Definicija 24.1.slučajni brojevi imenovati moguće vrijednosti r kontinuirana slučajna varijabla R, ravnomjerno raspoređenih u intervalu (0; 1).
1. Reprodukcija diskretne slučajne varijable.
Neka je potrebno igrati diskretnu slučajnu varijablu X, odnosno dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti, poznavajući zakon raspodjele X:
x x 1 X 2 … x n
p str 1 R 2 … r p .
Razmotrimo slučajnu varijablu ravnomjerno raspoređenu u (0, 1) R i podijeliti interval (0, 1) po tačkama sa koordinatama R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +r p-1 uključeno P parcijalni intervali čije su dužine jednake vjerovatnoćama sa istim indeksima.
Teorema 24.1. Ako se svakom nasumičnom broju koji padne u interval dodijeli moguća vrijednost, tada će igrana vrijednost imati dati zakon raspodjele:
x x 1 X 2 … x n
p str 1 R 2 … r p .
Dokaz.
Moguće vrijednosti dobijene slučajne varijable poklapaju se sa skupom X 1 , X 2 ,… x n, budući da je broj intervala P, i kada je pogođen r j u intervalu, slučajna varijabla može uzeti samo jednu od vrijednosti X 1 , X 2 ,… x n.
Jer R je ravnomerno raspoređena, onda je verovatnoća njegovog pada u svaki interval jednaka njegovoj dužini, što implicira da svaka vrednost odgovara verovatnoći pi. Dakle, slučajna varijabla koja se igra ima dati zakon raspodjele.
Primjer. Pustite 10 vrijednosti diskretne slučajne varijable X, čiji zakon raspodjele ima oblik: X 2 3 6 8
R 0,1 0,3 0,5 0,1
Rješenje. Podijelimo interval (0, 1) na parcijalne intervale: D 1 - (0; 0,1), D 2 - (0,1; 0,4), D 3 - (0,4; 0,9), D 4 – (0,9; 1). Zapišimo 10 brojeva iz tabele slučajnih brojeva: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. Prvi i sedmi broj leže na intervalu D 1 , stoga je u ovim slučajevima slučajna varijabla koja se igra ima vrijednost X 1 = 2; treći, četvrti, osmi i deseti broj su upali u interval D 2 , što odgovara X 2 = 3; drugi, peti, šesti i deveti broj su bili u intervalu D 3 - dok X = x 3 = 6; nijedan broj nije upao u zadnji interval. Dakle, odigrane moguće vrijednosti X su: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.
2. Odigravanje suprotnih događaja.
Neka bude potrebno igrati triale, u svakoj od kojih je događaj ALI pojavljuje se sa poznatom vjerovatnoćom R. Razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu X, koji uzima vrijednosti 1 (ako je događaj ALI dogodilo) sa vjerovatnoćom R i 0 (ako ALI nije se dogodilo) sa vjerovatnoćom q = 1 – str. Zatim igramo ovu slučajnu varijablu kao što je predloženo u prethodnom paragrafu.
Primjer. Igrajte 10 izazova, svaki sa događajem ALI pojavljuje se sa vjerovatnoćom od 0,3.
Rješenje. Za slučajnu varijablu X sa zakonom o distribuciji X 1 0
R 0,3 0,7
dobijamo intervale D 1 - (0; 0,3) i D 2 - (0,3; 1). Koristimo isti uzorak slučajnih brojeva kao u prethodnom primjeru, za koji brojevi №№1,3 i 7 spadaju u interval D 1, a ostali - u interval D 2 . Stoga možemo pretpostaviti da je događaj ALI dogodilo u prvom, trećem i sedmom suđenju, ali se nije dogodilo u ostalim.
3. Igranje kompletne grupe događaja.
Ako događaji ALI 1 , ALI 2 , …, A str, čije su vjerovatnoće jednake R 1 , R 2 ,… r p, formiraju kompletnu grupu, a zatim za igranje (tj. modeliranje redoslijeda njihovog pojavljivanja u nizu testova) možete igrati diskretnu slučajnu varijablu X sa zakonom o distribuciji X 1 2 … P, radeći to na isti način kao u stavu 1. Istovremeno pretpostavljamo da
p str 1 R 2 … r p
ako X poprima vrednost x i = i, tada se u ovom suđenju dogodio događaj A i.
4. Igranje kontinuirane slučajne varijable.
a) Metoda inverznih funkcija.
Neka je potrebno igrati kontinuiranu slučajnu varijablu X, tj. dobiti niz njegovih mogućih vrijednosti x i (i = 1, 2, …, n), znajući funkciju distribucije F(x).
Teorema 24.2. Ako r i je slučajni broj, zatim moguća vrijednost x i igra kontinuiranu slučajnu varijablu X sa datom funkcijom distribucije F(x), odgovarajući r i, je korijen jednadžbe
F(x i) = r i. (24.1)
Dokaz.
Jer F(x) monotono raste u rasponu od 0 do 1, tada postoji (i jedinstvena) vrijednost argumenta x i, pri čemu funkcija distribucije uzima vrijednost r i. Dakle, jednačina (24.1) ima jedinstveno rješenje: x i= F -1 (r i), gdje F-1 - funkcija inverzna od F. Dokažimo da je korijen jednadžbe (24.1) moguća vrijednost razmatrane slučajne varijable X. Pretpostavimo prvo to x i je moguća vrijednost neke slučajne varijable x, i dokazujemo da je vjerovatnoća da x padne u interval ( c, d) je jednako F(d) – F(c). Zaista, zbog monotonosti F(x) i to F(x i) = r i. Onda
Stoga je vjerovatnoća da x padne u interval ( c, d) jednak je prirastu funkcije distribucije F(x) na ovom intervalu, dakle x = X.
Pustite 3 moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređenih u intervalu (5; 8).
F(x) = , odnosno potrebno je riješiti jednačinu Odaberimo 3 slučajna broja: 0,23; 0,09 i 0,56 i zamijenite ih u ovu jednačinu. Dobijte odgovarajuće moguće vrijednosti X:
b) Metoda superpozicije.
Ako se funkcija distribucije slučajne varijable koja se igra može predstaviti kao linearna kombinacija dvije funkcije distribucije:
onda , jer at X®¥ F(x) ® 1.
Uvodimo pomoćnu diskretnu slučajnu varijablu Z sa zakonom o distribuciji
Z 12 . Odaberimo 2 nezavisna slučajna broja r 1 i r 2 i odigrajte moguće
pc 1 C 2
značenje Z po broju r 1 (vidi stav 1). Ako Z= 1, onda tražimo željenu moguću vrijednost X iz jednačine, i ako Z= 2, tada rješavamo jednačinu .
Može se dokazati da je u ovom slučaju funkcija distribucije slučajne varijable koja se igra jednaka datoj funkciji distribucije.
c) Približna simulacija normalne slučajne varijable.
Od za R, ravnomjerno raspoređen u (0, 1), , zatim za zbir P nezavisne, ravnomerno raspoređene u intervalu (0,1) slučajne varijable . Zatim, na osnovu središnje granične teoreme, normalizirana slučajna varijabla na P® ¥ će imati distribuciju blisku normalnoj, sa parametrima ali= 0 i s =1. Konkretno, dobija se prilično dobra aproksimacija za P = 12:
Dakle, da se igra moguća vrijednost normalizirane normalne slučajne varijable X, trebate dodati 12 nezavisnih nasumičnih brojeva i od zbroja oduzeti 6.
Suština Monte Carlo metode je sljedeća: potrebno je pronaći vrijednost ali neka vrijednost koja se proučava. U tu svrhu se bira takva slučajna varijabla X čije je matematičko očekivanje jednako a: M(X)=a.
U praksi rade ovo: izračunavaju (odigravaju) n moguće vrijednosti x i slučajne varijable X, pronađite njihovu aritmetičku sredinu
I uzimaju kao procjenu (približnu vrijednost) a * željenog broja a. Dakle, za primjenu Monte Carlo metode potrebno je biti u stanju igrati slučajnu varijablu.
Neka je potrebno igrati diskretnu slučajnu varijablu X, tj. izračunajte niz njegovih mogućih vrijednosti x i (i=1,2, …), znajući zakon raspodjele X. Uvedemo notaciju: R je kontinuirana slučajna varijabla raspoređena jednoliko u intervalu (0,1); r i (j=1,2,…) – slučajni brojevi (moguće vrijednosti R).
pravilo: Da bi se igrala diskretna slučajna varijabla X zadata zakonom raspodjele
X x 1 x 2 ... x n
P p 1 p 2 … p n
1. Razbiti interval (0,1) ili osi na n parcijalnih intervala:
Δ 1 = (0; p 1), Δ 2 = (p 1; p 1+ p 2), ..., Δ n = (p 1 + p 2 + ... + p n -1; 1).
2. Odaberite slučajni broj r j . Ako je r j pao u parcijalni interval Δ i , tada je igrana vrijednost poprimila moguću vrijednost x i . .
Reprodukcija cijele grupe događaja
Potrebno je igrati testove, u svakom od kojih se javlja jedan od događaja pune grupe čije su vjerovatnoće poznate. Reprodukcija kompletne grupe događaja svodi se na igranje diskretne slučajne varijable.
pravilo: Da bi se igrali testovi, u svakom od kojih se javlja jedan od događaja A 1, A 2, ..., A n pune grupe, čije su vjerovatnoće p 1, p 2, ..., pn poznate, dovoljno je igrati diskretnu vrijednost X sa sljedećim zakonom raspodjele:
P p 1 p 2 … p n
Ako je u testu vrijednost X uzela moguću vrijednost x i =i, tada se dogodio događaj A i.
Reprodukcija kontinuirane slučajne varijable
Poznata je funkcija raspodjele F kontinuirane slučajne varijable X. Potrebno je igrati X, tj. izračunati niz mogućih vrijednosti x i (i=1,2, …).
A. Metoda inverznih funkcija. Pravilo 1 x i neprekidne slučajne varijable X, znajući njenu funkciju distribucije F, potrebno je odabrati slučajni broj r i , izjednačiti njegove funkcije raspodjele i riješiti za x i rezultirajuću jednačinu F(h i) = r i .
Ako je gustina vjerovatnoće f(x) poznata, onda se koristi pravilo 2.
Pravilo 2 Da odigramo moguće značenje x i kontinuirane slučajne varijable X, znajući njenu gustinu vjerovatnoće f, trebate odabrati slučajni broj r i i riješiti jednačinu za x i
ili jednačina
gdje je a najmanja konačna moguća vrijednost X.
B. Metoda superpozicije. Pravilo 3 Da bi se odigrala moguća vrijednost slučajne varijable X, čija funkcija raspodjele
F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),
gde je F k (x) – funkcije raspodele (k=1, 2, …, n), S k >0, S i +S 2 +…+S n =1, potrebno je izabrati dva nezavisna slučajna broja r 1 i r 2 i za slučajni broj r 1 igra moguću vrijednost pomoćne diskretne slučajne varijable Z (prema pravilu 1):
p C 1 C 2 … C n
Ako se ispostavi da je Z=k, onda je jednadžba F k (x) = r 2 riješena za x.
Napomena 1. Ako je gustina vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X data u obliku
f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),
gdje su f k gustine vjerovatnoće, koeficijenti C k su pozitivni, njihov zbir je jednak jedan, a ako se ispostavi da je Z=k, onda oni rješavaju (prema pravilu 2) u odnosu na x i u odnosu na ili jednadžbu
Približno igranje normalne slučajne varijable
Pravilo. Kako bismo aproksimirali moguću vrijednost x i normalne slučajne varijable X sa parametrima a=0 i σ=1, dodajte 12 nezavisnih slučajnih brojeva i oduzmite 6 od rezultirajuće sume:
Komentar. Ako želite otprilike igrati normalnu slučajnu varijablu Z sa matematičkim očekivanjem ali i standardnu devijaciju σ, zatim, odigravši moguću vrijednost x i prema gore navedenom pravilu, pronalaze željenu moguću vrijednost po formuli: z i =σx i +a.
Označite ravnomjerno raspoređen SW u intervalu (0, 1) sa R, a njegove moguće vrijednosti (slučajni brojevi) sa r j .
Hajde da prekinemo interval .
Iz ovih nejednakosti slijedi da ako je slučajna varijabla ξ zatvoren u intervalu
od< ξ < d, ξ (**)
zatim slučajna varijabla R zatvoren u intervalu
F(od)< R< F(d), (***)
i nazad. Dakle, nejednakosti (**) i (***) su ekvivalentne i, prema tome, jednako vjerovatne:
R(od< ξ< d)=P[F(od)< R< F(d)]. (****)
Pošto vrednost R ravnomjerno raspoređena u intervalu (0,1), zatim vjerovatnoća pogotka R nekom intervalu koji pripada intervalu (0,1) jednaka je njegovoj dužini (vidi poglavlje XI, § 6, napomena). posebno,
R[F(od)< R< F(d) ] = F(d) - F(od).
Stoga se relacija (****) može zapisati kao
R(od< ξ< d)= F(d) - F(od).
Dakle, vjerovatnoća udarca ξ u interval ( od,d) jednak je prirastu funkcije distribucije F(X) na ovom intervalu, što znači da ξ=X. Drugim riječima, brojevi X i, definisan formulom (*), postoje moguće vrijednosti količine X s data funkcija distribucije F(X), Q.E.D.
Pravilo 1X i , kontinuirana slučajna varijabla x, znajući njegovu funkciju distribucije F(X), morate odabrati nasumični broj r i izjednačiti njegove funkcije distribucije i riješiti za X i , rezultirajuća jednačina
F(X i)= r i .
Napomena 1. Ako se ova jednačina ne može riješiti eksplicitno, onda se pribjegava grafičkim ili numeričkim metodama.
Primjer I Pustite 3 moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable x, ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2, 10).
Rješenje. Napišimo funkciju raspodjele veličine x, ravnomjerno raspoređeni u intervalu ( ali,b) (vidi poglavlje XI, § 3, primjer):
F(X)= (Ha)/ (b-ali).
po uslovu, a = 2, b=10, dakle,
F(X)= (X- 2)/ 8.
Koristeći pravilo ovog odjeljka, pišemo jednačinu da pronađemo moguće vrijednosti X i , za koju funkciju distribucije izjednačavamo sa slučajnim brojem:
(X i -2 )/8= r i .
Odavde X i =8 r i + 2.
Odaberimo 3 nasumična broja, na primjer, r i =0,11, r i =0,17, r i=0,66. Zamijenite ove brojeve u jednadžbu, riješenu u odnosu na X i , kao rezultat dobijamo odgovarajuće moguće vrednosti X: X 1 = 8 0,11 + 2 \u003d = 2,88; X 2 =1.36; X 3 = 7,28.
Primjer 2 Kontinuirana slučajna varijabla X distribuiran prema eksponencijalnom zakonu datom funkcijom distribucije (poznat je parametar λ > 0)
F(X)= 1 - e - λ X (x>0).
Potrebno je pronaći eksplicitnu formulu za igranje mogućih vrijednosti x.
Rješenje. Koristeći pravilo ovog pasusa, pišemo jednačinu
1 - e - λ X i
Hajde da riješimo ovu jednačinu za X i :
e - λ X i = 1 - r i, ili - λ X i = ln(1 - r i).
X i =1p(1– r i)/λ .
Slučajni broj r i zatvoren u intervalu (0,1); dakle broj 1 - r i, također slučajan i pripada intervalu (0,1). Drugim riječima, količine R i 1- R ravnomjerno raspoređeni. Stoga, da bi se pronašao X i Možete koristiti jednostavniju formulu:
x i =- ln r i /λ.
Napomena 2. Poznato je da (vidjeti Ch. XI, §3)
posebno,
Iz toga slijedi da ako je gustina vjerovatnoće poznata f(x), zatim da igrate X umjesto jednačina F(x i)=r i odlučiti o x i jednačina
Pravilo 2 Da biste pronašli moguću vrijednost X i (kontinuirana slučajna varijabla x, znajući njegovu gustinu vjerovatnoće f(x) odaberite nasumični broj r i i odluči se X i , jednačina
ili jednačina
gdje ali- najmanju moguću konačnu vrijednost x.
Primjer 3 S obzirom na gustinu vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable Xf(X)=λ (1-λx/2) u intervalu (0; 2/λ); izvan ovog intervala f(X)= 0. Potrebno je pronaći eksplicitnu formulu za igranje mogućih vrijednosti x.
Rješenje. Zapisujemo u skladu sa pravilom 2 jednačinu
Nakon integracije i rješavanja rezultirajuće kvadratne jednadžbe za X i, konačno dobijamo
