Može se specificirati na različite načine (jedna tačka i vektor, dve tačke i vektor, tri tačke itd.). Imajući to na umu da jednačina ravni može imati različite oblike. Takođe, pod određenim uslovima, ravni mogu biti paralelne, okomite, ukrštane, itd. O tome ćemo govoriti u ovom članku. Naučit ćemo kako napisati opštu jednačinu ravnine i ne samo.

Normalni oblik jednačine

Recimo da postoji prostor R 3 koji ima pravougaoni koordinatni sistem XYZ. Postavimo vektor α koji će biti oslobođen iz početne tačke O. Kroz kraj vektora α povlačimo ravan P koja će biti okomita na nju.

Označimo sa P proizvoljnu tačku Q=(x, y, z). Radijus vektor tačke Q označićemo slovom p. Dužina vektora α je p=IαI i Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ovo je jedinični vektor koji pokazuje bočno, baš kao i vektor α. α, β i γ su uglovi koji se formiraju između vektora Ʋ i pozitivnih pravaca prostornih osa x, y, z, redom. Projekcija neke tačke QϵP na vektor Ʋ je konstantna vrijednost jednaka r: (r,Ʋ) = r(r≥0).

Ova jednadžba ima smisla kada je p=0. Jedino što će ravan P u ovom slučaju preseći tačku O (α=0), koja je ishodište, a jedinični vektor Ʋ oslobođen iz tačke O će biti okomit na P, bez obzira na njegov pravac, što znači da je vektor Ʋ određen iz znaka tačno. Prethodna jednačina je jednačina naše P ravni, izražena u vektorskom obliku. Ali u koordinatama će izgledati ovako:

P je ovdje veće ili jednako 0. Pronašli smo jednačinu ravni u prostoru u njenom normalnom obliku.

Opća jednačina

Ako pomnožimo jednačinu u koordinatama bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, dobićemo jednačinu ekvivalentnu datoj, koja određuje tu istu ravan. To će izgledati ovako:

Ovdje su A, B, C brojevi koji su istovremeno različiti od nule. Ova jednačina se naziva opšta ravan jednačina.

Jednačine u ravnini. Posebni slučajevi

Jednačina u opštem obliku može se modifikovati u prisustvu dodatnih uslova. Hajde da razmotrimo neke od njih.

Pretpostavimo da je koeficijent A 0. To znači da je data ravan paralelna sa datom osom Ox. U ovom slučaju, oblik jednačine će se promijeniti: Vu+Cz+D=0.

Slično, oblik jednačine će se promijeniti pod sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, tada će se jednadžba promijeniti u Ax + Cz + D = 0, što će ukazati na paralelizam sa Oy osom.
• Drugo, ako je S=0, onda se jednačina transformiše u Ah+Vu+D=0, što će ukazati na paralelizam sa datom osom Oz.
• Treće, ako je D=0, jednačina će izgledati kao Ax+By+Cz=0, što će značiti da ravan seče O (početak).
• Četvrto, ako je A=B=0, tada će se jednačina promijeniti u Cz+D=0, što će se pokazati paralelnim sa Oxy.
• Peto, ako je B=C=0, onda jednačina postaje Ax+D=0, što znači da je ravan na Oyz paralelna.
• Šesto, ako je A=C=0, tada će jednadžba poprimiti oblik Vu+D=0, odnosno izvestiće paralelizam Oxz.

Tip jednadžbe u segmentima

U slučaju kada su brojevi A, B, C, D različiti od nule, oblik jednačine (0) može biti sljedeći:

x/a + y/b + z/c = 1,

u kojem a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Dobijamo kao rezultat Vrijedi napomenuti da će ova ravnina presjeći os Ox u tački s koordinatama (a,0,0), Oy - (0,b,0) i Oz - (0,0,c) .

Uzimajući u obzir jednačinu x/a + y/b + z/c = 1, lako je vizuelno predstaviti položaj ravni u odnosu na dati koordinatni sistem.

Normalne vektorske koordinate

Vektor normale n na ravan P ima koordinate koje su koeficijenti opšte jednačine date ravni, odnosno n (A, B, C).

Da bi se odredile koordinate normale n, dovoljno je poznavati opštu jednačinu date ravni.

Kada se koristi jednačina u segmentima, koja ima oblik x/a + y/b + z/c = 1, kao i kada se koristi opšta jednačina, mogu se napisati koordinate bilo kog vektora normale date ravni: (1 /a + 1/b + 1/ sa).

Treba napomenuti da normalni vektor pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći su zadaci koji se sastoje u dokazivanju okomitosti ili paralelnosti ravni, zadaci u pronalaženju uglova između ravni ili uglova između ravnina i pravih.

Pogled na jednadžbu ravnine prema koordinatama tačke i vektora normale

Vektor različit od nule n okomit na datu ravan naziva se normalnim (normalnim) za datu ravan.

Pretpostavimo da su u koordinatnom prostoru (pravougaoni koordinatni sistem) Oxyz dati:

• tačka Mₒ sa koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulti vektor n=A*i+B*j+C*k.

Potrebno je sastaviti jednačinu za ravan koja će prolaziti kroz tačku Mₒ okomito na normalu n.

U prostoru biramo bilo koju proizvoljnu tačku i označavamo je sa M (x y, z). Neka je vektor radijusa bilo koje tačke M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, a vektor radijusa tačke Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Tačka M pripadaće datoj ravni ako je vektor MₒM okomit na vektor n. Zapisujemo uslov ortogonalnosti koristeći skalarni proizvod:

[MₒM, n] = 0.

Budući da je MₒM = r-rₒ, vektorska jednačina ravnine će izgledati ovako:

Ova jednačina može imati drugi oblik. Za to se koriste svojstva skalarnog proizvoda, a lijeva strana jednadžbe se transformira. = - . Ako se označi kao c, tada će se dobiti sljedeća jednadžba: - c = 0 ili = c, koja izražava konstantnost projekcija na normalni vektor vektora radijusa datih tačaka koje pripadaju ravni.

Sada možete dobiti koordinatni oblik pisanja vektorske jednačine naše ravni = 0. Pošto je r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, i n = A*i+B *j+C*k, imamo:

Ispada da imamo jednadžbu za ravan koja prolazi kroz tačku okomitu na normalu n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Pogled na jednadžbu ravnine prema koordinatama dvije tačke i vektora kolinearnog ravni

Definiramo dvije proizvoljne tačke M′ (x′,y′,z′) i M″ (x″,y″,z″), kao i vektor a (a′,a″,a‴).

Sada možemo sastaviti jednačinu za datu ravan, koja će prolaziti kroz dostupne tačke M′ i M″, kao i bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y, z) paralelnim datom vektoru a.

U ovom slučaju, vektori M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) i M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) moraju biti komplanarni sa vektorom a=(a′,a″,a‴), što znači da je (M′M, M″M, a)=0.

Dakle, naša jednadžba ravnine u prostoru će izgledati ovako:

Vrsta jednačine ravnine koja seče tri tačke

Pretpostavimo da imamo tri tačke: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), koje ne pripadaju istoj pravoj liniji. Potrebno je napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz date tri tačke. Teorija geometrije tvrdi da ovakva ravan zaista postoji, samo što je jedina i neponovljiva. Pošto ova ravan siječe tačku (x′, y′, z′), oblik njene jednadžbe će biti sljedeći:

Ovdje se A, B, C razlikuju od nule u isto vrijeme. Takođe, data ravan seče još dve tačke: (x″,y″,z″) i (x‴,y‴,z‴). U tom smislu moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:

Sada možemo sastaviti homogeni sistem sa nepoznatim u, v, w:

U našem slučaju, x, y ili z je proizvoljna tačka koja zadovoljava jednačinu (1). S obzirom na jednačinu (1) i sistem jednačina (2) i (3), sistem jednačina prikazan na gornjoj slici zadovoljava vektor N (A, B, C), koji nije trivijalan. Zato je determinanta ovog sistema jednaka nuli.

Jednačina (1) koju smo dobili je jednačina ravnine. Prolazi tačno kroz 3 tačke i to je lako provjeriti. Da bismo to učinili, moramo proširiti našu determinantu na elemente u prvom redu. Iz postojećih svojstava determinante proizilazi da naša ravan istovremeno siječe tri početno date tačke (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Odnosno, riješili smo zadatak koji je pred nama.

Diedarski ugao između ravnina

Diedarski ugao je prostorna geometrijska figura koju čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne prave linije. Drugim riječima, ovo je dio prostora koji je ograničen ovim poluravnima.

Recimo da imamo dvije ravni sa sljedećim jednadžbama:

Znamo da su vektori N=(A,B,C) i N¹=(A¹,B¹,C¹) okomiti prema datim ravnima. U tom smislu, ugao φ između vektora N i N¹ jednak je uglu (diedralu), koji se nalazi između ovih ravni. Skalarni proizvod ima oblik:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

upravo zato

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Dovoljno je uzeti u obzir da je 0≤φ≤π.

U stvari, dvije ravni koje se sijeku formiraju dva (diedralna) ugla: φ 1 i φ 2 . Njihov zbir je jednak π (φ 1 + φ 2 = π). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali se razlikuju po predznacima, odnosno cos φ 1 =-cos φ 2. Ako u jednačini (0) zamijenimo A, B i C brojevima -A, -B i -C, redom, tada će jednačina koju dobijemo odrediti istu ravan, jedini ugao φ u jednačini cos φ= NN 1 /|N||N 1 | će biti zamijenjen sa π-φ.

Jednačina okomite ravni

Ravnine se nazivaju okomite ako je ugao između njih 90 stepeni. Koristeći gore opisani materijal, možemo pronaći jednadžbu ravnine koja je okomita na drugu. Recimo da imamo dvije ravni: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Možemo reći da će oni biti okomiti ako je cosφ=0. To znači da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Jednačina paralelne ravni

Paralelne su dvije ravni koje ne sadrže zajedničke tačke.

Uslov (njihove jednačine su iste kao u prethodnom paragrafu) je da su vektori N i N¹, koji su okomiti na njih, kolinearni. To znači da su ispunjeni sljedeći uvjeti proporcionalnosti:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ako su uslovi proporcionalnosti prošireni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ovo ukazuje da se ove ravni poklapaju. To znači da jednačine Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisuju jednu ravan.

Udaljenost do ravnine od tačke

Recimo da imamo ravan P, koja je data jednačinom (0). Potrebno je pronaći udaljenost do njega od tačke sa koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Da biste to učinili, trebate dovesti jednadžbu ravnine P u normalan oblik:

(ρ,v)=p (p≥0).

U ovom slučaju, ρ(x,y,z) je vektor radijusa naše tačke Q koja se nalazi na P, p je dužina okomice na P koja je oslobođena od nulte tačke, v je jedinični vektor koji se nalazi u the a direction.

Razlika ρ-ρº vektora radijusa neke tačke Q = (x, y, z) koja pripada P, kao i vektor radijusa date tačke Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) je takva vektor, čija je apsolutna vrijednost projekcije na v jednaka udaljenosti d, koja se mora naći od Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ali

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =r-(ρ 0 ,v).

Tako se ispostavilo

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Tako ćemo naći apsolutnu vrijednost rezultirajućeg izraza, odnosno željeni d.

Koristeći jezik parametara, dobijamo očigledno:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Ako je data tačka Q 0 na drugoj strani ravni P, kao i ishodište, onda je između vektora ρ-ρ 0 i v prema tome:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

U slučaju kada se tačka Q 0, zajedno sa ishodištem, nalazi na istoj strani od P, tada je stvoreni ugao oštar, odnosno:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Kao rezultat toga, ispada da je u prvom slučaju (ρ 0 ,v)> r, u drugom (ρ 0 ,v)<р.

Tangentna ravan i njena jednadžba

Tangentna ravan na površinu u tački kontakta Mº je ravan koja sadrži sve moguće tangente na krivulje povučene kroz ovu tačku na površini.

S ovim oblikom jednadžbe površine F (x, y, z) = 0, jednadžba tangentne ravnine u tački tangente Mº (xº, yº, zº) izgledat će ovako:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Ako zadate površinu u eksplicitnom obliku z=f (x, y), tada će tangentna ravan biti opisana jednadžbom:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Presjek dvije ravni

U koordinatnom sistemu (pravougaonom) nalazi se Oxyz, date su dve ravni P′ i P″ koje se seku i ne poklapaju. Pošto je bilo koja ravan koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu određena opštom jednačinom, pretpostavićemo da su P′ i P″ date jednačinama A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x +B″y+ S″z+D″=0. U ovom slučaju imamo normalu n′ (A′, B′, C′) P′ ravni i normalu n″ (A″, B″, C″) P″ ravni. Pošto naše ravni nisu paralelne i ne poklapaju se, ovi vektori nisu kolinearni. Koristeći jezik matematike, ovaj uslov možemo napisati na sljedeći način: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Neka prava koja leži na presjeku P′ i P″ bude označena slovom a, u ovom slučaju a = P′ ∩ P″.

a je prava linija koja se sastoji od skupa svih tačaka (zajedničkih) ravni P′ i P″. To znači da koordinate bilo koje tačke koja pripada pravoj a moraju istovremeno zadovoljiti jednačine A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x+B″y+C″z+D″= 0. To znači da će koordinate tačke biti posebno rješenje sljedećeg sistema jednačina:

Kao rezultat toga, ispada da će (opće) rješenje ovog sistema jednadžbi odrediti koordinate svake od tačaka prave, koja će djelovati kao presječna tačka P′ i P″, i odrediti pravu prava a u koordinatnom sistemu Oxyz (pravougaona) u prostoru.

Da bismo dobili opštu jednačinu ravni, analiziramo ravan koja prolazi kroz datu tačku.

Neka postoje tri koordinatne ose koje su nam već poznate u svemiru - Ox, Oy i Oz. Držite list papira tako da ostane ravan. Ravan će biti sam list i njegov nastavak u svim smjerovima.

Neka bude P proizvoljna ravan u prostoru. Svaki vektor okomit na njega naziva se normalni vektor na ovaj avion. Naravno, govorimo o vektoru koji nije nula.

Ako je poznata neka tačka ravnine P i neki vektor normale na njega, onda je ova dva uslova ravan u prostoru potpuno određena(kroz datu tačku postoji samo jedna ravan okomita na dati vektor). Opća jednačina ravnine će izgledati ovako:

Dakle, postoje uslovi koji postavljaju jednačinu ravni. Da ga dobijem sam ravan jednadžba, koji ima gornji oblik, uzimamo u avion P proizvoljno tačka M sa promenljivim koordinatama x, y, z. Ova tačka pripada ravni samo ako vektor okomito na vektor(Sl. 1). Za to je, prema uslovu okomitosti vektora, potrebno i dovoljno da skalarni proizvod ovih vektora bude jednak nuli, tj.

Vektor je zadan uslovom. Koordinate vektora nalazimo po formuli :

.

Sada, koristeći formulu dot proizvoda vektora , izražavamo skalarni proizvod u koordinatnom obliku:

Od tačke M(x; y; z) je proizvoljno odabran na ravni, tada je posljednja jednačina zadovoljena koordinatama bilo koje tačke koja leži na ravni P. Za poen N, ne leži na datoj ravni, , tj. jednakost (1) je narušena.

Primjer 1 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku i okomita je na vektor.

Odluka. Koristimo formulu (1), pogledajte je ponovo:

U ovoj formuli, brojevi A , B i C vektorske koordinate i brojeve x0 , y0 i z0 - koordinate tačke.

Izračuni su vrlo jednostavni: ove brojeve zamjenjujemo u formulu i dobijamo

Množimo sve što treba pomnožiti i zbrajamo samo brojeve (koji su bez slova). rezultat:

.

Pokazalo se da je tražena jednačina ravnine u ovom primjeru izražena opštom jednačinom prvog stepena u odnosu na promjenjive koordinate x, y, z proizvoljna tačka ravni.

Dakle, jednačina oblika

pozvao opšta jednačina ravnine .

Primjer 2 Konstruisati u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu ravan datu jednačinom .

Odluka. Za konstruisanje ravni potrebno je i dovoljno poznavati bilo koje tri njene tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji, na primer, tačke preseka ravnine sa koordinatnim osa.

Kako pronaći ove tačke? Da se pronađe tačka preseka sa osom Oz, trebate zamijeniti nule umjesto x i y u jednadžbi datoj u izjavi problema: x = y= 0 . Dakle, dobijamo z= 6 . Dakle, data ravan seče osu Oz u tački A(0; 0; 6) .

Na isti način nalazimo tačku presjeka ravnine sa osom Oy. At x = z= 0 dobijamo y= −3 , odnosno tačka B(0; −3; 0) .

I konačno, nalazimo tačku preseka naše ravni sa osom Ox. At y = z= 0 dobijamo x= 2, odnosno tačka C(2; 0; 0) . Prema tri boda dobijene u našem rješenju A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) i C(2; 0; 0) gradimo datu ravan.

Razmislite sada specijalni slučajevi opšte jednačine ravni. To su slučajevi kada određeni koeficijenti jednačine (2) nestanu.

1. Kada D= 0 jednadžba definira ravan koja prolazi kroz ishodište, budući da su koordinate tačke 0 (0; 0; 0) zadovoljavaju ovu jednačinu.

2. Kada A= 0 jednadžba definira ravan paralelnu osi Ox, budući da je vektor normale ove ravni okomit na osu Ox(njegova projekcija na os Ox jednako nuli). Slično, kada B= 0 avion osa paralelna Oy, i kada C= 0 avion paralelno sa osom Oz.

3. Kada A=D= 0 jednačina definira ravan koja prolazi kroz osu Ox jer je paralelna sa osom Ox (A=D= 0). Slično, ravnina prolazi kroz osu Oy, i ravan kroz osu Oz.

4. Kada A=B= 0 jednačina definira ravan paralelnu koordinatnoj ravni xOy jer je paralelan sa osama Ox (A= 0) i Oy (B= 0). Isto tako, ravan je paralelna sa ravninom yOz, a avion - avion xOz.

5. Kada A=B=D= 0 jednačina (ili z= 0) definira koordinatnu ravan xOy, pošto je paralelna sa ravninom xOy (A=B= 0) i prolazi kroz ishodište ( D= 0). Slično, jednačina y= 0 u prostoru definira koordinatnu ravan xOz, i jednadžba x= 0 - koordinatna ravan yOz.

Primjer 3 Sastavite jednačinu ravnine P prolazeći kroz osu Oy i tačka.

Odluka. Dakle, ravan prolazi kroz osu Oy. Dakle, u njenoj jednadžbi y= 0 i ova jednadžba ima oblik . Za određivanje koeficijenata A i C koristimo činjenicu da tačka pripada ravni P .

Dakle, među njegovim koordinatama postoje one koje se mogu supstituirati u jednadžbu ravnine koju smo već izveli (). Pogledajmo još jednom koordinate tačke:

M0 (2; −4; 3) .

Među njima x = 2 , z= 3 . Zamjenjujemo ih u opću jednačinu i dobivamo jednačinu za naš konkretni slučaj:

2A + 3C = 0 .

Odlazimo 2 A na lijevoj strani jednačine prenosimo 3 C na desnu stranu i dobiti

A = −1,5C .

Zamjena pronađene vrijednosti A u jednačinu , dobijamo

ili .

Ovo je jednadžba potrebna u primjeru stanja.

Sami riješite problem na jednačinama ravnine, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Odredite ravninu (ili ravni ako ih ima više) u odnosu na koordinatne ose ili koordinatne ravni ako su ravnine date jednadžbom .

Rješenja tipičnih problema koji se javljaju u testovima - u priručniku "Problemi na ravni: paralelizam, okomitost, presjek tri ravnine u jednoj tački".

Jednačina ravni koja prolazi kroz tri tačke

Kao što je već pomenuto, nužan i dovoljan uslov za konstruisanje ravni, pored jedne tačke i normalnog vektora, su i tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji.

Neka postoji tri različite točke , I , Ne leži na istoj pravoj liniji. Budući da ove tri točke ne leže na jednoj pravoj liniji, vektori i nisu kolinearni, pa stoga bilo koja točka ravnine leži u istoj ravni s točkama , i ako i samo ako su vektori , i komplanarno, tj. ako i samo ako mješoviti proizvod ovih vektora jednako nuli.

Koristeći izraz mješovitog proizvoda u koordinatama, dobijamo jednadžbu ravnine

(3)

Nakon proširenja determinante, ova jednačina postaje jednačina oblika (2), tj. opšta jednačina ravnine.

Primjer 5 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na pravoj liniji:

i da se odredi poseban slučaj opće jednačine prave, ako postoji.

Odluka. Prema formuli (3) imamo:

Normalna jednačina ravnine. Udaljenost od tačke do ravni

Normalna jednačina ravni je njena jednačina, zapisana u obliku

Ako su svi brojevi A, B, C i D različiti od nule, onda se opšta jednačina ravnine naziva kompletan. Inače, naziva se opšta jednačina ravni nepotpuna.

Razmotrimo sve moguće opšte nekompletne jednačine ravnine u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru.

Neka je D = 0, tada imamo opštu nepotpunu jednačinu ravni oblika . Ova ravan u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz prolazi kroz ishodište. Zaista, kada zamenimo koordinate tačke u rezultirajuću nepotpunu jednadžbu ravnine, dolazimo do identiteta .

Za , ili , ili imamo opće nepotpune jednadžbe ravnina , ili , ili respektivno. Ove jednadžbe definiraju ravnine koje su paralelne s koordinatnim ravninama Oxy , Oxz i Oyz respektivno (pogledajte članak Uvjet paralelizma za ravnine) i prolaze kroz tačke i shodno tome. At. Od tačke pripada ravni po uslovu, tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu ravni, odnosno jednakost mora biti tačna. Odavde nalazimo . Dakle, željena jednačina ima oblik .

Predstavljamo drugi način rješavanja ovog problema.

Pošto je ravan, čiju opštu jednačinu treba da sastavimo, paralelna ravni Oyz, onda kao njen vektor normale možemo uzeti vektor normale ravni Oyz. Vektor normale koordinatne ravni Oyz je koordinatni vektor . Sada znamo vektor normale ravnine i tačku ravnine, stoga možemo zapisati njenu opštu jednačinu (sličan problem smo rešili u prethodnom pasusu ovog članka):
, tada njegove koordinate moraju zadovoljiti jednačinu ravnine. Dakle, jednakost gde nalazimo. Sada možemo napisati željenu opštu jednačinu ravnine, ona ima oblik .

odgovor:

Bibliografija.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi tom: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Jednačina u ravnini. Kako napisati jednačinu za ravan?
Međusobni raspored aviona. Zadaci

Prostorna geometrija nije mnogo složenija od "ravne" geometrije, a naši letovi u svemiru počinju ovim člankom. Da bi se razumjela tema mora se dobro razumjeti vektori , osim toga, poželjno je poznavati geometriju aviona - bit će mnogo sličnosti, mnogo analogija, pa će se informacije mnogo bolje probaviti. U seriji mojih lekcija, 2D svijet otvara članak Jednačina prave linije na ravni . Ali sada je Betmen izašao sa televizora sa ravnim ekranom i lansirao se sa kosmodroma Bajkonur.

Počnimo sa crtežima i simbolima. Šematski, ravan se može nacrtati kao paralelogram, što daje utisak prostora:

Avion je beskonačan, ali imamo priliku da prikažemo samo njegov deo. U praksi se pored paralelograma crta i oval ili čak oblak. Iz tehničkih razloga mi je zgodnije da avion prikažem na ovaj način i u ovoj poziciji. Prave ravnine, koje ćemo razmotriti u praktičnim primjerima, mogu se rasporediti na bilo koji način - mentalno uzmite crtež u ruke i uvrnite ga u prostoru, dajući avionu bilo koji nagib, bilo koji kut.

Notacija: uobičajeno je da se avioni označavaju malim grčkim slovima, očigledno da ih ne bi pobrkali sa pravo u avion ili sa pravo u svemir . Navikao sam da koristim pismo. Na crtežu je to slovo "sigma", a ne rupa. Iako, rupa avion, to je svakako jako smiješno.

U nekim slučajevima, zgodno je koristiti ista grčka slova sa indeksima za označavanje aviona, na primjer, .

Očigledno je da je ravan jednoznačno određena sa tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Stoga su troslovne oznake ravnina prilično popularne - prema tačkama koje im pripadaju, na primjer, itd. Često se slova stavljaju u zagrade: , kako ne bi pobrkali ravan s drugom geometrijskom figurom.

Za iskusne čitaoce, dat ću meni prečica:

• Kako napisati jednačinu za ravan koristeći tačku i dva vektora?
• Kako napisati jednačinu za ravan koristeći tačku i normalni vektor?

i nećemo čamiti u dugim čekanjima:

Opća jednačina ravnine

Opća jednačina ravnine ima oblik , gdje su koeficijenti istovremeno različiti od nule.

Brojni teorijski proračuni i praktični problemi vrijede i za uobičajenu ortonormalnu bazu i za afinu bazu prostora (ako je ulje ulje, vratite se na lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova ). Radi jednostavnosti, pretpostavićemo da se svi događaji dešavaju u ortonormalnoj bazi i Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu.

A sada da treniramo malo prostorne mašte. U redu je ako imate loše, sada ćemo ga malo razviti. Čak i igranje na živce zahtijeva vježbu.

U najopštijem slučaju, kada brojevi nisu jednaki nuli, ravan siječe sve tri koordinatne ose. Na primjer, ovako:

Ponavljam još jednom da se avion kreće u nedogled u svim pravcima, a mi imamo priliku prikazati samo njegov dio.

Razmotrite najjednostavnije jednadžbe ravnina:

Kako razumjeti ovu jednačinu? Razmislite o tome: “Z” UVIJEK, za bilo koje vrijednosti “X” i “Y” je jednako nuli. Ovo je jednadžba "prirodne" koordinatne ravni. Zaista, formalno se jednačina može prepisati na sljedeći način: , odakle je jasno vidljivo da nas nije briga koje vrijednosti zauzimaju “x” i “y”, bitno je da je “z” jednako nuli.

Slično:
je jednadžba koordinatne ravni ;
je jednadžba koordinatne ravni.

Hajde da malo zakomplikujemo problem, razmotrimo ravan (ovde i dalje u paragrafu pretpostavljamo da numerički koeficijenti nisu jednaki nuli). Prepišimo jednačinu u obliku: . Kako to razumjeti? "X" je UVIJEK, za bilo koju vrijednost "y" i "z" je jednako određenom broju. Ova ravan je paralelna sa koordinatnom ravninom. Na primjer, ravan je paralelna s ravninom i prolazi kroz tačku.

Slično:
- jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom ravninom;
- jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom ravninom.

Dodajte članove: . Jednačina se može prepisati ovako: , to jest, "Z" može biti bilo šta. Šta to znači? "X" i "Y" su povezani omjerom koji povlači određenu pravu liniju u ravni (prepoznat ćete jednačina prave linije u ravni ?). Pošto Z može biti bilo šta, ova linija se "replicira" na bilo kojoj visini. Dakle, jednačina definira ravan paralelnu koordinatnoj osi

Slično:
- jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom osom;
- jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom osom.

Ako su slobodni članovi jednaki nuli, tada će ravni direktno proći kroz odgovarajuće ose. Na primjer, klasična "direktna proporcionalnost":. Nacrtajte pravu liniju u ravni i mentalno je pomnožite gore-dolje (pošto je "z" bilo koji). Zaključak: ravan zadata jednadžbom prolazi kroz koordinatnu osu.

Zaključujemo pregled: jednačina ravnine prolazi kroz ishodište. Pa, ovdje je sasvim očigledno da tačka zadovoljava datu jednačinu.

I, na kraju, slučaj koji je prikazan na crtežu: - ravan se druži sa svim koordinatnim osa, a uvijek „odsijeca“ trougao koji se može nalaziti u bilo kojem od osam oktanata.

Linearne nejednakosti u prostoru

Da biste razumjeli informacije, potrebno je dobro proučiti linearne nejednačine u ravni jer će mnoge stvari biti slične. Paragraf će biti kratak pregled sa nekoliko primjera, budući da je materijal prilično rijedak u praksi.

Ako jednačina definira ravan, onda su nejednačine
pitaj poluprostori. Ako nejednakost nije stroga (zadnje dvije na listi), tada rješenje nejednakosti, pored poluprostora, uključuje i samu ravan.

Primjer 5

Pronađite vektor jedinične normale ravnine .

Odluka: Jedinični vektor je vektor čija je dužina jedan. Označimo ovaj vektor sa . Sasvim je jasno da su vektori kolinearni:

Prvo uklanjamo vektor normale iz jednadžbe ravnine: .

Kako pronaći jedinični vektor? Da biste pronašli jedinični vektor, trebate svaki vektorska koordinata podijeljena dužinom vektora.

Prepišimo normalni vektor u formu i pronađemo njegovu dužinu:

prema gore navedenom:

Odgovori:

Provjera: , koja je bila potrebna za provjeru.

Čitaoci koji su pažljivo proučili poslednji pasus lekcije, verovatno su to primetili koordinate jediničnog vektora su tačno kosinusi smjera vektora:

Hajde da skrenemo sa rastavljenog problema: kada vam je dat proizvoljan vektor koji nije nula, a po uvjetu je potrebno pronaći kosinus smjera (vidi posljednje zadatke lekcije Tačkasti proizvod vektora ), tada ćete, u stvari, pronaći i jedinični vektor kolinearan datom. Zapravo, dva zadatka u jednoj boci.

Potreba za pronalaženjem vektora jedinične normale javlja se u nekim problemima matematičke analize.

Shvatili smo pecanje normalnog vektora, sada ćemo odgovoriti na suprotno pitanje:

Kako napisati jednačinu za ravan koristeći tačku i normalni vektor?

Ova kruta konstrukcija normalnog vektora i tačke dobro je poznata po meti za pikado. Ispružite ruku naprijed i mentalno odaberite proizvoljnu tačku u prostoru, na primjer, malu mačku u kredencu. Očigledno, kroz ovu tačku možete nacrtati jednu ravan okomitu na vašu ruku.

Jednačina ravnine koja prolazi kroz tačku okomitu na vektor izražava se formulom:

Povratak