Kako možete izgraditi piramidu? Na površini R Konstruirajmo poligon, na primjer pentagon ABCDE. Van aviona R Uzmimo tačku S. Povezivanjem tačke S segmentima sa svim tačkama poligona, dobijamo SABCDE piramidu (sl.).
Tačka S se zove top, a poligon ABCDE je osnovu ovu piramidu. Dakle, piramida sa vrhom S i bazom ABCDE je unija svih segmenata gdje je M ∈ ABCDE.
Zovu se trouglovi SAB, SBC, SCD, SDE, SEA bočne strane piramide, zajedničke stranice bočnih strana SA, SB, SC, SD, SE - bočna rebra.
Piramide se zovu trokutasti, četvorougaoni, p-ugaoni ovisno o broju stranica baze. Na sl. Date su slike trouglastih, četverougaonih i šesterokutnih piramida.
Zove se ravan koja prolazi vrhom piramide i dijagonalom osnove dijagonala, a rezultirajući dio je dijagonala. Na sl. 186 jedan od dijagonalnih presjeka heksagonalne piramide je zasjenjen.
Okomit segment povučen kroz vrh piramide do ravni njene osnove naziva se visina piramide (krajevi ovog segmenta su vrh piramide i osnova okomice).
Piramida se zove ispravan, ako je osnova piramide pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u njenom centru.
Sve bočne strane pravilne piramide su podudarni jednakokračni trouglovi. U pravilnoj piramidi, sve bočne ivice su podudarne.
Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz njenog vrha naziva se apothem piramide. Sve apoteme pravilne piramide su kongruentne.
Ako označimo stranu baze kao A, i apotema do kraja h, tada je površina jedne bočne strane piramide 1/2 ah.
Zove se zbir površina svih bočnih strana piramide bočna površina piramida i označena je sa S stranom.
Budući da se bočna površina pravilne piramide sastoji od n kongruentna lica, dakle
S strana = 1/2 ahn= P h / 2 ,
gdje je P obim osnove piramide. dakle,
S strana = P h / 2
tj. Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška perimetra baze i apoteme.
Ukupna površina piramide izračunava se po formuli
S = S ocn. + S strana. .
Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine njene osnove S ocn. do visine H:
V = 1 / 3 S glavni. N.
Izvođenje ove i nekih drugih formula biće dato u jednom od narednih poglavlja.
Hajde sada da napravimo piramidu na drugačiji način. Neka je zadan poliedarski ugao, na primjer, pentaedarski, sa vrhom S (sl.).
Hajde da nacrtamo avion R tako da siječe sve ivice datog poliedarskog ugla u različitim tačkama A, B, C, D, E (sl.). Tada se SABCDE piramida može smatrati presjekom poliedarskog ugla i poluprostora sa granicom R, u kojem leži vrh S.
Očigledno, broj svih strana piramide može biti proizvoljan, ali ne manji od četiri. Kada se trokutni ugao siječe s ravninom, dobija se trouglasta piramida koja ima četiri stranice. Ponekad se naziva bilo koja trouglasta piramida tetraedar, što znači tetraedar.
Krnja piramida može se dobiti ako piramidu preseče ravan paralelna ravni osnove.
Na sl. Daje se slika četvorougaone krnje piramide.
Krnje piramide se takođe nazivaju trokutasti, četvorougaoni, n-ugaoni ovisno o broju stranica baze. Iz konstrukcije krnje piramide proizilazi da ima dvije osnove: gornju i donju. Osnove skraćene piramide su dva poligona čije su stranice u paru paralelne. Bočne strane krnje piramide su trapezi.
Visina skraćena piramida je okomit segment povučen iz bilo koje tačke gornje osnove u ravninu donje.
Pravilna skraćena piramida naziva se dio pravilne piramide zatvoren između baze i ravnine presjeka paralelne bazi. Visina bočne strane pravilne skraćene piramide (trapeza) naziva se apothem.
Može se dokazati da pravilna skraćena piramida ima podudarne bočne ivice, sve bočne strane su kongruentne, a sve apoteme su kongruentne.
Ako je u ispravnom skraćenom n-piramida uglja kroz A I b n označavaju dužine stranica gornje i donje baze i kroz h je dužina apoteme, tada je površina svake bočne strane piramide jednaka
1 / 2 (A + b n) h
Zbir površina svih bočnih strana piramide naziva se površina njene bočne površine i označava se S stranom. . Očigledno, za ispravan skraćen n-piramida uglja
S strana = n 1 / 2 (A + b n) h.
Jer pa= P i nb n= P 1 - perimetri osnova krnje piramide, dakle
S strana = 1 / 2 (P + P 1) h,
odnosno površina bočne površine pravilne skraćene piramide jednaka je polovini umnoška zbira opsega njenih osnova i apoteme.
Presek paralelan sa osnovom piramide
Teorema. Ako piramidu siječe ravan paralelna bazi, tada:1) bočna rebra i visina će se podijeliti na proporcionalne dijelove;
2) u poprečnom preseku ćete dobiti poligon sličan bazi;
3) površine poprečnih presjeka i baze su povezane kao kvadrati njihovih udaljenosti od vrha.
Dovoljno je dokazati teoremu za trouglastu piramidu.
Pošto se paralelne ravni siječe trećom ravni duž paralelnih pravih, tada (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (sl.).
Paralelne linije sijeku stranice ugla na proporcionalne dijelove, i stoga
$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$
Prema tome, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 i
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\desno|) $$
ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 i
$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$
dakle,
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$
Odgovarajući uglovi trouglova ABC i A 1 B 1 C 1 su podudarni, kao uglovi sa paralelnim i identičnim stranicama. Zbog toga
ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1
Površine sličnih trokuta su povezane kao kvadrati odgovarajućih stranica:
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\desno|) $$
dakle,
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$
Teorema. Ako se dvije piramide jednakih visina preseku na istoj udaljenosti od vrha ravninama paralelnim bazama, tada su površine presjeka proporcionalne površinama baza.
Neka su (slika 84) B i B 1 površine osnova dvije piramide, H visina svake od njih, b I b 1 - površine presjeka ravninama paralelnim sa bazama i uklonjene od vrhova na istoj udaljenosti h.
Prema prethodnoj teoremi imaćemo:
$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: i \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
gdje
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: ili \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$
Posljedica. Ako je B = B 1, onda b = b 1, tj. Ako dvije piramide jednakih visina imaju jednake osnove, tada su i presjeci koji su jednako udaljeni od vrha također jednaki.
Ostali materijaliPOGLAVLJE TREĆE
POLYhedra
1. PARALELEPIP I PIRAMIDA
Svojstva paralelnih presjeka u piramidi
74. Teorema. Ako je piramida (crtež 83) presečen ravninom paralelnom sa bazom, tada:
1) bočna rebra i visina podijeljeni su ovom ravninom na proporcionalne dijelove;
2) u poprečnom presjeku ispada da je poligon (abcde ), sličan bazi;
3) Površine poprečnih presjeka i baze su povezane kao kvadrati njihovih udaljenosti od vrha.
1) Ravno ab i AB se može smatrati linijom preseka dve paralelne ravni (bazne i sekante) sa trećom ravninom ASB; Zbog toga ab||AB (§ 16). Iz istog razloga bc||BC, CD||CD, ... i at||AM; Shodno tome
S a / a A=S b / b B=S c / c C=...=S m / m M
2) Iz sličnosti trouglova ASB i a S b, zatim BSC i b S c itd. izlazimo:
AB / ab= BS / bs; B.S. / bs= BC / bc ,
AB / ab= BC / bc
B.C. / bc=CS / cs; C.S. / cs= CD / CD iz BC / bc= CD / CD .
Također ćemo dokazati proporcionalnost preostalih stranica poligona ABCDE i abcde. S obzirom da, osim toga, ovi poligoni imaju jednake odgovarajuće uglove (kao što ih čine paralelne i identično usmjerene stranice), onda su slični.
3) Površine sličnih poligona su povezane kao kvadrati sličnih stranica; Zbog toga
75. Posljedica. Pravilna skraćena piramida ima gornju osnovu koja je pravilan mnogokut sličan donjoj osnovi, a bočne strane su jednake i jednakokraki trapezi(crtež 83).
Visina bilo kojeg od ovih trapeza se naziva apothem pravilne krnje piramide.
76. Teorema. Ako se dvije piramide jednakih visina preseku na istoj udaljenosti od vrha ravninama paralelnim bazama, tada su površine presjeka proporcionalne površinama baza.
Neka su (slika 84) B i B 1 površine osnova dvije piramide, H visina svake od njih, b I b 1 - površine presjeka ravninama paralelnim sa bazama i uklonjene od vrhova na istoj udaljenosti h.
Prema prethodnoj teoremi imaćemo:
77. Posljedica. Ako je B = B 1, onda b = b 1, tj. Ako dvije piramide jednakih visina imaju jednake osnove, tada su i presjeci koji su jednako udaljeni od vrha također jednaki.
Pitanje:
Piramidu siječe ravan paralelna osnovici. Površina osnove je 1690dm2, a površina poprečnog presjeka 10dm2. U kom omjeru, računajući od vrha, rezna ravan dijeli visinu piramide?
odgovori:
paralelna ravan seče piramidu sličnu ovoj (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13
Slična pitanja
- Test na temu: „Pravopis priloga“ Provjeravamo pravopis priloga, odvojeni i kontinuirani pravopis ne uz priloge, kontinuirani, odvojeni, crtični pravopis priloga Opcija 1. 1. Otvorite zagrade. Označite “treći točak”: a) sjedio (nepokretan); vidio (ne)slučajno; pjevao (ne)glasno; b) nimalo (ne)kasni; nimalo (ne)lijepa; vrlo (ne)pristojan; c) (ne)prijateljski; (ne) na svoj način; (pogrešno; d) (ne) glupo; (ne) dominantno; (ne) blizu, nego daleko; e) krajnje (ne)prisilno; vrlo (ne)atraktivno; nimalo (ne)preteće; 2. “Ne” je napisano zajedno u svim riječima serije: a) (nije) istinito; (ne)vezhi; (ne)prijatan; nimalo (ne)zanimljivo; b) (ne)pitanje; (nepravda; nimalo (ne)daleko; (ne)veselo; c) (ne)iskreno; (ne)zgodan; (ne) ogorčen; (nezahtjevan; d) (neznalica); (ne) stizanje; (ne)glupost; (u pogrešno vrijeme; 3. Odaberite red sa negativnim prilozima: a) nikako; niko; nigdje; ni sa kim; b) nigde; niko; nikad; niotkuda; c) nikako; ne sve; niotkuda; nema potrebe; 4. Pronađite “treći točak”: a) n...skoro uplašen; n...kako ga ne bih našao; n...koliko puta; b) w...kuda ići; n...zašto pitati; n...ma koliko zavisti; c) n...ma koliko uznemireni; n... kada nisam bio ljut; h...gdje čekati; 5. “Nn” je napisano u svim riječima serije: a) divlje se vrti; govorio o strahu...oh; radio očajnički...oh; b) neočekivano zadrhtao...oh; neriješeno kvalifikovan...o; vrijeme ne radi...oh; c) pričao uzbuđeno...o; otišla neočekivano...oh; odgovorio puta...o; 6. Odredite rečenicu prilogom: a) Sastanak je uzbuđen ... zbog poruke. b) Društvo je bilo uzbuđeno...oh. c) Govorila je uzbuđeno... oh. Piše se prilog ___________________________________ 7. Upiši slova koja nedostaju. Označite “četvrti točak”: a) vruće...; svježe...; briljantno...; dobro…; b) više...; melodičan...; viskozan..; zlokobno...; c) prtljaga…m; već...m; nosh...th; nož...m; d) vjeverica...nok; vjeverica...nok; trešnja; jež; 8. Zapiši slova koja označavaju priloge koji se pišu sa sufiksima - a i - o: a o a) izdaleka...; b) ponovo...; c) čvrsto...; d) tačno...; d) bijela...; f) lako...; g) mladi...; h) suvo...; i) sinovi...; Napiši prilog koji nema sufikse – a i – o: ______________________________ 2. opcija. 1. Otvori zagrade. Označite “odd man out”: a) nimalo (ne)zanimljivo; potpuno (ne)interesantno; daleko (ne)zabavno; b) (ne) na prijateljski način; (ne)na naš način; (pogrešno; c) (ne) vitke; (ne)prijateljski; (ne) dobro, nego loše; d) čitati (ne)izražajno; pogledao (ne)zbunjeno; živio (ne)daleko; e) veoma (ne)lepa; nikad nije kasno; krajnje (ne)promišljeno; 2. “Ne” je napisano zajedno u svim riječima serije: a) (ne) malo; (ne) glupo; (ne)razumljivo; (ne) skrivanje; b) (nepažljivo); (neiskrenost; (ne)lijepa; (ne)promišljeno; c) daleko (ne)zabavno; (ne)tražen; (ne)daleko; (nevolja; d) (ne) na vrijeme; (fidget; (ne) govoreći; (ne)pouzdanje; 3. Istaknite red sa negativnim prilozima: a) ništa; niotkuda; nigdje; dosta; b) nikako; nema potrebe; nema šanse; nigdje; c) ništa; niko; niko; niko; 4. Pronađite „treći točak“: a) nije ga bilo nigde; n...zašto pitati; n...kada sam bio kočijaš; b) nije boljelo n... malo; n...ma koliko tugovao; w...gdje odsjesti; c) n...gdje neću ići; n...kad ne pitam; Nikad nisam imao vremena; 5. “N” je napisano u svim riječima serije: a) napolju nema vjetra...o; odgovor zamišljeno...oh; neočekivano došao...oh-loša sreća...oh; b) mudro govorio...o; došao do vjetra...oh; rekao puta...oh; c) bijesno se okrenuo...oh; otpjevano sa duše; radio sa entuzijazmom; 6. Odredi rečenicu prilogom: a) Njegova odluka je promišljena...oh, profesionalno. B) Uvek se ponaša zamišljeno...oh. B) Sve je bilo pažljivo osmišljeno...oh. 7. Popunite slova koja nedostaju. Označite “četvrti dodatak”: a) govorite općenito...; vruće...; svježe...; iscrpljujuće...; b) prijatelj...k; remen...k; cock...k; trešnja; c) više...; protestirajući...; izazivanje...; zlokobno...; d) doktor...m; swift...m; bake...t; sačuvati…t; 8. U kvadratiće upiši slova koja označavaju priloge koji se pišu sufiksima – a i – o: a o a) prvi...; b) od malih nogu...; c) potamnelo...; d) lijevo...; e) čisti...; f) crvena...; g) lijevo...; h) tamno...; i) dugo vremena...; Napiši prilog koji nema sufikse – a i – o: ______________________________