UDK 539.52
OGRANIČENO OPTEREĆENJE ZA PUZEĆU GREDU OPREMENU UZDUŽNOM SILOOM, NESIMETRIČNO RASPOREĐENIM OPTEREĆENJEM I POMOĆNIM MOMENTIMA
I.A. Monakhov1, Yu.K. Basov2
Katedra za građevinsku proizvodnju Građevinski fakultet Moskovski državni mašinski univerzitet ul. Pavla Korčagin, 22, Moskva, Rusija, 129626
2 Katedra za građevinske konstrukcije i konstrukcije Fakultet tehničkih nauka Univerzitet prijateljstva naroda Rusije ul. Ordžonikidze, 3, Moskva, Rusija, 115419
U članku je razvijena tehnika rješavanja problema malih ugiba greda izrađenih od idealnog kruto-plastičnog materijala pod djelovanjem asimetrično raspoređenih opterećenja, uzimajući u obzir preliminarnu napetost-kompresiju. Razvijena tehnika se primjenjuje za proučavanje naponsko-deformacijskog stanja jednorasponskih greda, kao i za proračun graničnog opterećenja greda.
Ključne riječi: greda, nelinearnost, analitički.
U savremenom građevinarstvu, brodogradnji, mašinstvu, hemijskoj industriji i drugim granama tehnike najčešće su vrste konstrukcija šipke, a posebno grede. Naravno, da bi se utvrdilo stvarno ponašanje štapnih sistema (posebno greda) i resursa njihove čvrstoće, potrebno je uzeti u obzir plastične deformacije.
Proračun konstruktivnih sistema uzimajući u obzir plastične deformacije po modelu idealnog kruto-plastičnog tijela je s jedne strane najjednostavniji, a s druge strane sasvim prihvatljiv sa stanovišta zahtjeva projektne prakse. Ako se ima u vidu područje malih pomaka konstruktivnih sistema, onda se to objašnjava činjenicom da se nosivost („krajnje opterećenje“) idealnih kruto-plastičnih i elastoplastičnih sistema pokazuje da je ista.
Dodatne rezerve i rigoroznija procjena nosivosti konstrukcija otkrivaju se kao rezultat uzimanja u obzir geometrijske nelinearnosti prilikom njihove deformacije. Trenutno je uzimanje u obzir geometrijske nelinearnosti u proračunima konstruktivnih sistema prioritetan zadatak ne samo sa stanovišta razvoja teorije proračuna, već i sa stanovišta prakse projektovanja konstrukcija. Prihvatljivost rješenja problema na proračunu konstrukcija u uslovima male veličine
pomak je prilično neizvjestan, s druge strane, praktični podaci i svojstva deformabilnih sistema nam omogućavaju da smatramo da su veliki pomaci zaista ostvarivi. Dovoljno je ukazati na strukture građevinskih, hemijskih, brodo- i mašinograditeljskih objekata. Osim toga, model kruto-plastičnog tijela podrazumijeva zanemarivanje elastičnih deformacija, tj. plastične deformacije su daleko bolje od elastičnih. Budući da pomaci odgovaraju deformacijama, primjereno je uzeti u obzir velike pomake kruto-plastičnih sistema.
Međutim, geometrijski nelinearna deformacija konstrukcija u većini slučajeva neminovno dovodi do pojave plastičnih deformacija. Stoga je istovremeno razmatranje plastičnih deformacija i geometrijske nelinearnosti u proračunima strukturnih sistema i, naravno, štapnih sistema od posebnog značaja.
Ovaj članak se bavi malim skretanjima. Slični problemi su riješeni u radovima.
Razmatra se greda sa stegnutim osloncima pod djelovanjem stepenastog opterećenja, rubnih momenata i prethodno primijenjene uzdužne sile (sl. 1).
Rice. 1. Greda pod raspoređenim opterećenjem
Jednadžbe ravnoteže grede za velike otklone u bezdimenzionalnom obliku imaju oblik
d2 t / h d2 w dn
- + (n ± u) - + p = ^ - = 0, dx ax ax
x 2w p12 M N, g,
gdje je x ==, w = -, p = -, m = -, n = -, N i M su unutrašnja normala
I to 5hʺk bj!!bk 25!!bk
sila i moment savijanja, p - ravnomjerno raspoređeno poprečno opterećenje, W - otklon, x - uzdužna koordinata (početak na lijevom osloncu), 2k - visina poprečnog presjeka, b - širina poprečnog presjeka, 21 - raspon grede, 5 ^ - materijal naprezanja tečenja. Ako je zadano N, tada je sila N posljedica djelovanja p at
raspoloživi ugibi, 11 = =, traka iznad slova označava dimenziju vrijednosti.
Razmotrimo prvu fazu deformacije - "mala" otklona. Plastični presjek se pojavljuje na x = x2, u kojem je m = 1 - n2.
Izrazi za stope otklona su oblika - otklon pri x = x2):
(2-x), (x> X2),
Rješenje problema je podijeljeno u dva slučaja: x2< 11 и х2 > 11.
Razmotrimo slučaj x2< 11.
Za zonu 0< х2 < 11 из (1) получаем:
Px 111 1 P11 k1p / 1 t = + k1 p + p / 1 -k1 p / 1 - ± 4- + - ^ 41
x - (1 -n2) ± a,
(, 1, p / 2 k1 p12L
Px2 + k1 p + p11 - k1 p11 - + 1 ^
X2 = k1 +11 - k111 - + ^
Uzimajući u obzir izgled plastične šarke na x = x2, dobijamo:
tx = x = 1 - n2 = - p
(12 k12 A k + / - k1 - ^ + k "A
k, + /, - k, /, -L +
(/ 2 k / 2 A k1 + / 1 - k1 / 1 - ^ + M
Uzimajući u obzir slučaj x2> / 1, dobijamo:
za zonu 0< х < /1 выражение для изгибающих моментов имеет вид
kp-p2 + auto / 1 + p / 1 -k1 p / 1 ^ x- (1-P12) ±
i za zonu 11< х < 2 -
^ p-pTs + 1 ^ A
x - (1 -n-) ± a +
(. pg-k1 p1-L
Kx px2 + kx p +
0, a zatim
I2 12 1 h h x2 = 1 - + -.
Uvjet plastičnosti implicira jednakost
odakle dobijamo izraz za opterećenje:
k1 - 12 + M L2
K1 / 12 - k2 ¡1
Tabela 1
k1 = 0 11 = 0,66
tabela 2
k1 = 0 11 = 1,33
0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44
0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2
Tabela 3
k1 = 0,5 11 = 1,61
0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94
0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45
Tabela 5 k1 = 0,8 11 = 0,94
0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73
0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61
0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59
0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33
Tabela 3
k1 = 0,5 11 = 2,0
0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7
0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89
Tabela 6 k1 = 1 11 = 1,33
0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Tabela 7 Tabela 8
k, = 0,8 /, = 1,65 k, = 0,2 /, = 0,42
0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66
0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38
0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9
0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3
Postavljanjem faktora opterećenja k1 od 0 do 1, momenta savijanja a od -1 do 1, vrijednosti uzdužne sile n1 od 0 do 1, udaljenosti / 1 od 0 do 2, dobijamo položaj plastične šarke prema formulama (3) i (5), a zatim po formulama (4) ili (6) dobijemo vrijednost krajnjeg opterećenja. Numerički rezultati proračuna sumirani su u tabelama 1-8.
LITERATURA
Basov Yu.K., Monakhov I.A. Analitičko rješenje problema velikih progiba kruto-plastične zategnute grede pod djelovanjem lokalno raspoređenog opterećenja, momenata oslonca i uzdužne sile Vestnik RUDN. Engineering Research Series. - 2012. - br. 3. - S. 120-125.
Savchenko L.V., Monakhov I.A. Veliki ugibi fizički nelinearnih okruglih ploča Vestnik INZHEKONA. Serija "Inženjerske nauke". - Problem. 8 (35). - SPb., 2009.-- S. 132-134.
Galileev S.M., Salihova E.A. Istraživanje frekvencija prirodnih vibracija konstrukcijskih elemenata od stakloplastike, karbonskih vlakana i grafena // Vestnik INZHEKONA. Serija "Inženjerske nauke". - Problem. 8. - SPb., 2011. - Str.102.
Erkhov M.I., Monakhov A.I. Veliki ugibi prednapregnute krute plastične grede sa zglobnim osloncima s ravnomjerno raspoređenim opterećenjem i rubnim momentima // Bilten Odjeljenja za građevinske nauke Ruske akademije arhitektonskih i građevinskih nauka. - 1999. - Br. 2. - S. 151-154. ...
MALA PROBIJANJA RANIJE INTENZIVNIH IDEALNIH PLASTIČNIH GREDA SA REGIONALNIM MOMENTIMA
I.A. Monakhov1, U.K. Basov2
„Odsek za proizvodnju građevinske proizvodnje Građevinski fakultet Moskovski državni mašinski univerzitet ul. Pavla Korčagina, 22, Moskva, Rusija, 129626
Katedra za građevinske konstrukcije i objekte Fakulteta naroda "Prijateljstvo" ul. Ordzonikidze, 3, Moskva, Rusija, 115419
U radu je razvijena tehnika rješavanja problema o malim ugibima greda od idealnog tvrdo-plastičnog materijala, sa raznim vrstama pričvršćivanja, zbog nedostatka djelovanja asimetrično raspoređenih opterećenja uz uzimanje u obzir prethodnog rastezanja-stiskanja. Razvijena tehnika se primenjuje za istraživanje deformisanog stanja greda, kao i za proračun progiba greda sa geometrijskom nelinearnošću.
Ključne riječi: greda, analitičnost, nelinearnost.
Izračunati greda za savijanje može se uraditi na nekoliko načina:
1. Proračun maksimalnog opterećenja koje će izdržati
2. Izbor presjeka ove grede
3. Proračun na osnovu maksimalno dozvoljenih naprezanja (za verifikaciju)
hajde da razmotrimo opći princip izbora poprečnog presjeka grede
na dva nosača opterećena ravnomjerno raspoređenim opterećenjem ili koncentriranom silom.
Za početak, morat ćete pronaći tačku (presjek) u kojoj će biti maksimalni trenutak. Zavisi od potpore grede ili njenog ugradnje. Ispod su dijagrami momenata savijanja za najčešće sheme.
Nakon pronalaženja momenta savijanja, moramo pronaći moment otpora Wx ovog presjeka prema formuli datoj u tabeli:
Dalje, kada podijelimo maksimalni moment savijanja sa momentom otpora u datom presjeku, dobivamo maksimalno naprezanje grede i moramo uporediti ovo naprezanje sa naprezanjem koje naša greda napravljena od datog materijala uopće može izdržati.
Za plastične materijale(čelik, aluminijum, itd.) maksimalni napon će biti granica tečenja materijala, a za krhke(liveno gvožde) - krajnja snaga... Granicu tečenja i vlačnu čvrstoću možemo pronaći iz tabela ispod.
Pogledajmo nekoliko primjera:
1. [i] Želite da proverite da li I-greda №10 (čelik St3sp5) dužine 2 metra, čvrsto ugrađena u zid, može da vas izdrži ako okačite za nju. Neka vaša masa bude 90 kg.
Prvo, moramo odabrati shemu dizajna.
Ovaj dijagram pokazuje da će maksimalni moment biti u završetku, a od našeg I-greda ima isti poprečni presek po celoj dužini, tada će maksimalni napon biti u terminaciji. Hajde da ga pronađemo:
P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN
M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m
Prema tabeli asortimana I-greda nalazimo moment otpora I-greda br.10.
To će biti jednako 39,7 cm3. Preračunajmo u kubne metre i dobijemo 0,0000397 m3.
Nadalje, koristeći formulu, nalazimo maksimalne napone koje imamo u gredi.
b = M / Š = 1,8 kN / m / 0,0000397 m3 = 45340 kN / m2 = 45,34 MPa
Nakon što smo pronašli maksimalno naprezanje koje se javlja u gredi, onda ga možemo uporediti sa maksimalnim dopuštenim naprezanjem jednakim granici tečenja čelika St3sp5 - 245 MPa.
45,34 MPa - tako je, tako da će ova I-greda izdržati masu od 90 kg.
2. [i] Pošto imamo prilično veliku zalihu, riješit ćemo drugi problem, u kojem ćemo pronaći maksimalnu moguću masu koju će izdržati ista I-greda br. 10 dužine 2 metra.
Ako želimo pronaći maksimalnu masu, tada vrijednosti granice tečenja i napona koji će se pojaviti u gredi moramo izjednačiti (b = 245 MPa = 245 000 kN * m2).
U praksi se vrlo često javljaju slučajevi zajedničkog rada šipke pri savijanju i pri zatezanju ili kompresiji. Ovakva deformacija može biti uzrokovana ili kombiniranim djelovanjem uzdužnih i poprečnih sila na gredu, ili samo uzdužnim silama.
Prvi slučaj je prikazan na slici 1. Na gredu AB djeluju ravnomjerno raspoređeno opterećenje q i uzdužne tlačne sile P.
Slika 1.
Pretpostavimo da se ugibi grede u poređenju sa dimenzijama poprečnog presjeka mogu zanemariti; tada, sa stepenom tačnosti dovoljnim za praksu, može se pretpostaviti da će nakon deformacije sile P uzrokovati samo aksijalnu kompresiju grede.
Primjenom metode sabiranja djelovanja sila možemo pronaći normalno naprezanje u bilo kojoj točki svakog poprečnog presjeka grede kao algebarski zbir napona uzrokovanih silama P i opterećenjem q.
Naponi na pritisak od sila P ravnomjerno su raspoređeni po površini F poprečnog presjeka i isti su za sve presjeke
normalni naponi od savijanja u vertikalnoj ravni u presjeku sa apscisom x, koji se mjeri, recimo, od lijevog kraja grede, izražavaju se formulom
Dakle, ukupni napon u tački sa koordinatom z (računajući od neutralne ose) za ovaj presjek je
Na slici 2 prikazani su dijagrami raspodjele naprezanja u razmatranom presjeku od sila P, opterećenja q i ukupnog dijagrama.
Najveći napon u ovom dijelu bit će u gornjim vlaknima, gdje oba tipa deformacije uzrokuju kompresiju; u donjim vlaknima može doći do kompresije ili napetosti, ovisno o brojčanim vrijednostima naprezanja i. Da bismo sastavili uslov čvrstoće, nalazimo najveći normalni napon.
sl. 2.
Budući da su naprezanja sila P u svim presjecima ista i ravnomjerno raspoređena, onda će vlakna koja su najopterećenija savijanjem biti opasna. Ovo su ekstremna vlakna u presjeku sa najvećim momentom savijanja; za njih
Dakle, naprezanja u ekstremnim vlaknima 1 i 2 srednjeg presjeka grede izražavaju se formulom
a izračunati napon će biti
Da su sile P zatezne, tada bi se promijenio predznak prvog člana, donja vlakna grede bi bila opasna.
Označavanjem tlačne ili vlačne sile slovom N možemo napisati opću formulu za ispitivanje čvrstoće
Opisani tok proračuna primjenjuje se i kada na gredu djeluju sile nagiba. Takva sila može se razložiti na gredu savijanja, normalnu na os, i uzdužnu, tlačnu ili vlačnu.
kompresija sile savijanja grede
Cijela raznolikost postojećih potpornih uređaja shematizirana je u obliku niza osnovnih tipova nosača, od kojih su
najčešći: artikulisanpodrška(moguće oznake za to su prikazane na slici 1, a), zglobni fiksni oslonac(Sl. 1, b) i teško štipanje, ili raskid(Sl. 1, c).
U zglobno-pokretnom osloncu javlja se jedna reakcija oslonca, okomita na ravan potpore. Takav oslonac lišava referentni presjek jednog stepena slobode, odnosno sprječava pomicanje u smjeru referentne ravnine, ali omogućava kretanje u okomitom smjeru i rotaciju referentnog presjeka.
U zglobno-fiksnom nosaču javljaju se vertikalne i horizontalne reakcije. Ovdje je nemoguće kretati se duž pravca potpornih šipki, ali je dozvoljena rotacija potpornog dijela.
U krutom završetku dolazi do vertikalnih i horizontalnih reakcija i referentnog (reaktivnog) momenta. U tom slučaju se oslonac ne može pomjerati i rotirati.Pri proračunu sistema koji sadrže kruti završetak ne mogu se odrediti nastale reakcije oslonca, pri čemu se odsječeni dio bira tako da završetak sa nepoznatim reakcijama ne pada u njega. Prilikom proračuna sistema na zglobnim ležajevima, reakcije nosača moraju se bez greške odrediti. Statičke jednačine koje se koriste za ovo zavise od tipa sistema (greda, okvir, itd.) i biće date u odgovarajućim odjeljcima ovog priručnika.
2. Ucrtavanje uzdužnih sila Nz
Uzdužna sila u presjeku numerički je jednaka algebarskom zbroju projekcija svih sila primijenjenih na jednu stranu razmatranog presjeka na uzdužnu os šipke.
Pravilo znakova za Nz: slažemo se da uzdužnu silu u presjeku smatramo pozitivnom ako vanjsko opterećenje primijenjeno na razmatrani odsječeni dio šipke uzrokuje napetost i negativno u suprotnom.
Primjer 1.Nacrtajte uzdužne sile za kruto ograničenu gredu(sl. 2).
Procedura obračuna:
1. Ocrtavamo karakteristične dijelove, numerirajući ih od slobodnog kraja šipke do kraja.
2. Odrediti uzdužnu silu Nz u svakom karakterističnom presjeku. U ovom slučaju uvijek uzimamo u obzir odsječeni dio u koji kruti završetak ne pada.
Po pronađenim vrijednostima zacrtavanje Nz. Pozitivne vrijednosti su iscrtane (u odabranoj skali) iznad ose grafikona, negativne vrijednosti - ispod ose.
3. Konstrukcija dijagrama momenta Mkr.
Obrtni moment u presjeku je numerički jednak algebarskom zbiru vanjskih momenata primijenjenih na jednu stranu presjeka koji se razmatra, u odnosu na uzdužnu osu Z.
Pravilo znakova za MKR: dogovorimo se da prebrojimo obrtni moment u presjeku je pozitivan, ako se, gledajući presjek sa strane razmatranog odsječenog dijela, vidi vanjski moment usmjeren suprotno od kazaljke na satu, a negativan - inače.
Primjer 2.Zacrtajte momente za kruto stegnutu šipku(Sl. 3, a).
Procedura izračunavanja.
Treba napomenuti da se algoritam i principi konstruisanja dijagrama momenta potpuno poklapaju sa algoritmom i principima. crtanje uzdužnih sila.
1. Označimo karakteristične dijelove.
2. Odredite zakretni moment u svakom karakterističnom dijelu.
Na osnovu pronađenih vrijednosti gradimo parcela MKR(Sl. 3, b).
4. Pravila za kontrolu dijagrama Nz i Mkr.
Za dijagrami uzdužnih sila a momente karakteriziraju određeni obrasci, čije poznavanje omogućava procjenu ispravnosti izvedenih konstrukcija.
1. Dijagrami Nz i Mkr su uvijek pravolinijski.
2. U području gdje nema raspoređenog opterećenja, dijagram Nz (Mcr) je prava paralelna sa osom, a u području pod raspoređenim opterećenjem - nagnuta prava linija.
3. Pod tačkom primjene koncentrisane sile na dijagramu Nz nužno mora doći do skoka za vrijednost ove sile, slično pod tačkom primjene koncentrisanog momenta na dijagramu Mcr doći će do skoka za vrijednost ovog trenutka.
5. Iscrtavanje posmičnih sila Qy i momenata savijanja Mx u gredama
Šipka za savijanje se zove greda... U presjecima greda opterećenih vertikalnim opterećenjem, u pravilu nastaju dva unutrašnja faktora sile - Qy and savijanje moment Mx.
Poprečna sila u presjeku je numerički jednak algebarskom zbiru projekcija vanjskih sila primijenjenih na jednu stranu razmatranog presjeka na poprečnu (vertikalnu) os.
Pravilo potpisa za Qy: Složimo se da se sila smicanja u presjeku smatra pozitivnom ako vanjsko opterećenje primijenjeno na razmatrani odsječeni dio ima tendenciju da rotira dati presjek u smjeru kazaljke na satu i negativno u suprotnom.
Šematski se ovo pravilo znakova može predstaviti kao
Moment savijanja Mx u presjeku je numerički jednak algebarskom zbiru momenata vanjskih sila primijenjenih na jednu stranu razmatranog presjeka, u odnosu na x-osu koja prolazi kroz dati presjek.
Pravilo znakova za Mx: slažemo se da se moment savijanja u presjeku smatra pozitivnim ako vanjsko opterećenje primijenjeno na razmatrani odsječeni dio dovodi do napetosti u datom presjeku vlakana donje grede i negativnim u suprotnom.
Šematski, ovo pravilo znakova može se predstaviti kao:
Treba napomenuti da kada se koristi pravilo predznaka za Mx kako je naznačeno, Mx dijagram se uvijek crta sa strane vlakana komprimirane grede.
6. Konzolne grede
At crtanje Qy i Mx kod konzolnih ili kruto zaustavljenih greda nema potrebe (kao u prethodno razmatranim primjerima) izračunavati reakcije oslonca koje se javljaju u krutom ugradnji, već se odsječeni dio mora odabrati tako da ugradnja ne upadne u to.
Primjer 3.Zemljište Qy i Mx(sl. 4).
Procedura izračunavanja.
1. Navodimo karakteristične dijelove.
Uzdužno-poprečno savijanje je kombinacija poprečnog savijanja sa kompresijom ili zatezanjem šipke.
Prilikom proračuna za uzdužno-poprečno savijanje, proračun momenata savijanja u poprečnim presjecima šipke provodi se uzimajući u obzir otklone njegove ose.
Razmotrimo gredu sa zglobnim krajevima, opterećenu određenim poprečnim opterećenjem i tlačnom silom 5, koja djeluje duž osi grede (slika 8.13, a). Označimo sa y otklon ose grede u poprečnom presjeku sa apscisom (uzimamo pozitivan smjer y-ose prema dolje, pa se stoga progibi grede smatraju pozitivnim kada su usmjereni prema dolje). Moment savijanja M, koji djeluje u ovoj sekciji,
(23.13)
ovdje moment savijanja od djelovanja poprečnog opterećenja; - dodatni moment savijanja od djelovanja sile
Može se smatrati da se ukupna deformacija y sastoji od otklona koji je rezultat djelovanja samog posmičnog opterećenja i dodatnog otklona jednakog onom uzrokovanom silom.
Ukupni otklon y veći je od zbroja progiba koji nastaju odvojenim djelovanjem poprečnog opterećenja i sile S, budući da su u slučaju samo sile S koja djeluje na gredu, njeni progibi jednaki nuli. Dakle, u slučaju uzdužno-poprečnog savijanja, princip nezavisnosti djelovanja sila je neprimjenjiv.
Kada sila zatezanja S djeluje na gredu (slika 8.13, b), moment savijanja u presjeku sa apscisom
(24.13)
Vlačna sila S dovodi do smanjenja progiba grede, odnosno ukupna progiba y u ovom slučaju su manja od progiba uzrokovanih djelovanjem samo poprečnog opterećenja.
U praksi inženjerskih proračuna, uzdužno-poprečno savijanje obično znači slučaj tlačne sile i poprečnog opterećenja.
Kod krute grede, kada su dodatni momenti savijanja mali u odnosu na moment, otklon y se malo razlikuje od otklona. U tim slučajevima moguće je zanemariti utjecaj sile S na vrijednosti momenata savijanja i otklona grede i izračunati ga za centralnu kompresiju (ili napetost) s poprečnim savijanjem, kao što je opisano u § 2.9.
Kod grede čija je krutost niska, učinak sile S na vrijednosti momenata savijanja i otklona grede može biti vrlo značajan i ne može se zanemariti u proračunu. U tom slučaju gredu treba izračunati za uzdužno-poprečno savijanje, što znači proračun za kombinovano djelovanje savijanja i kompresije (ili zatezanja), koji se provodi uzimajući u obzir utjecaj aksijalnog opterećenja (sile S) na deformaciju savijanje grede.
Razmotrimo tehniku takvog proračuna na primjeru grede zakretno oslonjene na krajevima, opterećene poprečnim silama usmjerenim u jednom smjeru, i tlačnom silom S (slika 9.13).
Zamijenimo u približnu diferencijalnu jednadžbu linije elastičnosti (1.13) izraz za moment savijanja M prema formuli (23.13):
[znak minus ispred desne strane jednačine je uzet jer se, za razliku od formule (1.13), ovdje se smjer prema dolje smatra pozitivnim za otklone], ili
dakle,
Da bismo pojednostavili rješenje, pretpostavljamo da se dodatni otklon mijenja duž dužine grede duž sinusoida, tj.
Ova pretpostavka omogućuje dobivanje prilično točnih rezultata kada se posmično opterećenje primijeni na gredu usmjerenu u jednom smjeru (na primjer, od vrha do dna). U formuli (25.13) zamjenjujemo otklon izrazom
Izraz se poklapa s Eulerovom formulom za kritičnu silu komprimirane šipke sa zglobnim krajevima. Stoga je označena i nazvana Ojlerova sila.
dakle,
Potrebno je razlikovati Ojlerovu silu od kritične sile izračunate po Ojlerovoj formuli. Vrijednost se može izračunati korištenjem Eulerove formule samo ako je fleksibilnost šipke veća od granične; vrijednost se zamjenjuje u formulu (26.13) bez obzira na fleksibilnost grede. Formula za kritičnu silu po pravilu uključuje minimalni moment inercije poprečnog presjeka šipke, a izraz za Eulerovu silu uključuje moment inercije u odnosu na glavne osi inercije presjeka. , koja je okomita na ravninu djelovanja poprečnog opterećenja.
Iz formule (26.13) proizlazi da odnos između ukupnih progiba grede y i progiba uzrokovanih djelovanjem samo poprečnog opterećenja ovisi o omjeru (veličina tlačne sile 5 prema veličini Eulerove sile ).
Dakle, omjer je kriterij za krutost grede tijekom uzdužno-poprečnog savijanja; ako je ovaj omjer blizu nule, tada je krutost grede velika, a ako je blizu jedinice, onda je krutost grede niska, odnosno greda je fleksibilna.
U slučaju kada je otklon, odnosno u odsustvu sile S, progibi su uzrokovani samo djelovanjem poprečnog opterećenja.
Kada se vrijednost tlačne sile S približi vrijednosti Eulerove sile, ukupni otkloni grede naglo se povećavaju i mogu višestruko premašiti progibe uzrokovane samo djelovanjem posmičnog opterećenja. U graničnom slučaju at, progibi y, izračunati po formuli (26.13), postaju jednaki beskonačnosti.
Treba napomenuti da formula (26.13) nije primjenjiva za vrlo velike progibe grede, jer se zasniva na približnom izrazu za zakrivljenost. Ovaj izraz je primjenjiv samo za male ugibe, a za velike ugibe mora se zamijeniti istim izraz za zakrivljenost (65.7). U ovom slučaju, otklon y at ne bi bio jednak beskonačnosti, već bi bio, iako vrlo veliki, ali konačan.
Kada na gredu djeluje vlačna sila, formula (26.13) poprima oblik.
Iz ove formule proizlazi da su ukupni progibi manji od progiba uzrokovanih djelovanjem samo posmičnog opterećenja. Sa vlačnom silom S, brojčano jednakom vrijednosti Eulerove sile (tj. at), otklon y je polovina otklona
Najveći i najmanji normalni naponi u poprečnom presjeku grede sa zglobnim krajevima pri uzdužno-poprečnom savijanju i tlačna sila S jednaki su
Razmislite o dvonosnoj I-gredi s rasponom. Greda je u sredini opterećena vertikalnom silom P i sabijena aksijalnom silom S = 600 (slika 10.13). Površina poprečnog presjeka grede - moment inercije, moment otpora i modul elastičnosti
Poprečne spone koje povezuju ovu gredu sa susednim konstrukcijskim gredama isključuju mogućnost izvijanja grede u horizontalnoj ravni (tj. u ravni najmanje krutosti).
Moment savijanja i otklon u sredini grede, izračunati bez uzimanja u obzir utjecaja sile S, jednaki su:
Ojlerova sila se određuje iz izraza
Progib u sredini grede, izračunat uzimajući u obzir uticaj sile S na osnovu formule (26.13),
Odredimo najveća normalna (tlačna) naprezanja u srednjem poprečnom presjeku grede pomoću formule (28.13):
odakle nakon transformacije
Zamjenom u izrazu (29.13) različite vrijednosti R (v), dobijamo odgovarajuće vrijednosti napona. Grafički, odnos između određen izrazom (29.13) karakterizira krivulja prikazana na Sl. 11.13.
Odredimo dozvoljeno opterećenje P, ako je za materijal grede potreban faktor sigurnosti, dakle, dozvoljeno naprezanje za materijal
Od sl. 11.23 proizlazi da napon nastaje u gredi pod opterećenjem, a napon - pod opterećenjem
Ako se opterećenje uzme kao dozvoljeno, tada će faktor sigurnosti naprezanja biti jednak navedenoj vrijednosti. Međutim, u ovom slučaju, greda će imati neznatan faktor sigurnosti opterećenja, jer će naprezanja jednaka od nastati u njoj već pri Rot
Zbog toga će faktor sigurnosti opterećenja u ovom slučaju biti jednak 1,06 (pošto je e očito nedovoljno.
Da bi greda imala faktor sigurnosti jednak 1,5 za opterećenje, vrijednost treba uzeti kao dozvoljenu vrijednost, dok će naprezanja u gredi biti, kao što slijedi sa Sl. 11.13, približno jednako
Iznad je izvršen proračun čvrstoće prema dopuštenim naprezanjima. To je osiguralo potrebnu marginu sigurnosti ne samo u smislu naprezanja, već iu smislu opterećenja, budući da su u gotovo svim slučajevima razmatranim u prethodnim poglavljima naponi direktno proporcionalni veličinama opterećenja.
Kod uzdužno-poprečnog savijanja, naponi, kao što slijedi sa Sl. 11.13 nisu direktno proporcionalne opterećenju, već se mijenjaju brže od opterećenja (u slučaju tlačne sile S). S tim u vezi, čak i neznatno slučajno povećanje opterećenja u odnosu na izračunato može uzrokovati vrlo veliko povećanje naprezanja i uništenje konstrukcije. Stoga se proračun stisnuto savijenih šipki za uzdužno-poprečno savijanje treba izvoditi ne prema dopuštenim naprezanjima, već prema dopuštenom opterećenju.
Analogno formuli (28.13) sastavimo uvjet čvrstoće pri proračunu za uzdužno-poprečno savijanje prema dopuštenom opterećenju.
Komprimovano-savijene šipke, osim proračuna za uzdužno-poprečno savijanje, moraju se izračunati i za stabilnost.
