U slučaju proračuna okrugle šipke pod djelovanjem savijanja i torzije (slika 34.3), potrebno je uzeti u obzir normalna i posmična naprezanja, budući da se maksimalne vrijednosti naprezanja u oba slučaja javljaju na površini. Proračun treba izvršiti prema teoriji čvrstoće, zamjenjujući složeno naponsko stanje jednako opasnim jednostavnim.

Maksimalni torzijski napon u presjeku

Maksimalni napon savijanja u presjeku

Prema jednoj od teorija čvrstoće, ovisno o materijalu grede, izračunava se ekvivalentni napon za opasan presjek i ispituje se čvrstoća grede korištenjem dopuštenog naprezanja savijanja za materijal grede.

Za okruglu gredu, momenti modula presjeka su sljedeći:

Prilikom proračuna prema trećoj teoriji čvrstoće, teoriji maksimalnih posmičnih napona, ekvivalentni napon se izračunava po formuli

Teorija je primjenjiva na plastične materijale.

Prilikom izračunavanja prema teoriji energije formiranja, ekvivalentni napon se izračunava po formuli

Teorija je primjenjiva na duktilne i lomljive materijale.

teorija maksimalnih posmičnih napona:

Ekvivalentni napon kada se računa prema teorije energije promjene oblika:

gdje je ekvivalentni trenutak.

Stanje snage

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Za dato stanje naprezanja (slika 34.4), koristeći hipotezu o maksimalnim posmičnim naponima, izračunajte faktor sigurnosti ako je σ T = 360 N / mm 2.

1. Šta karakteriše i kako je prikazano naponsko stanje u nekoj tački?

2. Koje lokacije i koji naponi se nazivaju glavnim?

3. Navedite vrste stresnih stanja.

4. Šta karakteriše deformisano stanje u tački?

5. U kojim slučajevima se javljaju granična napona u duktilnim i krhkim materijalima?

6. Koliki je ekvivalentni napon?

7. Objasnite svrhu teorija čvrstoće.

8. Napisati formule za izračunavanje ekvivalentnih napona u proračunima prema teoriji maksimalnih posmičnih napona i teoriji energije deformacije. Objasnite kako ih koristiti.

PREDAVANJE 35

Tema 2.7. Proračun grede kružnog poprečnog presjeka sa kombinacijom osnovnih deformacija

Poznavati formule za ekvivalentna naprezanja prema hipotezama najvećih tangencijalnih napona i energije deformacije.

Da biste mogli izračunati šipku kružnog poprečnog presjeka za čvrstoću s kombinacijom osnovnih deformacija.

Formule za izračunavanje ekvivalentnih napona

Ekvivalentno naprezanje prema hipotezi maksimalnih posmičnih napona

Ekvivalentno naprezanje prema hipotezi energije deformacije

Stanje čvrstoće pod kombiniranim djelovanjem savijanja i torzije

gdje M EQ je ekvivalentni trenutak.

Ekvivalentni moment prema hipotezi maksimalnih posmičnih napona

Ekvivalentni moment prema hipotezi energije promjene oblika

Karakteristike proračuna osovina

Većina osovina doživljava kombinaciju deformacija savijanja i torzije. Osovine su obično ravne šipke okruglog ili prstenastog presjeka. Pri proračunu osovina ne uzimaju se u obzir posmična naprezanja od djelovanja poprečnih sila zbog njihove neznatnosti.

Proračuni se vrše za opasne poprečne presjeke. Pri prostornom opterećenju osovine koristi se hipoteza o neovisnosti djelovanja sila i razmatraju se momenti savijanja u dvije međusobno okomite ravnine, a ukupni moment savijanja je određen geometrijskim zbrajanjem.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 U opasnom poprečnom preseku okrugle šipke nastaju unutrašnji faktori sile (Sl. 35.1) M x; M y; M z .

M x i M y- momenti savijanja u ravnima uoh i zOx respektivno; Mz- obrtni moment. Provjerite čvrstoću prema hipotezi najvećeg posmičnog naprezanja, ako je [ σ ] = 120 MPa. Početni podaci: M x= 0,9 kN m; M y = 0,8 kN m; Mz = 2,2 kN*m; d= 60 mm.

Odluka

Dijagrame normalnih napona gradimo od djelovanja momenata savijanja u odnosu na osi Oh i OU i dijagram posmičnih napona od torzije (slika 35.2).

Maksimalni posmični napon javlja se na površini. Maksimalna normalna naprezanja od trenutka M x nastaju u tački ALI, maksimalna normalna naprezanja od trenutka M y u tački AT. Normalni naponi se zbrajaju jer se momenti savijanja u međusobno okomitim ravninama geometrijski zbrajaju.

Ukupni moment savijanja:

Ekvivalentni moment izračunavamo prema teoriji maksimalnih posmičnih napona:

Stanje snage:

Modul presjeka: W oce in oe = 0,1 60 3 = 21600 mm 3.

Provjera snage:

Trajnost je zagarantovana.

Primjer 2 Izračunajte potrebni prečnik osovine iz stanja čvrstoće. Na osovini su postavljena dva točka. Na točkove deluju dve obimne sile F t 1 = 1.2kN; F t 2= 2kN i dvije radijalne sile u vertikalnoj ravni F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (sl. 35.3). Prečnici točkova su respektivno jednaki d1= 0,1m; d2= 0,06 m.

Prihvati za materijal osovine [ σ ] = 50 MPa.

Proračun se vrši prema hipotezi maksimalnih posmičnih napona. Zanemarite težinu osovine i točkova.

Odluka

Uputstvo. Koristimo princip neovisnosti djelovanja sila, izrađujemo sheme dizajna osovine u vertikalnoj i horizontalnoj ravnini. Reakcije u osloncima u horizontalnoj i vertikalnoj ravnini određujemo odvojeno. Gradimo dijagrame momenata savijanja (slika 35.4). Pod dejstvom obimnih sila, osovina se uvija. Odredite moment koji djeluje na osovinu.

Napravimo proračunsku šemu osovine (slika 35.4).

1. Obrtni moment osovine:

2. Savijanje razmatramo u dvije ravni: horizontalnoj (pl. H) i vertikalnoj (pl. V).

U horizontalnoj ravnini određujemo reakcije u nosaču:

With i AT:

U vertikalnoj ravni određujemo reakcije u nosaču:

Odredite momente savijanja u tačkama C i B:

Ukupni momenti savijanja u tačkama C i B:

U tački AT maksimalni moment savijanja, ovdje djeluje i obrtni moment.

Proračun promjera osovine vrši se prema najopterećenijem presjeku.

3. Ekvivalentni trenutak u tački AT prema trećoj teoriji snage

4. Prečnik osovine kružnog presjeka odredite iz uslova čvrstoće

Dobivenu vrijednost zaokružujemo: d= 36 mm.

Bilješka. Prilikom odabira prečnika osovine koristite standardni raspon prečnika (Dodatak 2).

5. Određujemo potrebne dimenzije osovine s prstenastim presjekom na c \u003d 0,8, gdje je d vanjski promjer osovine.

Promjer prstenaste osovine može se odrediti formulom

Prihvati d= 42 mm.

Opterećenje je malo. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.

Zaokružite na vrijednost dBH= 33 mm.

6. Uporedimo troškove metala po površini poprečnog presjeka osovine u oba slučaja.

Površina poprečnog presjeka pune osovine

Površina poprečnog presjeka šuplje osovine

Površina poprečnog presjeka čvrste osovine je skoro dvostruko veća od prstenastog vratila:

Primjer 3. Odredite dimenzije poprečnog presjeka osovine (sl. 2.70, a) upravljački pogon. Sila povlačenja pedale P3, sile koje prenosi mehanizam P 1, R 2, R 4. Materijal osovine - StZ čelik sa granom tečenja σ t = 240 N/mm 2 , potrebnim faktorom sigurnosti [ n] = 2.5. Proračun se vrši prema hipotezi energije promjene oblika.

Odluka

Razmotrite ravnotežu osovine, nakon dovođenja sila R 1, R 2, R 3, R 4 do tačaka na svojoj osi.

Prebacivanje snaga R 1 paralelno sa sobom u tačke To i E, potrebno je sabrati parove sila sa momentima jednakim momentima sila R 1 u odnosu na bodove To i E, tj.

Ovi parovi sila (momenti) su konvencionalno prikazani na Sl. 2.70 , b u obliku lučnih linija sa strelicama. Slično, pri prenošenju snaga R 2, R 3, R 4 do bodova K, E, L, H morate dodati par sila sa momentima

Ležajevi vratila prikazani na sl. 2.70, a, treba smatrati prostornim zglobnim osloncima koji sprječavaju kretanje u smjeru osi X i at(odabrani koordinatni sistem je prikazan na slici 2.70, b).

Koristeći shemu proračuna prikazanu na Sl. 2.70 in, sastavljamo jednadžbe ravnoteže:

otuda i reakcije podrške NA i H B tačno definisano.

Torque Plots Mz i momenti savijanja M y predstavljeni su na sl. 2.70 G. Odsječak lijevo od tačke L je opasan.

Uslov snage ima oblik:

gdje je ekvivalentni moment prema hipotezi energije promjene oblika

Potreban vanjski prečnik osovine

Prihvaćamo d = 45 mm, zatim d 0 = 0,8 * 45 = 36 mm.

Primjer 4 Provjerite čvrstoću međuvratila (slika 2.71) cilindričnog zupčanika, ako vratilo prenosi snagu N= 12,2 kW pri brzini P= 355 o/min. Osovina je izrađena od čelika St5 sa granom tečenja σ t \u003d 280 N / mm 2. Potreban sigurnosni faktor [ n] = 4. Prilikom proračuna primijeniti hipotezu o najvećim posmičnim naponima.

Uputstvo. District Efforts R 1 i R 2 leže u vodoravnoj ravnini i usmjereni su duž tangenta na krugove zupčanika. Radijalne sile T1 i T 2 leže u okomitoj ravni i izražavaju se kao odgovarajuća obimna sila na sljedeći način: T = 0,364R.

Odluka

Na sl. 2.71, a prikazan je šematski crtež osovine; na sl. 2.71, b prikazuje dijagram osovine i sile koje nastaju u zupčaniku.

Odredite trenutak koji prenosi osovina:

Očigledno, m = m 1 = m 2(momenti uvrtanja primijenjeni na osovinu, sa ravnomjernom rotacijom, jednaki su po veličini i suprotni u smjeru).

Odrediti sile koje djeluju na zupčanike.

Napori Distrikta:

Radijalne sile:

Razmotrite ravnotežu osovine AB, pred-dovođenje snaga R 1 i R 2 na tačke koje leže na osi osovine.

Prenos snage R 1 paralelno sa sobom do tačke L, potrebno je dodati par sila sa momentom jednakim momentu sile R 1 u odnosu na tačku L, tj.

Ovaj par sila (momenta) je konvencionalno prikazan na Sl. 2.71, in u obliku lučne linije sa strelicom. Slično, pri prijenosu sile R 2 upravo To potrebno je dodati (dodati) par sila sa momentom

Ležajevi vratila prikazani na sl. 2.71, a, treba smatrati prostornim zglobnim osloncima koji sprječavaju linearne pomake u smjerovima osi X i at(odabrani koordinatni sistem je prikazan na slici 2.71, b).

Koristeći shemu proračuna prikazanu na Sl. 2.71, G, sastavljamo jednadžbe ravnoteže za osovinu u vertikalnoj ravni:

Napravimo probnu jednačinu:

stoga su reakcije oslonca u vertikalnoj ravni određene ispravno.

Razmotrite ravnotežu osovine u horizontalnoj ravnini:

Napravimo probnu jednačinu:

stoga su reakcije potpore u horizontalnoj ravni određene ispravno.

Torque Plots Mz i momenti savijanja M x i M y predstavljeni su na sl. 2.71, d.

Opasna je sekcija To(vidi sliku 2.71, G,d). Ekvivalentni moment prema hipotezi najvećih posmičnih napona

Ekvivalentno naprezanje prema hipotezi najvećeg posmičnog naprezanja za opasnu točku osovine

faktor sigurnosti

što je mnogo više [ n] = 4, dakle, čvrstoća osovine je osigurana.

Prilikom proračuna osovine za čvrstoću nije uzeta u obzir promjena naprezanja tokom vremena, zbog čega je dobiven tako značajan faktor sigurnosti.

Primjer 5 Odredite dimenzije poprečnog presjeka grede (sl. 2.72, a). Materijal grede je čelik 30XGS sa uslovnim granicama popuštanja pri zatezanju i pritisku σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Faktor sigurnosti [ n] = 1,6.

Odluka

Šipka radi na kombinovano dejstvo napetosti (kompresije) i torzije. Pod takvim opterećenjem u poprečnim presjecima nastaju dva interna faktora sile: uzdužna sila i moment.

Dijagrami uzdužnih sila N i obrtni moment Mz prikazano na sl. 2.72 b, c. U tom slučaju odredite položaj opasnog dijela prema dijagramima N i Mz nemoguće, jer su dimenzije poprečnih presjeka presjeka grede različite. Za određivanje položaja opasnog presjeka treba nacrtati grafikone normalnih i maksimalnih posmičnih naprezanja duž dužine grede.

Prema formuli

izračunavamo normalne napone u poprečnim presjecima grede i gradimo dijagram o (sl. 2.72, G).

Prema formuli

izračunavamo maksimalne posmične napone u poprečnim presjecima grede i crtamo dijagram t max(pirinač* 2,72, e).

Vjerovatno su opasne konturne točke poprečnih presjeka presjeka AB i CD(vidi sliku 2.72, a).

Na sl. 2.72 e prikazane su parcele σ i τ za presjeke AB.

Podsjetimo da su u ovom slučaju (greda okruglog presjeka radi na kombinirano djelovanje napetosti - kompresije i torzije), sve točke konture poprečnog presjeka jednako su opasne.

Na sl. 2.72 dobro

Na sl. 2.72 h grafikoni a i t su prikazani za poprečne presjeke presjeka CD.

Na sl. 2.72 i prikazana su naprezanja na početnim jastučićima na opasnoj tački.

Glavni naponi na opasnoj tački lokacije CD:

Prema Mohrovoj hipotezi čvrstoće, ekvivalentni napon za opasnu tačku presjeka koji se razmatra je

Ispostavilo se da su konturne točke poprečnih presjeka presjeka AB opasne.

Uslov snage ima oblik:

Primjer 2.76. Odredite dozvoljenu vrijednost sile R od stanja čvrstoće štapa sunce(Sl. 2.73) Materijal štapa je liveno gvožđe sa vlačnom čvrstoćom σ vr = 150 N / mm 2 i čvrstoćom na pritisak σ sun = 450 N / mm 2. Potreban sigurnosni faktor [ n] = 5.

Uputstvo. Polomljeno drvo ABC nalazi u horizontalnoj ravni, a štap AB okomito na Ned. Snage R, 2R, 8R leže u vertikalnoj ravni; snagu 0,5 R, 1,6 R- horizontalno i okomito na štap sunce; snagu 10R, 16R poklapaju se sa osom štapa sunce; par sila sa momentom m = 25Pd nalazi se u vertikalnoj ravni okomitoj na osu štapa Ned.

Odluka

Hajde da donesemo snagu R i 0,5P na težište poprečnog presjeka B.

Prenoseći silu P paralelno sa sobom u tačku B, moramo dodati par sila sa momentom jednakim momentu sile R u odnosu na tačku AT, tj. par sa momentom m 1 = 10 Pd.

Snaga 0.5R kreće duž svoje linije djelovanja do tačke B.

Opterećenja koja djeluju na štap sunce, prikazano na sl. 2.74 a.

Izrađujemo dijagrame unutrašnjih faktora sile za štap Ned. Pod navedenim opterećenjem štapa u njegovim poprečnim presjecima nastaje ih šest: uzdužna sila N, poprečne sile Qx i qy, obrtni moment mz momenti savijanja Mx i Mu.

Parcele N, Mz, Mx, Mu predstavljeni su na sl. 2.74 b(ordinate dijagrama su izražene u terminima R i d).

Parcele Qy i Qx ne gradimo, jer su posmični naponi koji odgovaraju poprečnim silama mali.

U primjeru koji se razmatra, položaj opasnog odsječka nije očigledan. Pretpostavlja se da su sekcije K opasne (kraj sekcije I) i S.

Glavni naponi u tački L:

Prema Mohrovoj hipotezi čvrstoće, ekvivalentni napon za tačku L

Odredimo veličinu i ravan djelovanja momenta savijanja Mi u presjeku C, posebno prikazanom na sl. 2.74 d. Na istoj slici prikazani su dijagrami σ I, σ N , τ za odjeljak C.

Naponi na početnim mjestima u tački H(Sl. 2.74, e)

Glavni naglasci u jednom trenutku H:

Prema Mohrovoj hipotezi o čvrstoći, ekvivalentni napon za tačku H

Naponi na početnim mjestima u tački E (slika 2.74, g):

Glavni naponi u tački E:

Prema Mohrovoj hipotezi čvrstoće, ekvivalentni napon za tačku E

Opasna tačka L za koji

Uslov snage ima oblik:

Kontrolna pitanja i zadaci

1. Koje naponsko stanje nastaje u poprečnom presjeku osovine pod kombiniranim djelovanjem savijanja i torzije?

2. Napišite uvjet čvrstoće za izračunavanje osovine.

3. Napišite formule za izračunavanje ekvivalentnog momenta pri izračunavanju hipoteze maksimalnog posmičnog naprezanja i hipoteze energije deformacije.

4. Kako se bira opasna dionica pri proračunu okna?

Maksimalni torzijski napon u presjeku

Maksimalni napon savijanja u presjeku

Za okruglu gredu, momenti modula presjeka su sljedeći:

Prilikom proračuna prema trećoj teoriji čvrstoće, teoriji maksimalnih posmičnih napona, ekvivalentni napon se izračunava po formuli

Teorija je primjenjiva na plastične materijale.

Prilikom izračunavanja prema teoriji energije formiranja, ekvivalentni napon se izračunava po formuli

Teorija je primjenjiva na duktilne i lomljive materijale.

teorija maksimalnih posmičnih napona:

Ekvivalentni napon kada se računa prema teorije energije promjene oblika:

gdje je ekvivalentni trenutak.

Stanje snage

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Za dato stanje naprezanja (slika 34.4), koristeći hipotezu o maksimalnim posmičnim naponima, izračunajte faktor sigurnosti ako je σ T = 360 N / mm 2.

Kontrolna pitanja i zadaci

1. Šta karakteriše i kako je prikazano naponsko stanje u nekoj tački?

2. Koje lokacije i koji naponi se nazivaju glavnim?

3. Navedite vrste stresnih stanja.

4. Šta karakteriše deformisano stanje u tački?

5. U kojim slučajevima se javljaju granična napona u duktilnim i krhkim materijalima?

6. Koliki je ekvivalentni napon?

7. Objasnite svrhu teorija čvrstoće.

8. Napisati formule za izračunavanje ekvivalentnih napona u proračunima prema teoriji maksimalnih posmičnih napona i teoriji energije deformacije. Objasnite kako ih koristiti.

PREDAVANJE 35

Tema 2.7. Proračun grede kružnog poprečnog presjeka sa kombinacijom osnovnih deformacija

Poznavati formule za ekvivalentna naprezanja prema hipotezama najvećih tangencijalnih napona i energije deformacije.

Da biste mogli izračunati šipku kružnog poprečnog presjeka za čvrstoću s kombinacijom osnovnih deformacija.

Prostorna (složena) krivina

Prostorno savijanje je takva vrsta složenog otpora, u kojoj samo momenti savijanja djeluju u poprečnom presjeku grede. Ukupni moment savijanja ne djeluje ni u jednoj od glavnih ravnina inercije. Ne postoji uzdužna sila. Trodimenzionalna ili složena krivina se često naziva neplanarnom krivinom, budući da savijena os šipke nije ravna krivulja. Takvo savijanje je uzrokovano silama koje djeluju u različitim ravninama okomitim na os grede (slika 1.2.1).

Sl.1.2.1

Prateći gore opisanu proceduru rješavanja problema sa kompleksnim otporom, dekomponiramo prostorni sistem sila prikazan na Sl. 1.2.1 na dva tako da svaki od njih djeluje u jednoj od glavnih ravnina. Kao rezultat, dobivamo dva ravna poprečna zavoja - u vertikalnoj i horizontalnoj ravnini. Od četiri interna faktora sile koji nastaju u poprečnom presjeku grede, uzet ćemo u obzir utjecaj samo momenata savijanja. Gradimo dijagrame uzrokovane silama, respektivno (slika 1.2.1).

Analizirajući dijagrame momenata savijanja, dolazimo do zaključka da je presjek A opasan, jer se u tom presjeku javljaju najveći momenti savijanja u. Sada je potrebno uspostaviti opasne tačke sekcije A. Da bismo to uradili, konstruisaćemo nultu liniju. Jednačina nulte linije, uzimajući u obzir pravilo predznaka za članove uključene u ovu jednačinu, ima oblik:

Ovdje je znak “” usvojen u blizini drugog člana jednačine, jer će naponi u prvoj četvrtini, uzrokovani momentom, biti negativni.

Odredimo ugao nagiba nulte linije sa pozitivnim smjerom ose (slika 12.6):

Rice. 1.2.2

Iz jednačine (8) proizlazi da je nulta linija u slučaju prostornog savijanja prava i prolazi kroz težište presjeka.

Od sl. 1.2.2 može se vidjeti da će se najveća naprezanja pojaviti u tačkama presjeka br. 2 i br. 4 koje su najudaljenije od nulte linije. Po veličini, normalni naponi u ovim tačkama će biti isti, ali se razlikuju po predznaku: u tački br. 4 naponi će biti pozitivni, tj. istezanje, u tački br. 2 - negativno, tj. kompresivan. Znakovi ovih naprezanja utvrđeni su fizičkim razmatranjima.

Sada kada su opasne točke postavljene, izračunavamo maksimalna naprezanja u presjeku A i provjeravamo čvrstoću grede koristeći izraz:

Uvjet čvrstoće (10) omogućava ne samo provjeru čvrstoće grede, već i odabir dimenzija njenog poprečnog presjeka, ako je dat omjer strana poprečnog presjeka.

Prostorna krivina naziva se ova vrsta složenog otpora u kojoj samo momenti savijanja djeluju u poprečnom presjeku grede i
. Ukupni moment savijanja ne djeluje ni u jednoj od glavnih ravnina inercije. Ne postoji uzdužna sila. Prostorno ili složeno savijanje se često naziva neplanarna krivina, budući da savijena os štapa nije ravna kriva. Takvo savijanje je uzrokovano silama koje djeluju u različitim ravninama okomitim na os grede (slika 12.4).

Prateći proceduru rješavanja problema sa kompleksnim otporom, opisanu gore, dekomponiramo prostorni sistem sila prikazan na Sl. 12.4, na dva takva da svaki od njih djeluje u jednoj od glavnih ravnina. Kao rezultat, dobivamo dva ravna poprečna zavoja - u vertikalnoj i horizontalnoj ravnini. Od četiri unutrašnja faktora sile koji nastaju u poprečnom presjeku grede
, uzećemo u obzir uticaj samo momenata savijanja
. Gradimo dijagrame
, uzrokovane silama
(Sl.12.4).

Analizirajući dijagrame momenata savijanja, dolazimo do zaključka da je presjek A opasan, jer se upravo u tom presjeku javljaju najveći momenti savijanja.
i
. Sada je potrebno uspostaviti opasne tačke sekcije A. Da bismo to uradili, konstruisaćemo nultu liniju. Jednačina nulte linije, uzimajući u obzir pravilo predznaka za članove uključene u ovu jednačinu, ima oblik:

. (12.7)

Ovdje je znak “” usvojen u blizini drugog člana jednačine, budući da su naponi u prvoj četvrtini uzrokovani momentom
, biće negativan.

Odrediti ugao nagiba nulte linije sa pozitivnim smjerom ose (Sl.12.6):

. (12.8)

Iz jednadžbe (12.7) slijedi da je nulta linija pri prostornom savijanju prava i prolazi kroz težište presjeka.

Sa slike 12.5 može se vidjeti da će se najveća naprezanja pojaviti u tačkama presjeka br. 2 i br. 4 koje su najudaljenije od nulte linije. Po veličini, normalni naponi u ovim tačkama će biti isti, ali se razlikuju po predznaku: u tački br. 4 naponi će biti pozitivni, tj. istezanje, u tački br. 2 - negativno, tj. kompresivan. Znakovi ovih naprezanja utvrđeni su fizičkim razmatranjima.

Sada kada su opasne točke postavljene, izračunavamo maksimalna naprezanja u presjeku A i provjeravamo čvrstoću grede koristeći izraz:

. (12.9)

Uvjet čvrstoće (12.9) omogućava ne samo provjeru čvrstoće grede, već i odabir dimenzija njenog poprečnog presjeka, ako je dat omjer strana poprečnog presjeka.

12.4. kosi zavoj

Kosi Ova vrsta kompleksnog otpora se naziva, u kojoj se samo momenti savijanja javljaju u poprečnim presjecima grede
i
, ali za razliku od prostornog savijanja, sve sile primijenjene na gredu djeluju u jednoj (snaga) ravni koja se ne poklapa ni sa jednom od glavnih ravnina inercije. Ova vrsta savijanja najčešće se susreće u praksi, pa ćemo je detaljnije proučiti.

Zamislite konzolnu gredu opterećenu silom , kao što je prikazano na slici 12.6, i napravljeno od izotropnog materijala.

Kao i kod prostornog savijanja, kod kosog savijanja ne postoji uzdužna sila. Zanemarit će se utjecaj poprečnih sila u proračunu čvrstoće grede.

Shema dizajna grede prikazana na slici 12.6 prikazana je na slici 12.7.

Hajde da razgradimo silu do vertikale i horizontalno komponente i od svake od ovih komponenti konstruišemo dijagrame momenata savijanja
i
.

Izračunajmo komponente ukupnog momenta savijanja u presjeku :

;
.

Ukupni moment savijanja u presjeku jednaki

Dakle, komponente ukupnog momenta savijanja mogu se izraziti u terminima ukupnog momenta na sljedeći način:

;
. (12.10)

Iz izraza (12.10) se vidi da kod kosog savijanja nema potrebe za razlaganjem sistema vanjskih sila na komponente, jer su te komponente ukupnog momenta savijanja međusobno povezane pomoću ugla nagiba traga force plane . Kao rezultat toga, nema potrebe za izradom dijagrama komponenti
i
ukupni moment savijanja. Dovoljno je nacrtati ukupni moment savijanja
u ravni sila, a zatim pomoću izraza (12.10) odredimo komponente ukupnog momenta savijanja u bilo kojem presjeku grede koji nas zanima. Dobiveni zaključak značajno pojednostavljuje rješavanje problema sa kosim savijanjem.

Vrijednosti komponenti ukupnog momenta savijanja (12.10) zamjenjujemo u formulu za normalna naprezanja (12.2) pri
. Dobijamo:

. (12.11)

Ovdje se znak „” u blizini ukupnog momenta savijanja stavlja posebno kako bi se automatski dobio ispravan predznak normalnog naprezanja u razmatranoj tački poprečnog presjeka. Ukupni moment savijanja
i koordinate tačke i uzimaju se sa svojim predznacima, pod uslovom da su u prvom kvadrantu predznaci koordinata tačke uzeti pozitivni.

Formula (12.11) je dobivena razmatranjem posebnog slučaja kosog savijanja grede priklještene na jednom kraju, a opterećena na drugom koncentriranom silom. Međutim, ova formula je opća formula za izračunavanje napona savijanja.

Opasni presjek, kao iu slučaju prostornog savijanja u razmatranom slučaju (Sl. 12.6), bit će presjek A, jer se u ovom presjeku javlja najveći ukupni moment savijanja. Opasne tačke preseka A određuju se konstruisanjem nulte linije. Jednačinu nulte linije dobijamo izračunavanjem, koristeći formulu (12.11), normalnih napona u tački sa koordinatama i koji pripadaju nultoj liniji i izjednačiti pronađene napone sa nulom. Nakon jednostavnih transformacija dobijamo:

(12.12)

. (12.13)

Evo - ugao nagiba nulte linije prema osi (Sl.12.8).

Ispitivanjem jednačina (12.12) i (12.13) možemo izvući neke zaključke o ponašanju nulte linije pri kosom savijanju:

Iz slike 12.8 slijedi da se najveća naprezanja javljaju u tačkama presjeka koje su najudaljenije od nulte linije. U predmetu koji se razmatra, takve tačke su tačke br. 1 i br. 3. Dakle, za koso savijanje, uvjet čvrstoće ima oblik:

. (12.14)

ovdje:
;
.

Ako se modul presjeka u odnosu na glavne osi inercije može izraziti kroz dimenzije presjeka, zgodno je koristiti uvjet čvrstoće u sljedećem obliku:

. (12.15)

Prilikom odabira presjeka, jedan od aksijalnih momenata otpora se izvlači iz zagrade i daje se omjerom . Znajući
,
i ugao , uzastopnim pokušajima odrediti vrijednosti
i , zadovoljavajući uslov čvrstoće

. (12.16)

Za asimetrične presjeke koji nemaju izbočene uglove koristi se uvjet čvrstoće u obliku (12.14). U tom slučaju, sa svakim novim pokušajem odabira sekcije, prvo morate ponovo pronaći poziciju nulte linije i koordinate najudaljenije tačke (
). Za pravougaoni presjek
. S obzirom na odnos, iz uslova čvrstoće (12.16) lako se može naći vrijednost
i dimenzije poprečnog presjeka.

Razmotrimo definiciju pomaka pri kosom savijanju. Pronađite otklon u sekciji konzolna greda (Sl.12.9). Da bismo to učinili, prikazujemo gredu u jednom stanju i konstruiramo dijagram pojedinačnih momenata savijanja u jednoj od glavnih ravnina. Ukupni otklon ćemo odrediti u presjeku , prethodno odredivši projekcije vektora pomaka na osovini i . Projekcija vektora punog otklona na osu pronađite koristeći Mohrovu formulu:

Projekcija vektora punog otklona na osu pronađite na sličan način:

Ukupni otklon je određen formulom:

. (12.19)

Treba napomenuti da se za koso savijanje u formulama (12.17) i (12.18) pri određivanju projekcija otklona na koordinatne osi mijenjaju samo konstantni članovi ispred predznaka integrala. Sam integral ostaje konstantan. Prilikom rješavanja praktičnih zadataka izračunat ćemo ovaj integral primjenom Mohr-Simpsonove metode. Da bismo to učinili, množimo dijagram jedinica
za teret
(Sl.12.9), ugrađen u ravan sile, a zatim dobijeni rezultat uzastopno množimo sa konstantnim koeficijentima, respektivno, i . Kao rezultat, dobijamo projekcije punog otklona i na koordinatnoj osi i . Izrazi za projekcije progiba za opći slučaj opterećenja kada greda ima parcele će izgledati ovako:

; (12.20)

. (12.21)

Odložite pronađene vrijednosti za ,i (Sl.12.8). Vektor punog otklona sastavlja sa osovinom oštar ugao , čije se vrijednosti mogu naći po formuli:

, (12.22)

. (12.23)

Upoređujući jednačinu (12.22) sa jednačinom nulte linije (12.13), zaključujemo da

ili
,

odakle slijedi da su nulta linija i vektor punog otklona međusobno pedikularno. Injekcija je komplement ugla do 90 0 . Ovaj uslov se može koristiti za provjeru pri rješavanju problema kosog savijanja:

. (12.24)

Dakle, smjer otklona tijekom kosog savijanja je okomit na nultu liniju. To implicira važan uslov da smjer otklona se ne poklapa sa smjerom djelujuće sile(Sl.12.8). Ako je opterećenje ravan sistem sila, tada os zakrivljene grede leži u ravnini koja se ne poklapa sa ravninom djelovanja sila. Greda je nagnuta u odnosu na ravan sile. Ova okolnost poslužila je kao osnova za činjenicu da se takav zavoj počeo zvati koso.

Primjer 12.1. Odredite položaj nulte linije (nađite ugao ) za poprečni presjek grede prikazan na slici 12.10.

1. Ugao na trag ravni sile odgodit ćemo iz pozitivnog smjera ose . Injekcija uvijek ćemo uzeti oštro, ali uzimajući u obzir znak. Svaki ugao se smatra pozitivnim ako je u pravom koordinatnom sistemu nacrtan iz pozitivnog smjera ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativan ako je ugao nacrtan u smjeru kazaljke na satu. U ovom slučaju, ugao smatra se negativnim (
).

2. Odrediti omjer aksijalnih momenata inercije:

3. Zapisujemo jednačinu nulte linije sa kosom krivinom u obliku iz kojeg nalazimo ugao :

;
.

4. Ugao pokazalo se pozitivno, pa ga odlažemo iz pozitivnog smjera ose suprotno od kazaljke na satu do nulte linije (Sl.12.10).

Primjer 12.2. Odrediti vrijednost normalnog naprezanja u tački A poprečnog presjeka grede sa kosim savijanjem, ako je moment savijanja
kNm, koordinate tačke
cm,
vidi dimenzije poprečnog presjeka grede i ugao ravni sile prikazano na sl.12.11.

1. Prvo izračunajte momente inercije presjeka oko osi i :

cm 4;
cm 4.

2. Napišimo formulu (12.11) za određivanje normalnih napona u proizvoljnoj tački poprečnog presjeka u slučaju kosog savijanja. Prilikom zamjene vrijednosti momenta savijanja u formulu (12.11) treba uzeti u obzir da je moment savijanja pozitivan prema uvjetu zadatka.

-7,78 MPa.

Primjer 12.3. Odredite dimenzije poprečnog presjeka grede prikazane na slici 12.12a. Materijal grede - čelik sa dozvoljenim naprezanjem
MPa. Dat je omjer širine i visine
. Opterećenja i ugao nagiba ravni sile prikazano na sl.12.12c.

1. Da bismo odredili položaj opasnog presjeka, gradimo dijagram momenata savijanja (slika 12.12b). Opasan je dio A. Maksimalni moment savijanja u opasnom dijelu
kNm

2. Opasna tačka u sekciji A će biti jedna od ugaonih tačaka. Uslov čvrstoće zapisujemo u formu

Gdje možemo naći, s obzirom da je omjer
:

3. Odredite dimenzije poprečnog presjeka. Aksijalni moment otpora
uzimajući u obzir odnos stranaka
jednako:

cm 3, odakle

cm;
cm.

Primjer 12.4. Kao rezultat savijanja grede, težište presjeka se pomaknulo u smjeru određenom kutom sa osovinom (Sl.12.13, a). Odredite ugao nagiba power plane. Oblik i dimenzije poprečnog presjeka grede prikazani su na slici.

1. Odrediti ugao nagiba traga ravni sile koristimo izraz (12.22):

, gdje
.

Omjer momenata inercije
(vidi primjer 12.1). Onda

Ostavite ovu vrijednost ugla po strani iz pozitivnog smjera ose (Sl.12.13,b). Trag ravni sile na slici 12.13b prikazan je isprekidanom linijom.

2. Provjerimo dobijeno rješenje. Da biste to učinili, s pronađenom vrijednošću ugla odrediti položaj nulte linije. Koristimo izraz (12.13):

Nulta linija je prikazana na slici 12.13 kao isprekidana linija. Nulta linija mora biti okomita na liniju otklona. Hajde da to proverimo:

Primjer 12.5. Odrediti ukupni otklon grede u presjeku B za vrijeme kosog savijanja (slika 12.14a). Materijal grede - čelik sa modulom elastičnosti
MPa. Dimenzije poprečnog presjeka i ugao nagiba ravni sile prikazani su na sl.12.14b.

1. Odredite projekcije vektora ukupnog otklona u sekciji A i . Da bismo to učinili, konstruiramo krivulju opterećenja momenata savijanja
(Sl.12.14, c), jedan dijagram
(Sl.12.14, d).

2. Primjenom Mohr-Simpsonove metode množimo teret
i samac
krive momenata savijanja pomoću izraza (12.20) i (12.21):

m
mm.

Aksijalni momenti inercije presjeka
vidi 4 i
cm 4 uzimamo iz primjera 12.1.

3. Odredite ukupnu deformaciju presjeka B:

Pronađene vrijednosti projekcija punog ugiba i samog punog ugiba ucrtane su na crtež (sl. 12.14b). Kako su se projekcije punog otklona pokazale pozitivne pri rješavanju zadatka, odlažemo ih u smjeru djelovanja jedinične sile, tj. dolje ( ) i lijevo ( ).

5. Da bismo provjerili ispravnost rješenja, odredimo ugao nagiba nulte linije prema osi :

Dodajemo module uglova pravca punog otklona i :

To znači da je puni otklon okomit na nultu liniju. Dakle, problem je ispravno riješen.

Ova kombinacija faktora unutrašnjih sila tipična je za proračun osovina. Zadatak je ravan, jer koncept "kosog zavoja" za gredu okruglog presjeka, u kojoj je bilo koja centralna os glavna, nije primjenjiv. U općenitom slučaju djelovanja vanjskih sila, takva šipka doživljava kombinaciju sljedećih tipova deformacija: direktno poprečno savijanje, torzija i središnja napetost (kompresija). Na sl. 11.5 prikazuje gredu opterećenu vanjskim silama koje uzrokuju sve četiri vrste deformacija.

Dijagrami unutrašnjih sila vam omogućavaju da identifikujete opasne sekcije, a dijagrami naprezanja - opasne tačke u tim sekcijama. Posmična naprezanja od poprečnih sila dostižu svoj maksimum na osi grede i beznačajna su za gredu punog presjeka i mogu se zanemariti u usporedbi sa posmičnim naprezanjima od torzije, dostižući svoj maksimum u rubnim točkama (točka B).

Opasan je presjek u ugradnji, gdje su uzdužne i poprečne sile, momenti savijanja i momenti istovremeno od velike važnosti.

Opasna tačka u ovom odeljku biće tačka u kojoj σ x i τ xy dostižu značajnu vrednost (tačka B). U ovom trenutku najveće normalno naprezanje od savijanja i posmično naprezanje od torzije, kao i normalno naprezanje od napetosti

Odredivši glavna naprezanja po formuli:

nalazimo σ crveno =

(kada se koristi kriterij najvećih posmičnih napona m = 4, kada se koristi kriterij specifične energije promjene oblika m = 3).

Zamjenom izraza σ α i τ xy dobijamo:

ili uzimajući u obzir da je W p =2 W z , A= (vidi 10.4),

Ako je osovina savijena u dvije međusobno okomite ravni, tada je umjesto M z, M tot =

Smanjeno naprezanje σ red ne smije premašiti dopušteno naprezanje σ adm , utvrđeno tijekom ispitivanja pod linearnim naponskim stanjem, uzimajući u obzir faktor sigurnosti. Za date dimenzije i dozvoljena naprezanja vrši se verifikacioni proračun.Dimenzije potrebne za osiguranje sigurne čvrstoće nalaze se iz uslova

11.5. Proračun beztrenutnih ljuski revolucije

Konstruktivni elementi se široko koriste u inženjerstvu, koji se, sa stanovišta proračuna čvrstoće i krutosti, mogu pripisati tankim školjkama. Uobičajeno je da se školjka smatra tankom ako je omjer njene debljine i ukupne veličine manji od 1/20. Za tanke ljuske primjenjiva je hipoteza direktnih normala: segmenti normale na srednju površinu ostaju ravni i nerastavljivi nakon deformacije. U ovom slučaju postoji linearna raspodjela deformacija i, posljedično, normalnih naprezanja (za male elastične deformacije) po debljini ljuske.

Površina ljuske se dobija rotacijom ravne krive oko ose koja leži u ravnini krive. Ako se krivulja zamijeni ravnom linijom, onda kada se rotira paralelno s osi, dobiva se kružna cilindrična školjka, a kada se rotira pod kutom prema osi, ona je konusna.

U shemama dizajna, školjka je predstavljena svojom srednjom površinom (jednako udaljenom od prednjih). Srednja površina je obično povezana sa krivolinijskim ortogonalnim koordinatnim sistemom Ө i φ. Ugao θ () određuje položaj paralele linije presjeka srednje površine sa ravninom koja prolazi normalno na os rotacije.

Sl.11.6 11.7

Kroz normalu sa sredinom površine možete nacrtati mnogo ravnina koje će biti normalne na nju i formirati linije sa različitim polumjerima zakrivljenosti u presjecima s njom. Dva od ovih radijusa imaju ekstremne vrijednosti. Linije kojima odgovaraju nazivaju se linije glavnih zakrivljenosti. Jedna od linija je meridijan, označavamo njegov radijus zakrivljenosti r1. Polumjer zakrivljenosti druge krive je r2(centar zakrivljenosti leži na osi rotacije). Radius nabacuje r1 i r2 mogu se podudarati (sferna školjka), ležati na jednoj ili na suprotnim stranama srednje površine, jedan od centara može ići u beskonačnost (cilindrične i konusne školjke).

Prilikom sastavljanja osnovnih jednačina sile i pomaka, pozivamo se na normalne presjeke ljuske u ravninama glavnih zakrivljenja. Navijajmo za unutrašnje napore. Razmotrimo beskonačno mali element ljuske (slika 11.6) izrezan sa dvije susjedne meridionalne ravni (sa uglovima θ i θ + dθ) i dva susjedna paralelna kruga normalna na os rotacije (sa uglovima φ i φ + dφ). Kao sistem osa projekcija i momenata biramo pravougaoni sistem osa x, y, z. Osa y usmjerena tangencijalno na meridijan, os z- normalno.

Zbog aksijalne simetrije (opterećenje P=0) na element će djelovati samo normalne sile. N φ - linearna meridijalna sila usmjerena tangencijalno na meridijan: N θ - linearna prstenasta sila usmjerena tangencijalno na krug. Jednačina ΣX=0 pretvara se u identitet. Projektujmo sve sile na osu z:

2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.

Ako zanemarimo infinitezimalnu vrijednost višeg reda ()r o dθ dφ i podijelimo jednačinu sa r 1 r o dφ dθ, tada uzimajući u obzir da ćemo dobiti jednačinu koja pripada P. Laplaceu:

Umjesto jednačine ΣY=0 za element koji se razmatra, sastavit ćemo jednačinu ravnoteže za gornji dio ljuske (slika 11.6). Projektujmo sve sile na os rotacije:

gdje je: R v - vertikalna projekcija rezultujućih vanjskih sila primijenjenih na odsječeni dio ljuske. dakle,

Zamjenom vrijednosti N φ u Laplaceovu jednačinu, nalazimo N θ . Određivanje sila u ljusci okretanja prema teoriji bez momenta je statički odrediv problem. To je postalo moguće kao rezultat činjenice da smo odmah postulirali zakon varijacije naprezanja preko debljine ljuske - smatrali smo ih konstantnim.

U slučaju sferne kupole imamo r 1 = r 2 = r i r o = r. Ako je opterećenje dato kao intenzitet P na horizontalnu projekciju školjke, zatim

Tako je kupola ravnomjerno sabijena u meridijanskom smjeru. Komponente površinskog opterećenja duž normale z je jednako P z =P. Zamjenjujemo vrijednosti N φ i P z u Laplaceovu jednadžbu i iz nje nalazimo:

Prstenaste tlačne sile dostižu maksimum na vrhu kupole pri φ = 0. Pri φ = 45 º - N θ =0; pri φ > 45- N θ =0 postaje vlačna i dostiže maksimum pri φ = 90.

Horizontalna komponenta meridionalne sile je:

Razmotrimo primjer izračunavanja ljuske bez trenutka. Glavni cevovod je napunjen gasom, čiji je pritisak jednak R.

Ovdje je r 1 = R, r 2 = i u skladu s prethodno prihvaćenom pretpostavkom da su naponi ravnomjerno raspoređeni po debljini δ školjke

gdje je: σ m - normalna meridionalna naprezanja, i

σ t - obimna (latitudinalna, prstenasta) normalna naprezanja.

Prostorno (složeno) savijanje. Proračun okrugle šipke za savijanje sa torzijom Prostorno savijanje okrugle šipke

Prostorna (složena) krivina

12.4. kosi zavoj