Jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj statistici je koncept normalne distribucije. Normalnu raspodjelu (koja se naziva i Gaussova raspodjela) karakterizira činjenica da su ekstremne vrijednosti karakteristike u njoj prilično rijetke, a vrijednosti bliske prosječnoj vrijednosti su uobičajene. Normalna distribucija nastaje kada je data slučajna varijabla zbir velikog broja nezavisnih slučajnih varijabli, od kojih svaka igra beznačajnu ulogu u formiranju cjelokupne sume.
Normalna raspodjela ima oblik zvona, vrijednosti moda, medijana i aritmetička sredina su međusobno jednake. Utvrđeno je da su mnogi biološki parametri raspoređeni na sličan način (visina, težina, itd.). Nakon toga, psiholozi su otkrili da većina psiholoških svojstava (indikatori inteligencije, temperamentne karakteristike, sposobnosti i drugi mentalni fenomeni) također imaju normalnu distribuciju. Ovaj princip se uzima u obzir pri standardizaciji metoda ispitivanja. Štaviše, što je veća veličina uzorka, to se rezultirajuća empirijska distribucija više približava normalnoj.
Karakteristično svojstvo normalne distribucije je da 68,26% svih njenih opservacija uvijek leži u rasponu od ± 1 standardne devijacije od aritmetičke sredine (bez obzira na vrijednost standardne devijacije). 95,44% - unutar ± dvije standardne devijacije i 99,72 - unutar ± tri standardne devijacije.
Normalna distribucija - pojam i vrste. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Normalna distribucija" 2017, 2018.
Klasična normalna distribucija NORMALNI ZAKON DISTRIBUCIJE VREMENA DO KVARA Predavanje 6 Normalna raspodjela ili Gausova raspodjela je najuniverzalnija, najpogodnija i najšire korištena. Veruje se da... .
Razmotrimo primjer 2, u kojem je slučajna varijabla X predstavljena uzorkom (xi). Ove podatke je operater dobio prilikom mjerenja svojstva A pomoću SI. Vrijednost A je konstantna. Slučajni poremećaji na ulazu i izlazu SI doveli su do činjenice da su (xj) raspršene u opsegu D = xmax -... .
Uniformna distribucija Neke apsolutno kontinuirane distribucije Definicija Ujednačena distribucija na intervalu je raspodjela sa gustinom Definicija Normalna distribucija sa parametrima je distribucija sa gustinom... .
Definicija 1. Kontinuirana slučajna varijabla naziva se log-normalno raspoređena (lognormalno) ako njen logaritam poštuje zakon normalne distribucije. Pošto su nejednakosti i ekvivalentne, funkcija distribucije lognormalne distribucije... .
Definicija 7. Kontinuirana slučajna varijabla ima normalnu distribuciju, sa dva parametra a, s, ako je s>0. (5) Činjenica da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju biće ukratko zapisana u obliku X ~ N(a;s). Pokažimo da je p(x) gustina (prikazana u... .
Definicija 7. Kontinuirana slučajna varijabla ima normalnu distribuciju, sa dva parametra a, s, ako je s>0. (5) Činjenica da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju biće ukratko zapisana u obliku X ~ N(a;s). Pokažimo da je p(x) gustina (prikazana u...
Slučajne varijable su povezane sa slučajnim događajima. O slučajnim događajima govorimo kada se pokaže da je nemoguće nedvosmisleno predvidjeti rezultat koji se može dobiti pod određenim uvjetima.
Pretpostavimo da bacamo običan novčić. Obično rezultat ove procedure nije jasno definisan. Možemo samo sa sigurnošću reći da će se desiti jedna od dvije stvari: pojavit će se ili "glave" ili "repovi". Bilo koji od ovih događaja će biti slučajan. Možete uvesti varijablu koja će opisati ishod ovog slučajnog događaja. Očigledno, ova varijabla će uzeti dvije diskretne vrijednosti: “glave” i “repove”. Budući da ne možemo unaprijed točno predvidjeti koju će od dvije moguće vrijednosti ova varijabla zauzeti, možemo tvrditi da u ovom slučaju imamo posla sa slučajnim varijablama.
Pretpostavimo sada da u eksperimentu procjenjujemo vrijeme reakcije subjekta na prezentaciju nekog stimulusa. Po pravilu se ispostavlja da čak i kada eksperimentator preduzme sve mjere za standardizaciju eksperimentalnih uvjeta, minimizirajući ili čak eliminirajući moguće varijacije u prezentaciji stimulusa, izmjereno vrijeme reakcije subjekta će se i dalje razlikovati. U ovom slučaju kažu da je vrijeme reakcije subjekta opisano slučajnom varijablom. Budući da, u principu, u eksperimentu možemo dobiti bilo koju vrijednost vremena reakcije - skup mogućih vrijednosti vremena reakcije koji se može dobiti kao rezultat mjerenja ispada beskonačan - govorimo o kontinuitet ovu slučajnu varijablu.
Postavlja se pitanje: postoje li obrasci u ponašanju slučajnih varijabli? Ispostavilo se da je odgovor na ovo pitanje potvrdan.
Dakle, ako bacite beskonačno veliki broj bacanja istog novčića, otkrit ćete da je broj pojavljivanja svake od dvije strane novčića približno isti, osim ako, naravno, novčić nije krivotvoren ili savijen. Da bi se naglasio ovaj obrazac, uvodi se koncept vjerovatnoće slučajnog događaja. Jasno je da će se u slučaju bacanja novčića sigurno dogoditi jedan od dva moguća događaja. To je zato što je ukupna vjerovatnoća ova dva događaja, inače nazvana ukupna vjerovatnoća, 100%. Ako pretpostavimo da se oba događaja povezana sa testiranjem novčića dešavaju sa jednakim udjelom vjerovatnoće, tada je vjerovatnoća svakog ishoda odvojeno očito jednaka 50%. Dakle, teorijske refleksije nam omogućavaju da opišemo ponašanje date slučajne varijable. Takav opis u matematičkoj statistici označava se terminom "distribucija slučajne varijable".
Situacija je komplikovanija sa slučajnom promenljivom koja nema jasno definisan skup vrednosti, tj. ispada kontinuirano. Ali čak iu ovom slučaju mogu se uočiti neki važni obrasci njenog ponašanja. Dakle, prilikom provođenja eksperimenta s mjerenjem vremena reakcije subjekta, može se primijetiti da se različiti intervali trajanja reakcije subjekta procjenjuju s različitim stupnjevima vjerovatnoće. Vjerovatno će biti rijetko da subjekt odgovori prebrzo. Na primjer, u zadacima semantičkog odlučivanja, praktički je nemoguće da subjekti više ili manje precizno odgovore pri brzini manjoj od 500 ms (1/2 s). Isto tako, malo je vjerovatno da će subjekt koji vjerno slijedi upute eksperimentatora previše odgoditi svoj odgovor. U zadacima semantičkog odlučivanja, na primjer, odgovori kojima je potrebno više od 5 s da se evaluiraju obično se smatraju nepouzdanima. Ipak, sa 100% pouzdanošću možemo pretpostaviti da će vrijeme reakcije subjekta biti u rasponu od O do +co. Ali ova vjerovatnoća je zbir vjerovatnoća svake pojedinačne vrijednosti slučajne varijable. Stoga se distribucija kontinuirane slučajne varijable može opisati kao kontinuirana funkcija y = f (X ).
Ako imamo posla s diskretnom slučajnom promjenljivom, kada su sve njene moguće vrijednosti unaprijed poznate, kao u primjeru s novčićem, konstruiranje modela njegove distribucije, u pravilu, nije teško. Dovoljno je uvesti samo neke razumne pretpostavke, kao što smo to učinili u primjeru koji se razmatra. Situacija je složenija s distribucijom kontinuiranih vrijednosti koje poprimaju ranije nepoznat broj vrijednosti. Naravno, da smo, na primjer, razvili teorijski model koji opisuje ponašanje subjekta u eksperimentu s mjerenjem vremena reakcije pri rješavanju zadatka semantičke odluke, mogli bismo pokušati, na osnovu ovog modela, opisati teorijsku distribuciju specifičnih vrijednosti vremena reakcije za istog subjekta kada mu se pokaže isti stimulans. Međutim, to nije uvijek moguće. Stoga je eksperimentator primoran pretpostaviti da je raspodjela slučajne varijable koja ga zanima opisana nekim zakonom koji je već unaprijed proučavan. Najčešće, iako to možda nije uvijek apsolutno točno, u ove svrhe se koristi takozvana normalna distribucija, koja djeluje kao standard za distribuciju bilo koje slučajne varijable, bez obzira na njenu prirodu. Ova distribucija je prvi put matematički opisana u prvoj polovini 18. veka. de Moivre.
Normalna distribucija nastaje kada je fenomen koji nas zanima pod utjecajem beskonačnog broja nasumičnih faktora koji međusobno balansiraju. Formalno, normalna distribucija, kako pokazuje de Moivre, može se opisati sljedećom relacijom:
Gdje X predstavlja slučajnu varijablu koja nas zanima, čije ponašanje proučavamo; R – vrijednost vjerovatnoće koja je povezana sa ovom slučajnom varijablom; π i e – dobro poznate matematičke konstante koje opisuju odnos obima prema prečniku i osnovici prirodnog logaritma; μ i σ2 – parametri normalne distribucije slučajne varijable – matematičko očekivanje i disperzija slučajne varijable, respektivno X.
Da bismo opisali normalnu distribuciju, pokazalo se da je potrebno i dovoljno odrediti samo parametre μ i σ2.
Stoga, ako imamo slučajnu varijablu čije je ponašanje opisano jednadžbom (1.1) sa proizvoljnim vrijednostima μ i σ2, onda je možemo označiti kao Ν (μ, σ2), ne uzimajući u obzir sve detalje ove jednačine.
Rice. 1.1.
Bilo koja distribucija se može vizualizirati u obliku grafa. Grafički, normalna distribucija izgleda kao kriva u obliku zvona, čiji je tačan oblik određen parametrima raspodjele, tj. matematičko očekivanje i varijansu. Parametri normalne distribucije mogu poprimiti gotovo bilo koju vrijednost, za koju se ispostavi da je ograničena samo mjernom skalom koju koristi eksperimentator. U teoriji, vrijednost matematičkog očekivanja može biti jednaka bilo kojem broju iz raspona brojeva od -∞ do +∞, a varijansa može biti jednaka bilo kojem nenegativnom broju. Stoga postoji beskonačan broj različitih tipova normalne distribucije i, shodno tome, beskonačan broj krivulja koje je predstavljaju (koje, međutim, imaju sličan oblik u obliku zvona). Jasno je da ih je nemoguće sve opisati. Međutim, ako su poznati parametri određene normalne distribucije, ona se može konvertovati u tzv jedinična normalna distribucija, matematičko očekivanje za koje je jednako nuli, a varijansa jednaka jedan. Ova normalna distribucija se još naziva standard ili z-distribucija. Grafikon jedinične normalne distribucije prikazan je na Sl. 1.1, iz koje je očigledno da vrh zvonaste krive normalne distribucije karakteriše vrijednost matematičkog očekivanja. Drugi parametar normalne distribucije – disperzija – karakteriše stepen „ravnote“ zvonaste krive u odnosu na horizontalu (x-osa).
Čitalac je vjerovatno već primijetio karakteristike distribucije predstavljene u Tabeli 1 i Slici 2. Većina slučajeva se nalazi u centru serije, a približavajući se ekstremnim vrijednostima, dolazi do dugog glatkog pada. Nema prekida u grafikonu - nema klasa koje su odvojene jedna od druge. Osim toga, graf na obje strane je simetričan; to znači da ako ga podijelite okomitom linijom po sredini, rezultirajuće dvije polovice će biti približno iste. Ovaj graf distribucije je u obliku zvona, to je takozvana „normalna distribucija“, koja se najčešće nalazi pri mjerenju individualnih razlika. U svom idealnom obliku, normalna distribucija je prikazana na slici 3.
Koncept normalne distribucije se već dugo koristi u statistici. Vjerovatnoća događaja je učestalost njegovog pojavljivanja, zabilježena vrlo velikim brojem opservacija. Ova vjerovatnoća je određeni omjer, tačnije, razlomak, čiji je brojnik očekivani rezultat, a imenilac su svi mogući rezultati. Dakle, vjerovatnoća, ili izgledi, da dva novčića padnu na istu stranu, kao što su glave, bila bi jedan prema četiri, ili 1/4. Ovo proizilazi iz činjenice da postoje samo četiri moguće kombinacije novčića PP, RO, OP, OO, gdje je P rep, a O glava. Jedan od četiri, PP, znači samo rep. Vjerovatnoća da se dobiju dvije glave također će biti 1/4, a vjerovatnoća da bilo koji novčić padne glavom kada drugi novčić padne na glavu će biti jedna prema dvije, ili 1/2. Čak i kada bi se broj novčića povećao na, recimo, 100, a broj mogućih kombinacija postao vrlo velik, još uvijek bismo mogli matematički odrediti vjerovatnoću svake kombinacije, kao što je dobivanje svih glava ili 20 glava i 80 glava. Ove vjerovatnoće, ili očekivane stope pogodaka, mogu se grafički prikazati korištenjem gore opisane metode. Ako je broj novčića jako velik, tada će konstruirani graf biti zvonastog oblika, odnosno graf normalne distribucije.
0 1 2 3 4 5 6 Broj grla
Rice. 4. Teorijska (isprekidana linija) i stvarno posmatrana (puna linija) raspodjela broja glava u 128 slučajeva bacanja šest novčića. (Podaci iz Guildforda, 10, str. 119.)
Rice. 3. Grafikon normalne distribucije
Na slici 4 možete pronaći teoretski i stvarni grafikon koji prikazuje broj grla u 128 slučajeva bacanja šest novčića. Sa svakim bacanjem, broj glava može prirodno varirati od 0 do 6. Najčešće će se pojaviti kombinacija tri repa (i tri glave). Frekvencija se povećava ili smanjuje kako broj glava postaje manji ili veći od tri. Na slici 4. teoretski izračunate vjerovatnoće su označene isprekidanom linijom, dok je stvarna frekvencija dobijena od 128 uzastopnih bacanja šest novčića povučena kontinuiranom linijom. Treba napomenuti da su očekivani i stvarno dobijeni rezultati prilično bliski jedan drugom. Što je veći broj zapažanja (ili bacanja), veća je vjerovatnoća njihove podudarnosti.
Što se više novčića baci, to će teoretski očekivani graf raspodjele biti bliži normalnom grafu vjerovatnoće. Kaže se da rezultati dobijeni bacanjem novčića ili bacanjem kocke zavise od "šanse". To znači da je rezultat određen velikim brojem nezavisnih faktora čiji se uticaj ne može uzeti u obzir. Visina s koje se baca novčić ili kocka, njegova težina i veličina, okret koji bacač napravi i mnogi drugi slični faktori u svakom pojedinačnom slučaju određuju na koju će stranu novčić pasti. Graf normalne distribucije prvi su konstruirali matematičari Laplace i Gauss u vezi sa njihovim proučavanjem igre na sreću, raspodjele odstupanja u zapažanjima i drugim vrstama slučajnih promjena.
Već u devetnaestom veku, belgijski statističar Adolphe Cutelet bio je prvi koji je primenio koncept normalne distribucije na proučavanje ljudskih kvaliteta (up. 4). Kutelet je skrenuo pažnju na činjenicu da su određena mjerenja visine i obima grudi vojnih obveznika raspoređena u skladu sa grafikom vjerovatnoće u obliku zvona. Na osnovu sličnosti ovog grafikona sa podacima ljudske varijabilnosti, on je teoretizirao da se takva ljudska varijabilnost javlja kada priroda nastoji ostvariti “ideal” ili normu, ali zbog različitih okolnosti ne uspijeva. Drugim riječima, ljudska visina, težina, nivo intelektualnog razvoja zavise od ogromnog broja nezavisnih faktora, tako da će konačni rezultat biti raspoređen u skladu sa teorijom vjerovatnoće. Cuteletovo iskustvo u korištenju grafa normalne distribucije reinterpretirao je i razvio Galton, o čijem smo doprinosu diferencijalnoj psihologiji već raspravljali u poglavlju 1. U Galtonu je graf normalne distribucije dobio široku i raznoliku primjenu, mnogi razvoji su bili povezani s kvantifikacijom i transformacija podataka koji se odnose kako na individualne, tako i na grupne razlike.
Primjenom odgovarajućih matematičkih postupaka moguće je utvrditi da li je distribucija prikazana u tabeli 1 i na slici 2 “normalna”. Uprkos manjim odstupanjima, ovaj grafikon se ne razlikuje značajno od grafika normalne distribucije. Dakle, možemo zaključiti da je njegovo odstupanje od norme unutar očekivanih fluktuacija i smatrati ga grafikom normalne distribucije. Mnoge distribucije otkrivene u diferencijalnoj psihologiji također odgovaraju matematičkim varijantama normalne distribucije, posebno kada su dobivene korištenjem pažljivo dizajniranih mjernih instrumenata na velikim, reprezentativnim uzorcima. U drugim slučajevima, distribucija može odgovarati normalnoj samo približno. Može predstavljati neku vrstu kontinuiteta i biti manje-više simetričan, što odražava činjenicu da se većina pojedinaca nalazi u centru serije, a bliže ekstremnim vrijednostima njihov broj se postepeno i glatko smanjuje.
Na slikama 5-10 vidimo primjere grafova raspodjele koji odražavaju širok spektar ljudskih osobina. Ove distribucije su odabrane posebno zato što su zasnovane na velikim, reprezentativnim uzorcima, od kojih je većina uključivala 1000 ili više slučajeva. Daju se dva grafikona za manje grupe kako bi se prikazala raspodjela fizioloških karakteristika i karakteristika ličnosti u područjima gdje su podaci za veće grupe relativno rijetki.
Rice. 5. Raspodjela visine za 8585 domorodačkih Engleza. (Podaci Yulea i Kendela, 34, str. 95.)
Rice. 6. Distribucija kvaliteta u vezi sa kapacitetom pluća među 1633 muška studenta. (Podaci Harrisa et al., 12, str. 94.)
Primjer raspodjele polustrukturiranog kvaliteta dat je na slici 5, koja pokazuje visina u inčima 8585 maternji engleski. Možete vidjeti da se graf praktično poklapa sa matematički normalnim grafom. Slika 6 prikazuje graf frekvencije funkcionalnijeg, fiziološkog kvaliteta povezanog s sposobnosti pluća. Ovo je volumen zraka izmjeren u kubnim centimetrima koji se izbacuje iz pluća nakon što je moguće dublje udahnuti. Mjerenja potrebna za konstruiranje grafika izvršena su na 1.633 muška studenta. Ovdje je također očigledna opšta korespondencija sa uobičajenim rasporedom.
Slika 7 je povezana sa fiziološkim mjerama za koje se smatra da su povezane s emocionalnim i osobinama ličnosti. Prikazuje distribuciju rezultata za 87 djece na osnovu kompozicionih mjerenja. autonomna ravnoteža. Snažni rezultati u ovoj studiji ukazuju na funkcionalnu dominaciju parasimpatičkog odjela perifernog nervnog sistema; niske vrijednosti - funkcionalna prevlast njegovog simpatičkog odjela. Periferni nervni sistem je od posebnog interesa za psihologe zbog uloge koju ima u emocionalnom ponašanju.
Grafikon prikazan na slici 8 ilustruje distribuciju rezultata testa na brzina i tačnost percepcije. Rezultat je ukupan broj precrtanih slova A u jednoj minuti na šarenom listu. Ovaj test se smatra jednostavno testom pažnje i percepcije, iako su brzina i koordinacija također važni. S tim u vezi, možemo se prisjetiti podataka testa za jednostavno učenje zabeleženo u tabeli 1 i slici 2. Ovaj test je zahtevao upotrebu koda koji se sastoji od uparenih, besmislenih slogova. Oba testa su primijenjena istoj grupi od 1.000 studenata, a oba su proizvela distribucije koje su bile unutar očekivanog matematičkog raspona normalnog grafikona.
Indikator autonomne ravnoteže
Rice. 7. Distribucija vrijednosti za procjenu autonomne ravnoteže kod 87 djece uzrasta od 6 do 12 godina. (Podaci Wingera i Elingtona, 33, str. 252.)
Rice. 8. Broj slova A precrtanih u jednoj minuti od strane 1000 studenata. (Podaci Anastasi, 2, str. 32.)
Rice. 9. Mjerenje IQ reprezentativnog uzorka od 2904 djece uzrasta od 2 do 18 godina, korištenjem Stanford-Binetove skale. (Podaci Theremina i Merrilla, 27, str. 37.)
Na slici 9 vidimo tipične rezultate primjene test inteligencije na velikom uzorku. Prikazuje IQ distribuciju (Stanford-Binet, izdanje iz 1937.) 2904 djece uzrasta od 2 do 18 godina. Grafikon pokazuje da je u najvećem procentu slučajeva IQ ispitanika unutar prosječnog intervala, od 95 do 104 poena. Postotak se postepeno smanjuje na 1 jer samo vrlo mali broj djece ima IQ između 35 i 44 i između 165 i 174. Ova distribucija nije uključivala podatke o mentalno retardiranoj djeci u internatima, već je uzorak bio ograničen i po nizu drugih parametara. Dakle, uključivao je samo bijele Amerikance s nešto pretjeranim (u odnosu na stvarnu populaciju zemlje) udjelom urbanih stanovnika. Većinu uzorka činili su osnovci, a iako su organizatori nastojali da osiguraju puno učešće u testiranju grupa starijeg i mlađeg uzrasta, njihov broj jedva da odgovara broju testiranih učenika osnovnih škola. Imajte na umu da se čitav niz IQ-a za cijelu populaciju, zapravo, kao što svjedoče podaci dobiveni od strane različitih istraživača, proteže se od vrijednosti blizu 0 do vrijednosti koje malo prelaze 200.
Rice. 10. Distribucija 600 studentica na osnovu Allport Dominance-Submission Testa. (Podaci iz Rugglesa i Allporta, 24, str. 520.)
Kao konačnu ilustraciju, razmotrite sliku 10, koja sadrži distribuciju rezultata na široko korišćenom upitniku ličnosti. Grafikon prikazuje distribuciju rezultata 600 studentkinja na Allport Dominance-Submission Testu. Svrha ovog upitnika ličnosti bila je ispitati sklonost pojedinca da dominira ili se pokorava drugim članovima grupe u svakodnevnom životu. Slika 10 pokazuje da se, uprkos bipolarnoj definiciji kvaliteta (opozicija između dominacije i pokornosti), većina rezultata ispitanika nalazi oko sredine skale i distribucija se približava normalnoj. Drugim riječima, bipolarni naziv kvaliteta ne bi nas trebao navesti na zabludu da se pojedinci mogu klasificirati na dominantne i podređene. Kao i druga mjerljiva ljudska svojstva, ova lična kvaliteta ima mnogo stupnjeva ispoljavanja; a ipak većina ljudi pripada srednjim tipovima.
Rice. 11. Iskrivljena distribucija
Rice. 1.1. Šema za izračunavanje standardnih procjena (sten) faktorom N 16-
faktorski upitnik ličnosti R.B. Cattell; ispod su intervali u jedinicama od 1/2 standardne devijacije
Desno od prosjeka će biti intervali jednaki 6., 7., 8., 9. i 10. zidu, s tim da je posljednji od ovih intervala otvoren. Lijevo od srednje vrijednosti biće intervali jednaki 5, 4, 3, 2 i 1 zid, a ekstremni interval je također otvoren. Sada idemo gore do ose sirovih tačaka i označavamo granice intervala u jedinicama sirovih tačaka. Pošto je M=10,2; δ=2,4, desno stavljamo 1/2δ tj. 1,2 "sirova" boda. Dakle, granica intervala će biti: (10,2 + 1,2) = 11,4 „sirovih“ poena. Dakle, granice intervala koji odgovaraju 6 zidova će se protezati od 10,2 do 11,4 poena. U suštini, samo jedna "sirova" vrijednost pada u njega - 11 bodova. Lijevo od prosjeka stavljamo 1/2δ i dobijamo granicu intervala: 10.2-1.2=9. Dakle, granice intervala koji odgovaraju 9 zidova protežu se od 9 do 10,2. Dvije "sirove" vrijednosti već spadaju u ovaj interval - 9 i 10. Ako je subjekt dobio 9 "sirovih" bodova, sada mu se dodjeljuje 5 zidova; ako je dobio 11 "sirovih" bodova - 6 zidova itd.
Vidimo da će na zidnoj skali ponekad isti broj zidova biti dodijeljen za različit broj „sirovih“ bodova. Na primjer, za 16, 17, 18, 19 i 20 bodova će se dodijeliti 10 zidova, a za 14 i 15 - 9 zidova itd.
U principu, zidna skala se može konstruirati iz bilo kojeg podatka izmjerenog barem na ordinalnoj skali, s veličinom uzorka od n>200 i normalnom distribucijom karakteristike 2.
Drugi način da se konstruiše skala jednakog intervala je grupisanje intervala prema principu jednakosti akumuliranih frekvencija. Sa normalnom distribucijom neke karakteristike, većina posmatranja se grupiše u blizini prosječne vrijednosti, pa su u ovoj oblasti prosječne vrijednosti intervali manji, uži i kako se udaljavaju od centra distribucijom, oni se povećavaju (vidi sliku 1.2). Shodno tome, takva procentualna skala je jednaka intervalu samo u odnosu na akumuliranu frekvenciju (Melnikov V.M., Yampolsky L.T., 1985, str. 194).
Rice. 1.2. Percentilna skala; Na vrhu radi poređenja, intervali su naznačeni u jedinicama standardne devijacije
Za normalnu distribuciju, pogledajte objašnjenje u pitanju 3.
Konstruisanje skala jednakih intervala iz podataka skale naloga podseća na trik sa merdevinama sa užetom na koji se poziva S. Stevens. Prvo se popnemo na merdevine koje nisu ni za šta pričvršćene i dođemo do merdevina koje su učvršćene. Međutim, kako smo tamo stigli? Izmjerili smo određenu psihološku varijablu na skali poretka, izračunali srednje vrijednosti i standardne devijacije, a zatim na kraju dobili intervalnu skalu. „Za takvu nezakonitu upotrebu statistike može se dati određeno pragmatično opravdanje; u mnogim slučajevima to dovodi do plodonosnih rezultata“ (Stephens, 1960, str. 56).
Mnogi istraživači ne provjeravaju stupanj slaganja između empirijske distribucije koju su dobili i normalne distribucije, a još manje pretvaraju dobivene vrijednosti u jedinice razlomaka standardne devijacije ili percentile, radije koriste "sirove" podatke. „Sirovi“ podaci često proizvode iskrivljenu, isečenu ivicu ili distribuciju sa dva vrha. Na sl. Slika 1.3 prikazuje distribuciju indikatora voljnog napora mišića na uzorku od 102 ispitanika. Raspodjela se može smatrati normalnom sa zadovoljavajućom tačnošću (x 2 = 12,7 sa v = 9, M = 89,75, δ = 25,1).
Rice. 1.3. Histogram i kriva glatke distribucije indikatora volje mišićanapor (n=102)
Na sl. Na slici 1.4 prikazana je distribucija indikatora samopoštovanja prema skali metode J. Menester - R. Corzini „Nivo uspjeha koji sam sada trebao postići“ (n = 356). Distribucija se značajno razlikuje od normalne
(χ 2 = 58,8, sa v=7; str
Rice. 1.4. Histogram i glatko kriva distribucije pokazatelj potrebnog uspjeha (n=356)
S takvim „nenormalnim“ distribucijama se susrećemo vrlo često, možda i češće od klasičnih normalnih. I poenta ovdje nije neka vrsta mana, već sama specifičnost psiholoških znakova. Prema nekim metodama, od 10 do 20% ispitanika dobija ocjenu „nula“ – na primjer, u njihovim pričama ne postoji niti jedna verbalna formulacija koja bi odražavala motiv „nada u uspjeh“ ili „strah od neuspjeha“ (Heckhausen metoda). Normalno je da je ispitanik dobio ocjenu „nula“, ali distribucija takvih ocjena ne može biti normalna, ma koliko povećali veličinu uzorka (vidi odjeljak 5.3).
Metode statističke obrade predložene u ovom priručniku, uglavnom, ne zahtijevaju provjeru da li se rezultirajuća empirijska raspodjela poklapa s normalnom. Oni se zasnivaju na brojanju frekvencija i rangiranju. Verifikacija je neophodna samo ako se koristi analiza varijanse. Zato je uz odgovarajuće poglavlje priložen i opis postupka za izračunavanje potrebnih kriterijuma.
U svim ostalim slučajevima nema potrebe provjeravati stepen podudarnosti rezultirajuće empirijske distribucije sa normalnom, a još manje težiti transformaciji ordinalne skale u skalu s jednakim intervalima. U kojim god jedinicama se mjere varijable - sekundama, milimetrima, stepenima, broju izbora itd. - svi ovi podaci se mogu obraditi korištenjem neparametarskih testova 3, koji čine osnovu ovog priručnika.
Definicija i opis (“parametarski kriterijumi” su dati kasnije u ovom poglavlju.
Skala jednakih odnosa je skala koja klasifikuje objekte ili subjekte proporcionalno stepenu izraženosti svojstva koje se meri. U skalama omjera, klase su označene brojevima koji su međusobno proporcionalni: 2 je prema 4 kao što je 4 prema 8. Ovo pretpostavlja apsolutnu nultu referentnu tačku. U fizici se apsolutna nulta referentna točka nalazi pri mjerenju dužine segmenata linija ili fizičkih objekata i kada se mjeri temperatura na Kelvinovoj skali s temperaturama apsolutne nule. Vjeruje se da su u psihologiji primjeri skala jednakih odnosa skale pragova apsolutne osjetljivosti (Steven S., 1960; Gaida V.K., Zakharov V.P., 1982). Mogućnosti ljudske psihe su toliko velike da je teško zamisliti apsolutnu nulu u bilo kojoj mjerljivoj psihološkoj varijabli. Apsolutna glupost i apsolutna iskrenost pojmovi su prije iz svakodnevne psihologije.
Isto važi i za uspostavljanje ravnopravnih odnosa: samo metafora svakodnevnog govora dozvoljava Ivanovu da bude 2 puta (3, 100, 1000) pametniji od Petrova ili obrnuto.
Apsolutna nula, međutim, može se pojaviti kada se broji broj objekata ili subjekata. Na primjer, prilikom odabira jedne od 3 alternative, ispitanici nisu izabrali alternativu A ni jednom, alternativu B 14 puta, a alternativu C 28 puta. U ovom slučaju možemo reći da se alternativa B bira dvostruko češće od alternative B. Međutim, ne mjeri se psihološko svojstvo osobe, već omjer izbora među 42 osobe.
U odnosu na indikatore frekvencije, moguće je primijeniti sve aritmetičke operacije: sabiranje, oduzimanje, dijeljenje i množenje. Jedinica mjere u ovoj skali odnosa je 1 zapažanje, 1 izbor, 1 reakcija, itd. Vratili smo se odakle smo počeli: na univerzalnu skalu mjerenja u učestalosti pojavljivanja određene vrijednosti neke karakteristike i na jedinicu mjerenja, što je 1 opažanje. Nakon razvrstavanja subjekata u ćelije nominativne skale, onda možemo primijeniti najvišu skalu mjerenja - skalu odnosa između frekvencija.
Pitanje 3 Distribucija karakteristike. Opcije distribucije
Distribucija karakteristike je obrazac pojavljivanja njenih različitih vrijednosti (Plokhinsky N.A., 1970, str. 12).
U psihološkim istraživanjima najčešće se govori o normalnoj distribuciji.
Normalna distribucija karakterizira činjenica da su ekstremne vrijednosti karakteristike prilično rijetke, a vrijednosti bliske prosječnoj vrijednosti su prilično česte. Ova distribucija se naziva normalnom jer se vrlo često susrela u prirodnim naučnim istraživanjima i činilo se da je „norma“ bilo koje masovne nasumične manifestacije osobina. Ova raspodjela slijedi zakon koji su otkrila tri naučnika u različito vrijeme: Moivre 1733. u Engleskoj, Gauss 1809. u Njemačkoj i Laplace 1812. u Francuskoj (Plokhinsky N.A., 1970., str. 17). Grafikon normalne distribucije predstavlja takozvanu zvonastu krivulju poznatu oku istraživača psihologa (vidi, na primjer, slike 1.1, 1.2).
Parametri distribucije su njegove numeričke karakteristike koje ukazuju na to gdje se "u prosjeku" nalaze vrijednosti neke karakteristike, koliko su te vrijednosti promjenljive i postoji li dominantna pojava određenih vrijednosti karakteristike. Praktično najvažniji parametri su pokazatelji matematičkog očekivanja, disperzije, asimetrije i ekscesa.
U pravim psihološkim istraživanjima ne operišemo s parametrima, već sa njihovim približnim vrijednostima, takozvanim procjenama parametara. To je zbog ograničene prirode ispitanih uzoraka. Što je uzorak veći, procjena parametra može biti bliža njegovoj pravoj vrijednosti. U budućnosti, kada govorimo o parametrima, mislićemo na jus procjene.
Aritmetička sredina (procjena matematičkog očekivanja) se izračunava pomoću formule:
Gdje x i- svaka uočena vrijednost karakteristike;
i- indeks koji označava serijski broj date vrijednosti atributa;
n- broj zapažanja;
∑ - znak sumiranja.
Procjena varijanse određena je formulom:
gdje je X i svaka promatrana vrijednost atributa;
x - aritmetička srednja vrijednost karakteristike;
P- broj zapažanja.
Količina koja je kvadratni korijen nepristrasne procjene varijanse (S) naziva se standardna devijacija ili srednja kvadratna devijacija. Za većinu istraživača uobičajeno je da se ova količina označava grčkim slovom δ (sigma), a ne S. U stvari, δ je standardna devijacija u populaciji, a S je nepristrasna procjena ovog parametra u proučavanom uzorku. Ali, pošto je S najbolja procjena δ (Fisher R.A., 1938), ova procjena se često označavala ne kao S, već kao δ:
U slučajevima kada neki razlozi pogoduju češćem pojavljivanju vrijednosti koje su iznad ili, obrnuto, ispod prosjeka, formiraju se asimetrične distribucije. S lijevom, odnosno pozitivnom, asimetrijom u distribuciji, češće su niže vrijednosti karakteristike, a kod desnostrane, odnosno negativne asimetrije, više vrijednosti (vidi sliku 1.5).
Indikator asimetrije (A) izračunato po formuli:
Za simetrične distribucije A=0.
Rice. 1.5. Asimetrija distribucija.
A) Lijevo, pozitivno
B) desno, negativno
U slučajevima kada neki razlozi doprinose dominantnom pojavljivanju prosječnih ili bliskih prosječnim vrijednostima, formira se distribucija sa pozitivnim ekscesom. Ako distribucijom dominiraju ekstremne vrijednosti, istovremeno niže i više, tada takvu raspodjelu karakterizira negativna kurtoza i može se formirati depresija u centru distribucije, pretvarajući je u dvovrh (vidi Sl. 1.6).
Indikator kurtoze (E) određena formulom:
Rice. 1.6. Kurtoza: a) pozitivna; b) negativan
U distribucijama sa normalnom konveksnošću E=0.
Pokazalo se da se parametri distribucije mogu odrediti samo u odnosu na podatke prikazane barem na intervalnoj skali. Kao što smo ranije vidjeli, fizičke skale dužine, vremena i uglova su intervalne skale, pa su stoga metode za izračunavanje procjena parametara primjenjive na njih, barem s formalne tačke gledišta. Parametri distribucije se ne uzimaju u obzir
prave psihološke neujednačenosti sekundi, milimetara i drugih fizičkih mjernih jedinica.
U praksi, psiholog istraživač može izračunati parametre bilo koje distribucije sve dok su jedinice koje je koristio u mjerenju prihvaćene kao razumne od strane naučne zajednice.