Kao što je poznato, bilo koja tačka na ravni je određena sa dve koordinate u nekom koordinatnom sistemu. Koordinatni sistemi mogu biti različiti u zavisnosti od izbora baze i porekla.

Definicija: Jednačina prave je odnos y = f(x) između koordinata tačaka koje čine ovu pravu.

Imajte na umu da se jednadžba prave može izraziti parametarski, odnosno svaka koordinata svake tačke se izražava kroz neki nezavisni parametar t. Tipičan primjer je putanja pokretne tačke. U ovom slučaju, ulogu parametra igra vrijeme.

Različite vrste jednadžbi linija

Opšta jednačina prave linije.

Bilo koja prava linija na ravni može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

Štaviše, konstante A i B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2 ¹ 0. Ova jednačina prvog reda naziva se opšta jednačina prave .

Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – prava prolazi kroz početak

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - prava linija paralelna sa osom Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – prava paralelna sa Oy osom

B = C = 0, A ¹ 0 – prava linija se poklapa sa Oy osom

A = C = 0, B ¹ 0 – prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je jednadžba prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. Na ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena:

ako je x 1 ¹ x 2 i x = x 1, ako je x 1 = x 2.

Razlomak = k naziva se nagib prave.

Jednadžba prave linije koristeći tačku i nagib.

Ako se opšta jednačina prave Ax + By + C = 0 svede na oblik:

i označimo , tada se rezultirajuća jednačina naziva jednačina prave linije s nagibom k.

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako u opštoj jednačini prave Ah + Vu + S = 0 S ¹ 0, onda, dijeljenjem sa –S, dobijamo: ili

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent A je koordinata tačke preseka linije sa Ox osom, i b– koordinata tačke preseka prave sa Oy osom.

Normalna jednadžba prave.

Ako se obje strane jednadžbe Ax + By + C = 0 podijele brojem, koji se naziva normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosj + ysinj - p = 0 –

normalna jednačina prave.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da je m×S< 0.

p je dužina okomice spuštene od početka do prave linije, a j je ugao formiran ovom okomom sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Ugao između pravih linija na ravni.

Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2.

Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Prave Ax + Bu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 = lA, B 1 = lB proporcionalni. Ako je i S 1 = lS, tada se prave poklapaju.

Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema dve jednačine.

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je data tačka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do prave Ax + Bu + C = 0 određuje kao

Predavanje 5

Uvod u analizu. Diferencijalni račun funkcije jedne varijable.

GRANICA FUNKCIJE

Granica funkcije u točki.

0 a - D a a + D x

Slika 1. Granica funkcije u tački.

Neka funkcija f(x) bude definirana u određenom susjedstvu tačke x = a (tj., u tački x = a funkcija možda nije definirana)

Definicija. Broj A se naziva granicom funkcije f(x) za x®a ako za bilo koji e>0 postoji broj D>0 takav da je za sve x takav da

0 < ïx - aï < D

nejednakost ïf(x) - Aï je tačna< e.

Ista definicija se može napisati u drugom obliku:

Ako a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Pisanje granice funkcije u tački:

Definicija.

Ako je f(x) ® A 1 na x ® a samo na x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, tada se naziva granica funkcije f(x) u tački x = a desno.

Gornja definicija se odnosi na slučaj kada funkcija f(x) nije definirana u samoj tački x = a, već je definirana u nekom proizvoljno malom susjedstvu ove tačke.

Granice A 1 i A 2 se također nazivaju jednostrano izvan funkcije f(x) u tački x = a. Takođe se kaže da je A - konačna granica funkcije f(x).

Jednadžba prave kao geometrije tačaka. Različite vrste pravolinijskih jednačina. Proučavanje opće jednačine prave. Konstruisanje prave pomoću njene jednadžbe

Jednačina linije naziva se jednadžba sa varijablama x I y, koji je zadovoljen koordinatama bilo koje tačke na ovoj pravoj i samo njima.

Varijable uključene u jednadžbu linije x I y nazivaju se trenutne koordinate, a literalne konstante se nazivaju parametri.

Da biste kreirali jednadžbu prave kao lokusa tačaka koje imaju isto svojstvo, potrebno vam je:

1) uzeti proizvoljnu (trenutnu) tačku M(x, y) linije;
2) zapisati jednakost opšteg svojstva svih tačaka M linije;
3) izraziti segmente (i uglove) uključene u ovu jednakost kroz trenutne koordinate tačke M(x, y) i preko podataka u zadatku.

U pravokutnim koordinatama, jednadžba ravne linije na ravni je navedena u jednom od sljedećih oblika:

1. Jednačina prave linije sa nagibom

y = kx + b, (1)

Gdje k- ugaoni koeficijent prave linije, odnosno tangenta ugla koji prava linija formira sa pozitivnim smerom ose Ox, a ovaj ugao se mjeri od ose Ox na pravu liniju suprotno od kazaljke na satu, b- veličina segmenta odsječenog ravnom linijom na osi ordinate. At b= 0 jednačina (1) ima oblik y = kx a odgovarajuća prava linija prolazi kroz ishodište.

Jednadžba (1) se može koristiti za definiranje bilo koje prave linije na ravni koja nije okomita na osu Ox.

Jednačina prave linije sa nagibom se rješava u odnosu na trenutnu koordinatu y.

2. Opća jednačina prave

Sjekira + By + C = 0. (2)

Posebni slučajevi opšte jednačine prave.

1. Jednačina prave na ravni

Kao što znate, bilo koja tačka na ravni je određena sa dve koordinate u nekom koordinatnom sistemu. Koordinatni sistemi mogu biti različiti u zavisnosti od izbora baze i porekla.

Definicija. Jednačina prave je odnos y = f (x) između koordinata tačaka koje čine ovu pravu.

Imajte na umu da se jednadžba prave može izraziti parametarski, odnosno svaka koordinata svake tačke je izražena kroz neki nezavisni parametar t. Tipičan primjer je putanja pokretne tačke. U ovom slučaju, ulogu parametra igra vrijeme.

2. Jednačina prave linije na ravni

Definicija. Bilo koja prava linija na ravni može se specificirati jednačinom prvog reda Ax + By + C = 0, a konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj.

A 2 + B 2 ≠ 0. Ova jednačina prvog reda naziva se opšta jednačina linije.

IN Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

– prava linija prolazi kroz početak koordinata

C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0( By + C = 0) - prava linija paralelna sa Ox osom

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0( Ax + C = 0) – prava paralelna sa Oy osom

B = C = 0, A ≠ 0 – prava linija se poklapa sa Oy osom

A = C = 0, B ≠ 0 – prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

3. Jednačina prave linije iz tačke i vektora normale

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B) je okomit na pravu datu jednadžbom

Ax + By + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1,2) okomito na vektor n (3, − 1).

Sa A=3 i B=-1, sastavimo jednačinu prave: 3x − y + C = 0. Da nađemo koeficijent

Zamenimo koordinate date tačke A u rezultirajući izraz. Dobijamo: 3 − 2 + C = 0, dakle C = -1.

Ukupno: tražena jednačina: 3x − y − 1 = 0.

4. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke

Neka su u prostoru date dvije tačke M1 (x1, y1, z1) i M2 (x2, y2, z2), tada je jednadžba prave

prolazeći kroz ove tačke:	x−x1				y−y1				z − z1
			− x				− y				− z

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.

Na ravni, jednadžba gornje zapisane prave linije je pojednostavljena: y − y 1 = y 2 − y 1 (x − x 1 ) ako je x 2 − x 1

x 1 ≠ x 2 i x = x 1 ako je x 1 = x 2 .

Razlomak y 2 − y 1 = k naziva se nagib prave. x 2 − x 1

5. Jednačina prave linije koristeći tačku i nagib

Ako se opšta jednačina prave Ax + By + C = 0 svede na oblik:

naziva se jednadžba prave linije sa nagibom k.

6. Jednačina prave linije iz tačke i vektora pravca

Po analogiji sa tačkom uzimajući u obzir jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete uneti definiciju prave linije kroz tačku i usmeravajući vektor prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule a (α 1 ,α 2 ) čije komponente zadovoljavaju uslov A α 1 + B α 2 = 0 naziva se usmjeravajući vektor prave

Ax + By + C = 0 .

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca a (1,-1) i koja prolazi kroz tačku A(1,2).

Tražićemo jednadžbu željene linije u obliku: Ax + By + C = 0. U skladu sa definicijom, koeficijenti moraju zadovoljiti uslove: 1A + (− 1) B = 0, tj. A = B. Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0. za x=1, y=2 dobijamo C/A=-3, tj. tražena jednačina: x + y − 3 = 0

7. Jednačina prave u segmentima

Ako je u opštoj jednačini prave Ax + By + C = 0, C ≠ 0, tada, dijeljenjem sa –C,

dobijamo: −

x−

y = 1 ili

1, gdje je a = −

b = −

Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata tačke preseka prave sa Ox osom, a b je koordinata tačke preseka prave sa Oy osom.

8. Normalna jednačina prave

naziva se normalizujući faktor, onda dobijamo x cosϕ + y sinϕ − p = 0 – normalnu jednačinu prave.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ C< 0 .

p je dužina okomice spuštene od početka do prave linije, a ϕ je ugao koji ta okomica formira sa pozitivnim smjerom ose Ox

9. Ugao između pravih linija na ravni

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada je oštar ugao između

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2. Dvije prave su okomite ako je k 1 = − 1/ k 2 .

Jednadžba prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu

Definicija. Prava linija koja prolazi kroz tačku M1 (x1,y1) i okomita na pravu liniju y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

y − y = −

(x − x)

10. Udaljenost od tačke do prave

Ako je data tačka M(x0, y0), tada je udaljenost do prave Ax + By + C = 0

je definisan kao d =

Ax0 + By0 + C

Primjer. Odredite ugao između pravih: y = − 3x + 7, y = 2x + 1.

k = − 3, k

2 tan ϕ =

2 − (− 3)

1;ϕ = π / 4.

1− (− 3)2

Primjer. pokazati,

da su prave 3 x − 5 y + 7 = 0 i 10 x + 6 y − 3 = 0

okomito.

Nalazimo: k 1 = 3/ 5, k 2 = − 5 / 3, k 1 k 2 = − 1, dakle, prave su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B (6; 5), C (1 2; - 1).

Naći jednadžbu visine povučene iz vrha C.
Pronađite jednačinu stranice AB:	x − 0		y − 1					y − 1		; 4x = 6 y − 6
	6 − 0		5 − 1

2 x − 3 y + 3 = 0; y = 2 3 x + 1.

Tražena jednadžba visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + bk = − 3 2 Tada

y = − 3 2 x + b . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: − 1 = − 3 2 12 + b, od čega je b=17. Ukupno: y = − 3 2 x + 17.

Odgovor: 3x + 2 y − 34 = 0.

Glavna pitanja predavanja: jednadžbe prave na ravni; različiti oblici jednačine prave na ravni; ugao između pravih linija; uslovi paralelnosti i okomitosti pravih; udaljenost od tačke do prave; krive drugog reda: krug, elipsa, hiperbola, parabola, njihove jednadžbe i geometrijska svojstva; jednačine ravni i prave u prostoru.

Jednačina oblika naziva se jednačina prave linije u opštem obliku.

Ako to izrazimo u ovoj jednačini, onda nakon zamjene dobijamo jednačinu koja se zove jednačina ravne linije sa ugaonim koeficijentom, a gdje je ugao između prave i pozitivnog smjera ose apscise. Ako u opštoj jednačini ravne linije prenesemo slobodni koeficijent na desnu stranu i podijelimo s njim, dobićemo jednadžbu u segmentima

Gdje i su točke presjeka linije sa apscisom i osom ordinata, respektivno.

Dvije prave u ravni nazivaju se paralelnim ako se ne sijeku.

Prave se nazivaju okomiti ako se sijeku pod pravim uglom.

Neka su dvije linije i dano.

Da bi se pronašla tačka preseka pravih (ako se seku), potrebno je rešiti sistem sa ovim jednačinama. Rješenje ovog sistema će biti tačka preseka linija. Nađimo uslove za relativni položaj dvije linije.

Budući da se ugao između ovih pravih nalazi po formuli

Iz ovoga možemo zaključiti kada će prave biti paralelne, a kada okomite. Ako su prave date u opštem obliku, onda su prave paralelne pod uslovom i okomite pod uslovom

Udaljenost od tačke do prave linije može se pronaći pomoću formule

Normalna jednadžba kruga:

Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka na ravni, zbir udaljenosti od kojih je do dvije date tačke, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost.

Kanonska jednadžba elipse ima oblik:

gdje je velika poluosa, je mala poluosa i. Fokalne tačke su na tačkama. Vrhovi elipse su tačke. Ekscentricitet elipse je omjer

Hiperbola je geometrijsko mjesto tačaka na ravni, modul razlike udaljenosti od kojih do dvije date tačke, koje se nazivaju fokusi, je konstantna vrijednost.

Kanonska jednadžba hiperbole ima oblik:

gdje je velika poluosa, je mala poluosa i. Fokalne tačke su na tačkama. Vrhovi hiperbole su tačke. Ekscentricitet hiperbole je omjer

Prave se nazivaju asimptote hiperbole. Ako, onda se hiperbola naziva jednakostranična.

Iz jednačine dobijamo par linija koje se seku i.

Parabola je geometrijski lokus tačaka na ravni, od kojih je udaljenost do određene tačke, koja se naziva fokus, jednaka udaljenosti do date prave linije, koja se naziva direktrisa, i konstantna je vrijednost.

Kanonska parabola jednadžba

Razmotrimo odnos forme F(x, y)=0, povezivanje varijabli x I at. Nazvat ćemo jednakost (1) jednadžba sa dvije varijable x, y, ako ova jednakost nije tačna za sve parove brojeva X I at. Primjeri jednadžbi: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Ako je (1) istina za sve parove brojeva x i y, onda se zove identitet. Primjeri identiteta: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Nazvat ćemo jednačinu (1) jednadžba skupa tačaka (x; y), ako je ova jednačina zadovoljena koordinatama X I at bilo koje tačke skupa i ne zadovoljavaju ih koordinate bilo koje tačke koja ne pripada ovom skupu.

Važan koncept u analitičkoj geometriji je koncept jednačine prave. Neka su na ravni dati pravougaoni koordinatni sistem i određena prava α.

Definicija. Jednačina (1) se naziva jednačina linija α (u kreiranom koordinatnom sistemu), ako ovu jednačinu zadovoljavaju koordinate X I at bilo koja tačka koja leži na liniji α , i ne zadovoljavaju koordinate bilo koje tačke koja ne leži na ovoj pravoj.

Ako je (1) jednadžba prave α, tada ćemo reći da je jednačina (1) definira (skupovi) linija α.

Linija α može se odrediti ne samo jednadžbom oblika (1), već i jednadžbom oblika

F (P, φ) = 0 koji sadrže polarne koordinate.

• jednadžba prave linije sa ugaonim koeficijentom;

Neka je data neka prava linija, a ne okomita na osu OH. Hajde da pozovemo ugao nagiba zadata prava linija prema osi OH ugao α , na koju osovinu treba rotirati OH tako da se pozitivni pravac poklapa sa jednim od pravaca prave. Tangenta ugla nagiba prave linije prema osi OH pozvao nagib ovaj red i označen je slovom TO.

	K=tg α
		(1)

Izvedemo jednačinu ove linije ako znamo njenu TO i vrijednost u segmentu OB, koju odsijeca na osi OU.

(2)

y=kx+b

Označimo sa M„ravansku tačku (x; y). Ako crtamo pravo BN I N.M., paralelno sa osama, onda r BNM – pravougaona. T. MC C BM <=>, kada su vrijednosti N.M. I BN zadovoljiti uslov: . Ali NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> uzimajući u obzir (1), dobijamo da je tačka M(x;y)C na ovoj liniji<=>, kada njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu: =>

Jednačina (2) se zove jednadžba prave linije sa ugaonim koeficijentom. Ako K=0, tada je prava paralelna sa osom OH a njegova jednačina je y = b.

• jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke;

(4)

Neka su data dva boda M 1 (x 1; y 1) I M 2 (x 2; y 2). Uzimajući u (3) tačku M(x;y) iza M 2 (x 2; y 2), dobijamo y 2 -y 1 =k(x 2 - x 1). Definisanje k iz zadnje jednakosti i zamjenom je u jednačinu (3) dobijamo željenu jednačinu prave: . Ovo je jednadžba ako y 1 ≠ y 2, može se napisati kao:

Ako y 1 = y 2, tada jednačina željene linije ima oblik y = y 1. U ovom slučaju, prava linija je paralelna sa osom OH. Ako x 1 = x 2, zatim prava linija koja prolazi kroz tačke M 1 I M 2, paralelno sa osom OU, njegova jednadžba ima oblik x = x 1.

• jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku sa datim nagibom;

(3)

Ax + Vy + S = 0

Teorema. U pravougaonom koordinatnom sistemu Ohoo svaka prava je data jednačinom prvog stepena:

i, obrnuto, jednadžba (5) za proizvoljne koeficijente A, B, C (A I B ≠ 0 istovremeno) definiše određenu pravu liniju u pravougaonom koordinatnom sistemu Ooh.

Dokaz.

Prvo, dokažimo prvu tvrdnju. Ako linija nije okomita Oh, tada je određen jednačinom prvog stepena: y = kx + b, tj. jednačina oblika (5), gdje je

A = k, B = -1 I C = b. Ako je prava okomita Oh, tada sve njegove tačke imaju istu apscisu, jednaku vrijednosti α segment odsečen ravnom linijom na osi Oh.

Jednačina ove prave ima oblik x = α, one. je također jednačina prvog stepena oblika (5), gdje je A = 1, B = 0, C = - α. Ovo dokazuje prvu tvrdnju.

Hajde da dokažemo obrnutu tvrdnju. Neka je data jednadžba (5) i barem jedan od koeficijenata A I B ≠ 0.

Ako B ≠ 0, tada se (5) može zapisati u obliku . Stan , dobijamo jednačinu y = kx + b, tj. jednačina oblika (2) koja definira pravu liniju.

Ako B = 0, To A ≠ 0 i (5) ima oblik . Označavanje sa α, dobijamo

x = α, tj. jednadžba prave okomite Oh.

Prave definisane u pravougaonom koordinatnom sistemu jednačinom prvog stepena se nazivaju linije prvog reda.

Jednačina oblika Ax + Wu + C = 0 je nepotpuna, tj. Neki od koeficijenata su jednaki nuli.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 i definiše pravu liniju koja prolazi kroz ishodište.

2) B = 0 (A ≠ 0); jednačina Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 i definiše ravnu paralelnu Oh.

Jednačina (6) se naziva jednačina prave „u segmentima“. Brojevi A I b su vrijednosti segmenata koje prava linija odsijeca na koordinatnim osama. Ovaj oblik jednadžbe je pogodan za geometrijsku konstrukciju prave linije.

• normalna jednačina prave;

Ax + Vy + S = 0 je opšta jednačina određene linije, a (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

njegova normalna jednačina.

Kako jednačine (5) i (7) definiraju istu pravu liniju, onda ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 I

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) koeficijenti ovih jednačina su proporcionalni. To znači da množenjem svih članova jednačine (5) određenim faktorom M dobijamo jednačinu MA x + MV y + MS = 0, što se poklapa sa jednačinom (7) tj.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Da bismo pronašli faktor M, kvadriramo prve dvije od ovih jednakosti i dodamo:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

Povratak