Memulai dengan Sudut
Mari kita diberi dua sinar sembarang. Mari kita letakkan mereka di atas satu sama lain. Kemudian
Definisi 1
Kita akan menyebut suatu sudut sebagai dua sinar yang mempunyai titik asal yang sama.
Definisi 2
Titik awal sinar-sinar dalam kerangka Definisi 3 disebut titik sudut tersebut.
Kita akan menyatakan sudut dengan tiga titik berikut: titik sudut, titik pada salah satu sinar dan titik pada sinar lainnya, dan titik sudut ditulis di tengah-tengah penandaannya (Gbr. 1).
Sekarang mari kita tentukan berapa besar sudutnya.
Untuk melakukan ini, kita perlu memilih semacam "sudut referensi", yang akan kita ambil sebagai satu kesatuan. Biasanya, sudut ini adalah sudut yang sama dengan bagian $\frac(1)(180)$ dari sudut terbuka. Besaran ini disebut derajat. Setelah memilih sudut seperti itu, kami membandingkan sudut-sudut itu dengannya, yang nilainya perlu dicari.
Ada 4 jenis sudut:
Definisi 3
Suatu sudut disebut lancip jika kurang dari $90^0$.
Definisi 4
Suatu sudut disebut tumpul jika lebih besar dari $90^0$.
Definisi 5
Suatu sudut disebut dikembangkan jika sama dengan $180^0$.
Definisi 6
Suatu sudut disebut siku-siku jika besarnya sama dengan $90^0$.
Selain jenis-jenis sudut yang telah dijelaskan di atas, kita juga dapat membedakan jenis-jenis sudut yang hubungannya satu sama lain, yaitu sudut vertikal dan sudut berdekatan.
Sudut yang berdekatan
Perhatikan sudut terbalik $COB$. Dari puncaknya kita menggambar sinar $OA$. Sinar ini akan membagi sinar aslinya menjadi dua sudut. Kemudian
Definisi 7
Kita akan menyebut dua sudut berdekatan jika sepasang sisinya merupakan sudut maju, dan pasangan lainnya berimpit (Gbr. 2).
DI DALAM pada kasus ini sudut $COA$ dan $BOA$ berdekatan.
Teorema 1
Jumlah sudut yang berdekatan sama dengan $180^0$.
Bukti.
Mari kita lihat Gambar 2.
Menurut definisi 7, sudut $COB$ di dalamnya akan sama dengan $180^0$. Karena pasangan kedua sisi sudut yang berdekatan berimpit, maka sinar $OA$ akan membagi sudut terbuka dengan 2, maka
$∠COA+∠BOA=180^0$
Teorema tersebut telah terbukti.
Mari kita pertimbangkan untuk memecahkan masalah menggunakan konsep ini.
Contoh 1
Temukan sudut $C$ dari gambar di bawah ini
Berdasarkan Definisi 7 kita menemukan bahwa sudut $BDA$ dan $ADC$ berdekatan. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, kita peroleh
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
Berdasarkan teorema jumlah sudut dalam segitiga, kita peroleh
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Jawaban: $40^0$.
Sudut vertikal
Pertimbangkan sudut terbuka $AOB$ dan $MOC$. Mari kita sejajarkan titik sudutnya satu sama lain (yaitu, letakkan titik $O"$ di titik $O$) sehingga tidak ada sisi dari sudut-sudut ini yang berhimpitan. Lalu
Definisi 8
Kita akan menyebut dua sudut vertikal jika pasangan sisinya merupakan sudut terbuka dan nilainya bertepatan (Gbr. 3).
Dalam hal ini, sudut $MOA$ dan $BOC$ adalah vertikal dan sudut $MOB$ dan $AOC$ juga vertikal.
Teorema 2
Sudut vertikal sama besar satu sama lain.
Bukti.
Mari kita lihat Gambar 3. Mari kita buktikan, misalnya, bahwa sudut $MOA$ sama dengan sudut $BOC$.
Sudut-sudut yang salah satu sisinya bersekutu dan sisi-sisi lainnya terletak pada satu garis lurus (pada gambar, sudut 1 dan 2 berdekatan). Beras. untuk Seni. Sudut yang berdekatan... Ensiklopedia Besar Soviet
SUDUT YANG BERDEKATAN- sudut yang memiliki titik sudut yang sama dan satu sisi umum, dan kedua sisi lainnya terletak pada garis lurus yang sama... Ensiklopedia Politeknik Besar
Lihat Sudut... Kamus Ensiklopedis Besar
SUDUT BERDEKATAN, dua sudut yang besarnya 180°. Masing-masing sudut saling melengkapi dengan sudut penuh... Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis
Lihat Sudut. * * * SUDUT BERDEKATAN SUDUT BERDEKATAN, lihat Sudut (lihat SUDUT) ... kamus ensiklopedis
- (Sudut-sudut yang berdekatan) yang mempunyai titik sudut yang sama dan sisi yang sama. Pada dasarnya nama ini mengacu pada sudut C. tersebut, dua sisi lainnya terletak pada arah yang berlawanan dari satu garis lurus yang ditarik melalui titik sudut ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron
Lihat Sudut... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis
Dua garis lurus berpotongan membentuk sepasang sudut vertikal. Satu pasang terdiri dari sudut A dan B, pasangan lainnya terdiri dari C dan D. Dalam geometri, dua sudut disebut vertikal jika dibuat oleh perpotongan dua ... Wikipedia
Sepasang sudut berkomplementer yang saling berkomplemen sampai dengan 90 derajat. Jika dua sudut yang saling melengkapi berdekatan (yaitu keduanya mempunyai titik sudut yang sama dan hanya dipisahkan... ... Wikipedia
Sepasang sudut yang saling berkomplemen sampai dengan 90 derajat Sudut berkomplemen adalah sepasang sudut yang saling berkomplemen sampai dengan 90 derajat. Jika dua sudut yang saling melengkapi berada pada... Wikipedia
Buku
- Tentang pembuktian geometri, A.I.Fetisov Buku ini akan diproduksi sesuai pesanan Anda dengan menggunakan teknologi Print-on-Demand. Suatu hari, di awal tahun ajaran, saya mendengar percakapan antara dua gadis. Yang tertua di antara mereka...
- Buku catatan komprehensif untuk kontrol pengetahuan. Geometri. kelas 7. Standar Pendidikan Negara Federal, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Manual ini menyajikan materi kontrol dan pengukuran (CMM) dalam geometri untuk melakukan pengendalian kualitas pengetahuan saat ini, tematik dan akhir siswa kelas 7. Isi panduan...
2) Berapa banyak titik persekutuan yang dimiliki oleh 2 garis lurus?
3) Jelaskan apa yang dimaksud dengan segmen?
4) Jelaskan apa yang dimaksud dengan sinar, bagaimana sinar dilambangkan?
5) Bangun apa yang disebut sudut?Jelaskan apa yang dimaksud dengan titik sudut dan sisi suatu sudut?
6)Sudut manakah yang disebut terbuka?
7) Angka manakah yang disebut sama?
8) Jelaskan cara membandingkan 2 segmen
9) Titik manakah yang disebut titik tengah ruas?
10) Jelaskan cara membandingkan 2 sudut.
11) Sinar manakah yang disebut garis bagi suatu sudut?
12) Titik C membagi ruas AB menjadi 2 ruas.Bagaimana cara mencari panjang ruas AB jika diketahui panjang ruas AC dan CB?
13) Alat apa saja yang digunakan untuk mengukur jarak?
14) Berapakah besar derajat suatu sudut?
15) Ray OS membagi sudut AOB menjadi 2 sudut. Bagaimana cara mencari besar sudut AOB jika diketahui besar sudut AOC dan COB?
16) Sudut manakah yang disebut lancip, siku-siku, tumpul?
17) Sudut apa yang disebut berdekatan?Berapa jumlah sudut yang berdekatan?
18) Sudut apa yang disebut vertikal?Sifat-sifat apa yang dimiliki sudut vertikal?
19) Garis manakah yang disebut tegak lurus?
20) Jelaskan mengapa 2 garis yang tegak lurus garis ke-3 tidak berpotongan?
21) Alat apa yang digunakan untuk membuat sudut siku-siku pada tanah?
2Berapa banyak titik persekutuan yang dimiliki oleh dua garis lurus?
3jelaskan apa itu segmen
4jelaskan apa yang dimaksud dengan sinar.Apa sebutan sinar?
5bentuk apa yang disebut sudut? jelaskan apa yang dimaksud dengan titik sudut dan sisi-sisi suatu sudut
6Sudut manakah yang disebut sudut lurus?
7angka apa yang disebut sama
8jelaskan cara membandingkan dua segmen
9titik apa yang disebut titik tengah ruas tersebut
10jelaskan cara membandingkan dua sudut
11sinar mana yang disebut garis bagi sudut
12 titik c membagi ruas ab menjadi dua ruas.Cara mencari panjang ruas ab jika diketahui panjang ruas ac dan sb
13alat apa yang digunakan untuk mengukur jarak
14berapa besar derajat suatu sudut
15 sinar oc membagi sudut aob menjadi dua sudut.Cara mencari besar sudut aob jika diketahui besar sudut aoc
16Sudut apa yang disebut lancip?, kan?, tumpul?.
17Sudut apa yang disebut berdekatan?Berapa jumlah sudut-sudut yang berdekatan?
18Sudut apa yang disebut vertikal? Sifat-sifat apa yang dimiliki sudut vertikal?
19garis mana yang disebut tegak lurus
20jelaskan mengapa dua garis yang tegak lurus garis ketiga tidak berpotongan
21Alat apa yang digunakan untuk membuat sudut siku-siku pada permukaan tanah?
sifat apa yang dimiliki sudut vertikal? 5)
Tolonglah!! tolong=**7. Buktikan bahwa jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka sudut-sudut dalam yang berpotongan adalah sama besar, dan jumlah sudut-sudut dalam satu sisi adalah 180 derajat.
8. Buktikan bahwa dua garis yang tegak lurus garis ketiga adalah sejajar. Jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya.
9. Buktikan jumlah sudut suatu segitiga adalah 180 derajat.
10. Buktikan bahwa setiap segitiga mempunyai paling sedikit dua sudut lancip.
11. Apa itu sudut luar segi tiga?
12. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.
13. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga lebih besar dari sudut manapun sudut dalam, tidak berdekatan dengannya.
14. Segitiga manakah yang disebut segitiga siku-siku?
15. Berapakah jumlah sudut lancip suatu segitiga siku-siku?
16. Sisi segitiga siku-siku manakah yang disebut sisi miring? Sisi manakah yang disebut kaki?
17. Merumuskan tes persamaan segitiga siku-siku sepanjang sisi miring dan kakinya.
18. Buktikan bahwa dari titik mana pun yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, kita dapat menjatuhkan garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut, dan hanya satu.
19. Jarak suatu titik ke garis disebut?
20. Jelaskan berapa jarak antar garis sejajar.
Pertanyaan 1. Sudut apa yang disebut berdekatan?
Menjawab. Dua sudut disebut berdekatan jika kedua sudut tersebut mempunyai satu sisi yang sama, dan sisi-sisi yang lain dari sudut-sudut tersebut merupakan setengah garis yang saling berkomplemen.
Pada Gambar 31, sudut (a 1 b) dan (a 2 b) bertetangga. Mereka mempunyai sisi b yang sama, dan sisi a 1 dan a 2 merupakan setengah garis tambahan.
Pertanyaan 2. Buktikan jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180°.
Menjawab. Teorema 2.1. Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180°.
Bukti. Misalkan sudut (a 1 b) dan sudut (a 2 b) diberi sudut-sudut yang berdekatan (lihat Gambar 31). Sinar b lewat antara sisi a 1 dan a 2 yang membentuk sudut siku-siku. Jadi, jumlah sudut (a 1 b) dan (a 2 b) sama dengan sudut terbuka, yaitu 180°. Q.E.D.
Pertanyaan 3. Buktikan bahwa jika dua sudut sama besar, maka sudut-sudut yang berdekatan juga sama besar.
Menjawab.
Dari teorema 2.1
Artinya, jika dua sudut sama besar, maka sudut-sudut yang berdekatan juga sama besar.
Misalkan sudut (a 1 b) dan (c 1 d) sama besar. Kita perlu membuktikan bahwa sudut (a 2 b) dan (c 2 d) juga sama besar.
Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180°. Maka a 1 b + a 2 b = 180° dan c 1 d + c 2 d = 180°. Jadi, a 2 b = 180° - a 1 b dan c 2 d = 180° - c 1 d. Karena sudut (a 1 b) dan (c 1 d) sama besar, kita peroleh a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Berdasarkan sifat transitivitas tanda sama dengan maka a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
Pertanyaan 4. Sudut manakah yang disebut siku-siku (akut, tumpul)?
Menjawab. Sudut yang besarnya sama dengan 90° disebut sudut siku-siku.
Sudut yang kurang dari 90° disebut sudut lancip.
Sudut yang lebih besar dari 90° dan kurang dari 180° disebut tumpul.
Pertanyaan 5. Buktikan bahwa sudut yang berdekatan dengan sudut siku-siku adalah sudut siku-siku.
Menjawab. Dari teorema jumlah sudut yang berdekatan dapat disimpulkan bahwa sudut yang berdekatan dengan sudut siku-siku adalah sudut siku-siku: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
Pertanyaan 6. Sudut apa yang disebut vertikal?
Menjawab. Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi suatu sudut merupakan setengah garis yang saling melengkapi dari sisi-sisi sudut yang lain.
Pertanyaan 7. Buktikan bahwa sudut-sudut vertikalnya sama besar.
Menjawab. Teorema 2.2. Sudut vertikal sama besar.
Bukti. Misalkan (a 1 b 1) dan (a 2 b 2) adalah sudut vertikal tertentu (Gbr. 34). Sudut (a 1 b 2) berdekatan dengan sudut (a 1 b 1) dan sudut (a 2 b 2). Dari sini, dengan menggunakan teorema jumlah sudut-sudut yang berdekatan, kita menyimpulkan bahwa masing-masing sudut (a 1 b 1) dan (a 2 b 2) berkomplemen dengan sudut (a 1 b 2) sebesar 180°, yaitu. sudut (a 1 b 1) dan (a 2 b 2) sama besar. Q.E.D.
Pertanyaan 8. Buktikan jika pada perpotongan dua garis salah satu sudutnya siku-siku, maka ketiga sudut lainnya juga siku-siku.
Menjawab. Misalkan garis AB dan CD berpotongan di titik O. Misalkan sudut AOD adalah 90°. Karena jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°, kita peroleh AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Sudut COB vertikal terhadap sudut AOD, jadi keduanya sama besar. Artinya, sudut COB = 90°. Sudut COA tegak lurus terhadap sudut BOD, jadi keduanya sama besar. Jadi sudut BOD = 90°. Jadi, semua sudut sama dengan 90°, artinya semua sudut siku-siku. Q.E.D.
Pertanyaan 9. Garis manakah yang disebut tegak lurus? Tanda apa yang digunakan untuk menunjukkan tegak lurus suatu garis?
Menjawab. Dua garis disebut tegak lurus jika berpotongan tegak lurus.
Tegak lurus suatu garis ditunjukkan dengan tanda \(\perp\). Entri \(a\perp b\) berbunyi: “Garis a tegak lurus terhadap garis b.”
Pertanyaan 10. Buktikan bahwa melalui suatu titik pada sebuah garis dapat ditarik sebuah garis yang tegak lurus terhadap titik tersebut, dan hanya satu.
Menjawab. Teorema 2.3. Melalui setiap garis Anda dapat menggambar garis yang tegak lurus terhadapnya, dan hanya satu.
Bukti. Misalkan a adalah suatu garis tertentu dan A adalah suatu titik tertentu pada garis tersebut. Mari kita nyatakan dengan a 1 salah satu setengah garis dari garis lurus a dengan titik awal A (Gbr. 38). Mari kita kurangi sudut (a 1 b 1) sama dengan 90° dari setengah garis a 1. Maka garis lurus yang memuat sinar b 1 akan tegak lurus terhadap garis lurus a.
Misalkan ada garis lain yang juga melewati titik A dan tegak lurus garis a. Mari kita nyatakan dengan c 1 setengah garis dari garis ini yang terletak pada setengah bidang yang sama dengan sinar b 1 .
Sudut (a 1 b 1) dan (a 1 c 1), masing-masing sama dengan 90°, terletak pada satu setengah bidang dari setengah garis a 1. Tetapi dari setengah garis a 1 hanya satu sudut sebesar 90° yang dapat dimasukkan ke dalam setengah bidang tertentu. Oleh karena itu, tidak mungkin ada garis lain yang melalui titik A dan tegak lurus garis a. Teorema tersebut telah terbukti.
Pertanyaan 11. Apa yang dimaksud dengan tegak lurus suatu garis?
Menjawab. Garis tegak lurus suatu garis adalah ruas garis yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu, yang salah satu ujungnya berada pada titik potongnya. Ujung segmen ini disebut dasar tegak lurus.
Pertanyaan 12. Jelaskan apa yang dimaksud dengan pembuktian dengan kontradiksi.
Menjawab. Metode pembuktian yang kita gunakan pada Teorema 2.3 disebut pembuktian dengan kontradiksi. Cara pembuktiannya adalah kita terlebih dahulu membuat asumsi yang berlawanan dengan teorema. Kemudian, dengan menalar, mengandalkan aksioma dan teorema yang terbukti, kita sampai pada kesimpulan yang bertentangan dengan kondisi teorema, atau salah satu aksioma, atau teorema yang telah terbukti sebelumnya. Atas dasar ini, kami menyimpulkan bahwa asumsi kami salah, dan oleh karena itu pernyataan teorema tersebut benar.
Pertanyaan 13. Berapakah garis bagi suatu sudut?
Menjawab. Garis bagi suatu sudut adalah sinar yang datang dari titik sudut suatu sudut, melewati antara sisi-sisinya dan membagi sudut menjadi dua.
Dalam proses pembelajaran mata kuliah geometri, konsep “sudut”, “sudut vertikal”, “sudut berdekatan” cukup sering muncul. Memahami setiap istilah akan membantu Anda memahami masalah dan menyelesaikannya dengan benar. Berapakah sudut-sudut yang berdekatan dan bagaimana cara menentukannya?
Sudut yang berdekatan - definisi konsep
Istilah “sudut-sudut yang berdekatan” mencirikan dua sudut yang dibentuk oleh sinar persekutuan dan dua garis setengah tambahan yang terletak pada satu garis lurus. Ketiga sinar tersebut keluar dari titik yang sama. Setengah garis persekutuan sekaligus merupakan sisi dari salah satu sudut dan sudut lainnya.
Sudut yang berdekatan - sifat dasar
1. Berdasarkan rumusan sudut-sudut yang berdekatan, mudah diketahui bahwa jumlah sudut-sudut tersebut selalu membentuk sudut terbalik yang besar derajatnya adalah 180°:
- Jika μ dan η merupakan sudut-sudut yang berdekatan, maka μ + η = 180°.
- Mengetahui besar salah satu sudut yang berdekatan (misalnya, μ), Anda dapat dengan mudah menghitung besaran derajat sudut kedua (η) menggunakan persamaan η = 180° – μ.
2. Properti ini sudut memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan berikut: sudut yang berdekatan sudut kanan, juga akan langsung.
3. Menimbang fungsi trigonometri(sin, cos, tg, ctg), berdasarkan rumus reduksi sudut berdekatan μ dan η, berlaku persamaan berikut:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Sudut yang berdekatan - contoh
Contoh 1
Diberikan sebuah segitiga dengan titik sudut M, P, Q – ΔMPQ. Tentukan sudut yang berdekatan dengan sudut ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Mari kita perpanjang setiap sisi segitiga dengan garis lurus.
- Mengetahui bahwa sudut-sudut yang berdekatan saling melengkapi hingga membentuk sudut terbalik, kita mengetahui bahwa:
berdekatan dengan sudut ∠QMP adalah ∠LMP,
berdekatan dengan sudut ∠MPQ adalah ∠SPQ,
berdekatan dengan sudut ∠PQM adalah ∠HQP.
Contoh 2
Nilai salah satu sudut yang berdekatan adalah 35°. Berapa besar derajat sudut kedua yang berdekatan?
- Dua sudut yang berdekatan berjumlah 180°.
- Jika ∠μ = 35°, maka didekatnya ∠η = 180° – 35° = 145°.
Contoh 3
Tentukan nilai sudut-sudut yang berdekatan jika diketahui besar derajat salah satunya tiga kali lebih besar dari besar sudut yang lain.
- Mari kita nyatakan besarnya satu sudut (lebih kecil) dengan – ∠μ = λ.
- Kemudian sesuai dengan kondisi soal, nilai sudut kedua akan sama dengan ∠η = 3λ.
- Berdasarkan sifat dasar sudut berdekatan, μ + η = 180° sebagai berikut
λ + 3λ = μ + η = 180°,
= 180°/4 = 45°.
Artinya sudut pertama adalah ∠μ = λ = 45°, dan sudut kedua adalah ∠η = 3λ = 135°.
Kemampuan menggunakan terminologi, serta pengetahuan tentang sifat dasar sudut yang berdekatan, akan membantu Anda memecahkan banyak masalah geometri.