Uputstvo

Ako trebate pronaći kosinus kutak u proizvoljnom trokutu potrebno je koristiti kosinus teoremu:
ako je ugao oštar: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
ako ugao : cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), gdje su a, b dužine stranica koje su susedne uglu, c je dužina stranice nasuprot uglu.

Koristan savjet

Matematička notacija za kosinus je cos.
Vrijednost kosinusa ne može biti veća od 1 i manja od -1.

Izvori:

• kako izračunati kosinus ugla
• Trigonometrijske funkcije na jediničnom krugu

Kosinus je osnovna trigonometrijska funkcija ugla. Sposobnost određivanja kosinusa korisna je u vektorskoj algebri kada se određuju projekcije vektora na različite ose.

Uputstvo

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Postoji trougao sa stranicama a, b, c jednakim 3, 4, 5 mm, respektivno.

Naći kosinus ugao zatvoren između velikih stranica.

Označimo ugao nasuprot stranice od a do ?, tada, prema gornjoj formuli, imamo:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Odgovor: 0.8.

Ako je trokut pravokutni trokut, onda pronaći kosinus i dovoljno je znati dužine bilo koje dvije strane ugla ( kosinus pravi ugao je 0).

Neka postoji pravougli trokut sa stranicama a, b, c, gdje je c hipotenuza.

Razmotrite sve opcije:

Pronađite cos? ako su poznate dužine stranica a i b (trougla).

Koristimo dodatno Pitagorinu teoremu:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Da bismo dobili tačnost rezultirajuće formule, zamjenjujemo je iz primjera 1, tj.

Nakon osnovnih proračuna dobijamo:

Slično, postoji kosinus u pravougaoniku trougao u drugim slučajevima:

Poznati a i c (hipotenuza i suprotni krak), naći cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Zamjenom vrijednosti a=3 i c=5 iz primjera dobijamo:

b i c su poznati (hipotenuza i susjedni krak).

Pronađite cos?

Nakon što smo izvršili slične transformacije (prikazane u primjerima 2 i 3), dobijamo to u ovom slučaju kosinus in trougao izračunati pomoću vrlo jednostavne formule:

Jednostavnost izvedene formule objašnjava se na elementaran način: u stvari, pored ugla? krak je projekcija hipotenuze, njena dužina je jednaka dužini hipotenuze pomnoženoj sa cos?.

Zamjenom vrijednosti b=4 i c=5 iz prvog primjera dobijamo:

Dakle, sve naše formule su tačne.

Savjet 5: Kako pronaći oštar ugao u pravokutnom trokutu

Pravo ugljični trougao je vjerovatno jedna od najpoznatijih geometrijskih figura sa istorijske tačke gledišta. Pitagorejske "pantalone" mogu se takmičiti samo sa "Eurekom!" Arhimed.

Trebaće ti

• - crtanje trougla;
• - vladar;
• - kutomjer.

Uputstvo

Zbir uglova trougla je 180 stepeni. u pravougaoniku trougao jedan ugao (desni) će uvek biti 90 stepeni, a ostali su oštri, tj. manje od 90 stepeni svaki. Odrediti koji kut u pravougaoniku trougao je ravan, izmjerite stranice trougla ravnalom i odredite najveću. To je hipotenuza (AB) i naspram pravog ugla (C). Preostale dvije stranice čine pravi ugao i krake (AC, BC).

Nakon što odredite koji je ugao oštar, možete koristiti kutomjer za izračunavanje ugla ili ga izračunati pomoću matematičkih formula.

Da biste odredili vrijednost ugla pomoću kutomjera, poravnajte njegov vrh (označimo ga slovom A) sa posebnom oznakom na ravnalu u sredini kutomjera, AC noga se mora poklopiti s njegovom gornjom ivicom. Označite na polukružnom dijelu kutomjera tačku kroz koju prolazi hipotenuza AB. Vrijednost u ovoj tački odgovara vrijednosti ugla u stepenima. Ako su na kutomjeru naznačene 2 vrijednosti, tada za akutni ugao trebate odabrati manji, za tupi - veći.

Pronađite rezultujuću vrijednost u referentnom Bradisu i odredite koji ugao odgovara rezultujućoj numeričkoj vrijednosti. Naše bake su koristile ovu metodu.

Kod nas je dovoljno uzeti sa funkcijom izračunavanja trigonometrijskih formula. Na primjer, ugrađeni Windows kalkulator. Pokrenite aplikaciju "Kalkulator", u stavci menija "Pregled" izaberite stavku "Inženjering". Izračunajte sinus željenog ugla, na primjer, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Prebacite kalkulator u režim inverzne funkcije tako što ćete kliknuti na dugme INV na ekranu kalkulatora, a zatim kliknite na dugme funkcije arcsinusa (označeno sa sin na minus jedan stepen na displeju). U prozoru za proračun će se pojaviti sljedeći natpis: asind (0,5) = 30. To jest, željeni ugao je 30 stepeni.

Izvori:

• Bradis tabele (sinus, kosinus)

Kosinus teorema u matematici se najčešće koristi kada je potrebno pronaći treću stranu po kutu i dvije stranice. Međutim, ponekad se uslov problema postavlja obrnuto: potrebno je pronaći ugao za date tri strane.

Uputstvo

Zamislite da vam je dat trougao sa poznatim dužinama dve strane i vrednošću jednog ugla. Svi uglovi ovog trokuta nisu međusobno jednaki, a njegove stranice su takođe različite veličine. Ugao γ leži nasuprot stranice trougla, označene kao AB, što je ova figura. Kroz ovaj ugao, kao i kroz preostale stranice AC i BC, možete pronaći onu stranu trokuta koja je nepoznata, koristeći kosinus teoremu, izvodeći na osnovu nje sljedeću formulu:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, gdje je a=BC, b=AB, c=AC
Kosinusna teorema se inače naziva generalizirana Pitagorina teorema.

Sada zamislite da su sve tri strane figure date, ali je njen ugao γ nepoznat. Znajući da je oblik a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformirajte ovaj izraz tako da željena vrijednost bude ugao γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Zatim dovedite gornju jednačinu u malo drugačiji oblik: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Zatim ovaj izraz treba transformisati u sljedeći: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Ostaje zamijeniti brojeve u formuli i izvršiti proračune.

Da bi se pronašao kosinus, označen kao γ, on se mora izraziti kroz inverznu trigonometriju, koja se naziva inverzni kosinus. Arkosinus broja m je vrijednost ugla γ, za koji je kosinus ugla γ jednak m. Funkcija y=arccos m je opadajuća. Zamislite, na primjer, da je kosinus ugla γ jedna polovina. Tada se ugao γ može definirati u smislu arc kosinusa na sljedeći način:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, gdje je m = 1/2.
Slično, možete pronaći preostale uglove trougla s dvije druge nepoznate stranice.

Sinus i kosinus su dvije trigonometrijske funkcije koje se nazivaju "prave linije". Oni su ti koji se moraju računati češće od drugih, a danas svako od nas ima priličan izbor opcija za rješavanje ovog problema. Ispod su neki od najjednostavnijih načina.

Uputstvo

Koristite kutomjer, olovku i papir ako drugi načini izračunavanja nisu dostupni. Jedna od definicija kosinusa data je kroz oštre uglove u pravokutnom trokutu - jednak je omjeru između dužine kraka nasuprot ovom kutu i dužine. Nacrtajte trougao gdje je jedan od uglova pravi (90°), a drugi ugao koji želite izračunati. Dužina stranica nije bitna - nacrtajte ih na način da vam je prikladnije za mjerenje. Izmjerite dužinu željene noge i hipotenuze i podijelite prvu sa drugom na bilo koji pogodan način.

Iskoristite mogućnost vrednovanja trigonometrijskih funkcija pomoću kalkulatora ugrađenog u pretraživač Nigma ako imate pristup Internetu. Na primjer, ako želite izračunati kosinus ugla od 20 °, tada učitavanjem glavne stranice usluge http://nigma.ru unesite u polje upita za pretragu „kosinus 20“ i kliknite na „Pronađi! ” dugme. Možete izostaviti „stepene“, a reč „kosinus“ zameniti sa cos - u svakom slučaju, pretraživač će prikazati rezultat sa tačnošću do 15 decimalnih mesta (0,939692620785908).

Otvorite standardni program - instaliran sa operativnim sistemom Windows ako nema pristupa Internetu. To se može učiniti, na primjer, istovremenim pritiskom na tipke win i r, zatim unosom naredbe calc i klikom na dugme OK. Za izračunavanje trigonometrijskih funkcija, ovdje je sučelje koje se zove "inženjerski" ili "znanstveni" (ovisno o verziji OS-a) - odaberite željenu stavku u odjeljku "Prikaz" menija kalkulatora. Nakon toga unesite vrijednost ugla i kliknite na dugme cos u interfejsu programa.

Povezani video zapisi

Savjet 8: Kako odrediti uglove u pravokutnom trokutu

Pravokutni karakteriziraju određeni omjeri između uglova i stranica. Znajući vrijednosti nekih od njih, možete izračunati druge. Za to se koriste formule, zasnovane, pak, na aksiomima i teoremama geometrije.

Trigonometrija, kao nauka, nastala je na Drevnom Istoku. Prve trigonometrijske omjere razvili su astronomi kako bi napravili tačan kalendar i orijentirali se prema zvijezdama. Ovi proračuni su se odnosili na sfernu trigonometriju, dok se u školskom kursu izučava odnos stranica i ugla ravnog trougla.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosom između stranica i uglova trokuta.

Tokom procvata kulture i nauke u 1. milenijumu nove ere, znanje se proširilo sa antičkog istoka u Grčku. Ali glavna otkrića trigonometrije su zasluge ljudi Arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski naučnik al-Marazvi uveo je funkcije kao što su tangenta i kotangens, sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Koncept sinusa i kosinusa uveli su indijski naučnici. Mnogo pažnje posvećeno je trigonometriji u djelima velikih antičkih ličnosti poput Euklida, Arhimeda i Eratostena.

Osnovne veličine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangent i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinoj teoremi. Školarcima je poznatija formulacija: "Pitagorine hlače, jednake u svim smjerovima", jer je dokaz dat na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i druge zavisnosti uspostavljaju odnos između oštrih uglova i stranica bilo kojeg pravokutnog trougla. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za ugao A i pratimo odnos trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a predstavimo kao proizvod sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, onda ćemo dobiti sljedeće formule za tangentu i kotangens:

trigonometrijski krug

Grafički se odnos navedenih veličina može predstaviti na sljedeći način:

Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti ugla α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija uzima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će biti sa znakom “+” ako α pripada I i II četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0° do 180°. Sa α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo napraviti trigonometrijske tablice za određene uglove i saznati značenje veličina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih se izračunavaju i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi uglovi nisu izabrani slučajno. Oznaka π u tabelama je za radijane. Rad je ugao pod kojim dužina kružnog luka odgovara njegovom poluprečniku. Ova vrijednost je uvedena kako bi se uspostavio univerzalni odnos; kada se računa u radijanima, stvarna dužina radijusa u cm nije bitna.

Uglovi u tabelama za trigonometrijske funkcije odgovaraju radijanskim vrijednostima:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π pun krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Da bismo razmotrili i uporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. Ovo se može uraditi u obliku krive koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu.

Razmotrite uporednu tablicu svojstava za sinusni i kosinusni val:

sinusoida	kosinusni talas
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; jedan]	ODZ [-1; jedan]
sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 1, za x = 2πk, gdje je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, tj. neparna funkcija	cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna
	funkcija je periodična, najmanji period je 2π
sin x › 0, pri čemu x pripada četvrtinama I i II ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemu x pripada četvrtinama I i IV ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtinama III i IV ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtima II i III ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
raste na intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
opada na intervalima [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	smanjuje se u intervalima
izvod (sin x)' = cos x	izvod (cos x)’ = - sin x

Određivanje da li je funkcija parna ili ne vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa predznacima trigonometrijskih veličina i mentalno „presaviti“ graf u odnosu na osu OX. Ako su predznaci isti, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.

Uvođenje radijana i nabrajanje glavnih svojstava sinusoidnog i kosinusnog vala omogućavaju nam da donesemo sljedeću pravilnost:

Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π/2, sinus je jednak 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može izvršiti gledanjem u tabele ili praćenjem krivulja funkcija za date vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangenoida

Grafovi tangentne i kotangensne funkcije značajno se razlikuju od sinusoidnog i kosinusnog vala. Vrijednosti tg i ctg su inverzne jedna prema drugoj.

1. Y = tgx.
2. Tangenta teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne dostiže.
3. Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcija je neparna.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povećava.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivat (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Razmotrite grafički prikaz kotangenoida ispod u tekstu.

Glavna svojstva kotangentoida:

1. Y = ctgx.
2. Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
3. Kotangentoid teži vrijednostima y na x = πk, ali ih nikada ne dostiže.
4. Najmanji pozitivni period kotangtoida je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je neparna.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se smanjuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivat (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Koliko je sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla pomoći će vam da shvatite pravougao trokut.

Kako se zovu stranice pravouglog trougla? Tako je, hipotenuza i kateta: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravog ugla (u našem primjeru, ovo je stranica \ (AC \) ); katete su dvije preostale stranice \ (AB \) i \ (BC \) (one koje su susjedne s pravim kutom), štoviše, ako uzmemo u obzir katete u odnosu na ugao \ (BC \) , onda je kateta \ (AB \) je susjedna noga, a noga \ (BC \) je suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: koliki su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?

Sinus ugla- ovo je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.

U našem trouglu:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.

U našem trouglu:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Ugaona tangenta- ovo je omjer suprotne (daleke) noge i susjedne (bliske).

U našem trouglu:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i suprotne (daleke).

U našem trouglu:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti s čime, morate to jasno razumjeti tangenta i kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus i kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

kosinus→dodir→dodir→susedni;

Kotangens→dodir→dodir→susedni.

Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens kao omjer stranica trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod jednim kutom). Ne vjerujem? Onda se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla \(\beta \) . Po definiciji, iz trougla \(ABC \): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus ugla \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa zavise isključivo od veličine ugla.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!

Za trokut \(ABC \), prikazan na slici ispod, nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)

Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao \(\beta \) .

odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jedinični (trigonometrijski) krug

Razumijevajući koncepte stepena i radijana, razmatrali smo krug sa poluprečnikom jednakim \ (1 \) . Takav krug se zove single. Veoma je korisna u proučavanju trigonometrije. Stoga ćemo se na tome zadržati malo detaljnije.

Kao što vidite, ovaj krug je izgrađen u Dekartovom koordinatnom sistemu. Polumjer kružnice jednak je jedan, dok središte kružnice leži na početku, početni položaj vektora radijusa je fiksiran duž pozitivnog smjera ose \(x \) (u našem primjeru, ovo je polumjer \(AB \) ).

Svaka tačka na kružnici odgovara dva broja: koordinata duž ose \(x \) i koordinata duž ose \(y \) . Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da biste to učinili, zapamtite razmatrani pravokutni trokut. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Razmotrimo trokut \(ACG \) . Pravougaona je jer je \(CG \) okomita na osu \(x \).

Šta je \(\cos \ \alpha \) iz trougla \(ACG \) ? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC \) polumjer jedinične kružnice, pa \(AC=1 \) . Zamijenite ovu vrijednost u našu kosinus formulu. Evo šta se dešava:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

A šta je \(\sin \ \alpha \) iz trougla \(ACG \) ? pa naravno \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Zamijenite vrijednost radijusa \ (AC \) u ovu formulu i dobijete:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Dakle, možete li mi reći koje su koordinate tačke \(C \) , koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Ali šta ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x \) ! I kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Tako je, \(y \) koordinata! Dakle, poenta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Šta su onda \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \) ? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangenta i kotangensa i dobijemo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Šta ako je ugao veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:

Šta se promijenilo u ovom primjeru? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, ponovo se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrite pravougli trougao \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ugao (kao susedan uglu \(\beta \) ). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ugao \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ugao ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati \ (y \) ; vrijednost kosinusa ugla - koordinata \ (x \) ; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi su primjenjivi na bilo koje rotacije radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose \(x \). Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene veličine, ali samo će on biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Da li je moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \) ? Pa, naravno da možete! u prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), tako da će radijus vektor napraviti jednu punu rotaciju i zaustaviti se na \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .

u drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri potpuna okretanja i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da se uglovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj) odgovaraju istoj poziciji radijus vektora.

Slika ispod prikazuje ugao \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara uglu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(niz) \)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti čemu su jednake vrijednosti:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(niz) \)

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Ima li poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(niz) \)

Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama ugla. Pa, počnimo redom: ugao unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara tački sa koordinatama \(\left(0;1 \right) \) , dakle:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju tačkama sa koordinatama \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Strelica desno \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dakle, možemo napraviti sljedeću tabelu:

Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(niz) \desno\)\ \text(Potrebno je zapamtiti ili biti u stanju izvesti!! \) !}

A evo i vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) dato u tabeli ispod, morate zapamtiti:

Nema potrebe da se plašite, sada ćemo pokazati jedan od primera prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrednosti:

Da biste koristili ovu metodu, važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), kao i vrijednost tangente ugla u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4\) vrijednosti, prilično je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(niz) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, moguće je vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojač “\(1 \) ” će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , a nazivnik “\(\sqrt(\text(3)) \) ” će odgovarati \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite shemu sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4 \) vrijednosti iz tabele.

Koordinate tačke na kružnici

Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegov polumjer i ugao rotacije? Pa, naravno da možete! Hajde da izvedemo opštu formulu za pronalaženje koordinata tačke. Evo, na primjer, imamo takav krug:

Dato nam je to \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) je centar kruga. Polumjer kružnice je \(1,5 \) . Potrebno je pronaći koordinate tačke \(P \) dobijene rotacijom tačke \(O \) za \(\delta \) stepeni.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \ (x \) tačke \ (P \) odgovara dužini segmenta \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Dužina segmenta \ (UK \) odgovara koordinati \ (x \) centra kruga, odnosno jednaka je \ (3 \) . Dužina segmenta \(KQ \) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tada imamo to za tačku \(P \) koordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Po istoj logici nalazimo vrijednost y koordinate za tačku \(P \) . dakle,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Dakle, općenito, koordinate tačaka se određuju formulama:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), gdje

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate centra kruga,

\(r\) - radijus kruga,

\(\delta \) - ugao rotacije vektorskog radijusa.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, jer su koordinate centra nula, a radijus jednak jedan:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene da bi se izvršili proračuni!

U ovom članku ćemo pokazati kako definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ugla i broja u trigonometriji. Ovdje ćemo govoriti o notaciji, dati primjere zapisa, dati grafičke ilustracije. U zaključku, povlačimo paralelu između definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u trigonometriji i geometriji.

Navigacija po stranici.

Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Pratimo kako se u školskom predmetu matematike formiraju pojmovi sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa. U nastavi geometrije daje se definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog ugla u pravokutnom trokutu. Kasnije se proučava trigonometrija koja se odnosi na sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla rotacije i broja. Dajemo sve ove definicije, dajemo primjere i dajemo potrebne komentare.

Oštar ugao u pravokutnom trokutu

Iz kursa geometrije poznate su definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog ugla u pravokutnom trokutu. Oni su dati kao omjer stranica pravouglog trougla. Predstavljamo njihove formulacije.

Definicija.

Sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze.

Definicija.

Kosinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Definicija.

Tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne noge i susjedne noge.

Definicija.

Kotangens oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjedne noge i suprotne noge.

Tu je također uvedena oznaka sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa - sin, cos, tg i ctg, redom.

Na primjer, ako je ABC pravokutni trokut sa pravim uglom C, tada je sinus oštrog ugla A jednak omjeru suprotnog kraka BC i hipotenuze AB, odnosno sin∠A=BC/AB.

Ove definicije vam omogućavaju da izračunate vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog ugla iz poznatih dužina stranica pravokutnog trokuta, kao i iz poznatih vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta, kotangens i dužina jedne od stranica, pronađite dužine ostalih stranica. Na primjer, ako bismo znali da je u pravokutnom trokutu krak AC 3, a hipotenuza AB 7, tada bismo mogli izračunati kosinus oštrog ugla A po definiciji: cos∠A=AC/AB=3/7.

Ugao rotacije

U trigonometriji počinju šire gledati na ugao - uvode koncept ugla rotacije. Ugao rotacije, za razliku od oštrog ugla, nije ograničen okvirima od 0 do 90 stepeni, ugao rotacije u stepenima (i u radijanima) može se izraziti bilo kojim realnim brojem od −∞ do +∞.

U tom svjetlu, definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa više nisu akutni ugao, već ugao proizvoljne veličine - ugao rotacije. One su date kroz x i y koordinate tačke A 1 , u koju prolazi takozvana početna tačka A(1, 0) nakon što rotira za ugao α oko tačke O - početka pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema i centar jediničnog kruga.

Definicija.

Sinus ugla rotacijeα je ordinata tačke A 1 , odnosno sinα=y .

Definicija.

kosinus ugla rotacijeα se naziva apscisa tačke A 1 , odnosno cosα=x .

Definicija.

Tangent ugla rotacijeα je odnos ordinate tačke A 1 i njene apscise, odnosno tgα=y/x .

Definicija.

Kotangens ugla rotacijeα je odnos apscise tačke A 1 i njene ordinate, odnosno ctgα=x/y .

Sinus i kosinus su definisani za bilo koji ugao α , pošto uvek možemo odrediti apscisu i ordinatu tačke, koja se dobija rotacijom početne tačke kroz ugao α . A tangenta i kotangens nisu definirani ni za jedan ugao. Tangenta nije definisana za takve uglove α u kojima početna tačka ide u tačku sa nultom apscisom (0, 1) ili (0, −1) , a to se dešava pod uglovima 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Zaista, pri takvim uglovima rotacije, izraz tgα=y/x nema smisla, jer sadrži podjelu nulom. Što se tiče kotangensa, on nije definisan za takve uglove α pri kojima početna tačka ide u tačku sa nultom ordinatom (1, 0) ili (−1, 0) , a to je slučaj za uglove 180° k , k ∈Z (π k rad).

Dakle, sinus i kosinus su definirani za sve uglove rotacije, tangenta je definirana za sve uglove osim 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), a kotangens je za sve uglove osim 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Oznake koje su nam već poznate pojavljuju se u definicijama sin, cos, tg i ctg, koriste se i za označavanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ugla rotacije (ponekad možete pronaći notaciju tan i cot koja odgovara tangenti i kotangens). Dakle, sinus ugla rotacije od 30 stepeni može se zapisati kao sin30°, zapisi tg(−24°17′) i ctgα odgovaraju tangentu ugla rotacije -24 stepena 17 minuta i kotangensu ugla rotacije α . Podsjetimo da se prilikom pisanja radijanske mjere ugla, oznaka "rad" često izostavlja. Na primjer, kosinus kuta rotacije od tri pi rada obično se označava cos3 π .

U zaključku ovog paragrafa, vrijedno je napomenuti da se u govoru o sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu ugla rotacije često izostavlja izraz „ugao rotacije“ ili reč „rotacija“. Odnosno, umjesto izraza "sinus ugla rotacije alfa", obično se koristi izraz "sinus ugla alfa", ili još kraće - "sinus alfa". Isto vrijedi i za kosinus, i tangens, i kotangens.

Recimo i da su definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog ugla u pravokutnom trokutu u skladu s definicijama koje su upravo date za sinus, kosinus, tangentu i kotangens ugla rotacije u rasponu od 0 do 90 stepeni. Mi ćemo to potkrijepiti.

Brojevi

Definicija.

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu ugla rotacije u t radijanima, respektivno.

Na primjer, kosinus od 8 π je, po definiciji, broj jednak kosinusu ugla od 8 π rad. A kosinus ugla u 8 π rad jednak je jedan, pa je kosinus broja 8 π jednak 1.

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Sastoji se u tome da je svakom realnom broju t dodeljena tačka jedinične kružnice sa središtem u ishodištu pravougaonog koordinatnog sistema, a sinus, kosinus, tangenta i kotangens se određuju preko koordinata ove tačke. Hajde da se zadržimo na ovome detaljnije.

Pokažimo kako se uspostavlja korespondencija između realnih brojeva i tačaka kruga:

• broju 0 ​​dodjeljuje se početna tačka A(1, 0) ;
• pozitivan broj t pridružuje se tački na jediničnom krugu, do koje ćemo doći ako se krećemo oko kružnice od početne tačke u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prođemo putem dužine t;
• negativan broj t je povezan sa tačkom na jediničnom krugu, do koje ćemo doći ako se krećemo oko kruga od početne tačke u smjeru kazaljke na satu i prođemo kroz putanju dužine |t| .

Pređimo sada na definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja t. Pretpostavimo da broj t odgovara tački kružnice A 1 (x, y) (na primjer, broj &pi/2; odgovara tački A 1 (0, 1)).

Definicija.

Sinus broja t je ordinata tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno sint=y.

Definicija.

Kosinus broja t se naziva apscisa tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno trošak=x.

Definicija.

Tangent broja t je odnos ordinate prema apscisi tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno tgt=y/x. U drugoj ekvivalentnoj formulaciji, tangent broja t je omjer sinusa ovog broja i kosinusa, to jest, tgt=sint/cost.

Definicija.

Kotangens broja t je odnos apscise i ordinate tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno ctgt=x/y. Druga formulacija je sljedeća: tangent broja t je omjer kosinusa broja t i sinusa broja t: ctgt=cost/sint.

Ovdje napominjemo da se upravo date definicije slažu sa definicijom datom na početku ovog pododjeljka. Zaista, tačka jedinične kružnice koja odgovara broju t poklapa se sa tačkom dobijenom rotacijom početne tačke za ugao od t radijana.

Također je vrijedno razjasniti ovu tačku. Recimo da imamo sin3 unos. Kako razumjeti da li je u pitanju sinus broja 3 ili sinus ugla rotacije od 3 radijana? To je obično jasno iz konteksta, inače vjerovatno nije važno.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Prema definicijama datim u prethodnom paragrafu, svakom kutu rotacije α odgovara dobro definirana vrijednost sin α , kao i vrijednost cos α . Osim toga, svi uglovi rotacije osim 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) odgovaraju vrijednostima tgα, a osim 180° k, k∈Z (π k rad) su vrijednosti ctgα . Stoga su sinα, cosα, tgα i ctgα funkcije ugla α. Drugim riječima, ovo su funkcije kutnog argumenta.

Slično, možemo govoriti o funkcijama sinus, kosinus, tangent i kotangens numeričkog argumenta. Zaista, svaki realni broj t odgovara dobro definiranoj vrijednosti sint , kao i cijene . Osim toga, svi brojevi osim π/2+π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima tgt, a brojevi π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima ctgt.

Funkcije sinus, kosinus, tangent i kotangens se nazivaju osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je jasno iz konteksta da se radi o trigonometrijskim funkcijama ugaonog argumenta ili numeričkog argumenta. Inače, nezavisnu promenljivu možemo smatrati i merom ugla (argument ugla) i numeričkim argumentom.

Međutim, škola uglavnom proučava numeričke funkcije, odnosno funkcije čiji su argumenti, kao i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije, brojevi. Stoga, ako govorimo o funkcijama, onda je preporučljivo razmotriti trigonometrijske funkcije kao funkcije numeričkih argumenata.

Povezivanje definicija iz geometrije i trigonometrije

Ako uzmemo u obzir ugao rotacije α od 0 do 90 stepeni, onda su podaci u kontekstu trigonometrije definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa ugla rotacije u potpunosti u skladu sa definicijama sinusa, kosinusa , tangenta i kotangens oštrog ugla u pravokutnom trokutu, koji su dati u kursu geometrije. Hajde da to potkrijepimo.

Nacrtajte jedinični krug u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu Oxy. Zabilježite početnu tačku A(1, 0) . Zarotirajmo ga za ugao α u rasponu od 0 do 90 stepeni, dobićemo tačku A 1 (x, y) . Ispustimo okomicu A 1 H iz tačke A 1 na osu Ox.

Lako je vidjeti da je u pravokutnom trokutu ugao A 1 OH jednak kutu rotacije α, dužina kraka OH koja se nalazi uz ovaj ugao jednaka je apscisi tačke A 1, odnosno |OH | |=x, dužina kraka A 1 H nasuprot uglu jednaka je ordinati tačke A 1 , odnosno |A 1 H|=y , a dužina hipotenuze OA 1 jednaka je jedan , budući da je radijus jedinične kružnice. Tada je, po definiciji iz geometrije, sinus oštrog ugla α u pravokutnom trokutu A 1 OH jednak omjeru suprotnog kraka i hipotenuze, odnosno sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . A po definiciji iz trigonometrije, sinus ugla rotacije α jednak je ordinati tačke A 1, odnosno sinα=y. Ovo pokazuje da je definicija sinusa oštrog ugla u pravokutnom trokutu ekvivalentna definiciji sinusa ugla rotacije α za α od 0 do 90 stepeni.

Slično, može se pokazati da su definicije kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog ugla α u skladu sa definicijama kosinusa, tangenta i kotangensa ugla rotacije α.

Bibliografija.

1. Geometrija. 7-9 razreda: studije. za opšte obrazovanje institucije / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev i drugi]. - 20. ed. M.: Obrazovanje, 2010. - 384 str.: ilustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrija: Proc. za 7-9 ćelija. opšte obrazovanje institucije / A. V. Pogorelov. - 2. izd. - M.: Prosvjeta, 2001. - 224 str.: ilustr. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra i elementarne funkcije: Udžbenik za učenike 9. razreda srednje škole / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Uredio doktor fizičko-matematičkih nauka O. N. Golovin - 4. izd. Moskva: Obrazovanje, 1969.
4. algebra: Proc. za 9 ćelija. avg. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra i počeci analize. 10. razred. U 14 sati, 1. dio: udžbenik za obrazovne ustanove (profilni nivo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. izd., dop. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - I.: Obrazovanje, 2010. - 368 str.: Il. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Predavanje: Sinus, kosinus, tangent, kotangens proizvoljnog ugla

Sinus, kosinus proizvoljnog ugla

Da bismo razumjeli šta su trigonometrijske funkcije, okrenimo se krugu s jediničnim polumjerom. Ova kružnica je centrirana u ishodištu na koordinatnoj ravni. Da bismo odredili date funkcije, koristit ćemo radijus vektor ILI, koji počinje u centru kruga, i tačku R je tačka na kružnici. Ovaj radijus vektor formira ugao alfa sa osom OH. Pošto krug ima poluprečnik jednak jedan, onda ILI = R = 1.

Ako iz tačke R ispusti okomicu na osu OH, tada dobijamo pravougli trokut sa hipotenuzom jednakom jedan.

Ako se radijus vektor kreće u smjeru kazaljke na satu, onda se ovaj smjer naziva negativan, ali ako se kreće suprotno od kazaljke na satu - pozitivno.

Sinus ugla ILI, je ordinata tačke R vektori na kružnici.

Odnosno, da bi se dobila vrijednost sinusa zadanog ugla alfa, potrebno je odrediti koordinatu At na površini.

Kako je dobijena ova vrijednost? Pošto znamo da je sinus proizvoljnog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne katete i hipotenuze, dobijamo da je

I od tada R=1, onda sin(α) = y 0 .

U jediničnom krugu vrijednost ordinate ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

Sinus je pozitivan u prvoj i drugoj četvrtini jediničnog kruga, a negativan u trećoj i četvrtoj.

Kosinus ugla dati krug formiran radijus vektorom ILI, je apscisa tačke R vektori na kružnici.

Odnosno, da bi se dobila vrijednost kosinusa datog ugla alfa, potrebno je odrediti koordinate X na površini.

Kosinus proizvoljnog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze, dobivamo da

I od tada R=1, onda cos(α) = x 0 .

U jediničnom krugu vrijednost apscise ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

Kosinus je pozitivan u prvom i četvrtom kvadrantu jediničnog kruga, a negativan u drugom i trećem.

tangentaproizvoljan ugao izračunava se omjer sinusa i kosinusa.

Ako uzmemo u obzir pravokutni trokut, onda je to omjer suprotne noge i susjedne. Ako govorimo o jediničnom krugu, onda je to omjer ordinate i apscise.

Sudeći po ovim odnosima, može se shvatiti da tangenta ne može postojati ako je vrijednost apscise nula, odnosno pod uglom od 90 stepeni. Tangenta može poprimiti sve druge vrijednosti.

Tangenta je pozitivna u prvoj i trećoj četvrtini jedinične kružnice, a negativna u drugoj i četvrtoj.

Povratak