U koordinatnoj ravni xOy razmotriti graf funkcije y=f(x). Hajde da popravimo stvar M(x 0 ; f (x 0)). Dodajmo apscisu x 0 prirast Δh. Dobićemo novu apscisu x 0 +Δx. Ovo je apscisa tačke N, a ordinata će biti jednaka f (x 0 +Δx). Promjena apscise povlači za sobom promjenu ordinate. Ova promjena naziva se inkrement funkcije i označava se Δy.
Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Kroz tačke M I N nacrtajmo sekantu MN, koji formira ugao φ sa pozitivnim smjerom ose Oh. Odredimo tangentu ugla φ iz pravouglog trougla MPN.
Neka Δh teži nuli. Zatim sekansa MNće težiti da zauzme tangentni položaj MT, i ugao φ postaće ugao α . Dakle, tangenta ugla α je granična vrijednost tangenta ugla φ :
Granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada potonji teži nuli, naziva se derivacija funkcije u datoj tački:
Geometrijsko značenje derivacije leži u činjenici da je numerički izvod funkcije u datoj tački jednak tangenti ugla koji formira tangenta povučena kroz ovu tačku na datu krivulju i pozitivan smjer ose Oh:
Primjeri.
1. Pronađite prirast argumenta i inkrement funkcije y= x 2, ako je početna vrijednost argumenta bila jednaka 4 , i novi - 4,01 .
Rješenje.
Nova vrijednost argumenta x=x 0 +Δx. Zamenimo podatke: 4.01=4+Δh, otuda i prirast argumenta Δh=4,01-4=0,01. Prirast funkcije, po definiciji, jednak je razlici između nove i prethodne vrijednosti funkcije, tj. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Pošto imamo funkciju y=x2, To Δu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
odgovor: povećanje argumenta Δh=0,01; prirast funkcije Δu=0,0801.
Povećanje funkcije se može naći drugačije: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. Pronađite ugao nagiba tangente na graf funkcije y=f(x) u tački x 0, Ako f "(x 0) = 1.
Rješenje.
Vrijednost derivacije u tački tangente x 0 i je vrijednost tangente ugla tangente (geometrijsko značenje derivacije). Imamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, jer tg45°=1.
odgovor: tangenta na graf ove funkcije formira ugao s pozitivnim smjerom ose Ox jednak 45°.
3. Izvedite formulu za izvod funkcije y=x n.
Diferencijacija je akcija pronalaženja derivacije funkcije.
Prilikom pronalaženja izvoda koristite formule koje su izvedene na osnovu definicije derivacije, na isti način kao što smo mi izveli formulu za stepen derivacije: (x n)" = nx n-1.
Ovo su formule.
Tabela derivata Lakše je zapamtiti izgovaranjem verbalnih formulacija:
1. Derivat konstantne veličine je nula.
2. X prost je jednak jedan.
3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije.
4. Izvod stepena jednak je umnošku eksponenta ovog stepena za stepen sa istom bazom, ali je eksponent jedan manji.
5. Izvod korijena jednak je jedinici podijeljenoj sa dva jednaka korijena.
6. Derivat jedinice podijeljen sa x jednak je minus jedan podijeljen sa x na kvadrat.
7. Izvod sinusa jednak je kosinsu.
8. Derivat kosinusa je jednak minus sinus.
9. Izvod tangente jednak je jedinici podijeljenoj s kvadratom kosinusa.
10. Derivat kotangensa jednak je minus jedan podijeljen kvadratom sinusa.
Mi predajemo pravila diferencijacije.
1.
Izvod algebarskog zbira jednak je algebarskom zbiru izvoda članova.
2. Izvod proizvoda jednak je umnošku izvoda prvog faktora i drugog plus proizvod prvog faktora i izvoda drugog.
3. Izvod “y” podijeljen sa “ve” jednak je razlomku u kojem je brojilac “y prost pomnožen sa “ve” minus “y pomnožen sa ve prostim”, a nazivnik je “ve na kvadrat”.
4. Poseban slučaj formule 3.
Predmet. Derivat. Geometrijski i mehanički smisao derivat
Ako ova granica postoji, onda se kaže da je funkcija diferencibilna u nekoj tački. Derivat funkcije se označava sa (formula 2).
- Geometrijsko značenje derivacije. Pogledajmo graf funkcije. Sa slike 1 je jasno da se za bilo koje dvije tačke A i B grafika funkcije može napisati formula 3). Sadrži ugao nagiba sekante AB.
Dakle, omjer razlike je nagib secant Ako fiksirate tačku A i pomerite tačku B prema njoj, ona se neograničeno smanjuje i približava se 0, a sekansa AB približava tangenti AC. Stoga je granica omjera razlike jednaka nagibu tangente u tački A. Ovo dovodi do zaključka.
Derivat funkcije u tački je nagib tangente na graf ove funkcije u toj tački. Ovo je geometrijsko značenje izvedenice.
- Tangentna jednadžba . Izvedemo jednadžbu tangente na graf funkcije u tački. U opštem slučaju, jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom ima oblik: . Da bismo pronašli b, koristimo činjenicu da tangenta prolazi kroz tačku A: . Ovo implicira: . Zamjenom ovog izraza umjesto b, dobijamo tangentnu jednačinu (formula 4).
Derivat funkcije je jedna od teških tema školski program. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.
Ovaj članak na jednostavan i jasan način objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti u prezentaciji. Najvažnije je razumjeti značenje.
Prisjetimo se definicije:
Izvod je stopa promjene funkcije.
Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji od njih raste brže?
Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.
Evo još jednog primjera.
Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tokom godine:
Grafikon prikazuje sve odjednom, zar ne? Kostijin prihod se više nego udvostručio za šest mjeseci. I Grišin prihod se također povećao, ali samo malo. A Matveyev prihod pao je na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, njegov derivat prihoda je općenito negativan.
Intuitivno, lako procjenjujemo brzinu promjene funkcije. Ali kako da ovo uradimo?
Ono što zapravo gledamo je koliko strmo grafik funkcije ide nagore (ili naniže). Drugim riječima, koliko brzo se mijenja y kako se mijenja x? Očigledno, ista funkcija u različitim tačkama može imati drugačije značenje derivat – to jest, može se mijenjati brže ili sporije.
Derivat funkcije je označen .
Pokazat ćemo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.
Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmimo tačku sa apscisom na njoj. Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Pogodna vrijednost za ovo je tangenta tangentnog ugla.
Derivat funkcije u nekoj tački jednak je tangenti tangentnog ugla nacrtanog na graf funkcije u ovoj tački.
Imajte na umu da kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.
Ponekad učenici pitaju šta je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.
Hajde da ga nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne i susjedne strane. Iz trougla:
Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi problemi se često nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike pod brojem.
Postoji još jedan važan odnos. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom
Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.
.
Shvatili smo to
Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.
Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.
Drugim riječima, derivacija je jednaka tangentu ugla tangente.
Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.
Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.
U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf nacrtan u tački formira oštar ugao; sa pozitivnim smjerom ose. To znači da je izvod u tački pozitivan.
U trenutku kada se naša funkcija smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.
Evo šta se dešava:
Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.
Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.
Šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u tačkama (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.
Point - maksimalni poen. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa “plus” na “minus”.
U tački - minimalnoj tački - derivacija je također nula, ali se njen predznak mijenja sa "minus" na "plus".
Zaključak: pomoću izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.
Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.
Ako je izvod negativan, tada se funkcija smanjuje.
U tački maksimuma, izvod je nula i mijenja predznak iz “plus” u “minus”.
U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak iz “minus” u “plus”.
Zapišimo ove zaključke u obliku tabele:
| povećava | maksimalni poen | smanjuje se | minimalna tačka | povećava | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.
Moguće je da je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ovo je tzv :
U tački, tangenta na graf je horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja - ostaje pozitivan kakav je bio.
Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.
Kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje
Predavanje: Pojam derivacije funkcije, geometrijsko značenje izvoda
Koncept derivacijske funkcije
Razmotrimo neku funkciju f(x), koja će biti kontinuirana u cijelom intervalu razmatranja. Na intervalu koji se razmatra biramo tačku x 0, kao i vrijednost funkcije u ovoj tački.
Dakle, pogledajmo graf na kojem označavamo našu tačku x 0, kao i tačku (x 0 + ∆x). Podsjetimo da je ∆h udaljenost (razlika) između dvije odabrane tačke.
Također je vrijedno razumjeti da svaki x odgovara eigenvalue funkcije y.
Razlika između vrijednosti funkcije u tački x 0 i (x 0 + ∆x) naziva se prirast ove funkcije: ∆u = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).
Obratimo pažnju na Dodatne informacije, koji se nalazi na grafu je sekansa nazvana KL, kao i trougao koji on formira sa intervalima KN i LN.
Ugao pod kojim se nalazi sekansa naziva se njegov ugao nagiba i označava se α. Lako se može utvrditi da je stepen stepena ugla LKN takođe jednak α.
Sada se prisjetimo odnosa u pravokutnom trokutu tgα = LN / KN = ∆u / ∆h.
To jest, tangent sekansnog ugla jednak je omjeru prirasta funkcije i priraštaja argumenta.
U jednom trenutku, derivacija je granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na infinitezimalnim intervalima.
Izvod određuje brzinu kojom se funkcija mijenja na određenom području.
Geometrijsko značenje derivacije
Ako pronađete derivaciju bilo koje funkcije u određenoj tački, možete odrediti ugao pod kojim će se nalaziti tangenta na graf u datoj struji, u odnosu na osu OX. Obratite pažnju na grafikon - tangencijalni ugao nagiba označen je slovom φ i određen je koeficijentom k u jednačini prave: y = kx + b.
Odnosno, možemo zaključiti da je geometrijsko značenje derivacije tangenta kuta tangente u nekoj tački funkcije.