ODA. Sebuah meja berbentuk persegi panjang yang terdiri dari T garis dan P kolom bilangan real disebut matriks ukuran t×p. Matriks dilambangkan dengan huruf latin kapital: A, B,..., dan deretan bilangan dipisahkan dengan tanda kurung bulat atau tanda kurung siku.

Bilangan-bilangan yang terdapat dalam tabel disebut unsur matriks dan dilambangkan dengan huruf latin kecil dengan indeks ganda, dimana Saya– nomor baris, J– nomor kolom pada perpotongan elemen tersebut berada. DI DALAM pandangan umum matriksnya ditulis seperti ini:

Dua matriks dipertimbangkan setara, jika elemen-elemen yang bersesuaian sama.

Jika banyaknya baris matriks T sama dengan jumlah kolomnya P, maka matriks tersebut dipanggil persegi(jika tidak – persegi panjang).

Matriks Ukuran
disebut matriks baris. Matriks Ukuran

disebut matriks kolom.

Elemen matriks yang mempunyai indeks sama (
dll), bentuk diagonal utama matriks. Diagonal lainnya disebut diagonal samping.

Matriks persegi disebut diagonal, jika semua elemennya yang terletak di luar diagonal utama sama dengan nol.

Matriks diagonal yang elemen diagonalnya sama dengan satu disebut lajang matriks dan memiliki notasi standar E:

Jika semua elemen matriks yang terletak di atas (atau di bawah) diagonal utama sama dengan nol, maka matriks tersebut dikatakan berbentuk segitiga:

§2. Operasi pada matriks

1. Transposisi matriks - transformasi di mana baris-baris matriks ditulis sebagai kolom dengan tetap mempertahankan urutannya. Untuk matriks persegi, transformasi ini setara dengan pemetaan simetris terhadap diagonal utama:

.

2. Matriks-matriks yang berdimensi sama dapat dijumlahkan (dikurangi). Jumlah (selisih) matriks adalah matriks yang berdimensi sama, yang setiap elemennya sama dengan jumlah (selisih) elemen-elemen yang bersesuaian dengan matriks aslinya:

3. Matriks apa pun dapat dikalikan dengan suatu bilangan. Hasil kali suatu matriks dengan suatu bilangan adalah matriks berordo sama, yang setiap elemennya sama dengan hasil kali elemen yang bersesuaian dari matriks asal dengan bilangan ini:

.

4. Jika jumlah kolom suatu matriks sama dengan jumlah baris matriks lainnya, maka matriks pertama dapat dikalikan dengan matriks kedua. Hasil kali matriks-matriks tersebut adalah suatu matriks, yang setiap elemennya sama dengan jumlah perkalian berpasangan elemen-elemen pada baris yang bersesuaian pada matriks pertama dan elemen-elemen pada kolom yang bersesuaian pada matriks kedua.

Konsekuensi. Eksponensial matriks Ke>1 adalah hasil kali matriks A Ke sekali. Didefinisikan hanya untuk matriks persegi.

Contoh.

Sifat-sifat operasi pada matriks.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   SEBUAH(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   SEBUAH(BC)=(AB)C;

2. (kA) T = kA T;

   (A+B) T =AT +BT;

   (AB) T =BT;

Sifat-sifat yang tercantum di atas mirip dengan sifat-sifat operasi bilangan. Ada juga sifat khusus matriks. Ini termasuk, misalnya, sifat khas perkalian matriks. Jika hasil kali AB ada, maka hasil kali BA

Mungkin tidak ada

Mungkin berbeda dari AB.

Contoh. Perusahaan memproduksi produk dua tipe A dan B dan menggunakan tiga jenis bahan baku S 1, S 2, dan S 3. Tingkat konsumsi bahan baku ditentukan oleh matriks N=
, Di mana N aku j– jumlah bahan baku J, dihabiskan untuk produksi satu unit output Saya. Rencana produksi diberikan oleh matriks C=(100 200), dan biaya satuan setiap jenis bahan baku diberikan oleh matriks . Tentukan biaya bahan baku yang diperlukan untuk produksi yang direncanakan dan total biaya bahan baku.

Larutan. Kami mendefinisikan biaya bahan baku sebagai produk dari matriks C dan N:

Kami menghitung total biaya bahan baku sebagai produk S dan P.

>> Matriks

4.1.Matriks. Operasi pada matriks

Matriks persegi panjang berukuran mxn merupakan kumpulan bilangan mxn yang disusun dalam bentuk tabel persegi panjang yang memuat m baris dan n kolom. Kami akan menuliskannya dalam formulir

atau disingkat A = (ai j) (i = ; j = ), bilangan a i j disebut unsur-unsurnya; Indeks pertama menunjukkan nomor baris, indeks kedua menunjukkan nomor kolom. A = (ai j) dan B = (b i j) ukuran sama Disebut sama jika elemen-elemennya yang terletak di tempat yang sama berpasangan sama besar, yaitu A = B jika a i j = b i j .

Matriks yang terdiri dari satu baris atau satu kolom masing-masing disebut vektor baris atau vektor kolom. Vektor kolom dan vektor baris disebut vektor.

Sebuah matriks yang terdiri dari satu bilangan diidentifikasikan dengan bilangan tersebut. A berukuran mxn yang semua elemennya sama dengan nol disebut nol dan dilambangkan dengan 0. Elemen yang indeksnya sama disebut elemen diagonal utama. Jika jumlah baris sama dengan jumlah kolom, yaitu m = n, maka matriks tersebut disebut matriks persegi berorde n. Matriks persegi yang hanya elemen diagonal utamanya saja yang bukan nol disebut diagonal dan ditulis sebagai berikut:

.

Jika semua elemen a i i diagonalnya sama dengan 1, maka disebut satuan dan dilambangkan dengan huruf E:

.

Suatu matriks persegi disebut segitiga jika semua elemen di atas (atau di bawah) diagonal utama sama dengan nol. Transposisi adalah transformasi di mana baris dan kolom ditukar dengan tetap mempertahankan jumlahnya. Transposisi ditandai dengan huruf T di bagian atas.

Jika kita mengatur ulang baris dan kolom pada (4.1), kita mendapatkan

,

yang akan ditransposisikan terhadap A. Khususnya, ketika mentransposisikan vektor kolom, diperoleh vektor baris dan sebaliknya.

Hasil kali A dan bilangan b adalah matriks yang elemen-elemennya diperoleh dari elemen-elemen A yang bersesuaian dengan mengalikannya dengan bilangan b: b A = (b a i j).

Jumlah A = (a i j) dan B = (b i j) yang berukuran sama disebut C = (c i j) yang berukuran sama, yang unsur-unsurnya ditentukan dengan rumus c i j = a i j + b i j.

Hasil kali AB ditentukan dengan asumsi jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B.

Hasil kali AB, dimana A = (ai j) dan B = (b j k), dimana i = , j= , k= , ditentukan dalam dalam urutan tertentu AB disebut C = (c i k), yang unsur-unsurnya ditentukan oleh aturan berikutnya:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Dengan kata lain, unsur hasil kali AB didefinisikan sebagai berikut: unsur baris ke-i dan kolom ke-k C sama dengan jumlah produk elemen ke-i baris A ke elemen yang bersesuaian pada kolom ke-k B.

Contoh 2.1. Carilah hasil kali AB dan .

Larutan. Kita mempunyai: A berukuran 2x3, B berukuran 3x3, maka hasil kali AB = C ada dan unsur-unsur C sama besar

Dari 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, dari 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, dari 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, dan produk BA tidak ada.

Contoh 2.2. Tabel menunjukkan jumlah unit produk yang dikirim setiap hari dari perusahaan susu 1 dan 2 ke toko M 1, M 2 dan M 3, dan pengiriman satu unit produk dari setiap perusahaan susu ke toko M 1 dikenakan biaya 50 sarang. unit, ke gudang M 2 - 70, dan ke M 3 - 130 sarang. unit Hitung biaya transportasi harian setiap pabrik.

Pabrik susu

Larutan. Mari kita nyatakan dengan A matriks yang diberikan kepada kita dalam kondisi, dan dengan
B - matriks yang mencirikan biaya pengiriman satu unit produk ke toko, yaitu,

,

Maka matriks biaya transportasi akan terlihat seperti:

.

Jadi, pabrik pertama menghabiskan 4.750 denier untuk transportasi setiap hari. unit, yang kedua - 3680 unit moneter.

Contoh 2.3. Perusahaan menjahit memproduksi mantel musim dingin, mantel setengah musim, dan jas hujan. Output yang direncanakan untuk satu dekade ditandai dengan vektor X = (10, 15, 23). Empat jenis kain yang digunakan: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabel menunjukkan tingkat konsumsi kain (dalam meter) untuk setiap produk. Vektor C = (40, 35, 24, 16) menentukan biaya pengangkutan satu meter kain setiap jenis, dan vektor P = (5, 3, 2, 2) menentukan biaya pengangkutan satu meter kain setiap jenis.

	Konsumsi kain
Jaket musim dingin
Mantel demi musim

1. Berapa meter setiap jenis kain yang dibutuhkan untuk menyelesaikan rencana tersebut?

2. Temukan harga kain yang dikeluarkan untuk menjahit setiap jenis produk.

3. Tentukan biaya seluruh bahan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan rencana tersebut.

Larutan. Mari kita nyatakan dengan A matriks yang diberikan kepada kita dalam kondisi, yaitu,

,

maka untuk mencari jumlah meter kain yang dibutuhkan untuk menyelesaikan denah tersebut, Anda perlu mengalikan vektor X dengan matriks A:

Kita mencari harga kain yang dihabiskan untuk menjahit setiap jenis produk dengan mengalikan matriks A dan vektor C T:

.

Biaya seluruh kain yang dibutuhkan untuk menyelesaikan rencana akan ditentukan dengan rumus:

Terakhir, dengan memperhitungkan biaya transportasi, jumlah keseluruhannya akan sama dengan biaya kain, yaitu 9472 den. satuan, nilai tambah

X APT =
.

Jadi X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (satuan uang).

Misalkan ada matriks persegi orde ke-n

Matriks A -1 disebut matriks terbalik terhadap matriks A, jika A*A -1 = E, dimana E adalah matriks identitas orde ke-n.

Matriks identitas- matriks persegi yang semua elemennya berada di sepanjang diagonal utama, mulai dari sudut kiri atas ke kanan pojok bawah, adalah satu, dan sisanya adalah nol, misalnya:

matriks terbalik mungkin ada hanya untuk matriks persegi itu. untuk matriks-matriks yang jumlah baris dan kolomnya berhimpitan.

Teorema kondisi keberadaan matriks invers

Agar suatu matriks memiliki matriks invers, matriks tersebut perlu dan cukup bersifat non-singular.

Matriks A = (A1, A2,...A n) disebut tidak merosot, jika vektor kolom bebas linier. Banyaknya vektor kolom bebas linier suatu matriks disebut pangkat matriks. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan demikian agar ada matriks terbalik, pangkat matriks harus dan cukup sama dengan dimensinya, yaitu. r = n.

Algoritma untuk mencari matriks invers

1. Tuliskan matriks A ke dalam tabel untuk menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gaussian dan tetapkan matriks E di sebelah kanannya (sebagai pengganti ruas kanan persamaan).
2. Dengan menggunakan transformasi Jordan, reduksi matriks A menjadi matriks yang terdiri dari kolom satuan; dalam hal ini perlu dilakukan transformasi matriks E secara simultan.
3. Jika perlu, susun ulang baris-baris (persamaan) tabel terakhir sehingga di bawah matriks A tabel asal diperoleh matriks identitas E.
4. Tuliskan invers matriks A -1 yang terletak pada tabel terakhir di bawah matriks E tabel asal.

Contoh 1

Untuk matriks A, carilah invers matriks A -1

Penyelesaian: Kita tuliskan matriks A dan tugaskan ke sebelah kanan matriks identitas E. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kita mereduksi matriks A menjadi matriks identitas E. Perhitungan diberikan pada tabel 31.1.

Mari kita periksa kebenaran perhitungannya dengan mengalikan matriks asli A dan matriks invers A -1.

Hasil perkalian matriks diperoleh matriks identitas. Oleh karena itu, perhitungan dilakukan dengan benar.

Menjawab:

Memecahkan persamaan matriks

Persamaan matriks dapat terlihat seperti:

KAPAK = B, HA = B, AXB = C,

dimana A, B, C adalah matriks yang ditentukan, X adalah matriks yang diinginkan.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mengalikan persamaan tersebut dengan matriks invers.

Misalnya, untuk mencari matriks dari persamaan, Anda perlu mengalikan persamaan ini dengan persamaan di sebelah kiri.

Oleh karena itu, untuk mencari solusi persamaan tersebut, Anda perlu mencari matriks invers dan mengalikannya dengan matriks di sisi kanan persamaan.

Persamaan lainnya diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Selesaikan persamaan AX = B jika

Larutan: Karena invers matriksnya sama dengan (lihat contoh 1)

Metode matriks dalam analisis ekonomi

Selain yang lain, mereka juga digunakan metode matriks. Metode ini didasarkan pada aljabar linier dan matriks vektor. Metode tersebut digunakan untuk tujuan menganalisis fenomena ekonomi yang kompleks dan multidimensi. Paling sering metode ini digunakan bila diperlukan penilaian komparatif berfungsinya organisasi dan divisi strukturalnya.

Dalam proses penerapan metode analisis matriks, dapat dibedakan beberapa tahapan.

Pada tahap pertama sistem sedang dibentuk indikator ekonomi dan atas dasar itu, matriks data sumber dikompilasi, yang merupakan tabel di mana nomor sistem ditampilkan dalam baris individualnya (saya = 1,2,....,n), dan di kolom vertikal - jumlah indikator (j = 1,2,....,m).

Pada tahap kedua Untuk setiap kolom vertikal, nilai indikator terbesar yang tersedia diidentifikasi, yang diambil sebagai satu.

Setelah itu, semua jumlah yang tercermin dalam kolom ini dibagi nilai tertinggi dan matriks koefisien standar terbentuk.

Pada tahap ketiga semua komponen matriks dikuadratkan. Jika mempunyai signifikansi yang berbeda, maka setiap indikator matriks diberi koefisien bobot tertentu k. Nilai yang terakhir ditentukan oleh pendapat para ahli.

Yang terakhir, tahap keempat nilai peringkat yang ditemukan Rj dikelompokkan berdasarkan kenaikan atau penurunannya.

Metode matriks yang diuraikan harus digunakan, misalnya, kapan analisis perbandingan berbagai proyek investasi, serta ketika menilai indikator ekonomi organisasi lainnya.

Definisi 1. ukuran matriks AM N adalah tabel persegi panjang yang terdiri dari m baris dan n kolom, terdiri dari bilangan atau ekspresi matematika lainnya (disebut elemen matriks), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, atau

Definisi 2. Dua matriks
Dan
berukuran sama disebut setara, jika elemen demi elemennya bertepatan, mis. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Dengan menggunakan matriks, mudah untuk mencatat beberapa ketergantungan ekonomi, misalnya tabel distribusi sumber daya untuk sektor ekonomi tertentu.

Definisi 3. Jika jumlah baris suatu matriks sama dengan jumlah kolomnya, maka m = n, maka matriks tersebut disebut urutan persegiN, jika tidak persegi panjang.

Definisi 4. Transisi dari matriks A ke matriks A m, yang baris dan kolomnya dipertukarkan dengan tetap menjaga keteraturan, disebut transposisi matriks.

Jenis matriks: persegi (ukuran 33) -
,

persegi panjang (ukuran 25) -
,

diagonal -
, lajang -
, nol -
,

baris matriks -
, kolom matriks -.

Definisi 5. Elemen matriks persegi berorde n dengan indeks yang sama disebut elemen diagonal utama, yaitu. ini adalah elemennya:
.

Definisi 6. Unsur-unsur matriks persegi berorde n disebut unsur diagonal sekunder jika jumlah indeksnya sama dengan n + 1, yaitu. ini adalah unsur-unsurnya: .

1.2. Operasi pada matriks.

1 0 . Jumlah dua matriks
Dan
berukuran sama disebut matriks C = (dengan ij), yang elemen-elemennya ditentukan oleh persamaan dengan ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

Sifat-sifat operasi penjumlahan matriks.

Untuk setiap matriks A, B, C dengan ukuran yang sama, persamaan berikut berlaku:

1) A + B = B + A (komutatifitas),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asosiasi).

2 0 . Pekerjaan matriks
per nomor  disebut matriks
berukuran sama dengan matriks A, dan b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Sifat-sifat operasi perkalian suatu matriks dengan suatu bilangan.

(A) = ()A (asosiasi perkalian);

(A+B) = A+B (distribusi perkalian terhadap penjumlahan matriks);

(+)A = A+A (distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan bilangan).

Definisi 7. Kombinasi matriks linier
Dan
berukuran sama disebut ekspresi bentuk A+B, dimana  dan  adalah bilangan sembarang.

3 0 . Produk A  Dalam matriks A dan B masing-masing berukuran mn dan nk, disebut matriks C berukuran mk, sehingga elemen dengan ij sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen pada baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B, yaitu dengan ij = a i 1 b 1 j +ai 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Hasil kali AB hanya ada jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B.

Sifat-sifat operasi perkalian matriks:

(AB)C = A(BC) (asosiasi);

(A+B)C = AC+BC (distribusi terhadap penjumlahan matriks);

A(B+C) = AB+AC (distribusi terhadap penjumlahan matriks);

AB  BA (tidak komutatif).

Definisi 8. Matriks A dan B yang AB = BA disebut komutasi atau komutasi.

Mengalikan matriks persegi ordo apa pun dengan matriks identitas yang bersesuaian tidak mengubah matriks tersebut.

Definisi 9. Transformasi dasar Operasi berikut disebut matriks:

Tukar dua baris (kolom).

Mengalikan setiap elemen suatu baris (kolom) dengan angka selain nol.

Menjumlahkan elemen-elemen pada satu baris (kolom) dengan elemen-elemen yang bersesuaian pada baris (kolom) lainnya.

Definisi 10. Matriks B yang diperoleh dari matriks A dengan menggunakan transformasi dasar disebut setara(dilambangkan dengan BA).

Contoh 1.1. Tentukan kombinasi linier matriks 2A–3B jika

,
.

,
,

.

Contoh 1.2. Temukan produk matriks
, Jika

.

Penyelesaian: karena jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua, maka hasil kali matriks ada. Hasilnya, kami memperoleh matriks baru
, Di mana

Hasilnya kita dapatkan
.

Kuliah 2. Penentu. Perhitungan determinan orde kedua dan ketiga. Sifat-sifat determinanNurutan -th.

Matriks dilambangkan dengan huruf latin kapital ( A, DI DALAM, DENGAN,...).

Definisi 1. Tampilan tabel persegi panjang,

yang terdiri dari M garis dan N kolom disebut matriks.

Elemen matriks, i – nomor baris, j – nomor kolom.

Jenis matriks:

elemen pada diagonal utama:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Penentu orde 2, 3 dan n

Misalkan dua matriks persegi diberikan:

Definisi 1. Penentu matriks orde kedua A 1 adalah bilangan yang dilambangkan dengan ∆ dan sama dengan , Di mana

Contoh. Hitung determinan orde 2:

Definisi 2. Penentu matriks persegi orde ke-3 A 2 disebut bilangan dengan bentuk:

Ini adalah salah satu cara untuk menghitung determinan.

Contoh. Menghitung

Definisi 3. Jika suatu determinan terdiri dari n-baris dan n-kolom, maka disebut determinan orde ke-n.

Sifat-sifat determinan:

Penentunya tidak berubah ketika ditransposisikan (yaitu, jika baris dan kolom di dalamnya ditukar dengan tetap mempertahankan urutannya).

Jika Anda menukar dua baris atau dua kolom pada determinan, maka determinan hanya akan mengubah tandanya.

Faktor persekutuan dari setiap baris (kolom) dapat diambil melampaui tanda determinannya.

Jika semua elemen suatu baris (kolom) suatu determinan sama dengan nol, maka determinan tersebut sama dengan nol.

Penentunya nol jika elemen-elemen pada dua baris sama besar atau sebanding.

Penentunya tidak akan berubah jika unsur-unsur yang bersesuaian pada baris (kolom) yang lain dikalikan dengan bilangan yang sama pada unsur-unsur suatu baris (kolom).

Contoh.

Definisi 4. Penentu yang diperoleh dari suatu bilangan tertentu dengan mencoret suatu kolom dan suatu baris disebut minor elemen yang sesuai. M ij elemen a ij .

Definisi 5. Komplemen aljabar elemen a ij disebut ekspresi

§3. Tindakan pada matriks

Operasi linier

1) Saat menjumlahkan matriks, elemen-elemennya yang bernama sama ditambahkan.

Saat mengurangkan matriks, elemen-elemennya yang bernama sama dikurangkan.

Saat mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan, setiap elemen matriks dikalikan dengan bilangan tersebut:

3.2.Perkalian matriks.

Bekerja matriks A ke matriks DI DALAM terdapat matriks baru yang unsur-unsurnya sama dengan jumlah hasil kali unsur-unsur baris ke-i matriks tersebut A ke elemen-elemen yang bersesuaian pada kolom ke-j matriks DI DALAM. Produk matriks A ke matriks DI DALAM hanya dapat ditemukan jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks DI DALAM. Kalau tidak, pekerjaan itu tidak mungkin dilakukan.

Komentar:

(tidak mematuhi sifat komutatif)

§ 4. Matriks terbalik

Matriks invers hanya ada untuk matriks persegi, dan matriks tersebut harus non-singular.

Definisi 1. Matriks A ditelepon tidak merosot, jika determinan matriks ini tidak sama dengan nol

Definisi 2. A-1 dipanggil matriks terbalik untuk matriks persegi non-tunggal tertentu A, jika matriks ini dikalikan dengan matriks tertentu, baik di kanan maupun di kiri, diperoleh matriks identitas.

Algoritma untuk menghitung matriks invers

1 cara (menggunakan penjumlahan aljabar)

Contoh 1:

Kembali