Klasifikacija matematičkog modeliranja. Vrste matematičkih modela

Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: "model (latinski modul - mjera) je zamjenski objekt za originalni objekt, koji osigurava proučavanje nekih svojstava originala." (str. 6) “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se dobile informacije o najvažnijim svojstvima originalnog objekta pomoću objekta modela naziva se modeliranje.” (str. 6) „Pod matematičkim modeliranjem podrazumijevamo proces uspostavljanja korespondencije datog realnog objekta sa određenim matematičkim objektom, koji se naziva matematički model, i proučavanje ovog modela, koji nam omogućava da dobijemo karakteristike realnog objekta. predmet koji se razmatra. Vrsta matematičkog modela zavisi kako od prirode stvarnog objekta, tako i od zadataka proučavanja objekta i zahtevane pouzdanosti i tačnosti rešavanja ovog problema.”

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: „Jednačina koja izražava ideju».

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se konstruiše u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija:

i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mešoviti tipovi: koncentrisani u jednom pogledu (u smislu parametara), raspoređeni u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je predmet predstavljen

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni ili funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljaju objekat kao sistem sa svojom strukturom i mehanizmom funkcionisanja. Funkcionalni modeli ne koriste takve reprezentacije i odražavaju samo spoljašnje percipirano ponašanje (funkcionisanje) objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju se i modelima “crne kutije”. Mogući su i kombinovani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju „ siva kutija».

Sadržajni i formalni modeli

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja ukazuju da se prvo gradi posebna idealna struktura, tj. model sadržaja. Ovdje nema utvrđene terminologije, a drugi autori ovaj objekt nazivaju idealnim konceptualni model , spekulativni model ili premodel. U ovom slučaju se zove konačna matematička konstrukcija formalni model ili jednostavno matematički model dobijen kao rezultat formalizacije datog smislenog modela (predmodela). Konstrukcija smislenog modela može se izvršiti korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna klatna, elastični mediji, itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u oblastima znanja u kojima ne postoje potpuno završene formalizovane teorije (najbolja fizika, biologija, ekonomija, sociologija, psihologija i većina drugih oblasti), stvaranje smislenih modela postaje dramatično teže.

Sadržajna klasifikacija modela

Nijedna hipoteza u nauci ne može se dokazati jednom za svagda. Richard Feynman je ovo vrlo jasno formulirao:

“Uvijek imamo priliku da opovrgnemo teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je tačna. Pretpostavimo da ste iznijeli uspješnu hipotezu, izračunali kuda ona vodi i otkrili da su sve njene posljedice eksperimentalno potvrđene. Da li to znači da je vaša teorija tačna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.”

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je privremeno prihvaćen kao istina i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Tip 2: Fenomenološki model (ponašamo se kao da…)

Fenomenološki model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena. Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne uklapa dobro sa postojećim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat i da se potraga za “pravim mehanizmima” mora nastaviti. Peierls uključuje, na primjer, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica kao drugi tip.

Uloga modela u istraživanju može se vremenom mijenjati, a može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se promovišu u status hipoteze. Isto tako, nova znanja mogu postepeno doći u sukob sa modelima-hipotezama prvog tipa, a mogu se prevesti u drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici nastao je kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije postao prvi tip. Ali eterski modeli su prošli put od tipa 1 do tipa 2 i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje dolazi u različitim oblicima. Peierls identificira tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Tip 3: Aproksimacija (smatramo nečim vrlo velikim ili vrlo malim)

Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

Ovdje dolazi Tip 8, koji je široko rasprostranjen u matematičkim modelima bioloških sistema.

Tip 8: Feature Demonstration (glavna stvar je pokazati unutrašnju konzistentnost mogućnosti)

Ovo su također misaoni eksperimenti sa imaginarnim entitetima koji to pokazuju navodni fenomen u skladu sa osnovnim principima i interno konzistentan. To je glavna razlika u odnosu na modele tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih ovih eksperimenata je geometrija Lobačevskog (Lobačevski ju je nazvao "imaginarna geometrija"). Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela hemijskih i bioloških vibracija, autotalasa, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je zamišljen kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplanski način, na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Primjer

Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od opruge, fiksirane na jednom kraju, i mase mase, pričvršćene na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se opterećenje može kretati samo u smjeru ose opruge (na primjer, kretanje se događa duž šipke). Hajde da napravimo matematički model ovog sistema. Stanje sistema ćemo opisati rastojanjem od centra opterećenja do njegovog ravnotežnog položaja. Opišimo interakciju opruge i opterećenja pomoću Hookeov zakon() a zatim koristite drugi Newtonov zakon da ga izrazite u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugi izvod od s obzirom na vrijeme: .

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj model se naziva "harmonički oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje dali smo mnoge pretpostavke (o odsustvu vanjskih sila, odsustvu trenja, malenosti odstupanja itd.), koje u stvarnosti možda neće biti ispunjene.

U odnosu na stvarnost, najčešće se radi o modelu tipa 4 pojednostavljenje(„izostavićemo neke detalje radi jasnoće“), budući da su neke bitne univerzalne karakteristike (na primjer, disipacija) izostavljene. U nekoj aproksimaciji (recimo, dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, sa malim trenjem, ne previše vremena i podložan određenim drugim uslovima), takav model prilično dobro opisuje stvarni mehanički sistem, jer odbačeni faktori imaju zanemariv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom primjene.

Međutim, prilikom usavršavanja modela, složenost njegovog matematičkog istraživanja može se značajno povećati i učiniti model praktično beskorisnim. Često jednostavniji model omogućava bolje i dublje istraživanje stvarnog sistema od složenijeg (i, formalno, „ispravnijeg“).

Ako model harmonijskog oscilatora primenimo na objekte daleko od fizike, njegov sadržajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerovatnije bi ga trebalo klasificirati kao tip 6 analogija(„uzmimo u obzir samo neke karakteristike“).

Tvrdi i mekani modeli

Harmonski oscilator je primjer takozvanog “tvrdog” modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Da bismo riješili pitanje njegove primjenjivosti, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Drugim riječima, potrebno je proučavati “meki” model koji se dobija malim perturbacijom “tvrdog”. Može se dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

Evo neke funkcije koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog rastezanja - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije trenutno nas ne zanima. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog (bez obzira na eksplicitni tip uznemirujućih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika , odnosno oscilacije sa konstantnom amplitudom. Da li iz ovoga slijedi da će pravi oscilator oscilirati neograničeno s konstantnom amplitudom? Ne, jer uzimajući u obzir sistem sa proizvoljno malim trenjem (uvek prisutno u realnom sistemu), dobijamo prigušene oscilacije. Ponašanje sistema se kvalitativno promijenilo.

Ako sistem održava svoje kvalitativno ponašanje pod malim poremećajima, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog (nehrapavog) sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenom vremenskom periodu.

Raznovrsnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo svestranost: Fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije u nivou tekućine u posudi u obliku slova A. , ili promjena jačine struje u oscilatornom krugu. Dakle, proučavanjem jednog matematičkog modela, mi odmah proučavamo čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja inspirisao Ludwiga von Bertalanffyja da stvori „Opću teoriju sistema“.

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo morate smisliti osnovni dijagram modeliranog objekta, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Tako se vagon pretvara u sistem ploča i složenijih tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustina, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednačine, a usput neki detalji se odbacuju kao nevažni, vrše se proračuni, upoređuju se sa mjerenjima, model se rafinira i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne komponente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je provesti studiju modela kako bi se izvukla korisna znanja o objektu. Koje će statičko opterećenje most izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog problema. Postavljanje pravog direktnog problema (postavljanje pravog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postavljaju prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tay, čiji su projektanti izgradili model mosta, izračunali da ima 20-struki sigurnosni faktor za djelovanje korisnog tereta, ali su zaboravili na vjetrove stalno duva na tim mestima. I nakon godinu i po dana je propao.

U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.

Inverzni problem: poznato je mnogo mogućih modela, mora se odabrati određeni model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je poznata struktura modela i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt ( problem dizajna). Dodatni podaci mogu stići bez obzira na proces rješavanja inverznog problema ( pasivno posmatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tokom rješenja ( aktivni nadzor).

Jedan od prvih primjera majstorskog rješenja inverznog problema uz potpunu upotrebu dostupnih podataka bila je metoda koju je konstruirao I. Newton za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.

Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je da razvije metode za snimanje, opisivanje i analizu opservacijskih i eksperimentalnih podataka kako bi se izgradili probabilistički modeli masovnih slučajnih pojava. One. skup mogućih modela je ograničen na probabilističke modele. U specifičnim zadacima skup modela je ograničeniji.

Sistemi kompjuterske simulacije

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom modeliranje. Blok modeli predstavljeni su blokovima (najčešće grafičkim), čiji je skup i veza specificiran dijagramom modela.

Dodatni primjeri

Malthusov model

Stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je određeni parametar određen razlikom između nataliteta i stope smrtnosti. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija. Ako stopa nataliteta premašuje stopu smrtnosti (), veličina populacije se povećava neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenih resursa. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Rafiniranje Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti i ovo ponašanje je strukturno stabilno.

Sistem predator-plijen

Recimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi (jedu biljke) i lisice (jedu zečeve). Neka je broj zečeva, broj lisica. Koristeći Malthusov model sa potrebnim amandmanima da se uzme u obzir jedenje zečeva od strane lisica, dolazimo do sljedećeg sistema pod nazivom modeli Tacne - Volterra:

Ovaj sistem ima ravnotežno stanje kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama harmonijskog oscilatora. Kao i kod harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije u brojevima će izumrijeti. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Volterra-Lotka model ne daje odgovor na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Bilješke

"Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izd., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Laka i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
Vikirječnik: matematički model
CliffsNotes.com. Glosar nauke o Zemlji. 20. septembar 2010
Model redukcije i pristupi grubog zrnatosti za fenomene više razmjera, Springer, Complexity serija, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4
“Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom u zavisnosti od vrste matematičkog aparata – linearnog ili nelinearnog – i kakve linearne ili nelinearne matematičke modele koristi. ...ne poričući ovo drugo. Savremeni fizičar, kada bi morao ponovo da kreira definiciju tako važnog entiteta kao što je nelinearnost, najverovatnije bi delovao drugačije i, dajući prednost nelinearnosti kao važnijoj i raširenoj od dve suprotnosti, definisao bi linearnost kao „nelinearnost“. nelinearnost.” Danilov Yu. A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Serija "Sinergetika: od prošlosti do budućnosti." Izdanje 2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
„Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se koncentrisanim ili tačkastim sistemima. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su parcijalne diferencijalne jednačine, integralne jednačine ili obične jednačine kašnjenja. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka.” Anishchenko V. S., Dinamički sistemi, Soros obrazovni časopis, 1997, br. 11, str. 77-84.
“U zavisnosti od prirode procesa koji se proučavaju u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje odražava determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. ... Statičko modeliranje služi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, a dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje se koristi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno kontinuirano modeliranje nam omogućava da reflektujemo kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve kada se želi istaći prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Tipično, matematički model odražava strukturu (uređaj) modeliranog objekta, svojstva i odnose komponenti ovog objekta koji su bitni za potrebe istraživanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnim ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
„Očigledna, ali najvažnija početna faza konstruisanja ili odabira matematičkog modela je dobijanje što jasnije slike o objektu koji se modelira i usavršavanje njegovog smislenog modela, na osnovu neformalnih diskusija. U ovoj fazi ne biste trebali štedjeti vrijeme i trud, od toga u velikoj mjeri ovisi uspjeh cijelog studija. Desilo se više puta da se značajan rad utrošen na rješavanje matematičkog problema pokazao nedjelotvornim ili čak uzaludan zbog nedovoljne pažnje ovoj strani stvari.” Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
« Opis konceptualnog modela sistema. U ovoj podfazi izgradnje modela sistema: a) konceptualni model M se opisuje apstraktnim terminima i konceptima; b) opis modela je dat koristeći standardne matematičke šeme; c) hipoteze i pretpostavke su konačno prihvaćene; d) izbor postupka za aproksimaciju stvarnih procesa prilikom konstruisanja modela je opravdan.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

Kao sistem jednadžbi, ili aritmetičkih odnosa, ili geometrijskih figura, ili kombinacija i jednog i drugog, čije proučavanje pomoću matematike treba da odgovori na postavljena pitanja o svojstvima određenog skupa svojstava objekta u stvarnom svijetu, kao skup matematičkih odnosa, jednačina, nejednačina koji opisuju osnovne obrasce svojstvene procesu, objektu ili sistemu koji se proučava.

U automatizovanim sistemima upravljanja, matematički model se koristi za određivanje algoritma rada regulatora. Ovaj algoritam određuje kako se kontrolna akcija treba mijenjati ovisno o promjeni u masteru da bi se postigao kontrolni cilj.

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se konstruiše u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija:

Klasifikacija prema načinu na koji je predmet predstavljen

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni ili funkcionalni modeli

Modelske hipoteze u nauci ne mogu se dokazati jednom za svagda, možemo govoriti samo o njihovom opovrgavanju ili nepobijanju kao rezultatu eksperimenta.

Fenomenološki model

Drugi tip je fenomenološki model ( “ponašamo se kao da...”), sadrži mehanizam za opisivanje fenomena, iako ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne uklapa dobro s postojećim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat, a potraga za “pravim mehanizmima” mora se nastaviti. Peierls uključuje, na primjer, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica kao drugi tip.

Uloga modela u istraživanju može se vremenom mijenjati, a može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se promovišu u status hipoteze. Slično tome, nova znanja mogu postepeno doći u sukob sa modelima hipoteza prvog tipa, a mogu se prevesti u drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici nastao je kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije postao prvi tip. Ali eterski modeli su prošli put od tipa 1 do tipa 2 i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje dolazi u različitim oblicima. Peierls identificira tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Aproksimacija

Treći tip modela su aproksimacije ( “Mi smatramo nešto vrlo veliko ili vrlo malo”). Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Općenito prihvaćena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

Misaoni eksperiment

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

Gdje x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) znači drugi derivat od x (\displaystyle x) po vremenu: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj model se naziva "harmonički oscilator".

Tvrdi i mekani modeli

Harmonski oscilator je primjer takozvanog “tvrdog” modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Svojstva harmonijskog oscilatora kvalitativno se mijenjaju malim perturbacijama. Na primjer, ako dodate mali izraz na desnu stranu − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(trenje) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- neki mali parametar), tada ćemo dobiti eksponencijalno prigušene oscilacije ako promijenimo predznak dodatnog člana (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x)))) tada će se trenje pretvoriti u pumpanje i amplituda oscilacija će se eksponencijalno povećati.

Da bismo riješili pitanje primjenjivosti rigidnog modela, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Potrebno je proučavati meke modele dobijene malom perturbacijom tvrdog. Za harmonijski oscilator oni se mogu dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

Evo f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\dot (x))))- neka funkcija koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stepenu njenog rastezanja. Forma eksplicitne funkcije f (\displaystyle f) Trenutno nismo zainteresovani.

Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog (bez obzira na eksplicitni tip uznemirujućih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja.

Raznovrsnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo svestranost: Fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije u nivou tekućine u U (\displaystyle U)- posuda u obliku ili promjena jačine struje u oscilatornom krugu. Dakle, proučavanjem jednog matematičkog modela, mi odmah proučavamo čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja inspirisao Ludwiga von Bertalanffyja da stvori „opću teoriju sistema“.

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo morate smisliti osnovni dijagram modeliranog objekta, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Tako se vagon pretvara u sistem ploča i složenijih tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustina, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednačine, usput detalji se odbacuju kao nevažni, vrše se kalkulacije, upoređuju se sa merenjima, model se rafinira i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne komponente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je provesti studiju modela kako bi se izvukla korisna znanja o objektu. Koje će statičko opterećenje most izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog problema. Postavljanje pravog direktnog problema (postavljanje pravog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postavljaju prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Velikoj Britaniji srušio metalni željeznički most preko Firth of Tay, čiji su projektanti napravili model mosta, izračunali ga za 20-struki sigurnosni faktor za djelovanje korisnog tereta, ali su zaboravili na vjetrovi koji stalno duvaju na tim mjestima. I nakon godinu i po dana je propao.

U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.

Jedan od prvih primjera majstorskog rješenja inverznog problema uz najpotpuniju upotrebu dostupnih podataka bila je Newtonova metoda za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.

Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je da razvije metode za snimanje, opisivanje i analizu opservacijskih i eksperimentalnih podataka kako bi se izgradili probabilistički modeli masovnih slučajnih pojava. Odnosno, skup mogućih modela je ograničen na vjerovatnostne modele. U specifičnim zadacima skup modela je ograničeniji.

Sistemi kompjuterske simulacije

Dodatni primjeri

Malthusov model

Prema modelu koji je predložio Malthus, stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije, odnosno opisana je diferencijalnom jednadžbom:

x ˙ = α x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha x),

Gdje α (\displaystyle \alpha )- određeni parametar određen razlikom između plodnosti i mortaliteta. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Ako natalitet premašuje stopu smrtnosti ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), veličina populacije je neograničena i raste vrlo brzo. U stvarnosti se to ne može dogoditi zbog ograničenih resursa. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Preciznost Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\right)x),

Sistem predator-plijen

Recimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi (jedu biljke) i lisice (jedu zečeve). Neka broj zečeva x (\displaystyle x), broj lisica y (\displaystyle y). Koristeći Malthusov model sa potrebnim amandmanima da se uzme u obzir jedenje zečeva od strane lisica, dolazimo do sljedećeg sistema pod nazivom modeli Tacne - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y ))=(-\beta +dx)y\end(slučajevi)))

Ponašanje ovog sistema nije strukturno stabilno: mala promjena u parametrima modela (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja.

Za određene vrijednosti parametara ovaj sistem ima ravnotežno stanje kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do postepenog nestajanja fluktuacija u broju zečeva i lisica.

Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Volterra - Trats model ne daje odgovor na pitanje koji se od ovih scenarija realizuje: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

vidi takođe

Bilješke

"Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izd., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A. G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Laka i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
Rotach V.Ya. Teorija automatskog upravljanja. - 1. - M.: ZAO "Izdavačka kuća MPEI", 2008. - P. 333. - 9 str. - ISBN 978-5-383-00326-8.
Pristupi redukcije modela i krupnozrnatosti za fenomene više razmjera(engleski) . Springer, Complexity serija, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4. Pristupljeno 18. juna 2013. Arhivirano 18. juna 2013.
“Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom u zavisnosti od vrste matematičkog aparata – linearnog ili nelinearnog – i kakve linearne ili nelinearne matematičke modele koristi. ...ne poričući ovo drugo. Savremeni fizičar, kada bi morao ponovo da kreira definiciju tako važnog entiteta kao što je nelinearnost, najverovatnije bi delovao drugačije i, dajući prednost nelinearnosti kao važnijoj i raširenoj od dve suprotnosti, definisao bi linearnost kao „nelinearnost“. nelinearnost.” Danilov Yu. A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Serija "Sinergetika: od prošlosti do budućnosti." Izdanje 2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
„Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se koncentrisanim ili tačkastim sistemima. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su parcijalne diferencijalne jednačine, integralne jednačine ili obične jednačine kašnjenja. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka.”
Anishchenko V. S., Dinamički sistemi, Soros obrazovni časopis, 1997, br. 11, str. 77-84.
“U zavisnosti od prirode procesa koji se proučavaju u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje odražava determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. ... Statičko modeliranje služi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, a dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje se koristi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno kontinuirano modeliranje nam omogućava da reflektujemo kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve kada se želi istaći prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa. ”
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Tipično, matematički model odražava strukturu (uređaj) modeliranog objekta, svojstva i odnose komponenti ovog objekta koji su bitni za potrebe istraživanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnim ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 str.

Dinamiku razvoja objekta, unutrašnju suštinu odnosa njegovih elemenata i različitih stanja u procesu projektovanja moguće je pratiti samo uz pomoć modela koji koriste princip dinamičke analogije, odnosno uz pomoć matematičkih modeli.

Matematički model je sistem matematičkih odnosa koji opisuju proces ili fenomen koji se proučava. Za sastavljanje matematičkog modela možete koristiti bilo koja matematička sredstva - teoriju skupova, matematičku logiku, jezik diferencijalnih ili integralnih jednadžbi. Proces sastavljanja matematičkog modela naziva se matematičko modeliranje. Kao i druge vrste modela, matematički model predstavlja problem u pojednostavljenom obliku i opisuje samo svojstva i obrasce koji su najvažniji za dati objekt ili proces. Matematički model omogućava multilateralnu kvantitativnu analizu. Promjenom početnih podataka, kriterija i ograničenja svaki put se može dobiti optimalno rješenje za date uvjete i odrediti daljnji smjer traženja.

Stvaranje matematičkih modela zahtijeva od njihovih programera, pored poznavanja formalno-logičkih metoda, temeljitu analizu predmeta koji se proučava kako bi se striktno formulirale glavne ideje i pravila, kao i identificirala dovoljna količina pouzdanih činjeničnih, statistički i regulatorni podaci.

Treba napomenuti da se svi trenutno korišteni matematički modeli odnose na preskriptivno. Svrha razvoja preskriptivnih modela je da se ukaže na smjer pronalaženja rješenja, a svrha razvoja opisivati modeli su odraz stvarnih procesa ljudskog mišljenja.

Prilično je rašireno gledište da je uz pomoć matematike moguće dobiti samo neke numeričke podatke o objektu ili procesu koji se proučava. „Naravno, mnoge matematičke discipline imaju za cilj dobijanje konačnog numeričkog rezultata. Ali svesti matematičke metode samo na problem dobijanja broja znači beskrajno osiromašiti matematiku, osiromašiti mogućnost tog moćnog oružja koje je danas u rukama istraživača...

Matematički model napisan na jednom ili drugom privatnom jeziku (na primjer, diferencijalne jednadžbe) odražava određena svojstva stvarnih fizičkih procesa. Kao rezultat analize matematičkih modela, dobijamo, pre svega, kvalitativne ideje o karakteristikama procesa koji se proučavaju, uspostavljamo obrasce koji određuju dinamičke nizove uzastopnih stanja i dobijamo priliku da predvidimo tok procesa. i odrediti njegove kvantitativne karakteristike.”

Matematički modeli se koriste u mnogim poznatim metodama modeliranja. Među njima su razvoj modela koji opisuju statičko i dinamičko stanje objekta, optimizacijski modeli.

Primjer matematičkih modela koji opisuju statičko i dinamičko stanje objekta mogu biti različite metode tradicionalnih strukturnih proračuna. Proces proračuna, predstavljen u obliku niza matematičkih operacija (algoritma), omogućava nam da kažemo da je sastavljen matematički model za izračunavanje određene strukture.

IN optimizacija modeli sadrže tri elementa:

Objektivna funkcija koja odražava prihvaćeni kriterijum kvaliteta;

Podesivi parametri;

Nametnuta ograničenja.

Svi ovi elementi moraju biti matematički opisani u obliku jednačina, logičkih uslova, itd. Rješavanje problema optimizacije je proces pronalaženja minimalne (maksimalne) vrijednosti funkcije cilja uz pridržavanje specificiranih ograničenja. Rezultat rješenja se smatra optimalnim ako ciljna funkcija dostigne svoju ekstremnu vrijednost.

Primjer optimizacijskog modela je matematički opis kriterija “dužine priključka” u metodi alternativnog projektiranja industrijskih zgrada.

Funkcija cilja odražava ukupnu ponderisanu dužinu svih funkcionalnih veza, koja bi trebala težiti minimalnoj:

gdje je vrijednost težine veze elementa sa ;

– dužina veze između i elemenata;

– ukupan broj postavljenih elemenata.

Budući da su površine postavljenih elemenata prostorija jednake u svim varijantama projektantskog rješenja, varijante se međusobno razlikuju samo po različitim razmacima između elemenata i njihovom međusobnom položaju. Shodno tome, podesivi parametri u ovom slučaju su koordinate elemenata postavljenih na tlocrte.

Nametnuta ograničenja na lokaciju elemenata (na unaprijed određenom mjestu na planu, na vanjskom obodu, jedan na drugome, itd.) i na dužinu veza (dužine veza između elemenata su strogo određene, minimalne ili su specificirane maksimalne granice vrijednosti, granice promjene su specificirane vrijednosti) su napisane formalno.

Opcija se smatra optimalnom (prema ovom kriteriju) ako je vrijednost funkcije cilja izračunata za ovu opciju minimalna.

Različiti matematički modeli – ekonomsko-matematički model– je model odnosa između ekonomskih karakteristika i parametara sistema.

Primjer ekonomsko-matematičkih modela je matematički opis kriterija troškova u gore navedenoj metodi alternativnog projektovanja industrijskih zgrada. Matematički modeli dobijeni korištenjem metoda matematičke statistike odražavaju ovisnost cijene okvira, temelja, zemljanih radova jednospratnih i višespratnih industrijskih zgrada i njihove visine, raspona i nagiba nosivih konstrukcija.

Na osnovu metode uzimanja u obzir uticaja slučajnih faktora na donošenje odluka, matematički modeli se dele na determinističke i probabilističke. Deterministički model ne uzima u obzir uticaj slučajnih faktora u procesu rada sistema i zasniva se na analitičkom prikazu obrazaca funkcionisanja. Vjerovatni (stohastički) model uzima u obzir uticaj slučajnih faktora tokom rada sistema i zasniva se na statističkim, tj. kvantitativna procjena fenomena mase, omogućavajući uzimanje u obzir njihove nelinearnosti, dinamike, slučajnih poremećaja opisanih različitim zakonima raspodjele.

Koristeći navedene primjere, možemo reći da se matematički model koji opisuje kriterij „dužina veza“ odnosi na determinističke modele, a matematički modeli koji opisuju grupu kriterija „troškovi“ se odnose na vjerovatnostne modele.

Jezički, semantički i informacioni modeli

Matematički modeli imaju očigledne prednosti jer kvantificiranje aspekata problema daje jasnu sliku prioriteta ciljeva. Važno je da specijalista uvijek može opravdati donošenje određene odluke iznošenjem relevantnih brojčanih podataka. Međutim, potpun matematički opis projektantske djelatnosti je nemoguć, pa se većina problema rješavanih u početnoj fazi arhitektonsko-građevinskog projektiranja odnosi na loše strukturirano.

Jedna od karakteristika polustrukturiranih problema je verbalni opis kriterijuma koji se u njima koriste. Uvođenje kriterijuma opisanih prirodnim jezikom (takvi kriterijumi se nazivaju lingvistički), omogućava korištenje manje složenih metoda za pronalaženje optimalnih dizajnerskih rješenja. S obzirom na takve kriterijume, dizajner donosi odluku na osnovu poznatih, neupitnih izraza ciljeva.

Smisleni opis svih aspekata problema uvodi sistematizaciju u proces njegovog rješavanja, s jedne strane, as druge, uvelike olakšava rad specijalistima koji, bez proučavanja relevantnih grana matematike, mogu više rješavati svoje stručne probleme. racionalno. Na sl. 5.2 je dato lingvistički model, opisujući mogućnosti stvaranja uslova za prirodnu ventilaciju u različitim mogućnostima rasporeda pekare.

Ostale prednosti smislenog opisa problema uključuju:

Sposobnost opisivanja svih kriterija koji određuju djelotvornost dizajnerskog rješenja. Istovremeno, važno je da se u opis mogu uvesti kompleksni koncepti, a vidno polje specijaliste, uz kvantitativne, mjerljive faktore, uključivati i one kvalitativne, nemjerljive. Stoga će se u trenutku donošenja odluke koristiti sve subjektivne i objektivne informacije;

Rice. 5.2 Opis sadržaja kriterija "ventilacije" u obliku jezičkog modela

Sposobnost nedvosmislene procjene stepena postizanja cilja u opcijama za ovaj kriterij na osnovu formulacija koje su prihvatili stručnjaci, što osigurava pouzdanost primljenih informacija;

Sposobnost uzimanja u obzir neizvjesnosti povezane s nepotpunim poznavanjem svih posljedica donesenih odluka, kao i prediktivnih informacija.

Modeli koji koriste prirodni jezik za opisivanje predmeta proučavanja također uključuju semantičke modele.

Semantički model- postoji takva reprezentacija objekta koja odražava stepen međusobne povezanosti (blizine) između različitih komponenti, aspekata, svojstava objekta. Međusobna povezanost ne znači relativan prostorni raspored, već povezanost u značenju.

Dakle, u semantičkom smislu, odnos između koeficijenta prirodnog osvjetljenja i svjetlosne površine prozirnih ograda će biti predstavljen kao bliži nego odnos između prozorskih otvora i susjednih slijepih dijelova zida.

Skup relacija povezivanja pokazuje šta svaki odabrani element u objektu i objektu u cjelini predstavlja. Istovremeno, semantički model odražava, pored stepena povezanosti različitih aspekata u objektu, i sadržaj pojmova. Elementarni modeli su koncepti izraženi prirodnim jezikom.

Konstrukcija semantičkih modela zasniva se na principima prema kojima se koncepti i veze ne mijenjaju tokom cijelog vremena korištenja modela; sadržaj jednog koncepta se ne prenosi na drugi; veze između dva pojma imaju jednaku i neorijentisanu interakciju u odnosu na njih.

Svaka analiza modela ima za cilj da izabere elemente modela koji imaju određeni zajednički kvalitet. Ovo daje osnovu za konstruisanje algoritma koji uzima u obzir samo direktne veze. Prilikom pretvaranja modela u neusmjereni graf, put se nalazi između dva elementa koji prati kretanje od jednog do drugog elementa, koristeći svaki element samo jednom. Redoslijed u kojem se elementi pojavljuju naziva se redoslijed dva elementa. Sekvence mogu imati različite dužine. Najkraći od njih se nazivaju odnosima elemenata. Niz dva elementa postoji čak i ako postoji direktna veza između njih, ali u ovom slučaju nema veze.

Kao primjer semantičkog modela dajemo opis rasporeda stana uz komunikacijske veze. Koncept je prostor stana. Direktna veza znači funkcionalno povezivanje dvije prostorije, na primjer vratima (vidi tabelu 5.1).

Transformacija modela u oblik neusmjerenog grafa nam omogućava da dobijemo niz elemenata (slika 5.3).

Primjeri niza formiranih između elementa 2 (kupatilo) i elementa 6 (ostava) dati su u tabeli. 5.2. Kao što se može vidjeti iz tabele, sekvenca 3 predstavlja odnos ova dva elementa.

Tabela 5.1

Opis rasporeda stana

Rice. 5.3 Opis planskog rješenja u obliku neusmjerenog grafa

Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: „model (lat. modulus – mjera) je zamjenski objekt za originalni objekt, koji osigurava proučavanje nekih svojstava originala.” (str. 6) “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se dobile informacije o najvažnijim svojstvima originalnog objekta pomoću objekta modela naziva se modeliranje.” (str. 6) „Pod matematičkim modeliranjem podrazumijevamo proces uspostavljanja korespondencije datog realnog objekta sa određenim matematičkim objektom, koji se naziva matematički model, i proučavanje ovog modela, koji nam omogućava da dobijemo karakteristike realnog objekta. predmet koji se razmatra. Vrsta matematičkog modela zavisi kako od prirode stvarnog objekta, tako i od zadataka proučavanja objekta i zahtevane pouzdanosti i tačnosti rešavanja ovog problema.”

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: „Jednačina koja izražava ideju."

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se konstruiše u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija:

Klasifikacija prema načinu na koji je predmet predstavljen

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni ili funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljaju objekat kao sistem sa svojom strukturom i mehanizmom funkcionisanja. Funkcionalni modeli ne koriste takve reprezentacije i odražavaju samo eksterno percipirano ponašanje (funkcionisanje) objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju se i modelima “crne kutije”, a mogući su i kombinovani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju i “sivom kutijom”.

Sadržajni i formalni modeli

Sadržajna klasifikacija modela

Nijedna hipoteza u nauci ne može se dokazati jednom za svagda. Richard Feynman je ovo vrlo jasno formulirao:

“Uvijek imamo priliku da opovrgnemo teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je tačna. Pretpostavimo da ste iznijeli uspješnu hipotezu, izračunali kuda ona vodi i otkrili da su sve njene posljedice eksperimentalno potvrđene. Da li to znači da je vaša teorija tačna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.”

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je on privremeno prepoznat kao istina i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Tip 2: Fenomenološki model (ponašamo se kao da…)

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje dolazi u različitim oblicima. Peierls identificira tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Tip 3: Aproksimacija (smatramo nečim vrlo velikim ili vrlo malim)

Ovdje dolazi Tip 8, koji je široko rasprostranjen u matematičkim modelima bioloških sistema.

Tip 8: Feature Demonstration (glavna stvar je pokazati unutrašnju konzistentnost mogućnosti)

Ovo su također misaoni eksperimenti sa imaginarnim entitetima, koji to pokazuju navodni fenomen u skladu sa osnovnim principima i interno konzistentan. To je glavna razlika u odnosu na modele tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Primjer

Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od opruge pričvršćene na jednom kraju i mase mase m pričvršćen na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se opterećenje može kretati samo u smjeru ose opruge (na primjer, kretanje se događa duž šipke). Hajde da napravimo matematički model ovog sistema. Stanje sistema ćemo opisati rastojanjem x od centra opterećenja do njegovog ravnotežnog položaja. Opišimo interakciju opruge i opterećenja pomoću Hookeov zakon (F = − kx ), a zatim koristite drugi Newtonov zakon da ga izrazite u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugi derivat od x po vremenu: .

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj model se naziva "harmonički oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke (o odsustvu vanjskih sila, odsustvu trenja, malenosti odstupanja, itd.), koje u stvarnosti možda neće biti ispunjene.

Tvrdi i mekani modeli

Evo neke funkcije koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog rastezanja - neki mali parametar. Forma eksplicitne funkcije f Trenutno nismo zainteresovani. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog (bez obzira na eksplicitni tip uznemirujućih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika , odnosno oscilacije sa konstantnom amplitudom. Da li iz ovoga slijedi da će pravi oscilator oscilirati neograničeno s konstantnom amplitudom? Ne, jer uzimajući u obzir sistem sa proizvoljno malim trenjem (uvek prisutno u realnom sistemu), dobijamo prigušene oscilacije. Ponašanje sistema se kvalitativno promijenilo.

Raznovrsnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo svestranost: Fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije u nivou tekućine u U- posuda u obliku ili promjena jačine struje u oscilatornom krugu. Dakle, proučavanjem jednog matematičkog modela, mi odmah proučavamo čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja inspirisao Ludwiga von Bertalanffyja da stvori „Opću teoriju sistema“.

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je provesti studiju modela kako bi se izvukla korisna znanja o objektu. Koje će statičko opterećenje most izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog problema. Postavljanje pravog direktnog problema (postavljanje pravog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postavljaju prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Engleskoj srušio metalni most preko rijeke Tay, čiji su projektanti napravili model mosta, izračunali da ima 20-struki sigurnosni faktor za djelovanje korisnog tereta, ali su stalno zaboravili na vjetrove duva na tim mestima. I nakon godinu i po dana je propao.

U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.

Dodatni primjeri

Gdje x s- „ravnotežna“ veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno nadoknađena stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti x s, i ovo ponašanje je strukturno stabilno.

Bilješke

"Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. . - 2. izd., prerađeno - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Vikirječnik: matematički model
CliffsNotes
Model redukcije i pristupi grubog zrnatosti za fenomene više razmjera, Springer, Complexity serija, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4
“Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom u zavisnosti od vrste matematičkog aparata – linearnog ili nelinearnog – i kakve linearne ili nelinearne matematičke modele koristi. ...ne poričući ovo drugo. Savremeni fizičar, kada bi morao ponovo da kreira definiciju tako važnog entiteta kao što je nelinearnost, najverovatnije bi delovao drugačije i, dajući prednost nelinearnosti kao važnijoj i raširenoj od dve suprotnosti, definisao bi linearnost kao „nelinearnost“. nelinearnost.” Danilov Yu. A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Serija "Sinergetika: od prošlosti do budućnosti." Izdanje 2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
„Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se koncentrisanim ili tačkastim sistemima. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su parcijalne diferencijalne jednačine, integralne jednačine ili obične jednačine kašnjenja. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka.” Anishchenko V. S., Dinamički sistemi, Soros obrazovni časopis, 1997, br. 11, str. 77-84.
“U zavisnosti od prirode procesa koji se proučavaju u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje odražava determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. ... Statičko modeliranje služi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, a dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje se koristi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno kontinuirano modeliranje nam omogućava da reflektujemo kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve kada se želi istaći prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Tipično, matematički model odražava strukturu (uređaj) modeliranog objekta, svojstva i odnose komponenti ovog objekta koji su bitni za potrebe istraživanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnim ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
„Očigledna, ali najvažnija početna faza konstruisanja ili odabira matematičkog modela je dobijanje što jasnije slike o objektu koji se modelira i usavršavanje njegovog smislenog modela, na osnovu neformalnih diskusija. U ovoj fazi ne biste trebali štedjeti vrijeme i trud, od toga u velikoj mjeri ovisi uspjeh cijelog studija. Desilo se više puta da se značajan rad utrošen na rješavanje matematičkog problema pokazao nedjelotvornim ili čak uzaludan zbog nedovoljne pažnje ovoj strani stvari.” Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
« Opis konceptualnog modela sistema. U ovoj podfazi izgradnje modela sistema: a) konceptualni model M se opisuje apstraktnim terminima i konceptima; b) opis modela je dat koristeći standardne matematičke šeme; c) hipoteze i pretpostavke su konačno prihvaćene; d) izbor postupka za aproksimaciju stvarnih procesa prilikom konstruisanja modela je opravdan.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Primijenjena matematika: Predmet, logika, karakteristike pristupa. Sa primjerima iz mehanike: Udžbenik. - 3. izd., rev. i dodatne - M.: URSS, 2006. - 376 str. ISBN 5-484-00163-3, Poglavlje 2.

Glavne faze

Raspraviti i obrazložiti glavne pristupe razvoju problema matematičko modeliranje tehničkih uređaja i procesa u njima, čini se da je preporučljivo prvo razmotriti uslovni dijagram (slika 1.1), koji određuje redoslijed pojedinih faza opće procedure Početna pozicija ove šeme je tehnički objekat(TO), pod kojim podrazumijevamo određeni tehnički uređaj, njegovu jedinicu ili komponentu, sistem uređaja, proces, pojavu ili posebnu situaciju u bilo kojem sistemu ili uređaju.

Rice. 1.1

U prvoj fazi se vrši neformalni prijelaz sa razmatranog (razvijenog ili postojećeg) TO u njegov shema dizajna(PC). Istovremeno, u zavisnosti od smera računarskog eksperimenta i njegovog konačnog cilja, naglašavaju se ona svojstva, uslovi rada i karakteristike tehničke opreme, koje bi, zajedno sa parametrima koji ih karakterišu, trebalo da se odraze na PC, i, nasuprot tome, oni se zalažu za pretpostavke i pojednostavljenja koja omogućavaju da se ti kvaliteti u PC TE ne uzmu u obzir, čiji se uticaj pretpostavlja da je beznačajan u predmetu koji se razmatra. Ponekad se izraz koristi umjesto PC model sadržaja* TO, au nekim slučajevima - konceptualni model. U uspostavljenim inženjerskim disciplinama (na primjer, u čvrstoći materijala, elektrotehnici i elektronici), pored deskriptivnih (verbalnih) informacija, razvijene su posebne tehnike i simboli za vizuelno grafičko predstavljanje za karakterizaciju računara. U nizu novih područja tehnološkog razvoja takva simbolika je u fazi formiranja.

Prilikom razvoja nove tehničke opreme, uspješan završetak prve etape u velikoj mjeri zavisi od profesionalnog nivoa inženjera, njegove kreativnosti i intuicije. Potpunost i ispravnost uzimanja u obzir u PC-u svojstava TO, koja su značajna sa stanovišta navedenog cilja studije, glavni su preduslov za dobijanje pouzdanih rezultata matematičkog modeliranja u budućnosti. Suprotno tome, snažna idealizacija TO-a radi dobijanja jednostavnog PC-a može obezvrijediti sve naredne faze studije.

Mora se reći da za neke standardne računare postoje MM banke, što pojednostavljuje drugu fazu. Štaviše, isti MM može odgovarati računarima iz različitih predmetnih oblasti. Međutim, kada razvijamo nove TO-ove, često nije moguće ograničiti se na upotrebu standardnih računara i već izgrađenih MM-ova koji im odgovaraju. Stvaranje novih MM ili modifikacija postojećih treba da se zasniva na dovoljno dubokoj matematičkoj obuci i ovladavanju matematikom kao univerzalnim jezikom nauke.

U trećoj fazi vrši se kvalitativna i evaluativna kvantitativna analiza izgrađenog MM. U ovom slučaju mogu se identifikovati kontradiktornosti, čije će eliminisanje zahtevati pojašnjenje ili reviziju računara (isprekidana linija na slici 1.1). Kvantitativne procjene mogu dati osnov za pojednostavljenje modela isključivanjem iz razmatranja nekih parametara, omjera ili njihovih pojedinačnih komponenti, uprkos činjenici da se u PC-u uzima u obzir utjecaj faktora koje oni opisuju. U većini slučajeva, uzimajući dodatne pretpostavke u odnosu na PC, korisno je konstruirati pojednostavljenu verziju MM koja bi omogućila da se dobije ili koristi poznato tačno rješenje. Ovo rješenje se zatim može koristiti za poređenje prilikom testiranja rezultata u narednim fazama. U nekim slučajevima moguće je konstruisati nekoliko MM za isti TO, koji se razlikuju u različitim nivoima pojednostavljenja. U ovom slučaju govore o MM hijerarhija(grčka riječ dolazi od - sveti i - moć i u ovom slučaju znači poredak MM na osnovu njihove složenosti i potpunost).

Konstrukcija hijerarhije MM povezana je sa različitim detaljima svojstava proučavane TO. Upoređivanje rezultata studija različitih MM može značajno proširiti i obogatiti znanje o ovoj TO. Osim toga, takvo poređenje nam omogućava da procijenimo pouzdanost rezultata naknadnog računskog eksperimenta: ako jednostavniji MM ispravno odražava neka svojstva TO, tada bi rezultati proučavanja ovih svojstava trebali biti bliski rezultatima dobivenim korištenjem potpunijeg i složeni MM.

Rezultat analize u fazi koja se razmatra je utemeljen izbor radnog MM TO, koji je podložan daljoj detaljnoj kvantitativnoj analizi. Uspeh u sprovođenju treće etape po pravilu zavisi od dubine razumevanja veze između pojedinih komponenti MM i svojstava TO, koja se ogleda u njegovom PC, što pretpostavlja organsku kombinaciju znanja matematike i inženjersko znanje u određenoj predmetnoj oblasti.

Četvrta faza se sastoji od razumnog izbora metode za kvantitativnu analizu MM, u razvoju efikasnog algoritma za računarski eksperiment, a peta faza je u kreiranju izvodljivog programa koji implementira ovaj algoritam korišćenjem računarske tehnologije. Za uspješno izvođenje četvrte etape potrebno je posjedovati arsenal savremenih metoda računske matematike, a u slučaju matematičkog modeliranja prilično složenih tehničkih operacija, implementacija pete etape zahtijeva stručno usavršavanje u oblasti kompjuterskog programiranja. .

Rezultati proračuna dobiveni u šestoj fazi (kao rezultat programa) moraju se prije svega testirati upoređivanjem s podacima kvantitativne analize pojednostavljene verzije MM razmatranog TO. Testiranje može otkriti nedostatke i u programu i u algoritmu i zahtijevati izmjenu programa ili modifikaciju i algoritma i programa. Analiza rezultata proračuna i njihova inženjerska interpretacija može zahtijevati prilagođavanje PC-a i odgovarajućeg MM. Nakon otklanjanja svih uočenih nedostataka, trijada “model – algoritam – program” može se koristiti kao radni alat za izvođenje računskog eksperimenta i razvijanje, na osnovu dobijenih kvantitativnih informacija, praktičnih preporuka za poboljšanje održavanja, što čini sadržaj sedmi, završavajući fazu „tehnološkog ciklusa“ matematičkog modeliranja.

Prikazani slijed faza je opći i univerzalan, iako u nekim specifičnim slučajevima može biti malo izmijenjen. Ako se standardni PC i MM mogu koristiti pri razvoju TO, onda nema potrebe za izvođenjem niza koraka, a ako je odgovarajući softverski paket dostupan, proces računskog eksperimenta postaje u velikoj mjeri automatiziran. Međutim, matematičko modeliranje tehničke opreme koja nema bliske prototipove po pravilu je povezano sa izvođenjem svih faza opisanog „tehnološkog ciklusa“.

MATEMATIČKI MODEL

Iz redosleda glavnih faza matematičko modeliranje(vidi sliku 1.1) proizilazi da je odlučujuća uloga u tome matematički model(MM) proučavanog tehnički objekat. Stoga, prije svega, treba obratiti pažnju na osnovna svojstva MM i zahtjeve za njega, kao i na klasifikaciju MM.

2.1. Koncept matematičkog modela

Koncept matematički model(MM), kao i brojni drugi koncepti koji se koriste u matematičko modeliranje, nema strogu formalnu definiciju. Ipak, ovaj koncept ima vrlo specifičan sadržaj s kojim je, posebno, usko povezana primjena matematike u inženjerskoj praksi. Štaviše, takve naučne discipline kao što su mehanika, fizika i njihove brojne grane su, u suštini, uređeni skupovi MM, čiju konstrukciju prati teorijsko opravdanje za adekvatan odraz ovih modela svojstava procesa i pojava koje se razmatraju. . Kroz MM naučne discipline stupaju u interakciju sa matematikom.

Faze razvoja mnogih prirodnonaučnih pravaca u poznavanju zakona prirode i unapređenju tehnologije su izgradnja niza sve preciznijih i potpunijih MM procesa i pojava koje se proučavaju. Međutim, istorija nauke poznaje ne samo slučajeve doslednog usavršavanja jednog ili drugog MM, već i slučajeve napuštanja nekih MM zbog neslaganja između rezultata koje su oni predvideli i stvarnosti.

MM koji odgovara stvarnosti (adekvatan) je po pravilu veliko naučno dostignuće. Omogućava vam da provedete detaljnu studiju objekta koji se proučava i da date pouzdanu prognozu njegovog ponašanja u različitim uvjetima. Ali adekvatnost MM često dolazi po cijenu njegove složenosti, što uzrokuje poteškoće u njegovoj upotrebi. U ovom slučaju, moderna računarska tehnologija dolazi u pomoć matematici, koja je značajno proširila klasu MM-ova koji omogućavaju iscrpnu kvantitativnu analizu.

Isti MM-ovi ponekad nađu potpuno različite aplikacije. Poznato je, na primjer, da se Newtonov zakon privlačenja dviju materijalnih tačaka i zakon interakcije dvaju tačkastih električnih naboja, uz odgovarajući izbor mjernih jedinica fizičkih veličina, mogu izraziti istim formulama. Koristeći isti MM koji sadrži Poissonovu jednačinu

gdje je Laplaceov diferencijalni operator, a tražena i specificirana funkcija položaja tačke u određenom području V, moguće je proučavati stacionarne procese protoka fluida i raspodjele topline, raspodjelu električnog potencijala, deformaciju membrane , mehanička naprezanja tokom torzije grede, filtriranje ulja u naftonosnom sloju ili vlaga u tlu, širenje bilo kakve nečistoće u vazduhu ili epidemija u regionu. U svakom od navedenih problema funkcije dobijaju svoje značenje, ali je njihova povezanost opisana jednačinom (2.1) zajedničkom za ove probleme.

Navedeni primjeri karakteriziraju svojstvo univerzalnost MM. Zahvaljujući ovom svojstvu nastaje „srodstvo“ između različitih grana znanja, što ubrzava njihov zajednički razvoj.Ovakva opštost i univerzalnost MM može se objasniti činjenicom da u matematici koriste apstraktne fundamentalne pojmove, ne brojne, ali veoma obimne u Ovo omogućava da se konkretne činjenice iz najrazličitijih oblasti znanja treba posmatrati kao manifestacija ovih koncepata i odnosa između njih. Skup takvih pojmova i odnosa, izraženih pomoću sistema matematičkih simbola i notacija i odražavajući neka svojstva predmet koji se proučava, zove se matematički model ovaj objekat. U ovom slučaju, matematika u suštini djeluje kao univerzalni jezik nauke. Francuski matematičar Henri Poincaré (1854-1912) definisao je njenu univerzalnost u samo jednoj rečenici: “Matematika je umjetnost nazivanja različitih stvari istim imenom.”

2.2. Struktura matematičkog modela

U prilično opštem slučaju, proučavano tehnički objekat(TO) se može kvantitativno okarakterizirati vektorima spoljašnje, unutrašnje I izlazni parametri respektivno. Iste fizičke, mehaničke ili informacione karakteristike tehničke opreme u modelima različitog nivoa i sadržaja mogu poslužiti i kao eksterni ili unutrašnji parametri, kao i kao izlazni parametri.

Na primjer, za elektronsko pojačalo, izlazni parametri su pojačanje, frekvencijski opseg prenošenih signala, ulazni otpor, disipacija snage, vanjski parametri su otpor opterećenja i kapacitivnost, naponi napajanja, temperatura okoline, a unutarnji parametri su otpor otpornika, kapacitivnost kondenzatora , karakteristike tranzistora* 2 . Ali ako posmatramo jedan tranzistor kao TO, onda bi njegove karakteristike kao što su napon otključavanja i struja kolektora već trebale biti pripisane njegovim izlaznim parametrima, a kao eksterne parametre bit će potrebno uzeti u obzir struje i napone određene elementima pojačala. putovanje s njim.

Prilikom kreiranja TO-a, vrijednosti izlaznih parametara ili rasponi njihovih mogućih promjena specificiraju se u tehničkim specifikacijama za razvoj TO-a, dok vanjski parametri karakteriziraju uvjete njegovog funkcioniranja.

U relativno jednostavnom slučaju matematički model(MM) TO može biti omjer

gdje je vektorska funkcija vektorskog argumenta. Model u obliku (2.2) omogućava vam da lako izračunate izlazne parametre iz navedenih vrijednosti vanjskih i unutrašnjih parametara, tj. rješavaju tzv direktni zadatak. U inženjerskoj praksi, rješavanje direktnog problema se često naziva verifikacijskim proračunom. Prilikom kreiranja TO postoji potreba za rješavanjem složenije tzv inverzni problem: koristeći vrijednosti vanjskih i izlaznih parametara predviđenih tehničkim specifikacijama za dizajn opreme za održavanje, pronađite njene interne parametre. U inženjerskoj praksi rješavanje inverznog problema odgovara takozvanom proračunskom proračunu, često usmjerenom na optimizaciju unutrašnjih parametara prema nekim kriterijum optimalnosti. Međutim, kada se konstruiše MM TO, funkcija u (2.2) obično nije poznata unaprijed i treba je uspostaviti. Ovo je najteža tzv problem identifikacije MM (od latinske riječi identifico - identifikujem, što u ovom slučaju ima značenje "prepoznajem").

Problem identifikacije može se riješiti matematičkom obradom informacija o nizu takvih TO stanja, za svako od kojih su poznate vrijednosti izlaznih, unutrašnjih i vanjskih parametara (na primjer, izmjereno eksperimentalno). Jedna od ovih metoda uključuje korištenje regresione analize. Ako nema informacija o unutrašnjim parametrima ili je unutrašnja struktura TO previše složena, tada se MM takvog TO gradi po principu crna kutija- uspostaviti odnos između vanjskih i izlaznih parametara proučavanjem odgovora TO na vanjske utjecaje.

Teorijski način konstruisanja MM je uspostavljanje veze između y, X i g u obliku operator jednačina

L(u(z))=0,(2.3)

Gdje L- neki operator (u opštem slučaju nelinearan), O - nulti element prostora u kojem ovaj operator djeluje, z-vektor nezavisnih varijabli, općenito uključujući vremenske i prostorne koordinate, i I- vektor fazne varijable, uključujući one parametre održavanja koji karakterišu njegovo stanje. Ali čak i ako je moguće dobiti rješenje (2.3) i pronaći zavisnost u(z) iz z, onda nije uvijek moguće eksplicitno predstaviti MM TO u odnosu na vektor at oblik (2.2). Dakle, (2.3) je ono što određuje strukturu MM TO u opštem slučaju, a (2.2) je jednostavniji specijalni slučaj takvog modela.

2.3. Osobine matematičkih modela

Iz prethodno rečenog proizilazi da pri proučavanju stvarno postojeće ili zamislivo tehnički objekat(THE) matematičke metode su primijenjene na njega matematički model(MM). Ova aplikacija će biti efikasna ako svojstva MM zadovoljavaju određene zahtjeve. Razmotrimo glavna od ovih svojstava.

Kompletnost MM omogućava nam da u dovoljnoj mjeri odrazimo upravo one karakteristike i karakteristike održavanja koje nas zanimaju sa stanovišta navedene svrhe obavljanja kompjuterski eksperiment. Na primjer, model može sasvim u potpunosti opisati procese koji se dešavaju u objektu, ali ne odražava njegove dimenzije, masu ili troškovne indikatore. Dakle, MM otpornik u obliku dobro poznate formule U = IR zakon Ohm ima svojstvo potpunosti samo sa stanovišta uspostavljanja veze između pada električnog napona U na otporniku, to otpor R i struja koja kroz njega teče sa silom I, ali ne daje nikakve informacije o dimenzijama, težini, otpornosti na toplinu, cijeni i drugim karakteristikama otpornika, u odnosu na koje nije potpun. Napomenimo usput da je u razmatranom MM otpor R otpornik djeluje kao njegov interni parametar, dok ako je dato U, To Iće izlazni parametar, a U- eksterni parametar, i obrnuto.

PreciznostMM omogućava da se osigura prihvatljiva podudarnost realnog i pronađenog pomoću MM vrijednosti izlaznih parametara TO koji čine vektor

Neka je vrijednost pronađena pomoću MM i stvarna vrijednost i-tog izlaznog parametra. Tada će relativna greška MM u odnosu na ovaj parametar biti jednaka

Kao skalarna vektorska procjena

može se prihvatiti bilo koja od njegovih normi, na primjer

Pošto su izlazni parametri TO-a koji koristi MM povezani sa njegovim eksternim i unutrašnjim parametrima, tj. kao kvantitativna karakteristika tačnosti modela ovog TO-a, zavisiće od koordinata vektora X i y .

Adekvatnost MM- ovo je sposobnost MM da opiše izlazne parametre TO sa relativnom greškom ne većom od određene specificirane vrijednosti . Neka za neke očekivane nominalne vrijednosti vanjskih parametara TO-a čine vektor x nom, Iz uslova minimalnih putanja za rješavanje problema konačno dimenzionalne optimizacije, nalaze se vrijednosti unutrašnjih parametara koji čine vektor g nom i osiguravanje minimalne vrijednosti e min relativne greške MM. Tada, za fiksni vektor δ, možemo konstruisati skup

pozvao oblast adekvatnosti dato MM. Jasno je da je za , i što je veća data vrijednost, širi raspon MM adekvatnosti, tj. ovaj MM je primjenjiv u širem rasponu mogućih promjena vanjskih parametara održavanja.

U širem smislu, adekvatnost MM se shvata kao ispravan kvalitativni i dovoljno tačan kvantitativni opis upravo onih karakteristika TO koje su važne u ovom konkretnom slučaju. Model koji je adekvatan pri izboru nekih karakteristika može biti neadekvatan kada se biraju druge karakteristike istog TO. U nizu primijenjenih oblasti koje još uvijek nisu dovoljno pripremljene za korištenje kvantitativnih matematičkih metoda, MM su uglavnom kvalitativne prirode. Ova situacija je tipična, na primjer, za biološku i socijalnu sferu, u kojoj kvantitativni obrasci ne podliježu uvijek strogoj matematičkoj formalizaciji. U takvim slučajevima, adekvatnost MM se prirodno shvata samo kao ispravan kvalitativni opis ponašanja objekata ili njihovih sistema koji se proučavaju. Isplativost MM procijeniti troškove računarskih resursa (računarsko vrijeme i memorija) potrebnih za implementaciju MM na računar. Ovi troškovi zavise od broja aritmetičkih operacija pri korišćenju modela, od dimenzije prostora faznih varijabli, od karakteristika računara koji se koristi i drugih faktora. Očigledno je da su zahtjevi za efikasnošću, visokom preciznošću i prilično širokim rasponom adekvatnosti MM kontradiktorni i u praksi se mogu zadovoljiti samo na osnovu razumnog kompromisa. Ekonomsko svojstvo MM često se povezuje sa njegovom jednostavnošću. Štaviše, kvantitativna analiza nekih pojednostavljenih verzija MM može se izvršiti bez uključivanja moderne kompjuterske tehnologije. Međutim, njegovi rezultati mogu imati samo ograničenu vrijednost u fazi otklanjanja grešaka u algoritmu ili kompjuterskom programu (vidi 1.2 i sliku 1.1), ako pojednostavljenje MM nije u skladu sa shema proračuna TO.

Robusnost MM(od engleske riječi robust - snažan, stabilan) karakterizira njegovu stabilnost u odnosu na greške u početnim podacima, sposobnost da se te greške izravnaju i spriječi njihov pretjerani utjecaj na rezultat računskog eksperimenta. Razlozi niske robusnosti MM mogu biti potreba u njegovoj kvantitativnoj analizi da se oduzmu približne vrijednosti veličina koje su bliske jedna drugoj ili se podijele s malom vrijednošću veličine, kao i upotreba u MM funkcija koje se mijenjaju. brzo u intervalu u kojem je vrijednost argumenta poznata sa malom preciznošću. Ponekad želja za povećanjem kompletnosti MM dovodi do smanjenja njegove robusnosti zbog uvođenja dodatnih parametara koji su poznati sa malom preciznošću ili su uključeni u previše približne odnose.

Produktivnost MM povezana je sa mogućnošću posjedovanja dovoljno pouzdanih početnih podataka. Ako su rezultat mjerenja, tada bi tačnost njihovog mjerenja trebala biti veća nego za one parametre dobijene pomoću MM. U suprotnom, MM će biti neproduktivan i njegova upotreba za analizu specifičnog TO postaje besmislena. Može se koristiti samo za procjenu karakteristika određene klase opreme sa hipotetičkim početnim podacima.

MM vidljivost je njegovo poželjno, ali opciono svojstvo. Ipak, upotreba MM i njegova modifikacija su pojednostavljene ako njegove komponente (na primjer, pojedinačni članovi jednadžbi) imaju jasno smisleno značenje. Ovo obično omogućava grubo predviđanje rezultata računarskog eksperimenta i olakšava kontrolu njihove ispravnosti.

U budućnosti će gore navedena svojstva MM biti ilustrovana konkretnim primjerima (vidi 3 i 6).

2.4. Strukturno i funkcionalno

Različite karakteristike i simptomi matematički modeli(MM) čine osnovu njihove tipizacije (ili klasifikacije). Među takvim karakteristikama izdvaja se priroda prikazanih svojstava tehnički objekat(TO), stepen njihove detaljnosti, metode dobijanja i prezentacije MM.

Jedna od bitnih karakteristika klasifikacije povezana je sa odrazom u MM određenih karakteristika TO. Ako MM prikazuje TO uređaj i veze između njegovih sastavnih elemenata, tada se poziva strukturni matematički model. Ako MM odražava fizičke, mehaničke, hemijske ili informacione procese koji se dešavaju u TO, onda se klasifikuje kao funkcionalni matematički modeli. Jasno je da mogu postojati i kombinovani MM koji opisuju i funkcionisanje i dizajn TO. Prirodno je nazvati takve MM strukturni i funkcionalni matematički modeli.

Strukturni MM se dijele na topološki I geometrijskičine dva nivoa MM hijerarhija ovaj tip. Prvi odražavaju sastav TO i veze između njegovih elemenata. Preporučljivo je koristiti topološki MM u početnoj fazi proučavanja strukturno složenog TO, koji se sastoji od velikog broja elemenata, prvenstveno da bi se razumio i razjasnio njihov odnos. Takav MM ima oblik grafikoni, tabele, matrice, liste itd., a njegovoj konstrukciji obično prethodi izrada dijagrama tehničke strukture.

Geometrijski MM, pored informacija predstavljenih u topološkom MM, sadrži informacije o obliku i veličini TO-a i njegovih elemenata, te njihovom relativnom položaju. Geometrijski MM obično uključuje skup jednačina linija i površina i algebroloških odnosa koji određuju pripadnost područja prostora tijelu TO ili njegovim elementima. Takav MM je ponekad specificiran koordinatama određenog skupa tačaka, iz kojih se interpolacijom mogu konstruisati linije ili površine koje graniče područje. Granice područja su također određene na kinematički način: linija kao putanja kretanja točke i površina kao rezultat kretanja linije. Moguće je predstaviti oblik i veličinu područja skupom tipičnih fragmenata prilično jednostavne konfiguracije. Ova metoda je tipična, na primjer, za metodu konačnih elemenata, koja se široko koristi u matematičko modeliranje.

Geometrijski MM se koriste u projektovanju tehničke opreme, izradi tehničke dokumentacije i tehnoloških procesa za izradu delova (na primer, na mašinama sa numeričkom kontrolom).

Funkcionalni MM se sastoje od odnosa koji se povezuju fazne varijable, one. unutrašnje, spoljašnje I izlazni parametri TO. Funkcionisanje složenih TO se često može opisati samo uz pomoć skupa njegovih reakcija na neke poznate (ili date) ulazne uticaje (signale). Ova vrsta funkcionalnog MM je klasifikovana kao crna kutija i obično se zove simulacijski matematički model, imajući u vidu da samo oponaša vanjske manifestacije funkcionisanja TO, a da ne otkriva niti opisuje suštinu procesa koji se u njoj odvijaju. Simulacijski MM se široko koriste u tehničkoj kibernetici, naučnoj oblasti koja proučava upravljačke sisteme za složenu tehničku opremu.

U smislu prezentacijske forme, primjer je simulacija MM algoritamski matematički model, budući da se veza u njemu između eksternih i izlaznih parametara TO može opisati samo u obliku algoritma pogodnog za implementaciju u obliku kompjuterskog programa. Na osnovu toga, šira klasa funkcionalnih i strukturnih MM se klasifikuje kao algoritamska. Ako se veze između parametara TO mogu izraziti u analitičkom obliku, onda govorimo o analitički matematički modeli. Kada konstruišu hijerarhiju MM za isti TO, oni obično nastoje da osiguraju da se pojednostavljena verzija MM (vidi 1.2) predstavi u analitičkom obliku koji omogućava tačno rešenje koje bi se moglo koristiti za poređenje kada se testiraju rezultati dobijeni korišćenjem više potpune i stoga složenije MM opcije.

Jasno je da MM određenog TO-a, u smislu njegovog oblika prezentacije, može uključivati karakteristike i analitičkog i algoritamskog MM. Štaviše, u fazi kvantitativnog istraživanja, prilično složena analitička MM i kompjuterski eksperiment na osnovu njega se razvija algoritam koji se implementira u vidu kompjuterskog programa, tj. u procesu matematičkog modeliranja, analitički MM se pretvara u algoritamski MM.

2.5. Teorijski i empirijski

Po načinu prijema matematički modeli(MM) podijeljeno sa teorijski I empirijski. Prvi se dobijaju kao rezultat proučavanja svojstava tehnički objekat(TO) i procesa koji se u njemu odvijaju, a potonji su rezultat obrade rezultata promatranja vanjskih manifestacija ovih svojstava i procesa. Jedan od načina da se konstruišu empirijski MM je sprovođenje eksperimentalnih studija u vezi sa merenjem fazne varijable TO, te u naknadnoj generalizaciji rezultata ovih mjerenja u algoritamskom obliku ili u obliku analitičkih zavisnosti. Stoga, empirijski MM u obliku reprezentacije može sadržavati karakteristike kao što su algoritamski, tako i analitički matematički model. Dakle, konstrukcija empirijskog MM se svodi na rješavanje problemi identifikacije.

Prilikom konstruiranja teorijskih MM prije svega nastoje koristiti poznate temeljne zakone održanja takvih supstanci kao što su masa, električni naboj, energija, impuls i ugaoni moment. Osim toga, privlače konstitutivni odnosi(takođe se zove jednačine stanja), koje mogu igrati tzv fenomenološki zakoni(Na primjer, Clapeyronova jednadžba- Mendeljejev stanje savršen gas, Ohmov zakon o odnosu između jačine struje u vodiču i pada električnog napona, Hookeov zakon o odnosu između deformacije i mehaničkog naprezanja u linearno elastičnom materijalu, Fourierov zakon o odnosu između gradijenta temperature u tijelu i gustine toplotnog toka, itd.).

Kombinacija teorijskih razmatranja kvalitativne prirode sa obradom rezultata posmatranja spoljašnjih manifestacija svojstava proučavanog TO dovodi do mešovitog tipa MM, tzv. poluempirijski. Prilikom konstruisanja takvih MM koriste se osnovni principi dimenzionalne teorije, uključujući tzv. P-teorem (Pi teorema*): ako između P parametara koji karakteriziraju predmet koji se proučava, postoji ovisnost koja ima fizičko značenje, tada se ta ovisnost može predstaviti kao ovisnost između = P- To njihove bezdimenzionalne kombinacije, gdje To- broj nezavisnih mjernih jedinica kroz koje se mogu izraziti dimenzije ovih parametara. Gde P određuje broj nezavisnih (koje se ne mogu izraziti jedna kroz drugu) bezdimenzionalnih kombinacija, koje se obično nazivaju kriterijume sličnosti.

Objekti za koje su vrijednosti odgovarajućih kriterija sličnosti jednake smatraju se sličnim. Na primjer, bilo koji trokut je jedinstveno određen dužinama a, b i sa njegovih strana, tj. n= 3, a k= 1. Prema tome, prema -teoremi, skup sličnih trouglova može biti specificiran vrijednostima = p - k= 2 kriterijuma sličnosti. Kao takav kriterijum može se izabrati bezdimenzionalni odnos dužina stranica: b /A I s/a ili bilo koja druga nezavisna odnosa. Budući da su uglovi trokuta jedinstveno povezani sa omjerima stranica i bezdimenzionalne su veličine, skup sličnih trokuta može se odrediti jednakošću dva odgovarajuća ugla ili jednakošću ugla i omjerom dužina susjednih trokuta. strane. Sve navedene opcije odgovaraju poznatim karakteristikama sličnosti trouglova.

Za uspješnu primjenu P-teoreme na konstrukciju TO modela, potrebno je imati kompletan skup parametara koji opisuju predmet koji se proučava, a izbor ovih parametara treba se zasnivati na razumnoj kvalitativnoj analizi tih svojstava i karakteristika objekta. TO, čiji je uticaj značajan u ovom konkretnom slučaju. Napomenimo da je takva analiza neophodna za bilo koju metodu konstruisanja MM, a mi ćemo ovu poziciju ilustrovati primerima.

Primjer 2.1. Razmotrimo dobro poznato shema dizajna matematičko klatno (slika 2.1) u obliku materijalne tačke mase obješene na bestežinski štap konstantne dužine, koja može slobodno rotirati oko horizontalne ose koja prolazi kroz tačku O. Odstupanje klatna za ugao od njegovog vertikalnog položaja

ravnoteža će dovesti do povećanja potencijalne energije materijalne tačke za iznos gdje je ubrzanje slobodnog pada. Ako se, nakon otklona, klatno počne kretati, tada će u nedostatku otpora, zbog zakona održanja energije, vršiti neprigušene oscilacije u odnosu na ravnotežni položaj (tačka A na sl. 2.1). Prilikom prolaska ravnotežnog položaja, brzina v materijalna tačka je najveća po apsolutnoj vrijednosti, budući da je u ovoj poziciji kinetička energija ove tačke jednaka , dakle

Neka bude potrebno instalirati zavisnost period T oscilacija klatno (tj. najkraći vremenski period nakon kojeg se klatno vraća u neki fiksni položaj koji se ne poklapa sa ravnotežnim položajem) na parametrima (parametar v treba isključiti iz razmatranja, jer se može izraziti kroz gore navedene parametre). Dimenzije [.] četiri navedena parametra i period T oscilacija mogu se izraziti kroz k = 3 nezavisne standardne jedinice: [T] = s, [t] = kg, [l]= ms, = 0 I [g] = m/s 2 . Stoga, na osnovu P-teoreme iz P= 5 parametara, mogu se praviti bezdimenzionalne kombinacije, a ugao je jedan od njih, budući da je bezdimenzionalan. Druga bezdimenzionalna kombinacija ne može uključivati masu m materijalna tačka, pošto je jedinica mase (kg) uključena samo u dimenziju mase. Dakle, vrijednost m nije argument za željenu zavisnost, koja se može uspostaviti pri konstruisanju teorijske MM klatna koje se razmatra (videti primer 5.12). Nakon isključivanja parametra m imamo n = 4 i k = 2, tj. opet n = 2, tako da zajedno sa bezdimenzionalnim parametrom ostalo

Primjer 2.3. Neka tok nestišljivog fluida teče oko nepokretnog čvrstog tijela datog oblika, karakteristične veličine i konstantne temperature To (slika 2.3). Brzina v i temperatura Tf > ona tečnosti na visokom nivou (u poređenju sa ja) udaljenost od tijela ostaje konstantna. Neophodan za neki fiksni položaj tijela u odnosu na smjer vektora v brzinu, pronađite količinu toplote Q koja se prenosi u jedinici vremena od tečnosti do tela i zove toplotni tok.

Proces prijenosa topline je lokaliziran na površini tijela i ne zavisi samo od navedenih parametara, već i od volumetrijskog toplotnog kapaciteta With i koeficijent toplotne provodljivosti tečnosti, budući da ovi parametri karakterišu sposobnost tečnosti da snabdeva toplotnu energiju i prenosi je na površinu tela. Opskrba tijela toplotnom energijom zavisi i od raspodjele brzine fluida na njegovoj površini. U slučaju idealne (neviskozne) tekućine, ona je jednoznačno određena fiksnim položajem tijela u odnosu na vektor v, a za viskoznu tekućinu ovisi i o odnosu između sila viskoznosti i inercije, okarakterizirane po koeficijentu viskoznosti , pozvao kinematička i mjereno u m 2 /s.

Uz relativno bliske vrijednosti Tf i To, prirodno je pretpostaviti da protok topline ne ovisi o svakoj od ovih temperatura, već o njihovoj razlici. Zatim u slučaju idealnog fluida imamo n = 6 dimenzionalnih parametara, čije se dimenzije mogu izraziti k = 4 nezavisne standardne jedinice: [l] = m, [v] = gospođa,

K, [Q]=J/s=W=n m/s, [c]=J/(m 3 K)=kg/(m s 2 K), =W/(m K)=kg m/( sa 3 K), gdje su J (džul) i W (vat) jedinice za energiju (rad) i snagu, respektivno, a K (kelvin) je jedinica temperature na apsolutnoj skali. Na osnovu P-teoreme, iz ovih parametara moguće je samo sastaviti p = p - k = 2 nezavisne bezdimenzionalne kombinacije, na primjer i . Kao rezultat, dolazimo do funkcionalne zavisnosti

osnovao je 1915. godine J.W. Strutt.

Stav q = Q/S zove se prosječna po površini S površine tijela gustina toplotnog toka i mjereno u W/m2. Budući da se za geometrijski slična tijela , tada (2.7) možemo predstaviti u obliku

gde je Ki termički kriterijum Kirpičev, a Pe Pekletov kriterijum. Intenzitet prijenosa topline na površini tijela obično se karakteriše prosjekom koeficijent prolaza toplote - , mjereno u W/(m 2 K). Tada umjesto (2.8) dobijamo

gdje je Nu Nuseltov kriterijum (broj). Oblik funkcije u (2.7)-(2.9) ne može se ustanoviti u okviru teorije dimenzija i mora se odrediti obradom eksperimentalnih rezultata, iako je u nekim jednostavnim slučajevima moguće konstruirati teorijske MM procesa prijenosa topline.

U slučaju viskozne tečnosti imamo n = 7 dimenzionalne parametre, čije se dimenzije još mogu izraziti k = 4 nezavisne mjerne jedinice, tj. broj nezavisnih bezdimenzijskih kombinacija je jednak . Onima o kojima se raspravljalo iznad, trebali biste dodati bilo koju kombinaciju bez dimenzija koja uključuje novi parametar I. Ova kombinacija se može odabrati, na primjer, kao ili . U prvom slučaju se zove Reynoldsov kriterijum (broj) i označimo Re = , a u drugom - Prandtlov kriterijum (broj) i označimo Pr = . Prandtlov kriterijum karakteriše samo svojstva fluida, a Reynoldsov kriterijum karakteriše odnos između inercijalnih sila i sila viskoznog trenja. Kao rezultat, umjesto (2.9) dobijamo

Pošto je Pe = RePr, u slučaju viskoznog fluida Nuseltov kriterijum se može predstaviti kao funkcija bilo koja dva od tri argumenta Pe, Re, Pr.

Jasno je da u prisustvu tri ili više bezdimenzionalnih kombinacija parametara, konstrukcija poluempirijskog MM postaje značajno komplikovanija. U ovom slučaju se najčešće izoluje tzv. definisani kriterijum (u primeru 2.3 to je Ki ili Nu), a preostali kriterijumi se klasifikuju kao definitivni i sprovodi se nekoliko serija eksperimentalnih merenja da bi se ustanovila funkcionalna zavisnost definisanog kriterijuma. na dva ili više definirajućih, koji se smatraju argumentima željene funkcije (u (2.10) to su funkcije). U svakoj seriji mjerenja dimenzionalni parametri se mijenjaju na način da se mijenja vrijednost samo jednog od definirajućih kriterija. Zatim obrada rezultata takve serije mjerenja omogućava identifikaciju funkcionalne ovisnosti kriterija koji se utvrđuje o jednom od argumenata s fiksnim vrijednostima ostalih. Kao rezultat toga, u određenom rasponu promjena vrijednosti kriterija za definiranje, moguće je konstruirati željenu funkciju sa određenim stupnjem aproksimacije, tj. riješiti problem identifikacije poluempirijskog MM.

Imajte na umu da nam primjena teoreme na analitičke MM, predstavljene u obliku jednačina, omogućava da ih svedemo na bezdimenzionalni oblik i smanjimo broj parametara koji karakteriziraju TM koji se proučava. Ovo pojednostavljuje kvalitativnu analizu i omogućava nam da procenimo uticaj pojedinačnih faktora čak i pre sprovođenja kvantitativne analize (videti D.2.2). Osim toga, bezdimenzionalni oblik MM omogućava da se rezultati njegove kvantitativne analize prikažu u kompaktnijoj formi.

2.6. Karakteristike funkcionalnih modela

Jedna od karakterističnih karakteristika funkcionalni matematički model(MM) je prisustvo ili odsustvo slučajnih varijabli među njegovim parametrima. U prisustvu takvih količina, MM se zove stohastički, a u njihovom odsustvu - deterministički.

Nisu svi parametri stvarni tehničkih objekata(TO) se može okarakterizirati dobro definiranim vrijednostima. Stoga, MM-ove takvih TO-a, striktno govoreći, treba klasifikovati kao stohastičke. Na primjer, ako je predmet koji se proučava je proizvod masovne proizvodnje i njegov interni parametri onda može uzeti nasumične vrijednosti unutar tolerancija utvrđenih u odnosu na nominalne vrijednosti izlazni parametri ONDA će biti slučajne varijable. Vrijednosti također mogu biti nasumične vanjski parametri kada je TO izložen faktorima kao što su udari vjetra, turbulentne pulsacije, signali u pozadini buke, itd.

Za analizu stohastičkih MM potrebno je koristiti metode teorije vjerovatnoće, slučajnih procesa i matematičke statistike. Međutim, glavna poteškoća u njihovoj upotrebi obično je povezana s činjenicom da su vjerovatnoća karakteristike slučajnih varijabli (matematička očekivanja, varijanse, zakoni distribucije) često nepoznate ili poznate sa malom preciznošću, tj. MM ne zadovoljava zahtjev o MM produktivnost. U takvim slučajevima je efikasnije koristiti MM koji je grublji od stohastičkog, ali i otporniji na nepouzdanost početnih podataka, tj. više zadovoljavaju zahtjeve robusnost.

Bitna karakteristika klasifikacije MM je njihova sposobnost da opišu promjene parametara TO tokom vremena. MM razmjene toplote tijela sa okolinom, razmatran u primjeru 2.4, uzima u obzir takvu promjenu i klasificira se kao nestacionarni(ili evolucijski) matematički modeli. Ako MM odražava utjecaj inercijskih svojstava TO, onda se obično naziva dinamičan. Nasuprot tome, poziva se MM, koji ne uzima u obzir promjenu vremena parametara TO statički. MM razmatrani u primjerima 2.2 i 2.3 su statični. Uprkos kretanju protoka vazduha i tečnosti koja struji oko profila krila i zagrejanog tela, svi parametri koji karakterišu ove procese ostaju konstantni tokom vremena.

Ako se promjena parametara TO događa tako sporo da se u razmatranom fiksnom trenutku ta promjena može zanemariti, onda govorimo o kvazistatički matematički model. Na primjer, u mehaničkim procesima koji se sporo odvijaju, inercijalne sile se mogu zanemariti, pri maloj brzini promjene temperature - toplinska inercija tijela, a uz sporo promjenjivu jačinu struje u električnom kolu - induktivnost elemenata ovog kola. . Stacionarni matematički modeli opisati održavanje u kojem se vrši tzv uspostavljeni procesi, one. procesi u kojima su izlazni parametri koji nas zanimaju konstantni tokom vremena. Utemeljeni uključuju periodični procesi, u kojoj neki izlazni parametri ostaju nepromijenjeni, dok drugi prolaze kroz fluktuacije. Na primjer, MM matematičkog klatna (vidi primjer 2.1) je stacionaran u odnosu na vremenski nezavisan period I poluopseg oscilacija, iako se materijalna tačka kreće u vremenu u odnosu na svoj ravnotežni položaj.

Ako se izlazni parametri TO-a koji nas zanimaju mijenjaju sporo i u određenom trenutku u razmatranju takva promjena se može zanemariti, onda govorimo o kvazistacionarni matematički model. Prilikom opisivanja nekih procesa, nestacionarni MM se može transformisati u kvazistacionarni odgovarajućim izborom koordinatnog sistema. Na primjer, kod elektrolučnog zavarivanja, temperaturno polje u čeličnim limovima koji se zavaruju u blizini elektrode koja se kreće konstantnom brzinom u stacionarnom koordinatnom sistemu opisuje se nestacionarnim MM, a u pokretnom koordinatnom sistemu koji je povezan sa elektrodu, kvazi-stacionarnim MM.

Važno svojstvo MM sa stanovišta naknadne analize je njegova linearnost. IN Tada su njegovi parametri povezani linearnim odnosima. To znači da kada se promijeni bilo koji vanjski (ili interni) TO parametar, linearni MM predviđa linearnu promjenu izlaznog parametra koja zavisi od njega, a kada se promijene dva ili više parametara, dodaje se njihov utjecaj, tj. takav MM ima svojstvo superpozicije(od latinske riječi superpositio - nametanje). Ako MM nema svojstvo superpozicije, onda se zove nelinearni.

Za kvantitativnu analizu linearnih MM razvijen je veliki broj matematičkih metoda, dok su mogućnosti analize nelinearnih MM uglavnom povezane sa metodama računarske matematike. Da bi se analitičke metode mogle koristiti za proučavanje nelinearnog MM TO, obično se linearizira, tj. nelinearne veze između parametara zamjenjuju se približnim linearnim i tzv linearizovani matematički model smatrana TO. Budući da je linearizacija povezana sa unošenjem dodatnih grešaka, rezultate analize linearizovanog modela treba tretirati sa određenim oprezom. Činjenica je da linearizacija MM može dovesti do gubitka ili značajnog izobličenja stvarnih svojstava TO. Uzimanje u obzir nelinearnih efekata u MM je posebno važno, na primjer, pri opisivanju promjena oblika kretanja ili ravnotežnih položaja vozila, kada male promjene vanjskih parametara mogu uzrokovati kvalitativne promjene u njegovom stanju.

Svaki TO parametar može biti dva tipa - kontinuirano se mijenja u određenom rasponu svojih vrijednosti ili uzima samo neke diskretne vrijednosti. Moguća je i srednja situacija, kada u jednom području parametar uzima sve moguće vrijednosti, au drugom samo diskretne. S tim u vezi ističu kontinuirano, diskretno I mješoviti matematički modeli. U procesu analize, MM-ovi ovih tipova mogu se transformisati jedan u drugi, ali prilikom takve transformacije treba pratiti ispunjenje zahtjeva. adekvatnost MM dotična TO.

2.7. Hijerarhija matematičkih modela i oblici njihovog predstavljanja

Kada je matematičko modeliranje prilično složeno tehnički objekat(ONDA) opišite njegovo ponašanje s jednim matematički model(MM), po pravilu, ne uspijeva, a kada bi se takav MM konstruirao, ispao bi previše složen za kvantitativnu analizu. Stoga se takvi TO obično primjenjuju princip dekompozicije. Sastoji se od uslovne podjele TO na zasebne jednostavnije blokove i elemente koji omogućavaju njihovo samostalno proučavanje uz naknadno razmatranje međusobnog utjecaja blokova i elemenata jedan na drugi. Zauzvrat, princip dekompozicije se može primijeniti na svaki odabrani blok do nivoa prilično jednostavnih elemenata. U ovom slučaju postoji MM hijerarhija međusobno povezani blokovi i elementi.

Hijerarhijski nivoi se takođe razlikuju za pojedinačne tipove MM. Na primjer, među strukturni matematički modeli TO je klasifikovan na višem nivou hijerarhije topološki matematički modeli, i na niži nivo, karakteriziran većim detaljima održavanja, - geometrijski matematički modeli.

Među funkcionalni matematički modeli hijerarhijski nivoi odražavaju nivo detalja u opisu procesa koji se dešavaju u tehničkoj opremi, njenim blokovima ili elementima. Sa ove tačke gledišta, obično se razlikuju tri glavna nivoa: mikro-, makro- i meta-nivo.

Matematički modeli mikrorazina opisati procese u sistemima sa distribuiranim parametrima (in kontinualni sistemi), A matematički modeli na makro nivou- u sistemima sa pauširanim parametrima (in diskretni sistemi). U prvom od njih fazne varijable može zavisiti i od vremena i od prostornih koordinata, a drugo - samo od vremena.

Ako je u MM na makro nivou broj faznih varijabli reda 10 4 -10 5 , tada kvantitativna analiza takvog MM postaje glomazna i zahtijeva značajne računske resurse. Osim toga, sa tako velikim brojem faznih varijabli, teško je identificirati bitne karakteristike TO i karakteristike njegovog ponašanja. U ovom slučaju, kombinovanjem i uvećanjem elemenata kompleksnog održavanja, nastoje se smanjiti broj faznih varijabli isključivanjem iz razmatranja interni parametri elemenata, ograničen samo na opis međusobnih veza između uvećanih elemenata. Ovaj pristup je tipičan za matematički modeli na meta-nivou.

MM na meta-nivou se obično nazivaju najvišim nivoom hijerarhije, MM na makro nivou kao srednji nivo, a MM na mikro nivou kao najniži. Najčešći oblik prezentacije dinamički (evolucijski) matematički model mikrorazina je formulacija graničnog problema za diferencijalne jednadžbe matematičke fizike. Ova formulacija uključuje parcijalne diferencijalne jednadžbe i granične uslove. Zauzvrat, granični uslovi sadrže početne uslove - distribuciju željenih faznih varijabli u nekom trenutku vremena, uzetu kao početnu, u prostornom regionu, čija konfiguracija odgovara razmatranom TO ili njegovom elementu - i granične uslove na granicama ove regije. Prilikom predstavljanja MM, preporučljivo je koristiti bezdimenzionalne varijable (nezavisne i tražene) i koeficijente jednačina, smanjujući broj parametara koji karakteriziraju razmatrani TO (vidjeti D.2.2).

Mikro-nivo MM se zove jednodimenzionalni, dvodimenzionalni ili trodimenzionalni, ako tražene fazne varijable zavise od jedne, dvije odnosno tri prostorne koordinate. Posljednje dvije vrste MM su kombinovane u multidimenzionalni matematički modeli na mikro nivou. Jednodimenzionalni MM na mikro nivou, u kojem fazne varijable ne zavise od vremena, predstavljen je kao sistem ODE sa datim graničnim uslovima (u najjednostavnijem slučaju jedne fazne varijable, takav MM uključuje samo jedan ODE i granicu uslovi).

Budući da se granični problem koji sadrži parcijalne diferencijalne jednadžbe i granične uvjete može povezati s integralnom formulacijom, mikrorazina MM također može biti predstavljena u integralnom obliku. Pod određenim uslovima, integralni oblik graničnog problema može se svesti na varijantnu formulaciju u obliku funkcionala, koji se može razmatrati na određenom skupu funkcija koje sadrže željenu funkciju. U ovom slučaju govore o varijacioni oblik modela mikro nivo. Tražena funkcija pretvara varijaciju funkcionala na nulu, tj. je njegov stacionarna tačka.

Konstrukcija funkcionalnog i odgovarajućeg varijacionog oblika modela na mikro nivou obično se zasniva na nekom varijacionom principu mehanike ili elektrodinamike kontinuiranog medija koji je smislen sa fizičke tačke gledišta (npr. na principu minimalnog potencijalna energija sistema kontinuuma u ravnotežnom položaju ili na principu minimalnog vremena prolaska svetlosnog snopa između dve tačke optički heterogene sredine). U ovom slučaju, stacionarna tačka funkcije odgovara njenoj ekstremnoj (posebno minimalnoj) vrednosti na dozvoljenom skupu funkcija. Ovaj oblik modela mikro nivoa, tzv ekstremne varijacije, omogućava, uspoređivanjem vrijednosti funkcionala na bilo koje dvije funkcije iz dopuštenog skupa, da se u integralnom smislu procijeni blizina ovih funkcija željenoj. Ovo svojstvo ekstremnog varijacionog oblika modela važno je u kvalitativnoj analizi MM i kada se porede različita približna rješenja odgovarajućeg graničnog problema*.

Ako su zadovoljena određena ograničenja, moguće je izgraditi dualni varijacioni oblik modela mikrorazina, uključujući par funkcija koje dostižu jednake alternativne ekstremne vrijednosti (minimalne i maksimalne) u istoj stacionarnoj točki. Ovaj oblik MM omogućava da se na osnovu razlike u vrijednostima ovih Funkcionala, izračunatih na nekoj funkciji iz dozvoljenog skupa, kvantifikuje greška koja nastaje pri odabiru ove funkcije kao željene.

Glavni oblik dinamičkog (evolucionog) MM na makro nivou su ODE ili njihovi sistemi zajedno sa datim početnim uslovima. Nezavisne varijable u takvim MM će biti vrijeme, a tražene će biti fazne varijable koje karakteriziraju stanje održavanja (na primjer, pomak, brzina i ubrzanje elemenata mehaničkih uređaja, kao i sile i momenti koji se primjenjuju na te elemente; pritisak i brzina protoka tečnosti ili gasa u cevovodu, jačina napona i struje u električnim kolima, itd.). U nekim slučajevima, MM na makro nivou može se predstaviti u integralnom obliku pomoću Hamiltonov princip- Ostrogradsky ili ekstremne varijacije Hamiltonov princip.

Ako je evolucija TO određena njegovim stanjem ne samo u trenutnom trenutku vremena t, već iu nekom prethodnom trenutku t - τ, tada MM na makro nivou uključuje ODE oblika

u odnosu na željenu funkciju u(t). Takve ODE se nazivaju jednadžbe retardiranog i neutralnog tipa, respektivno, i klasificirane su kao diferencijalne funkcionalne jednadžbe*(DFU) (ili diferencijalne jednadžbe sa devijairajućim argumentom). DFU i njihovi sistemi su najšire zastupljeni u MM sistemima automatskog upravljanja i regulacije. Osim toga, DFU nalaze primjenu u modelima bioloških i ekonomskih procesa.

Odgođeni odgovor TO-a na promjenu njegovog stanja može se odrediti u više od jednog vremenskog intervala. Tada će DFU uključiti ne jedno, već nekoliko diskretnih kašnjenja. U općenitijem slučaju, kašnjenje može biti kontinuirano u vremenu, što dovodi, na primjer, do linearni matematički model do integro-diferencijalne jednačine(IMU) tip

Specificirana funkcija K(t,r) se naziva jezgrom ovog IMU-a, a smatra se da TO ima pamćenje, budući da njegova evolucija zavisi od cjelokupne historije promjena stanja TO-a.

IN statički matematički model makro nivo ne uključuje vrijeme. Dakle, uključuje samo konačnu (općenito, nelinearnu) jednačinu ili sistem takvih jednačina (posebno sistem linearnih algebarskih jednačina - SLAE). Imaju isti izgled kvazistatički, stacionarni I kvazistacionarni matematički modeli makro nivo.

Ako je za predmetni TO moguće identificirati neko važno svojstvo ili kombinaciju takvih svojstava koja se može kvantificirati (pouzdanost, izdržljivost, težina, cijena, bilo koja od determinanti kvaliteta TO) izlazni parametri) i uspostavi njihovu vezu sa faznim varijablama pomoću realne funkcije, onda možemo govoriti o optimizaciji TO prema kriteriju izraženom ovom funkcijom. Naziva se ciljnom funkcijom, jer njene vrijednosti karakteriziraju mjeru (ili stupanj) postizanja određenog cilja poboljšanja održavanja u skladu s odabranim kriterijem.

Zbog ograničene dostupnosti resursa u realnoj situaciji, smisla imaju samo one ekstremne vrijednosti funkcije cilja koje se postižu u području mogućih promjena faznih varijabli TO, obično ograničenih sistemom nejednakosti. Ove nejednakosti, zajedno sa ciljnom funkcijom i statičkim MM TO u obliku konačne nelinearne jednačine ili sistema takvih jednačina, uključene su u matematičku formulaciju problema optimizacije TO prema odabranom kriteriju, nazvanom (u opšti slučaj) problem nelinearnog programiranja. U posebnom slučaju linearni matematički model TO u obliku SLAE, linearne ciljne funkcije i nejednakosti govore o problemu linearnog programiranja. Takvim problemima se obično pristupa kada se razmatraju problemi tehničkog i ekonomskog sadržaja. Optimizacijski problem održavanja opisan dinamičkim (evolucijskim) MM na makro nivou klasifikovan je kao klasa problema optimalnog upravljanja.

MM na meta-nivou karakterišu iste vrste jednačina kao i MM na makro nivou, ali ove jednačine uključuju fazne varijable koje opisuju stanje uvećanih elemenata složenih tehničkih sistema. Ako se utvrdi zakon kontinuiranog prijelaza TO-a iz jednog stanja u drugo, tada se za analizu MM-ova na meta-nivou često koristi aparat prijenosnih funkcija*, a kada se razmatraju stanja TO-a u diskretnim trenucima vremena, ODE i njihovi sistemi pretvaraju se u jednadžbe razlike u odnosu na vrijednosti faznih varijabli u ovim trenucima vremena. U slučaju diskretnog skupa TO stanja, aparat matematičke logike i konačnih mašina.