Na primjer, izrazi:
a - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z- polinomi.
Zovu se monomi koji čine polinom članovi polinoma. Razmotrimo polinom:
7a + 2b - 3c - 11
izrazi: 7 a, 2b, -3c i -11 su članovi polinoma. Obratite pažnju na termin -11. Ne sadrži varijablu. Takvi članovi koji se sastoje samo od brojeva se pozivaju besplatno.
Općenito je prihvaćeno da je svaki monom poseban slučaj polinoma koji se sastoji od jednog člana. U ovom slučaju, monom je naziv za polinom sa jednim članom. Za polinome koji se sastoje od dva i tri člana, postoje i posebni nazivi - binom i trinom, redom:
7a- monom
7a + 2b- binom
7a + 2b - 3c- trinom
Slični članovi
Slični članovi- monomi uključeni u polinom koji se međusobno razlikuju samo po koeficijentu, predznaku ili se uopće ne razlikuju (suprotni monomi se također mogu nazvati sličnim). Na primjer, u polinomu:
| 3a 2 b | + | 5abc 2 | + | 2a 2 b | - | 7abc 2 | - | 2a 2 b |
članovi 3 a 2 b, 2a 2 b i 2 a 2 b, kao i članovi 5 abc 2 i -7 abc 2 su slični pojmovi.
Dovođenje sličnih članova
Ako polinom sadrži slične pojmove, onda se može svesti na jednostavniji oblik kombiniranjem sličnih pojmova u jedan. Ova akcija se zove dovođenje sličnih članova. Prije svega, stavimo sve takve pojmove zasebno u zagrade:
(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)
Da biste spojili nekoliko sličnih monoma u jedan, morate dodati njihove koeficijente i ostaviti faktore slova nepromijenjeni:
((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2
Redukcija sličnih članova je operacija zamjene algebarskog zbira nekoliko sličnih monoma jednim monomom.
Polinom standardnog oblika
Polinom standardnog oblika je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika, među kojima nema sličnih članova.
Da bi se polinom doveo u standardni oblik, dovoljno je smanjiti slične članove. Na primjer, predstavite izraz kao polinom standardnog oblika:
3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3
Prvo, pronađimo slične pojmove:
Ako svi članovi polinoma standardnog oblika sadrže istu varijablu, tada su njegovi članovi obično raspoređeni od najvećeg do najmanjeg stepena. Slobodni član polinoma, ako ga ima, stavlja se na posljednje mjesto - desno.
Na primjer, polinom
3x + x 3 - 2x 2 - 7
treba napisati ovako:
x 3 - 2x 2 + 3x - 7
Čudno je da se pravi jednakost između polinoma i polinoma. Mada, koliko se sjećam, to su različite stvari. Ovdje pišu o polinomu. Polinom je omjer 2 polinoma. Potražio sam engleski prijevod riječi polinom u rječniku i vidio da je preveden kao polinom, što me prilično iznenadilo... Ispostavilo se da čak ni ne vide razliku. Što se tiče 1. primjera... Ovo je sve dobro, ali postoji li način da se direktno konvertuje bez unošenja nepoznatih koeficijenata? Ova metoda je previše pretenciozna... O polinomima se može mnogo reći. Ovo daleko prevazilazi okvire škole. Istraživanja su još u toku! One. Tema polinoma nije završena. Mogu odgovoriti na pitanje o korijenima radikala. Općenito, dokazano je da polinomi stepena iznad 4 nemaju rješenja u radikalima. A oni se nikako ne mogu riješiti analitički. Iako su neke vrste prilično rješive. Ali ne sve... Jednačina 3. stepena ima Cardano rješenje. Jednačina 4. stepena ima 2 vrste formula. Oni su prilično složeni i općenito nije unaprijed jasno da li postoje valjana rješenja, sva mogu biti složena. Polinom neparnog stepena uvijek ima najmanje 1 pravi korijen. U teoriji, formule za rješavanje jednačina čak i 3. ili 4. stepena nisu posebno rasprostranjene zbog svoje složenosti. I postavlja se pitanje koje korijene uzeti u obzir. Na kraju krajeva, jednadžba n-tog stepena ima tačno n korijena, uzimajući u obzir njihovu višestrukost. Na primjer, možete numerički riješiti jednadžbu koristeći Newtonov metod. Tamo je sve jednostavno. Formula iteracije je napisana i nema problema. Linearna aproksimacija. Prava linija seče sa OX osom samo u 1. tački. Možda se ne sijeku, tada je korijen složen. Ali i 1. Pa, jasno je da ako polinom sa realnim koeficijentima ima kompleksan korijen, onda ima i kompleksan konjugat. Međutim, već u kvadratnoj aproksimaciji (ova metoda se zove parabola metoda i druge varijante ove Mullerove metode zasnovane na 2 prethodne tačke itd.) javljaju se problemi. Prvo, postoje 2 korijena (MB ako je diskriminant > 0) koji odabrati? Iako je jednadžba kvadratna. Možete ići dalje, uzeti kubičnu aproksimaciju (4. član u Tejlorovom nizu, za q uzimamo 3) pa čak i aproksimaciju 4. stepena uzimajući 5 članova Tejlorovog reda. Konvergencija će biti super brza. Sve se može analitički riješiti! Ali takve metode nikada nisam vidio nigdje u matematičkoj literaturi. U pravilu koriste Newtonov metod jer je bez problema! I gdje god se kubične jednačine ili jednačine četvrtog stepena pojavljuju u teoriji, to se dešava. Ako želite, probajte sami! Mislim da nećete biti oduševljeni. Iako ponavljam, sve se rješava analitički. Formule će jednostavno biti veoma komplikovane. Ali to nije poenta. Pojavljuje se mnogo drugih problema koji nisu povezani sa složenošću.
- polinomi. U ovom članku ćemo izložiti sve početne i potrebne informacije o polinomima. To uključuje, prvo, definiciju polinoma sa pratećim definicijama pojmova polinoma, posebno slobodnog pojma i sličnih pojmova. Drugo, zadržat ćemo se na polinomima standardnog oblika, dati odgovarajuću definiciju i dati primjere za njih. Na kraju ćemo uvesti definiciju stepena polinoma, smisliti kako ga pronaći i razgovarati o koeficijentima članova polinoma.
Navigacija po stranici.
Polinom i njegovi pojmovi - definicije i primjeri
U razredu 7, polinomi se proučavaju odmah nakon monoma, to je razumljivo, jer polinomska definicija je dato kroz monome. Hajde da damo ovu definiciju da objasnimo šta je polinom.
Definicija.
Polinom je zbir monoma; Monom se smatra posebnim slučajem polinoma.
Napisana definicija vam omogućava da date koliko god želite primjera polinoma. Bilo koji od monoma 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, itd. je polinom. Također, po definiciji, 1+x, a 2 +b 2 i su polinomi.
Radi praktičnosti opisivanja polinoma, uvedena je definicija polinomskog pojma.
Definicija.
Polinomski pojmovi su sastavni monomi polinoma.
Na primjer, polinom 3 x 4 −2 x y+3−y 3 sastoji se od četiri člana: 3 x 4 , −2 x y , 3 i −y 3 . Monomom se smatra polinom koji se sastoji od jednog člana.
Definicija.
Polinomi koji se sastoje od dva i tri člana imaju posebne nazive - binom I trinom respektivno.
Dakle, x+y je binom, a 2 x 3 q−q x x x+7 b je trinom.
U školi najčešće moramo da sarađujemo linearni binom a x+b , gdje su a i b neki brojevi, a x je varijabla, kao i c kvadratni trinom a·x 2 +b·x+c, gdje su a, b i c neki brojevi, a x je varijabla. Evo primjera linearnih binoma: x+1, x 7,2−4, a evo primjera kvadratnih trinoma: x 2 +3 x−5 i 
.
Polinomi u svojoj notaciji mogu imati slične pojmove. Na primjer, u polinomu 1+5 x−3+y+2 x slični članovi su 1 i −3, kao i 5 x i 2 x. Oni imaju svoje posebno ime - slični termini polinoma.
Definicija.
Slični termini polinoma nazivaju se slični članovi polinoma.
U prethodnom primjeru, 1 i −3, kao i par 5 x i 2 x, su slični članovi polinoma. U polinomima koji imaju slične pojmove, možete smanjiti slične termine da biste pojednostavili njihov oblik.
Polinom standardnog oblika
Za polinome, kao i za monome, postoji takozvani standardni oblik. Recimo odgovarajuću definiciju.
Na osnovu ove definicije možemo dati primjere polinoma standardnog oblika. Dakle, polinomi 3 x 2 −x y+1 i 
napisano u standardnom obliku. A izrazi 5+3 x 2 −x 2 +2 x z i x+x y 3 x z 2 +3 z nisu polinomi standardnog oblika, jer prvi od njih sadrži slične članove 3 x 2 i −x 2 , a u drugi – monom x·y 3 ·x·z 2 , čiji se oblik razlikuje od standardnog.
Imajte na umu da, ako je potrebno, uvijek možete svesti polinom na standardni oblik.
Drugi koncept vezan za polinome standardnog oblika je koncept slobodnog člana polinoma.
Definicija.
Slobodni član polinoma je član polinoma standardnog oblika bez slovnog dijela.
Drugim riječima, ako polinom standardnog oblika sadrži broj, onda se naziva slobodnim članom. Na primjer, 5 je slobodni član polinoma x 2 z+5, ali polinom 7 a+4 a b+b 3 nema slobodan član.
Stepen polinoma - kako ga pronaći?
Druga važna srodna definicija je definicija stepena polinoma. Prvo, definišemo stepen polinoma standardnog oblika; ova definicija se zasniva na stepenima monoma koji se nalaze u njegovom sastavu.
Definicija.
Stepen polinoma standardnog oblika je najveća od potencija monoma uključenih u njegovu notaciju.
Navedimo primjere. Stepen polinoma 5 x 3 −4 je jednak 3, pošto monomi 5 x 3 i −4 koji su u njemu uključeni imaju stepene 3 i 0, najveći od ovih brojeva je 3, što je stepen polinoma po definiciji. I stepen polinoma 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x jednak najvećem od brojeva 2+3=5, 4+1=5 i 1, odnosno 5.
Sada ćemo saznati kako pronaći stepen polinoma bilo kojeg oblika.
Definicija.
Stepen polinoma proizvoljnog oblika nazovite stepen odgovarajućeg polinoma standardnog oblika.
Dakle, ako polinom nije napisan u standardnom obliku, a trebate pronaći njegov stupanj, onda morate svesti originalni polinom na standardni oblik i pronaći stupanj rezultirajućeg polinoma - to će biti traženi. Pogledajmo primjer rješenja.
Primjer.
Pronađite stepen polinoma 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.
Rješenje.
Prvo morate predstaviti polinom u standardnom obliku:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.
Rezultirajući polinom standardnog oblika uključuje dva monoma −2·a 2 ·b 2 ·c 2 i y 2 ·z 2 . Nađimo njihove moći: 2+2+2=6 i 2+2=4. Očigledno, najveća od ovih potencija je 6, što je po definiciji potencija polinoma standardnog oblika −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, a time i stepen originalnog polinoma., 3 x i 7 polinoma 2 x−0,5 x y+3 x+7 .
Bibliografija.
- algebra: udžbenik za 7. razred opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 2 sata. Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 17. izd., dop. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; uređeno od A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.
Po definiciji, polinom je algebarski izraz koji predstavlja zbir monoma.
Na primjer: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 su polinomi, a izraz z/(x - x*y^2 + 4) nije polinom jer nije zbir monoma. Polinom se ponekad naziva i polinomom, a monomi koji su dio polinoma su članovi polinoma ili monoma.
Složeni koncept polinoma
Ako se polinom sastoji od dva člana, onda se naziva binom; ako se sastoji od tri, naziva se trinom. Nazivi četveročlani, peteronomni i drugi se ne koriste iu takvim slučajevima jednostavno kažu polinom. Takvi nazivi, ovisno o broju pojmova, stavljaju sve na svoje mjesto.
I termin monom postaje intuitivan. Sa matematičke tačke gledišta, monom je poseban slučaj polinoma. Monom je polinom koji se sastoji od jednog člana.
Baš kao i monom, polinom ima svoj standardni oblik. Standardni oblik polinoma je takav zapis polinoma u kojem su svi monomi uključeni u njega kao pojmovi napisani u standardnom obliku i dati su slični pojmovi.
Standardni oblik polinoma
Procedura za svođenje polinoma na standardni oblik je da se svaki od monoma svede na standardni oblik, a zatim se sabiraju svi slični monomi. Sabiranje sličnih članova polinoma naziva se redukcija sličnih.
Na primjer, predstavimo slične pojmove u polinomu 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.
Termini 4*a*b^2*c^3 i 6*a*b^2*c^3 su ovde slični. Zbir ovih članova će biti monom 10*a*b^2*c^3. Stoga se originalni polinom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b može prepisati kao 10*a*b^2*c^3 - a* b. Ovaj unos će biti standardni oblik polinoma.
Iz činjenice da se bilo koji monom može svesti na standardni oblik, također slijedi da se svaki polinom može svesti na standardni oblik.
Kada se polinom svede na standardni oblik, možemo govoriti o takvom konceptu kao što je stepen polinoma. Stepen polinoma je najviši stepen monoma koji je uključen u dati polinom.
Tako, na primjer, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 je polinom petog stepena, budući da je maksimalni stepen monoma uključen u polinom (5*x^3*y^ 2) je peti.
§ 13. Cjelokupne funkcije (polinomi) i njihova osnovna svojstva. Rješavanje algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva 165
13.1. Osnovne definicije 165
13.2. Osnovna svojstva cjelobrojnih polinoma 166
13.3. Osnovna svojstva korijena algebarske jednadžbe 169
13.4. Rješavanje osnovnih algebarskih jednadžbi na skupu kompleksnih brojeva 173
13.5. Vježbe za samostalan rad 176
Pitanja za samotestiranje 178
Rječnik 178
Osnovne definicije
Cijela algebarska funkcija ili algebarski polinom (polinom )argument x naziva se funkcija sljedećeg tipa
Evo n–stepen polinoma ( prirodni broj ili 0), x – varijabilna (stvarna ili kompleksna), a 0 , a 1 , …, a n –polinomski koeficijenti (stvarni ili kompleksni brojevi), a 0 0.
Na primjer,
;
;
,
– kvadratni trinom;
,
;.
Broj X 0 tako da P n (x 0)0, pozvan nulta funkcija
P n (x) ili korijen jednačine
.
Na primjer,
njegove korene 
,
,
.
jer 
I 
.
Napomena (o definiciji nula cijele algebarske funkcije)
U literaturi se često koriste nule funkcije 
nazivaju se njenim korenima. Na primjer, brojevi 
I 
nazivaju se korijeni kvadratne funkcije 
.
Osnovna svojstva cjelobrojnih polinoma
Identitet (3) vrijedi za x
(ili x
), dakle, vrijedi za 
; zamjena 
, dobijamo A n = b n. Hajde da međusobno poništimo članove u (3) A n I b n i podijelite oba dijela sa x:
Ovaj identitet vrijedi i za x, uključujući i kada x= 0, tako da pretpostavimo x= 0, dobijamo A n – 1 = b n – 1 .
Hajde da međusobno poništimo pojmove u (3") A n– 1 i b n– 1 i podijelite obje strane sa x, kao rezultat dobijamo
Nastavljajući razmišljanje na sličan način, dobijamo to A n – 2 = b n –2 , …, A 0 = b 0 .
Dakle, dokazano je da iz identične jednakosti dvaju cjelobrojnih polinoma slijedi da se njihovi koeficijenti poklapaju za iste potencije x.
Obrnuti iskaz je prilično očigledan, to jest, ako dva polinoma imaju iste sve koeficijente, onda su to iste funkcije definirane na skupu 
, dakle, njihove vrijednosti se poklapaju za sve vrijednosti argumenta 
, što znači njihovu identičnu jednakost. Svojstvo 1 je u potpunosti dokazano.
Primjer (identična jednakost polinoma)
.
Napišimo formulu za dijeljenje s ostatkom: P n (x) = (x – X 0)∙Q n – 1 (x) + A,
Gdje Q n – 1 (x) - polinom stepena ( n – 1), A- ostatak, koji je broj zbog dobro poznatog algoritma za dijeljenje polinoma binomom “u stupcu”.
Ova jednakost vrijedi za x, uključujući i kada x = X 0 ; vjerujući 
, dobijamo
P n (x 0) = (x 0 – x 0)Q n – 1 (x 0) + A A = P n (X 0)
Posljedica dokazanog svojstva je izjava o podjeli bez ostatka polinoma binomom, poznata kao Bezoutova teorema.
|
Bezoutov teorem (o dijeljenju cjelobrojnog polinoma binomom bez ostatka) |
|
Ako je broj
|
je nula polinoma 
, tada je ovaj polinom djeljiv bez ostatka razlikom 
, odnosno jednakost je tačna
(5) Dokaz Bezoutove teoreme može se izvesti bez korištenja prethodno dokazanog svojstva dijeljenja cjelobrojnog polinoma 
po binomu 
. Zaista, napišimo formulu za dijeljenje polinoma 
po binomu 
sa ostatkom A=0:
Uzmimo to sada u obzir 
je nula polinoma 
, i napišite posljednju jednakost za 
:
Primjeri (faktoriranje polinoma koristeći Bezoutov tzv.)
1) jer P 3 (1)0;
2) jer P 4 (–2)0;
3) jer P 2 (–1/2)0.
Dokaz ove teoreme je izvan okvira našeg kursa. Stoga prihvatamo teoremu bez dokaza.
Hajde da radimo na ovoj teoremi i Bezoutovoj teoremi sa polinomom P n (x):
poslije n-višestrukom primjenom ovih teorema dobijamo da
Gdje a 0 je koeficijent at x n u polinomskoj notaciji P n (x).
Ako je u jednakosti (6) k brojevi iz seta X 1 ,X 2 , …X n poklapaju jedno s drugim i sa brojem , tada u proizvodu sa desne strane dobijamo faktor ( x–) k. Zatim broj x= se zove k-fold korijen polinoma
P
n
(x
)
, ili korijen višestrukosti k
. Ako k= 1, zatim broj 
pozvao jednostavan korijen polinoma
P
n
(x
)
.
Primjeri (polinomska linearna faktorizacija)
1) P 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3 x 1 = 2 - jednostavan korijen, x 2 = 4 - trostruki korijen;
2) P 4 (x) = (x – i) 4 x = i- korijen višestrukosti 4.