U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.
Za početak, definirajmo: što je linearna jednadžba i koju od njih treba nazvati najjednostavnijom?
Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo u prvom stepenu.
Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:
Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije pomoću algoritma:
- Otvorene zagrade, ako ih ima;
- Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
- Donesite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
- Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.
Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad, nakon svih ovih mahinacija, pokaže koeficijent varijable $x$ jednak nuli. U ovom slučaju moguće su dvije opcije:
- Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada dobijete nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj je broj različit od nule. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
- Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.
A sada da vidimo kako sve to funkcionira na primjeru stvarnih problema.
Primjeri rješavanja jednačina
Danas se bavimo linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Uopšteno govoreći, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu varijablu, a ide samo do prvog stepena.
Takve konstrukcije rješavaju se na približno isti način:
- Prije svega, trebate otvoriti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
- Onda donesi slično
- Konačno, izolirajte varijablu, tj. sve što je povezano sa varijablom – termini u kojima je sadržana – prenosi se na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje prenosi se na drugu stranu.
Zatim, po pravilu, trebate donijeti slično sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom na "x", i dobićemo konačni odgovor.
U teoriji, ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se greše ili prilikom otvaranja zagrada, ili kada se broje "plus" i "minus".
Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Analiziraćemo ove suptilnosti u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najjednostavnijim zadacima.
Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi
Za početak, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:
- Proširite zagrade, ako ih ima.
- Odvojite varijable, tj. sve što sadrži "x" prenosi se na jednu stranu, a bez "x" - na drugu.
- Predstavljamo slične termine.
- Sve dijelimo koeficijentom na "x".
Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, ima određene suptilnosti i trikove, a sada ćemo ih upoznati.
Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi
Zadatak #1
U prvom koraku od nas se traži da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku, moramo izolirati varijable. Napomena: govorimo samo o pojedinačnim terminima. napišimo:
Slične pojmove dajemo lijevo i desno, ali to je ovdje već urađeno. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite sa faktorom:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Ovdje smo dobili odgovor.
Zadatak #2
U ovom zadatku možemo posmatrati zagrade, pa ih proširimo:
I lijevo i desno vidimo približno istu konstrukciju, ali postupimo po algoritmu, tj. varijable sekvestra:
Evo nekih poput:
Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.
Zadatak #3
Treća linearna jednadžba je već zanimljivija:
\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]
Ovdje ima nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, samo imaju različite znakove ispred sebe. Hajde da ih raščlanimo:
Izvodimo drugi nama već poznat korak:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Izračunajmo:
Izvodimo posljednji korak - sve dijelimo koeficijentom na "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina
Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, onda bih želio reći sljedeće:
- Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
- Čak i ako postoje korijeni, nula može ući među njih - u tome nema ništa loše.
Nula je isti broj kao i ostali, ne biste ga trebali nekako diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.
Druga karakteristika je vezana za proširenje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti prema standardnim algoritmima: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.
Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve radnje uzimaju zdravo za gotovo.
Rješavanje složenih linearnih jednadžbi
Pređimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i pojavit će se kvadratna funkcija prilikom izvođenja različitih transformacija. Međutim, toga se ne treba bojati, jer ako, prema namjeri autora, riješimo linearnu jednadžbu, tada će se u procesu transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno reducirati.
Primjer #1
Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:
Hajdemo sada da uzmemo privatnost:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Evo nekih poput:
Očigledno, ova jednačina nema rješenja, pa u odgovoru pišemo kako slijedi:
\[\raznolikost \]
ili bez korijena.
Primjer #2
Izvodimo iste korake. Prvi korak:
Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:
Evo nekih poput:
Očigledno, ova linearna jednačina nema rješenja, pa je pišemo ovako:
\[\varnothing\],
ili bez korijena.
Nijanse rješenja
Obje jednačine su potpuno riješene. Na primjeru ova dva izraza još jednom smo se uvjerili da ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama sve ne može biti tako jednostavno: može biti ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, u obje jednostavno nema korijena.
Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:
Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "x". Napomena: množite svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva pojma i množe se.
I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, može se otvoriti zagrada sa stanovišta da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije obavljene, setimo se da je ispred zagrada znak minus, što znači da sve ispod samo menja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".
Isto radimo i sa drugom jednačinom:
Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i ponovo uče rješavati tako jednostavne jednačine.
Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Više ne morate svaki put izvoditi toliko transformacija, sve ćete napisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.
Rješavanje još složenijih linearnih jednačina
Ovo što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.
Zadatak #1
\[\lijevo(7x+1 \desno)\lijevo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]
Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:
Uradimo retreat:
Evo nekih poput:
Uradimo zadnji korak:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Evo našeg konačnog odgovora. I, uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništili, što jednačinu čini upravo linearnom, a ne kvadratnom.
Zadatak #2
\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]
Uradimo prvi korak pažljivo: pomnožimo svaki element u prvoj zagradi sa svakim elementom u drugoj. Ukupno, nakon transformacije treba dobiti četiri nova pojma:
A sada pažljivo izvršite množenje u svakom članu:
Pomerimo pojmove sa "x" ulevo, a bez - udesno:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Evo sličnih pojmova:
Dobili smo konačan odgovor.
Nijanse rješenja
Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je ova: čim počnemo množiti zagrade u kojima ima više od jednog člana, onda se to radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prvog i množimo sa svakim elementom od drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, dobijamo četiri mandata.
O algebarskoj sumi
Zadnjim primjerom želim podsjetiti učenike šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzimamo sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju "jedan" dodajemo još jedan broj, odnosno "minus sedam". Ovaj algebarski zbir se razlikuje od uobičajenog aritmetičkog zbira.
Čim pri izvođenju svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.
U zaključku, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili, morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.
Rješavanje jednadžbi s razlomkom
Da bismo riješili takve zadatke, našem algoritmu će morati dodati još jedan korak. Ali prvo ću podsjetiti naš algoritam:
- Otvorene zagrade.
- Odvojene varijable.
- Donesite slično.
- Podijelite sa faktorom.
Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak s lijeve i desne strane u obje jednačine.
Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može izvesti i prije prve akcije i nakon nje, naime, da se riješite razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:
- Riješite se razlomaka.
- Otvorene zagrade.
- Odvojene varijable.
- Donesite slično.
- Podijelite sa faktorom.
Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto je to moguće učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju, svi razlomci su numerički u smislu nazivnika, tj. svuda je imenilac samo broj. Stoga, ako oba dijela jednadžbe pomnožimo ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.
Primjer #1
\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Imajte na umu: sve se množi sa „četiri“ jednom, tj. samo zato što imate dve zagrade ne znači da morate svaku od njih pomnožiti sa "četiri". napišimo:
\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]
Sada otvorimo:
Vršimo izdvajanje varijable:
Vršimo redukciju sličnih termina:
\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Dobili smo konačno rješenje, prelazimo na drugu jednačinu.
Primjer #2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Ovdje izvodimo sve iste radnje:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem riješen.
To je, zapravo, sve što sam danas htio reći.
Ključne točke
Ključni nalazi su sljedeći:
- Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
- Mogućnost otvaranja zagrada.
- Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljnjih transformacija one smanjiti.
- Korijeni u linearnim jednadžbama, čak i onim najjednostavnijim, su tri vrste: jedan jedini korijen, cijela brojevna prava je korijen, korijena uopće nema.
Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu, riješite primjere prikazane tamo. Ostanite sa nama, čeka vas još mnogo zanimljivosti!
Nastavljam seriju metodičkih članaka na temu nastave. Vrijeme je da razmotrimo karakteristike individualnog rada nastavnik matematike sa učenicima 7. razreda. Sa velikim zadovoljstvom ću iznijeti svoja razmišljanja o oblicima prezentacije jedne od najvažnijih tema iz predmeta algebra u 7. razredu - „početne zagrade“. Kako ne bismo pokušavali da prihvatimo neizmjernost, hajde da se zaustavimo na njegovoj početnoj fazi i analiziramo metodologiju nastavnika za množenje polinoma polinomom. Kako nastavnik matematike radi u teškim situacijama slab student ne percipira klasičan oblik objašnjenja? Koje zadatke treba pripremiti za snažnog učenika sedmog razreda? Hajde da razmotrimo ova i druga pitanja.
Čini se, pa, šta je tako teško? „Zagrade su lake“, reći će svaki dobar učenik. „Postoji distributivni zakon i svojstva stepeni za rad sa monomima, opšti algoritam za bilo koji broj pojmova. Pomnožite svaki sa svakim i donesite slično. Međutim, nije sve tako jednostavno u radu sa zaostalima. Unatoč naporima nastavnika matematike, učenici uspijevaju napraviti greške raznih kalibara i u najjednostavnijim transformacijama. Priroda grešaka je upečatljiva po svojoj raznolikosti: od sitnih izostavljanja slova i znakova, do ozbiljnih ćorsokaka "stop grešaka".
Šta učenika sprečava da pravilno izvede transformacije? Zašto dolazi do nesporazuma?
Postoji ogroman broj pojedinačnih problema, a jedna od glavnih prepreka savladavanju i učvršćivanju gradiva je teškoća u pravovremenom i brzom prebacivanju pažnje, teškoća u obradi velike količine informacija. Možda će nekome izgledati čudno što govorim o velikom obimu, ali slab učenik 7. razreda možda neće imati dovoljno resursa za pamćenje i pažnju čak ni za četiri semestra. Koeficijenti, varijable, stepeni (indikatori) interferiraju. Učenik brka redoslijed operacija, zaboravlja koji su monomi već pomnoženi, a koji su ostali netaknuti, ne može se sjetiti kako se množe itd.
Numerički pristup nastavnika matematike
Naravno, morate početi s objašnjenjem logike izgradnje samog algoritma. Kako uraditi? Moramo postaviti zadatak: kako promijeniti redoslijed akcija u izrazu 
bez promjene rezultata? Često dajem primjere koji objašnjavaju djelovanje određenih pravila na određenim brojevima. I onda ih zamijenim slovima. Tehnika za korištenje numeričkog pristupa će biti opisana u nastavku.
Problemi motivacije.
Na početku časa nastavniku matematike je teško okupiti učenika ako ne razumije relevantnost onoga što se uči. U okviru programa za 6-7 razred teško je pronaći primjere korištenja pravila množenja polinoma. Istaknuo bih potrebu za učenjem promijenite redoslijed radnji u izrazimaČinjenicu da ovo pomaže u rješavanju problema učenik treba da zna iz iskustva dodavanja sličnih pojmova. Morao ih je dodati i prilikom rješavanja jednačina. Na primjer, u 2x+5x+13=34 on koristi to 2x+5x=7x. Nastavnik matematike samo treba da usmjeri pažnju učenika na ovo.
Nastavnici matematike često nazivaju tehniku otvaranja zagrada pravilo fontane.
Ova slika se dobro pamti i mora se koristiti. Ali kako se ovo pravilo dokazuje? Prisjetite se klasičnog oblika koristeći očigledne transformacije identiteta:
(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd
Teško je tutoru matematike bilo šta komentirati ovdje. Pisma govore sama za sebe. A snažnom učeniku 7. razreda nisu potrebna detaljna objašnjenja. Međutim, šta da radimo sa slabima, koji u ovoj "azbučnoj mešavini" ne vide nikakav sadržaj?
Glavni problem koji ometa percepciju klasičnog matematičkog opravdanja "česme" je neobičan oblik pisanja prvog faktora. Ni u 5. ni u 6. razredu učenik nije morao da prevlači prvu zagradu u svaki termin drugog. Djeca su se bavila samo brojevima (koeficijentima) koji se nalaze, najčešće, lijevo od zagrada, na primjer:
Do kraja 6. razreda učenik formira vizuelnu sliku predmeta – određenu kombinaciju znakova (radnji) povezanih sa zagradama. A svako odstupanje od uobičajenog pogleda ka nečem novom može dezorijentisati učenika sedmog razreda. To je vizuelna slika para "broj + zagrada" koju nastavnik matematike stavlja u promet prilikom objašnjavanja.
Može se ponuditi sljedeće objašnjenje. Nastavnik tvrdi: „Kada bi bio neki broj ispred zagrade, na primjer 5, onda bismo mogli promeniti tok akcije u ovom izrazu? Svakako. Uradimo to onda 
. Razmislite hoće li se njegov rezultat promijeniti ako umjesto broja 5 unesemo zbir 2 + 3 u zagradama? Svaki učenik će reći nastavniku: "Kakva je razlika kako pisati: 5 ili 2 + 3." Divno. Uzmi zapisnik. Nastavnik matematike pravi kratku pauzu kako bi učenik vizuelno zapamtio sliku-sliku predmeta. Zatim mu skreće pažnju na činjenicu da se zagrada, kao i broj, "raspodijelila" ili "skočila" na svaki pojam. Šta to znači? To znači da se ova operacija može izvesti ne samo sa brojem, već i sa zagradom. Imamo dva para faktora i . Većina učenika se lako može sami nositi s njima i zapisati rezultat mentoru. Važno je uporediti dobijene parove sa sadržajem zagrada 2+3 i 6+4 i postaće jasno kako se otvaraju.
Po potrebi, nakon primjera s brojevima, nastavnik matematike izvodi doslovni dokaz. Ispostavilo se da je to cakewalk kroz iste dijelove prethodnog algoritma.
Formiranje vještine otvaranja zagrada
Formiranje vještine množenja zagrada jedna je od najvažnijih faza u radu nastavnika matematike sa temom. I još važnije od faze objašnjavanja logike pravila „česme“. Zašto? Opravdanja za transformacije će se zaboraviti već sljedeći dan, a vještina, ako se na vrijeme formira i fiksira, ostaje. Učenici izvode operaciju mehanički, kao da izvlače tablicu množenja iz memorije. To je ono što treba postići. Zašto? Ako će svaki put kada učenik otvori zagrade, zapamtiti zašto ih otvara na ovaj način, a ne drugačije, zaboraviće problem koji rješava. Zato nastavnik matematike ostatak lekcije troši na pretvaranje razumijevanja u pamćenje napamet. Ova strategija se često koristi iu drugim temama.
Kako nastavnik može razviti vještinu otvaranja zagrada kod učenika? Da bi to učinio, učenik 7. razreda mora izvesti niz vježbi u dovoljnoj količini da se konsoliduje. Ovo otvara još jedan problem. Slab učenik sedmog razreda ne može da se nosi sa povećanim brojem transformacija. Čak i male. A greške i dalje dolaze jedna za drugom. Šta treba da radi nastavnik matematike? Prvo, potrebno je preporučiti slikanje strelica od svakog pojma do svakog. Ako je učenik jako slab i ne može brzo da se prebaci s jedne vrste rada na drugu, izgubi koncentraciju pri izvršavanju jednostavnih naredbi nastavnika, onda nastavnik matematike sam crta ove strelice. I ne sve odjednom. Prvo, nastavnik povezuje prvi član lijeve zagrade sa svakim članom desne zagrade i traži da se izvrši odgovarajuće množenje. Tek nakon toga strelice idu iz drugog pojma u istu desnu zagradu. Drugim riječima, nastavnik dijeli proces u dvije faze. Bolje je održati malu privremenu pauzu (5-7 sekundi) između prve i druge operacije.
1) Jedan set strelica treba nacrtati iznad izraza, a drugi niz ispod njih.
2) Važno je barem preskakati između redova par ćelija. U suprotnom, zapis će biti vrlo gust, a strelice će se ne samo popeti na prethodnu liniju, već će se i pomiješati sa strelicama iz sljedeće vježbe.
3) U slučaju množenja zagrada u formatu 3 sa 2, strelice se povlače iz kratke zagrade u dugačku. Inače, ove "česme" neće biti dvije, već tri. Implementacija treće je primjetno složenija zbog nedostatka slobodnog prostora za strelice.
4) strelice su uvijek usmjerene iz jedne tačke. Jedan od mojih učenika je pokušavao da ih stavi jedan pored drugog i evo šta je uradio:
Takav raspored ne dozvoljava izdvajanje i fiksiranje tekućeg termina, sa kojim student radi na svakoj od faza.
Rad prstiju nastavnika
4) Da bi zadržao pažnju na odvojenom paru pomnoženih pojmova, nastavnik matematike stavlja dva prsta na njih. Ovo mora biti urađeno na način da se učeniku ne blokira pogled. Za najnepažljivije učenike možete koristiti metodu "pulsiranja". Nastavnik matematike privodi prvi prst na početak strelice (na jedan od pojmova) i fiksira ga, a drugim „kuca“ na njen kraj (na drugi termin). Pulsiranje pomaže u fokusiranju pažnje na termin kojim se učenik množi. Nakon što je obavljeno prvo množenje desnom zagradom, nastavnik matematike kaže: „Sada radimo s drugim pojmom.“ Nastavnik pomiče “fiksni prst” na njega, a “pulsirajući” prelazi preko pojmova iz druge zagrade. Pulsacija radi kao "žmigavac" u automobilu i omogućava vam da privučete pažnju odsutnog učenika na operaciju koju izvodi. Ako dijete piše malo, tada se koriste dvije olovke umjesto prstiju.
Optimizacija ponavljanja
Kao iu proučavanju bilo koje druge teme iz kursa algebre, množenje polinoma može i treba biti integrisano sa prethodno obrađenim materijalom. Da bi to učinio, nastavnik matematike koristi posebne zadatke za premošćivanje koji vam omogućuju da pronađete primjenu proučavanog u različitim matematičkim objektima. Oni ne samo da povezuju teme u jedinstvenu cjelinu, već i vrlo efikasno organiziraju ponavljanje cijelog kursa matematike. I što više mostova nastavnik izgradi, to bolje.
Tradicionalno, u udžbenicima algebre za 7. razred, otvaranje zagrade je integrisano sa rešenjem linearnih jednačina. Na kraju liste brojeva uvijek se nalaze zadaci sljedećeg reda: riješiti jednačinu. Prilikom otvaranja zagrada, kvadrati se smanjuju i jednačina se lako rješava pomoću klase 7. Međutim, iz nekog razloga, autori udžbenika sigurno zaboravljaju na crtanje grafa linearne funkcije. Kako bih ispravio ovaj nedostatak, savjetovao bih učitelje matematike da u analitičke izraze linearnih funkcija uključe zagrade, na primjer. Na takvim vježbama učenik ne samo da vježba vještine izvođenja identičnih transformacija, već i ponavlja grafikone. Možete tražiti da pronađete točku preseka dva "čudovišta", da odredite relativni položaj linija, da pronađete tačke njihovog preseka sa osama, itd.
Kolpakov A.N. Mentor matematike u Stroginu. Moskva
Zagrade se koriste za označavanje redosleda izvođenja radnji u numeričkim i alfabetskim izrazima, kao i u izrazima sa varijablama. Pogodno je prijeći sa izraza sa zagradama na identično jednak izraz bez zagrada. Ova tehnika se naziva otvaranje zagrada.
Proširiti zagrade znači osloboditi se izraza ovih zagrada.
Posebnu pažnju zaslužuje još jedna stvar koja se tiče posebnosti pisanja rješenja pri otvaranju zagrada. Početni izraz možemo napisati u zagradama i rezultat koji se dobije nakon otvaranja zagrada kao jednakost. Na primjer, nakon otvaranja zagrada, umjesto izraza
3−(5−7) dobijamo izraz 3−5+7. Oba ova izraza možemo zapisati kao jednakost 3−(5−7)=3−5+7.
I još jedna važna stvar. U matematici, za smanjenje unosa, uobičajeno je da se znak plus ne piše ako je prvi u izrazu ili u zagradama. Na primjer, ako dodamo dva pozitivna broja, na primjer, sedam i tri, onda ne pišemo +7 + 3, već jednostavno 7 + 3, uprkos činjenici da je sedam također pozitivan broj. Slično, ako vidite, na primjer, izraz (5 + x) - znajte da postoji plus ispred zagrade, koji nije napisan, a ispred zagrade je plus + (+5 + x) pet.
Pravilo proširenja zagrada za sabiranje
Prilikom otvaranja zagrada, ako se ispred zagrada nalazi plus, onda se ovaj plus izostavlja zajedno sa zagradama.
Primjer. Otvorite zagrade u izrazu 2 + (7 + 3) Prije zagrada plus, zatim znakovi ispred brojeva u zagradama se ne mijenjaju.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Pravilo za proširene zagrade pri oduzimanju
Ako se ispred zagrada nalazi minus, onda se ovaj minus izostavlja zajedno sa zagradama, ali izrazi koji su bili u zagradama mijenjaju svoj predznak u suprotan. Odsustvo znaka ispred prvog člana u zagradi implicira znak +.
Primjer. Otvorene zagrade u izrazu 2 − (7 + 3)
Ispred zagrada je minus, tako da morate promijeniti znakove ispred brojeva iz zagrada. Ispred broja 7 u zagradi nema znaka, što znači da je sedam pozitivna, smatra se da je znak + ispred njega.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Prilikom otvaranja zagrada uklanjamo minus iz primjera koji je bio prije zagrada, a same zagrade 2 − (+ 7 + 3), a znakove koji su bili u zagradama mijenjamo u suprotne.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Proširivanje zagrada prilikom množenja
Ako se ispred zagrada nalazi znak množenja, onda se svaki broj unutar zagrada množi faktorom ispred zagrada. Istovremeno, množenje minusa sa minusom daje plus, a množenje minusa sa plusom, kao množenje plusa sa minusom, daje minus.
Dakle, zagrade u proizvodima se proširuju u skladu sa distributivnim svojstvom množenja.
Primjer. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Prilikom množenja zagrada sa zagradama, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Zapravo, nema potrebe pamtiti sva pravila, dovoljno je zapamtiti samo jedno, ovo: c(a−b)=ca−cb. Zašto? Jer ako zamijenimo jedan umjesto c, dobićemo pravilo (a−b)=a−b. A ako zamijenimo minus jedan, dobićemo pravilo −(a−b)=−a+b. Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.
Proširite zagrade prilikom dijeljenja
Ako iza zagrada stoji znak dijeljenja, onda je svaki broj unutar zagrada djeljiv djeliteljem iza zagrada, i obrnuto.
Primjer. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Kako proširiti ugniježđene zagrade
Ako izraz sadrži ugniježđene zagrade, oni se proširuju redoslijedom, počevši s vanjskim ili unutarnjim.
Istovremeno, prilikom otvaranja jedne od zagrada, važno je ne dirati druge zagrade, već ih samo prepisati onakvima kakvi jesu.
Primjer. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Sada ćemo samo prijeći na otvaranje zagrada u izrazima u kojima se izraz u zagradama množi brojem ili izrazom. Formulirajmo pravilo otvaranja zagrada kojima prethodi znak minus: zagrade zajedno sa znakom minus se izostavljaju, a predznaci svih članova u zagradama zamjenjuju se suprotnim predznacima.
Jedna vrsta transformacije izraza je proširenje zagrada. Numerički, literalni i varijabilni izrazi sastavljeni su pomoću zagrada, koje mogu označiti redosljed kojim se radnje izvode, sadržavati negativan broj itd. Pretpostavimo da u gore opisanim izrazima, umjesto brojeva i varijabli, mogu biti bilo koji izrazi.
I obratimo pažnju na još jednu tačku koja se tiče posebnosti pisanja rješenja pri otvaranju zagrada. U prethodnom paragrafu bavili smo se onim što se zove proširenje zagrada. Da biste to učinili, postoje pravila za otvaranje zagrada, koja ćemo pregledati. Ovo pravilo diktira činjenica da je uobičajeno pisati pozitivne brojeve bez zagrada, zagrade u ovom slučaju nisu potrebne. Izraz (−3.7)−(−2)+4+(−9) može se napisati bez zagrada kao −3.7+2+4−9.
Konačno, treći dio pravila je jednostavno zbog posebnosti pisanja negativnih brojeva lijevo u izrazu (što smo spomenuli u dijelu zagrada za pisanje negativnih brojeva). Možete naići na izraze sastavljene od broja, znakova minusa i više parova zagrada. Ako proširite zagrade, krećući se od unutrašnjeg ka vanjskom, tada će rješenje biti: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.
Kako otvoriti zagrade?
Evo objašnjenja: −(−2 x) je +2 x, a pošto je ovaj izraz prvi, onda se +2 x može napisati kao 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x i −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prvi dio pisanog pravila za otvaranje zagrada direktno slijedi iz pravila za množenje negativnih brojeva. Drugi dio je posljedica pravila za množenje brojeva sa različitim predznacima. Prijeđimo na primjere proširenih zagrada u proizvodima i količnika dva broja s različitim predznacima.
Otvaranje zagrade: pravila, primjeri, rješenja.
Gore navedeno pravilo uzima u obzir cijeli lanac ovih radnji i značajno ubrzava proces otvaranja zagrada. Isto pravilo vam omogućava da otvorite zagrade u izrazima koji su proizvodi i parcijalnim izrazima sa predznakom minus koji nisu zbroji i razlike.
Razmotrite primjere primjene ovog pravila. Dajemo odgovarajuće pravilo. Gore smo već naišli na izraze oblika −(a) i −(−a), koji se bez zagrada pišu kao −a, odnosno a. Na primjer, −(3)=3, i. Ovo su posebni slučajevi navedenog pravila. Sada razmotrite primjere otvarajućih zagrada kada su u njima sadržani zbroji ili razlike. Pokazat ćemo primjere korištenja ovog pravila. Označimo izraz (b1+b2) sa b, nakon čega koristimo pravilo za množenje zagrade izrazom iz prethodnog pasusa, imamo (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.
Indukcijom, ovaj iskaz se može proširiti na proizvoljan broj pojmova u svakoj zagradi. Ostaje da otvorimo zagrade u rezultirajućem izrazu, koristeći pravila iz prethodnih pasusa, kao rezultat dobijamo 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.
Pravilo u matematici je otvaranje zagrada ako se ispred zagrada nalazi (+) i (-), vrlo neophodno pravilo
Ovaj izraz je proizvod tri faktora (2+4), 3 i (5+7 8). Zagrade se moraju otvarati uzastopno. Sada koristimo pravilo za množenje zagrade brojem, imamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Stepeni, čije su osnove neki izrazi napisani u zagradama, sa prirodnim eksponentima mogu se smatrati proizvodom više zagrada.
Na primjer, transformirajmo izraz (a+b+c)2. Prvo to zapišemo kao proizvod dvije zagrade (a + b + c) (a + b + c), sada množimo zagradu po zagradi, dobićemo a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.
Takođe kažemo da je za podizanje zbira i razlika dva broja na prirodni stepen preporučljivo koristiti Newtonovu binomnu formulu. Na primjer, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Ništa manje zgodno je prethodno zamijeniti dijeljenje množenjem, a zatim koristiti odgovarajuće pravilo za otvaranje zagrada u proizvodu.
Ostaje shvatiti redoslijed otvaranja zagrada pomoću primjera. Uzmimo izraz (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Zamenite ove rezultate u originalni izraz: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Ostaje samo dovršiti otvaranje zagrada, kao rezultat imamo −5+3 2:4+6 7. To znači da su se pri prelasku s lijeve strane jednakosti na desnu otvorile zagrade.
Imajte na umu da smo u sva tri primjera jednostavno uklonili zagrade. Prvo dodajte 445 na 889. Ova mentalna radnja se može izvesti, ali nije lako. Otvorimo zagrade i vidimo da će promijenjeni redoslijed operacija uvelike pojednostaviti proračune.
Kako otvoriti zagrade u različitom stepenu
Ilustrativni primjer i pravilo. Razmotrimo primjer: . Vrijednost izraza možete pronaći dodavanjem 2 i 5, a zatim uzimanjem rezultirajućeg broja sa suprotnim predznakom. Pravilo se ne mijenja ako u zagradama nisu dva, već tri ili više pojmova. Komentar. Znakovi su obrnuti samo ispred pojmova. Da bismo otvorili zagrade, u ovom slučaju, moramo se prisjetiti distributivnog svojstva.
Pojedinačni brojevi u zagradama
Vaša greška nije u znakovima, već u pogrešnom radu sa razlomcima? U 6. razredu smo se upoznali sa pozitivnim i negativnim brojevima. Kako ćemo riješiti primjere i jednačine?
Koliko je u zagradama? Šta se može reći o ovim izrazima? Naravno, rezultat prvog i drugog primjera je isti, tako da između njih možete staviti znak jednakosti: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Šta smo uradili sa zagradama?
Demonstracija slajda 6 sa pravilima otvaranja zagrada. Dakle, pravila za otvaranje zagrada će nam pomoći da riješimo primjere, pojednostavimo izraze. Zatim se učenici pozivaju da rade u parovima: potrebno je strelicama povezati izraz koji sadrži zagrade sa odgovarajućim izrazom bez zagrada.
Slajd 11 Jednom u Sunčanom gradu, Znayka i Dunno su se prepirali ko je od njih tačno rešio jednačinu. Zatim učenici samostalno rješavaju jednačinu, primjenjujući pravila otvaranja zagrada. Rješavanje jednadžbi ”Ciljevi časa: edukativni (fiksiranje ZUN-a na temu:” Početne zagrade.
Tema lekcije: „Otvaranje zagrada. U ovom slučaju, trebate pomnožiti svaki član iz prve zagrade sa svakim članom iz druge zagrade, a zatim dodati rezultate. Prvo se uzimaju prva dva faktora, stavljena u još jednu zagradu, a unutar ovih zagrada otvaraju se zagrade po jednom od već poznatih pravila.
rawalan.freezeet.ru
Otvaranje zagrade: pravila i primjeri (7. razred)
Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji prilikom izračunavanja vrijednosti numeričke izraze . na primjer, u numeričkom izrazu \(5 3+7\) prvo će se izračunati množenje, a zatim sabiranje: \(5 3+7 =15+7=22\). Ali u izrazu \(5·(3+7)\) prvo će se izračunati sabiranje u zagradama, a tek onda množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Međutim, ako imamo posla sa algebarski izraz koji sadrži varijabla- na primjer, ovako: \ (2 (x-3) \) - tada je nemoguće izračunati vrijednost u zagradi, varijabla ometa. Stoga se u ovom slučaju zagrade „otvaraju“, koristeći odgovarajuća pravila za to.
Pravila proširenja zagrada
Ako se ispred zagrade nalazi znak plus, tada se zagrada jednostavno uklanja, a izraz u njemu ostaje nepromijenjen. Drugim riječima:
Ovdje je potrebno pojasniti da je u matematici, radi smanjenja unosa, uobičajeno da se znak plus ne piše ako je prvi u izrazu. Na primjer, ako dodamo dva pozitivna broja, na primjer, sedam i tri, onda ne pišemo \(+7+3\), već jednostavno \(7+3\), uprkos činjenici da je sedam također pozitivan broj. Slično, ako vidite, na primjer, izraz \((5+x)\) - znajte to ispred zagrade je plus koji nije napisan.
Primjer
. Otvorite zagradu i dajte slične pojmove: \((x-11)+(2+3x)\).
Rješenje
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Ako se ispred zagrade nalazi znak minus, onda kada se zagrada ukloni, svaki član izraza unutar njega mijenja predznak u suprotan:
Ovdje je potrebno pojasniti da je a, dok je bio u zagradama, imao znak plus (samo ga nisu napisali), a nakon uklanjanja zagrade, ovaj plus se promijenio u minus.
Primjer
: Pojednostavite izraz \(2x-(-7+x)\).
Rješenje
: postoje dva člana unutar zagrade: \(-7\) i \(x\), a ispred zagrade je minus. To znači da će se predznaci promijeniti - i sada će sedam biti s plusom, a x sa minusom. otvorite držač i doneti slične uslove .
Primjer.
Proširite zagradu i dajte slične pojmove \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Rješenje
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ako se ispred zagrade nalazi faktor, tada se svaki član zagrade množi s njim, odnosno:
Primjer.
Proširite zagrade \(5(3-x)\).
Rješenje
: Imamo \(3\) i \(-x\) u zagradi, a pet ispred zagrade. To znači da se svaki član zagrade množi sa \ (5 \) - podsjećam vas na to znak množenja između broja i zagrade u matematici se ne piše da bi smanjio veličinu zapisa.
Primjer.
Proširite zagrade \(-2(-3x+5)\).
Rješenje
: Kao u prethodnom primjeru, zagrade \(-3x\) i \(5\) se množe sa \(-2\).
Ostaje razmotriti posljednju situaciju.
Prilikom množenja zagrada sa zagradama, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade:
Primjer.
Proširite zagrade \((2-x)(3x-1)\).
Rješenje
: Imamo proizvod od zagrada i može se odmah otvoriti koristeći gornju formulu. Ali da ne bismo bili zbunjeni, uradimo sve korak po korak.
Korak 1. Uklanjamo prvu zagradu - svaki od njegovih članova se množi sa drugom zagradom:
Korak 2. Proširite proizvode nosača za faktor kao što je gore opisano:
-prvo prvo...
Korak 3. Sada množimo i donosimo slične pojmove:
Nije potrebno detaljno slikati sve transformacije, možete ih odmah umnožiti. Ali ako tek učite otvarati zagrade - pišite detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.
Napomena za cijeli odjeljak. U stvari, ne morate zapamtiti sva četiri pravila, samo trebate zapamtiti jedno, ovo: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zašto? Jer ako zamijenimo jedan umjesto c, dobićemo pravilo \((a-b)=a-b\) . A ako zamijenimo minus jedan, dobićemo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.
zagrada unutar zagrada
Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostaviti izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).
Da biste bili uspješni u ovim zadacima, potrebno je:
- pažljivo razumjeti ugniježđenje zagrada - u kojoj se nalazi;
- otvarajte zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od one unutrašnje.
Važno je prilikom otvaranja jedne od zagrada ne dirajte ostatak izraza, samo prepisujem kako jeste.
Uzmimo gornji zadatak kao primjer.
Primjer.
Otvorite zagrade i dajte slične pojmove \(7x+2(5-(3x+y))\).
Rješenje:
Započnimo zadatak otvaranjem unutrašnjeg nosača (onog unutar). Otvarajući ga, samo se bavimo činjenicom da je direktno povezan s njim - ovo je sama zagrada i minus ispred nje (označeno zelenom bojom). Sve ostalo (nije odabrano) je prepisano kako je bilo.
Rješavanje zadataka iz matematike na mreži
Online kalkulator.
Polinomsko pojednostavljenje.
Množenje polinoma.
Pomoću ovog matematičkog programa možete pojednostaviti polinom.
Dok je program pokrenut:
- množe polinome
- zbraja monome (daje kao one)
- otvara zagrade
- Podiže polinom na stepen
Program polinomskog pojednostavljenja ne daje samo odgovor na problem, on daje detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces rješenja tako da možete provjeriti svoje znanje matematike i/ili algebre.
Ovaj program može biti od koristi učenicima opšteobrazovnih škola u pripremama za testove i ispite, prilikom provere znanja pred Jedinstveni državni ispit, kao i roditeljima za kontrolu rešavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.
Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti zadataka koji se rješavaju povećava.
Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekundu.
Malo teorije.
Umnožak monoma i polinoma. Koncept polinoma
Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, zbroji monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:
Zbir monoma se naziva polinom. Članovi polinoma nazivaju se članovima polinoma. Mononomi se takođe nazivaju polinomima, smatrajući monom polinomom koji se sastoji od jednog člana.
Sve pojmove predstavljamo kao monome standardnog oblika:
Dajemo slične pojmove u rezultujućem polinomu:
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika, a među njima nema sličnih. Takvi polinomi se nazivaju polinomi standardnog oblika.
Per polinomski stepen standardni oblik preuzima najveća ovlaštenja svojih članova. Dakle, binom ima treći stepen, a trinom ima drugi.
Obično su članovi polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu raspoređeni u opadajućem redoslijedu njegovih eksponenata. Na primjer:
Zbir nekoliko polinoma može se pretvoriti (pojednostaviti) u polinom standardnog oblika.
Ponekad je potrebno članove polinoma podijeliti u grupe, stavljajući svaku grupu u zagrade. Pošto su zagrade suprotne od zagrada, lako ih je formulisati pravila otvaranja zagrada:
Ako se ispred zagrada stavi znak +, tada se pojmovi u zagradama pišu istim znakovima.
Ako se ispred zagrada stavi znak "-", tada se izrazi u zagradama pišu sa suprotnim znacima.
Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda monoma i polinoma
Koristeći distributivno svojstvo množenja, može se transformirati (pojednostaviti) proizvod monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
Proizvod monoma i polinoma identično je jednak zbiru proizvoda ovog monoma i svakog od članova polinoma.
Ovaj rezultat se obično formuliše kao pravilo.
Da bi se monom pomnožio polinomom, potrebno je ovaj monom pomnožiti sa svakim od članova polinoma.
Ovo pravilo smo više puta koristili za množenje sa sumom.
Proizvod polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda dva polinoma
Općenito, proizvod dva polinoma identično je jednak zbiru proizvoda svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog polinoma.
Obično koristite sljedeće pravilo.
Da pomnožite polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode.
Skraćene formule za množenje. Zbir, razlika i kvadrati razlike
Neki izrazi u algebarskim transformacijama moraju se obraditi češće od drugih. Možda su najčešći izrazi i, odnosno kvadrat zbira, kvadrat razlike i razlika kvadrata. Primijetili ste da se čini da su nazivi ovih izraza nepotpuni, pa, na primjer, - ovo, naravno, nije samo kvadrat zbira, već kvadrat zbira a i b. Međutim, kvadrat zbira a i b nije tako čest, u pravilu umjesto slova a i b sadrži razne, ponekad prilično složene izraze.
Izraze je lako pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, u stvari, već ste se susreli s takvim zadatkom prilikom množenja polinoma:
Rezultirajuće identitete je korisno zapamtiti i primijeniti bez međukalkulacija. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.
- kvadrat zbira jednak je zbroju kvadrata i dvostrukom proizvodu.
- kvadrat razlike jednak je zbiru kvadrata bez dvostrukog proizvoda.
- razlika kvadrata jednaka je umnošku razlike na zbir.
Ova tri identiteta omogućavaju u transformacijama da se njihovi levi delovi zamene desnim i obrnuto - desni delovi levim. Najteže je u ovom slučaju vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti koje su varijable a i b u njima zamijenjene. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja skraćenih formula za množenje.
Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova na mreži Igre, zagonetke Grafikovanje funkcija Pravopisni rečnik ruskog jezika Rečnik omladinskog slenga Imenik ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih univerziteta numerički razlomci Rešavanje zadataka za procente Kompleksni brojevi: zbir, razlika, proizvod i količnik Sistemi 2 linearne jednadžbe sa dve varijable Rješavanje kvadratne jednačine Razvrstavanje kvadrata binoma i faktoring kvadratnog trinoma Rješavanje nejednačina Rješavanje sistema nejednačina Izgradnja grafika kvadratne funkcije Izgradnja grafa razlomačke linearne funkcije Rješavanje aritmetičkih i geometrijskih progresija Rješavanje trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih jednadžbi Izračunavanje granica, izvoda, tangenta Integral, antiderivacija Rješavanje trokuta Izračunavanje radnji s vektorima Izračunavanje akcija radnje sa linijama i ravnima Područje geometrijskih oblika Perimetar geometrijskih oblika Zapremina geometrijskih tijela Površina geometrijskih tijela
Konstruktor saobraćajnih situacija
Vrijeme - vijesti - horoskop
www.mathsolution.ru
Proširenje nosača
Nastavljamo sa učenjem osnova algebre. U ovoj lekciji ćemo naučiti kako otvoriti zagrade u izrazima. Proširiti zagrade znači osloboditi se izraza ovih zagrada.
Da biste otvorili zagrade, morate naučiti napamet samo dva pravila. Redovnom vježbom možete otvoriti zagrade zatvorenih očiju, a ona pravila koja je trebalo zapamtiti napamet možete sigurno zaboraviti.
Prvo pravilo proširenja zagrada
Razmotrite sljedeći izraz:
Vrijednost ovog izraza je 2 . Hajde da otvorimo zagrade u ovom izrazu. Proširiti zagrade znači riješiti ih se bez utjecaja na značenje izraza. To jest, nakon uklanjanja zagrada, vrijednost izraza 8+(−9+3) i dalje treba biti jednako dva.
Prvo pravilo proširenja zagrada izgleda ovako:
Prilikom otvaranja zagrada, ako se ispred zagrada nalazi plus, onda se ovaj plus izostavlja zajedno sa zagradama.
To vidimo u izrazu 8+(−9+3) ispred zagrada je plus. Ovaj plus se mora izostaviti zajedno sa zagradama. Drugim riječima, zagrade će nestati zajedno sa plusom koji je stajao ispred njih. A ono što je bilo u zagradama biće napisano nepromenjeno:
8−9+3 . Ovaj izraz je jednak sa 2 , kao i prethodni izraz u zagradi bio je jednak 2 .
8+(−9+3) i 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Primjer 2 Proširite zagrade u izrazu 3 + (−1 − 4)
Ispred zagrada je plus, tako da je ovaj plus izostavljen zajedno sa zagradama. Ono što je bilo u zagradama ostaće nepromenjeno:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Primjer 3 Proširite zagrade u izrazu 2 + (−1)
U ovom primjeru, proširenje zagrada je postalo neka vrsta inverzne operacije zamjene oduzimanja sa sabiranjem. Šta to znači?
U izrazu 2−1 dolazi do oduzimanja, ali se može zamijeniti sabiranjem. Onda dobijete izraz 2+(−1) . Ali ako u izrazu 2+(−1) otvorite zagrade, dobijate original 2−1 .
Stoga se pravilo proširenja prve zagrade može koristiti za pojednostavljenje izraza nakon nekih transformacija. Odnosno, oslobodite ga zagrada i olakšajte ga.
Na primjer, pojednostavimo izraz 2a+a−5b+b .
Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove. Podsjetimo da da biste smanjili slične pojmove, trebate dodati koeficijente sličnih pojmova i rezultat pomnožiti zajedničkim slovnim dijelom:
Imam izraz 3a+(−4b). U ovom izrazu otvorite zagrade. Ispred zagrada je plus, tako da koristimo prvo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostavljamo zagrade zajedno sa plusom koji se nalazi ispred ovih zagrada:
Dakle, izraz 2a+a−5b+b pojednostavljeno na 3a−4b .
Nakon otvaranja jedne zagrade, druge se mogu sresti usput. Na njih primjenjujemo ista pravila kao i na prvu. Na primjer, proširimo zagrade u sljedećem izrazu:
Postoje dva mjesta na kojima morate proširiti zagrade. U ovom slučaju, primjenjuje se prvo pravilo za proširenje zagrada, naime, izostavljanje zagrada zajedno sa plusom koji se nalazi ispred ovih zagrada:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Primjer 3 Proširite zagrade u izrazu 6+(−3)+(−2)
Na oba mjesta gdje se nalaze zagrade ispred njih stoji znak plus. Ovdje se opet primjenjuje pravilo proširenja prve zagrade:
Ponekad se prvi pojam u zagradama piše bez znaka. Na primjer, u izrazu 1+(2+3−4) prvi pojam u zagradi 2 napisano bez znaka. Postavlja se pitanje koji će znak biti ispred dvojke nakon što se izostave zagrade i plus ispred zagrada? Odgovor se nameće sam od sebe - bit će plus ispred dvojke.
U stvari, čak i u zagradama, ispred dvojke je plus, ali ga ne vidimo zbog činjenice da nije zapisan. Već smo rekli da potpuna notacija pozitivnih brojeva izgleda +1, +2, +3. Ali plusevi se tradicionalno ne zapisuju, pa vidimo pozitivne brojke koje su nam poznate. 1, 2, 3 .
Stoga, da otvorite zagrade u izrazu 1+(2+3−4) , morate kao i obično izostaviti zagrade zajedno sa plusom ispred ovih zagrada, ali prvi pojam koji je bio u zagradama napišite sa znakom plus:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Primjer 4 Proširite zagrade u izrazu −5 + (2 − 3)
Ispred zagrada je plus, tako da primjenjujemo prvo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostavljamo zagrade zajedno sa plusom koji se nalazi ispred ovih zagrada. Ali prvi pojam, koji je napisan u zagradama sa znakom plus:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Primjer 5 Proširite zagrade u izrazu (−5)
Ispred zagrade je plus, ali nije napisan jer prije njega nije bilo drugih brojeva ili izraza. Naš zadatak je ukloniti zagrade primjenom prvog pravila za proširenje zagrada, odnosno izostaviti zagrade uz ovaj plus (čak i ako je nevidljiv)
Primjer 6 Proširite zagrade u izrazu 2a + (−6a + b)
Ispred zagrada je plus, tako da je ovaj plus izostavljen zajedno sa zagradama. Ono što je bilo u zagradama biće napisano nepromenjeno:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
Primjer 7 Proširite zagrade u izrazu 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
U ovom izrazu postoje dva mjesta na kojima morate otvoriti zagrade. U oba odjeljka ispred zagrada je plus, što znači da je ovaj plus izostavljen zajedno sa zagradama. Ono što je bilo u zagradama biće napisano nepromenjeno:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
Drugo pravilo za otvaranje zagrada
Pogledajmo sada drugo pravilo proširenja zagrada. Koristi se kada se ispred zagrada nalazi minus.
Ako se ispred zagrada nalazi minus, onda se ovaj minus izostavlja zajedno sa zagradama, ali izrazi koji su bili u zagradama mijenjaju svoj predznak u suprotan.
Na primjer, proširimo zagrade u sljedećem izrazu
Vidimo da se ispred zagrada nalazi minus. Dakle, morate primijeniti drugo pravilo proširenja, odnosno izostaviti zagrade zajedno sa minusom ispred ovih zagrada. U ovom slučaju, izrazi koji su bili u zagradama promijenit će svoj predznak u suprotan:
Dobili smo izraz bez zagrada 5+2+3 . Ovaj izraz je jednak 10, kao što je prethodni izraz sa zagradama bio jednak 10.
Dakle, između izraza 5−(−2−3) i 5+2+3 možete staviti znak jednakosti, jer su jednaki istoj vrijednosti:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Primjer 2 Proširite zagrade u izrazu 6 − (−2 − 5)
Ispred zagrada je minus, pa za otvaranje zagrada primjenjujemo drugo pravilo, odnosno izostavljamo zagrade zajedno sa minusom koji stoji ispred ovih zagrada. U ovom slučaju, izrazi koji su u zagradama pišu se sa suprotnim znakovima:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Primjer 3 Proširite zagrade u izrazu 2 − (7 + 3)
Ispred zagrada je minus, pa primjenjujemo drugo pravilo za otvaranje zagrada:
Primjer 4 Proširite zagrade u izrazu −(−3 + 4)
Primjer 5 Proširite zagrade u izrazu −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Postoje dva mjesta na kojima morate proširiti zagrade. U prvom slučaju potrebno je primijeniti drugo pravilo za otvaranje zagrada, a kada dođe red na izraz +(−9−2) morate primijeniti prvo pravilo:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Primjer 6 Proširite zagrade u izrazu −(−a−1)
Primjer 7 Proširite zagrade u izrazu −(4a + 3)
Primjer 8 Proširite zagrade u izrazu a −(4b + 3) + 15
Primjer 9 Proširite zagrade u izrazu 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Postoje dva mjesta na kojima morate proširiti zagrade. U prvom slučaju potrebno je primijeniti prvo pravilo za proširene zagrade, a kada dođe red na izraz −(3c+5) morate primijeniti drugo pravilo:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Primjer 10 Proširite zagrade u izrazu -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Postoje tri mjesta na kojima morate proširiti zagrade. Prvo morate primijeniti drugo pravilo za proširene zagrade, zatim prvo, pa opet drugo:
-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15
Mehanizam proširenja zagrada
Pravila za otvaranje zagrada, koja smo sada razmotrili, zasnivaju se na distributivnom zakonu množenja:
Zapravo otvorne zagrade pozvati proceduru kada se zajednički faktor pomnoži sa svakim članom u zagradama. Kao rezultat takvog množenja, zagrade nestaju. Na primjer, proširimo zagrade u izrazu 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Stoga, ako trebate pomnožiti broj izrazom u zagradama (ili pomnožiti izraz u zagradama brojem), trebate reći otvorite zagrade.
Ali kako je distributivni zakon množenja povezan s pravilima otvaranja zagrada koja smo ranije razmatrali?
Činjenica je da ispred bilo koje zagrade postoji zajednički faktor. U primjeru 3×(4+5) zajednički faktor je 3 . I u primjeru a(b+c) zajednički faktor je varijabla a.
Ako ispred zagrada nema brojeva ili varijabli, tada je zajednički faktor 1 ili −1 , ovisno o tome koji znak dolazi ispred zagrada. Ako se ispred zagrada nalazi plus, onda je zajednički faktor 1 . Ako se ispred zagrada nalazi minus, tada je zajednički faktor −1 .
Na primjer, proširimo zagrade u izrazu −(3b−1). Ispred zagrada je minus, tako da morate koristiti drugo pravilo za otvaranje zagrada, odnosno izostaviti zagrade zajedno sa minusom ispred zagrada. A izraz koji je bio u zagradama napišite sa suprotnim znacima:
Proširili smo zagrade koristeći pravilo proširenja zagrada. Ali ove iste zagrade mogu se otvoriti korištenjem distributivnog zakona množenja. Da bismo to učinili, prvo upisujemo zajednički faktor 1 ispred zagrada, koji nije zapisan:
Minus koji je nekada stajao ispred zagrada odnosio se na ovu jedinicu. Sada možete otvoriti zagrade primjenom distributivnog zakona množenja. Za ovo je zajednički faktor −1 potrebno je da pomnožite sa svakim članom u zagradama i dodate rezultate.
Radi praktičnosti zamjenjujemo razliku u zagradama zbirom:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Kao i prošli put, dobili smo izraz −3b+1. Svi će se složiti da je ovoga puta više vremena utrošeno na rješavanje ovako jednostavnog primjera. Stoga je razumnije koristiti gotova pravila za otvaranje zagrada, koja smo razmotrili u ovoj lekciji:
Ali ne škodi znati kako ova pravila funkcionišu.
U ovoj lekciji naučili smo još jednu identičnu transformaciju. Zajedno sa otvaranjem zagrada, stavljanjem opšteg iz zagrada i donošenjem sličnih pojmova, može se malo proširiti dijapazon zadataka koji se rešavaju. Na primjer:
Ovdje morate izvršiti dvije radnje - prvo otvoriti zagrade, a zatim donijeti slične pojmove. Dakle, redom:
1) Proširite zagrade:
2) Dajemo slične uslove:
U rezultirajućem izrazu −10b+(−1) možete otvoriti zagrade:
Primjer 2 Otvorite zagrade i dodajte slične pojmove u sljedeći izraz:
1) Proširite zagrade:
2) Predstavljamo slične termine. Ovaj put, radi uštede vremena i prostora, nećemo zapisivati kako se koeficijenti množe zajedničkim slovnim dijelom
Primjer 3 Pojednostavite izraz 8m+3m i pronađite njegovu vrijednost na m=−4
1) Hajde da prvo pojednostavimo izraz. Da pojednostavim izraz 8m+3m, možete iz njega izvaditi zajednički faktor m za zagrade:
2) Pronađite vrijednost izraza m(8+3) at m=−4. Za ovo, u izrazu m(8+3) umjesto varijable m zameni broj −4
m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo rezonovanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i sada, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.
Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.
Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."
Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je savladan vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Ono što želim posebno da istaknem je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 04.07.2018
Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane na Wikipediji. Gledamo.
Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, u kojem um nema riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako bi se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.
Koliko god se matematičari krili iza fraze "pamet, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plate. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i izložimo ga na našem stolu u različite gomile, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plata". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.
Prije svega, proradiće poslanička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa, računamo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar mahnito prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...
A sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu.
Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Koliko tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna cjelina" ili "nezamislivog kao jedinstvene cjeline".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali oni su šamani za to, da uče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.
Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo sve korake po redu.
1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu primljenu sliku isječemo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.
Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem od 12345, ne želim da se zavaravam, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.
Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike ne. Realnost nije samo u brojevima.
Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korišćenoj jedinici mjere i o tome ko izvodi ovu radnju.
Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?
Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole je muški.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sistemu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.