Jednačina oblika
Izraz D= b 2
- 4 ac su pozvani diskriminatorno kvadratna jednačina. AkoD = 0, tada jednačina ima jedan realni korijen; ako D> 0, onda jednačina ima dva realna korijena.
U slučaju kada D = 0
, ponekad se kaže da kvadratna jednadžba ima dva identična korijena.
Koristeći notaciju D= b 2
- 4 ac, možemo prepisati formulu (2) kao
Ako b= 2 k, tada formula (2) poprima oblik:
gdje k= b / 2
.
Posljednja formula je posebno zgodna kada b / 2
- cijeli broj, tj. koeficijent b- čak broj.
Primjer 1: Riješite jednačinu 2
x 2
-
5 x +
2
=
0
... Evo a = 2, b = -5, c = 2... Imamo D= b 2
-
4 ac =
(-5) 2-
4*2*2
=
9
... Jer D >
0
, tada jednačina ima dva korijena. Nađimo ih po formuli (2)
tako x 1
= (5 + 3) / 4 = 2, x 2
=(5 - 3) / 4 = 1 / 2
,
to je x 1
=
2
i x 2
=
1
/
2
su korijeni date jednadžbe.
Primjer 2: Riješite jednačinu 2
x 2
- 3 x + 5 = 0
... Evo a = 2, b = -3, c = 5... Pronađite diskriminanta D= b 2
-
4 ac =
(-3) 2- 4*2*5 = -31
... Jer D 0
, tada jednadžba nema pravi korijen.
Nepotpune kvadratne jednadžbe.
Ako je u kvadratnoj jednadžbi sjekira 2
+ bx+ c =0
drugi koeficijent b ili besplatni član c je nula, tada se kvadratna jednačina zove nepotpuna... Nepotpune jednadžbe se razlikuju jer za pronalaženje njihovih korijena ne možete koristiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe - lakše je riješiti jednadžbu tako što ćete njenu lijevu stranu faktorisati u faktore.
Primjer 1: riješiti jednačinu 2
x 2
- 5 x = 0
.
Imamo x(2 x - 5) = 0
... Tako bilo x = 0
ili 2
x - 5 = 0
, to je x =
2.5
... Dakle, jednadžba ima dva korijena: 0
i 2.5
Primjer 2: riješiti jednačinu 3
x 2
- 27 = 0
.
Imamo 3
x 2
= 27
... Dakle, korijeni ove jednadžbe su - 3
i -3
.
Vietin teorem. Ako je redukovana kvadratna jednadžba x 2 + px+ q =0 ima prave korijene, onda je njihov zbir - str a proizvod je q, to je
x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q
(zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu).
Ova tema se u početku može činiti komplikovanom zbog mnogih teških formula. Ne samo da kvadratne jednadžbe imaju duge zapise, već se i korijeni nalaze preko diskriminanta. Ukupno postoje tri nove formule. Nije lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja ovakvih jednačina. Tada će se sve formule pamtiti same.
Opšti pogled na kvadratnu jednačinu
Ovdje se predlaže njihovo eksplicitno evidentiranje, kada se prvo bilježi najviši stepen, a zatim u opadajućem redoslijedu. Često postoje situacije kada termini nisu u redu. Tada je bolje prepisati jednačinu u opadajućem redosledu stepena varijable.
Hajde da uvedemo notaciju. Oni su predstavljeni u tabeli ispod.
Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe se svode na sljedeći zapis.
Štaviše, koeficijent a ≠ 0. Neka ova formula bude označena brojem jedan.
Kada se da jednačina, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer jedna od tri opcije je uvijek moguća:
- u rješenju će biti dva korijena;
- odgovor je jedan broj;
- jednadžba uopće neće imati korijena.
I dok se odluka ne dovede do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u određenom slučaju.
Vrste zapisa kvadratnih jednačina
Zadaci mogu sadržavati različite zapise. One neće uvijek izgledati kao opšta kvadratna jednačina. Ponekad će mu nedostajati neki termini. Ono što je gore napisano je potpuna jednačina. Ako uklonite drugi ili treći pojam u njemu, dobićete nešto drugačije. Ovi zapisi se nazivaju i kvadratne jednačine, samo nepotpune.
Štaviše, samo termini u kojima koeficijenti "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ne može biti nula ni pod kojim okolnostima. Jer se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednačinu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi će biti sljedeće:
Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka je prva formula broj dva, a druga broj tri.
Diskriminanta i zavisnost broja korijena od njegove vrijednosti
Ovaj broj morate znati da biste izračunali korijene jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira na formulu za kvadratnu jednačinu. Da biste izračunali diskriminanta, trebate koristiti jednakost napisanu ispod, koja će imati broj četiri.
Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različitim predznacima. Ako je odgovor da, onda će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. Sa negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednako nuli, odgovor će biti jedan.
Kako se rješava kompletna kvadratna jednačina?
Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminant. Nakon što se utvrdi da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, potrebno je koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, onda morate primijeniti sljedeću formulu.
Pošto sadrži znak „±“, biće dve vrednosti. Izraz kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.
Formula broj pet. Isti zapis pokazuje da ako je diskriminanta nula, tada će oba korijena uzeti iste vrijednosti.
Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.
Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednačina?
Ovdje je sve mnogo jednostavnije. Nema čak ni potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati oni koji su već snimljeni za diskriminatorno i nepoznato.
Prvo, razmotrimo nepotpunu jednačinu broj dva. U ovoj jednakosti treba izvući nepoznatu količinu iz zagrade i riješiti linearnu jednačinu koja ostaje u zagradi. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobija pri rješavanju linearne jednadžbe.
Nepotpuna jednačina broj tri rješava se prijenosom broja s lijeve strane jednačine na desnu. Zatim morate podijeliti sa faktorom ispred nepoznatog. Ostaje samo da izvučete kvadratni korijen i zapamtite da ga dvaput zapišete sa suprotnim predznacima.
Zatim su napisane neke radnje koje će vam pomoći da naučite kako riješiti sve vrste jednadžbi, koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Oni će pomoći učeniku da izbjegne neoprezne greške. Ovi nedostaci su razlog za slabe ocjene pri izučavanju opširne teme "Kvadratne jednačine (8. razred)". Nakon toga, ove radnje neće biti potrebno stalno izvoditi. Jer će se pojaviti stabilna vještina.
- Prvo, trebate napisati jednačinu u standardnom obliku. Odnosno, prvo termin sa najvećim stepenom varijable, a zatim - bez stepena i poslednji - samo broj.
- Ako se ispred koeficijenta "a" pojavi minus, onda to može zakomplicirati posao početniku da proučava kvadratne jednadžbe. Bolje ga je riješiti. U tu svrhu, sve jednakosti se moraju pomnožiti sa "-1". To znači da će svi pojmovi promijeniti svoj predznak u suprotan.
- Na isti način se preporučuje da se riješite frakcija. Jednostavno pomnožite jednačinu odgovarajućim faktorom da poništite nazivnike.
Primjeri
Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).
Prva jednačina: x 2 - 7x = 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.
Nakon napuštanja zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.
Prvi korijen ima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se naći iz linearne jednačine: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.
Druga jednadžba: 5x 2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se to rješava kao što je opisano za treću formulu.
Nakon što prenesete 30 na desnu stranu jednakosti: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti sa 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Treća jednačina: 15 - 2x - x 2 = 0. U nastavku, rješavanje kvadratnih jednadžbi će početi tako što ćemo ih prepisati u standardnom obliku: - x 2 - 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme da iskoristimo drugi korisni savjet i pomnoži sve sa minus jedan... Ispada x 2 + 2x - 15 = 0. Prema četvrtoj formuli, morate izračunati diskriminanta: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. To je pozitivan broj. Iz onoga što je gore rečeno, ispada da jednačina ima dva korijena. Treba ih izračunati koristeći petu formulu. Ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.
Četvrta jednačina x 2 + 8 + 3x = 0 pretvara se u ovu: x 2 + 3x + 8 = 0. Njen diskriminanta je jednaka ovoj vrijednosti: -23. Pošto je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak će biti sljedeći unos: "Nema korijena."
Petu jednačinu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminanta, dobija se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, odnosno: x = -12 / (2 * 1) = -6.
Šesta jednačina (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da morate donijeti slične članove prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog, postojat će izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj zapis: x 2 + 3x + 2. Nakon što se takvi članovi izbroje, jednačina će poprimiti oblik: x 2 - x = 0. Pretvorio se u nepotpun ... Nešto slično tome već je razmatrano malo više. Korijeni ovoga će biti brojevi 0 i 1.
Nastavljamo da proučavamo temu “ rješavanje jednačina". Već smo se upoznali sa linearnim jednadžbama i prelazimo na upoznavanje kvadratne jednačine.
Prvo ćemo analizirati šta je kvadratna jednačina, kako je napisana u opštem obliku i dati povezane definicije. Nakon toga, koristeći primjere, detaljno ćemo analizirati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Zatim prelazimo na rješavanje kompletnih jednadžbi, dobijamo formulu za korijene, upoznajemo se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmatramo rješenja tipičnih primjera. Na kraju, pratimo odnos između korijena i koeficijenata.
Navigacija po stranici.
Šta je kvadratna jednačina? Njihove vrste
Prvo morate jasno razumjeti šta je kvadratna jednačina. Stoga je logično da se o kvadratnim jednačinama započne s definicijom kvadratne jednačine, kao i srodnim definicijama. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: redukovane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.
Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi
Definicija.
Kvadratna jednadžba Je jednačina oblika a x 2 + b x + c = 0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a nije nula.
Recimo odmah da se kvadratne jednačine često nazivaju jednačinama drugog stepena. To je zato što je kvadratna jednačina algebarska jednačina drugi stepen.
Zvučna definicija vam omogućava da date primjere kvadratnih jednadžbi. Dakle, 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0, itd. Jesu kvadratne jednadžbe.
Definicija.
Brojevi a, b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, a koeficijent a se naziva prvim, ili najvećim, ili koeficijentom pri x 2, b je drugi koeficijent, ili koeficijent na x, a c je slobodni član.
Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu oblika 5x2 −2x3 = 0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je −2, a presek je −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i / ili c negativni, kao u upravo datom primjeru, onda je kratki oblik pisanja kvadratne jednadžbe 5 x 2 −2 x − 3 = 0, a ne 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) = 0.
Treba napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, onda oni obično nisu eksplicitno prisutni u kvadratnoj jednadžbi, što je zbog specifičnosti pisanja takvih. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y + 3 = 0, vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent na y je −1.
Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe
U zavisnosti od vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se redukovane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Dajemo odgovarajuće definicije.
Definicija.
Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 redukovana kvadratna jednačina... Inače kvadratna jednačina je nesmanjen.
Prema ovoj definiciji, kvadratne jednačine x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0, itd. - dato, u svakom od njih je prvi koeficijent jednak jedan. A 5 x 2 −x − 1 = 0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe čiji su vodeći koeficijenti različiti od 1.
Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem oba njezina dijela vodećim koeficijentom, možete prijeći na redukovanu. Ova akcija je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobijena redukovana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao originalna nereducirana kvadratna jednadžba ili, kao ona, nema korijen.
Analizirajmo na primjeru kako se vrši prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe u redukovanu.
Primjer.
Iz jednačine 3 x 2 + 12 x − 7 = 0 prijeđite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednačinu.
Rješenje.
Dovoljno je da obje strane originalne jednačine podijelimo sa vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, pa možemo izvršiti ovu radnju. Imamo (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, što je isto, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0, i dalje (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, odakle. Tako smo dobili redukovanu kvadratnu jednačinu, koja je ekvivalentna originalnoj.
odgovor:
Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe
Definicija kvadratne jednadžbe sadrži uslov a ≠ 0. Ovaj uslov je neophodan da bi jednačina a x 2 + b x + c = 0 bila tačno kvadratna, budući da pri a = 0 zapravo postaje linearna jednačina oblika b x + c = 0.
Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti nula, kako odvojeno tako i zajedno. U ovim slučajevima, kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.
Definicija.
Kvadratna jednačina a x 2 + b x + c = 0 se zove nepotpuna ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.
Zauzvrat
Definicija.
Puna kvadratna jednadžba Je jednačina u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.
Ovakva imena nisu data slučajno. Ovo će postati jasno iz sljedećih razmatranja.
Ako je koeficijent b jednak nuli, tada kvadratna jednačina ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, i ekvivalentna je jednačini a x 2 + c = 0. Ako je c = 0, odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + b x + 0 = 0, onda se može prepisati kao a x 2 + b x = 0. A sa b = 0 i c = 0, dobijamo kvadratnu jednačinu a x 2 = 0. Rezultirajuće jednadžbe se razlikuju od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ili oboje. Otuda i njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.
Dakle, jednačine x 2 + x + 1 = 0 i −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 su primjeri potpunih kvadratnih jednačina, a x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.
Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi
Iz podataka iz prethodnog stava proizilazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
- a · x 2 = 0, odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0;
- a x 2 + c = 0 kada je b = 0;
- i a x 2 + b x = 0 kada je c = 0.
Analizirajmo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svakog od ovih tipova.
a x 2 = 0
Počnimo od rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno sa jednadžbama oblika a · x 2 = 0. Jednačina a · x 2 = 0 je ekvivalentna jednačini x 2 = 0, koja se dobija iz originala dijeljenjem oba njena dijela brojem a različitim od nule. Očigledno, korijen jednačine x 2 = 0 je nula, jer je 0 2 = 0. Ova jednadžba nema druge korijene, što je objašnjeno, zaista, za bilo koji broj p različit od nule, vrijedi nejednakost p 2> 0, odakle slijedi da za p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada nije postignuta.
Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a · x 2 = 0 ima jedan korijen x = 0.
Kao primjer, dajmo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4 · x 2 = 0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 = 0, njen jedini korijen je x = 0, prema tome, originalna jednačina ima jedinstveni korijen nula.
Kratko rješenje u ovom slučaju može se formulirati na sljedeći način:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.
a x 2 + c = 0
Sada razmotrimo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b jednak nuli, a c ≠ 0, odnosno jednadžbe oblika a · x 2 + c = 0. Znamo da prenošenje člana s jedne strane jednačine na drugu sa suprotnim predznakom, kao i dijeljenje obje strane jednačine brojem koji nije nula, daje ekvivalentnu jednačinu. Stoga možemo izvršiti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + c = 0:
- pomaknite c udesno, što daje jednačinu os 2 = −c,
- i podijelimo oba njegova dijela sa a, dobijamo.
Rezultirajuća jednačina nam omogućava da izvučemo zaključke o njenim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a = 1 i c = 2, tada) ili pozitivna, (na primjer, ako je a = −2 i c = 6 , onda), nije jednako nuli, jer po hipotezi c ≠ 0. Razmotrimo odvojeno slučajeve i.
Ako, onda jednačina nema korijena. Ova izjava slijedi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada, onda za bilo koji broj p jednakost ne može biti tačna.
Ako, onda je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se sjetite otprilike, tada korijen jednadžbe odmah postaje očigledan, to je broj, budući da. Lako je pretpostaviti da je broj ujedno i korijen jednadžbe, zaista,. Ova jednadžba nema druge korijene, što se može prikazati, na primjer, kontradikcijom. Hajde da to uradimo.
Označimo korijene jednadžbe koja je upravo zvučala kao x 1 i −x 1. Pretpostavimo da jednačina ima još jedan korijen x 2, različit od navedenih korijena x 1 i −x 1. Poznato je da zamjena njenih korijena u jednadžbi umjesto x pretvara jednačinu u pravu numeričku jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo, a za x 2 imamo. Svojstva numeričkih jednakosti nam omogućavaju da izvodimo oduzimanje po članu pravih brojčanih jednakosti, tako da oduzimanjem odgovarajućih dijelova jednakosti dobijemo x 1 2 −x 2 2 = 0. Svojstva radnji s brojevima omogućuju vam da prepišete rezultirajuću jednakost kao (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Znamo da je proizvod dva broja nula ako i samo ako je barem jedan od njih nula. Dakle, iz dobijene jednakosti proizlazi da je x 1 - x 2 = 0 i / ili x 1 + x 2 = 0, što je isto, x 2 = x 1 i / ili x 2 = −x 1. Tako smo došli do kontradikcije, pošto smo na početku rekli da je korijen jednačine x 2 različit od x 1 i −x 1. Ovo dokazuje da jednadžba nema druge korijene osim i.
Hajde da sumiramo informacije o ovoj stavci. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi koja
- nema korijena ako,
- ima dva korijena i ako.
Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a · x 2 + c = 0.
Počnimo s kvadratnom jednačinom 9 x 2 + 7 = 0. Nakon prenošenja slobodnog člana na desnu stranu jednačine, on će poprimiti oblik 9 · x 2 = −7. Dijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa 9, dolazimo do. Budući da je na desnoj strani negativan broj, ova jednačina nema korijena, prema tome, originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 · x 2 + 7 = 0 nema korijena.
Riješite još jednu nepotpunu kvadratnu jednačinu −x 2 + 9 = 0. Pomjerite devetku udesno: −x 2 = −9. Sada podijelimo obje strane sa −1, dobićemo x 2 = 9. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega zaključujemo da je odn. Zatim zapisujemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednadžba −x 2 + 9 = 0 ima dva korijena x = 3 ili x = −3.
a x 2 + b x = 0
Ostaje da se pozabavimo rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c = 0. Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 + b x = 0 omogućavaju vam da riješite metoda faktorizacije... Očigledno možemo, smješteni na lijevoj strani jednačine, za što je dovoljno odvojiti zajednički faktor x. Ovo nam omogućava da sa originalne nepotpune kvadratne jednačine pređemo na ekvivalentnu jednačinu oblika x · (a · x + b) = 0. A ova jednadžba je ekvivalentna skupu dvije jednačine x = 0 i a x + b = 0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x = −b / a.
Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 ima dva korijena x = 0 i x = −b / a.
Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.
Primjer.
Riješite jednačinu.
Rješenje.
Pomicanjem x iz zagrada dobija se jednačina. To je ekvivalentno dvije jednačine x = 0 i. Rješavamo rezultirajuću linearnu jednačinu:, i nakon dijeljenja mješovitog broja običnim razlomkom, nalazimo. Stoga su korijeni originalne jednadžbe x = 0 i.
Nakon što ste stekli potrebnu praksu, rješenja ovakvih jednačina mogu se ukratko napisati:
odgovor:
x = 0,.
Diskriminant, formula za korijene kvadratne jednadžbe
Postoji korijenska formula za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Hajde da zapišemo kvadratna formula: , gdje D = b 2 −4 a c- takozvani kvadratni diskriminant... Notacija to u suštini znači.
Korisno je znati kako je dobivena formula korijena i kako se primjenjuje pri pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Hajde da to shvatimo.
Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe
Pretpostavimo da trebamo riješiti kvadratnu jednačinu a x 2 + b x + c = 0. Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:
- Možemo podijeliti obje strane ove jednačine brojem različitom od nule a, kao rezultat dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu.
- Sad odaberite cijeli kvadrat na njegovoj lijevoj strani:. Nakon toga, jednačina će poprimiti oblik.
- U ovoj fazi moguće je izvršiti prijenos posljednja dva člana na desnu stranu sa suprotnim predznakom, što imamo.
- I takođe transformišemo izraz na desnoj strani:.
Kao rezultat, dolazimo do jednačine koja je ekvivalentna originalnoj kvadratnoj jednačini a x 2 + b x + c = 0.
Jednadžbe slične forme već smo rješavali u prethodnim paragrafima, kada smo ih analizirali. To nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:
- ako, onda jednačina nema realnih rješenja;
- ako, onda jednačina ima oblik, dakle, odakle je vidljiv njen jedini korijen;
- ako, onda ili, što je isto ili, to jest, jednačina ima dva korijena.
Dakle, prisustvo ili odsustvo korijena jednadžbe, a time i originalne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza je određen predznakom brojioca, pošto je imenilac 4 · a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznak izraza b 2 −4 · a · c. Ovaj izraz b 2 −4 a c je nazvan diskriminanta kvadratne jednačine i označeno slovom D... Dakle, suština diskriminanta je jasna – po njegovom značenju i predznaku se zaključuje da li kvadratna jednačina ima realne korijene, i ako ima, koliki je njihov broj – jedan ili dva.
Vraćajući se na jednadžbu, prepišite je koristeći diskriminantnu notaciju:. I donosimo zaključke:
- ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- ako je D = 0, onda ova jednadžba ima jedan korijen;
- konačno, ako je D> 0, onda jednačina ima dva korijena ili, što se na osnovu toga može prepisati u obliku ili, a nakon proširenja i svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, dobijamo.
Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, one imaju oblik, gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D = b 2 −4 · a · c.
Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminanta jednaka nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena koja odgovara jedinstvenom rješenju kvadratne jednadžbe. A sa negativnim diskriminantom, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočavamo se s izvlačenjem kvadratnog korijena negativnog broja, što nas vodi izvan okvira školskog programa. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par kompleksni konjugat korijene, koji se mogu naći po istim formulama korijena koje smo mi dobili.
Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula
U praksi, kada rješavate kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena, pomoću koje možete izračunati njihove vrijednosti. Ali ovo je više o pronalaženju složenih korijena.
Međutim, u školskom kursu algebre obično se ne radi o kompleksnim, već o realnim korijenima kvadratne jednačine. U ovom slučaju, preporučljivo je prvo pronaći diskriminanta prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, uvjeriti se da nije negativan (inače možemo zaključiti da jednačina nema realnih korijena), a tek nakon koji izračunavaju vrijednosti korijena.
Gornje rezonovanje nam omogućava da pišemo rješavač kvadratnih jednačina... Da biste riješili kvadratnu jednačinu a x 2 + b x + c = 0, trebate:
- po diskriminantnoj formuli D = b 2 −4 · a · c izračunati njegovu vrijednost;
- zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravi korijen ako je diskriminanta negativna;
- izračunati jedini korijen jednadžbe po formuli ako je D = 0;
- pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminanta pozitivna.
Ovdje samo napominjemo da kada je diskriminant jednak nuli, formula se također može koristiti, ona će dati istu vrijednost kao.
Možete prijeći na primjere korištenja algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.
Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina
Razmotrimo rješenja tri kvadratne jednadžbe s pozitivnim, negativnim i nultim diskriminantima. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, po analogiji će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednačinu. Počnimo.
Primjer.
Pronađite korijene jednačine x 2 + 2 x − 6 = 0.
Rješenje.
U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = −6. Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminanta, za to zamjenjujemo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, imamo D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Pošto je 28> 0, odnosno diskriminanta veća od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Pronalazimo ih koristeći formulu korijena, dobijamo, ovdje možete pojednostaviti izraze dobivene radom rastavljajući predznak korijena uz naknadno smanjenje razlomka:
odgovor:
Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.
Primjer.
Riješite kvadratnu jednačinu −4x2 + 28x − 49 = 0.
Rješenje.
Počinjemo od pronalaženja diskriminanta: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao, tj.
odgovor:
x = 3,5.
Ostaje da razmotrimo rješenje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.
Primjer.
Riješite jednačinu 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.
Rješenje.
Evo koeficijenata kvadratne jednačine: a = 5, b = 6 i c = 2. Zamjenom ovih vrijednosti u diskriminantnu formulu, imamo D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema realne korijene.
Ako trebate naznačiti kompleksne korijene, tada primjenjujemo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije sa složenim brojevima:
odgovor:
nema pravih korena, složeni koreni su sledeći:.
Imajte na umu da ako je diskriminant kvadratne jednadžbe negativan, onda u školi obično odmah zapišu odgovor u kojem ukazuju da nema pravih korijena, a kompleksni korijeni nisu pronađeni.
Formula korijena za parne druge koeficijente
Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje je D = b 2 −4 a ln5 = 2 7 ln5). Hajde da ga izvadimo.
Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednačinu oblika a x 2 + 2 n x + c = 0. Nađimo njegove korijene koristeći formulu koju poznajemo. Da biste to učinili, izračunajte diskriminanta D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), a zatim koristimo formulu za korijene:
Označimo izraz n 2 - a · c kao D 1 (ponekad se označava sa D"). Tada formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom 2 n poprima oblik 
, gdje je D 1 = n 2 - a · c.
Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, ili D 1 = D / 4. Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je znak D 1 isti kao i znak D. Odnosno, predznak D 1 je takođe pokazatelj prisustva ili odsustva korena kvadratne jednačine.
Dakle, da biste riješili kvadratnu jednačinu sa drugim koeficijentom 2 n, trebate
- Izračunajte D 1 = n 2 −a · c;
- Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Ako je D 1 = 0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe po formuli;
- Ako je D 1> 0, onda pronađite dva realna korijena po formuli.
Razmislite o rješavanju primjera pomoću formule korijena dobivene u ovom paragrafu.
Primjer.
Riješite kvadratnu jednačinu 5x2 −6x − 32 = 0.
Rješenje.
Drugi koeficijent ove jednačine može se predstaviti kao 2 · (−3). To jest, možete prepisati originalnu kvadratnu jednačinu u obliku 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0, ovdje a = 5, n = −3 i c = −32, i izračunati četvrti dio diskriminatorno: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Pošto je njena vrijednost pozitivna, jednačina ima dva realna korijena. Pronađimo ih koristeći odgovarajuću formulu korijena:
Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju bi se moralo obaviti više računskog rada.
odgovor:
Pojednostavljivanje pogleda na kvadratne jednadžbe
Ponekad, prije nego što se upustimo u izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe po formulama, ne škodi postaviti pitanje: "Da li je moguće pojednostaviti oblik ove jednačine?" Složite se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednačinu 11 x 2 −4 x − 6 = 0 nego 1100 x 2 −400 x − 600 = 0.
Obično se pojednostavljenje oblika kvadratne jednačine postiže množenjem ili dijeljenjem oba njena dijela određenim brojem. Na primjer, u prethodnom pasusu uspjeli smo da pojednostavimo jednačinu 1100x2 −400x − 600 = 0 tako što smo obje strane podijelili sa 100.
Slična transformacija se provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu. U ovom slučaju, obje strane jednadžbe se obično dijele apsolutnim vrijednostima njenih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 −42 x + 48 = 0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Dijeljenjem obje strane originalne kvadratne jednadžbe sa 6, dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednačine 2 x 2 −7 x + 8 = 0.
A množenje obje strane kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se vrši nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se obje strane kvadratne jednadžbe pomnože sa LCM (6, 3, 1) = 6, tada će poprimiti jednostavniji oblik x 2 + 4 x − 18 = 0.
U zaključku ovog paragrafa, napominjemo da se skoro uvijek rješavamo minusa na vodećem koeficijentu kvadratne jednačine promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) oba dijela sa −1. Na primjer, obično se iz kvadratne jednadžbe −2x2 −3x + 7 = 0 prelazi na rješenje 2x2 + 3x − 7 = 0.
Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe
Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe u smislu njenih koeficijenata. Na osnovu formule za korijene, možete dobiti druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.
Najpoznatije i najprimjenjivije formule su iz Vietine teoreme o obliku i. Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena je jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x + 22 = 0, možemo odmah reći da je zbir njenih korijena 7/3, a proizvod korijena 22/3.
Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe kroz njene koeficijente:.
Bibliografija.
- algebra: studija. za 8 cl. opšte obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008.-- 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- A. G. Mordkovich Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009.-- 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
Kvadratne jednadžbe. Opće informacije.
V kvadratni mora biti prisutan x u kvadratu (zbog čega se zove
"Kvadrat"). Pored njega, jednačina može (a ne mora biti!) samo x (u prvom stepenu) i
samo broj (besplatni član). I ne bi trebalo biti x u stepenu većem od dva.
Opća algebarska jednadžba.
gdje x- slobodna varijabla, a, b, c- koeficijenti, i a≠0 .
na primjer: 
Izraz 
su pozvani kvadratni trinom.
Elementi kvadratne jednadžbe imaju svoja imena:
Zove se prvi ili najviši koeficijent,
Zove se drugi ili koeficijent na,
· Pozvali besplatnog člana.
Potpuna kvadratna jednadžba.
Ove kvadratne jednadžbe imaju kompletan skup pojmova na lijevoj strani. X na kvadrat sa
koeficijent a, x na prvi stepen sa koeficijentom b i besplatno članWith. V sve šanse
mora biti različit od nule.
Nepotpuno naziva se kvadratna jednadžba u kojoj je barem jedan od koeficijenata, osim
najveći (ili drugi koeficijent ili slobodni član) jednak je nuli.
Pretvarajmo se to b= 0, - x nestaje u prvom stepenu. Ispada, na primjer:
2x 2 -6x = 0,
itd. A ako oba koeficijenta, b i c jednaki su nuli, onda je sve još jednostavnije, Na primjer:
2x 2 = 0,
Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.
Zašto a ne može biti nula? Tada x na kvadrat nestaje i jednačina postaje linearno .
I odlučeno je na potpuno drugačiji način...
“, odnosno jednačine prvog stepena. U ovoj lekciji ćemo analizirati ono što se zove kvadratna jednačina i kako to riješiti.
Ono što se zove kvadratna jednačina
Bitan!
Stepen jednačine je određen najvećim stepenom u kojem se nalazi nepoznata.
Ako je maksimalna snaga u kojoj je nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednačinu.
Primjeri kvadratnih jednadžbi
- 5x 2 - 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 - 8 = 0
Bitan! Opšti pogled na kvadratnu jednačinu izgleda ovako:
A x 2 + b x + c = 0
"A", "b" i "c" su dati brojevi.- "A" - prvi ili najznačajniji koeficijent;
- “B” je drugi koeficijent;
- "C" je slobodan član.
Da biste pronašli "a", "b" i "c" potrebno je da uporedite svoju jednačinu sa opštim oblikom kvadratne jednačine "ax 2 + bx + c = 0".
Vježbajmo definiranje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednačinama.
| Jednačina | Odds | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = −8
Kako riješiti kvadratne jednadžbe
Za razliku od linearnih jednadžbi, za rješavanje kvadratnih jednadžbi, poseban formula za pronalaženje korijena.
Zapamtite!
Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:
- dovesti kvadratnu jednačinu u opšti oblik "ax 2 + bx + c = 0". To jest, samo "0" treba da ostane na desnoj strani;
- koristite formulu za korijenje:
Uzmimo primjer kako koristiti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Rešimo kvadratnu jednačinu.
X 2 - 3x - 4 = 0
Jednačina "x 2 - 3x - 4 = 0" je već svedena na opći oblik "ax 2 + bx + c = 0" i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, samo se trebamo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.
Definirajmo koeficijente "a", "b" i "c" za ovu jednačinu.
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
Uz nju se rješava svaka kvadratna jednadžba.
U formuli "x 1; 2 =" radikalni izraz se često zamjenjuje
"B 2 - 4ac" sa slovom "D" i naziva se diskriminant. Koncept diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji "Šta je diskriminant".
Razmotrimo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.
x 2 + 9 + x = 7x
Prilično je teško odrediti koeficijente "a", "b" i "c" u ovom obliku. Najprije dovedemo jednačinu u opći oblik "ax 2 + bx + c = 0".
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0
Sada možete koristiti formulu korijena.
X 1; 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Odgovor: x = 3
Postoje slučajevi kada u kvadratnim jednačinama nema korijena. Ova situacija se događa kada se ispod korijena formule nađe negativan broj.