Centar mase sistema je tačka sa vektorom radijusa
Za kontinuiranu distribuciju mase sa gustinom od 
... Ako su sile gravitacije primijenjene na svaku česticu sistema usmjerene jedan put, tada se centar mase poklapa sa centrom gravitacije. Ali ako 
ne paralelno, tada se centar mase i težište ne poklapaju.
Uzimajući vremenski derivat od 
, dobijamo:
one. ukupni impuls sistema jednak je proizvodu njegove mase na brzinu centra mase.
Zamjenjujući ovaj izraz u zakon promjene ukupnog impulsa, nalazimo:
Centar mase sistema kreće se poput čestice u kojoj je koncentrisana cijela masa sistema i na koju je rezultat vanjski snage.
At progresivan U kretanju se sve tačke krutog tijela kreću na isti način kao i središte mase (duž istih putanja), stoga je za opisivanje translacijskog kretanja dovoljno zapisati i riješiti jednadžbu gibanja za centar masa.
Jer 
, zatim centar mase zatvoreni sistem mora održavati stanje mirovanja ili ravnomjerno pravolinijsko kretanje, tj. 
= konst. Ali u isto vrijeme, cijeli sistem se može rotirati, raspršiti, eksplodirati itd. kao rezultat akcije unutrašnje sile.
Mlazni pogon. Jednačina Meščerskog
Reaktivan naziva se kretanjem tijela u kojem se nalazi pristupanje ili odbacivanje mase. U procesu kretanja dolazi do promjene mase tijela: za vrijeme dt tijelo mase m dodaje (apsorbuje) ili odbacuje (emituje) masu dm brzinom 
u vezi sa telom; u prvom slučaju dm> 0, u drugom dm<0.
Razmotrimo takav pokret koristeći raketu kao primjer. Prijeđimo na inercijski referentni sistem K", koji se u datom trenutku t kreće istom brzinom 
, kao raketa - takav ISO se zove prateći- u ovom referentnom okviru, raketa u trenutku t odmara(brzina rakete u ovom sistemu 
= 0). Ako zbir vanjskih sila koje djeluju na raketu nije jednak nuli, tada će jednačina kretanja rakete u K" sistemu, ali pošto su svi IFR ekvivalentni, tada će u K sistemu jednačina imati isti oblik:
Ovo - jednadžba Meščerskog opisivanje kretanja bilo koje tijelo sa promenljivom masom).
U jednačini je masa m promjenjiva veličina i ne može se unijeti pod predznakom izvoda. Drugi član na desnoj strani jednačine se zove reaktivna sila
Za raketu, reaktivna sila igra ulogu sile potiska, ali u slučaju dodavanja mase, dm / dt> 0 i reaktivna sila će biti sila kočenja (na primjer, kada se raketa kreće u oblaku kozmičkog prašina).
Energija sistema čestica
Energija sistema čestica sastoji se od kinetičke i potencijalne. Kinetička energija sistema je zbir kinetičkih energija svih čestica u sistemu
i to je, prema definiciji, količina aditiva(kao i impuls).
Drugačija je situacija sa potencijalnom energijom sistema. Prvo, sile interakcije djeluju između čestica sistema 
... Dakle, A ij = -dU ij, gdje je U ij potencijalna energija interakcije i-te i j-te čestice. Zbrajajući U ij po svim česticama sistema, nalazimo tzv vlastitu potencijalnu energiju sistemi:
Bitno je da samopotencijalna energija sistema zavisi samo od njegove konfiguracije.Štaviše, ova vrijednost nije aditivna.
Drugo, spoljašnje sile deluju na svaku česticu sistema, uopšteno govoreći. Ako su ove sile konzervativne, onda će njihov rad biti jednak smanjenju vanjske potencijalne energije A = -dU extern, gdje je
gdje je U i potencijalna energija i-te čestice u vanjskom polju. Zavisi od položaja svih čestica u vanjskom polju i aditivna je.
Dakle, ukupna mehanička energija sistema čestica u vanjskom potencijalnom polju se definira kao
E sistem = K sistem + U sob + U ekst
MEHANIČKI SISTEM je proizvoljan prethodno odabran skup materijalnih tijela čije se ponašanje analizira.
Ubuduće će se koristiti sljedeće pravilo: U MATEMATIČKIM PRIKAZIMA KARAKTERISTIKE MATERIJALNIH TAČKA, RAZLIČITIH OD KARAKTERISTIKA MATERIJALNIH TIJELA, IMAĆE INDEKS.
MASA TIJELA je zbir masa svih materijalnih tačaka koje čine dato tijelo
SPOLJNE SILE su sile interakcije materijalnih tačaka koje su uključene u mehanički sistem, a nisu uključene.
UNUTRAŠNJE SILE su sile interakcije materijalnih tačaka uključenih u mehanički sistem.
TEOREMA D1. Zbir unutrašnjih sila mehaničkog sistema je uvijek nula..
Dokaz... Prema aksiomu D5, za bilo koji par materijalnih tačaka mehaničkog sistema, zbir sila njihove interakcije je uvek jednak nuli. Ali sve tačke interakcije pripadaju sistemu i, stoga, bilo koja od unutrašnjih sila će uvek naći suprotnu unutrašnju silu. Stoga je ukupan zbir svih unutrašnjih sila nužno nula. Ch.t.d.
TEOREMA D2.Zbir momenata unutrašnjih sila mehaničkog sistema je uvijek nula.
Dokaz... Prema aksiomu D5, svaka unutrašnja sila će naći suprotnu unutrašnju silu. Budući da se linije djelovanja ovih sila poklapaju, njihova ramena u odnosu na bilo koju tačku u prostoru će biti ista i stoga su njihovi momenti u odnosu na odabranu tačku u prostoru isti po veličini, ali su predznaci različiti, jer sile usmereni su suprotno. Stoga je ukupan zbir momenata svih unutrašnjih sila nužno nula. Ch.t.d.
TEOREMA D3 Proizvod mase čitavog mehaničkog sistema na ubrzanje njegovog centra mase jednak je zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.
Dokaz... Razmotrimo proizvoljan mehanički sistem koji se sastoji od konačnog broja materijalnih tijela. Na osnovu aksioma D2, svako tijelo se može podijeliti na konačan broj materijalnih tačaka. Neka se sve primi n takve tačke. Za svaku takvu tačku, na osnovu aksioma D4, može se sastaviti jednačina kretanja
S obzirom na to 
(KINEMATIKA strana 3), kao i razbijanje svih sila koje djeluju na i-tu tačku, na spoljašnju i unutrašnju, dobijamo iz prethodne jednakosti
Ako saberemo jednačine kretanja svih tačaka sistema, dobijamo
Koristeći komutativnost operacija sabiranja i diferencijacije (zapravo, znaci sumiranja i diferencijacije se mogu obrnuti), dobijamo
(40)
Izraz dobijen u zagradama može se predstaviti u terminima koordinata centra mase sistema (STATIC str. 15)
gdje m- masa čitavog sistema;
Radijus vektor centra mase sistema.
Kao što slijedi iz teoreme D1, posljednji član u izrazu (40) stoga nestaje
ili 
, itd. (41)
Posljedica... Centar mase mehaničkog sistema se kreće kao da je materijalna tačka koja poseduje celokupnu masu sistema i na koju su svedene sve spoljašnje sile.
Kretanje mehaničkog sistema u odsustvu vanjskih sila
Teorema D4. Ako su vanjske sile koje djeluju na mehanički sistem uravnotežene u određenom smjeru, tada će se centar mase sistema u tom smjeru kretati konstantnom brzinom.
Dokaz X koincidira sa pravcem u kome su spoljne sile uravnotežene, tj. zbir projekcija vanjskih sila na osu X je nula
Zatim, prema teoremi D3
Od stoga
Ako integrišemo zadnji izraz, dobićemo
TEOREMA D5... Ako su vanjske sile koje djeluju na mehanički sistem uravnotežene u određenom smjeru i u početnom trenutku je sistem mirovao, tada centar mase sistema ostaje nepomičan tijekom cijelog kretanja.
Dokaz... Ponavljajući rezonovanje dato u dokazu prethodne teoreme, nalazimo da bi brzina centra mase trebala ostati ista kao što je bila u početnom trenutku, tj. null
Integracijom ovog izraza dobijamo
TEOREMA D6... Ako su vanjske sile koje djeluju na mehanički sistem uravnotežene u određenom smjeru i u početnom trenutku je sistem mirovao, tada je zbir proizvoda masa svakog od tijela u sistemu i njegovog apsolutnog pomaka. centar mase u istom pravcu jednak je nuli.
Dokaz... Odaberemo koordinatni sistem na takav način da je os X podudara se sa smjerom u kojem su vanjske sile uravnotežene ili odsutne ( F 1, F 2, ..., F k na sl. 3), tj. zbir projekcija vanjskih sila na osu X je nula
Kada imamo posla sa sistemom čestica, zgodno je pronaći takvu tačku - centar mase, koja bi karakterisala položaj i kretanje ovog sistema u celini. U sistemu od dve identične čestice, takva tačka C, očigledno, leži u sredini između njih (slika 110a). Ovo je jasno iz razmatranja simetrije: u homogenom i izotropnom prostoru, ova tačka se razlikuje od svih ostalih, jer za bilo koju drugu tačku A koja se nalazi bliže jednoj od čestica, postojaće tačka B koja joj je simetrična, koja se nalazi bliže na drugu česticu.
Rice. 110. Centar mase dvije identične čestice je u tački C sa radijus vektorom; centar mase dviju čestica različitih masa dijeli segment između njih u omjeru obrnuto proporcionalnom masama chitita (b)
Očigledno, radijus vektor tačke C jednak je poluzbiru vektora radijusa identičnih čestica (Sl.110a): Drugim rečima, to je uobičajena srednja vrednost vektora
Određivanje centra mase. Kako generalizirati ovu definiciju na slučaj dviju čestica različitih masa Može se očekivati da, zajedno sa geometrijskim središtem sistema, čiji je vektor radijusa još uvijek jednak poluzbiru, tačka čiji je položaj određen distribucija
jedite mase. Prirodno je to definirati tako da doprinos svake čestice bude proporcionalan njenoj masi:
Radijus vektor centra mase određen formulom (1) je srednja ponderisana vrednost vektora radijusa čestica, što je očigledno ako (1) prepišemo u obliku
Radijus vektor svake čestice ulazi sa težinom proporcionalnom njenoj masi. Lako je vidjeti da centar mase C određen formulom (1) leži na segmentu prave linije koja povezuje čestice i dijeli ga u omjeru obrnuto proporcionalnom masama čestica: (Sl. 110b).
Obratimo pažnju na činjenicu da je ovde data definicija centra mase povezana sa poznatim uslovom za ravnotežu poluge. Zamislimo da su tačkaste mase na koje djeluje jednolično gravitacijsko polje povezane štapom zanemarljive mase. Takva poluga će biti u ravnoteži ako se njena tačka oslonca postavi u centar mase C.
Prirodna generalizacija formule (1) na slučaj sistema koji se sastoji od materijalnih tačaka sa masama i vektorima radijusa je jednakost
koji služi kao definicija radijus vektora centra mase (ili centra mase) sistema.
Centar masene brzine. Centar mase karakteriše ne samo položaj, već i kretanje sistema čestica kao celine. Brzina centra mase, određena jednakošću kao što slijedi iz (2), izražava se na sljedeći način kroz brzine čestica koje formiraju sistem:
U brojiocu desne strane ovog izraza, kao što sledi iz formule (6) prethodnog odeljka, nalazi se ukupni impuls sistema P, au nazivniku - njegova ukupna masa M. Dakle, impuls sistem čestica jednak je proizvodu mase čitavog sistema M brzinom njegovog centra mase
Formula (4) pokazuje da je impuls sistema povezan sa brzinom njegovog centra mase na isti način kao što je impuls pojedinačne čestice povezan sa brzinom čestice. U tom smislu kretanje centra mase karakteriše kretanje sistema kao celine.
Zakon kretanja centra masa. Zakon promjene impulsa sistema čestica, izražen formulom (9) iz prethodnog odjeljka, u suštini je zakon kretanja njegovog centra mase. Zaista, iz (4) sa konstantnom ukupnom masom M sistema, imamo
što znači da je brzina promjene količine kretanja sistema jednaka proizvodu njegove mase i ubrzanja centra mase. Upoređujući (5) sa formulom (6) u § 29, dobijamo
Prema (6), centar mase sistema se kreće na isti način kao što bi se jedna materijalna tačka mase M kretala pod dejstvom sile jednake zbiru svih spoljašnjih sila koje deluju na čestice koje ulaze u sistem. Konkretno, centar mase zatvorenog fizičkog sistema, na koji ne djeluju vanjske sile, kreće se u inercijskom referentnom okviru jednoliko i pravolinijski ili miruje.
U velikom broju slučajeva, koncept centra mase omogućava da se odgovori na neka pitanja dobiju čak i lakše nego direktnim korištenjem zakona održanja impulsa. Razmotrite sljedeći primjer.
Astronaut ispred broda. Kosmonaut mase je nepomičan u odnosu na svemirski brod mase sa ugašenim motorom, počinje da se vuče do letjelice uz pomoć laganog sigurnosnog užeta. Koje su udaljenosti koje će kosmonaut i letjelica preći prije susreta, ako je u početku udaljenost između njih
Centar mase letjelice i astronauta nalazi se na pravoj liniji koja ih povezuje, a odgovarajuće udaljenosti su obrnuto proporcionalne masama.
odmah dobijamo
U udaljenom prostoru, gdje nema vanjskih sila, centar mase ovog zatvorenog sistema ili miruje ili se kreće konstantnom brzinom. U referentnom okviru u kojem on miruje, kosmonaut i letjelica će prelaziti udaljenosti date formulama (7) dok se ne sretnu.
Za valjanost takvog razmišljanja, fundamentalno je važno koristiti inercijski referentni okvir. Ako bismo ovde nepromišljeno povezali referentni okvir sa letelicom, došli bismo do zaključka da kada se kosmonaut povuče, centar mase sistema počinje da se kreće u odsustvu spoljnih sila: približava se letelici. Centar mase zadržava svoju brzinu samo u odnosu na inercijski referentni sistem.
Jednačina (6), koja određuje ubrzanje centra mase sistema čestica, ne uključuje unutrašnje sile koje djeluju u njemu. Da li to znači da unutrašnje sile uopšte ne utiču na kretanje centra mase? U nedostatku vanjskih sila, ili kada su te sile konstantne, to je zaista slučaj. Na primjer, u jednoličnom gravitacijskom polju, centar mase projektila koji je eksplodirao u letu nastavlja da se kreće duž iste parabole sve dok nijedan od fragmenata ne padne na tlo.
Uloga unutrašnjih sila. U slučajevima kada se vanjske sile mogu promijeniti, situacija je nešto složenija. Vanjske sile ne djeluju na centar mase, već na pojedinačne čestice sistema. Ove sile mogu zavisiti od položaja čestica, a položaj svake čestice tokom njenog kretanja određen je svim silama koje na nju deluju, spoljašnjim i unutrašnjim.
Objasnimo ovo koristeći isti jednostavan primjer projektila koji u letu eksplodira u male fragmente pod djelovanjem unutrašnjih sila. Dok su svi fragmenti u letu, centar mase, kao što je već spomenuto, nastavlja da se kreće duž iste parabole. Međutim, čim barem jedan od fragmenata dotakne tlo i njegovo kretanje prestane, dodat će se nova vanjska sila - sila reakcije zemljine površine, koja djeluje na pali fragment. Kao rezultat toga, ubrzanje centra mase će se promijeniti i ono se više neće kretati duž prethodne parabole. Sama pojava ove reakcione sile je posledica dejstva unutrašnjih sila koje su eksplodirale projektil. Dakle, djelovanje unutrašnjih sila u trenutku pucanja projektila može dovesti do promjene ubrzanja s kojim će se centar mase kretati u kasnijim trenucima vremena i, posljedično, do promjene njegove putanje.
Navedimo još upečatljiviji primjer utjecaja unutrašnjih sila na kretanje centra mase. Zamislimo da je satelit Zemlje,
okrećući se oko njega po kružnoj orbiti, pod dejstvom unutrašnjih sila se deli na dve polovine. Jedna od polovica se zaustavlja i počinje strmoglavo padati na Zemlju. Prema zakonu održanja količine gibanja, druga polovina mora u ovom trenutku udvostručiti svoju brzinu, usmjerena tangencijalno na kružnicu. Kao što ćemo vidjeti u nastavku, takvom brzinom, ova polovina će odletjeti od Zemlje na beskonačno veliku udaljenost. Shodno tome, centar mase satelita, odnosno njegove dvije polovine, također će se udaljiti na beskonačno veliku udaljenost od Zemlje. A razlog tome je djelovanje unutrašnjih sila kada se satelit podijeli na dva dijela, jer bi inače satelit, koji nije podijeljen na dijelove, nastavio da se kreće po kružnoj orbiti.
Mlazni pogon. Zakon održanja impulsa u zatvorenom sistemu olakšava objašnjenje principa mlaznog pogona. Kada se gorivo sagorijeva, temperatura raste i stvara se visoki tlak u komori za sagorijevanje, zbog čega se formirani plinovi velikom brzinom izbacuju iz mlaznice raketnog motora. U nedostatku vanjskih polja, ukupni impuls rakete i plinovi emitirani iz mlaznice ostaju nepromijenjeni. Stoga, s izlivanjem plinova, raketa dobiva brzinu u suprotnom smjeru.
Jednačina Meščerskog. Hajde da dobijemo jednačinu koja opisuje kretanje rakete. Neka u određenom trenutku raketa u nekom inercijalnom referentnom sistemu ima brzinu.Uvedemo drugi inercijalni referentni sistem u kojem raketa miruje u datom trenutku. Nazovimo takav referentni sistem pratećim. Ako raketni motor koji radi tokom intervala izbacuje gasove mase brzinom u odnosu na raketu, tada će nakon nekog vremena brzina rakete u ovom pratećem sistemu biti različita od nule i jednaka
Primijenimo zakon održanja impulsa na razmatrani zatvoreni fizički sistem raketa plus gasovi. U početnom trenutku raketa i gasovi miruju u pratećem referentnom okviru, tako da je ukupni impuls nula. Nakon nekog vremena, impuls rakete je jednak impulsu izbačenih gasova.
Ukupna masa sistema raketa plus gasovi je očuvana, pa je masa izbačenih gasova jednaka gubitku mase rakete:
Sada se jednadžba (8), nakon dijeljenja vremenskim intervalom, prepisuje kao
Prelazeći do granice, dobijamo jednačinu kretanja tijela promjenjive mase (rakete) u odsustvu vanjskih sila:
Jednačina (9) ima oblik drugog Newtonovog zakona, ako se njena desna strana posmatra kao reaktivna sila, odnosno sila kojom gasovi koji se iz nje emituju deluju na raketu. Masa rakete ovdje nije konstantna, već se vremenom smanjuje zbog gubitka materije, odnosno reaktivne sile; usmjerena u smjeru suprotnom brzini plinova koji se emituju iz mlaznice u odnosu na raketu. Vidi se da je ta sila veća, što je veća brzina oticanja gasova i što je veća potrošnja goriva po jedinici vremena.
Jednačina (9) se dobija u određenom inercijskom referentnom okviru – pratećem okviru. Zbog principa relativnosti vrijedi i za bilo koji drugi inercijalni referentni okvir. Ako pored reaktivne sile na raketu djeluju još neke vanjske sile, kao što su sila gravitacije i sila otpora zraka, onda ih treba dodati desnoj strani jednačine (9):
Ovu jednačinu prvi je dobio Meshchersky i nosi njegovo ime. Za dati način rada motora, kada je masa određena poznata funkcija vremena, jednadžba Meshcherskyja omogućava izračunavanje brzine rakete u bilo kojem trenutku.
Koja fizička razmatranja ukazuju na preporučljivost određivanja centra mase pomoću formule (1)?
U kom smislu centar mase karakteriše kretanje sistema čestica kao celine?
Šta kaže zakon kretanja centra mase sistema tela u interakciji? Utječu li unutrašnje sile na ubrzanje centra mase?
Mogu li unutrašnje sile uticati na putanju centra mase sistema?
U problemu rupture projektila, razmatranom u prethodnom dijelu, zakon kretanja centra mase omogućava da se odmah pronađe domet leta drugog fragmenta ako je njegova početna brzina horizontalna. Kako uraditi? Zašto su ova razmatranja neprimjenjiva u slučaju kada njegova početna brzina ima vertikalnu komponentu?
U procesu ubrzanja rakete, njen motor radi u konstantnom režimu, tako da se relativna brzina oticanja gasova i potrošnja goriva u jedinici vremena ne menjaju. Hoće li u ovom slučaju ubrzanje rakete biti konstantno?
Izvedite jednačinu Meščerskog, koristeći umjesto pratećeg referentnog okvira inercijski sistem u kojem raketa već ima brzinu
Formula Ciolkovskog. Pretpostavimo da se ubrzanje rakete odvija u slobodnom prostoru, gdje na nju ne djeluju vanjske sile. Kako se gorivo troši, masa rakete se smanjuje. Nađimo odnos između mase utrošenog goriva i brzine koju postiže raketa.
Nakon uključivanja motora, raketa u mirovanju počinje da povećava brzinu, krećući se pravolinijski. Projektovanjem vektorske jednačine (9) na pravac kretanja rakete dobijamo
U jednadžbi (11) razmatraćemo masu rakete kao funkciju brzine koju je dostigla raketa. Tada se brzina promene mase tokom vremena može predstaviti na sledeći način:
Lekcija "Centar misa"
Vremensko ograničenje: 2 časa
Cilj: Upoznati učenike sa pojmom „centra mase“ i njegovim svojstvima.
Oprema: figure od kartona ili šperploče, "čaša", peronož, olovke.
Plan lekcije
Koraci lekcije, metode i tehnike
I Upoznavanje učenika 10 frontalna anketa, rad učenika za tablom.
u problem lekcije
II. Učenje nove 15-20 Priče nastavnika, rješavanje problema,
materijal: 10 eksperimentalnih zadataka
III Razrada nove 10 poruke od učenika
materijal: 10-15 rješavanje problema,
15 frontalni pregled
IV Zaključci. Domaći zadatak 5-10 Usmena sinteza gradiva od strane nastavnika.
zadatak Pisanje na tabli
Tokom nastave.
I Ponavljanje 1. Frontalni pregled: rame sile, moment sile, stanje ravnoteže, vrste ravnoteže
Epigraf: Težište svakog tijela je tačka koja se nalazi unutar njega - tako da ako tijelo mentalno objesite o njega, ono ostaje u mirovanju i zadržava svoj prvobitni položaj.
II. Objašnjenjenovi materijal
Neka se da tijelo ili sistem tijela. Podelimo mentalno telo na proizvoljno male delove sa masama m1, m2, m3... Svaki od ovih delova se može smatrati materijalnom tačkom. Položaj u prostoru i-te materijalne tačke mase mi je određen radijus vektorom ri(sl. 1.1). Masa tijela je zbir masa njegovih pojedinačnih dijelova: m = ∑ mi.
Centar mase tijela (sistema tijela) je tačka C čiji je vektor radijusa određen formulom
r= 1 / m ∙ ∑ mi ri
Može se pokazati da položaj centra mase u odnosu na tijelo ne zavisi od izbora početka koordinata O, tj. gore navedena definicija centra mase je nedvosmislena i tačna.
Centar mase homogenih simetričnih tijela nalazi se u njihovom geometrijskom središtu ili na osi simetrije, centar mase ravnog tijela u obliku proizvoljnog trokuta nalazi se na sjecištu njegovih medijana.
Rješenje problema
ZADATAK 1. Homogene kugle mase m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, m3 = 6 kg i m4 = 3 kg pričvršćene su na lagani štap (slika 1.2). Udaljenost između centara bilo koje obližnje lopte
a = 10 cm Odrediti položaj težišta i centra mase konstrukcije.
RJEŠENJE. Položaj u odnosu na kuglice težišta konstrukcije ne ovisi o orijentaciji štapa u prostoru. Za rješavanje problema zgodno je štap postaviti horizontalno, kao što je prikazano na slici 2. Neka se težište nalazi na štapu na udaljenosti L od centra lijeve lopte, tj. iz tačke A. U težištu je primijenjena rezultanta svih gravitacijskih sila i njen moment oko ose A jednak je zbiru momenata gravitacijskih sila kuglica. Imamo r = (m1 + m2 + m3 + m4) g,
R L = m2gα + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.
Dakle L = α (m1 + 2m3 + 3m4) / (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 cm
ODGOVOR. Težište se poklapa sa centrom mase i nalazi se u tački C na udaljenosti L = 16,4 cm od centra lijeve lopte.
Ispostavilo se da centar mase tijela (ili sistema tijela) ima niz izvanrednih svojstava. U dinamici je pokazano da je impuls tijela koje se proizvoljno kreće jednak umnošku mase tijela na brzinu njegovog centra mase i da se centar mase kreće kao da su sve vanjske sile koje djeluju na tijelo primijenjene na centar mase, a masa cijelog tijela bila je koncentrisana u njemu.
Težište tijela koje se nalazi u gravitacionom polju Zemlje je tačka primjene rezultante svih sila gravitacije koje djeluju na sve dijelove tijela. Ova rezultanta se zove sila gravitacije koja djeluje na tijelo. Sila gravitacije primijenjena na težište tijela ima isti učinak na tijelo kao i sile gravitacije koje djeluju na pojedine dijelove tijela.
Zanimljiv je slučaj kada je veličina tijela mnogo manja od veličine Zemlje. Tada možemo pretpostaviti da paralelne sile gravitacije djeluju na sve dijelove tijela, tj. telo je u uniformnom gravitacionom polju. Paralelne i jednako usmjerene sile uvijek imaju rezultantu, što se može dokazati. Ali pri određenom položaju tijela u prostoru može se naznačiti samo linija djelovanja rezultante svih paralelnih gravitacijskih sila, tačka njene primjene će za sada ostati nedefinirana, jer za kruto tijelo, bilo koja sila se može prenijeti duž linije njegovog djelovanja. Šta je sa tačkom primjene?
Može se pokazati da za bilo koji položaj tijela u jednoličnom gravitacijskom polju, linija djelovanja rezultante svih sila gravitacije koje djeluju na pojedine dijelove tijela prolazi kroz istu tačku koja se ne kreće u odnosu na tijelo. U ovom trenutku se primjenjuje jednakodjelujući, a sama tačka će biti centar gravitacije tijela.
Položaj težišta u odnosu na tijelo zavisi samo od oblika tijela i rasporeda mase u tijelu i ne zavisi od položaja tijela u homogenom polju gravitacije. Centar gravitacije nije nužno u samom tijelu. Na primjer, za obruč u uniformnom gravitacijskom polju, centar gravitacije leži u njegovom geometrijskom centru.
U jednoličnom gravitacionom polju, težište tela poklapa se sa njegovim centrom mase.
U ogromnoj većini slučajeva, jedan termin se može bezbolno zamijeniti drugim.
Ali: centar mase tela postoji bez obzira na prisustvo gravitacionog polja, a o težištu se može govoriti samo u prisustvu gravitacije.
Položaj težišta tijela, a time i centra mase, pogodno je pronaći, uzimajući u obzir simetriju tijela i koristeći koncept momenta sile.
Ako je rame sile jednako nuli, tada je moment sile jednak nuli i takva sila ne uzrokuje rotaciono kretanje tijela.
Prema tome, ako linija djelovanja sile prolazi kroz centar mase, tada se ona kreće naprijed.
Tako se može odrediti centar mase bilo koje ravne figure. Da biste to učinili, morate ga popraviti u jednom trenutku, dajući mu mogućnost da se slobodno okreće. Biće instaliran tako da sila gravitacije koja ga okreće prolazi kroz centar mase. Na mjestu fiksiranja figure objesit ćemo nit s opterećenjem (maticom), povući liniju duž ovjesa (tj. liniju djelovanja sile gravitacije). Ponovimo korake, osiguravajući oblik na drugoj tački. Presjek linija djelovanja sila gravitacije - centar mase tijela
Eksperimentalni zadatak: odrediti težište ravne figure (prema figurama koje su učenici ranije pripremili od kartona ili šperploče).
Upute: fiksirajte figuricu na tronožac. Na jedan od uglova figure objesimo visak. Crtamo liniju djelovanja gravitacije. Rotirajte oblik, ponovite radnju. Središte mase leži u tački presjeka linija djelovanja sile gravitacije.
Učenici koji su brzo obavili zadatak mogu dobiti dodatni zadatak: pričvrstiti uteg (metalni vijak) na figuru i odrediti novi položaj centra mase. Napravite zaključak.
Proučavanje izuzetnih svojstava "centra", staro više od dvije hiljade godina, pokazalo se korisnim ne samo za mehaničare - na primjer, u dizajnu vozila i vojne opreme, proračunu stabilnosti konstrukcija ili za izvođenje jednačina kretanja mlaznih vozila. Malo je vjerovatno da bi Arhimed uopće mogao pomisliti da bi koncept centra mase bio vrlo pogodan za istraživanje nuklearne fizike ili fizike elementarnih čestica.
Studentske poruke:
U svom djelu "O ravnoteži ravnih tijela" Arhimed je koristio koncept centra gravitacije, a da ga zapravo nije definirao. Očigledno ga je prvi uveo nepoznati Arhimedov prethodnik ili on sam, ali u ranijem djelu koje do nas nije došlo.
Moralo je proći sedamnaest dugih vekova pre nego što je nauka dodala nove rezultate Arhimedovom istraživanju centara gravitacije. To se dogodilo kada je Leonardo da Vinci uspio pronaći težište tetraedra. On je, razmišljajući o stabilnosti italijanskih kosih tornjeva, uključujući i onaj u Pizi, došao do „teoreme o poligonu oslonca“.
Uslovi za ravnotežu lebdećih tela, koje je otkrio Arhimed, morali su kasnije biti ponovo otkriveni. To je radio krajem 16. veka: holandski naučnik Simon Stevin, koji je, uz koncept težišta, koristio i koncept "centra pritiska" - tačke primene sile pritiska. vode koja okružuje telo.
Toričelijev princip (a formule za izračunavanje centra mase su takođe nazvane po njemu), ispostavilo se, anticipirao je njegov učitelj Galileo. Zauzvrat, ovaj princip je formirao osnovu Hajgensovog klasičnog rada na satovima sa klatnom, a takođe je korišćen u Pascalovim čuvenim hidrostatičkim studijama.
Metoda koja je omogućila Euleru da proučava kretanje krutog tijela pod djelovanjem bilo koje sile sastojala se u razlaganju ovog kretanja na pomicanje centra mase tijela i rotaciju oko osi koje prolaze kroz njega.
Za očuvanje nepromijenjenog položaja predmeta pri pomicanju njihovog oslonca, već nekoliko stoljeća koristi se takozvani kardanski uteg - uređaj u kojem se težište tijela nalazi ispod osi oko kojih se može rotirati. Primjer je brodska kerozinska lampa.
Iako je gravitacija na Mjesecu šest puta manja nego na Zemlji, bilo bi moguće "samo" povećati rekord skoka u vis za četiri puta. Proračuni o promjeni visine težišta tijela sportiste dovode do ovog zaključka.
Pored dnevne rotacije oko svoje ose i godišnje revolucije oko Sunca, Zemlja učestvuje u još jednom kružnom kretanju. Zajedno sa Mjesecom, on se "okreće" oko zajedničkog centra mase, koji se nalazi otprilike 4700 kilometara od centra Zemlje.
Neki umjetni zemaljski sateliti opremljeni su sklopivom šipkom od nekoliko ili čak desetina metara, opterećenom na kraju (tzv. gravitacijski stabilizator). Činjenica je da izduženi satelit teži rotaciji oko svog centra mase dok se kreće u orbiti tako da mu je uzdužna osa okomita. Tada će on, kao i Mjesec, cijelo vrijeme biti okrenut Zemlji na jednu stranu.
Posmatranja kretanja nekih vidljivih zvijezda pokazuju da su one dio binarnih sistema u kojima se "nebeski partneri" okreću oko zajedničkog centra mase. Jedan od nevidljivih pratilaca u takvom sistemu mogla bi biti neutronska zvijezda ili, moguće, crna rupa.
Objašnjenje nastavnika
Teorema o centru mase: centar mase tijela može promijeniti svoj položaj samo pod djelovanjem vanjskih sila.
Posljedica teoreme o centru mase: centar mase zatvorenog sistema tijela ostaje nepomičan za bilo koju interakciju tijela sistema.
Rješavanje problema (kod table)
PROBLEM 2. Čamac stoji nepomično u stajaćoj vodi. Osoba u čamcu se kreće od pramca do krme. Koliko će se h čamac kretati ako je masa osobe m = 60 kg, masa čamca M = 120 kg, dužina čamca L = 3 m? Zanemarite otpornost na vodu.
RJEŠENJE. Iskoristimo uslov zadatka da je početna brzina centra mase nula (čamac i osoba su u početku mirovali) i da nema otpora vode (ne djeluju vanjske sile u horizontalnom smjeru na „osobu- čamac” sistem). Posljedično, koordinata centra mase sistema u horizontalnom smjeru nije promijenjena. Slika 3 prikazuje početni i krajnji položaj čamca i osobe. Početna koordinata h0 centra mase h0 = (mL + ML / 2) / (m + M)
Krajnja koordinata x centra mase x = (mh + M (h + L / 2)) / (m + M)
Izjednačavajući x0 = x, nalazimo h = mL / (m + M) = 1m
Dodatno: zbirka problema Stepanova G.N. br. 393
Objašnjenje nastavnika
Prisjećajući se ravnotežnih uslova, saznali smo to
Za tijela s površinom oslonca, stabilna ravnoteža se opaža kada linija djelovanja sile gravitacije prolazi kroz bazu.
Posljedica: što je veća površina oslonca i niže težište, to je stabilniji položaj ravnoteže.
Demonstracija
Postavite dječju igračku tumbler-ku (Vanka - Vstanka) na grubu dasku i podignite desnu ivicu daske. U kom smjeru će se "glava" igračke savijati dok održava ravnotežu?
Objašnjenje: Težište C čaše je ispod geometrijskog centra O sferne površine "tijela". U ravnotežnom položaju, tačka C i tačka kontakta A igračke sa kosom ravninom treba da budu na istoj vertikali; stoga će "glava" čaše skrenuti ulijevo
Kako objasniti održavanje ravnoteže u slučaju prikazanom na slici?
Objašnjenje: Težište sistema olovka-nož leži ispod tačke oslonca
IIISidrenje. Frontalna anketa
Pitanja i zadaci
1. Kada se tijelo kreće od ekvatora do pola, sila gravitacije koja djeluje na njega se mijenja. Utječe li to na položaj težišta tijela?
Odgovor je ne, jer relativne promjene sile gravitacije svih elemenata tijela su iste.
2. Da li je moguće pronaći težište "bučice" koja se sastoji od dvije masivne kugle povezane bestežinskom šipkom, pod uslovom da je dužina "bučice" uporediva sa prečnikom Zemlje?
Odgovor je ne. Uslov za postojanje centra gravitacije je ujednačenost gravitacionog polja. U nehomogenom gravitacionom polju, rotacije "bučice" oko njenog centra mase dovode do činjenice da linije delovanja L1 i L2, rezultantne sile gravitacije primenjene na loptice, nemaju zajedničku tačku.
3. Zašto se prednji kraj automobila spušta kada se automobil naglo zakoči?
Odgovor: pri kočenju, sila trenja djeluje na kotače sa strane puta, stvarajući obrtni moment oko centra mase automobila.
4. Gdje je težište mjehurića?
Odgovor: u rupu!
5. Voda se sipa u cilindričnu čašu. Kako će se promijeniti položaj težišta sistema staklo-voda?
Odgovor: Težište sistema će se prvo spustiti, a zatim ići gore.
6. Koliko dugo treba odsjeći kraj homogene šipke tako da joj se težište pomjeri za ∆ℓ?
Odgovor: 2∆ℓ dugačak.
7. Homogeni štap je savijen u sredini pod pravim uglom. Gdje mu je sada bilo težište?
Odgovor: u tački O - sredina segmenta O1O2 koji povezuje sredinu AB i BC dijelova štapa
9. Stacionarna svemirska stanica je cilindar. Kosmonaut počinje kružnu šetnju oko stanice duž njene površine. Šta će biti sa stanicom?
odgovor: With Stanica će se rotirati u suprotnom smjeru, a njen centar će opisivati krug oko centra mase koji dijeli kosmonaut.
11. Zašto je teško hodati na štulama?
Odgovor: težište osobe na štulama značajno se povećava, a površina njegovog oslonca na tlu se smanjuje.
12. Kada je kanohodaču lakše održati ravnotežu - pri normalnom kretanju uz uže ili pri kretanju jako zakrivljene ljuljaške, natovarene kantama vode?
Odgovor: U drugom slučaju, pošto centar mase užeta sa kantama leži niže, tj. bliže osloncu - užetu.
IVZadaća:(izvode oni koji žele - zadaci su teški, oni koji su ih riješili dobijaju "5").
*jedan. Pronađite težište sistema kuglica koje se nalaze na vrhovima jednakostraničnog bestežinskog trokuta prikazanog na slici
Odgovor: Težište leži u sredini simetrale ugla, u čijem se vrhu nalazi lopta mase 2m
* 2. Dubina rupe na dasci, u koju je lopta umetnuta, je polovina poluprečnika lopte. Pod kojim uglom nagiba na daskama prema horizontu će lopta iskočiti iz rupe?
U svakom sistemu materijalnih tačaka, a samim tim iu sistemu tela, postoji jedna izuzetna tačka C, koja se zove centar mase ili centar inercije sistemi. Njegov položaj je određen radijus vektorom r c:
Za centar mase vrijedi sljedeća tvrdnja: kada se bilo koji sistem čestica kreće, njegov centar mase se kreće kao da je čitava masa sistema koncentrisana u ovoj tački i sve vanjski sile koje deluju na sistem. Po obliku jednadžba kretanja za centar mase poklapa se sa drugim Newtonovim zakonom:
gdje je ubrzanje centra mase.
Jednadžba dinamike rotacijskog kretanja
At rotacijsko kretanje krutog tijela analog Njutnovog drugog zakona je osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja, koji izgleda ovako:
gdje e- ugaono ubrzanje, M- ukupan moment sila oko ose rotacije. Ako se moment inercije tijela promijeni tokom kretanja, onda se ovaj zakon mora primijeniti u sljedećem obliku:
gdje je ugaoni moment krutog tijela.
Svako kretanje krutog tijela može se predstaviti kao superpozicija dva glavna tipa kretanja - translacijskog i rotacijskog. Na primjer, kotrljanje lopte može se smatrati kretanjem ubrzanjem jednakom ubrzanju centra mase i rotacijom oko ose koja prolazi kroz centar mase. Svako kretanje podliježe, kao što je prikazano u tabeli 5, odgovarajućem zakonu.
Zakoni dinamike u neinercijalnim referentnim okvirima.
Sile inercije
Referentni okviri koji se kreću ubrzanjem u odnosu na inercijalne okvire nazivaju se neinercijalni (NISO), i ne ispunjavaju zakone dinamike razmatrane gore: Njutnov drugi zakon, jednačinu kretanja centra mase, jednačinu dinamike rotacionog kretanja. Međutim, oni se mogu zadržati za neinercijalne sisteme, ako pored uobičajenih interakcijskih sila F uvesti više "sila" posebne prirode Fin pozvao sile inercije... Njihovo uvođenje je zbog ubrzanja kretanja neinercijalnog referentnog okvira u odnosu na inercijski.
Zakoni dinamike Tabela 5
| Fizička situacija | Važeći zakoni |
| Pravolinijsko kretanje materijalne tačke, translatorno kretanje krutog tijela | Njutnov drugi zakon |
| Kretanje materijalne tačke duž kružnice ili druge zakrivljene putanje | Njutnov drugi zakon |
| Rotacija krutog tijela oko fiksne ose | Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja |
| Složeno kretanje krutog tijela | Jednadžba gibanja centra mase i jednadžba dinamike rotacionog kretanja |
U NISO, zakoni dinamike će imati oblik:
Newtonov drugi zakon +;
jednadžba kretanja centra mase +;
jednadžba dinamike rotacijskog kretanja +.
Postoje dvije glavne vrste neinercijalnih sistema. Označimo simbolom TO inercijalni referentni okvir, i - neinercijalni.
1. kreće se relativno TO sa konstantnim ubrzanjem. U ovom slučaju u jednačine dinamike treba uvesti sila inercije jednako = - ma c. Razmotrite centar mase kao tačku primjene ove sile.