Tabela osnovnih svojstava elementarnih funkcija. Funkcije i grafovi

1) Opseg funkcije i opseg funkcija.

Opseg funkcije je skup svih važećih valjanih vrijednosti argumenta x(promenljiva x) za koju je funkcija y = f(x) definisano. Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y da funkcija prihvata.

U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije.

Nula funkcije je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Intervali predznaka konstante funkcije su takvi skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Povećajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parne (neparne) funkcije.

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-os.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, onda je funkcija neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz domena funkcije f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).

19. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u privredi.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.

Broj ali koji se naziva nagib prave linije, jednak je tangenti ugla nagiba ove prave linije u odnosu na pozitivan smjer x-ose. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Definisano je sa dvije tačke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva: D (y) \u003d R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija uzima nultu vrijednost za ili.

4. Funkcija raste (opada) u cijelom domenu definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana na cijelom području definicije, diferencibilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratni.

Znanje osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi ništa manje važno od poznavanja tablice množenja. Oni su kao temelj, sve se zasniva na njima, sve se gradi od njih i sve se svodi na njih.

U ovom članku navodimo sve glavne elementarne funkcije, dajemo njihove grafove i dajemo ih bez izvođenja i dokaza. svojstva osnovnih elementarnih funkcija prema šemi:

ponašanje funkcije na granicama domene definicije, vertikalne asimptote (ako je potrebno, pogledajte članak klasifikacija prijelomnih tačaka funkcije);
parni i neparni;
konveksnost (konveksnost prema gore) i konkavnost (konveksnost prema dole) intervali, tačke pregiba (ako je potrebno, pogledajte konveksnost funkcije članka, pravac konveksnosti, tačke pregiba, konveksnost i uslovi fleksije);
kose i horizontalne asimptote;
singularne tačke funkcija;
posebna svojstva nekih funkcija (na primjer, najmanji pozitivni period za trigonometrijske funkcije).

Ako vas zanima ili, onda možete ići na ove dijelove teorije.

Osnovne elementarne funkcije su: konstantna funkcija (konstanta), korijen n-tog stepena, funkcija stepena, eksponencijalna, logaritamska funkcija, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije.

Navigacija po stranici.

Trajna funkcija.

Konstantna funkcija je data na skupu svih realnih brojeva formulom , gdje je C neki realan broj. Konstantna funkcija svakoj realnoj vrijednosti nezavisne varijable x dodjeljuje istu vrijednost zavisne varijable y - vrijednost S. Konstantna funkcija se također naziva konstantom.

Grafikon konstantne funkcije je prava linija paralelna sa x-osi i koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0,C). Na primjer, pokažimo grafove konstantnih funkcija y=5, y=-2 i , koji na donjoj slici odgovaraju crnoj, crvenoj i plavoj liniji, respektivno.

Svojstva konstantne funkcije.

Područje definicije: cijeli skup realnih brojeva.
Konstantna funkcija je parna.
Raspon vrijednosti: skup koji se sastoji od jednog broja C .
Konstantna funkcija nije rastuća i neopadajuća (zato je konstantna).
Nema smisla govoriti o konveksnosti i konkavnosti konstante.
Ne postoji asimptota.
Funkcija prolazi kroz tačku (0,C) koordinatne ravni.

Koren n-tog stepena.

Razmotrimo osnovnu elementarnu funkciju, koja je data formulom , gdje je n prirodni broj veći od jedan.

Koren n-tog stepena, n je paran broj.

Počnimo s n-tom korijenskom funkcijom za parne vrijednosti korijenskog eksponenta n.

Na primjer, dajemo sliku sa slikama grafova funkcija i , odgovaraju crnim, crvenim i plavim linijama.

Grafovi funkcija korijena parnog stupnja imaju sličan oblik za druge vrijednosti indikatora.

Svojstva korijena n-tog stepena za paran n .

Koren n-tog stepena, n je neparan broj.

Funkcija korijena n-tog stepena sa neparnim eksponentom korijena n definirana je na cijelom skupu realnih brojeva. Na primjer, predstavljamo grafove funkcija i , crne, crvene i plave krive odgovaraju njima.

Za ostale neparne vrijednosti korijenskog eksponenta, grafovi funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva korijena n-tog stepena za neparan n .

Funkcija napajanja.

Funkcija snage je data formulom oblika .

Razmotrite tip grafova funkcije stepena i svojstva funkcije stepena u zavisnosti od vrednosti eksponenta.

Počnimo s funkcijom stepena s cjelobrojnim eksponentom a. U ovom slučaju, oblik grafova funkcija stepena i svojstva funkcija zavise od parnog ili neparnog eksponenta, kao i od njegovog predznaka. Stoga prvo razmatramo funkcije stepena za neparne pozitivne vrijednosti eksponenta a, zatim za parne pozitivne, zatim za neparne negativne eksponente, i na kraju, za parne negativne a.

Svojstva funkcija stepena sa frakcijskim i iracionalnim eksponentima (kao i vrsta grafova takvih funkcija stepena) zavise od vrednosti eksponenta a. Razmotrićemo ih, prvo, kada je a od nula do jedan, drugo, kada je a veće od jedan, treće, kada je a od minus jedan do nule, i četvrto, kada je a manje od minus jedan.

U zaključku ovog pododjeljka, radi kompletnosti, opisujemo funkciju stepena s nultim eksponentom.

Funkcija stepena s neparnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju stepena sa neparnim pozitivnim eksponentom, odnosno sa a=1,3,5,… .

Na slici ispod prikazani su grafikoni funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x .

Svojstva funkcije stepena s neparnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija snage s parnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju stepena s parnim pozitivnim eksponentom, to jest za a=2,4,6,… .

Kao primjer, uzmimo grafove funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija. Za a=2 imamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Svojstva funkcije stepena s parnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija snage s neparnim negativnim eksponentom.

Pogledajte grafikone eksponencijalne funkcije za neparne negativne vrijednosti eksponenta, odnosno za = -1, -3, -5, ....

Na slici su prikazani grafovi eksponencijalnih funkcija kao primjeri - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=-1 imamo inverzna proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Svojstva funkcije stepena s neparnim negativnim eksponentom.

Funkcija snage s parnim negativnim eksponentom.

Pređimo na funkciju snage na a=-2,-4,-6,….

Na slici su prikazani grafikoni funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija.

Svojstva funkcije stepena s parnim negativnim eksponentom.

Funkcija stepena s racionalnim ili iracionalnim eksponentom čija je vrijednost veća od nule i manja od jedan.

Bilješka! Ako je a pozitivan razlomak sa neparnim nazivnikom, onda neki autori smatraju da je interval domen funkcije stepena. Istovremeno, propisano je da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Mi ćemo se pridržavati upravo takvog gledišta, odnosno smatrat ćemo domene funkcija stepena s razlomačnim pozitivnim eksponentima skupom . Podstičemo učenike da steknu perspektivu vašeg nastavnika o ovoj suptilnoj tački kako bi izbjegli neslaganje.

Razmotrimo funkciju stepena s racionalnim ili iracionalnim eksponentom a , i .

Prikazani su grafovi funkcija snaga za a=11/12 (crna linija), a=5/7 (crvena linija), (plava linija), a=2/5 (zelena linija).

Funkcija stepena s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom većim od jedan.

Razmotrimo funkciju stepena s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom a , i .

Predstavimo grafove funkcija stepena datih formulama (crne, crvene, plave i zelene linije).

Za ostale vrijednosti eksponenta a grafovi funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva funkcije snage za .

Funkcija stepena sa realnim eksponentom koji je veći od minus jedan i manji od nule.

Bilješka! Ako je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, onda neki autori razmatraju interval . Istovremeno, propisano je da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Mi ćemo se pridržavati upravo takvog gledišta, odnosno skupom ćemo smatrati domene funkcija stepena s razlomačnim negativnim eksponentima. Podstičemo učenike da steknu perspektivu vašeg nastavnika o ovoj suptilnoj tački kako bi izbjegli neslaganje.

Prelazimo na funkciju snage , gdje je .

Da bismo imali dobru predstavu o vrsti grafova funkcija moći za , dajemo primjere grafova funkcija (crna, crvena, plava i zelena krivulja, redom).

Svojstva funkcije stepena s eksponentom a , .

Funkcija stepena s realnim eksponentom koji nije cijeli broj koji je manji od minus jedan.

Navedimo primjere grafova funkcija stepena za , prikazani su crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama.

Svojstva funkcije stepena s negativnim eksponentom koji nije cijeli broj manji od minus jedan.

Kada je a=0 i imamo funkciju - ovo je prava linija iz koje je isključena tačka (0; 1) (dogovoreno je da izraz 0 0 ne pridaje nikakvu važnost).

Eksponencijalna funkcija.

Jedna od osnovnih elementarnih funkcija je eksponencijalna funkcija.

Grafikon eksponencijalne funkcije, gdje i poprima drugačiji oblik ovisno o vrijednosti baze a. Hajde da to shvatimo.

Prvo, razmotrimo slučaj kada baza eksponencijalne funkcije uzima vrijednost od nule do jedan, to jest, .

Na primjer, predstavljamo grafike eksponencijalne funkcije za a = 1/2 - plava linija, a = 5/6 - crvena linija. Grafovi eksponencijalne funkcije imaju sličan izgled za druge vrijednosti baze iz intervala.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom manjom od jedan.

Okrećemo se slučaju kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan, odnosno, .

Kao ilustraciju predstavljamo grafove eksponencijalnih funkcija - plava linija i - crvena linija. Za druge vrijednosti baze, veće od jedan, grafovi eksponencijalne funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom većom od jedan.

Logaritamska funkcija.

Sljedeća osnovna elementarna funkcija je logaritamska funkcija , gdje je , . Logaritamska funkcija je definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta, odnosno za .

Grafikon logaritamske funkcije poprima drugačiji oblik u zavisnosti od vrijednosti baze a.

Osnovne elementarne funkcije, njihova inherentna svojstva i odgovarajući grafovi su jedna od osnova matematičkog znanja, slična po važnosti tablici množenja. Elementarne funkcije su osnova, podrška za proučavanje svih teorijskih pitanja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Članak u nastavku pruža ključni materijal na temu osnovnih elementarnih funkcija. Uvest ćemo pojmove, dati im definicije; Hajde da detaljno proučimo svaku vrstu elementarnih funkcija i analiziramo njihova svojstva.

Razlikuju se sljedeće vrste osnovnih elementarnih funkcija:

Definicija 1

konstantna funkcija (konstanta);
korijen n-tog stepena;
funkcija snage;
eksponencijalna funkcija;
logaritamska funkcija;
trigonometrijske funkcije;
bratske trigonometrijske funkcije.

Konstantna funkcija je definirana formulom: y = C (C je neki realan broj) i također ima ime: konstanta. Ova funkcija određuje da li bilo koja realna vrijednost nezavisne varijable x odgovara istoj vrijednosti varijable y – vrijednosti C.

Grafikon konstante je prava linija koja je paralelna sa x-osi i prolazi kroz tačku koja ima koordinate (0, C). Radi jasnoće, predstavljamo grafike konstantnih funkcija y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (na crtežu su označene crnom, crvenom i plavom bojom).

Definicija 2

Ova elementarna funkcija je definirana formulom y = x n (n je prirodni broj veći od jedan).

Razmotrimo dvije varijacije funkcije.

Koren n-tog stepena, n je paran broj

Radi jasnoće, ukazujemo na crtež koji prikazuje grafikone takvih funkcija: y = x , y = x 4 i y = x 8 . Ove funkcije su označene bojama: crna, crvena i plava, respektivno.

Sličan pogled na grafove funkcije parnog stepena za druge vrijednosti indikatora.

Definicija 3

Svojstva korijena funkcije n-tog stepena, n je paran broj

domen definicije je skup svih nenegativnih realnih brojeva [ 0 , + ∞) ;
kada je x = 0, funkcija y = x n ima vrijednost jednaku nuli;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni parna ni neparna);
raspon: [ 0 , + ∞) ;
ova funkcija y = x n s parnim eksponentima korijena raste u cijelom domenu definicije;
funkcija ima konveksnost sa smjerom prema gore u cijeloj domeni definicije;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
graf funkcije za parno n prolazi kroz tačke (0 ; 0) i (1 ; 1) .

Koren n-tog stepena, n je neparan broj

Takva funkcija je definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Radi jasnoće, razmotrite grafove funkcija y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na crtežu su označene bojama: crna, crvena i plava boja krivulja, respektivno.

Druge neparne vrijednosti eksponenta korijena funkcije y = x n dat će graf sličnog oblika.

Definicija 4

Svojstva korijena funkcije n-tog stepena, n je neparan broj

domen definicije je skup svih realnih brojeva;
ova funkcija je neparna;
raspon vrijednosti je skup svih realnih brojeva;
funkcija y = x n sa neparnim eksponentima korijena raste u cijelom domenu definicije;
funkcija ima konkavnost na intervalu (- ∞ ; 0 ] i konveksnost na intervalu [ 0 , + ∞) ;
tačka pregiba ima koordinate (0 ; 0) ;
nema asimptota;
graf funkcije za neparan n prolazi kroz tačke (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) i (1 ; 1) .

Funkcija napajanja

Definicija 5

Funkcija snage je definirana formulom y = x a .

Tip grafova i svojstva funkcije zavise od vrijednosti eksponenta.

kada funkcija stepena ima celobrojni eksponent a, tada oblik grafa funkcije stepena i njena svojstva zavise od toga da li je eksponent paran ili neparan, kao i koji predznak ima eksponent. Razmotrimo sve ove posebne slučajeve detaljnije u nastavku;
eksponent može biti razlomačan ili iracionalan - ovisno o tome, tip grafova i svojstva funkcije također variraju. Posebne slučajeve ćemo analizirati postavljanjem nekoliko uslova: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
funkcija stepena može imati nulti eksponent, u nastavku ćemo također detaljnije analizirati ovaj slučaj.

Analizirajmo funkciju snage y = x a kada je a neparan pozitivan broj, na primjer, a = 1 , 3 , 5 ...

Radi jasnoće, ukazujemo na grafove takvih funkcija stepena: y = x (crna boja grafikona), y = x 3 (plava boja grafikona), y = x 5 (crvena boja grafikona), y = x 7 (zeleni grafikon). Kada je a = 1, dobijamo linearnu funkciju y = x.

Definicija 6

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent neparan pozitivan

funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcija je konveksna za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konkavna za x ∈ [ 0 ; + ∞) (isključujući linearnu funkciju);
tačka pregiba ima koordinate (0 ; 0) (isključujući linearnu funkciju);
nema asimptota;
prolazne tačke funkcije: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizirajmo funkciju snage y = x a kada je a paran pozitivan broj, na primjer, a = 2 , 4 , 6 ...

Radi jasnoće, ukazujemo na grafikone takvih funkcija snage: y \u003d x 2 (crna boja grafikona), y = x 4 (plava boja grafikona), y = x 8 (crvena boja grafikona). Kada je a = 2, dobijamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Definicija 7

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak pozitivan:

domen definicije: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
opadajuće za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funkcija je konkavna za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
prolazne tačke funkcije: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Na slici ispod prikazani su primjeri grafova eksponencijalne funkcije y = x a kada je a neparan negativan broj: y = x - 9 (crna boja grafikona); y = x - 5 (plava boja grafikona); y = x - 3 (crvena boja grafikona); y = x - 1 (zeleni grafikon). Kada je \u003d - 1, dobijamo inverznu proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Definicija 8

Svojstva funkcije snage kada je eksponent neparno negativan:

Kada je x = 0, dobijamo diskontinuitet druge vrste, budući da je lim x → 0 - 0 xa = - ∞, lim x → 0 + 0 xa = + ∞ za a = 1, - 3, - 5, .... Dakle, prava linija x = 0 je vertikalna asimptota;

raspon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija je neparna jer y (- x) = - y (x) ;
funkcija je opadajuća za x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija je konveksna za x ∈ (- ∞ ; 0) i konkavna za x ∈ (0 ; + ∞) ;
nema pregibnih tačaka;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

prolazne točke funkcije: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Na slici ispod prikazani su primjeri grafova funkcije snage y = x a kada je a paran negativan broj: y = x - 8 (grafikon u crnoj boji); y = x - 4 (plava boja grafikona); y = x - 2 (crvena boja grafikona).

Definicija 9

Svojstva funkcije snage kada je eksponent čak negativan:

domen definicije: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kada je x = 0, dobijamo diskontinuitet druge vrste, budući da je lim x → 0 - 0 xa = + ∞, lim x → 0 + 0 xa = + ∞ za a = 2, - 4, - 6, .... Dakle, prava linija x = 0 je vertikalna asimptota;

funkcija je parna jer je y (- x) = y (x) ;
funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; 0) i opada za x ∈ 0 ; +∞ ;
funkcija je konkavna za x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota je prava linija y = 0 jer:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

prolazne tačke funkcije: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samog početka obratite pažnju na sledeći aspekt: u slučaju kada je a pozitivan razlomak sa neparnim nazivnikom, neki autori uzimaju interval - ∞ kao domen definicije ove funkcije stepena; + ∞ , uvjetujući da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Trenutno, autori mnogih obrazovnih publikacija o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena, gdje je eksponent razlomak s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Dalje ćemo se pridržavati upravo takvog stava: uzimamo skup [ 0 ; +∞) . Preporuka za učenike: saznajte u ovom trenutku stav nastavnika kako biste izbjegli nesuglasice.

Dakle, pogledajmo funkciju napajanja y = x a kada je eksponent racionalan ili iracionalan broj pod uslovom da je 0< a < 1 .

Ilustrirajmo grafovima funkcije snage y = x a kada je a = 11 12 (grafikon u crnoj boji); a = 5 7 (crvena boja grafikona); a = 1 3 (plava boja grafikona); a = 2 5 (zelena boja grafikona).

Ostale vrijednosti eksponenta a (pod pretpostavkom 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicija 10

Svojstva funkcije snage na 0< a < 1:

opseg: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
funkcija raste za x ∈ [ 0 ; +∞) ;
funkcija ima konveksnost za x ∈ (0 ; + ∞) ;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;

Analizirajmo funkciju snage y = x a kada je eksponent necijeli racionalan ili iracionalan broj pod uslovom da je a > 1 .

Ilustrujemo grafove funkcije snage y = xa pod datim uslovima koristeći sljedeće funkcije kao primjer: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (crna, crvena, plava, zelena grafovi, respektivno).

Druge vrijednosti eksponenta a pod uvjetom a > 1 dat će sličan prikaz grafa.

Definicija 11

Svojstva funkcije snage za a > 1:

domen definicije: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
opseg: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
funkcija raste za x ∈ [ 0 ; +∞) ;
funkcija je konkavna za x ∈ (0 ; + ∞) (kada je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
prolazne tačke funkcije: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Skrećemo vam pažnju: Kada je a negativan razlomak sa neparnim nazivnikom, u radovima nekih autora postoji stav da je domen definicije u ovom slučaju interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) s tim da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Trenutno, autori edukativnih materijala o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena sa eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Nadalje, pridržavamo se upravo takvog gledišta: uzimamo skup (0 ; + ∞) kao domenu funkcija stepena s razlomkom negativnih eksponenta. Prijedlog za učenike: U ovom trenutku razjasnite viziju svog nastavnika kako biste izbjegli neslaganje.

Nastavljamo temu i analiziramo funkciju snage y = x a predviđeno: - 1< a < 0 .

Evo crteža grafova sljedećih funkcija: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (crne, crvene, plave, zelene linije, respektivno ).

Definicija 12

Svojstva funkcije snage na -1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

opseg: y ∈ 0 ; +∞ ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
nema pregibnih tačaka;

Na donjem crtežu su prikazani grafovi funkcija stepena y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (crna, crvena, plava, zelena boja krive, respektivno).

Definicija 13

Svojstva funkcije snage za a< - 1:

domen definicije: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
funkcija se smanjuje za x ∈ 0; +∞ ;
funkcija je konkavna za x ∈ 0; +∞ ;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota - prava linija y = 0 ;
prolazna točka funkcije: (1 ; 1) .

Kada je a = 0 i x ≠ 0, dobijamo funkciju y = x 0 = 1, koja određuje liniju iz koje je isključena tačka (0; 1) (složili smo se da izraz 0 0 neće biti dat bilo koju vrijednost).

Eksponencijalna funkcija ima oblik y = a x , gdje je a > 0 i a ≠ 1 , a grafik ove funkcije izgleda drugačije na osnovu vrijednosti baze a . Razmotrimo posebne slučajeve.

Prvo, analizirajmo situaciju kada baza eksponencijalne funkcije ima vrijednost od nula do jedan (0< a < 1) . Ilustrativan primjer su grafovi funkcija za a = 1 2 (plava boja krive) i a = 5 6 (crvena boja krive).

Grafovi eksponencijalne funkcije će imati sličan oblik za druge vrijednosti baze, pod uslovom da je 0< a < 1 .

Definicija 14

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza manja od jedan:

raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
eksponencijalna funkcija čija je baza manja od jedan opada u cijelom domenu definicije;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota je prava linija y = 0 sa varijablom x koja teži + ∞ ;

Sada razmotrite slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan (a > 1).

Ilustrujmo ovaj poseban slučaj grafikom eksponencijalnih funkcija y = 3 2 x (plava boja krive) i y = e x (crvena boja grafika).

Druge vrijednosti baze, veće od jedan, dat će sličan prikaz grafa eksponencijalne funkcije.

Definicija 15

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza veća od jedan:

domen definicije je čitav skup realnih brojeva;
raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
eksponencijalna funkcija čija je baza veća od jedan raste za x ∈ - ∞ ; +∞ ;
funkcija je konkavna za x ∈ - ∞ ; +∞ ;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota - prava linija y = 0 sa promenljivom x koja teži - ∞ ;
prolazna točka funkcije: (0 ; 1) .

Logaritamska funkcija ima oblik y = log a (x) , gdje je a > 0 , a ≠ 1 .

Takva funkcija je definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta: za x ∈ 0 ; +∞ .

Grafikon logaritamske funkcije ima drugačiji oblik, na osnovu vrijednosti baze a.

Razmotrimo prvo situaciju kada je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Druge vrijednosti baze, ne veće od jedan, dat će sličan prikaz grafa.

Definicija 16

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza manja od jedan:

domen definicije: x ∈ 0 ; +∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže + ∞;
raspon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
logaritamski
funkcija je konkavna za x ∈ 0; +∞ ;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;

Sada analizirajmo poseban slučaj kada je baza logaritamske funkcije veća od jedan: a > 1 . Na donjem crtežu se nalaze grafovi logaritamskih funkcija y = log 3 2 x i y = ln x (plava i crvena boja grafika, respektivno).

Druge vrijednosti baze veće od jedan će dati sličan prikaz grafa.

Definicija 17

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza veća od jedan:

domen definicije: x ∈ 0 ; +∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže - ∞;
raspon: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cijeli skup realnih brojeva);
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
logaritamska funkcija raste za x ∈ 0; +∞ ;
funkcija ima konveksnost za x ∈ 0; +∞ ;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
prolazna točka funkcije: (1 ; 0) .

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangent i kotangens. Analizirajmo svojstva svakog od njih i odgovarajuće grafove.

Općenito, sve trigonometrijske funkcije karakterizira svojstvo periodičnosti, tj. kada se vrijednosti funkcija ponavljaju za različite vrijednosti argumenta koji se međusobno razlikuju po vrijednosti perioda f (x + T) = f (x) (T je period). Tako se na listu svojstava trigonometrijskih funkcija dodaje stavka "najmanje pozitivno razdoblje". Osim toga, naznačit ćemo takve vrijednosti argumenta za koje odgovarajuća funkcija nestaje.

Sinusna funkcija: y = sin(x)

Grafikon ove funkcije naziva se sinusni val.

Definicija 18

Svojstva sinusne funkcije:

domen definicije: cijeli skup realnih brojeva x ∈ - ∞ ; +∞ ;
funkcija nestaje kada je x = π k , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
funkcija raste za x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z i opadajući za x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
sinusna funkcija ima lokalne maksimume u tačkama π 2 + 2 π · k ; 1 i lokalni minimumi u tačkama - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
sinusna funkcija je konkavna kada je x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
nema asimptota.

kosinusna funkcija: y=cos(x)

Graf ove funkcije naziva se kosinusni val.

Definicija 19

Svojstva kosinusne funkcije:

domen definicije: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
najmanji pozitivni period: T \u003d 2 π;
raspon: y ∈ - 1 ; jedan ;
ova funkcija je parna, budući da je y (- x) = y (x) ;
funkcija raste za x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z i opadajući za x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
kosinusna funkcija ima lokalne maksimume u tačkama 2 π · k ; 1 , k ∈ Z i lokalni minimumi u tačkama π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
kosinusna funkcija je konkavna kada je x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
tačke pregiba imaju koordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
nema asimptota.

Tangentna funkcija: y = t g (x)

Poziva se graf ove funkcije tangentoid.

Definicija 20

Svojstva tangentne funkcije:

domen definicije: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
Ponašanje tangentne funkcije na granici domene definicije lim x → π 2 + π · k + 0 tg (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 tg (x) = + ∞ . Dakle, prave x = π 2 + π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;
funkcija nestaje kada je x = π k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
raspon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
ova funkcija je neparna jer y (- x) = - y (x) ;
funkcija raste na - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
tangentna funkcija je konkavna za x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z i konveksan za x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
tačke pregiba imaju koordinate π k; 0 , k ∈ Z ;

Kotangens funkcija: y = c t g (x)

Graf ove funkcije naziva se kotangentoid. .

Definicija 21

Svojstva kotangens funkcije:

domen definicije: x ∈ (π k ; π + π k) , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);

Ponašanje kotangensne funkcije na granici domene definicije lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dakle, prave x = π k k ∈ Z su vertikalne asimptote;

najmanji pozitivni period: T \u003d π;
funkcija nestaje kada je x = π 2 + π k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
raspon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
ova funkcija je neparna jer y (- x) = - y (x) ;
funkcija je opadajuća za x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
kotangensna funkcija je konkavna za x ∈ (π k ; π 2 + π k ], k ∈ Z i konveksna za x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
tačke pregiba imaju koordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
nema kosih i horizontalnih asimptota.

Inverzne trigonometrijske funkcije su arksinus, arkosinus, arktangens i arkkotangens. Često se, zbog prisustva prefiksa "luk" u nazivu, inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju lučne funkcije. .

Arksinus funkcija: y = a r c sin (x)

Definicija 22

Svojstva arcsinusne funkcije:

ova funkcija je neparna jer y (- x) = - y (x) ;
arcsinusna funkcija je konkavna za x ∈ 0; 1 i konveksnost za x ∈ - 1 ; 0;
tačke pregiba imaju koordinate (0 ; 0) , to je i nula funkcije;
nema asimptota.

Arkosinus funkcija: y = a r c cos (x)

Definicija 23

Svojstva arkosinusne funkcije:

domen definicije: x ∈ - 1 ; jedan ;
opseg: y ∈ 0 ; π;
ova funkcija je opšteg oblika (ni parna ni neparna);
funkcija se smanjuje na cijelom domenu definicije;
arkosinusna funkcija je konkavna za x ∈ - 1 ; 0 i konveksnost za x ∈ 0 ; jedan ;
tačke pregiba imaju koordinate 0 ; π2;
nema asimptota.

Arktangentna funkcija: y = a r c t g (x)

Definicija 24

Svojstva arktangentne funkcije:

domen definicije: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
opseg: y ∈ - π 2 ; π2;
ova funkcija je neparna jer y (- x) = - y (x) ;
funkcija se povećava u cijelom domenu definicije;
arktangentna funkcija je konkavna za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konveksna za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
tačka pregiba ima koordinate (0; 0), ona je i nula funkcije;
horizontalne asimptote su prave linije y = - π 2 za x → - ∞ i y = π 2 za x → + ∞ (asimptote na slici su zelene linije).

Kotangentna funkcija luka: y = a r c c t g (x)

Definicija 25

Svojstva funkcije kotangensa luka:

domen definicije: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
opseg: y ∈ (0 ; π) ;
ova funkcija je opšteg tipa;
funkcija se smanjuje na cijelom domenu definicije;
arc kotangens funkcija je konkavna za x ∈ [ 0 ; + ∞) i konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
tačka pregiba ima koordinate 0 ; π2;
horizontalne asimptote su prave linije y = π na x → - ∞ (zelena linija na crtežu) i y = 0 pri x → + ∞.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter