Teorija granica je jedna od grana matematičke analize. Pitanje rješavanja granica je prilično opsežno, budući da postoje desetine metoda za rješavanje granica različitih tipova. Postoji na desetine nijansi i trikova koji vam omogućavaju da riješite jednu ili drugu granicu. Ipak, pokušat ćemo razumjeti glavne vrste ograničenja na koje se najčešće susrećemo u praksi.
Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo, kratka istorijska pozadina. Bio jednom davno jedan Francuz Augustin Louis Cauchy u 19. vijeku, koji je postavio temelje matematičke analize i dao stroge definicije, a posebno definiciju granice. Mora se reći da je ovaj isti Cauchy sanjao, sanja i sanjat će u noćnim morama svih studenata fizičko-matematičkih fakulteta, pošto je dokazao ogroman broj teorema matematičke analize, a jedna teorema je odvratnija od druge. S tim u vezi, nećemo razmatrati striktnu definiciju granice, već ćemo pokušati učiniti dvije stvari:
1. Shvatite šta je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.
Izvinjavam se na nekim nenaučnim objašnjenjima, bitno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je, zapravo, zadatak projekta.
Dakle, koja je granica?
I odmah primjer zasto da se zezate sa svojom bakom....
Svaki limit se sastoji od tri dijela:
1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u ovom slučaju . Unos glasi "x teži jedinstvu." Najčešće - upravo, iako umjesto "x" u praksi postoje druge varijable. U praktičnim zadacima, umjesto jedinice, može postojati apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod graničnim znakom, u ovom slučaju .
Sam zapis 
glasi ovako: "granica funkcije kada x teži jedinici."
Hajde da analiziramo sledeće važno pitanje - šta znači izraz "x traži do jedinstva? A šta je uopšte „stremiti“?
Koncept granice je koncept, da tako kažem, dinamičan. Konstruirajmo niz: prvo , zatim , , …, 
, ….
To jest, izraz "x traži na jedan" treba shvatiti na sljedeći način - "x" dosljedno uzima vrijednosti koji su beskonačno bliski jedinstvu i praktično se poklapaju s njim.
Kako riješiti gornji primjer? Na osnovu gore navedenog, samo trebate zamijeniti jedinicu u funkciji pod znakom ograničenja:
Dakle, prvo pravilo glasi: Kada dobijete bilo koje ograničenje, prvo samo pokušajte uključiti broj u funkciju.
Razmatrali smo najjednostavniju granicu, ali takvi se nalaze i u praksi, i to ne tako rijetko!
Primjer beskonačnosti:
Razumijevanje šta je to? To je slučaj kada se neograničeno povećava, odnosno: prvo, zatim, zatim, pa i tako dalje do beskonačnosti.
I šta se dešava sa funkcijom u ovom trenutku?
, , 
, …
Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:
Grubo govoreći, prema našem prvom pravilu, zamjenjujemo beskonačnost u funkciju umjesto "x" i dobijamo odgovor.
Još jedan primjer sa beskonačnošću:
Opet, počinjemo da rastemo do beskonačnosti i gledamo ponašanje funkcije: 
Zaključak: za , funkcija raste beskonačno:
I još jedan niz primjera:
Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtiti najjednostavnije vrste ograničenja:
, , , , 
, , , , 
,
Ako negdje postoji sumnja, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da , pokušajte izgraditi niz , , . Ako onda , , .
Napomena: strogo govoreći, ovaj pristup sa građenjem nizova od nekoliko brojeva je netačan, ali je sasvim prikladan za razumijevanje najjednostavnijih primjera.
Obratite pažnju i na sljedeću stvar. Čak i ako je ograničenje dato s velikim brojem na vrhu, ili barem sa milionom: , onda je svejedno 
, jer će prije ili kasnije "x" poprimiti tako gigantske vrijednosti da će milion u odnosu na njih biti pravi mikrob.
Šta treba zapamtiti i razumjeti iz gore navedenog?
1) Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo zamijeniti broj u funkciju.
2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao npr 
, , itd.
Sada ćemo razmotriti grupu granica, kada , i funkcija je razlomak, u brojniku i nazivniku koji su polinomi
primjer:
Calculate Limit 
Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Šta dobijamo na vrhu? Beskonačnost. A šta se dešava ispod? Takođe beskonačnost. Dakle, imamo takozvanu neodređenost forme. Moglo bi se pomisliti da , i odgovor je spreman, ali u opštem slučaju to uopšte nije slučaj i mora se primeniti neko rešenje, koje ćemo sada razmotriti.
Kako riješiti granice ovog tipa?
Prvo pogledamo brojilac i pronađemo najveću snagu: 
Najveća snaga u brojiocu je dva.
Sada gledamo imenilac i takođe nalazimo najviši stepen: 
Najveći stepen nazivnika je dva.
Zatim biramo najveći stepen brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki dva.
Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojilac i imenilac podijeliti na najveći stepen.
Evo ga, odgovora, a ne beskonačnosti uopšte.
Šta je bitno za donošenje odluke?
Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako postoji.
Drugo, poželjno je prekinuti rješenje radi međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, ali znači da se rješenje prekida radi srednjeg objašnjenja.
Treće, u granici je poželjno označiti čemu i kuda teži. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti ovako: 
Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.
Naravno, ne možete učiniti ništa od ovoga, ali tada će, možda, nastavnik uočiti nedostatke u rješenju ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. I da li ti treba?
Primjer 2
Pronađite granicu 
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stepenu: 
Maksimalni stepen u brojiocu: 3
Maksimalni stepen u nazivniku: 4
Izaberi najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, podijelimo brojilac i nazivnik sa .
Kompletan zadatak može izgledati ovako:
Podijelite brojilac i imenilac sa
Primjer 3
Pronađite granicu 
Maksimalni stepen "x" u brojiocu: 2
Maksimalna snaga "x" u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojilac i nazivnik sa . Čisto rješenje može izgledati ovako:
Podijelite brojilac i imenilac sa
Rekord ne znači deljenje sa nulom (nemoguće je podeliti sa nulom), već deljenje sa beskonačno malim brojem.
Dakle, kada se otkrije neodređenost forme, možemo dobiti konačan broj, nula ili beskonačnost.
Granice s tipskom nesigurnošću i metodom za njihovo rješavanje
Sljedeća grupa granica je donekle slična granicama koje smo upravo razmatrali: postoje polinomi u brojniku i nazivniku, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačan broj.
Primjer 4
Riješite granicu 
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomku: 
U ovom slučaju se dobija tzv. nesigurnost.
Opšte pravilo: ako postoje polinomi u brojniku i nazivniku, i postoji nesigurnost oblika , tada za njegovo otkrivanje rastaviti na faktore brojilac i imenilac.
Da biste to učinili, najčešće trebate riješiti kvadratnu jednadžbu i (ili) koristiti skraćene formule za množenje. Ako su ove stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tabele i upoznati se sa metodičkim materijalom Matematičke formule vruće škole. Inače, najbolje ga je odštampati, potrebno je vrlo često, a informacije sa papira se bolje upijaju.
Dakle, riješimo našu granicu 
Rastavljanje brojnika i nazivnika na faktore
Da biste faktorizirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednačinu: 
Prvo nalazimo diskriminanta:
I kvadratni korijen toga: .
Ako je diskriminanta velika, na primjer 361, koristimo kalkulator, funkcija kvadratnog korijena je na najjednostavnijem kalkulatoru.
! Ako se korijen ne izvuče u potpunosti (dobije se razlomak sa zarezom), vrlo je vjerovatno da je diskriminanta pogrešno izračunata ili je u zadatku greška u kucanju.
Zatim pronalazimo korijene: 
Na ovaj način:
Sve. Brojilac se rastavlja na faktore.
Nazivnik. Imenilac je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da se pojednostavi.
Očigledno, može se skratiti na:
Sada zamjenjujemo -1 u izrazu koji ostaje pod znakom granice:
Naravno, na testu, na testu, ispitu, rješenje nikada nije tako detaljno oslikano. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati otprilike ovako:
Rastavimo brojilac na faktore. 
Primjer 5
Calculate Limit 
Prvo, "čisto" rješenje
Razložimo brojilac i imenilac.
Brojač:
imenilac: 
, 
Šta je važno u ovom primjeru?
Prvo, trebali biste dobro razumjeti kako se otkriva brojilac, prvo smo stavili u zagrade 2, a zatim koristili formulu razlike kvadrata. Ovo je formula koju trebate znati i vidjeti.
Matematika je nauka koja gradi svijet. I naučnik i običan čovek - niko ne može bez toga. Najprije se mala djeca uče da broje, zatim zbrajaju, oduzimaju, množe i dijele, do srednje škole na scenu stupaju slovne oznake, a u starijoj se više ne mogu izostaviti.
Ali danas ćemo govoriti o tome na čemu se zasniva sva poznata matematika. O zajednici brojeva zvanoj "granice sekvence".
Šta su sekvence i gdje je njihova granica?
Značenje riječi "sekvenca" nije teško protumačiti. Ovo je takva konstrukcija stvari, gdje se neko ili nešto nalazi u određenom redoslijedu ili redu. Na primjer, red za ulaznice u zoološki vrt je niz. A može biti samo jedan! Ako, na primjer, pogledate red do trgovine, ovo je jedna sekvenca. A ako jedna osoba iznenada napusti ovaj red, onda je ovo drugi red, drugi redosled.
Riječ "ograničenje" se također lako tumači - ovo je kraj nečega. Međutim, u matematici, granice nizova su one vrijednosti na brojevnoj liniji kojima niz brojeva teži. Zašto se trudi i ne završava? Jednostavno je, brojevna prava nema kraja, a većina nizova, poput zraka, ima samo početak i izgleda ovako:
x 1, x 2, x 3, ... x n ...
Stoga je definicija niza funkcija prirodnog argumenta. Jednostavnije rečeno, to je niz članova nekog skupa.
Kako se gradi niz brojeva?
Najjednostavniji primjer niza brojeva može izgledati ovako: 1, 2, 3, 4, …n…
U većini slučajeva, u praktične svrhe, nizovi se grade od brojeva, a svaki sljedeći član niza, označimo ga sa X, ima svoje ime. Na primjer:
x 1 - prvi član niza;
x 2 - drugi član niza;
x 3 - treći član;
x n je n-ti član.
U praktičnim metodama, redoslijed je dat općom formulom u kojoj postoji neka varijabla. Na primjer:
X n \u003d 3n, tada će sama serija brojeva izgledati ovako:
Vrijedno je zapamtiti da u općoj notaciji nizova možete koristiti bilo koja latinična slova, a ne samo X. Na primjer: y, z, k, itd.
Aritmetička progresija kao dio nizova
Prije nego što potražimo granice nizova, savjetuje se dublje ući u sam koncept takvog brojevnog niza, s kojim se svako susreo dok je bio u srednjoj klasi. Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima je razlika između susjednih članova konstantna.
Zadatak: „Neka je 1 = 15, a korak napredovanja niza brojeva d = 4. Izgradite prva 4 člana ovog reda"
Rješenje: a 1 = 15 (po uslovu) je prvi član progresije (brojanog niza).
i 2 = 15+4=19 je drugi član progresije.
a 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 je treći član.
a 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 je četvrti član.
Međutim, ovom metodom je teško postići velike vrijednosti, na primjer, do 125. . Posebno za takve slučajeve izvedena je formula prikladna za praksu: a n \u003d a 1 + d (n-1). U ovom slučaju, 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.
Tipovi sekvenci
Većina sekvenci je beskonačna, vrijedi ih pamtiti cijeli život. Postoje dvije zanimljive vrste brojevnih serija. Prvi je dan formulom a n =(-1) n . Matematičari se često pozivaju na ove bljeskajuće sekvence. Zašto? Provjerimo njegove brojeve.
1, 1, -1, 1, -1, 1, itd. Sa ovim primjerom postaje jasno da se brojevi u nizovima lako mogu ponoviti.
faktorski niz. Lako je pretpostaviti da u formuli postoji faktorijel koji definira niz. Na primjer: i n = (n+1)!
Tada će redoslijed izgledati ovako:
i 2 = 1x2x3 \u003d 6;
i 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, itd.
Niz zadan aritmetičkom progresijom naziva se beskonačno opadajući ako se nejednakost -1 promatra za sve njegove članove i 3 \u003d - 1/8, itd. Postoji čak i niz koji se sastoji od istog broja. Dakle, i n \u003d 6 se sastoji od beskonačnog broja šestica. Ograničenja sekvenci odavno postoje u matematici. Naravno, oni zaslužuju vlastiti kompetentan dizajn. Dakle, vrijeme je da naučite definiciju granica sekvence. Prvo, detaljno razmotrite ograničenje za linearnu funkciju: Lako je razumjeti da se definicija granice niza može formulirati na sljedeći način: to je određeni broj kojem se svi članovi niza beskonačno približavaju. Jednostavan primjer: i x = 4x+1. Tada će sama sekvenca izgledati ovako. 5, 9, 13, 17, 21…x… Dakle, ovaj niz će se beskonačno povećavati, što znači da je njegova granica jednaka beskonačnosti kao x→∞, a to treba napisati na sljedeći način: Ako uzmemo sličan niz, ali x teži 1, dobićemo: A niz brojeva će biti ovakav: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, itd. Svaki put morate zamijeniti broj sve bliže jedan (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Iz ove serije se može vidjeti da je granica funkcije pet. Iz ovog dijela vrijedi se sjetiti što je granica numeričkog niza, definicija i način rješavanja jednostavnih zadataka. Nakon analize granice numeričkog niza, njegove definicije i primjera, možemo prijeći na složeniju temu. Apsolutno sve granice sekvenci mogu se formulisati jednom formulom, koja se obično analizira u prvom semestru. Dakle, šta znači ovaj skup slova, modula i znakova nejednakosti? ∀ je univerzalni kvantifikator koji zamjenjuje izraze „za sve“, „za sve“ itd. ∃ je kvantifikator postojanja, u ovom slučaju to znači da postoji neka vrijednost N koja pripada skupu prirodnih brojeva. Dugačak okomiti štap iza N znači da je dati skup N "takav". U praksi to može značiti "takav taj", "takav taj" itd. Da biste konsolidirali materijal, pročitajte formulu naglas. Metoda pronalaženja granice sekvenci, o kojoj je gore bilo riječi, iako jednostavna za korištenje, nije toliko racionalna u praksi. Pokušajte pronaći ograničenje za ovu funkciju: Ako zamijenimo različite vrijednosti x (svaki put se povećavaju: 10, 100, 1000, itd.), onda ćemo dobiti ∞ u brojniku, ali i ∞ u nazivniku. Ispada prilično čudan razlomak: Ali da li je zaista tako? Izračunavanje granice numeričkog niza u ovom slučaju izgleda dovoljno lako. Moglo bi se ostaviti sve kako jeste, jer je odgovor spreman, i primljen je pod razumnim uslovima, ali postoji drugi način posebno za takve slučajeve. Prvo, pronađimo najviši stepen u brojiocu razlomka - to je 1, jer se x može predstaviti kao x 1. Sada pronađimo najviši stepen u nazivniku. Takođe 1. Podelite i brojilac i imenilac promenljivom do najvišeg stepena. U ovom slučaju dijelimo razlomak sa x 1. Zatim, hajde da pronađemo kojoj vrednosti teži svaki termin koji sadrži varijablu. U ovom slučaju se uzimaju u obzir razlomci. Kako je x→∞, vrijednost svakog od razlomaka teži nuli. Prilikom izrade pisanog rada, vrijedi napraviti sljedeće fusnote: Dobija se sljedeći izraz: Naravno, razlomci koji sadrže x nisu postali nule! Ali njihova vrijednost je toliko mala da je sasvim dozvoljeno ne uzeti je u obzir u proračunima. U stvari, x nikada neće biti jednako 0 u ovom slučaju, jer ne možete dijeliti sa nulom. Pretpostavimo da profesor ima na raspolaganju složen niz, dat, očigledno, ništa manje složenom formulom. Profesor je pronašao odgovor, ali da li odgovara? Na kraju krajeva, svi ljudi griješe. Auguste Cauchy je smislio sjajan način da dokaže granice sekvenci. Njegova metoda se zvala operacija susjedstva. Pretpostavimo da postoji neka tačka a čije je susjedstvo u oba smjera na realnoj pravoj jednako ε ("epsilon"). Pošto je zadnja varijabla udaljenost, njena vrijednost je uvijek pozitivna. Sada postavimo neki niz x n i pretpostavimo da je deseti član niza (x 10) uključen u okolinu a. Kako tu činjenicu napisati matematičkim jezikom? Pretpostavimo da je x 10 desno od tačke a, a zatim rastojanje x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Sada je vrijeme da se u praksi objasni gore navedena formula. Pošteno je neki broj nazvati krajnjom točkom niza ako nejednakost ε>0 vrijedi za bilo koju njegovu granicu, a čitavo susjedstvo ima svoj prirodni broj N, tako da će svi članovi niza s većim brojevima biti unutar niza |xn - a|< ε. Sa takvim znanjem, lako je riješiti granice niza, dokazati ili opovrgnuti gotov odgovor. Teoreme o granicama nizova su važna komponenta teorije, bez koje je praksa nemoguća. Postoje samo četiri glavne teoreme, pamteći koje, možete značajno olakšati proces rješavanja ili dokazivanja: Ponekad je potrebno riješiti inverzni problem, dokazati datu granicu numeričkog niza. Pogledajmo primjer. Dokažite da je granica niza datog formulom jednaka nuli. Prema gornjem pravilu, za bilo koji niz vrijedi nejednakost |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Izrazimo n u terminima "epsilon" da pokažemo postojanje određenog broja i dokažemo postojanje granice niza. U ovoj fazi, važno je podsjetiti da su "epsilon" i "en" pozitivni brojevi i nisu jednaki nuli. Sada možete nastaviti dalje transformacije koristeći znanje o nejednakostima stečeno u srednjoj školi. Otuda ispada da je n > -3 + 1/ε. Budući da je vrijedno zapamtiti da govorimo o prirodnim brojevima, rezultat se može zaokružiti stavljanjem u uglaste zagrade. Tako je dokazano da je za bilo koju vrijednost “epsilon” susjedstva tačke a = 0 pronađena vrijednost takva da je početna nejednakost zadovoljena. Iz ovoga možemo sa sigurnošću tvrditi da je broj a granica datog niza. Q.E.D. S tako zgodnom metodom možete dokazati granicu numeričkog niza, ma koliko to na prvi pogled izgledalo komplicirano. Glavna stvar je ne paničariti pri pogledu na zadatak. Postojanje granice sekvence nije neophodno u praksi. Lako je pronaći takve nizove brojeva kojima zaista nema kraja. Na primjer, isti flešer x n = (-1) n . Očigledno je da niz koji se sastoji od samo dvije cifre koje se ciklički ponavljaju ne može imati ograničenje. Ista priča se ponavlja sa nizovima koji se sastoje od jednog broja, razlomka, koji u toku izračunavanja imaju nesigurnost bilo kojeg reda (0/0, ∞/∞, ∞/0, itd.). Međutim, treba imati na umu da postoji i pogrešan proračun. Ponekad će vam ponovna provjera vlastitog rješenja pomoći da pronađete granicu sukcesije. Iznad smo razmotrili nekoliko primjera nizova, metode za njihovo rješavanje, a sada pokušajmo uzeti konkretniji slučaj i nazvati ga "monoton niz". Definicija: pošteno je bilo koji niz nazvati monotono rastućim ako zadovoljava strogu nejednakost x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Uz ova dva uslova, postoje i slične nestroge nejednakosti. Prema tome, x n ≤ x n +1 (neopadajuća sekvenca) i x n ≥ x n +1 (neopadajuća sekvenca). Ali to je lakše razumjeti na primjerima. Niz dat formulom x n \u003d 2 + n formira sljedeće nizove brojeva: 4, 5, 6, itd. Ovo je monotono rastući niz. A ako uzmemo x n \u003d 1 / n, onda ćemo dobiti niz: 1/3, ¼, 1/5, itd. Ovo je monotono opadajući niz. Ograničeni niz je niz koji ima ograničenje. Konvergentni niz je niz brojeva koji ima beskonačno malu granicu. Dakle, granica ograničenog niza je bilo koji realan ili kompleksan broj. Zapamtite da može postojati samo jedno ograničenje. Granica konvergentnog niza je beskonačno mala veličina (realna ili kompleksna). Ako nacrtate dijagram sekvence, tada će se u određenom trenutku on, takoreći, konvergirati, težiti da se pretvori u određenu vrijednost. Otuda i naziv - konvergentni niz. Takav niz može, ali i ne mora imati ograničenje. Prvo, korisno je razumjeti kada je, odavde možete početi s dokazivanjem odsustva ograničenja. Među monotonim nizovima razlikuju se konvergentne i divergentne. Konvergentan - ovo je niz koji je formiran skupom x i ima realnu ili kompleksnu granicu u ovom skupu. Divergentan - niz koji nema ograničenja u svom skupu (ni realan ni složen). Štaviše, niz konvergira ako se njegove gornje i donje granice konvergiraju u geometrijskom prikazu. Granica konvergentnog niza u mnogim slučajevima može biti jednaka nuli, budući da svaki infinitezimalni niz ima poznatu granicu (nulu). Koji god konvergentni niz da uzmete, svi su oni ograničeni, ali daleko od toga da se svi ograničeni nizovi konvergiraju. Zbir, razlika, proizvod dva konvergentna niza je takođe konvergentan niz. Međutim, količnik također može konvergirati ako je definiran! Ograničenja sekvenci su značajna (u većini slučajeva) kao i brojevi i brojevi: 1, 2, 15, 24, 362, itd. Ispostavilo se da se neke operacije mogu izvoditi s ograničenjima. Prvo, baš kao i cifre i brojevi, granice bilo kojeg niza mogu se dodavati i oduzimati. Na osnovu treće teoreme o granicama nizova, tačna je sljedeća jednakost: granica zbira nizova jednaka je zbiru njihovih granica. Drugo, na osnovu četvrte teoreme o granicama nizova, tačna je sljedeća jednakost: granica proizvoda n-tog broja nizova jednaka je proizvodu njihovih granica. Isto važi i za deljenje: granica količnika dva niza jednaka je količniku njihovih granica, pod uslovom da granica nije jednaka nuli. Uostalom, ako je granica nizova jednaka nuli, tada će se ispostaviti podjela nulom, što je nemoguće. Čini se da je granica brojčanog niza već detaljno analizirana, ali fraze kao što su „beskonačno mali“ i „beskonačno veliki“ brojevi spominju se više puta. Očigledno, ako postoji niz 1/x, gdje je x→∞, onda je takav razlomak beskonačno mali, a ako isti niz, ali granica teži nuli (x→0), tada razlomak postaje beskonačno velika vrijednost . I takve vrijednosti imaju svoje karakteristike. Svojstva granice niza koji imaju proizvoljne male ili velike vrijednosti su kako slijedi: U stvari, izračunavanje granice niza nije tako težak zadatak ako poznajete jednostavan algoritam. Ali granice sekvenci su tema koja zahtijeva maksimalnu pažnju i upornost. Naravno, dovoljno je jednostavno shvatiti suštinu rješenja ovakvih izraza. Počevši od malog, vremenom možete dostići velike visine. Nesigurnost tipa i oblika najčešće su nesigurnosti koje je potrebno riješiti prilikom rješavanja ograničenja. Većina zadataka o granicama na koje nailaze učenici upravo nose takve nesigurnosti. Da bismo ih otkrili, ili, preciznije, izbjegli nejasnoće, postoji nekoliko umjetnih metoda za transformaciju oblika izraza pod graničnim znakom. Ove tehnike su sljedeće: dijeljenje brojnika i nazivnika po članu po najvećoj potenciji varijable, množenje konjugiranim izrazom i faktorizacija za naknadnu redukciju korištenjem rješenja kvadratnih jednačina i skraćenih formula za množenje. Neodređenost vrste Primjer 1 n je jednako 2. Prema tome, dijelimo brojilac i imenilac po članu sa: Komentar na desnoj strani izraza. Strelice i brojevi pokazuju čemu razlomci teže nakon zamjene umjesto n vrijednosti beskonačnosti. Ovdje, kao u primjeru 2, stepen n ima više u nazivniku nego u brojniku, zbog čega cijeli razlomak teži beskonačno maloj vrijednosti ili "supermalom broju". Dobijamo odgovor: granica ove funkcije s promjenljivom koja teži beskonačnosti je . Primjer 2 . Rješenje. Ovdje je najveća snaga varijable x je jednako 1. Prema tome, delimo brojnik i nazivnik po članu sa x: Komentar o toku rješenja. U brojiocu ubacujemo "X" ispod korena trećeg stepena, a da njegov početni stepen (1) ostane nepromenjen, dodeljujemo mu isti stepen kao koren, odnosno 3. Nema strelica i dodatnih brojeva u ovom unosu, pa pokušajte mentalno, ali po analogiji sa prethodnim primjerom, odredite čemu teže izrazi u brojniku i nazivniku nakon zamjene beskonačnosti sa "x". Dobili smo odgovor: granica ove funkcije s promjenljivom koja teži beskonačnosti jednaka je nuli. Neodređenost vrste Primjer 3 Otkrijte neizvjesnost i pronađite granicu. Rješenje. Brojilac je razlika kocki. Razložimo ga koristeći skraćenu formulu množenja iz školskog kursa matematike: Imenilac je kvadratni trinom, koji rastavljamo na faktore rješavanjem kvadratne jednadžbe (opet referenca na rješavanje kvadratnih jednadžbi): Zapišimo izraz dobijen kao rezultat transformacija i pronađemo granicu funkcije: Primjer 4 Otkrijte neizvjesnost i pronađite granicu Rješenje. Teorema o ograničenju količnika ovdje se ne primjenjuje, jer Stoga razlomak transformiramo identično: množenjem brojnika i nazivnika binomom konjugatom sa nazivnikom i smanjimo za x+1. Prema posledicama teoreme 1, dobijamo izraz, rešavanjem kojeg nalazimo željenu granicu: Primjer 5 Otkrijte neizvjesnost i pronađite granicu Rješenje. Direktna zamjena vrijednosti x= 0 u datu funkciju dovodi do neodređenosti oblika 0/0. Da bismo to otkrili, izvodimo identične transformacije i, kao rezultat, dobivamo željenu granicu: Primjer 6 Izračunati Rješenje: koristiti granične teoreme odgovor: 11 Primjer 7 Izračunati Rješenje: u ovom primjeru, granice brojnika i nazivnika na su 0: ; Faktoriziramo brojilac i nazivnik kako bismo smanjili razlomak zajedničkim faktorom koji teži nuli i stoga omogućili primjenu teoreme 3. Kvadratni trinom u brojniku proširujemo formulom, gdje su x 1 i x 2 korijeni trinoma. Rastavljanje na faktore i nazivnik, smanjite razlomak za (x-2), a zatim primijenite teoremu 3. odgovor: Primjer 8 Izračunati Rješenje: Za , brojilac i imenilac teže beskonačnosti, pa direktnom primjenom teoreme 3 dobijamo izraz , koji predstavlja nesigurnost. Da biste se riješili ove vrste neizvjesnosti, podijelite brojilac i imenilac s najvećom potencijom argumenta. U ovom primjeru, trebate podijeliti sa X: odgovor: Primjer 9 Izračunati Rješenje: x 3: odgovor: 2 Primjer 10 Izračunati Rješenje: Brojilac i imenilac teže beskonačnosti. Brojilac i imenilac dijelimo najvećom potencijom argumenta, tj. x 5: Brojilac razlomka teži 1, nazivnik 0, tako da razlomak teži beskonačnosti. odgovor: Primjer 11. Izračunati Rješenje: Brojilac i imenilac teže beskonačnosti. Brojilac i imenilac dijelimo najvećom potencijom argumenta, tj. x 7: odgovor: 0 Derivat. Derivat funkcije y = f(x) u odnosu na argument x granica omjera njegovog prirasta y prema inkrementu x argumenta x poziva se kada inkrement argumenta teži nuli: . Ako je ova granica konačna, onda je funkcija y = f(x) naziva se diferencijabilnim u tački x. Ako ova granica postoji, onda kažemo da je funkcija y = f(x) ima beskonačan izvod na x. Derivati osnovnih elementarnih funkcija: 1. (konst)=0 9. 3. 11. 4. 5. 13. 6. Pravila diferencijacije: a) v) Primjer 1 Pronađite izvod funkcije Rješenje: Ako derivaciju drugog člana pronađemo po pravilu diferencijacije razlomka, onda je prvi član kompleksna funkcija, čiji se izvod nalazi po formuli: Gdje onda Prilikom rješavanja korištene su sljedeće formule: 1,2,10, a, c, d. odgovor: Primjer 21. Pronađite izvod funkcije Rješenje: oba pojma su složene funkcije, gdje je za prvi , , i za drugi , , zatim odgovor: Derivatne aplikacije. 1. Brzina i ubrzanje Neka funkcija s(t) opiše pozicija objekat u nekom koordinatnom sistemu u trenutku t. Tada je prvi izvod funkcije s(t) trenutan brzina objekt: 2. Tangentna jednadžba 3. Normalna jednačina gdje su (x0,y0) koordinate tačke u kojoj se crta normala, f′(x0) je vrijednost derivacije funkcije f(x) u datoj tački. 4. Funkcija rastuća i opadajuća 5. Lokalni ekstremi funkcije 6. Kritične tačke 7. Prvi dovoljan znak postojanja ekstremuma Određivanje granice niza
Opća notacija za granicu nizova
Neizvjesnost i izvjesnost granice
Šta je komšiluk?
Teoreme
Sequence Proof
Ili on možda ne postoji?
monotoni niz
Granica konvergentnog i ograničenog niza
Granica monotone sekvence
Razne akcije sa ograničenjima
Svojstva vrijednosti sekvence
.
. Dobili smo, dakle, da se teorema o graničnom kvocijentu ne može primijeniti.
= 
12. 
14. 
v=s′=f′(t)
Drugi izvod funkcije s(t) je trenutni ubrzanje objekt:
w=v′=s′′=f′′(t)
y−y0=f′(x0)(x−x0),
gdje su (x0,y0) koordinate dodirne tačke, f′(x0) je vrijednost derivacije funkcije f(x) u dodirnoj tački.
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
Ako je f′(x0)>0, tada funkcija raste u tački x0. Na slici ispod, funkcija raste na x
Ako je f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
Funkcija f(x) ima lokalni maksimum u tački x1 ako postoji okolina tačke x1 takva da za sve x iz ove okoline vrijedi nejednakost f(x1)≥f(x).
Slično, funkcija f(x) ima lokalni minimum u tački x2 ako postoji susjedstvo tačke x2 takvo da za sve x iz ove okoline vrijedi nejednakost f(x2)≤f(x).
Tačka x0 je kritična tačka funkcija f(x) ako je izvod f′(x0) u njoj jednak nuli ili ne postoji.
Ako je funkcija f(x) rastuća (f′(x)>0) za sve x u nekom intervalu (a,x1] i opadajuća (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) za sve x iz intervala )