ne odustajala - bila zapanjena ljudskom okrutnošću.
Da, Stella i ja smo vjerovatno vidjeli više od druge djece u dobi od 5-10 godina. Već smo znali šta je gubitak, znali smo šta bol znači... Ali još smo morali da prođemo kroz mnogo toga da bismo razumeli čak i mali deo onoga što je Isidora sada osećala!.. A ja sam se samo nadao da ovo nikada neću morati da doživim da zaista dozivim...
Fascinirano sam gledao ovu prelepu, hrabru, zadivljujuće darovitu ženu, ne mogavši ​​da sakrijem tužne suze koje su mi navirale na oči... Kako su se „ljudi“ usuđivali da se nazivaju LJUDIMA, radeći joj ovo?! Kako je Zemlja uopće tolerisala takvu zločinačku grozotu, dopuštajući da je gaze, a da joj ne otvore dubine?!
Isidora je još bila daleko od nas, u svojim duboko ranjavajućim sećanjima, i iskreno nisam želeo da dalje priča... Njena priča je mučila moju detinjsku dušu, terajući me da sto puta umrem od ogorčenja i bola . Nisam bio spreman za ovo. Nisam znao kako da se zaštitim od takve grozote... I činilo se da, ako cijela ova srceparajuća priča ne prestane odmah, jednostavno bih umrla ne čekajući njen kraj. Bilo je suviše okrutno i izvan mog normalnog razumijevanja iz djetinjstva...
Ali Isidora je, kao da se ništa nije dogodilo, nastavila dalje da priča, i nije nam preostalo ništa drugo nego da ponovo uronimo sa njom u njen izobličeni, ali tako visok i čist, neproživljeni zemaljski ŽIVOT...
Probudio sam se veoma kasno sledećeg jutra. Očigledno je mir koji mi je sjever dao svojim dodirom zagrijao moje izmučeno srce, omogućivši mi da se malo opustim, kako bih uzdignute glave dočekao novi dan, ma šta mi ovaj dan nosi... Anna i dalje nije odgovorio - očigledno je Karafa čvrsto odlučio da nam ne dozvoli komunikaciju dok se ja ne pokvarim, ili dok on ne bude imao neku veliku potrebu za tim.
Izolovan od svoje slatke devojke, ali znajući da je u blizini, pokušavao sam da smislim različite, divne načine da komuniciram sa njom, iako sam u srcu dobro znao da ništa neću moći da nađem. Caraffa je imao svoj pouzdan plan, koji nije namjeravao mijenjati, u skladu sa mojom željom. Prije je obrnuto - što sam više želio da vidim Anu, on će je duže držati zaključanu, ne dozvoljavajući sastanak. Ana se promenila, postala veoma samouverena i jaka, što me je malo plašilo, jer sam, znajući njen tvrdoglavi očinski karakter, mogao samo da zamislim koliko daleko može da ode u svojoj tvrdoglavosti... Tako sam želeo da živi!.. Tako da je Caraffa dželat nije zadirao u njen krhki život, koji još nije stigao ni da procveta!.. Tako da moja devojka ima samo budućnost...

Odabrane karakteristike. bogat,

Na početku kursa razmatrani su koncepti kao što su klasična i statistička vjerovatnoća.

Ako je klasična vjerovatnoća teorijska karakteristika koja se može odrediti bez pribjegavanja iskustvu, tada se statistička vjerovatnoća može odrediti samo iz rezultata eksperimenta. Uz veći broj eksperimenata, vrijednost W(A) može poslužiti kao procjena vjerovatnoće P(A). Dovoljno je prisjetiti se klasičnih eksperimenata Buffona i Pearsona. Slične analogije se mogu nastaviti dalje. Na primjer, za teorijsku karakteristiku M(x) takva analogija bi bila - prosjek:

= i f i / n ,

za varijansu D(x) empirijski analog bi bila statistička varijansa:

S 2 (x) = (x i - ) 2 f i/n .

Empirijske karakteristike, S 2 (x) ,W(A) su procjene parametara M(x) ,D(x) ,P(A) . U slučajevima kada se empirijske karakteristike određuju na osnovu velikog broja eksperimenata, njihovo korištenje kao teorijskih parametara neće dovesti do značajnih grešaka u istraživanju, ali u slučajevima kada je broj eksperimenata ograničen, greška u zamjeni će biti značajna. . Stoga se postavljaju tri zahtjeva za empirijske karakteristike koje su procjene teorijskih parametara:

procjene moraju biti dosljedne, nepristrasne i efikasne.

Procjena se naziva konzistentnom ako je vjerovatnoća njenog odstupanja od procijenjenog parametra za iznos manji od proizvoljno malog pozitivnog broja teži jedinstvu s neograničenim povećanjem broja promatranja n, one.

P(| - | < ) = 1

Gdje - neki parametar opšte populacije,

/ - evaluacija ovog parametra. Većina procjena različitih numeričkih parametara ispunjava ove zahtjeve. Međutim, sam ovaj zahtjev nije dovoljan. Neophodno je da i oni budu neraseljeni.

Procjena se naziva nepristrasna ako je matematičko očekivanje ove procjene jednako procijenjenom parametru:

M ( / ) = .

Primjer dosljedne i nepristrasne procjene sistematskog očekivanja je aritmetička sredina:

M() = .

Primjer dosljedne i pristrasne procjene je

disperzija:

M ( S 2 (x)) = [ (n – 1)/n ] D(x) .

Stoga, da se dobije nepristrasna procjena teorijske varijanse D(x) potrebna empirijska varijansa S 2 (x) pomnoži sa n/(n – 1) , tj.

S 2 (x) = (x i - ) 2 f i/n n/(n – 1) = (x i - ) 2 f i /(n – 1) .

U praksi se ova korekcija vrši prilikom izračunavanja procjene varijanse u slučajevima kada n< 30 .

Može postojati nekoliko validnih nepristrasnih procjena. Na primjer, za procjenu centra disperzije normalne distribucije, zajedno s aritmetičkom sredinom, može se uzeti medijana . Medijan je takođe nepristrasna konzistentna procjena centra za grupisanje. Od dvije dosljedne nepristrasne procjene za isti parametar, prirodno je dati prednost onoj sa manjom varijansom.

Takve procjena čija je varijansa najmanja u odnosu na parametar koji se procjenjuje naziva se efektivna. Na primjer, iz dvije procjene centra disperzije normalne distribucije M(x) efikasna procjena nije , pošto je varijansa manja od varijanse . Komparativna efikasnost ovih procjena sa velikim uzorkom je približno jednaka: D() / D= 2/ = 0,6366.

U praksi to znači da je centar distribucije stanovništva (nazovimo ga 0) određen sa istom tačnošću za n opservacija kao i za 0,6366 n zapažanja koristeći aritmetičku sredinu.

4.4. Svojstva uzoraka srednjih vrijednosti i varijansi.

1. Ako je veličina uzorka dovoljno velika, onda se na osnovu zakona velikih brojeva s vjerovatnoćom bliskom jedinici može tvrditi da je aritmetička sredina i varijansu S 2 će se što manje razlikovati od M(x) I D(x ), tj.

M(x) ,S 2 (x) D(x ), i varijansu D() , bez obzira na veličinu uzorka n, sve dok je broj uzoraka dovoljno velik.

4. Kada varijansa D(x ), populacija je nepoznata, tada za velike vrijednosti n Sa većom vjerovatnoćom male greške, disperzija srednjih vrijednosti uzorka može se izračunati približno jednakošću:

D() = S 2 (x)/n,

Gdje S 2 (x) = (x i - ) 2 f i/n - varijansa velikog uzorka.

Povratak