U ovoj lekciji ćete naučiti kako pretvoriti izraz koji sadrži zagrade u izraz koji ne sadrži zagrade. Naučit ćete kako proširiti zagrade kojima prethode znak plus i znak minus. Podsjetit ćemo se kako proširiti zagrade koristeći zakon distribucijskog množenja. Razmatrani primjeri omogućit će povezivanje novog i prethodno proučenog materijala u jedinstvenu cjelinu.
Tema: Rješavanje jednačina
Lekcija: Proširene zagrade
Kako proširiti zagrade kojima prethodi znak "+". Upotreba zakona kombinacije.
Ako nekom broju trebate dodati zbir dva broja, onda ovom broju možete prvo dodati prvi član, a zatim drugi.
Lijevo od znaka je izraz sa zagradama, a desno izraz bez zagrada. To znači da su pri prelasku s lijeve strane jednakosti na desnu, zagrade bile proširene.
Pogledajmo neke primjere.
Primjer 1. 
Proširujući zagrade, promijenili smo redoslijed radnji. Postalo je zgodnije brojati.
Primjer 2. 
Primjer 3.
Imajte na umu da smo u sva tri primjera upravo uklonili zagrade. Hajde da formulišemo pravilo:
Komentar.
Ako je prvi član u zagradama nepotpisan, onda se mora napisati sa znakom plus.
Možete slijediti primjer korak po korak. Prvo dodajte 445 na 889. Ova radnja se može izvršiti u umu, ali nije baš jednostavna. Proširimo zagrade i vidimo da će promijenjeni redoslijed radnji uvelike pojednostaviti proračune.
Ako slijedite navedeni redoslijed radnji, tada morate prvo oduzeti 345 od 512, a zatim rezultatu dodati 1345. Proširujući zagrade, promijenit ćemo redoslijed akcija i uvelike pojednostaviti proračune.
Ilustrativni primjer i pravilo.
Razmotrimo primjer:. Vrijednost izraza možete pronaći dodavanjem 2 i 5, a zatim uzimanjem rezultirajućeg broja sa suprotnim predznakom. Dobijamo -7.
S druge strane, isti rezultat se može dobiti zbrajanjem suprotnih brojeva.
Hajde da formulišemo pravilo:
Primjer 1. 
Primjer 2.
Pravilo se ne mijenja ako u zagradama nisu dva, već tri ili više pojmova.
Primjer 3. 
Komentar. Znakovi se obrću samo ispred termina.
Da biste proširili zagrade, u ovom slučaju, morate zapamtiti svojstvo distribucije.
Prvo, pomnožite prvu zagradu sa 2, a drugu sa 3.
Prvoj zagradi prethodi znak "+", što znači da se znakovi moraju ostaviti nepromijenjeni. Prije drugog stoji znak "-", stoga se svi znakovi moraju promijeniti u suprotne
Bibliografija
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6 razred. - Gimnazija, 2006.
- Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - Obrazovanje, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematika 5-6 razred - ZSH MIPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - ZSH MIPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-pratilac za 5-6 razred srednje škole. Biblioteka nastavnika matematike. - Obrazovanje, 1989.
- Online testovi iz matematike ().
- Možete preuzeti one navedene u klauzuli 1.2. knjige ().
Zadaća
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosina, 2012. (link vidi 1.2)
- Domaći: br. 1254, br. 1255, br. 1256 (b, d)
- Ostali zadaci: br. 1258 (v), br. 1248
U ovom članku pobliže ćemo pogledati osnovna pravila tako važne teme matematičkog kursa kao što su početne zagrade. Poznavanje pravila otvaranja zagrada je neophodno kako bi se pravilno riješile jednadžbe u kojima se one koriste.
Kako dodatno proširiti zagrade
Proširite zagrade kojima prethodi "+"
Ovo je najjednostavniji slučaj, jer ako se ispred zagrada nalazi znak za dodavanje, znaci unutar njih se ne mijenjaju kada se zagrade prošire. primjer:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Kako proširiti zagrade kojima prethodi "-"
U ovom slučaju morate prepisati sve pojmove bez zagrada, ali istovremeno promijeniti sve znakove unutar njih na suprotne. Znakovi se mijenjaju samo za pojmove iz onih zagrada ispred kojih je stajao znak "-". primjer:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Kako proširiti zagrade u množenju
Zagradama prethodi množitelj
U ovom slučaju, trebate pomnožiti svaki član s faktorom i proširiti zagrade bez promjene predznaka. Ako faktor ima predznak "-", tada množenje mijenja predznake članova u suprotne. primjer:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Kako proširiti dvije zagrade sa znakom množenja između njih
U ovom slučaju, trebate pomnožiti svaki član iz prve zagrade sa svakim članom iz druge zagrade, a zatim dodati rezultate. primjer:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Kako proširiti zagrade u kvadratu
Ako je zbir ili razlika dva člana kvadrirana, zagrade treba otvoriti koristeći sljedeću formulu:
(x + y) ^ 2 = x ^ 2 + 2 * x * y + y ^ 2.
U slučaju minusa unutar zagrada, formula se ne mijenja. primjer:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Kako proširiti zagrade na drugačiji stepen
Ako se zbir ili razlika članova podigne, na primjer, na 3. ili 4. stepen, onda samo trebate podijeliti stepen zagrade na "kvadrate". Potencije istih faktora se sabiraju, a prilikom dijeljenja, potencija djelitelja se oduzima od snage dividende. primjer:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Kako proširiti 3 zagrade
Postoje jednadžbe u kojima se 3 zagrade množe odjednom. U ovom slučaju, prvo morate pomnožiti članove prve dvije zagrade, a zatim pomnožiti zbir ovog množenja sa članovima treće zagrade. primjer:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Ova pravila za proširenje zagrada podjednako se primjenjuju i na rješavanje linearnih i trigonometrijskih jednačina.
Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, sumi monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:
\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \)
\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \)
Zbir monoma se naziva polinom. Pojmovi u polinomu nazivaju se pojmovi polinoma. Monomi se takođe nazivaju polinomima, smatrajući da je monom polinom koji se sastoji od jednog člana.
Na primjer, polinom
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 \)
može se pojednostaviti.
Sve članove predstavljamo u obliku monoma standardnog oblika:
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 = \)
\ (= 8b ^ 5 - 14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \)
Predstavimo slične pojmove u rezultirajućem polinomu:
\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 = -6b ^ 5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika, a među njima nema sličnih. Takvi polinomi se nazivaju polinomi standardnog oblika.
Per polinomski stepen standardnog oblika uzeti najveći stepen svojih članova. Dakle, binom \ (12a ^ 2b - 7b \) ima treći stepen, a trinom \ (2b ^ 2 -7b + 6 \) - drugi.
Obično su članovi polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu raspoređeni u opadajućem redoslijedu u odnosu na eksponente eksponenta. Na primjer:
\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 = x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \)
Zbir nekoliko polinoma može se pretvoriti (pojednostaviti) u standardni polinom.
Ponekad je potrebno članove polinoma podijeliti u grupe stavljanjem svake grupe u zagrade. Budući da je zagrada suprotna proširenju zagrada, lako je formulirati pravila proširenja zagrada:
Ako se ispred zagrada stavi znak "+", tada se istim znakovima pišu članovi u zagradi.
Ako se ispred zagrada stavi znak „-“, tada se članovi u zagradi pišu sa suprotnim znakovima.
Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda monoma i polinoma
Koristeći svojstvo distribucije množenja, možete transformirati (pojednostaviti) proizvod monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) = \)
\ (= 9a ^ 2b \ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \ cdot (-4b ^ 2) = \)
\ (= 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \)
Proizvod monoma i polinoma identično je jednak zbiru proizvoda ovog monoma i svakog od članova polinoma.
Ovaj rezultat se obično formuliše kao pravilo.
Da biste pomnožili monom polinomom, morate ovaj monom pomnožiti sa svakim od članova polinoma.
Ovo pravilo smo već koristili za množenje sa zbirom mnogo puta.
Proizvod polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda dva polinoma
Općenito, proizvod dva polinoma je identično jednak zbroju proizvoda svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog polinoma.
Obično se koristi sljedeće pravilo.
Da pomnožite polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode.
Skraćene formule za množenje. Zbroj kvadrata, razlike i razlika kvadrata
Neki izrazi u algebarskim transformacijama moraju se obraditi češće od drugih. Možda su najčešći izrazi \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) i \ (a ^ 2 - b ^ 2 \), odnosno kvadrat zbira, kvadrat razlike i razlike kvadrata. Primijetili ste da se čini da su imena ovih izraza nepotpuna, pa, na primjer, \ ((a + b) ^ 2 \) nije, naravno, samo kvadrat zbira, već kvadrat zbira a i b. Međutim, kvadrat zbira a i b nije tako čest, u pravilu umjesto slova a i b sadrži različite, ponekad prilično složene izraze.
Izraze \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) je lako transformirati (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, u stvari, već ste naišli na ovaj zadatak prilikom množenja polinoma:
\ ((a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = \)
\ (= a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \)
Korisno je zapamtiti i primijeniti dobivene identitete bez međukalkulacija. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.
\ ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \) - kvadrat zbira je jednak zbiru kvadrata i udvostručenog proizvoda.
\ ((a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \) - kvadrat razlike je jednak zbiru kvadrata bez udvostručenog proizvoda.
\ (a ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) (a + b) \) - razlika kvadrata jednaka je umnošku razlike u zbroju.
Ova tri identiteta omogućavaju u transformacijama da se njihove lijeve strane zamijene desnim i obrnuto - desne strane lijevom. Najteže je vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti šta u njima zamjenjuje varijable a i b. Pogledajmo neke primjere korištenja skraćenih formula za množenje.
Zagrade se koriste za označavanje redoslijeda u kojem se radnje izvode u numeričkim, literalnim i varijabilnim izrazima. Pogodno je prijeći sa izraza sa zagradama na identično jednak izraz bez zagrada. Ova tehnika se naziva proširenje zagrada.
Proširiti zagrade znači riješiti se izraza iz tih zagrada.
Još jedna stvar zaslužuje posebnu pažnju koja se tiče posebnosti evidentiranja odluka prilikom otvaranja zagrada. Početni izraz možemo napisati sa zagradama i rezultat koji se dobije nakon proširenja zagrada kao jednakost. Na primjer, nakon proširenja zagrada, umjesto izraza
3− (5−7) dobijamo izraz 3−5 + 7. Oba ova izraza možemo zapisati kao jednakost 3− (5−7) = 3−5 + 7.
I još jedna važna stvar. U matematici, da bi se skratili zapisi, uobičajeno je da se znak plus ne piše ako se prvi pojavljuje u izrazu ili u zagradi. Na primjer, ako dodamo dva pozitivna broja, na primjer, sedam i tri, onda ne pišemo + 7 + 3, već jednostavno 7 + 3, uprkos činjenici da je sedam također pozitivan broj. Slično, ako vidite, na primjer, izraz (5 + x) - znajte da postoji plus ispred zagrade, koji nije napisan, a ispred pet je plus + (+ 5 + x) .
Dodatno pravilo za proširenje zagrada
Prilikom proširenja zagrada, ako se ispred zagrada nalazi plus, tada se ovaj plus izostavlja zajedno sa zagradama.
Primjer. Proširite zagrade u izrazu 2 + (7 + 3) Ispred zagrada, plus, tako da se predznaci ispred brojeva u zagradi ne mijenjaju.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Pravilo za proširenje zagrada pri oduzimanju
Ako se ispred zagrada nalazi minus, onda se ovaj minus izostavlja zajedno sa zagradama, ali izrazi koji su bili u zagradi mijenjaju predznak u suprotan. Odsustvo znaka ispred prvog člana u zagradi implicira znak +.
Primjer. Proširite zagrade u izrazu 2 - (7 + 3)
Ispred zagrada je minus, što znači da morate promijeniti znakove ispred brojeva iz zagrada. Ispred broja 7 u zagradi nema znaka, to znači da je sedam pozitivna, smatra se da ispred nje stoji znak +.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Prilikom proširenja zagrada iz primjera uklanjamo minus koji je bio ispred zagrada, a same zagrade su 2 - (+ 7 + 3), a znakovi koji su bili u zagradama su obrnuti.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Proširivanje zagrada u množenju
Ako se ispred zagrada nalazi znak množenja, onda se svaki broj unutar zagrada množi faktorom ispred zagrada. U ovom slučaju, množenje minusa sa minusom daje plus, a množenje minusa sa plusom, kao i množenje plusa sa minusom, daje minus.
Tako su zagrade u radovima proširene u skladu sa distributivnim svojstvom množenja.
Primjer. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Kada pomnožite zagradu sa zagradom, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Zapravo, nema potrebe da zapamtite sva pravila, dovoljno je zapamtiti samo jednu stvar, a to je: c (a-b) = ca-cb. Zašto? Jer ako u njemu zamijenite jedan umjesto c, dobićete pravilo (a - b) = a - b. A ako zamijenimo minus jedan, dobićemo pravilo - (a - b) = - a + b. Pa, ako umjesto c zamijenite drugu zagradu, možete dobiti posljednje pravilo.
Proširivanje zagrada prilikom dijeljenja
Ako iza zagrada stoji znak dijeljenja, onda se svaki broj unutar zagrada dijeli djeliteljem iza zagrada i obrnuto.
Primjer. (9 + 6): 3 = 9: 3 + 6: 3
Kako proširiti ugniježđene zagrade
Ako izraz sadrži ugniježđene zagrade, onda se proširuju po redu, počevši od vanjskih ili unutrašnjih.
Istovremeno, prilikom otvaranja jedne od zagrada, važno je ne dirati ostale zagrade, jednostavno ih prepisati kako jesu.
Primjer. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
"Uvodne zagrade" - Udžbenik iz matematike 6. razred (Vilenkin)
Kratki opis:
U ovom odjeljku ćete naučiti kako proširiti zagrade u primjerima. čemu služi? Sve za isto kao i do sada - da bi vam bilo lakše i lakše da brojite, da manje griješite, a idealno (san vašeg profesora matematike) da sve riješite bez greške.
Već znate da se zagrade u matematičkoj notaciji stavljaju ako dva matematička znaka idu u nizu, ako želimo da prikažemo uniju brojeva, njihovo preuređenje. Proširivanje zagrada znači uklanjanje dodatnih znakova. Na primjer: (-15) + 3 = -15 + 3 = -12, 18 + (- 16) = 18-16 = 2. Sjećate se distributivnog svojstva množenja u odnosu na sabiranje? Uostalom, u tom primjeru smo se također riješili zagrada da bismo pojednostavili proračune. Imenovano svojstvo množenja se također može primijeniti na četiri, tri, pet ili više članova. Na primjer: 15 * (3 + 8 + 9 + 6) = 15 * 3 + 15 * 8 + 15 * 9 + 15 * 6 = 390. Jeste li primijetili da kada se proširuju zagrade, brojevi u njima ne mijenjaju predznak ako je broj ispred zagrada pozitivan? Na kraju krajeva, petnaest je pozitivan broj. A ako riješite ovaj primjer: -15 * (3 + 8 + 9 + 6) = - 15 * 3 + (- 15) * 8 + (- 15) * 9 + (- 15) * 6 = -45 + ( - 120) + (- 135) + (- 90) = - 45-120-135-90 = -390. Ispred zagrada smo imali negativan broj minus petnaest, kada smo otvorili zagrade, svi brojevi su počeli mijenjati svoj predznak u drugi - suprotno - od plusa u minus.
Na osnovu gornjih primjera, postoje dva osnovna pravila za proširenje zagrada:
1. Ako imate pozitivan broj ispred zagrada, onda se nakon proširenja zagrada svi predznaci brojeva u zagradama ne mijenjaju, već ostaju potpuno isti kao što su bili.
2. Ako ispred zagrada imate negativan broj, onda se nakon otvaranja zagrada znak minus više ne piše, a predznaci svih apsolutnih brojeva u zagradama su oštro obrnuti.
Na primjer: (13 + 8) + (9-8) = 13 + 8 + 9-8 = 22; (13 + 8) - (9-8) = 13 + 8-9 + 8 = 20. Hajde da malo zakomplikujemo naše primjere: (13 + 8) +2 (9-8) = 13 + 8 + 2 * 9-2 * 8 = 21 + 18-16 = 23. Primijetili ste da kada smo proširili drugu zagradu, pomnožili smo sa 2, ali su znakovi ostali isti kao što su bili. A evo primjera: (3 + 8) -2 * (9-8) = 3 + 8-2 * 9 + 2 * 8 = 11-18 + 16 = 9, u ovom primjeru broj dva je negativan, to je je ispred zagrada sa znakom minus, pa smo prilikom otvaranja obrnuli predznake brojeva (devet je bilo sa plusom, bilo je sa minusom, osam je bilo sa minusom, bilo je plus).
