Linearna funkcija je funkcija oblika
x-argument (nezavisna varijabla),
y- funkcija (zavisna varijabla),
k i b su neki konstantni brojevi
Grafikon linearne funkcije je ravno.
dovoljno za crtanje grafika. dva bodova, jer kroz dve tačke možete povući pravu liniju, i štaviše, samo jednu.
Ako je k˃0, onda se graf nalazi u 1. i 3. koordinatnoj četvrti. Ako je k˂0, onda se graf nalazi u 2. i 4. koordinatnoj četvrti.
Broj k se naziva nagibom direktnog grafa funkcije y(x)=kx+b. Ako je k˃0, tada je ugao nagiba prave linije y(x)= kx+b prema pozitivnom smjeru Ox oštar; ako je k˂0, onda je ovaj ugao tup.
Koeficijent b pokazuje tačku preseka grafika sa y-osom (0; b).
y(x)=k∙x-- poseban slučaj tipične funkcije naziva se direktna proporcionalnost. Graf je prava linija koja prolazi kroz ishodište, tako da je jedna tačka dovoljna za izgradnju ovog grafika.
Grafikon linearne funkcije
Gdje je koeficijent k = 3, dakle
Grafikon funkcije će se povećati i imati oštar ugao sa Ox osom. koeficijent k ima predznak plus.
OOF linearne funkcije
FRF linearne funkcije
Osim u slučaju kada
Također linearna funkcija forme
To je opća funkcija.
B) Ako je k=0; b≠0,
U ovom slučaju, grafik je prava linija paralelna sa Ox osom i koja prolazi kroz tačku (0;b).
C) Ako je k≠0; b≠0, tada linearna funkcija ima oblik y(x)=k∙x+b.
Primjer 1 . Iscrtajte funkciju y(x)= -2x+5
Primjer 2 . Naći nule funkcije y=3x+1, y=0;
su nule funkcije.
Odgovor: ili (;0)
Primjer 3 . Odrediti vrijednost funkcije y=-x+3 za x=1 i x=-1
y(-1)=-(-1)+3=1+3=4
Odgovor: y_1=2; y_2=4.
Primjer 4 . Odredite koordinate njihove tačke preseka ili dokažite da se grafovi ne seku. Neka su date funkcije y 1 =10∙x-8 i y 2 =-3∙x+5.
Ako se grafovi funkcija sijeku, tada je vrijednost funkcija u ovoj tački jednaka
Zamijenite x=1, zatim y 1 (1)=10∙1-8=2.
Komentar. Dobivenu vrijednost argumenta također možete zamijeniti u funkciju y 2 =-3∙x+5, tada ćemo dobiti isti odgovor y 2 (1)=-3∙1+5=2.
y=2 - ordinata tačke preseka.
(1;2) - tačka presjeka grafova funkcija y = 10x-8 i y = -3x + 5.
Odgovor: (1;2)
Primjer 5 .
Konstruirajte grafove funkcija y 1 (x)= x+3 i y 2 (x)= x-1.
Može se vidjeti da je koeficijent k=1 za obje funkcije.
Iz navedenog slijedi da ako su koeficijenti linearne funkcije jednaki, onda su njihovi grafovi u koordinatnom sistemu paralelni.
Primjer 6 .
Napravimo dva grafikona funkcije.
Prvi graf ima formulu
Drugi grafikon ima formulu
U ovom slučaju imamo grafik dvije prave koje se seku u tački (0; 4). To znači da je koeficijent b, koji je odgovoran za visinu uspona grafika iznad x-ose, ako je x=0. Dakle, možemo pretpostaviti da je koeficijent b na oba grafika 4.
Urednici: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Razmotrimo funkciju y=k/y. Grafikon ove funkcije je prava, koja se u matematici naziva hiperbola. Opšti izgled hiperbole prikazan je na donjoj slici. (Grafikon prikazuje funkciju y jednako k podijeljeno sa x, gdje je k jednako jedan.)
Može se vidjeti da se graf sastoji od dva dijela. Ovi dijelovi se nazivaju grane hiperbole. Također je vrijedno napomenuti da se svaka grana hiperbole sve više približava koordinatnoj osi u jednom od smjerova. Koordinatne ose u ovom slučaju nazivaju se asimptote.
Općenito, sve prave linije kojima se graf funkcije beskonačno približava, ali ne dostiže, nazivaju se asimptote. Hiperbola, kao i parabola, ima ose simetrije. Za hiperbolu prikazanu na gornjoj slici, ovo je prava linija y=x.
Hajdemo sada da se pozabavimo dva opšta slučaja hiperbole. Grafikon funkcije y = k/x, za k ≠ 0, bit će hiperbola, čije se grane nalaze ili u prvom i trećem koordinatnom kutu, za k>0, ili u drugom i četvrtom koordinatnom kutu, viljuška<0.
Glavna svojstva funkcije y = k/x, za k>0
Grafikon funkcije y = k/x, za k>0
5. y>0 za x>0; y6. Funkcija se smanjuje i na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞).
10. Opseg funkcije je dva otvorena intervala (-∞;0) i (0;+∞).
Glavna svojstva funkcije y = k/x, za k<0
Grafikon funkcije y = k/x, za k<0
1. Tačka (0;0) je centar simetrije hiperbole.
2. Osi koordinata - asimptote hiperbole.
4. Opseg funkcije je sve x, osim x=0.
5. y>0 za x0.
6. Funkcija raste i na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞).
7. Funkcija nije ograničena ni odozdo ni odozgo.
8. Funkcija nema ni najveću ni najmanju vrijednost.
9. Funkcija je kontinuirana na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞). Ima prazninu u tački x=0.
Naučite uzimati derivate funkcija. Izvod karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj tački koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, graf može biti ravna ili kriva linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku. Zapamtite opšta pravila po kojima se uzimaju derivati i tek onda pređite na sljedeći korak.
- Pročitajte članak.
- Opisano je kako uzeti najjednostavnije izvode, na primjer, izvod eksponencijalne jednadžbe. Proračuni predstavljeni u sljedećim koracima će se zasnivati na metodama koje su tamo opisane.
Naučite razlikovati probleme u kojima se nagib treba izračunati u smislu derivacije funkcije. U zadacima se ne predlaže uvijek pronaći nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas će se možda tražiti da pronađete brzinu promjene funkcije u tački A(x, y). Od vas se takođe može tražiti da pronađete nagib tangente u tački A(x, y). U oba slučaja potrebno je uzeti derivaciju funkcije.
Uzmi derivaciju date funkcije. Ovdje ne morate graditi graf - potrebna vam je samo jednadžba funkcije. U našem primjeru, uzmite derivaciju funkcije. Uzmite derivat prema metodama navedenim u gore spomenutom članku:
- Derivat:
Zamijenite koordinate tačke koje ste dobili u pronađenu derivaciju da biste izračunali nagib. Izvod funkcije jednak je nagibu u određenoj tački. Drugim riječima, f "(x) je nagib funkcije u bilo kojoj tački (x, f (x)). U našem primjeru:
- Pronađite nagib funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) u tački A(4,2).
- Derivat funkcije:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Zamijenite vrijednost x-koordinate date tačke:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Pronađite nagib:
- Nagib funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) u tački A(4,2) je 22.
Ako je moguće, provjerite svoj odgovor na grafikonu. Imajte na umu da se faktor nagiba ne može izračunati u svakoj tački. Diferencijalni račun razmatra složene funkcije i složene grafove, gdje se nagib ne može izračunati u svakoj tački, a u nekim slučajevima tačke uopće ne leže na grafovima. Ako je moguće, koristite grafički kalkulator da provjerite da li je nagib funkcije koja vam je data ispravan. U suprotnom, nacrtajte tangentu na graf u datoj tački i razmislite da li vrijednost nagiba koji ste pronašli odgovara onome što vidite na grafu.
- Tangenta će imati isti nagib kao i graf funkcije u određenoj tački. Da nacrtate tangentu u datoj tački, pomaknite se desno/lijevo po x-osi (u našem primjeru 22 vrijednosti udesno), a zatim jednu gore na osi y. Označite tačku, a zatim je povežite do tačke koju ste dali. U našem primjeru spojite tačke sa koordinatama (4,2) i (26,3).
U ovom članku ćemo pogledati linearna funkcija, graf linearne funkcije i njena svojstva. I, kao i obično, riješit ćemo nekoliko problema na ovu temu.
Linearna funkcija naziva se funkcija oblika
U jednadžbi funkcije, broj s kojim množimo naziva se faktor nagiba.
Na primjer, u jednadžbi funkcije ;
u jednadžbi funkcije ;
u jednadžbi funkcije ;
u jednadžbi funkcije.
Grafikon linearne funkcije je prava linija.
jedan . Za crtanje funkcije, potrebne su nam koordinate dvije tačke koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije x vrijednosti, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i iz njih izračunati odgovarajuće y vrijednosti.
Na primjer, za crtanje funkcije , prikladno je uzeti i , tada će ordinate ovih točaka biti jednake i .
Dobijamo tačke A(0;2) i B(3;3). Povežimo ih i dobijemo graf funkcije:
2 . U jednadžbi funkcije, koeficijent je odgovoran za nagib grafa funkcije:
Title="(!LANG:k>0">!}
Koeficijent je odgovoran za pomicanje grafika duž ose:
Naslov="(!LANG:b>0">!}
Slika ispod prikazuje grafikone funkcija; ;
Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent Iznad nule u pravu. Štaviše, što je veća vrijednost, to je prava linija strmija.
U svim funkcijama - i vidimo da svi grafovi sijeku osu OY u tački (0;3)
Sada razmotrite grafove funkcija; ;
Ovaj put u svim funkcijama koeficijent manje od nule, a svi grafovi funkcija su iskrivljeni nalijevo.
Imajte na umu da što je veći |k|, to je linija strmija. Koeficijent b je isti, b=3, a grafovi, kao iu prethodnom slučaju, prelaze osu OY u tački (0;3)
Razmotrimo grafove funkcija; ;
Sada su u svim jednadžbama funkcija koeficijenti jednaki. I dobili smo tri paralelne prave.
Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafovi sijeku os OY u različitim tačkama:
Grafikon funkcije (b=3) prelazi osu OY u tački (0;3)
Grafikon funkcije (b=0) prelazi preko OY ose u tački (0;0) - ishodištu.
Grafikon funkcije (b=-2) prelazi osu OY u tački (0;-2)
Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda možemo odmah zamisliti kako izgleda graf funkcije.
Ako k<0 и b>0 , tada graf funkcije izgleda ovako:
Ako k>0 i b>0 , tada graf funkcije izgleda ovako:
Ako k>0 i b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:
Ako k<0 и b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:
Ako k=0 , tada se funkcija pretvara u funkciju i njen graf izgleda ovako:
Ordinate svih tačaka grafa funkcije su jednake
Ako b=0, tada graf funkcije prolazi kroz ishodište:
Ovo grafik direktne proporcionalnosti.
3 . Zasebno, napominjem graf jednačine. Grafikon ove jednadžbe je prava linija paralelna sa osom, čije sve tačke imaju apscisu.
Na primjer, graf jednadžbe izgleda ovako:
Pažnja! Jednačina nije funkcija, jer različite vrijednosti argumenta odgovaraju istoj vrijednosti funkcije, što ne odgovara .
4 . Uslov za paralelnost dve prave:
Funkcijski grafikon paralelno sa grafom funkcije, ako
5. Uslov okomitosti dvije prave:
Funkcijski grafikon okomito na graf funkcije ako ili
6. Točke sjecišta grafa funkcije sa koordinatnim osa.
sa OY osom. Apscisa bilo koje tačke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa OY osom, trebate zamijeniti nulu umjesto x u jednadžbi funkcije. Dobijamo y=b. Odnosno, tačka preseka sa OY osom ima koordinate (0;b).
Sa OX osom: Ordinata bilo koje tačke koja pripada osi OX je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa osom OX, trebate zamijeniti nulu umjesto y u jednadžbi funkcije. Dobijamo 0=kx+b. Odavde. To jest, tačka preseka sa OX osom ima koordinate (; 0):
Razmislite o rješavanju problema.
jedan . Izgradite graf funkcije ako je poznato da ona prolazi kroz tačku A (-3; 2) i paralelna je s pravom y = -4x.
Postoje dva nepoznata parametra u jednadžbi funkcije: k i b. Dakle, u tekstu zadatka treba da postoje dva uslova koja karakterišu graf funkcije.
a) Iz činjenice da je grafik funkcije paralelan pravoj liniji y=-4x, slijedi da je k=-4. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik
b) Ostaje nam da pronađemo b. Poznato je da graf funkcije prolazi kroz tačku A (-3; 2). Ako tačka pripada grafu funkcije, onda kada se njene koordinate zamijene u jednadžbu funkcije, dobivamo ispravnu jednakost:
dakle b=-10
Dakle, trebamo iscrtati funkciju
Tačka A(-3;2) nam je poznata, uzmite tačku B(0;-10)
Stavimo ove tačke u koordinatnu ravan i spojimo ih pravom linijom:
2. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1;1); B(2;4).
Ako prava prolazi kroz tačke sa datim koordinatama, tada koordinate tačaka zadovoljavaju jednačinu prave. Odnosno, ako zamenimo koordinate tačaka u jednadžbu prave, dobićemo tačnu jednakost.
Zamijenite koordinate svake tačke u jednačini i dobijete sistem linearnih jednačina.
Prvu jednačinu oduzimamo od druge jednačine sistema i dobijamo . Zamijenite vrijednost k u prvoj jednačini sistema i dobijete b=-2.
Dakle, jednačina prave linije.
3 . Plot Equation 
Da biste pronašli pri kojim vrijednostima nepoznate je proizvod nekoliko faktora jednak nuli, trebate svaki faktor izjednačiti s nulom i uzeti u obzir svaki množilac.
Ova jednadžba nema ograničenja na ODZ. Hajde da faktorizujemo drugu zagradu i izjednačimo svaki faktor sa nulom. Dobijamo skup jednačina:
Konstruišemo grafove svih jednačina skupa u jednoj koordinatnoj ravni. Ovo je graf jednadžbe :
4 . Napravi graf funkcije ako je okomita na pravu i prolazi kroz tačku M (-1; 2)
Nećemo graditi graf, samo ćemo pronaći jednadžbu prave linije.
a) Pošto je grafik funkcije, ako je okomit na pravu, dakle, odavde. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik
b) Znamo da graf funkcije prolazi kroz tačku M (-1; 2). Zamijenite njegove koordinate u jednadžbu funkcije. Dobijamo:
Odavde.
Stoga naša funkcija izgleda ovako: .
5 . Iscrtajte funkciju 
Pojednostavimo izraz na desnoj strani jednadžbe funkcije.
Bitan! Prije nego što pojednostavimo izraz, pronađimo njegov ODZ.
Imenilac razlomka ne može biti nula, pa title="(!LANG:x1">, title="x-1">.!}
Tada naša funkcija postaje:
Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}
Odnosno, treba da napravimo graf funkcije i izvučemo dve tačke na njemu: sa apscisama x=1 i x=-1:
