On ima kvadrat, a sastoji se od tri člana (). Tako se ispostavilo - kvadratni trinom.
Primjeri ne kvadratni trinomi:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - kubni kvaternar
\(2x+1\) - linearni binom
Korijen kvadratnog trinoma:
primjer:
Trinom \(x^2-2x+1\) ima korijen \(1\), jer \(1^2-2 1+1=0\)
Trinom \(x^2+2x-3\) ima korijen \(1\) i \(-3\), jer \(1^2+2-3=0\) i \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)
Na primjer: ako trebate pronaći korijene za kvadratni trinom \(x^2-2x+1\), izjednačavamo ga sa nulom i rješavamo jednačinu \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)
Spreman. Korijen je \(1\).
Dekompozicija kvadratnog trinoma na:
Kvadratni trinom \(ax^2+bx+c\) može se proširiti kao \(a(x-x_1)(x-x_2)\) ako su jednačine \(ax^2+bx+c=0\) veće od nule \ (x_1\) i \(x_2\) su korijeni iste jednačine).
na primjer, razmotrimo trinom \(3x^2+13x-10\).
Kvadratna jednadžba \(3x^2+13x-10=0\) ima diskriminant jednak 289 (veći od nule), a korijeni su jednaki \(-5\) i \(\frac(2)(3 )\). Dakle \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Lako je provjeriti ispravnost ove izjave - ako smo , onda ćemo dobiti originalni trinom.
Kvadratni trinom \(ax^2+bx+c\) može se predstaviti kao \(a(x-x_1)^2\) ako je diskriminanta jednačine \(ax^2+bx+c=0\) jednak nuli.
na primjer, razmotrimo trinom \(x^2+6x+9\).Kvadratna jednačina \(x^2+6x+9=0\) ima diskriminant jednak \(0\), a jedini korijen je jednak \(-3\). Dakle, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (ovdje je koeficijent \(a=1\), tako da nema potrebe pisati prije zagrade). Imajte na umu da istu transformaciju može izvršiti .
Kvadratni trinom \(ax^2+bx+c\) se ne čini faktorima ako je diskriminanta jednačine \(ax^2+bx+c=0\) manja od nule.
na primjer, trinomi \(x^2+x+4\) i \(-5x^2+2x-1\) imaju diskriminant manji od nule. Stoga ih je nemoguće razložiti na faktore.
Primjer
. Faktor \(2x^2-11x+12\).
Rješenje
:
Pronađite korijene kvadratne jednadžbe \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)
Dakle \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Odgovori
: \(2(x-1,5)(x-4)\)
Dobijeni odgovor se može napisati na drugačiji način: \((2x-3)(x-4)\).
Primjer
. (Zadatak od OGE) Kvadratni trinom je faktor \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Pronaci\).
Rješenje:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Odgovori
: \(-1,6\)
Da bi se faktorizovali, potrebno je pojednostaviti izraze. Ovo je neophodno kako bi se moglo dalje smanjiti. Dekompozicija polinoma ima smisla kada njegov stepen nije niži od drugog. Polinom sa prvim stepenom naziva se linearan.
Članak će otkriti sve koncepte dekompozicije, teorijske osnove i metode faktoringa polinoma.
Teorija
Teorema 1Kada je bilo koji polinom sa stepenom n koji ima oblik P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , predstavljeni su kao proizvod sa konstantnim faktorom najvećeg stepena an i n linearnih faktora (x - xi), i = 1 , 2 , ... , n , zatim P n (x) = an (x - xn) (x - xn - 1) . . . · (x - x 1) , gdje je x i , i = 1 , 2 , … , n - ovo su korijeni polinoma.
Teorema je namijenjena za korijene kompleksnog tipa x i , i = 1 , 2 , … , n i za kompleksne koeficijente a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Ovo je osnova svake dekompozicije.
Kada su koeficijenti oblika a k , k = 0 , 1 , 2 , …, n realni brojevi, tada će se kompleksni korijeni pojaviti u konjugiranim parovima. Na primjer, korijeni x 1 i x 2 odnose se na polinom oblika P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 se smatraju kompleksnim konjugatom, tada su ostali korijeni realni, pa stoga dobijamo da polinom ima oblik P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, gdje je x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Komentar
Korijeni polinoma se mogu ponoviti. Razmotrimo dokaz teoreme algebre, posljedice Bezoutove teoreme.
Osnovni teorem algebre
Teorema 2Svaki polinom sa stepenom n ima barem jedan korijen.
Bezoutov teorem
Nakon dijeljenja polinoma oblika P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s) , tada dobijamo ostatak, koji je jednak polinomu u tački s , tada dobijamo
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , gdje je Q n - 1 (x) polinom sa stepenom n - 1 .
Korolar iz Bezoutove teoreme
Kada se smatra da je korijen polinoma P n (x) s , tada je P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Ovaj zaključak je dovoljan kada se koristi za opisivanje rješenja.
Faktorizacija kvadratnog trinoma
Kvadratni trinom oblika a x 2 + b x + c može se razložiti u linearne faktore. onda dobijamo da je a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , gdje su x 1 i x 2 korijeni (kompleksni ili realni).
Ovo pokazuje da se sama dekompozicija svodi na kasnije rješavanje kvadratne jednadžbe.
Primjer 1
Faktorizirajte kvadratni trinom.
Rješenje
Potrebno je pronaći korijene jednačine 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Da biste to učinili, morate pronaći vrijednost diskriminanta prema formuli, tada dobivamo D = (- 5) 2 - 4 4 1 = 9. Dakle, imamo to
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Odavde dobijamo da je 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Da biste izvršili provjeru, morate otvoriti zagrade. Tada dobijamo izraz oblika:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Nakon provjere dolazimo do originalnog izraza. Odnosno, možemo zaključiti da je proširenje ispravno.
Primjer 2
Faktorizirajte kvadratni trinom oblika 3 x 2 - 7 x - 11.
Rješenje
Dobijamo da je potrebno izračunati rezultirajuću kvadratnu jednačinu oblika 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Da biste pronašli korijene, morate odrediti vrijednost diskriminanta. Shvatili smo to
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816
Odavde dobijamo da je 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Primjer 3
Faktorizirajte polinom 2 x 2 + 1.
Rješenje
Sada trebate riješiti kvadratnu jednačinu 2 x 2 + 1 = 0 i pronaći njene korijene. Shvatili smo to
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Ovi korijeni se nazivaju kompleksni konjugati, što znači da se sama dekompozicija može predstaviti kao 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Primjer 4
Proširite kvadratni trinom x 2 + 1 3 x + 1 .
Rješenje
Prvo morate riješiti kvadratnu jednadžbu oblika x 2 + 1 3 x + 1 = 0 i pronaći njene korijene.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 ix 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Dobivši korijene, pišemo
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentar
Ako je vrijednost diskriminanta negativna, tada će polinomi ostati polinomi drugog reda. Otuda slijedi da ih nećemo razlagati na linearne faktore.
Metode faktoringa polinoma stepena većeg od drugog
Dekompozicija pretpostavlja univerzalnu metodu. Većina slučajeva se zasniva na posledicama Bezoutove teoreme. Da biste to učinili, trebate odabrati vrijednost korijena x 1 i smanjiti njegov stepen dijeljenjem polinoma sa 1 dijeljenjem sa (x - x 1) . Rezultirajući polinom treba pronaći korijen x 2, a proces pretraživanja je cikličan dok ne dobijemo potpunu ekspanziju.
Ako korijen nije pronađen, koriste se druge metode faktorizacije: grupiranje, dodatni pojmovi. Ova tema pretpostavlja rješavanje jednačina sa višim potencijama i cjelobrojnim koeficijentima.
Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada
Razmotrimo slučaj kada je slobodni član jednak nuli, tada oblik polinoma postaje P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Vidi se da će korijen takvog polinoma biti jednak x 1 \u003d 0, tada polinom možete predstaviti u obliku izraza P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Ova metoda se smatra vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada.
Primjer 5
Faktorizujte polinom trećeg stepena 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Rješenje
Vidimo da je x 1 = 0 korijen datog polinoma, onda možemo staviti x u zagradu iz cijelog izraza. Dobijamo:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Pređimo na pronalaženje korijena kvadratnog trinoma 4 x 2 + 8 x - 1. Nađimo diskriminant i korijene:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Zatim slijedi to
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Za početak, uzmimo za razmatranje metodu dekompozicije koja sadrži cjelobrojne koeficijente oblika P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pri čemu je koeficijent najveće snage 1 .
Kada polinom ima cjelobrojne korijene, onda se smatraju djeliteljima slobodnog člana.
Primjer 6
Proširite izraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Rješenje
Razmislite da li postoje cijeli brojevi korijena. Potrebno je napisati djelitelje broja - 18. Dobijamo da je ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Iz toga slijedi da ovaj polinom ima cjelobrojne korijene. Možete provjeriti prema Horner shemi. Vrlo je zgodno i omogućava vam da brzo dobijete koeficijente ekspanzije polinoma:
Iz toga slijedi da su x = 2 i x = - 3 korijeni originalnog polinoma, koji se može predstaviti kao proizvod oblika:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Prelazimo na dekompoziciju kvadratnog trinoma oblika x 2 + 2 x + 3 .
Pošto je diskriminant negativan, to znači da nema pravih korijena.
odgovor: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentar
Dozvoljeno je koristiti odabir korijena i dijeljenje polinoma polinomom umjesto Hornerove sheme. Nastavimo sa razmatranjem ekspanzije polinoma koji sadrži cjelobrojne koeficijente oblika P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , od kojih najveći nije jednak jedinici.
Ovaj slučaj se odvija za razlomke racionalnih razlomaka.
Primjer 7
Faktorizirajte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Rješenje
Potrebno je promijeniti varijablu y = 2 x , treba prijeći na polinom sa koeficijentima jednakim 1 u najvišem stepenu. Morate početi množenjem izraza sa 4. Shvatili smo to
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Kada rezultirajuća funkcija oblika g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ima cjelobrojne korijene, tada je njihov nalaz među djeliteljima slobodnog člana. Unos će izgledati ovako:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Pređimo na proračun funkcije g (y) u ovim tačkama da bismo kao rezultat dobili nulu. Shvatili smo to
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Dobijamo da je y = - 5 korijen jednadžbe oblika y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, što znači da je x = y 2 = - 5 2 korijen originalne funkcije.
Primjer 8
Potrebno je kolonom podijeliti 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 sa x + 5 2.
Rješenje
Pišemo i dobijamo:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Provjera djelitelja će potrajati dosta vremena, pa je isplativije uzeti faktorizaciju rezultirajućeg kvadratnog trinoma oblika x 2 + 7 x + 3. Izjednačavanjem sa nulom nalazimo diskriminanta.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Otuda to slijedi
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Vještački trikovi prilikom faktoringa polinoma
Racionalni korijeni nisu svojstveni svim polinomima. Da biste to učinili, morate koristiti posebne metode za pronalaženje faktora. Ali ne mogu se svi polinomi razložiti ili predstaviti kao proizvod.
Metoda grupisanja
Postoje slučajevi kada možete grupirati članove polinoma da biste pronašli zajednički faktor i izvadili ga iz zagrada.
Primjer 9
Faktorizirajte polinom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Rješenje
Budući da su koeficijenti cijeli brojevi, onda vjerojatno i korijeni mogu biti cijeli brojevi. Za provjeru uzimamo vrijednosti 1 , - 1 , 2 i - 2 kako bismo izračunali vrijednost polinoma u ovim tačkama. Shvatili smo to
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To pokazuje da nema korijena, potrebno je koristiti drugačiji način razlaganja i rješenja.
Grupiranje je potrebno:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Nakon grupisanja originalnog polinoma, potrebno ga je predstaviti kao proizvod dva kvadratna trinoma. Da bismo to učinili, moramo faktorizirati. mi to shvatamo
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentar
Jednostavnost grupisanja ne znači da je dovoljno lako izabrati pojmove. Ne postoji definitivan način da se to riješi, stoga je potrebno koristiti posebne teoreme i pravila.
Primjer 10
Faktorizirajte polinom x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Rješenje
Zadati polinom nema cjelobrojne korijene. Termine treba grupisati. Shvatili smo to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Nakon faktoringa, dobijamo to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Korištenje skraćenog množenja i Newtonovih binomnih formula za faktorizaciju polinoma
Izgled često ne daje do znanja koji način treba koristiti tokom razlaganja. Nakon što su transformacije napravljene, možete izgraditi liniju koja se sastoji od Pascalovog trougla, inače se nazivaju Newtonov binom.
Primjer 11
Faktorizirajte polinom x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Rješenje
Potrebno je konvertovati izraz u formu
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Niz koeficijenata zbira u zagradama je označen izrazom x + 1 4 .
Dakle imamo x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
Nakon primjene razlike kvadrata, dobivamo
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Razmotrimo izraz koji se nalazi u drugoj zagradi. Jasno je da tamo nema konja, pa treba ponovo primijeniti formulu za razliku kvadrata. Dobijamo izraz kao
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Primjer 12
Faktoriziraj x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Rješenje
Hajde da promenimo izraz. Shvatili smo to
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Potrebno je primijeniti formulu za skraćeno množenje razlike kocki. Dobijamo:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metoda za zamjenu varijable prilikom faktoringa polinoma
Prilikom promjene varijable, stepen se smanjuje, a polinom se faktorizira.
Primjer 13
Faktorizirajte polinom oblika x 6 + 5 x 3 + 6 .
Rješenje
Iz uslova je jasno da je potrebno izvršiti zamjenu y = x 3 . Dobijamo:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Korijeni rezultirajuće kvadratne jednadžbe su y = - 2 i y = - 3, tada
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Potrebno je primijeniti formulu za skraćeno množenje zbira kocki. Dobijamo izraze oblika:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Odnosno, dobili smo željeno proširenje.
Slučajevi o kojima je gore bilo riječi pomoći će u razmatranju i faktoriranju polinoma na različite načine.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Polinome je potrebno faktorizirati prilikom pojednostavljivanja izraza (kako bi se izvršila redukcija), pri rješavanju jednadžbi ili pri dekomponovanju razlomačno racionalne funkcije na jednostavne razlomke.
Ima smisla govoriti o faktoriranju polinoma ako njegov stepen nije niži od drugog.
Polinom prvog stepena se zove linearno.
Razmotrimo prvo teorijske osnove, a zatim pređimo direktno na metode faktoringa polinoma.
Navigacija po stranici.
Neophodna teorija.
Teorema.
Bilo koji stepen polinoma n oblika je predstavljen proizvodom konstantnog faktora na najvišem stepenu i n linearni množitelji, i=1, 2, …, n, odnosno , i , i=1, 2, …, n su korijeni polinoma.
Ova teorema je formulirana za kompleksne korijene, i=1, 2, …, n i kompleksni koeficijenti, k=0, 1, 2, …, n. To je osnova za faktoriranje bilo kojeg polinoma.
Ako su koeficijenti k=0, 1, 2, …, n su realni brojevi, onda će se kompleksni korijeni polinoma OBAVEZNO pojaviti u kompleksno konjugiranim parovima.
Na primjer, ako su korijeni i polinom kompleksno konjugirani, a preostali korijeni su realni, tada će polinom biti predstavljen kao , gdje je
Komentar.
Među korijenima polinoma mogu biti i oni koji se ponavljaju.
Dokaz teoreme se izvodi pomoću osnovna teorema algebre i posledice iz Bezoutove teoreme.
Osnovni teorem algebre.
Bilo koji polinom stepena n ima barem jedan korijen (kompleksan ili realan).
Bezoutov teorem.
Prilikom dijeljenja polinoma sa (x-s) ostatak je jednak vrijednosti polinoma u tački s, tj. gdje je polinom stepena n-1.
Korolar iz Bezoutove teoreme.
Ako s je korijen polinoma , tada .
Često ćemo koristiti ovaj zaključak kada opisujemo rješenja primjera.
Faktorizacija kvadratnog trinoma.
Kvadratni trinom se razlaže na dva linearna faktora: , gdje su i korijeni (kompleksni ili realni).
Dakle, faktoring kvadratnog trinoma svodi se na rješavanje kvadratne jednadžbe.
Primjer.
Faktorizirajte kvadratni trinom.
Rješenje.
Pronađite korijene kvadratne jednadžbe 
.
Diskriminanta jednačine je, dakle, 
Na ovaj način, 
.
Da biste provjerili, možete otvoriti zagrade: . Provjerom smo došli do originalnog trinoma, tako da je proširenje ispravno.
Primjer.
Rješenje.
Odgovarajuća kvadratna jednačina ima oblik 
.
Hajde da pronađemo njegove korene. 
dakle, 
.
Primjer.
Faktorizirajte polinom.
Rješenje.
Nađimo korijene kvadratne jednadžbe. 
Dobijte par složenih konjugiranih korijena.
Ekspanzija polinoma će imati oblik 
.
Primjer.
Faktorizirajte kvadratni trinom.
Rješenje.
Rešimo kvadratnu jednačinu 
.
dakle, 
komentar:
Ubuduće ćemo sa negativnim diskriminantom polinome drugog reda ostaviti u originalnom obliku, odnosno nećemo ih razlagati na linearne faktore sa složenim slobodnim članovima.
Metode faktoringa polinoma stepena većeg od drugog.
U opštem slučaju, ovaj zadatak uključuje kreativan pristup, jer ne postoji univerzalna metoda za njegovo rješavanje. Ipak, pokušajmo dati nekoliko savjeta.
U velikoj većini slučajeva, dekompozicija polinoma na faktore zasniva se na posljedici Bezoutove teoreme, to jest, korijen se pronađe ili odabere i stepen polinoma se smanji za jedan dijeljenjem sa. Rezultirajući polinom se traži za korijen i proces se ponavlja do potpunog proširenja.
Ako se korijen ne može pronaći, koriste se specifične metode dekompozicije: od grupiranja do uvođenja dodatnih međusobno isključivih pojmova.
Ono što slijedi zasniva se na vještinama s cjelobrojnim koeficijentima.
Stavljanje u zagrade zajedničkog faktora.
Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je slobodni član jednak nuli, odnosno polinom ima oblik .
Očigledno, korijen takvog polinoma je , To jest, polinom se može predstaviti kao .
Ova metoda nije ništa drugo nego uzimanje zajedničkog faktora iz zagrada.
Primjer.
Rastaviti polinom trećeg stepena na faktore.
Rješenje.
Očigledno je da je to korijen polinoma, tj. X može se staviti u zagrade:
Pronađite korijene kvadratnog trinoma 
Na ovaj način, 
Faktorizacija polinoma s racionalnim korijenima.
Prvo, razmotrimo metodu proširenja polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima oblika , koeficijent na najvišem stupnju jednak je jedan.
U ovom slučaju, ako polinom ima cjelobrojne korijene, onda su oni djelitelji slobodnog člana.
Primjer.
Rješenje.
Hajde da proverimo da li postoje celobrojni koreni. Da bismo to učinili, ispisujemo djelitelje broja -18
: . To jest, ako polinom ima cjelobrojne korijene, onda su oni među ispisanim brojevima. Provjerimo redom ove brojeve prema Hornerovoj šemi. Njegova pogodnost je i u činjenici da ćemo na kraju dobiti i koeficijente ekspanzije polinoma: 
To je, x=2 i x=-3 su korijeni originalnog polinoma i on se može predstaviti kao proizvod:
Ostaje proširiti kvadratni trinom.
Diskriminant ovog trinoma je negativan, stoga nema pravi korijen.
odgovor:
komentar:
umjesto Hornerove sheme, moglo bi se koristiti odabir korijena i naknadno dijeljenje polinoma polinomom.
Sada razmotrimo proširenje polinoma s cijelim koeficijentima oblika , a koeficijent na najvišem stupnju nije jednak jedinici.
U ovom slučaju, polinom može imati frakciono racionalne korijene.
Primjer.
Faktorizujte izraz.
Rješenje.
Promjenom varijable y=2x, prelazimo na polinom sa koeficijentom jednakim jedan u najvišem stepenu. Da bismo to učinili, prvo pomnožimo izraz sa 4
.
Ako rezultirajuća funkcija ima cjelobrojne korijene, onda su oni među djeliteljima slobodnog člana. Hajde da ih zapišemo:
Izračunajte sekvencijalno vrijednosti funkcije g(y) na ovim tačkama do nule. 
To je, y=-5 je korijen 
, dakle, je korijen originalne funkcije. Izvršimo podjelu stupcem (uglom) polinoma binomom. 
Na ovaj način, 
Nije preporučljivo nastaviti provjeravati preostale djelitelje, jer je lakše faktorizirati rezultirajući kvadratni trinom 
dakle, 
Vještački trikovi u dekompoziciji polinoma na faktore.
Polinomi nemaju uvijek racionalne korijene. U ovom slučaju, prilikom faktoringa, treba tražiti posebne metode. Ali, koliko god to željeli, neki polinomi (ili bolje rečeno, velika većina) ne mogu se predstaviti kao proizvod.
metod grupisanja.
Ponekad se ispostavi da grupišete članove polinoma, što vam omogućava da pronađete zajednički faktor i izvadite ga iz zagrada.
Primjer.
Proširi polinom 
za množitelje.
Rješenje.
Pošto su koeficijenti cijeli brojevi, među djeliteljima slobodnog člana može postojati cjelobrojni korijen. Provjerimo vrijednosti 1
, -1
, 2
i -2
, izračunavanje vrijednosti polinoma u ovim tačkama. 
Odnosno, nema celih korena. Tražićemo drugi način razgradnje.
Grupirajmo: 
Nakon grupisanja, originalni polinom je predstavljen kao proizvod dva kvadratna trinoma. Hajde da ih izdvojimo. 
Prije svega, da ukažemo na neka najčešće korištena imena. Razmotrimo polinome koji uključuju samo jedno slovo, na primjer, slovo x. Tada je najjednostavniji polinom u kojem postoje dva člana, a jedan od njih sadrži slovo x do prvog stepena, a drugi uopće nema slovo x, na primjer 3x - 5 ili 15 - 7x ili 8z + 7 (ovdje umjesto slova x uzima se slovo z), itd. Takvi polinomi se nazivaju linearni binomi .
3x² - 5x + 7 ili x² + 2x - 1
ili 5y² + 7y + 8 ili z² - 5z - 2 itd.
Takvi polinomi se nazivaju kvadratni trinomi.
Tada možemo sastaviti kubičnu četvorku, na primjer:
x³ + 2x² - x + 1 ili 3x³ - 5x² - 2x - 3 itd.,
polinom četvrtog stepena, na primjer:
x 4 - 2x³ - 3x² + 4x - 5 itd.
Moguće je označiti koeficijente na x, na x², na x³, itd. i slovima, na primjer, slovima a, b, c, itd. Tada dobijamo:
1) opšti oblik binoma linearnog po x ax + b,
2) opšti oblik kvadratnog trinoma (u odnosu na x): ax² + bx + c,
3) opšti oblik kubnog trinoma (u odnosu na x): ax³ + bx² + cx + d, itd.
Zamjenom slova a, b, c, d... u ovim formulama sa različitim brojevima, dobijamo sve vrste linearnih binoma, kvadratnih trinoma, itd. Na primjer, u formuli ax² + bx + c, koja izražava opći oblik kvadratnog trinoma, slovo a zamijenimo brojem + 3, slovo b brojem -2 i slovo c brojem -1, dobijemo kvadratni trinom 3x² - 2x - 1. U konkretnom slučaju, također je moguće dobiti binom zamjenom jednog od slova nulom, na primjer, ako je a = +1, b = 0 i c \u003d -3, onda ćemo dobiti kvadratni binom x² - 3.
Može se naučiti rastavljati neke kvadratne trinome na faktore prilično brzo u linearne faktore. Međutim, mi se ograničavamo na razmatranje samo takvih kvadratnih trinoma koji zadovoljavaju sljedeće uvjete:
1) koeficijent na najvećem članu (na x²) je +1,
2) možete pronaći dva cijela broja (sa predznacima ili dva relativna cijela broja) takva da je njihov zbir jednak koeficijentu x na prvi stepen, a njihov proizvod jednak članu slobodnom od x (gdje nema slova x na sve).
Primjeri. 1. x² + 5x + 6; lako je u umu pronaći dva broja (sa predznacima) tako da je njihov zbir jednak +5 (koeficijent na x) i da je njihov proizvod = +6 (član bez x), - ovi brojevi su: + 2 i +3 [u stvari, +2 + 3 = +5 i (+2) ∙ (+3) = +6]. Koristeći ova dva broja, termin +5x zamjenjujemo sa dva člana, i to: +2x + 3x (naravno, +2x + 3x = +5x); onda će naš tehnički termin biti umjetno pretvoren u kvadrion x² + 2x + 3x + 6. Primijenimo sada tehniku grupisanja na njega, stavljajući prva dva člana u jednu grupu, a posljednja dva u drugu:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
U prvoj grupi smo stavili x u zagrade, au drugoj +3 dobili smo dva člana za koja se ispostavilo da imaju zajednički faktor (x + 2), koji je takođe stavljen u zagrade, a naš trinom x² + 5x + 6 dekomponovan na 2 linearna faktori: x + 2 i x + 3.
2. x² - x - 12. Ovdje morate pronaći dva broja (relativna) tako da njihov zbir bude -1 i da njihov proizvod bude -12. Takvi brojevi su: -4 i +3.
Provjerite: -4 + 3 = -1; (-4) (+3) = -12. Koristeći ove brojeve, zamjenjujemo izraz -x sa dva člana: -x = -4x + 3x, - dobijamo:
x² - x - 12 \u003d x² - 4x + 3x - 12 = x (x - 4) + 3 (x - 4) = (x - 4) (x + 3).
3. x² - 7x + 6; ovdje su traženi brojevi: -6 i -1. [Provjera: -6 + (-1) = -7; (–6) (–1) = +6].
x² - 7x + 6 = x² - 6x - x + 6 = x (x - 6) - (x - 6) = (x - 6) (x - 1).
Ovdje su članovi druge grupe -x + 6 morali biti stavljeni u zagrade, sa znakom minus ispred njih.
4. x² + 8x - 48. Ovdje morate pronaći dva broja tako da njihov zbir bude +8, a proizvod -48. Pošto proizvod mora imati predznak minus, onda željeni brojevi moraju biti različitih predznaka, pošto zbir naših brojeva ima predznak +, onda apsolutna vrijednost pozitivnog broja mora biti veća. Proširujući aritmetički broj 48 na dva faktora (a to se može uraditi na različite načine), dobijamo: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. , odnosno: 48 = 4 ∙ 12. Tada su naši brojevi: +12 i -4. Ono što slijedi je jednostavno:
x² + 8x - 48 = x² + 12x - 4x - 48 = x (x + 12) - 4 (x + 12) = (x + 12) (x - 4).
5. x² + 7x - 12. Ovdje trebate pronaći 2 broja tako da njihov zbir bude +7, a proizvod = -12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Očigledno, 3 i 4 bi bili prikladni brojevi, ali se moraju uzeti s različitim predznacima tako da im je proizvod jednak -12, a onda njihov zbir nikako nije može biti +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Druge faktorizacije također ne daju tražene brojeve; stoga dolazimo do zaključka da ove kvadratne trinome još ne možemo faktorizirati u linearne faktore, jer naša metoda nije primjenjiva na njih (ne zadovoljava drugi od uslova koji su postavljeni na početku).
KVADRATNI TRIPON III
§ 54. Dekompozicija kvadratnog trinoma na linearne faktore
U ovom dijelu razmatramo sljedeće pitanje: u kom slučaju kvadratni trinom sjekira 2 + bx+c može se predstaviti kao proizvod
(a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2)
dva linearna relativno X faktori sa realnim koeficijentima a 1 , b 1 , a 2 , b 2 (a 1 =/=0, a 2 =/=0) ?
1. Pretpostavimo da je dati kvadratni trinom sjekira 2 + bx+c predstavljaju u formi
sjekira 2 + bx+c = (a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2). (1)
Desna strana formule (1) nestaje kada X = - b 1 / a 1 i X = - b 2 / a 2 (a 1 i a 2 nisu jednaki nuli po uslovu). Ali u ovom slučaju brojevi b 1 / a 1 i - b 2 / a 2 su korijeni jednadžbe
sjekira 2 + bx+c = 0.
Dakle, diskriminant kvadratnog trinoma sjekira 2 + bx+c mora biti nenegativna.
2. Obrnuto, pretpostavimo da je diskriminant D = b 2 - 4as kvadratni trinom sjekira 2 + bx+c nije negativan. Tada ovaj trinom ima realne korijene x 1 i x 2. Koristeći Vietinu teoremu, dobijamo:
sjekira 2 + bx+c =a (x 2 + b / a X + c / a ) = a [x 2 - (x 1 + x 2) X + x 1 x 2 ] =
= a [(x 2 - x 1 x ) - (x 2 x - x 1 x 2)] = a [X (X - x 1) - x 2 (X - x 1) =
=a (X - x 1)(X - x 2).
sjekira 2 + bx+c = a (X - x 1)(X - x 2), (2)
gdje x 1 i x 2 - korijeni trinoma sjekira 2 + bx+c . Koeficijent a može se pripisati jednom od dva linearna faktora, na primjer,
a (X - x 1)(X - x 2) = (ah - sjekira 1)(X - x 2).
Ali to znači da je u slučaju koji se razmatra kvadratni trinom sjekira 2 + bx+c predstavljaju kao proizvod dva linearna faktora sa realnim koeficijentima.
Kombinujući rezultate dobijene u odeljcima 1 i 2, dolazimo do sledeće teoreme.
Teorema. Kvadratni trinom sjekira 2 + bx+c tada i samo tada se može predstaviti kao proizvod dva linearna faktora sa realnim koeficijentima,
sjekira 2 + bx+c = (ah - sjekira 1)(X - x 2),
kada je diskriminant ovog kvadratnog trinoma nenegativan (tj. kada ovaj trinom ima realne korijene).
Primjer 1. Faktorizujte u linearne faktore 6 x 2 - X -1.
Korijeni ovog kvadratnog trinoma su x 1 = 1 / 2 i x 2 = - 1 / 3 .
Dakle, prema formuli (2)
6x 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3x + 1).
Primjer 2. Faktorizirajte u linearne faktore x 2 + X + 1. Diskriminanta ovog kvadratnog trinoma je negativna:
D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.
Stoga se ovaj kvadratni trinom ne može razložiti na linearne faktore sa realnim koeficijentima.
Vježbe
Proširite sljedeće izraze u linearne faktore (br. 403 - 406):
403. 6x 2 - 7X + 2. 405. x 2 - X + 1.
404. 2x 2 - 7Oh + 6a 2 . 406. x 2 - 3Oh + 2a 2 - ab - b 2 .
Smanjite razlomke (br. 407, 408):
Riješite jednačine:
