Pronađite parnu ili neparnu funkciju. Parne i neparne funkcije

Funkcija se naziva parna (neparna) ako je za bilo koji i jednakost

.

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os
.

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Primjer 6.2. Ispitajte parne ili neparne funkcije

1)
; 2)
; 3)
.

Rješenje.

1) Funkcija je definirana sa
. Hajde da nađemo
.

One.
. Dakle, ova funkcija je parna.

2) Funkcija je definirana za

One.
. Dakle, ova funkcija je čudna.

3) funkcija je definirana za , tj. za

,
. Dakle, funkcija nije ni parna ni neparna. Nazovimo to opštom funkcijom.

3. Istraživanje funkcije za monotonost.

Funkcija
naziva se povećanjem (opadanjem) na nekom intervalu ako u tom intervalu svaka veća vrijednost argumenta odgovara većoj (manjoj) vrijednosti funkcije.

Funkcije koje rastu (opadaju) na nekom intervalu nazivaju se monotonim.

Ako je funkcija
diferencibilan na intervalu
i ima pozitivan (negativni) izvod
, zatim funkciju
povećava (smanjuje) u ovom intervalu.

Primjer 6.3. Naći intervale monotonosti funkcija

1)
; 3)
.

Rješenje.

1) Ova funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi. Nađimo derivat.

Izvod je nula ako
I
. Domen definicije - numerička osa, podijeljena tačkama
,
za intervale. Odredimo predznak derivacije u svakom intervalu.

U intervalu
derivacija je negativna, funkcija opada na ovom intervalu.

U intervalu
derivacija je pozitivna, dakle, funkcija raste na ovom intervalu.

2) Ova funkcija je definirana ako
ili

.

Određujemo predznak kvadratnog trinoma u svakom intervalu.

Dakle, opseg funkcije

Nađimo derivat
,
, ako
, tj.
, ali
. Odredimo predznak derivacije u intervalima
.

U intervalu
derivacija je negativna, pa se funkcija smanjuje na intervalu
. U intervalu
izvod je pozitivan, funkcija raste na intervalu
.

4. Istraživanje funkcije za ekstrem.

Dot
naziva se maksimalna (minimalna) tačka funkcije
, ako postoji takva okolina tačke to za sve
ovo susjedstvo zadovoljava nejednakost

.

Maksimalne i minimalne tačke funkcije nazivaju se tačke ekstrema.

Ako je funkcija
u tački ima ekstrem, onda je derivacija funkcije u ovoj tački jednaka nuli ili ne postoji (neophodan uslov za postojanje ekstrema).

Tačke u kojima je izvod jednak nuli ili ne postoji nazivaju se kritičnim.

5. Dovoljni uslovi za postojanje ekstremuma.

Pravilo 1. Ako je tokom tranzicije (s lijeva na desno) kroz kritičnu tačku derivat
mijenja znak iz "+" u "-", a zatim u tački funkcija
ima maksimum; ako od "-" do "+", onda minimum; ako
ne mijenja predznak, onda nema ekstrema.

Pravilo 2. Neka u tački
prvi izvod funkcije
nula
, a drugi izvod postoji i različit je od nule. Ako
, onda je maksimalna tačka, ako
, onda je minimalna tačka funkcije.

Primjer 6.4 . Istražite maksimalne i minimalne funkcije:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Rješenje.

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
.

Nađimo derivat
i riješi jednačinu
, tj.
.odavde
su kritične tačke.

Odredimo predznak derivacije u intervalima ,
.

Prilikom prolaska kroz tačke
I
derivacija mijenja predznak iz “–” u “+”, dakle, prema pravilu 1
su minimalni bodovi.

Prilikom prolaska kroz tačku
derivat mijenja znak iz "+" u "-", dakle
je maksimalna tačka.

,
.

2) Funkcija je definirana i kontinuirana u intervalu
. Nađimo derivat
.

Rješavanjem jednačine
, nađi
I
su kritične tačke. Ako je imenilac
, tj.
, onda izvod ne postoji. dakle,
je treća kritična tačka. Odredimo predznak derivacije u intervalima.

Dakle, funkcija ima minimum u tački
, maksimum u tačkama
I
.

3) Funkcija je definirana i kontinuirana ako
, tj. at
.

Nađimo derivat

.

Hajde da pronađemo kritične tačke:

Susjedstva tačaka
ne pripadaju domenu definicije, pa nisu ekstremni t. Dakle, hajde da istražimo kritične tačke
I
.

4) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
. Koristimo pravilo 2. Pronađite izvod
.

Hajde da pronađemo kritične tačke:

Nađimo drugi izvod
i odredi njegov predznak u tačkama

U tačkama
funkcija ima minimum.

U tačkama
funkcija ima maksimum.

Funkcionalno istraživanje.

1) D(y) - Domen definicije: skup svih tih vrijednosti varijable x. pod kojima algebarski izrazi f(x) i g(x) imaju smisla.

Ako je funkcija data formulom, tada se domen definicije sastoji od svih vrijednosti nezavisne varijable za koje formula ima smisla.

2) Svojstva funkcije: parno/neparno, periodičnost:

odd I čak nazivaju se funkcije čiji su grafovi simetrični u odnosu na promjenu predznaka argumenta.

neparna funkcija- funkcija koja mijenja vrijednost na suprotnu kada se promijeni predznak nezavisne varijable (simetrično u odnosu na centar koordinata).

Ravnomjerna funkcija- funkcija koja ne mijenja svoju vrijednost kada se promijeni predznak nezavisne varijable (simetrično oko y-ose).

Ni parna ni neparna funkcija (opća funkcija) je funkcija koja nema simetriju. Ova kategorija uključuje funkcije koje ne spadaju u prethodne 2 kategorije.

Pozivaju se funkcije koje ne pripadaju nijednoj od gore navedenih kategorija ni paran ni neparan(ili generičke funkcije).

Neparne funkcije

Neparni stepen gdje je proizvoljan cijeli broj.

Čak i funkcije

Parna snaga gdje je proizvoljan cijeli broj.

Periodična funkcija je funkcija koja ponavlja svoje vrijednosti u nekom regularnom intervalu argumenta, tj. ne mijenja svoju vrijednost kada se argumentu doda neki fiksni broj različit od nule ( period funkcije) u cijelom domenu definicije.

3) Nule (korijeni) funkcije su tačke u kojima ona nestaje.

Pronalaženje tačke preseka grafika sa osom Oy. Da biste to učinili, morate izračunati vrijednost f(0). Nađite i tačke preseka grafika sa osom Ox, zašto pronaći korijene jednadžbe f(x) = 0 (ili provjerite da nema korijena).

Tačke u kojima graf seče osu se nazivaju nule funkcije. Da biste pronašli nule funkcije, morate riješiti jednačinu, odnosno pronaći te x vrijednosti, za koje funkcija nestaje.

4) Intervali postojanosti znakova, znakova u njima.

Intervali u kojima funkcija f(x) zadržava svoj predznak.

Interval konstantnosti je interval u svakoj tački u kojoj funkcija je pozitivna ili negativna.

IZNAD x-ose.

ISPOD osi.

5) Kontinuitet (tačke diskontinuiteta, karakter diskontinuiteta, asimptote).

kontinuirana funkcija- funkcija bez "skokova", to jest ona u kojoj male promjene u argumentu dovode do malih promjena u vrijednosti funkcije.

Prekidane tačke koje se mogu ukloniti

Ako je granica funkcije postoji, ali funkcija nije definirana u ovom trenutku ili ograničenje ne odgovara vrijednosti funkcije u ovom trenutku:

,

tada se poziva tačka tačka prekida funkcije (u kompleksnoj analizi, uklonjiva singularna tačka).

Ako "ispravimo" funkciju na tački uklonjivog diskontinuiteta i stavimo , tada dobijamo funkciju koja je kontinuirana u ovoj tački. Takva operacija nad funkcijom se zove proširenje funkcije na kontinuirano ili proširenje funkcije kontinuitetom, što opravdava naziv tačke, kao tačke za jednokratnu upotrebu jaz.

Tačke diskontinuiteta prve i druge vrste

Ako funkcija ima diskontinuitet u datoj tački (to jest, granica funkcije u datoj tački je odsutna ili se ne poklapa s vrijednošću funkcije u datoj tački), tada za numeričke funkcije postoje dvije moguće opcije vezano za postojanje numeričkih funkcija jednostrane granice:

ako postoje obje jednostrane granice i konačne su, onda se takva tačka naziva tačka preloma prve vrste. Uklonjive tačke diskontinuiteta su tačke diskontinuiteta prve vrste;

ako barem jedna od jednostranih granica ne postoji ili nije konačna vrijednost, tada se takva tačka naziva tačka preloma druge vrste.

Asimptota - ravno, koji ima svojstvo da je udaljenost od tačke krive do ove ravno teži nuli kako se tačka kreće duž grane do beskonačnosti.

vertikalno

Vertikalna asimptota - granična linija .

U pravilu, pri određivanju vertikalne asimptote ne traže jednu granicu, već dvije jednostrane (lijevu i desnu). Ovo se radi kako bi se odredilo kako se funkcija ponaša dok se približava vertikalnoj asimptoti iz različitih smjerova. Na primjer:

Horizontalno

Horizontalna asimptota - ravno vrsta, podložna postojanju limit

.

koso

Kosa asimptota - ravno vrsta, podložna postojanju granice

Napomena: Funkcija ne može imati više od dvije kose (horizontalne) asimptote.

Napomena: ako barem jedna od dvije gore navedene granice ne postoji (ili je jednaka ), tada kosa asimptota na (ili ) ne postoji.

ako je u tački 2.), onda , a granica se nalazi po formuli horizontalne asimptote, .

6) Pronalaženje intervala monotonosti. Pronađite intervale monotonosti funkcije f(x) (odnosno intervali povećanja i smanjenja). Ovo se radi ispitivanjem predznaka derivacije f(x). Da biste to učinili, pronađite derivaciju f(x) i riješi nejednakost f(x)0. Na intervalima u kojima je ova nejednakost zadovoljena, funkcija f(x) povećava. Gdje vrijedi obrnuta nejednakost f(x)0, funkcija f(x) smanjuje.

Pronalaženje lokalnog ekstremuma. Nakon što smo pronašli intervale monotonosti, možemo odmah odrediti tačke lokalnog ekstremuma u kojima se povećanje zamjenjuje smanjenjem, postoje lokalni maksimumi, a gdje je smanjenje zamijenjeno povećanjem, lokalni minimumi. Izračunajte vrijednost funkcije u ovim tačkama. Ako funkcija ima kritične tačke koje nisu lokalne ekstremne tačke, onda je korisno izračunati vrijednost funkcije i u tim tačkama.

Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije y = f(x) na segmentu(nastavak)

Kako ubaciti matematičke formule na sajt?

Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, najlakši način da to učinite je kako je opisano u članku: matematičke formule se lako ubacuju na web stranicu u obliku slika koje Wolfram Alpha automatski generiše. Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšanju vidljivosti stranice u pretraživačima. Radi već dugo (i mislim da će raditi zauvijek), ali je moralno zastario.

Ako, s druge strane, stalno koristite matematičke formule na svom sajtu, onda preporučujem da koristite MathJax, posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičke zapise u web pretraživačima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML oznake.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu na svoju web lokaciju, koja će se automatski učitati sa udaljenog servera u pravo vrijeme (lista servera); (2) prenesite MathJax skriptu sa udaljenog servera na vaš server i povežite ga sa svim stranicama vašeg sajta. Drugi metod je komplikovaniji i dugotrajniji i omogućiće vam da ubrzate učitavanje stranica vašeg sajta, a ako roditeljski MathJax server iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće uticati na vašu veb lokaciju. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvi metod, jer je jednostavniji, brži i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i u roku od 5 minuta moći ćete koristiti sve mogućnosti MathJaxa na vašoj web stranici.

Možete povezati skriptu MathJax biblioteke sa udaljenog servera koristeći dvije opcije koda preuzete sa glavne MathJax web stranice ili sa stranice dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka I ili odmah nakon oznake . Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako zalijepite drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Bloggeru ili WordPress-u: u kontrolnu ploču stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za učitavanje prikazanu iznad u njega i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite MathML, LaTeX i ASCIIMathML sintaksu označavanja i spremni ste da ugradite matematičke formule u svoje web stranice.

Svaki fraktal se gradi prema određenom pravilu, koje se dosljedno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruisanje Mengerovog sunđera je prilično jednostavan: originalna kocka sa stranom 1 podeljena je ravnima paralelnim sa njenim plohama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanjaju jedna središnja kocka i 6 susjednih kocki duž lica. Ispada set koji se sastoji od 20 preostalih manjih kockica. Učinivši isto sa svakom od ovih kockica, dobijamo set koji se sastoji od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces u nedogled, dobijamo Menger sunđer.

Ravnomjerna funkcija.

Čak Poziva se funkcija čiji se predznak ne mijenja kada se predznak promijeni x.

x jednakost f(–x) = f(x). Potpiši x ne utiče na znak y.

Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatnu os (slika 1).

Čak i primjeri funkcija:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Objašnjenje:
Uzmimo funkciju y = x 2 ili y = –x 2 .
Za bilo koju vrijednost x funkcija je pozitivna. Potpiši x ne utiče na znak y. Grafikon je simetričan u odnosu na koordinatnu os. Ovo je ravnomjerna funkcija.

neparna funkcija.

odd je funkcija čiji se predznak mijenja kada se predznak promijeni x.

Drugim riječima, za bilo koju vrijednost x jednakost f(–x) = –f(x).

Grafikon neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (slika 2).

Primjeri neparne funkcije:

y= grijeh x

y = x 3

y = –x 3

Objašnjenje:

Uzmite funkciju y = - x 3 .
Sve vrijednosti at imaće znak minus. To je znak x utiče na znak y. Ako je nezavisna varijabla pozitivan broj, tada je funkcija pozitivna; ako je nezavisna varijabla negativan broj, tada je funkcija negativna: f(–x) = –f(x).
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Ovo je čudna funkcija.

Svojstva parnih i neparnih funkcija:

BILJEŠKA:

Nisu sve karakteristike parne ili neparne. Postoje funkcije koje ne podliježu takvoj gradaciji. Na primjer, root funkcija at = √X ne odnosi se ni na parne ni neparne funkcije (slika 3). Prilikom navođenja svojstava takvih funkcija treba dati odgovarajući opis: ni paran ni neparan.

Periodične funkcije.

Kao što znate, periodičnost je ponavljanje određenih procesa u određenom intervalu. Pozivaju se funkcije koje opisuju ove procese periodične funkcije. Odnosno, to su funkcije u čijim grafovima postoje elementi koji se ponavljaju u određenim numeričkim intervalima.

Povratak