Jednačine sa pravilima rješenja razlomaka. "rješenje frakcionih racionalnih jednadžbi"

Do sada smo rješavali samo cijele jednačine u odnosu na nepoznatu, odnosno jednačine u kojima nazivnici (ako ih ima) nisu sadržavali nepoznatu.

Često je potrebno riješiti jednadžbe koje sadrže nepoznatu u nazivnicima: takve jednačine se nazivaju razlomcima.

Da bismo riješili ovu jednačinu, množimo obje strane s polinomom koji sadrži nepoznatu. Hoće li nova jednačina biti ekvivalentna ovoj? Da bismo odgovorili na pitanje, riješimo ovu jednačinu.

Pomnožimo oba njegova dijela sa, dobijemo:

Nakon što smo riješili ovu jednačinu prvog stepena, nalazimo:

Dakle, jednačina (2) ima jedan korijen

Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo:

Dakle, to je također korijen jednačine (1).

Jednačina (1) nema druge korijene. U našem primjeru, to se može vidjeti, na primjer, iz činjenice da je u jednadžbi (1)

Kao nepoznati djelitelj, on mora biti jednak dividendi 1 podijeljenoj s količnikom 2, tj.

Dakle, jednačine (1) i (2) imaju jedan korijen i stoga su ekvivalentne.

2. Riješimo sada sljedeću jednačinu:

Najjednostavniji zajednički imenilac:; pomnoži sve članove jednačine sa njim:

Nakon smanjenja dobijamo:

Proširimo zagrade:

S obzirom na slične uslove, imat ćemo:

Nakon što smo riješili ovu jednačinu, nalazimo:

Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo:

Na lijevoj strani imamo izraze koji nemaju smisla.

Dakle, korijen jednačine (1) nije. Otuda slijedi da jednačine (1) i nisu ekvivalentne.

U ovom slučaju kažu da je jednadžba (1) dobila vanjski korijen.

Uporedimo rješenje jednačine (1) sa rješenjem jednačina koje smo ranije razmatrali (vidi § 51). Prilikom rješavanja ove jednačine morali smo izvršiti dvije takve operacije koje se do sada nisu susrele: prvo, pomnožili smo obje strane jednačine izrazom koji sadrži nepoznatu (zajednički nazivnik), i, drugo, poništili smo algebarske razlomke faktorima koji sadrže nepoznato...

Uspoređujući jednačinu (1) sa jednačinom (2), vidimo da nisu sve vrijednosti x, prihvatljive za jednačinu (2), prihvatljive za jednačinu (1).

Upravo brojevi 1 i 3 nisu valjane vrijednosti nepoznate za jednačinu (1), a kao rezultat transformacije postali su važeći za jednačinu (2). Ispostavilo se da je jedan od ovih brojeva rješenje jednačine (2), ali, naravno, ne može biti rješenje jednačine (1). Jednačina (1) nema rješenja.

Ovaj primjer pokazuje da kada se obje strane jednadžbe pomnože faktorom koji sadrži nepoznatu, i kada se ponište algebarski razlomci, može se dobiti jednačina koja nije ekvivalentna datoj, odnosno: mogu se pojaviti strani korijeni.

Stoga izvlačimo sljedeći zaključak. Prilikom rješavanja jednadžbe koja sadrži nepoznatu u nazivniku, rezultirajući korijeni se moraju provjeriti zamjenom u originalnoj jednadžbi. Strani korijeni moraju se odbaciti.

Dodatak

Rješavanje bilo koje vrste jednačina na web stranici za konsolidaciju proučenog materijala od strane učenika i školaraca.. Rješavanje jednačina online. Jednačine online. Razlikovati algebarske, parametarske, transcendentalne, funkcionalne, diferencijalne i druge vrste jednadžbi. Neke klase jednadžbi imaju analitička rješenja, koja su zgodna po tome što ne samo da daju tačnu vrijednost korijena, već vam omogućavaju da rješenje zapišete u formulu, koja može uključivati parametre. Analitički izrazi omogućavaju ne samo izračunavanje korijena, već i analizu njihovog postojanja i njihovog broja ovisno o vrijednostima parametara, što je često čak i važnije za praktičnu primjenu od specifičnih vrijednosti korijena. Rješavanje jednadžbi online .. Jednačine online. Rješenje jednadžbe je problem pronalaženja takvih vrijednosti argumenata za koje se ova jednakost postiže. Mogućim vrijednostima argumenata se mogu nametnuti dodatni uvjeti (cijeli, realni, itd.). Rješavanje jednadžbi online .. Jednačine online. Bićete u mogućnosti da rešite jednadžbu onlajn trenutno i sa velikom preciznošću rezultata. Argumenti datih funkcija (ponekad se nazivaju "varijable") nazivaju se "nepoznatima" u slučaju jednačine. Vrijednosti nepoznanica kod kojih se ova jednakost postiže nazivaju se rješenjima ili korijenima ove jednadžbe. Kaže se da korijeni zadovoljavaju datu jednačinu. Rješavanje jednadžbe na mreži znači pronalaženje skupa svih njenih rješenja (korijena) ili dokazivanje da nema korijena. Rješavanje jednadžbi online .. Jednačine online. Jednačine se nazivaju ekvivalentne ili ekvivalentne ako se njihovi korijenski skupovi poklapaju. Jednačine se također smatraju ekvivalentnim ako nemaju korijen. Ekvivalencija jednačina ima svojstvo simetrije: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, onda je druga jednačina ekvivalentna prvoj. Ekvivalentnost jednačina ima svojstvo tranzitivnosti: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, a druga je ekvivalentna trećoj, tada je prva jednačina ekvivalentna trećoj. Svojstvo ekvivalencije jednačina omogućava da se s njima izvrše transformacije na kojima se zasnivaju metode njihovog rješavanja. Rješavanje jednadžbi online .. Jednačine online. Stranica će vam omogućiti da riješite jednačinu na mreži. Jednačine za koje su poznata analitička rješenja uključuju algebarske jednačine ne veće od četvrtog stepena: linearnu jednačinu, kvadratnu jednačinu, kubičnu jednačinu i jednačinu četvrtog stepena. Algebarske jednadžbe viših stupnjeva uglavnom nemaju analitičko rješenje, iako se neke od njih mogu svesti na jednačine nižih stupnjeva. Jednačine koje uključuju transcendentne funkcije nazivaju se transcendentalnim. Među njima su poznata analitička rješenja za neke trigonometrijske jednadžbe, jer su nule trigonometrijskih funkcija dobro poznate. U opštem slučaju, kada se analitičko rešenje ne može naći, koriste se numeričke metode. Numeričke metode ne daju tačno rješenje, već vam samo omogućavaju da suzite interval u kojem leži korijen na određenu unaprijed određenu vrijednost. Rješavanje jednačina online .. Jednačine online .. Umjesto jednačine na mreži, zamislit ćemo kako isti izraz formira linearnu vezu, i to ne samo duž tangentne linije, već i na prevojnoj tački grafa. Ova metoda je nezamjenjiva u svakom trenutku proučavanja predmeta. Često se dešava da se rješenje jednačina približava konačnoj vrijednosti pomoću beskonačnih brojeva i pisanja vektora. Potrebno je provjeriti početne podatke, a to je suština zadatka. U suprotnom, lokalni uvjet se pretvara u formulu. Inverzija duž prave linije od date funkcije, koju će izračunati kalkulator jednačina bez većeg kašnjenja u izvršenju, privilegija prostora će služiti kao ofset. Fokusiraće se na akademski učinak učenika. Međutim, kao i sve gore navedeno, pomoći će nam u procesu pronalaženja i kada u potpunosti riješite jednadžbu, onda sačuvate odgovor na krajevima segmenta linije. Prave u prostoru seku se u tački i ta tačka se zove presečene prave. Interval na pravoj liniji je naznačen kao što je prethodno navedeno. Biće objavljen prvi post o studiju matematike. Dodjeljivanje vrijednosti argumenta sa parametarski definirane površine i rješavanje jednadžbe na mreži će moći ukazati na principe produktivnog poziva funkcije. Mobiusova traka, ili kako je nazivaju beskonačnost, izgleda kao osmica. To je jednostrana, a ne dvostrana površina. Po principu koji je svima dobro poznat, objektivno uzimamo linearne jednačine kao osnovnu oznaku kao što je to u oblasti istraživanja. Samo dvije vrijednosti uzastopno datih argumenata mogu otkriti smjer vektora. Pretpostaviti da je drugo rješenje jednadžbi na mreži mnogo više od samog rješavanja, znači dobiti punu verziju invarijante na izlazu. Učenicima je teško naučiti ovaj materijal bez integriranog pristupa. Kao i do sada, za svaki poseban slučaj, naš zgodan i pametan online kalkulator jednadžbi pomoći će svima u teškim vremenima, jer samo trebate navesti ulazne parametre i sistem će sam izračunati odgovor. Prije nego počnemo unositi podatke, potreban nam je alat za unos, što se može učiniti bez većih poteškoća. Broj svake procjene odgovora bit će kvadratna jednačina koja vodi do naših zaključaka, ali to nije tako lako učiniti, jer je lako dokazati suprotno. Teorija, zbog svojih posebnosti, nije potkrijepljena praktičnim znanjem. Videti kalkulator razlomaka u fazi objavljivanja odgovora nije lak zadatak u matematici, jer alternativa pisanja broja na skupu doprinosi povećanju rasta funkcije. Međutim, bilo bi netačno ne reći o obuci učenika, pa ćemo svakoga izraziti onoliko koliko je potrebno. Prethodno će pronađena kubična jednačina s pravom pripadati domenu definicije i sadržavati prostor numeričkih vrijednosti, kao i simboličke varijable. Nakon što su naučili ili zapamtili teoremu, naši učenici će se pokazati samo sa najbolje strane, a mi ćemo im se radovati. Za razliku od mnogih raskrsnica polja, naše online jednadžbe su opisane ravninom kretanja množenjem dvije i tri numeričke spojene linije. Skup u matematici nije jednoznačno definisan. Najbolje rješenje, prema mišljenju studenata, je potpuna notacija izraza. Kako je rečeno naučnim jezikom, apstrakcija simboličkih izraza nije uključena u stanje stvari, ali rješenje jednačina daje nedvosmislen rezultat u svim poznatim slučajevima. Trajanje nastave instruktora je zasnovano na potrebama ovog prijedloga. Analiza je pokazala koliko su potrebne sve računske tehnike u mnogim oblastima, te je potpuno jasno da je kalkulator jednačina nezamjenjiv alat u darovitim rukama učenika. Lojalan pristup proučavanju matematike određuje važnost pogleda različitih pravaca. Želimo identificirati jednu od ključnih teorema i na taj način riješiti jednačinu, ovisno o čijem odgovoru će se javiti daljnja potreba za njenom primjenom. Analitika u ovoj oblasti dobija na zamahu. Počnimo od početka i izvedimo formulu. Nakon probijanja nivoa povećanja funkcije, tangentna linija u točki fleksije će nužno dovesti do činjenice da će rješavanje jednadžbe na mreži biti jedan od glavnih aspekata u konstruiranju istog grafa iz argumenta funkcije. Diletantski pristup ima pravo da se primeni ako ovaj uslov nije u suprotnosti sa zaključcima učenika. Podzadatak koji analizu matematičkih uslova kao linearnih jednačina u postojećem domenu objekta stavlja u drugi plan. Pomak u smjeru ortogonalnosti poništava prednost jedne apsolutne vrijednosti. U modulu, rješavanje jednadžbi na mreži daje isti broj rješenja ako proširite zagrade prvo znakom plus, a zatim znakom minus. U ovom slučaju ima dvostruko više rješenja, a rezultat će biti precizniji. Stabilan i ispravan kalkulator jednačina na mreži je uspjeh u postizanju ciljanog cilja u zadatku koji je postavio nastavnik. Čini se da je moguće izabrati potrebnu metodu zbog značajnih razlika u stavovima velikih naučnika. Rezultirajuća kvadratna jednačina opisuje krivulju linija, takozvanu parabolu, a znak će odrediti njenu konveksnost u kvadratnom koordinatnom sistemu. Iz jednačine dobijamo i diskriminanta i same korijene prema Vietinom teoremu. Potrebno je prikazati izraz u obliku pravilnog ili pogrešnog razlomka i koristiti kalkulator razlomaka u prvoj fazi. Ovisno o tome, formirat će se plan naših daljih proračuna. Sa teorijskim pristupom, matematika će biti od koristi u svakoj fazi. Rezultat ćemo nužno predstaviti kao kubnu jednačinu, jer ćemo njegove korijene sakriti upravo u ovom izrazu, kako bismo pojednostavili zadatak studentu na univerzitetu. Bilo koja metoda je dobra ako je pogodna za površnu analizu. Prekomjerne aritmetičke operacije neće dovesti do grešaka u proračunu. Određuje odgovor sa navedenom tačnošću. Koristeći rješenje jednadžbi, kažemo otvoreno - nije tako lako pronaći nezavisnu varijablu date funkcije, posebno kada se proučavaju paralelne prave u beskonačnosti. S obzirom na izuzetak, potreba je vrlo očigledna. Razlika polariteta je nedvosmislena. Iz iskustva predavanja na institutima, naš nastavnik je naučio glavnu lekciju u kojoj su se jednačine proučavale onlajn u punom matematičkom smislu. Ovdje se radilo o najvećem trudu i posebnim vještinama u primjeni teorije. U prilog našim zaključcima, ne treba gledati kroz prizmu. Do kasnije se vjerovalo da se zatvoreni skup brzo povećava na području kakvo jeste, a rješenje jednačina jednostavno treba istražiti. U prvoj fazi nismo razmatrali sve moguće opcije, ali ovaj pristup je opravdan više nego ikad. Prekomjerne radnje sa zagradama opravdavaju neke pomake duž ose ordinate i apscise, što se ne može previdjeti golim okom. U smislu ekstenzivnog proporcionalnog povećanja funkcije, postoji tačka pregiba. Dokažimo još jednom kako će se potreban uslov primijeniti na cijeli interval opadanja jedne ili druge opadajuće pozicije vektora. U skučenom prostoru, izabraćemo varijablu iz početnog bloka naše skripte. Za odsustvo glavnog momenta sile odgovoran je sistem, izgrađen kao osnova za tri vektora. Međutim, kalkulator jednačina to je iznio i pomogao u pronalaženju svih članova konstruirane jednačine, kako iznad površine tako i duž paralelnih linija. Opisaćemo određeni krug oko početne tačke. Tako ćemo se početi kretati prema gore duž linija presjeka, a tangenta će opisivati krug cijelom dužinom, kao rezultat ćemo dobiti krivulju koja se zove evolventa. Uzgred, hajde da ispričamo malo istorije o ovoj krivulji. Činjenica je da istorijski u matematici nije postojao koncept same matematike u čistom smislu, kao što je to danas. Ranije su se svi naučnici bavili jednim zajedničkim poslom, odnosno naukom. Kasnije, nekoliko vekova kasnije, kada je naučni svet bio ispunjen kolosalnom količinom informacija, čovečanstvo je ipak identifikovalo mnoge discipline. One su do danas ostale nepromijenjene. Ipak, svake godine naučnici širom sveta pokušavaju da dokažu da je nauka neograničena, i nećete rešiti jednačinu ako nemate znanje o prirodnim naukama. Ne može se tome stati na kraj. Razmišljanje o ovome je besmisleno kao i zagrijavanje zraka napolju. Nađimo interval u kojem će argument, sa svojom pozitivnom vrijednošću, odrediti modul vrijednosti u naglo rastućem smjeru. Reakcija će vam pomoći da pronađete najmanje tri rješenja, ali ćete ih morati provjeriti. Za početak, trebamo riješiti jednadžbu na mreži koristeći jedinstvenu uslugu na našoj web stranici. Hajde da unesemo obe strane date jednačine, pritisnemo dugme "SOLVE" i dobićemo tačan odgovor u roku od samo nekoliko sekundi. U posebnim slučajevima ćemo uzeti knjigu o matematici i još jednom provjeriti naš odgovor, naime vidjet ćemo samo odgovor i sve će postati jasno. Izletjet će isti projekt na umjetnom redundantnom paralelepipedu. Postoji paralelogram sa svojim paralelnim stranama, i on objašnjava mnoge principe i pristupe proučavanju prostornog odnosa uzlaznog procesa akumulacije šupljeg prostora u prirodnim formulama. Dvosmislene linearne jednadžbe pokazuju ovisnost željene varijable sa našim zajedničkim rješenjem u datom trenutku, te je potrebno nekako izvesti i svesti netačan razlomak na netrivijalan slučaj. Na pravoj liniji označite deset tačaka i nacrtajte krivu kroz svaku tačku u datom smjeru i konveksnošću prema gore. Bez većih poteškoća, naš kalkulator jednačina će prikazati izraz u takvom obliku da će njegova provjera valjanosti pravila biti očigledna čak i na početku zapisa. Sistem posebnih reprezentacija stabilnosti za matematičare je na prvom mestu, osim ako formulom nije drugačije predviđeno. Na ovo ćemo odgovoriti detaljnim prikazom izvještaja o izomorfnom stanju plastičnog sistema tijela i rješavanjem jednačina na mreži će opisati kretanje svake materijalne tačke u ovom sistemu. Na nivou dubinskog istraživanja biće potrebno detaljno razjasniti pitanje inverzija barem donjeg sloja prostora. Uzdižući se u odeljku funkcionalnog jaza, primenićemo opštu metodu vrsnog istraživača, inače, našeg sunarodnika, a u nastavku ćemo pričati o ponašanju aviona. Zbog jakih karakteristika analitički specificirane funkcije, koristimo samo online kalkulator jednačina za njegovu namjenu u okviru izvedenih ovlaštenja. Raspravljajući dalje, zaustavimo naše istraživanje o homogenosti same jednačine, odnosno njena desna strana je izjednačena sa nulom. Još jednom ćemo se uvjeriti u ispravnost naše odluke iz matematike. Da bismo izbegli dobijanje trivijalnog rešenja, izvršićemo neka prilagođavanja početnih uslova za problem uslovne stabilnosti sistema. Sastavimo kvadratnu jednačinu, za koju ispisujemo dva unosa prema poznatoj formuli i nalazimo negativne korijene. Ako je jedan korijen za pet jedinica viši od drugog i trećeg korijena, onda mijenjanjem glavnog argumenta na taj način iskrivljujemo početne uslove podproblema. U suštini, nešto neobično u matematici se uvijek može opisati na najbliže stotinke pozitivnog broja. Kalkulator razlomaka je nekoliko puta superiorniji od svojih kolega na sličnim resursima u najboljem trenutku opterećenja servera. Na površini vektora brzine koji raste duž ordinate nacrtamo sedam linija savijenih u suprotnim smjerovima jedna prema drugoj. Promjerljivost dodijeljenog argumenta funkcije je ispred brojača salda oporavka. U matematici se ovaj fenomen može predstaviti kubnom jednadžbom sa imaginarnim koeficijentima, kao i bipolarnim napredovanjem opadajućih linija. Kritične tačke pada temperature, u mnogim svojim značenjima i napredovanju, opisuju proces faktoringa složene frakcijske funkcije. Ako vam se kaže da riješite jednadžbu, nemojte žuriti da to učinite ovog trenutka, prvo nedvosmisleno procijenite cijeli plan akcije, a tek onda zauzmite ispravan pristup. Korist će sigurno biti. Lakoća rada je očigledna, a tako je i u matematici. Riješite jednačinu na mreži. Sve jednadžbe na mreži predstavljaju neku vrstu zapisa brojeva ili parametara i varijable koju treba definirati. Izračunajte baš ovu varijablu, odnosno pronađite određene vrijednosti ili intervale skupa vrijednosti na kojima će identitet biti zadovoljen. Početni i konačni uslovi direktno zavise. Opšte rješenje jednačina, po pravilu, uključuje neke varijable i konstante, postavljanjem kojih dobijamo čitave porodice rješenja za dati zadatak. Generalno, ovo opravdava napore uložene u pravcu povećanja funkcionalnosti prostorne kocke sa stranicom od 100 centimetara. Teoremu ili lemu možete primijeniti u bilo kojoj fazi konstruiranja odgovora. Stranica postepeno izdaje kalkulator jednadžbi, ako je potrebno prikazati najmanju vrijednost u bilo kojem intervalu zbrajanja proizvoda. U polovini slučajeva takva lopta kao šuplja ne ispunjava u većoj meri uslove za postavljanje međuodgovora. Barem na ordinatnoj osi u smjeru opadajuće vektorske reprezentacije, ova proporcija će nesumnjivo biti optimalnija od prethodnog izraza. U satu kada će se izvršiti puna tačkasta analiza linearnih funkcija, mi ćemo, zapravo, spojiti sve naše kompleksne brojeve i bipolarne planarne prostore. Zamjenom varijable u rezultirajućem izrazu, rješavat ćete jednačinu korak po korak i dati najdetaljniji odgovor sa velikom preciznošću. Još jednom, biće dobra forma od strane učenika da provjeri svoje postupke iz matematike. Udio u omjeru razlomaka fiksirao je integritet rezultata u svim važnim područjima aktivnosti nultog vektora. Trivijalnost se potvrđuje na kraju izvršenih radnji. Sa jednostavnim zadatkom, učenici ne mogu imati poteškoća ako u najkraćem roku rješavaju jednačinu na mreži, ali ne zaboravljaju na sve vrste pravila. Mnogi podskupovi se sijeku u području konvergentne notacije. U različitim slučajevima, proizvod se ne dijeli greškom na faktore. Pronađite pomoć u rješavanju jednadžbe na mreži u našem prvom odjeljku o osnovnim matematičkim tehnikama za smislene studentske sekcije za studente i studente. Primjeri odgovora neće nas natjerati da čekamo nekoliko dana, jer je proces najbolje interakcije vektorske analize sa sekvencijalnim pronalaženjem rješenja patentiran početkom prošlog stoljeća. Ispostavilo se da napori za interakciju sa okolnim timom nisu bili uzaludni, već je očigledno sazrelo nešto drugo. Nekoliko generacija kasnije, naučnici širom svijeta su se naveli da vjeruju da je matematika kraljica nauka. Bilo da se radi o lijevom ili desnom odgovoru, svejedno, iscrpni pojmovi moraju biti napisani u tri reda, jer ćemo u našem slučaju nedvosmisleno govoriti samo o vektorskoj analizi svojstava matrice. Nelinearne i linearne jednačine, uz bikvadratne jednačine, zauzele su poseban post u našoj knjizi o najboljim metodama za izračunavanje putanje kretanja u prostoru svih materijalnih tačaka zatvorenog sistema. Linearna analiza produkta tri uzastopna vektora pomoći će nam da ideju oživimo. Na kraju svake postavke, zadatak je olakšan ubrizgavanjem optimiziranih numeričkih izuzetaka u izvedene preklapanja brojčanog prostora. Drugačiji sud neće se suprotstaviti pronađenom odgovoru u proizvoljnom obliku trougla u krugu. Ugao između dva vektora sadrži traženi postotak margine, a rješavanje jednačina na mreži često otkriva određeni zajednički korijen jednačine za razliku od početnih uslova. Isključivanje služi kao katalizator u čitavom neizbježnom procesu pronalaženja pozitivne odluke u polju definiranja funkcije. Ako nije rečeno da ne možete koristiti računar, onda je online kalkulator jednadžbi baš pravi za vaše teške zadatke. Dovoljno je samo da unesete svoje uslovne podatke u ispravnom formatu i naš server će u najkraćem mogućem roku dati potpuni rezultatski odgovor. Eksponencijalna funkcija raste mnogo brže od linearne. O tome svjedoče talmudi pametne bibliotečke literature. Izvodi proračun u opštem smislu kao što bi to uradila ova kvadratna jednačina sa tri kompleksna koeficijenta. Parabola u gornjem dijelu poluravnine karakterizira pravolinijsko paralelno kretanje duž osi tačaka. Ovdje je vrijedno spomenuti potencijalnu razliku u radnom prostoru tijela. Umjesto suboptimalnog rezultata, naš kalkulator razlomaka s pravom zauzima prvo mjesto u matematičkoj ocjeni pregleda funkcionalnih programa na strani servera. Lakoću korištenja ove usluge će cijeniti milioni korisnika interneta. Ako ne znate kako da ga koristite, mi ćemo vam rado pomoći. Također želimo posebno istaći i istaknuti kubnu jednačinu iz niza osnovnoškolskih zadataka, kada je potrebno brzo pronaći njene korijene i nacrtati graf funkcije na ravni. Najviši stepeni reprodukcije jedan je od najtežih matematičkih problema na institutu, a za njegovo proučavanje se izdvaja dovoljan broj sati. Kao i sve linearne jednadžbe, ni naše nisu izuzetak po mnogim objektivnim pravilima, gledajte iz različitih uglova, a bit će jednostavno i dovoljno postaviti početne uslove. Uzlazni interval se poklapa sa intervalom konveksnosti funkcije. Rješavanje jednadžbi na mreži. U središtu proučavanja teorije su online jednačine iz brojnih odjeljaka za proučavanje glavne discipline. U slučaju ovakvog pristupa u neodređenim problemima, vrlo je lako predstaviti rješenje jednačina u unaprijed određenom obliku i ne samo izvući zaključke, već i predvidjeti ishod takvog pozitivnog rješenja. Usluga u najboljim tradicijama matematike pomoći će nam da naučimo predmetnu oblast, baš kao što je to uobičajeno na Istoku. U najboljim trenucima vremenskog intervala slični zadaci su desetostruko pomnoženi zajedničkim faktorom. Obilje množenja višestrukih varijabli u kalkulatoru jednadžbi počelo se množiti s kvalitetom, a ne kvantitativnim varijablama takvih vrijednosti kao što su težina ili tjelesna težina. Da bismo izbegli slučajeve neravnoteže materijalnog sistema, sasvim je očigledno da izvedemo trodimenzionalni transformator zasnovan na trivijalnoj konvergenciji nedegenerisanih matematičkih matrica. Dovršite zadatak i riješite jednačinu u zadatim koordinatama, budući da izlaz nije unaprijed poznat, kao i da su sve varijable uključene u post-prostorno vrijeme nepoznate. Za kratko vrijeme gurnite zajednički faktor izvan zagrada i unaprijed podijelite obje strane sa najvećim zajedničkim faktorom. Ispod rezultirajućeg pokrivenog podskupa brojeva izvucite na detaljan način trideset tri tačke zaredom u kratkom periodu. Utoliko što je svakom učeniku moguće da u najboljem obliku reši jednačinu onlajn, zatrčavajući, recimo jednu važnu, ali ključnu stvar bez koje nam neće biti lako. U prošlom veku, veliki naučnik je uočio niz obrazaca u teoriji matematike. U praksi se ispostavilo da nije sasvim očekivan utisak o događajima. Međutim, u principu, upravo ovo rješenje jednadžbi na mreži pomaže u poboljšanju razumijevanja i percepcije holističkog pristupa proučavanju i praktičnoj konsolidaciji teorijskog materijala koji studenti prolaze. Mnogo je lakše to učiniti u vrijeme nastave.

Jednadžba je jednakost koja sadrži slovo za koje želite pronaći vrijednost.

U jednadžbama se nepoznato obično označava malim latiničnim slovom. Najčešće korištena slova su "x" [x] i "y" [igra].

Korijen jednadžbe je vrijednost slova pri kojoj se iz jednačine dobija tačna brojčana jednakost.

Riješite jednačinu- znači pronaći sve njegove korijene ili osigurati da nema korijena.

Nakon što smo riješili jednačinu, uvijek zapisujemo ček nakon odgovora.

Informacije za roditelje

Dragi roditelji, skrećemo vam pažnju da u osnovnoj školi i u 5. razredu djeca NE znaju temu "Negativni brojevi".

Stoga moraju rješavati jednačine koristeći samo svojstva sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Metode za rješavanje jednačina za razred 5 su date u nastavku.

Nemojte pokušavati objasniti rješenje jednačina prenošenjem brojeva i slova s jedne strane jednačine na drugu s promjenom predznaka.

Pojmove koji se odnose na sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje možete poboljšati u lekciji "Zakoni aritmetike".

Rješavanje jednadžbi za sabiranje i oduzimanje

Kako pronaći nepoznato
termin

Kako pronaći nepoznato
minuend

Kako pronaći nepoznato
subtrahend

Da biste pronašli nepoznati pojam, potrebno je da od zbirate oduzmete poznati pojam.

Da biste pronašli umanjenu nepoznatu, potrebno je razlici dodati oduzeto.

Da biste pronašli nepoznato oduzeto, potrebno je oduzeti razliku od oduzetog.

x + 9 = 15
x = 15 - 9
x = 6
Ispitivanje

x - 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Ispitivanje

16 − 2 = 14
14 = 14

5 - x = 3
x = 5 - 3
x = 2
Ispitivanje

Rješavanje jednadžbi za množenje i dijeljenje

Kako pronaći nepoznato
faktor

Kako pronaći nepoznato
dividenda

Kako pronaći nepoznato
razdjelnik

Da biste pronašli nepoznati faktor, proizvod se mora podijeliti sa poznatim faktorom.

Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate pomnožiti količnik sa djeliteljem.

Da biste pronašli nepoznati djelitelj, dividenda se mora podijeliti s količnikom.

y 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Ispitivanje

y: 7 = 2
y = 2 7
y = 14
Ispitivanje

8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Ispitivanje

Jednačina je jednakost koja sadrži slovo za koje želite pronaći znak. Rješenje jednadžbe je onaj skup značenja slova na kojem se jednačina pretvara u pravu jednakost:

Prisjetite se toga za rješenje jednačina potrebno je članove sa nepoznatim prenijeti u jedan dio jednakosti, a brojčane članove u drugi, dovesti slične i dobiti sljedeću jednakost:

Iz posljednje jednakosti definiramo nepoznatu po pravilu: "jedan od faktora jednak je količniku podijeljenom sa drugim faktorom."

Kako racionalni brojevi a i b mogu imati iste i različite predznake, predznak nepoznate je određen pravilima za dijeljenje racionalnih brojeva.

Postupak rješavanja linearnih jednačina

Linearna jednačina se mora pojednostaviti proširivanjem zagrada i izvođenjem drugog koraka (množenje i dijeljenje).

Premjestite nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti, a brojeve - na drugu stranu znaka jednakosti, dobivši identičnu zadatu jednakost,

Slične dovedite lijevo i desno od znaka jednakosti, dobivši jednakost oblika sjekira = b.

Izračunajte korijen jednačine (nađite nepoznatu X od jednakosti x = b : a),

Provjerite zamjenom nepoznate u datoj jednačini.

Ako dobijemo identitet u numeričkoj jednakosti, onda je jednačina ispravno riješena.

Posebni slučajevi rješavanja jednačina

Ako jednačina je zadan proizvodom jednakim 0, tada za njegovo rješavanje koristimo svojstvo množenja: „proizvod je jednak nuli ako su jedan od faktora ili oba faktora jednaka nuli“.

27 (x - 3) = 0
27 nije jednako 0, dakle x - 3 = 0

Drugi primjer ima dva rješenja jednačine, budući da
ovo je jednadžba drugog stepena:

Ako su koeficijenti jednadžbe obični razlomci, tada je prije svega potrebno riješiti se nazivnika. Za ovo:

Pronađite zajednički imenitelj;

Odrediti dodatne faktore za svaki član u jednačini;

Pomnožite brojioce razlomaka i cijelih brojeva dodatnim faktorima i zapišite sve članove jednačine bez nazivnika (zajednički imenilac se može ispustiti);

Prenesite članove sa nepoznanicama u jedan deo jednačine, a numeričke članove u drugi iz znaka jednakosti, dobijajući ekvivalentnu jednakost;

Dovedite slične članove;

Osnovna svojstva jednadžbi

U bilo kojem dijelu jednačine možete unijeti slične pojmove ili otvoriti zagradu.

Bilo koji član u jednadžbi može se prenijeti s jedne strane jednačine na drugu promjenom predznaka u suprotan.

Obje strane jednačine se mogu pomnožiti (podijeliti) istim brojem, osim 0.

U gornjem primjeru, sva njegova svojstva korištena su za rješavanje jednadžbe.

Kako riješiti jednačinu s nepoznatim razlomkom

Ponekad linearne jednadžbe imaju oblik kada nepoznato pojavljuje se u brojiocu jednog ili više razlomaka. Kao u jednadžbi ispod.

U takvim slučajevima takve jednačine se mogu riješiti na dva načina.

I način rešavanja
Svođenje jednadžbe na proporciju

Kada rješavate jednadžbe metodom proporcija, morate izvršiti sljedeće korake:

dovesti sve razlomke u zajednički nazivnik i dodati ih kao algebarske razlomke (samo jedan razlomak treba da ostane na lijevoj i desnoj strani);

rezultirajuća jednačina se rješava prema pravilu proporcije.

Dakle, da se vratimo na našu jednačinu. Na lijevoj strani već imamo samo jedan razlomak, tako da u njemu nisu potrebne nikakve transformacije.

Radićemo sa desnom stranom jednačine. Pojednostavite desnu stranu jednačine tako da ostane samo jedan razlomak. Da biste to učinili, prisjetite se pravila za zbrajanje broja s algebarskim razlomkom.

Sada koristimo pravilo proporcije i rješavamo jednačinu do kraja.

II rešenje
Redukcija na linearnu jednačinu bez razlomaka

Razmotrimo gornju jednačinu ponovo i riješimo je na drugačiji način.

Vidimo da jednačina sadrži dva razlomka "

Kako riješiti jednadžbe s razlomcima. Eksponencijalno rješenje jednadžbi sa razlomcima.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima Pogledajmo primjere. Primjeri su jednostavni i ilustrativni. Uz njihovu pomoć, moći ćete učiti na najrazumljiviji način.
Na primjer, želite riješiti jednostavnu jednačinu x / b + c = d.

Jednačine ovog tipa nazivaju se linearnim, jer imenilac sadrži samo brojeve.

Rješenje se izvodi množenjem obje strane jednačine sa b, tada jednačina dobija oblik x = b * (d - c), tj. nazivnik razlomka na lijevoj strani se poništava.

Na primjer, kako riješiti frakcijsku jednačinu:
x / 5 + 4 = 9
Oba dijela pomnožimo sa 5. Dobijamo:
x + 20 = 45

Drugi primjer, kada je nepoznato u nazivniku:

Jednadžbe ovog tipa nazivaju se razlomkom racionalnim ili jednostavno frakcionim.

Razlomku bismo riješili tako što bismo se riješili razlomaka, nakon čega ova jednačina, najčešće, prelazi u linearnu ili kvadratnu, koja se rješava na uobičajen način. Trebalo bi uzeti u obzir samo sljedeće tačke:

vrijednost varijable koja pretvara imenilac u 0 ne može biti korijen;
ne možete podijeliti ili pomnožiti jednačinu izrazom = 0.

Ovdje stupa na snagu takav koncept kao raspon dopuštenih vrijednosti (ODV) - to su vrijednosti korijena jednadžbe za koje jednadžba ima smisla.

Dakle, rješavajući jednadžbu, potrebno je pronaći korijene, a zatim ih provjeriti da li su u skladu s ODZ-om. Oni korijeni koji ne odgovaraju našem ODZ-u su isključeni iz odgovora.

Na primjer, trebate riješiti frakcijsku jednadžbu:

Na osnovu gornjeg pravila, x ne može biti = 0, tj. ODZ u ovom slučaju: x - bilo koja vrijednost osim nule.

Oslobađamo se imenioca množenjem svih članova jednačine sa x

I rješavamo uobičajenu jednačinu

5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Hajde da rešimo komplikovaniju jednačinu:

ODZ je također prisutan ovdje: x -2.

Rješavajući ovu jednačinu, nećemo sve prebacivati na jednu stranu i razlomke svesti na zajednički nazivnik. Odmah ćemo pomnožiti obje strane jednačine izrazom koji će poništiti sve nazivnike odjednom.

Da biste smanjili nazivnike, trebate lijevu stranu pomnožiti sa x + 2, a desnu sa 2. Dakle, obje strane jednačine se moraju pomnožiti sa 2 (x + 2):

Ovo je najčešće množenje razlomaka, o čemu smo već govorili gore.

Napišimo istu jednačinu, ali na malo drugačiji način

Lijeva strana se poništava za (x + 2), a desna za 2. Nakon poništavanja, dobijamo uobičajenu linearnu jednačinu:

x = 4 - 2 = 2, što odgovara našem ODZ-u

Rješavanje jednadžbi s razlomcima nije tako teško kao što se čini. U ovom članku smo to pokazali na primjerima. Ako imate bilo kakvih poteškoća s tim, kako riješiti jednadžbe s razlomcima, a zatim se odjavite u komentarima.

Rješavanje jednačina sa razlomcima 5. razred

Rješavanje jednadžbi s razlomcima. Rješavanje zadataka s razlomcima.

Pogledajte sadržaj dokumenta
"Rješavanje jednadžbi sa razlomcima, ocjena 5"

- Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima.

- Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnikom.

Sabiranje razlomaka sa istim nazivnikom.

Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, dodajte njihove brojioce i ostavite imenilac istim.

Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnikom.

Da biste oduzeli razlomke sa istim nazivnikom, potrebno je da od brojnika umanjenog oduzmete brojnik oduzetog, a nazivnik ostane isti.

Prilikom rješavanja jednačina potrebno je koristiti pravila za rješavanje jednačina, svojstva sabiranja i oduzimanja.

Rješavanje jednadžbi korištenjem svojstava.

Rješavanje jednadžbi pomoću pravila.

Izraz na lijevoj strani jednačine je zbir.

pojam + pojam = zbir.

Da biste pronašli nepoznati pojam, potrebno je da od zbirate oduzmete poznati pojam.

oduzeto - oduzeto = razlika

Da biste pronašli nepoznato oduzeto, trebate oduzeti razliku od oduzetog.

Izraz na lijevoj strani jednačine je razlika.

Da biste pronašli umanjenu nepoznatu, potrebno je razlici dodati oduzeto.

UPOTREBA PRAVILA ZA RJEŠAVANJE JEDNAČINA.

Na lijevoj strani jednačine, izraz je zbir.

Jednadžbe koje sadrže varijablu u nazivniku mogu se riješiti na dva načina:

Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Korištenje osnovnog omjera širine i visine

Bez obzira na odabranu metodu, potrebno je, nakon pronalaženja korijena jednačine, od pronađenih prihvatljivih vrijednosti odabrati one koje ne pretvaraju imenilac u $0 $.

1 način. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Primjer 1

$ \ frac (2x + 3) (2x-1) = \ frac (x-5) (x + 3) $

Rješenje:

1. Pomaknite razlomak s desne strane jednadžbe na lijevu

\ [\ frac (2x + 3) (2x-1) - \ frac (x-5) (x + 3) = 0 \]

Da biste to učinili ispravno, zapamtite da kada se elementi prenesu na drugi dio jednačine, predznak ispred izraza se mijenja u suprotan. To znači da ako je na desnoj strani prije razlomka bio znak "+", onda će na lijevoj strani ispred njega biti znak "-". Tada na lijevoj strani dobijamo razliku razlomaka.

2. Sada napominjemo da razlomci imaju različite imenioce, što znači da je za nadoknadu razlike potrebno razlomke dovesti na zajednički imenilac. Zajednički nazivnik će biti proizvod polinoma u nazivnicima originalnih razlomaka: $ (2x-1) (x + 3) $

Da bi se dobio identičan izraz, brojilac i imenilac prvog razlomka moraju se pomnožiti sa polinomom $ (x + 3) $, a drugog sa polinomom $ (2x-1) $.

\ [\ frac ((2x + 3) (x + 3)) ((2x-1) (x + 3)) - \ frac ((x-5) (2x-1)) ((x + 3) ( 2x-1)) = 0 \]

Izvršimo transformaciju u brojniku prvog razlomka - pomnožićemo polinome. Podsjetimo da je za to potrebno prvi član prvog polinoma pomnožiti sa svakim članom drugog polinoma, zatim pomnožiti drugi član prvog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati rezultate

\ [\ lijevo (2x + 3 \ desno) \ lijevo (x + 3 \ desno) = 2x \ cdot x + 2x \ cdot 3 + 3 \ cdot x + 3 \ cdot 3 = (2x) ^ 2 + 6x + 3x +9 \]

Predstavimo slične pojmove u rezultirajućem izrazu

\ [\ lijevo (2x + 3 \ desno) \ lijevo (x + 3 \ desno) = 2x \ cdot x + 2x \ cdot 3 + 3 \ cdot x + 3 \ cdot 3 = (2x) ^ 2 + 6x + 3x + 9 = \] \ [(= 2x) ^ 2 + 9x + 9 \]

Izvršimo sličnu transformaciju u brojiocu drugog razlomka - pomnožit ćemo polinome

$ \ lijevo (x-5 \ desno) \ lijevo (2x-1 \ desno) = x \ cdot 2x-x \ cdot 1-5 \ cdot 2x + 5 \ cdot 1 = (2x) ^ 2-x-10x + 5 = (2x) ^ 2-11x + 5 $

Tada će jednačina poprimiti oblik:

\ [\ frac ((2x) ^ 2 + 9x + 9) ((2x-1) (x + 3)) - \ frac ((2x) ^ 2-11x + 5) ((x + 3) (2x- 1)) = 0 \]

Sada razlomci sa istim nazivnikom, što znači da možete oduzimati. Podsjetimo da kada oduzimate razlomke s istim nazivnikom od brojnika prvog razlomka, morate oduzeti brojnik drugog razlomka, ostavljajući nazivnik isti

\ [\ frac ((2x) ^ 2 + 9x + 9 - ((2x) ^ 2-11x + 5)) ((2x-1) (x + 3)) = 0 \]

Transformirajmo izraz u brojiocu. Da biste otvorili zagrade ispred kojih se nalazi znak "-", potrebno je sve znake ispred pojmova u zagradama promijeniti u suprotne

\ [(2x) ^ 2 + 9x + 9- \ lijevo ((2x) ^ 2-11x + 5 \ desno) = (2x) ^ 2 + 9x + 9- (2x) ^ 2 + 11x-5 \]

Predstavljamo slične termine

$ (2x) ^ 2 + 9x + 9- \ lijevo ((2x) ^ 2-11x + 5 \ desno) = (2x) ^ 2 + 9x + 9- (2x) ^ 2 + 11x-5 = 20x + 4 $

Tada će razlomak poprimiti oblik

\ [\ frac ((\ rm 20x + 4)) ((2x-1) (x + 3)) = 0 \]

3. Razlomak je $ 0 $ ako mu je brojilac 0. Prema tome, izjednačavamo brojilac razlomka sa $ 0 $.

\ [(\ rm 20x + 4 = 0) \]

Rešimo linearnu jednačinu:

4. Napravimo selekciju korijena. To znači da je potrebno provjeriti da li se nazivnici originalnih razlomaka ne pretvaraju u $0 $ za pronađene korijene.

Postavimo uslov da imenioci nisu jednaki $0 $

x $ \ ne 0,5 $ x $ \ ne -3 $

To znači da su dozvoljene sve vrijednosti varijabli, osim $ -3 $ i $ 0,5 $.

Korijen koji smo pronašli je važeća vrijednost, tako da se može sa sigurnošću smatrati korijenom jednačine. Ako pronađeni korijen nije valjana vrijednost, tada bi takav korijen bio vanzemaljski i, naravno, ne bi bio uključen u odgovor.

odgovor:$-0,2.$

Sada možemo sastaviti algoritam za rješavanje jednadžbe koja sadrži varijablu u nazivniku

Algoritam za rješavanje jednadžbe koja sadrži varijablu u nazivniku

Premjestite sve stavke s desne strane jednačine na lijevu. Da bi se dobila identična jednačina, potrebno je sve predznake ispred izraza na desnoj strani promijeniti u suprotne

Ako na lijevoj strani dobijemo izraz s različitim nazivnicima, onda ih dovodimo do zajedničkog koristeći glavno svojstvo razlomka. Izvršite transformacije koristeći identične transformacije i dobijete konačni razlomak jednak $0 $.

Postavite brojilac na $ 0 $ i pronađite korijene rezultirajuće jednačine.

Uzmimo uzorak korijena, tj. pronađite važeće vrijednosti za varijable koje ne pretvaraju nazivnik u $0 $.

Metoda 2. Koristeći glavno svojstvo proporcije

Glavno svojstvo proporcije je da je proizvod ekstremnih članova proporcije jednak proizvodu srednjih članova.

Primjer 2

Koristimo ovo svojstvo da riješimo ovaj zadatak

\ [\ frac (2x + 3) (2x-1) = \ frac (x-5) (x + 3) \]

1. Nađimo i izjednačimo proizvod ekstremnog i srednjeg člana proporcije.

$ \ lijevo (2x + 3 \ desno) \ cdot (\ x + 3) = \ lijevo (x-5 \ desno) \ cdot (2x-1) $

\ [(2x) ^ 2 + 3x + 6x + 9 = (2x) ^ 2-10x-x + 5 \]

Nakon što smo riješili rezultirajuću jednadžbu, nalazimo korijene originala

2. Pronađimo važeće vrijednosti varijable.

Iz prethodnog rješenja (metoda 1), već smo otkrili da su sve vrijednosti važeće osim za $ -3 $ i $ 0,5 $.

Zatim, utvrdivši da je pronađeni korijen valjana vrijednost, otkrili smo da će $ -0,2 $ biti korijen.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina;
razmotriti različite načine rješavanja frakcionih racionalnih jednačina;
razmotriti algoritam za rješavanje razlomaka racionalnih jednačina, uključujući uvjet jednakosti razlomka nuli;
podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina algoritmom;
provjeravanje stepena savladanosti teme izvođenjem testnog rada.

u razvoju:

razvijanje sposobnosti pravilnog rada sa stečenim znanjem, logičkog mišljenja;
razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, poređenje i generalizacija;
razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, ne stati na tome;
razvoj kritičkog mišljenja;
razvoj istraživačkih vještina.

edukativni:

obrazovanje kognitivnog interesovanja za predmet;
negovanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
negovanje volje i upornosti za postizanje krajnjih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Zdravo momci! Jednačine su napisane na tabli, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?

Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo naučiti na današnjoj lekciji? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvaramo bilježnice i zapisujemo temu lekcije "Rješavanje frakcionih racionalnih jednačina".

2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji nam je potreban za proučavanje nove teme. Odgovorite na sljedeća pitanja:

Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)
Kako se zove jednačina broj 1? ( Linearno.) Metoda za rješavanje linearnih jednačina. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Navedite slične termine. Pronađite nepoznati faktor).
Kako se zove jednačina br. 3? ( Square.) Metode rješavanja kvadratnih jednačina. ( Alokacija punog kvadrata, po formulama, koristeći Vietin teorem i njegove posljedice.)
Šta je proporcija? ( Jednakost dva odnosa.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
Koja svojstva se koriste za rješavanje jednačina? ( 1. Ako u jednačini preneti član iz jednog dela u drugi, menjajući njegov predznak, onda se dobija jednačina ekvivalentna datoj. 2. Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem različit od nule, onda se dobije jednačina koja je ekvivalentna datom.)
Kada je razlomak nula? ( Razlomak je nula kada je brojnik nula, a imenilac nije nula.)

3. Objašnjenje novog materijala.

Rešite jednačinu broj 2 u sveskama i na tabli.

Odgovori: 10.

Koju razlomku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti koristeći glavno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2) (x-4) = (x + 2) (x + 3)

x 2 -4x-2x + 8 = x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rešite jednačinu broj 4 u sveskama i na tabli.

Odgovori: 1,5.

Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x + 12 = 0

D = 1 ›0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Odgovori: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednačinu br. 7 na jedan od načina.


(x 2 -2x-5) x (x-5) = x (x-5) (x + 5)
(x 2 -2x-5) x (x-5) -x (x-5) (x + 5) = 0			x 2 -2x-5 = x + 5
x (x-5) (x 2 -2x-5- (x + 5)) = 0			x 2 -2x-5-x-5 = 0
x (x-5) (x 2 -3x-10) = 0
x = 0 x-5 = 0 x 2 -3x-10 = 0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Odgovori: 0;5;-2.			Odgovori: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto u jednom slučaju postoje tri korijena, u druga dva? Koji su brojevi korijeni ove frakciono-racionalne jednadžbe?

Studenti se do sada nisu susreli s konceptom stranog korijena; zaista im je jako teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.

Po čemu se jednačine 2 i 4 razlikuju od jednačina 5,6,7? ( U jednadžbi br. 2 i 4 u nazivniku broja, br. 5-7 - izrazi sa promenljivom.)
Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje prava jednakost.)
Kako znate da li je broj korijen jednadžbe? ( Provjeri.)

Prilikom izvođenja testa neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina koji bi eliminirao ovu grešku? Da, ova metoda se temelji na uvjetu jednakosti razlomka nuli.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Ako je x = 5, tada je x (x-5) = 0, tada je 5 vanjski korijen.

Ako je x = -2, onda je x (x-5) ≠ 0.

Odgovori: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomaka racionalnih jednačina. Djeca sama formulišu algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:

Pomerite sve ulevo.
Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.
Napravite sistem: razlomak je nula kada je brojilac nula, a imenilac nije nula.
Riješite jednačinu.
Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
Zapišite svoj odgovor.

Diskusija: kako formalizirati rješenje ako se koristi glavno svojstvo proporcije i množenje obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom. (Dopuniti rješenje: isključiti iz njegovih korijena one koji zajednički imenilac čine nula).

4. Primarno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će samostalno riješiti jednačinu, ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600 (b, c, i); br. 601 (a, e, g). Nastavnik kontroliše realizaciju zadatka, odgovara na pitanja koja se nameću i pruža pomoć učenicima sa slabim uspehom. Samotestiranje: Odgovori su napisani na tabli.

b) 2 - strani koren. Odgovor: 3.

c) 2 - strani korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava o domaćem zadatku.

Pročitajte pasus 25 iz udžbenika, analizirajte primjere 1-3.
Naučite algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
Rešiti u sveskama br. 600 (a,d,e); br. 601 (g, h).
Pokušajte riješiti # 696 (a) (opciono).

6. Ispunjavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.

Rad se obavlja na komadima papira.

primjer posla:

A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?

B) Razlomak je nula kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.

P) Da li je -3 korijen jednačine br. 6?

D) Riješi jednačinu br. 7.

Kriterijumi ocjenjivanja za zadatak:

"5" se stavlja ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
"2" dobija student koji je uradio manje od 50% zadatka.
Ocena 2 se ne upisuje u dnevnik, 3 je opciono.

7. Refleksija.

Na listove papira sa samoučenjem stavite:

1 - ako vam je u lekciji bilo zanimljivo i razumljivo;
2 - zanimljivo, ali nije jasno;
3 - nije zanimljivo, ali razumljivo;
4 - nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sumiranje lekcije.

Tako smo se danas na lekciji upoznali sa razlomcima racionalnih jednadžbi, naučili kako ih rješavati na različite načine, provjerili svoje znanje uz pomoć nastavnog samostalnog rada. Rezultate samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, kod kuće ćete imati priliku da učvrstite stečeno znanje.

Koja je metoda rješavanja razlomaka racionalnih jednačina, po vašem mišljenju, lakša, pristupačna, racionalna? Bez obzira na metodu rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, šta treba imati na umu? U čemu je "podmuklost" frakcionih racionalnih jednačina?

Hvala svima, lekcija je gotova.