Linearna funkcija je funkcija oblika
x-argument (nezavisna varijabla),
y- funkcija (zavisna varijabla),
k i b su neki konstantni brojevi
Grafikon linearne funkcije je ravno.
Dovoljno je da se nacrta grafikon dva bodova, jer kroz dvije tačke možete povući pravu liniju i, osim toga, samo jednu.
Ako je k˃0, onda se graf nalazi u 1. i 3. koordinatnoj četvrti. Ako je k˂0, onda se graf nalazi u 2. i 4. koordinatnoj četvrti.
Broj k se naziva nagibom direktnog grafa funkcije y (x) = kx + b. Ako je k˃0, tada je ugao nagiba prave linije y (x) = kx + b prema pozitivnom smjeru Ox oštar; ako je k˂0, onda je ovaj ugao tup.
Koeficijent b pokazuje tačku preseka grafika sa OY osom (0; b).
y (x) = k ∙ x - poseban slučaj tipične funkcije naziva se direktna proporcionalnost. Grafikon je prava linija koja prolazi kroz ishodište, tako da je jedna tačka dovoljna za crtanje ovog grafika.
Grafikon linearne funkcije
Gdje je koeficijent k = 3, dakle
Grafikon funkcije će se povećati i od tada će imati oštar ugao sa Ox osom koeficijent k ima predznak plus.
Linearna funkcija OOF
OZF linearna funkcija
Osim u slučaju kada
Također linearna funkcija forme
To je opća funkcija.
B) Ako je k = 0; b ≠ 0,
U ovom slučaju, grafik je prava linija paralelna sa Ox osom i koja prolazi kroz tačku (0; b).
C) Ako je k ≠ 0; b ≠ 0, tada linearna funkcija ima oblik y (x) = k ∙ x + b.
Primjer 1 ... Nacrtajte funkciju y (x) = -2x + 5
Primjer 2 ... Naći nule funkcije y = 3x + 1, y = 0;
- nule funkcije.
Odgovor: ili (; 0)
Primjer 3 ... Pronađite vrijednost funkcije y = -x + 3 za x = 1 i x = -1
y (-1) = - (- 1) + 3 = 1 + 3 = 4
Odgovor: y_1 = 2; y_2 = 4.
Primjer 4 ... Odredite koordinate njihove tačke preseka ili dokažite da se grafovi ne seku. Neka su date funkcije y 1 = 10 ∙ x-8 i y 2 = -3 ∙ x + 5.
Ako se grafovi funkcija sijeku, tada su vrijednosti funkcija u ovoj tački jednake
Zamijenite x = 1, zatim y 1 (1) = 10 ∙ 1-8 = 2.
Komentar. Dobivenu vrijednost argumenta možete zamijeniti u funkciju y 2 = -3 ∙ x + 5, tada ćemo dobiti isti odgovor y 2 (1) = - 3 ∙ 1 + 5 = 2.
y = 2 je ordinata tačke preseka.
(1; 2) - tačka preseka grafika funkcija y = 10x-8 i y = -3x + 5.
Odgovor: (1; 2)
Primjer 5 .
Nacrtajte funkcije y 1 (x) = x + 3 i y 2 (x) = x-1.
Može se vidjeti da je koeficijent k = 1 za obje funkcije.
Iz navedenog proizilazi da ako su koeficijenti linearne funkcije jednaki, onda su njihovi grafovi u koordinatnom sistemu paralelni.
Primjer 6 .
Napravimo dva grafikona funkcije.
Prvi graf ima formulu
Drugi grafikon ima formulu
U ovom slučaju imamo grafik dvije prave koje se seku u tački (0; 4). To znači da se koeficijent b, koji je odgovoran za visinu grafika, diže iznad ose Ox, ako je x = 0. To znači da možemo pretpostaviti da je koeficijent b na oba grafikona 4.
Urednici: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada ostavite zahtjev na web stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo nam omogućavaju da vas kontaktiramo i prijavimo jedinstvene ponude, promocije i druge događaje i nadolazeće događaje.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavještenja i poruka.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom promotivnom događaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje tim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, nalogom suda, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno zbog sigurnosnih, provođenja zakona ili drugih društveno važnih razloga.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo odgovarajućoj trećoj strani – pravnom sljedbeniku.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštovanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo bili sigurni da su Vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima donosimo pravila o povjerljivosti i sigurnosti, te striktno pratimo provođenje mjera povjerljivosti.
Naučite uzimati derivate iz funkcija. Izvod karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj tački koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, graf može biti ravna ili kriva linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku. Zapamtite opšta pravila po kojima se uzimaju derivati i tek onda pređite na sljedeći korak.
- Pročitajte članak.
- Opisano je kako uzeti najjednostavnije izvode, na primjer, izvod eksponencijalne jednadžbe. Proračuni predstavljeni u sljedećim koracima će se zasnivati na metodama opisanim u njima.
Naučite razlikovati probleme u kojima se nagib treba izračunati u smislu derivacije funkcije. U problemima se ne predlaže uvijek pronaći nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas će se možda tražiti da pronađete stopu promjene funkcije u tački A (x, y). Od vas se takođe može tražiti da pronađete nagib tangente u tački A (x, y). U oba slučaja potrebno je uzeti derivaciju funkcije.
Uzmite derivaciju funkcije koja vam je data. Ovdje ne morate crtati graf - potrebna vam je samo jednačina funkcije. U našem primjeru uzmite derivaciju funkcije. Uzmite derivat prema metodama navedenim u gore spomenutom članku:
- Derivat:
Zamijenite koordinate tačke koje ste dobili u derivaciji koja je pronađena za izračunavanje nagiba. Izvod funkcije jednak je nagibu u određenoj tački. Drugim riječima, f "(x) je nagib funkcije u bilo kojoj tački (x, f (x)). U našem primjeru:
- Pronađite nagib funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) u tački A (4.2).
- Derivat funkcije:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\ displaystyle f "(x) = 4x + 6)
- Zamijenite vrijednost za x-koordinatu ove tačke:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\ displaystyle f "(x) = 4 (4) +6)
- Pronađite nagib:
- Nagib funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) u tački A (4.2) je 22.
Ako je moguće, provjerite svoj odgovor na grafikonu. Zapamtite da se nagib ne može izračunati u svakoj tački. Diferencijalni račun razmatra složene funkcije i složene grafove, gdje se nagib ne može izračunati u svakoj tački, a u nekim slučajevima tačke uopće ne leže na grafovima. Ako je moguće, koristite grafički kalkulator da provjerite da li se nagib ispravno izračunava za funkciju koja vam je dana. U suprotnom, nacrtajte tangentu na graf u tački koja vam je data i razmislite da li se vrijednost nagiba koju ste pronašli poklapa s onim što vidite na grafu.
- Tangenta će imati isti nagib kao graf funkcije u određenoj tački. Da biste nacrtali tangentu u datoj tački, pomaknite se desno/lijevo duž X-ose (u našem primjeru 22 vrijednosti udesno), a zatim jednu jedinicu gore duž Y-ose. Označite tačku i zatim ga povežite sa tačkom koja vam je data. U našem primjeru spojite tačke na koordinatama (4,2) i (26,3).
Definicija linearne funkcije
Hajde da uvedemo definiciju linearne funkcije
Definicija
Funkcija oblika $ y = kx + b $, gdje je $ k $ različita od nule, naziva se linearna funkcija.
Grafikon linearne funkcije - prava linija. Broj $ k $ naziva se nagib prave.
Za $ b = 0 $, linearna funkcija se zove funkcija direktne proporcionalnosti $ y = kx $.
Razmotrite sliku 1.
Rice. 1. Geometrijsko značenje nagiba prave linije
Posmatrajmo trougao ABC. Vidimo da je $ VS = kx_0 + b $. Pronađite tačku preseka prave $ y = kx + b $ sa osom $ Ox $:
\ \
Otuda $ AC = x_0 + \ frac (b) (k) $. Nađimo omjer ovih partija:
\ [\ frac (BC) (AC) = \ frac (kx_0 + b) (x_0 + \ frac (b) (k)) = \ frac (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) = k \]
S druge strane, $ \ frac (BC) (AC) = tg \ ugao A $.
Dakle, može se izvesti sljedeći zaključak:
Zaključak
Geometrijsko značenje koeficijenta $ k $. Nagib prave $ k $ jednak je tangenti ugla nagiba ove prave na osu $ Ox $.
Istraživanje linearne funkcije $ f \ lijevo (x \ desno) = kx + b $ i njenog grafa
Prvo, razmotrite funkciju $ f \ lijevo (x \ desno) = kx + b $, gdje je $ k> 0 $.
- $ f "\ lijevo (x \ desno) = (\ lijevo (kx + b \ desno))" = k> 0 $. Posljedično, ova funkcija se povećava u cijelom domenu definicije. Ne postoje ekstremne tačke.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) kx \) = - \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) kx \) = + \ infty $
- Grafikon (slika 2).
Rice. 2. Grafovi funkcije $ y = kx + b $, za $ k> 0 $.
Sada razmotrite funkciju $ f \ lijevo (x \ desno) = kx $, gdje je $ k
- Opseg su svi brojevi.
- Opseg su svi brojevi.
- $ f \ lijevo (-x \ desno) = - kx + b $. Funkcija nije ni parna ni neparna.
- Za $ x = 0, f \ lijevo (0 \ desno) = b $. Za $ y = 0,0 = kx + b, \ x = - \ frac (b) (k) $.
Točke preseka sa koordinatnim osama: $ \ lijevo (- \ frac (b) (k), 0 \ desno) $ i $ \ lijevo (0, \ b \ desno) $
- $ f "\ lijevo (x \ desno) = (\ lijevo (kx \ desno))" = k
- $ f ^ ("") \ lijevo (x \ desno) = k "= 0 $. Dakle, funkcija nema prevojne tačke.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) kx \) = + \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) kx \) = - \ infty $
- Grafikon (slika 3).
Instrukcije
Ako je grafik prava linija koja prolazi kroz ishodište i formira ugao α sa OX osom (ugao nagiba prave linije prema pozitivnoj OX poluosi). Funkcija koja opisuje ovu liniju imat će oblik y = kx. Koeficijent proporcionalnosti k je jednak tan α. Ako prava prolazi kroz 2. i 4. koordinatnu četvrtinu, tada k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 i funkcija raste Neka je to prava linija, smještena na različite načine u odnosu na koordinatne ose. To je linearna funkcija, i ima oblik y = kx + b, gdje su varijable x i y u prvom stepenu, a k i b mogu imati i pozitivne i negativne vrijednosti ili jednake nuli. Prava je paralelna pravoj y = kx i odsijeca na osi |b | jedinice. Ako je prava paralelna sa apscisnom osom, tada je k = 0, ako su ordinatne ose, onda jednačina ima oblik x = const.
Kriva koja se sastoji od dvije grane smještene u različitim četvrtima i simetrične u odnosu na ishodište, hiperbola. Ovaj graf je inverzni odnos varijable y prema x i opisan je jednadžbom y = k / x. Ovdje je k ≠ 0 koeficijent proporcionalnosti. Štaviše, ako je k> 0, funkcija se smanjuje; ako k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Kvadratna funkcija ima oblik y = ax2 + bx + s, gdje su a, b i c konstante i a 0. Kada je uvjet b = s = 0, jednadžba funkcije izgleda kao y = ax2 (najjednostavniji slučaj ), a njegov graf je parabola kroz ishodište. Graf funkcije y = ax2 + bx + c ima isti oblik kao i najjednostavniji slučaj funkcije, ali njen vrh (tačka presjeka sa osom OY) ne leži u početku.
Parabola je također grafik funkcije stepena izražene jednadžbom y = xⁿ, ako je n bilo koji paran broj. Ako je n bilo koji neparan broj, graf takve funkcije stepena će izgledati kao kubna parabola.
Ako je n bilo koji, jednadžba funkcije poprima oblik. Graf funkcije za neparno n bit će hiperbola, a za parno n njihove grane će biti simetrične u odnosu na os OY.
Čak iu školskim godinama, funkcije se detaljno proučavaju i izrađuju se njihovi rasporedi. Ali, nažalost, praktički se ne uči čitati graf funkcije i pronaći njen tip iz predstavljenog crteža. Zapravo je prilično jednostavno ako imate na umu osnovne vrste funkcija.
Instrukcije
Ako je prikazani graf da kroz ishodište i sa OX osom prolazi ugao α (koji je ugao nagiba prave na pozitivnu poluosu), tada će funkcija koja opisuje takvu pravu liniju biti predstavljena kao y = kx. U ovom slučaju, koeficijent proporcionalnosti k je jednak tangentu ugla α.
Ako data prava linija prolazi kroz drugu i četvrtu koordinatnu četvrtinu, tada je k jednako 0, a funkcija raste. Neka je prikazani graf prava linija, locirana na bilo koji način u odnosu na koordinatne ose. Zatim funkcija takvih grafikaće biti linearan, što je predstavljeno oblikom y = kx + b, gdje su varijable y i x u prvoj, a b i k mogu imati i negativne i pozitivne vrijednosti ili.
Ako je prava paralelna pravoj liniji sa grafikom y = kx i odsijeca b jedinica na ordinatnoj osi, tada jednačina ima oblik x = const, ako je graf paralelan sa osom apscise, tada je k = 0 .
Zakrivljena linija, koja se sastoji od dvije grane, simetrične u odnosu na ishodište i smještene u različitim četvrtima, je hiperbola. Takav graf prikazuje inverznu zavisnost varijable y od varijable x i opisuje se jednačinom oblika y = k / x, pri čemu k ne bi trebalo da bude jednako nuli, jer je koeficijent inverzne proporcionalnosti. Štaviše, ako je vrijednost k veća od nule, funkcija se smanjuje; ako je k manji od nule, povećava se.
Ako je predloženi graf parabola koja prolazi kroz ishodište koordinata, njegova funkcija pod uslovom da je b = c = 0 imaće oblik y = ax2. Ovo je najjednostavniji slučaj kvadratne funkcije. Graf funkcije oblika y = ax2 + bx + s imaće isti izgled kao u najjednostavnijem slučaju, ali vrh (tačka u kojoj se graf seče sa ordinatnom osom) neće biti u početku. U kvadratnoj funkciji, predstavljenoj u obliku y = ax2 + bx + s, vrijednosti a, b i c su konstante, dok a nije jednako nuli.
Parabola također može biti graf funkcije stepena izražene jednadžbom oblika y = xⁿ, samo ako je n bilo koji paran broj. Ako je vrijednost n neparan broj, takav graf funkcije stepena će biti predstavljen kubnom parabolom. Ako je varijabla n bilo koji negativan broj, jednadžba funkcije poprima oblik.
Povezani video zapisi
Koordinatu apsolutno bilo koje tačke na ravni određuju dvije njene vrijednosti: apscisa i ordinata. Zbirka mnogih takvih tačaka je graf funkcije. Iz njega se vidi kako se mijenja vrijednost Y ovisno o promjeni vrijednosti X. Također možete odrediti u kojem dijelu (intervalu) funkcija raste, a u kojem opada.
Instrukcije
Šta je sa funkcijom ako je njen graf prava linija? Pogledajte da li ova linija prolazi kroz ishodište koordinata (odnosno onu gdje su vrijednosti X i Y jednake 0). Ako prođe, onda je takva funkcija opisana jednadžbom y = kx. Lako je shvatiti da što je veća vrijednost k, to će se ova linija nalaziti bliže ordinati. A sama Y-osa zapravo odgovara beskonačno velikoj vrijednosti k.