Slični dokumenti
Obnavljanje grafova iz datih matrica susjedstva vrhova. Konstrukcija za svaki graf matrice susjedstva ivica, incidencije, dosegljivosti, kontradostižnosti. Potražite sastav grafova. Određivanje lokalnih stupnjeva vrhova grafa. Potražite bazu grafikona.
laboratorijski rad, dodano 01.09.2009
Opis zadanog grafa skupovima vrhova V i lukova X, listama susjedstva, matrice incidencije i susjedstva. Matrica težine odgovarajućeg neusmjerenog grafa. Određivanje stabla najkraćeg puta pomoću Dijkstrinog algoritma. Pronalaženje stabala na grafu.
seminarski rad, dodan 30.09.2014
Koncept "grafa" i njegova matrična reprezentacija. Svojstva matrica susednosti i incidencije. Svojstva ruta, lanaca i ciklusa. Problem nalaženja centralnih vrhova grafa, njegove metričke karakteristike. Primena teorije grafova u oblasti nauke i tehnologije.
seminarski rad, dodan 09.05.2015
Algoritam za prelazak na grafički prikaz za neusmjereni graf. Broj vrhova u neusmjerenom grafu. Čitanje iz matrice susjedstva. Relacije između vrhova u matrici. Određivanje koordinata vrha u zavisnosti od broja sektora.
laboratorijski rad, dodano 29.04.2011
Matematički opis sistema automatskog upravljanja pomoću grafikona. Izrada grafa i njegova transformacija, oslobađanje od diferencijala. Optimizacija usmjerenih i neusmjerenih grafova, kompilacija matrica susjednosti i incidencije.
laboratorijski rad, dodano 11.03.2012
Usmjereni i neusmjereni grafovi: opće karakteristike, posebni vrhovi i ivice, polustepeni vrhova, susjednost, incidencija, dosegljivost, matrice povezanosti. Numeričke karakteristike svakog grafa, prelazak po dubini i širini, osnova ciklusa.
seminarski rad, dodan 14.05.2012
Provjera valjanosti identiteta ili inkluzija korištenjem algebre skupova i Euler-Venn dijagrama. Prikaz grafa i matrice relacije koja ima svojstva refleksivnosti, tranzitivnosti i antisimetrije. Istraživanje neusmjerenog grafa.
test, dodano 05.05.2013
Skup je skup elemenata ujedinjenih nekim atributom. Operacije su definirane na skupovima, koji su u mnogo čemu slični aritmetičkim. Operacije na skupovima se tumače geometrijski koristeći Euler-Venn dijagrame.
sažetak, dodan 03.02.2009
Konstrukcija pseudografskog dijagrama, matrice incidencije i matrice susjedstva vrhova. Vraćanje stabla iz vektora koristeći Prufer algoritam. Konstrukcija tablice istinitosti za funkciju i savršene konjunktivne i disjunktivne normalne forme.
test, dodano 25.09.2013
Metode rješavanja problema diskretne matematike. Izračunavanje najkraćeg puta između parova svih vrhova u usmjerenom i neusmjerenom grafu korištenjem Floydovog algoritma. Analiza problema i metode za njegovo rješavanje. Razvoj i karakteristike programa.
Neki problemi se mogu jednostavno i vizualno riješiti korištenjem Euler-Venn dijagrama. Na primjer, zadaci na skupovima. Ako ne znate šta su Euler-Venn dijagrami i kako ih izgraditi, prvo pročitajte.
Pogledajmo sada tipične probleme.
Zadatak 1.
Istraživanje je sprovedeno među 100 učenika u školi sa detaljnim učenjem stranih jezika. Učenicima je postavljeno pitanje: „Koje strane jezike učite?“. Ispostavilo se da 48 studenata uči engleski, 26 - francuski, 28 - njemački. 8 studenata uči engleski i njemački jezik, 8 - engleski i francuski, 13 - francuski i njemački. 24 učenika ne uči ni engleski, ni francuski, ni njemački. Koliko školaraca koji su popunili anketu uče tri jezika istovremeno: engleski, francuski i njemački?
Odgovor: 3.
Odluka:
- mnogi školarci uče engleski ("A");
- mnogi školarci uče francuski ("F");
- mnogi školarci uče njemački ("N").
Oslikajmo uz pomoć Euler-Venn dijagrama ono što nam je dato uslovom.
Označimo željenu oblast A=1, F=1, H=1 sa "x" (u tabeli ispod, oblast br. 7). Ostale regije izražavamo u terminima x.
0) Region A=0, F=0, H=0: 24 učenika - dato prema stanju zadatka.
1) Region A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x učenika.
2) Region A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x učenika.
3) Region A=0, F=1, H=1: 13 školaraca.
4) Region A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x školaraca.
5) Region A=1, F=0, H=1: 8 školaraca.
6) Region A=1, F=1, H=0: 8 školaraca.
| № oblasti | ALI |
F |
H |
Količina školska djeca |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
24 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
7+x |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
5+x |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
13 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
32+x |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
8's |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
8's |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
X |
Definirajmo x:
24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.
x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.
Ispostavilo se da 3 učenika istovremeno uče tri jezika: engleski, francuski i njemački.
Ovako će izgledati Euler-Venn dijagram sa poznatim x:
Zadatak 2.
Na matematičkoj olimpijadi od školaraca je traženo da riješe tri zadatka: jedan iz algebre, jedan iz geometrije i jedan iz trigonometrije. Na olimpijadi je učestvovalo 1000 školaraca. Rezultati olimpijade su bili sledeći: 800 učesnika rešavalo je zadatak iz algebre, 700 iz geometrije, 600 iz trigonometrije, 600 učenika rešavalo je zadatke iz algebre i geometrije, 500 iz algebre i trigonometrije, 400 iz geometrije i trigonometrije. 300 ljudi rješavalo je zadatke iz algebre, geometrije i trigonometrije. Koliko učenika nije riješilo nijedan zadatak?
Odgovor: 100.
Odluka:
Prvo, definiramo skupove i uvodimo notaciju. postoje tri od njih:
- skup zadataka iz algebre ("A");
- skup problema iz geometrije ("G");
- skup problema u trigonometriji ("T").
Hajde da opišemo šta treba da pronađemo:
Odredimo broj učenika za sva moguća područja.
Označimo željenu površinu A=0, G=0, T=0 sa "x" (u tabeli ispod, oblast br. 0).
Pronađimo ostala područja:
1) Region A=0, D=0, T=1: nema školaraca.
2) Region A=0, D=1, T=0: nema školaraca.
3) Region A=0, D=1, T=1: 100 školaraca.
4) Region A=1, D=0, T=0: nema školaraca.
5) Region A=1, D=0, T=1: 200 školaraca.
6) Region A=1, D=1, T=0: 300 školaraca.
7) Region A=1, D=1, T=1: 300 školaraca.
Zapišimo vrijednosti površina u tabeli:
| № oblasti | ALI |
G |
T |
Količina školska djeca |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
X |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
0 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
100 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
200 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
300 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
300 |
Iscrtajmo vrijednosti za sva područja koristeći grafikon:
Definirajmo x:
x=U-(A V G V T), gdje je U univerzum.
A V G V T = 0 + 0 + 0 + 300 + 300 + 200 + 100 \u003d 900.
Dobili smo da 100 školaraca nije riješilo nijedan problem.
Zadatak 3.
Na olimpijadi iz fizike učenici su trebali riješiti tri zadatka: jedan iz kinematike, jedan iz termodinamike i jedan iz optike. Rezultati olimpijade bili su sljedeći: zadatak iz kinematike rješavalo je 400 učesnika, iz termodinamike 350, iz optike 300. Zadatke iz kinematike i termodinamike rješavalo je 300 učenika, iz kinematike i optike 200, iz termodinamike i optike 150 učenika. 100 ljudi rješavalo je probleme iz kinematike, termodinamike i optike. Koliko je učenika riješilo dva zadatka?
Odgovor: 350.
Odluka:
Prvo, definiramo skupove i uvodimo notaciju. postoje tri od njih:
- skup zadataka iz kinematike ("K");
- skup problema iz termodinamike ("T");
- skup problema u optici ("O").
Opišimo pomoću Euler-Venn dijagrama ono što nam je dato uslovom:
Hajde da opišemo šta treba da pronađemo:
Odredimo broj učenika za sva moguća područja:
0) Površina K=0, T=0, O=0 : nije definisano.
1) Region K=0, T=0, O=1: 50 učenika.
2) Region K=0, T=1, O=0: nema školaraca.
3) Region K=0, T=1, O=1: 50 učenika.
4) Region K=1, T=0, O=0: nema školaraca.
5) Region K=1, T=0, O=1: 100 školaraca.
6) Region K=1, T=1, O=0: 200 školaraca.
7) Region K=1, T=1, O=1: 100 školaraca.
Zapišimo vrijednosti površina u tabeli:
| № oblasti | To |
T |
O |
Količina školska djeca |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
- |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
50 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
50 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
100 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
200 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
100 |
Iscrtajmo vrijednosti za sva područja koristeći grafikon:
Definirajmo x.
x=200+100+50=350.
Primljeno, 350 školaraca riješilo je dva problema.
Zadatak 4.
Među prolaznicima je sprovedeno istraživanje. Postavljeno je pitanje: "Kakvog kućnog ljubimca imate?". Prema rezultatima istraživanja pokazalo se da 150 ljudi ima mačku, 130 psa, a 50 pticu. 60 ljudi ima mačku i psa, 20 ima mačku i pticu, 30 ima psa i pticu. 70 ljudi uopšte nema kućnog ljubimca. 10 ljudi ima mačku, psa i pticu. Koliko je prolaznika učestvovalo u anketi?
Odgovor: 300.
Odluka:
Prvo, definiramo skupove i uvodimo notaciju. postoje tri od njih:
- mnogo ljudi koji imaju mačku ("K");
- mnogo ljudi koji imaju psa ("C");
- mnogo ljudi koji imaju pticu ("P").
Opišimo pomoću Euler-Venn dijagrama ono što nam je dato uslovom:
Hajde da opišemo šta treba da pronađemo:
Odredimo broj ljudi za sva moguća područja:
0) Područje K=0, S=0, P=0: 70 osoba.
1) Područje K=0, S=0, P=1: 10 osoba.
2) Područje K=0, S=1, P=0: 50 osoba.
3) Područje K=0, S=1, P=1: 20 osoba.
4) Područje K=1, S=0, P=0: 80 osoba.
5) Područje K=1, T=0, O=1: 10 osoba.
6) Regija K=1, T=1, O=0: 50 osoba.
7) Regija K=1, T=1, O=1: 10 osoba.
Zapišimo vrijednosti površina u tabeli:
| № oblasti | To |
C |
P |
Količina Čovjek |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
70 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
10 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
50 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
20 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
80 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
10 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
50 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
10 |
Iscrtajmo vrijednosti za sva područja koristeći grafikon:
Definirajmo x:
x=U (univerzum)
U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.
Primljeno je da je u anketi učestvovalo 300 ljudi.
Zadatak 5.
120 ljudi je upisalo jednu specijalnost na jednom od univerziteta. Kandidati su polagali tri ispita: iz matematike, informatike i ruskog jezika. Matematiku je položilo 60 ljudi, informatiku - 40. 30 prijavljenih je položilo matematiku i informatike, 30 - matematiku i ruski jezik, 25 - informatike i ruski jezik. Sva tri ispita je položilo 20 ljudi, a palo je 50 ljudi. Koliko kandidata je položilo ruski jezik?
Za vizuelno predstavljanje skupova koriste se Euler-Venn dijagrami (nazvani po matematičarima Leonhard Euler (1707-1783) i John Venn (1834-1923)). Skupovi su označeni oblastima na ravni, a unutar ovih područja elementi skupa su uslovno locirani. Često se svi skupovi u dijagramu nalaze unutar pravougaonika, koji je univerzalni skup. Ako element pripada više od jednog skupa, tada se regije koje odgovaraju takvim skupovima moraju preklapati tako da zajednički element može istovremeno biti u odgovarajućim regijama. Izbor oblika područja koja prikazuju skupove na dijagramima može biti proizvoljan (krugovi, poligoni, itd.).
na primjer, uz pomoć Euler-Venn dijagrama može se pokazati da je skup podskup skupa (slika 3).
Ilustrujmo gore navedene operacije na skupovima uz pomoć Euler-Venn dijagrama: a) unija skupova i; b) skup raskrsnica; c) razlika skupa (bez); d) dodavanje skupa univerzalnom setu (slika 4, a, b, in, G).
Primjer 1 Dokažite identitet koristeći Euler-Venn dijagrame.
Odluka
Konstruirajmo komplement skupa univerzalnom skupu (slika 5, a). Set odgovara zasjenjenom području (sl. 5, b). Dakle, može se vidjeti da su na Euler-Venn dijagramima skupovi i prikazani na isti način, dakle.
Primjer 2 Pokaži to .
Odluka
Konstruirajmo skup koji odgovara lijevoj strani datog identiteta. Skup je predstavljen osenčenom površinom na Sl. 6, a. Skup odgovara zasjenjenom području na sl. 6, b.
Skup prikazuje područje zasjenjeno na oba prethodna dijagrama, tako da je prikazano na Sl. 6, in tamnije područje.
Konstruirajmo skup koji odgovara desnoj strani datog identiteta.
Skupovi i su predstavljeni osenčenim područjem na Sl. 7, a i 7, b respektivno.
Skup je prikazan osenčenim područjem na Sl. 7, in.
Upoređujući sl. 6, in i sl. 7, in, vidimo da su Euler-Venn dijagrami prikazani na isti način, dakle .
Pitanja i zadaci za samostalno rješavanje
1. Nacrtajte skupove koristeći Euler-Venn dijagrame:
2. Opišite skupove koji odgovaraju zasjenjenim dijelovima na sl. osam, a, b, in, G, koristeći Euler-Venn dijagrame:
3. Koristite Euler-Venn dijagrame da pokažete da:
1.4. Svojstva skupnih operacija
Gore uvedene operacije skupa imaju sljedeća svojstva.
1. - komutativnost.
2.
- Asocijativnost.
3.
- distributivnost.
4. - idempotencija.
5.
- zakoni identiteta.
6. ,, su komplementarni zakoni.
7. - De Morganovi zakoni.
8. - zakoni apsorpcije.
9.
- zakoni lepljenja.
10.
- Zakoni Poretskog.
Primjer 1 Na osnovu svojstava operacija nad skupovima, pojednostavite izraz.
Odluka
= /de Morganov zakon/ =
= = /zakon distributivnosti/ =
= = /zakon komutativnosti/ =
= = /zakon distributivnosti/ =
/zakon komutativnosti/ =
/zakoni sabiranja/ =
= /zakoni komutativnosti i identiteta/ =
= = /definicija simetrične razlike/ =.
Kao što je već spomenuto, kardinalnost konačnog skupa je broj njegovih elemenata. Sljedeća teorema daje jednostavno pravilo za izračunavanje kardinalnosti unije dva skupa.
Teorema uključivanja i isključenja. Snaga unije dva skupa jednaka je razlici između zbira potencija ovih skupova i snage njihovog presjeka, tj.
Dokaz
Dokaz tvrdnje je najpogodnije ilustrovan grafički. Kao što je prikazano na sl. 9, skup se sastoji od podskupova:, i koji nemaju zajedničke elemente. Stoga, i.
Hajde da uvedemo notaciju:
Q.E.D.
Primjer 2 Svaki od 63 studenta prve godine koji studiraju informatiku na univerzitetu može pohađati dodatna predavanja. Ako njih 16 pohađa i računovodstveni kurs, 37 i biznis, a 5 obje ove discipline, koliko studenata onda uopšte ne pohađa pomenutu dopunsku nastavu?
Odluka
Hajde da uvedemo notaciju:
Dakle, broj studenata koji ne pohađaju dodatne kurseve.
Napomena 1. Teorema uključivanja i isključenja može se formulirati za slučaj tri skupa:
Primjer 3 Na kursu su 42 polaznika. Od toga je 16 angažovano u atletskoj sekciji, 24 u fudbalskoj, 15 u šahovskoj, 11 u atletskoj i fudbalskoj sekciji; 8 - i u atletici i u šahu; 12 - i u fudbalu i u šahu; i 6 u sva tri dijela. Ostali studenti vole turizam. Koliko studenata je turista?
Odluka
Hajde da uvedemo notaciju:
Iz stanja problema: ,,,,,, i.
Odakle, odnosno broj studenata koji se bave turizmom.
Napomena 2. Prilikom rješavanja navedenih problema zgodno je koristiti Euler-Venn dijagrame.
Zadaci za samostalno rješavanje
Dokažite identitete koristeći svojstva skupova operacija:
2. 33 osobe su došle u trpezariju na ručak. 10 ljudi je naručilo supu, 16 - pilav, 30 - kompot, 7 ljudi naručilo je sva tri jela, 8 ljudi je naručilo supu i pilav, 14 ljudi je naručilo supu i kompot. Koliko je ljudi naručilo pilav i kompot?
3. U studentskoj grupi 12 ljudi uči engleski, 13 - njemački, 16 - francuski, 4 - samo engleski i njemački, 3 - samo engleski i francuski, 5 - sva tri jezika. U grupi nema učenika koji govore samo engleski jezik. Dvoje ljudi uči samo njemački, šestoro samo francuski. Jedan učenik u grupi ne uči nijedan od navedenih jezika. Koliko učenika ima u grupi?
Ljudsko razmišljanje je uređeno na način da se svijet predstavlja kao da se sastoji od zasebnih "objekata". Filozofi odavno znaju da je svijet jedinstvena neodvojiva cjelina, a odabir objekata u njemu nije ništa drugo nego proizvoljan čin našeg mišljenja, koji omogućava formiranje slike dostupne racionalnoj analizi. Ali kako god bilo, odabir objekata i njihovih skupova prirodan je način organiziranja našeg razmišljanja, pa nije iznenađujuće što je u osnovi glavnog alata za opisivanje egzaktnog znanja – matematike.
Koncept skupa je jedan od temeljnih nedefiniranih pojmova matematike. Minimum koji se zna o skupu je da se sastoji od elemenata. Radi određenosti, usvajamo sljedeće formulacije.
Definicija. pod mnoštvom S razumećemo svaku kolekciju određenih i prepoznatljivih objekata, zamislivih kao jedinstvenu celinu. Ovi objekti se nazivaju elementi skupa. S.
Definicija. Skup se razumije kao asocijacija u jedinstvenu cjelinu određenih sasvim različitih objekata (objekata), koji se nazivaju elementima skupa koji formiraju.
Skupovi se obično označavaju velikim slovima latinične abecede: A, B, C, …; a elementi skupova su malim slovima: a, b, c, … .
Ako je objekt X je element skupa M, onda to kažu X pripada M: hm. Inače, tako kažu X ne pripada M: hm.
U ovoj intuitivnoj definiciji, koja pripada njemačkom matematičaru G. Cantoru, bitna je činjenica da se sama zbirka objekata smatra jednim objektom, zamišljena kao jedinstvena cjelina. Što se tiče samih objekata, koji se mogu uključiti u set, postoji velika sloboda u pogledu njih.
Primjer 1
To može biti skup studenata, skup prostih brojeva i tako dalje.
Definicija. Gomila ALI naziva se podskup skupa AT, ako bilo koji element iz ALI je element AT(označeno). Ako a ALI je podskup AT i AT nije podskup ALI, onda to kažu ALI je strog (pravilan) podskup AT(označeno).
Definicija. Skup koji ne sadrži elemente naziva se prazan (označen sa Æ), on je podskup bilo kojeg skupa. Gomila U naziva se univerzalnim, odnosno svi razmatrani skupovi su njegov podskup.
Razmotrimo dvije definicije jednakosti skupova.
Definicija. Setovi ALI i AT se smatraju jednakim ako se sastoje od istih elemenata, napiši A=B, inače ALI¹ AT.
Definicija. Setovi ALI i AT smatraju se jednakim ako 
Postoje sljedeće načini definiranja skupova :
1) nabrajanje elemenata: M = (a 1 , a 2 , …, a k} , odnosno spisak njegovih elemenata;
2) karakteristični predikat: M = (x | P(x)} (opis karakterističnih svojstava koje treba da imaju njegovi elementi);
postupak generiranja: M = { x | x= f} , koji opisuje kako dobiti elemente skupa iz već primljenih elemenata ili drugih objekata. U ovom slučaju, elementi skupa su svi objekti koji mogu biti
1) su izgrađene po takvom postupku. Na primjer, skup svih cijelih brojeva koji su stepen dvojke.
Komentar. Kada se skupovi specificiraju nabrajanjem, oznake elemenata su obično zatvorene u vitičaste zagrade i odvojene zarezima. Nabrajanje može specificirati samo konačne skupove (broj elemenata skupa je konačan, inače se skup naziva beskonačnim). Karakteristični predikat je određeni uslov izražen u obliku logičke izjave ili procedure koja vraća logičku vrijednost. Ako je za dati element ispunjen uvjet, onda on pripada definiranom skupu, inače ne pripada. Generirajuća procedura je procedura koja, kada se pokrene, generiše neke objekte koji su elementi skupa koji se definiše. Beskonačni skupovi su definirani karakterističnim predikatom ili generirajućom procedurom.
Primjer 2
1) M = (1, 2, 3, 4)- nabrajanje elemenata skupa.
2) je karakterističan predikat.
Definicija. Kardinalnost konačnog skupa ALI je broj njegovih elemenata.
Kardinalnost skupa se označava sa: | A|.
Primjer 3
|| = 0; |{}| = 1.
Definicija. Za skupove se kaže da su ekvivalentni ako su im kardinaliteti isti.
Definicija. Skup svih podskupova skupa A naziva se Bulov P(A).
Poznato je da ako je set ALI sadrži n elemente, zatim skup P(A) sadrži 2 n elementi. U tom smislu, takođe koristimo notaciju skup-stepen ALI as 2 A.
Primjer 4
A = (0, 1, 2),P(A) = { , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} .
Geometrijski, skupovi se mogu predstaviti pomoću Euler-Venn dijagrama. Konstrukcija dijagrama se sastoji u crtanju velikog pravougaonika koji predstavlja univerzalni skup U, a unutar njega - krugovi (ili neke druge zatvorene figure) koje predstavljaju skupove. Brojke se moraju ukrštati u najopštijem slučaju potrebnom u problemu i moraju biti označene na odgovarajući način. Tačke koje leže unutar različitih područja dijagrama mogu se smatrati elementima odgovarajućih skupova. Sa izgrađenim dijagramom moguće je zasjeniti određena područja kako bi se označili novoformirani skupovi.
Smatra se da operacije skupova dobijaju nove skupove iz postojećih.
Definicija. Unija skupova ALI i AT naziva se skup koji se sastoji od svih onih elemenata koji pripadaju barem jednom od skupova ALI,AT(Slika 1.1):
Rice. 1.1. Euler-Venn dijagram za ujedinjenje
Definicija. Postavite raskrsnicu ALI i AT naziva se skup koji se sastoji od svih onih i samo onih elemenata koji pripadaju istovremeno kao skup ALI, i mnogi AT(Slika 1.2):
Rice. 1.2. Euler-Venn dijagram za raskrsnicu
Definicija. postaviti razliku ALI i AT je skup svih tih i samo tih elemenata ALI, koji nisu uključeni u AT(Slika 1.3):
Rice. 1.3. Euler-Venn dijagram za razliku
Definicija. Razlika simetričnog skupa ALI i AT je skup elemenata ovih skupova koji pripadaju ili samo skupu ALI, ili samo skup AT(Slika 1.4):
Rice. 1.4. Euler-Venn dijagram za simetričnu razliku
Definicija. Apsolutni dodatak kompletu ALI je skup svih onih elemenata koji ne pripadaju skupu ALI(Slika 1.5):
Rice. 1.5. Euler-Venn dijagram za apsolutni komplement
Primjer 5
Koristeći Euler-Venn dijagrame, dokazujemo identitet:
Razmotrite lijevu stranu relacije i izvršite radnje po redoslijedu:
1) naći presek skupova AT i With() (Sl. 1.6, a);
2) naći uniju rezultujućeg skupa sa skupom ALI() (Sl. 1.6, b).
Razmotrimo desnu stranu relacije 
:
1) naći uniju skupova ALI i AT(Sl. 1.6, c);
2) naći uniju skupova ALI i With(pirinač.
1.6, d);
3) pronaći presjek posljednja dva skupa i ( ) (Sl. 6, e):
U oba slučaja (sl. 1.6, b) i (sl. 1.6, e) dobijamo jednake skupove. Dakle, originalna relacija je važeća.
Rice. 1.6. Dokaz identiteta korištenjem Euler-Venn dijagrama
Razmotrimo osnovne identitete algebre skupova. Za proizvoljne skupove ALI,AT, i With važeći su sljedeći odnosi (tabela 1.11):
Tabela 1.11 Identiteti algebre osnovnih skupova
|
Union |
raskrsnica |
|
1. Komutativnost unije |
jedan'. Komutativnost raskrsnice |
|
2. Asocijativnost sindikata |
2'. Asocijativnost raskrsnice |
|
3. Distributivnost unije u odnosu na raskrsnicu |
3'. Distributivnost raskrsnice u odnosu na uniju |
|
4. Zakoni akcije sa praznim i univerzalnim skupovima |
4'. Zakoni akcije sa praznim i univerzalnim skupovima |
|
5. Zakon idempotentne unije |
5'. Zakon idempotencije raskrsnice |
|
6. De Morganov zakon |
6'. De Morganov zakon |
|
7. Zakon apsorpcije
|
7'. zakon apsorpcije
|
|
8. Zakon vezivanja
|
osam'. Zakon vezivanja
|
|
9. Zakon Poretsky
|
devet'. Poretsky zakon
|
|
10. Zakon dvostrukog komplementa |
|
