Kao što znate, kada se množe izrazi sa stepenom, njihovi eksponenti se uvijek sabiraju (a b *a c = a b+c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim sabiranjem. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.
Definicija u matematici
Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) “b” na njegovu bazu “a” smatra se stepenom “c ” na koju se baza “a” mora podići da bi se na kraju dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takvu snagu da od 2 do tražene snage dobijete 8. Nakon nekih proračuna u glavi, dobijamo broj 3! I to je tačno, jer 2 na stepen od 3 daje odgovor kao 8.
Vrste logaritama
Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri odvojene vrste logaritamskih izraza:
- Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
- Decimala a, gdje je osnova 10.
- Logaritam bilo kojeg broja b na osnovu a>1.
Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji prilikom njihovog rješavanja.
Pravila i neka ograničenja
U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i predstavljaju istinu. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće izdvojiti paran korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:
- Osnova “a” uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su “1” i “0” u bilo kom stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
- ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da “c” takođe mora biti veće od nule.
Kako riješiti logaritme?
Na primjer, daje se zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. Ovo je vrlo lako, potrebno je odabrati stepen podizanjem broja deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100.
Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje se praktično konvergiraju da bi se pronašla potencija na koju je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio dati broj.
Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:
Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i poznavanje tablice množenja. Međutim, za veće vrijednosti trebat će vam stol za napajanje. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c na koji je broj a podignut. Na raskrsnici ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najistinskiji humanista razumjeti!
Jednačine i nejednačine
Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se bilo koji matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 se može napisati kao logaritam 81 na bazi 3 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapišemo to kao logaritam, dobijemo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.
Dat je sljedeći izraz: log 2 (x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost “x” ispod logaritamskog predznaka. I u izrazu se upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja prema bazi dva je veći od broja tri.
Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednačina je u tome što jednadžbe sa logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednadžbe uzimaju i raspon prihvatljivih vrijednosti i tačke se određuju kršenjem ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.
Osnovne teoreme o logaritmima
Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi;
- Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
- Logaritam proizvoda se može predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, obavezan uslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepeni ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
- Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.
Ova formula se naziva “svojstvo stepena logaritma”. Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer se sva matematika zasniva na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.
Neka log a b = t, ispada da je a t = b. Ako oba dijela podignemo na stepen m: a tn = b n ;
ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n, dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.
Primjeri problema i nejednakosti
Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednačina i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Da biste ušli na fakultet ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.
Nažalost, ne postoji jedinstven plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se određena pravila mogu primijeniti na svaku matematičku nejednačinu ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opći oblik. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Hajde da ih brzo upoznamo.
Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi moramo odrediti koji tip logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.
Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da treba odrediti snagu kojoj će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Da biste riješili prirodne logaritme, morate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.
Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima
Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.
- Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno rastaviti veliku vrijednost broja b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stepena logaritma, uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Vi samo trebate faktorisati bazu, a zatim izvući vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.
Zadaci sa Jedinstvenog državnog ispita
Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši dio ispita), već i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva tačno i savršeno poznavanje teme „Prirodni logaritmi“.
Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih verzija Jedinstvenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.
Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.
- Najbolje je sve logaritme svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
- Svi izrazi pod predznakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod predznakom logaritma i kao njegova baza izvadi kao množitelj, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.
Logaritamski izrazi, primjeri rješavanja. U ovom članku ćemo se osvrnuti na probleme vezane za rješavanje logaritama. U zadacima se postavlja pitanje pronalaženja značenja izraza. Treba napomenuti da se koncept logaritma koristi u mnogim zadacima i razumijevanje njegovog značenja je izuzetno važno. Što se tiče Jedinstvenog državnog ispita, logaritam se koristi pri rješavanju jednačina, u primijenjenim problemima, kao i u zadacima vezanim za proučavanje funkcija.
Navedimo primjere kako bismo razumjeli samo značenje logaritma:
Osnovni logaritamski identitet:
Svojstva logaritama koje se uvijek moraju zapamtiti:
*Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama faktora.
* * *
*Logaritam količnika (razlomka) jednak je razlici između logaritama faktora.
* * *
*Logaritam eksponenta jednak je umnošku eksponenta i logaritma njegove baze.
* * *
*Prelazak na novu osnovu
* * *
Više nekretnina:
* * *
Izračunavanje logaritama je usko povezano sa upotrebom svojstava eksponenata.
Navedimo neke od njih:
Suština ovog svojstva je da kada se brojnik prenese na nazivnik i obrnuto, predznak eksponenta se mijenja u suprotan. Na primjer:
Zaključak iz ove nekretnine:
* * *
Kada se stepen diže na stepen, baza ostaje ista, ali se eksponenti množe.
* * *
Kao što ste vidjeli, sam koncept logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da vam je potrebna dobra praksa, koja vam daje određenu vještinu. Naravno, potrebno je poznavanje formula. Ako vještina pretvaranja elementarnih logaritama nije razvijena, tada prilikom rješavanja jednostavnih zadataka možete lako pogriješiti.
Vježbajte, prvo riješite najjednostavnije primjere iz matematike, pa pređite na složenije. U budućnosti ću svakako pokazati kako se rješavaju "strašni" logaritmi neće se pojaviti na Jedinstvenom državnom ispitu, ali su zanimljivi, nemojte ih propustiti!
To je sve! Sretno ti!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
U ovom video tutorijalu ćemo pogledati rješavanje prilično ozbiljne logaritamske jednadžbe, u kojoj ne samo da trebate pronaći korijene, već i odabrati one koji leže na datom segmentu.
Problem C1. Riješite jednačinu. Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju intervalu.
Napomena o logaritamskim jednadžbama
Međutim, iz godine u godinu dolaze mi studenti koji pokušavaju riješiti takve, iskreno, teške jednačine, ali u isto vrijeme ne mogu razumjeti: odakle uopće početi i kako pristupiti logaritmima? Ovaj problem se može pojaviti čak i kod jakih, dobro pripremljenih učenika.
Kao rezultat toga, mnogi počinju da se plaše ove teme ili se čak smatraju glupima. Dakle, zapamtite: ako ne možete riješiti takvu jednačinu, to uopće ne znači da ste glupi. Jer, na primjer, ovu jednačinu možete nositi gotovo verbalno:
log 2 x = 4
A da nije tako, sada ne biste čitali ovaj tekst, jer ste bili zauzeti jednostavnijim i svakodnevnijim poslovima. Naravno, neko će sada prigovoriti: "Kakve veze ova najjednostavnija jednačina ima s našom zdravom strukturom?" Odgovaram: svaka logaritamska jednadžba, ma koliko složena bila, na kraju se svodi na ove najjednostavnije strukture koje se mogu riješiti usmeno.
Naravno, od složenih logaritamskih jednadžbi se mora preći na jednostavnije ne odabirom ili plesom uz tamburu, već prema jasnim, davno definisanim pravilima, koja se zovu - pravila za pretvaranje logaritamskih izraza. Poznavajući ih, lako se možete nositi čak i sa najsofisticiranijim jednačinama na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike.
I upravo o ovim pravilima ćemo govoriti u današnjoj lekciji. Idi!
Rješavanje logaritamske jednadžbe u zadatku C1
Dakle, rješavamo jednačinu:
Prije svega, kada je riječ o logaritamskim jednadžbama, sjećamo se osnovne taktike – da tako kažem, osnovnog pravila za rješavanje logaritamskih jednačina. Sastoji se od sljedećeg:
Teorema kanonskog oblika. Svaka logaritamska jednadžba, bez obzira na to što uključuje, bez obzira na logaritme, bez obzira na osnovu i bez obzira na to što sadrži, mora se nužno svesti na jednačinu oblika:
log a f (x) = log a g (x)
Ako pogledamo našu jednačinu, odmah uočavamo dva problema:
- Na lijevoj strani imamo zbir dva broja, od kojih jedan uopće nije logaritam.
- Desno je prilično logaritam, ali u njegovoj osnovi nalazi se korijen. A logaritam lijevo je jednostavno 2, tj. Osnove logaritma na lijevoj i desnoj strani su različite.
Dakle, sastavili smo ovu listu problema koji odvajaju našu jednačinu od toga kanonska jednačina, na koju se svaka logaritamska jednadžba mora svesti tokom procesa rješavanja. Stoga se rješavanje naše jednadžbe u ovoj fazi svodi na eliminaciju dva gore opisana problema.
Bilo koja logaritamska jednadžba se može brzo i lako riješiti ako je svedete na njen kanonski oblik.
Zbir logaritama i logaritma proizvoda
Nastavimo redom. Prvo, pogledajmo strukturu s lijeve strane. Šta možemo reći o zbiru dva logaritma? Prisjetimo se divne formule:
log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)
Ali vrijedi uzeti u obzir da u našem slučaju prvi član uopće nije logaritam. To znači da jedinicu trebamo predstaviti kao logaritam bazi 2 (tačno 2, jer je logaritam bazi 2 na lijevoj strani). Kako uraditi? Prisjetimo se još jednom divne formule:
a = log b b a
Ovdje morate razumjeti: kada kažemo “Bilo koja baza b”, mislimo da b još uvijek ne može biti proizvoljan broj. Ako unesemo broj u logaritam, sigurno ograničenja, naime: osnova logaritma mora biti veća od 0 i ne smije biti jednaka 1. Inače, logaritam jednostavno nema smisla. Hajde da zapišemo ovo:
0 < b ≠ 1
Da vidimo šta se dešava u našem slučaju:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Sada prepišimo cijelu našu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu. I odmah primjenjujemo još jedno pravilo: zbir logaritama jednak je logaritmu proizvoda argumenata. Kao rezultat dobijamo:
Imamo novu jednačinu. Kao što vidimo, to je već mnogo bliže kanonskoj jednačini kojoj težimo. Ali postoji jedan problem, zapisali smo ga kao drugu tačku: naši logaritmi, koji su lijevo i desno, različitih razloga. Idemo na sljedeći korak.
Pravila za oduzimanje potencija od logaritma
Dakle, logaritam s lijeve strane ima bazu od samo 2, a logaritam s desne strane ima korijen u osnovi. Ali to nije problem ako se sjetimo da se osnove argumenata logaritma mogu podići na stepene. Zapišimo jedno od ovih pravila:
log a b n = n log a b
Prevedeno na ljudski jezik: možete uzeti snagu iz baze logaritma i staviti je ispred kao množitelj. Broj n je "migrirao" iz logaritma prema van i postao koeficijent ispred.
Isto tako lako možemo izvesti stepen iz baze logaritma. To će izgledati ovako:
Drugim riječima, ako uklonite stepen iz argumenta logaritma, ovaj stepen se također zapisuje kao faktor prije logaritma, ali ne kao broj, već kao recipročni broj 1/k.
Međutim, to nije sve! Možemo kombinirati ove dvije formule i doći do sljedeće formule:
Kada se stepen pojavi i u osnovi i u argumentu logaritma, možemo uštedjeti vrijeme i pojednostaviti proračune tako što ćemo odmah ukloniti potencije i iz baze i iz argumenta. U ovom slučaju, ono što je bilo u argumentu (u našem slučaju je to koeficijent n) pojavit će se u brojiocu. A koliki je bio stepen u osnovi, a k, ići će u imenilac.
I upravo ćemo te formule sada koristiti kako bismo sveli naše logaritme na istu bazu.
Prije svega, izaberimo više-manje lijepu podlogu. Očigledno je mnogo ugodnije raditi sa dvojkom u bazi nego s korijenom. Pa pokušajmo drugi logaritam svesti na bazu 2. Zapišimo ovaj logaritam zasebno:
Šta možemo ovdje? Prisjetimo se formule stepena s racionalnim eksponentom. Drugim riječima, korijene možemo napisati kao stepen s racionalnim eksponentom. A onda uzimamo stepen 1/2 i iz argumenta i iz baze logaritma. Smanjujemo dvojke u koeficijentima u brojniku i nazivniku prema logaritmu:
Na kraju, prepišimo originalnu jednačinu uzimajući u obzir nove koeficijente:
log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)
Dobili smo kanonsku logaritamsku jednačinu. I na lijevoj i na desnoj strani imamo logaritam na istu osnovu 2. Osim ovih logaritama, nema koeficijenata, nema pojmova ni lijevo ni desno.
Prema tome, možemo se riješiti predznaka logaritma. Naravno, uzimajući u obzir domen definicije. Ali prije nego to učinimo, vratimo se i malo pojasnimo razlomke.
Dijeljenje razlomka razlomkom: dodatna razmatranja
Ne razumiju svi učenici odakle faktori ispred pravog logaritma dolaze i kuda idu. Hajde da to ponovo zapišemo:
Hajde da shvatimo šta je razlomak. Hajde da zapišemo:
Sada se prisjetimo pravila za dijeljenje razlomaka: da biste podijelili sa 1/2, morate pomnožiti s obrnutim razlomkom:
Naravno, radi pogodnosti daljih proračuna, možemo napisati dva kao 2/1 - i to je ono što opažamo kao drugi koeficijent u procesu rješavanja.
Nadam se da sada svi razumiju odakle dolazi drugi koeficijent, pa idemo direktno na rješavanje naše kanonske logaritamske jednadžbe.
Uklanjanje znaka logaritma
Da vas podsjetim da se sada možemo riješiti logaritama i ostaviti sljedeći izraz:
2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14
Otvorimo zagrade na lijevoj strani. Dobijamo:
18x 2 + 10 = 8x 4 + 14
Pomerimo sve sa leve strane na desnu:
8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0
Donesimo slične i dobijemo:
8x 4 − 18x 2 + 4 = 0
Možemo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 2 da bismo pojednostavili koeficijente, i dobićemo:
4x 4 − 9x 2 + 2 = 0
Pred nama je uobičajeno bikvadratna jednačina, a njegovi korijeni se lako izračunavaju preko diskriminanta. Dakle, zapišimo diskriminanta:
D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49
Odlično, diskriminant je "lijep", korijen mu je 7. To je to, hajde da sami izbrojimo X. Ali u ovom slučaju, korijeni neće biti x, već x 2, jer imamo bikvadratnu jednadžbu. Dakle, naše opcije:
Napominjemo: izvukli smo korijene, tako da će biti dva odgovora, jer... kvadrat - ravnomjerna funkcija. A ako zapišemo samo korijen od dva, onda ćemo jednostavno izgubiti drugi korijen.
Sada pišemo drugi korijen naše bikvadratne jednadžbe:
Opet, uzimamo aritmetički kvadratni korijen obje strane naše jednadžbe i dobivamo dva korijena. Međutim, zapamtite:
Nije dovoljno jednostavno izjednačiti argumente logaritama u kanonskom obliku. Zapamtite domen definicije!
Ukupno imamo četiri korijena. Svi oni su zaista rješenja naše originalne jednadžbe. Pogledajte: u našoj originalnoj logaritamskoj jednadžbi, logaritmi unutra su ili 9x 2 + 5 (ova funkcija je uvijek pozitivna) ili 8x 4 + 14 - što je također uvijek pozitivno. Dakle, domen definicije logaritma je zadovoljen u svakom slučaju, bez obzira koji korijen dobijemo, što znači da su sva četiri korijena rješenja naše jednačine.
Odlično, pređimo sada na drugi dio problema.
Izbor korijena logaritamske jednadžbe na segmentu
Od naša četiri korijena biramo one koji leže na segmentu [−1; 8/9]. Vraćamo se našim korijenima, a sada ćemo izvršiti njihovu selekciju. Za početak, predlažem da nacrtate koordinatnu os i označite krajeve segmenta na njoj:
Obje tačke će biti zasjenjene. One. Prema uslovima problema, zanima nas osenčeni segment. Pogledajmo sada korijene.
Iracionalni koreni
Počnimo s iracionalnim korijenima. Imajte na umu da 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:
Iz ovoga slijedi da korijen od dva ne spada u segment koji nas zanima. Slično, dobit ćemo s negativnim korijenom: manji je od −1, odnosno leži lijevo od segmenta koji nas zanima.
Racionalni korijeni
Ostala su dva korijena: x = 1/2 i x = −1/2. Primijetimo da je lijevi kraj segmenta (−1) negativan, a desni kraj (8/9) pozitivan. Dakle, negdje između ovih krajeva leži broj 0. Korijen x = −1/2 će biti između −1 i 0, tj. završiće u konačnom odgovoru. Isto radimo sa korijenom x = 1/2. Ovaj korijen također leži na segmentu koji se razmatra.
Možete osigurati da je 8/9 veće od 1/2. Oduzmimo ove brojeve jedan od drugog:
Dobili smo razlomak 7/18 > 0, što po definiciji znači da je 8/9 > 1/2.
Označimo odgovarajuće korijene na koordinatnoj osi:
Konačni odgovor će biti dva korijena: 1/2 i −1/2.
Poređenje iracionalnih brojeva: univerzalni algoritam
U zaključku, želio bih se još jednom vratiti na iracionalne brojeve. Koristeći njihov primjer, sada ćemo pogledati kako uporediti racionalne i iracionalne veličine u matematici. Za početak, između njih postoji kvačica V - znak "više" ili "manje", ali još ne znamo u kojem smjeru je usmjeren. Hajde da zapišemo:
Zašto su nam uopšte potrebni algoritmi za poređenje? Činjenica je da smo u ovom problemu imali veliku sreću: u procesu rješavanja nastao je broj dijeljenja 1, za koji definitivno možemo reći:
Međutim, nećete uvijek vidjeti takav broj odmah. Pa hajde da pokušamo da uporedimo naše brojeve direktno, direktno.
Kako se to radi? Radimo isto kao i sa običnim nejednačinama:
- Prvo, da smo negdje imali negativne koeficijente, pomnožili bismo obje strane nejednakosti sa −1. Naravno menja znak. Ova kvačica V bi se promijenila u ovo - Λ.
- Ali u našem slučaju su obje strane već pozitivne, tako da nema potrebe ništa mijenjati. Ono što je zaista potrebno je kvadrat sa obe strane da se otarasimo radikala.
Ako prilikom upoređivanja iracionalnih brojeva nije moguće odmah odabrati element za razdvajanje, preporučujem da se takvo poređenje izvrši "naprijed" - opisuju ga kao običnu nejednakost.
Prilikom rješavanja to se formalizira ovako:
Sada je sve lako uporediti. Poenta je da 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.
To je to, dobili smo strogi dokaz da su svi brojevi označeni na brojevnoj pravoj x tačno i tačno onim redosledom kojim bi zapravo trebali biti. Niko neće naći zamjerku ovom rješenju, pa zapamtite: ako odmah ne vidite broj za dijeljenje (u našem slučaju to je 1), slobodno napišite gornju konstrukciju, pomnožite je, kvadrirajte - i na kraju ćete dobiti prekrasnu nejednakost. Iz ove nejednakosti će biti jasno koji je broj veći, a koji manji.
Vraćajući se na naš problem, još jednom bih vam skrenuo pažnju na ono što smo radili na samom početku rješavanja naše jednačine. Naime: pažljivo smo pogledali našu originalnu logaritamsku jednačinu i pokušali je svesti na kanonski logaritamska jednačina. Gdje su samo logaritmi lijevo i desno - bez dodatnih pojmova, koeficijenata ispred itd. Ne trebaju nam dva logaritma na osnovu a ili b, već logaritam jednak drugom logaritmu.
Osim toga, baze logaritama također moraju biti jednake. Štaviše, ako je jednadžba pravilno sastavljena, onda ćemo uz pomoć elementarnih logaritamskih transformacija (zbir logaritama, transformacija broja u logaritam, itd.) ovu jednačinu svesti na kanonsku.
Stoga, od sada, kada vidite logaritamsku jednačinu koja se ne može odmah riješiti, ne treba se gubiti ili pokušavati pronaći odgovor. Sve što trebate učiniti je slijediti ove korake:
- Pretvorite sve slobodne elemente u logaritam;
- Zatim dodajte ove logaritme;
- U rezultirajućoj konstrukciji sve logaritme svesti na istu bazu.
Kao rezultat, dobit ćete jednostavnu jednačinu koja se može riješiti pomoću elementarnih algebarskih alata iz materijala 8-9 razreda. Općenito, idite na moju web stranicu, vježbajte rješavanje logaritama, rješavajte logaritamske jednadžbe poput mene, rješavajte ih bolje od mene. I to je sve za mene. Pavel Berdov je bio sa vama. Vidimo se opet!