Pada artikel ini kami akan menganalisis secara detail nilai mutlak suatu bilangan. Kami akan memberikan berbagai definisi modulus suatu bilangan, memperkenalkan notasi dan memberikan ilustrasi grafis. Pada saat yang sama, mari kita pertimbangkan berbagai contoh menemukan modulus suatu bilangan menurut definisi. Setelah ini, kami akan membuat daftar dan membenarkan properti utama modul. Di akhir artikel, kita akan membahas tentang bagaimana modul didefinisikan dan ditempatkan bilangan kompleks.
Navigasi halaman.
Modul bilangan - definisi, notasi dan contoh
Pertama kami perkenalkan penunjukan modulus bilangan. Modulus bilangan a akan kita tuliskan sebagai , yaitu di sebelah kiri dan kanan bilangan tersebut kita beri tanda hubung vertikal sehingga membentuk tanda modulus. Mari kita berikan beberapa contoh. Misalnya, modul −7 dapat ditulis sebagai ; modul 4.125 ditulis sebagai , dan modul mempunyai notasi berbentuk .
Definisi modul berikut ini berlaku untuk , dan oleh karena itu, untuk , dan untuk bilangan bulat, dan untuk rasional, dan untuk bilangan irasional, mengenai bagian-bagian penyusun himpunan bilangan real. Kita akan berbicara tentang modulus bilangan kompleks di.
Definisi.
Modulus bilangan a– ini adalah angka a itu sendiri, jika a – nomor positif, atau bilangan −a, kebalikan dari bilangan a, jika a bilangan negatif, atau 0, jika a=0.
Definisi bersuara dari modulus suatu bilangan sering kali ditulis bentuk berikut 
, entri ini berarti jika a>0 , jika a=0 , dan jika a<0
.
Rekor tersebut dapat disajikan dalam bentuk yang lebih kompak 
. Notasi ini berarti jika (a lebih besar atau sama dengan 0), dan jika a<0
.
Ada juga entri 
. Di sini kita harus menjelaskan secara terpisah kasus ketika a=0. Dalam hal ini kita mempunyai , tetapi −0=0, karena nol dianggap sebagai bilangan yang berlawanan dengan bilangan itu sendiri.
Mari kita memberi contoh mencari modulus suatu bilangan menggunakan definisi yang dinyatakan. Misalnya, cari modul bilangan 15 dan . Mari kita mulai dengan mencari. Karena bilangan 15 positif, modulusnya menurut definisi sama dengan bilangan itu sendiri, yaitu . Berapakah modulus suatu bilangan? Karena bilangan negatif, modulusnya sama dengan bilangan yang berlawanan dengan bilangan tersebut, yaitu bilangan 
. Dengan demikian, .
Untuk menyimpulkan poin ini, kami menyajikan satu kesimpulan yang sangat mudah digunakan dalam praktik ketika mencari modulus suatu bilangan. Dari definisi modulus suatu bilangan dapat disimpulkan bahwa modulus suatu bilangan sama dengan bilangan yang berada di bawah tanda modulus tanpa memperhitungkan tandanya, dan dari contoh yang dibahas di atas hal ini terlihat sangat jelas. Pernyataan tersebut menjelaskan mengapa modul suatu bilangan disebut juga nilai absolut dari bilangan tersebut. Jadi modulus suatu bilangan dan nilai mutlak suatu bilangan adalah satu dan sama.
Modulus bilangan sebagai jarak
Secara geometris, modulus suatu bilangan dapat diartikan sebagai jarak. Mari kita memberi menentukan modulus suatu bilangan melalui jarak.
Definisi.
Modulus bilangan a– ini adalah jarak dari titik asal pada garis koordinat ke titik yang bersesuaian dengan bilangan a.
Definisi ini sesuai dengan definisi modulus suatu bilangan yang diberikan pada paragraf pertama. Mari kita perjelas hal ini. Jarak dari titik asal ke titik yang bersesuaian dengan bilangan positif sama dengan bilangan tersebut. Nol sesuai dengan titik asal, oleh karena itu jarak dari titik asal ke titik dengan koordinat 0 sama dengan nol (Anda tidak perlu menyisihkan satu segmen satuan dan tidak satu segmen pun yang membentuk pecahan apa pun dari segmen satuan secara berurutan. untuk berpindah dari titik O ke titik dengan koordinat 0). Jarak titik asal ke suatu titik yang koordinatnya negatif sama dengan bilangan yang berlawanan dengan koordinat titik tersebut, karena sama dengan jarak dari titik asal ke titik yang koordinatnya adalah nomor berlawanan.
Misalnya modulus bilangan 9 sama dengan 9, karena jarak titik asal ke titik dengan koordinat 9 sama dengan sembilan. Mari kita beri contoh lain. Titik dengan koordinat −3,25 terletak pada jarak 3,25 dari titik O, jadi 
.
Pengertian modulus suatu bilangan merupakan kasus khusus dari definisi modulus selisih dua bilangan.
Definisi.
Modulus selisih dua bilangan a dan b sama dengan jarak antara titik-titik garis koordinat dengan koordinat a dan b.
Artinya, jika diberikan titik-titik pada garis koordinat A(a) dan B(b), maka jarak titik A ke titik B sama dengan modulus selisih bilangan a dan b. Jika kita mengambil titik O (asal) sebagai titik B, maka kita memperoleh definisi modulus suatu bilangan yang diberikan di awal paragraf ini.
Menentukan modulus suatu bilangan menggunakan akar kuadrat aritmatika
Kadang-kadang terjadi menentukan modulus melalui akar kuadrat aritmatika.
Misalnya, mari kita hitung modulus bilangan −30 dan berdasarkan definisi ini. Kita punya. Demikian pula, kami menghitung modulus dua pertiga: 
.
Definisi modulus suatu bilangan melalui akar kuadrat aritmatika juga sesuai dengan definisi yang diberikan pada paragraf pertama artikel ini. Mari kita tunjukkan. Misalkan a bilangan positif dan −a bilangan negatif. Kemudian 
Dan 
, jika a=0 , maka 
.
Properti modul
Modul ini memiliki sejumlah hasil karakteristik - properti modul. Sekarang kami akan menyajikan yang utama dan paling sering digunakan. Saat membenarkan sifat-sifat ini, kita akan mengandalkan definisi modulus suatu bilangan dalam kaitannya dengan jarak.
Mari kita mulai dengan properti modul yang paling jelas - Modulus suatu bilangan tidak boleh berupa bilangan negatif. Dalam bentuk literal, properti ini memiliki bentuk untuk sembarang bilangan a. Sifat ini sangat mudah untuk dibenarkan: modulus suatu bilangan adalah jarak, dan jarak tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan negatif.
Mari beralih ke properti modul berikutnya. Modulus suatu bilangan adalah nol jika dan hanya jika bilangan tersebut nol. Modulus nol menurut definisinya adalah nol. Nol sama dengan titik asal; tidak ada titik lain pada garis koordinat yang sama dengan nol, karena setiap bilangan real dikaitkan dengan satu titik pada garis koordinat. Untuk alasan yang sama, bilangan apa pun selain nol berhubungan dengan titik yang berbeda dari titik asal. Dan jarak dari titik asal ke titik mana pun selain titik O tidaklah nol, karena jarak antara dua titik adalah nol jika dan hanya jika titik-titik tersebut bertepatan. Alasan di atas membuktikan bahwa hanya modulus nol yang sama dengan nol.
Teruskan. Bilangan-bilangan yang berlawanan mempunyai modulus yang sama, yaitu untuk sembarang bilangan a. Memang benar, dua titik pada garis koordinat yang koordinatnya merupakan bilangan-bilangan yang berlawanan, berada pada jarak yang sama dari titik asal, yang berarti modul-modul bilangan-bilangan yang berlawanan tersebut adalah sama.
Properti modul berikut adalah: Modulus hasil kali dua bilangan sama dengan hasil kali modulus bilangan-bilangan tersebut, itu adalah, . Berdasarkan definisinya, modulus hasil kali bilangan a dan b sama dengan a·b jika , atau −(a·b) jika . Dari aturan perkalian bilangan real dapat disimpulkan bahwa hasil kali modulus bilangan a dan b sama dengan a·b, , atau −(a·b) jika , yang membuktikan sifat yang dimaksud.
Modulus hasil bagi a dibagi b sama dengan hasil bagi modulus suatu bilangan dibagi modulus b, itu adalah, . Mari kita membenarkan properti modul ini. Karena hasil bagi sama dengan hasil kali, maka. Berdasarkan properti sebelumnya yang kita miliki 
. Yang tersisa hanyalah menggunakan persamaan, yang valid berdasarkan definisi modulus suatu bilangan.
Properti modul berikut ditulis sebagai pertidaksamaan: 
, a , b dan c adalah bilangan real sembarang. Ketimpangan tertulis tidak lebih dari itu pertidaksamaan segitiga. Untuk memperjelasnya, mari kita ambil titik A(a), B(b), C(c) pada garis koordinat, dan perhatikan segitiga ABC yang merosot, yang titik-titik sudutnya terletak pada garis yang sama. Menurut definisi, modulus selisihnya sama dengan panjang ruas AB, - panjang ruas AC, dan - panjang ruas CB. Karena panjang salah satu sisi suatu segitiga tidak melebihi jumlah panjang kedua sisi lainnya, maka pertidaksamaan tersebut benar 
, oleh karena itu, ketimpangan tersebut juga benar.
Ketimpangan yang baru saja dibuktikan lebih sering terjadi dalam bentuk ini 
. Pertidaksamaan tertulis biasanya dianggap sebagai sifat tersendiri dari modul dengan rumusan: “ Modulus jumlah dua bilangan tidak melebihi jumlah modulus bilangan-bilangan tersebut" Namun pertidaksamaan tersebut muncul langsung dari pertidaksamaan tersebut jika kita menempatkan −b sebagai pengganti b dan mengambil c=0.
Modulus bilangan kompleks
Mari kita memberi definisi modulus bilangan kompleks. Semoga itu diberikan kepada kita bilangan kompleks, ditulis dalam bentuk aljabar, di mana x dan y adalah beberapa bilangan real, masing-masing mewakili bagian nyata dan bagian imajiner dari suatu bilangan kompleks z, dan merupakan satuan imajiner.
Salah satu topik yang paling sulit bagi siswa adalah menyelesaikan persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulus. Mari kita cari tahu dulu apa hubungannya? Mengapa, misalnya, sebagian besar anak-anak memecahkan persamaan kuadrat seperti kacang, tetapi memiliki begitu banyak masalah dengan konsep yang jauh dari rumit seperti modul?
Menurut pendapat saya, semua kesulitan ini disebabkan oleh kurangnya aturan yang dirumuskan dengan jelas untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Jadi, putuskan persamaan kuadrat, siswa mengetahui dengan pasti bahwa ia perlu menerapkan rumus diskriminan terlebih dahulu, baru kemudian rumus akar-akar persamaan kuadrat. Apa yang harus dilakukan jika modulus ditemukan dalam persamaan? Kami akan mencoba menjelaskan dengan jelas rencana tindakan yang diperlukan untuk kasus ketika persamaan mengandung hal yang tidak diketahui di bawah tanda modulus. Kami akan memberikan beberapa contoh untuk setiap kasus.
Tapi pertama-tama, mari kita ingat definisi modul. Jadi, modulo nomornya A nomor ini sendiri disebut jika A non-negatif dan -A, jika nomor A kurang dari nol. Anda dapat menulisnya seperti ini:
|sebuah| = a jika a ≥ 0 dan |a| = -a jika a< 0
Berbicara tentang arti geometri modul, harus diingat bahwa setiap bilangan real berhubungan dengan titik tertentu pada sumbu bilangan - itu 
koordinat. Jadi, modul atau nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak dari titik tersebut ke titik asal sumbu bilangan. Jarak selalu ditentukan sebagai bilangan positif. Jadi, modulus bilangan negatif adalah bilangan positif. Ngomong-ngomong, bahkan pada tahap ini, banyak siswa yang mulai bingung. Modul bisa berisi bilangan apa saja, namun hasil penggunaan modul selalu berupa bilangan positif.
Sekarang mari kita langsung menyelesaikan persamaannya.
1. Perhatikan persamaan bentuk |x| = c, dimana c adalah bilangan real. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan definisi modulus.
Kita membagi semua bilangan real menjadi tiga kelompok: bilangan yang lebih besar dari nol, bilangan yang lebih kecil dari nol, dan golongan ketiga adalah bilangan 0. Kita tuliskan penyelesaiannya dalam bentuk diagram:
(±c, jika c > 0
Jika |x| = c, maka x = (0, jika c = 0
(tidak ada akar jika dengan< 0
1) |x| = 5, karena 5 > 0, maka x = ±5;
2) |x| = -5, karena -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, maka x = 0.
2. Persamaan bentuk |f(x)| = b, dimana b > 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini, modul harus dihilangkan. Kita melakukannya dengan cara ini: f(x) = b atau f(x) = -b. Sekarang Anda perlu menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan secara terpisah. Jika pada persamaan awal b< 0, решений не будет.
1) |x+2| = 4, karena 4 > 0, lalu
x + 2 = 4 atau x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, karena 11 > 0, lalu
x 2 – 5 = 11 atau x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 tanpa akar
3) |x 2 – 5x| = -8, karena -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Persamaan berbentuk |f(x)| =g(x). Menurut pengertian modulnya, persamaan tersebut akan mempunyai solusi jika bagian kanan lebih besar dari atau sama dengan nol, yaitu g(x) ≥ 0. Maka kita akan mendapatkan:
f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Persamaan ini akan berakar jika 5x – 10 ≥ 0. Di sinilah penyelesaian persamaan tersebut dimulai.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Solusi:
2x – 1 = 5x – 10 atau 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Kami menggabungkan O.D.Z. dan penyelesaiannya, kita peroleh:
Akar x = 11/7 tidak sesuai dengan O.D.Z., kurang dari 2, tetapi x = 3 memenuhi kondisi ini.
Jawaban: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Selesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan metode interval:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Solusi:
x – 1 = 1 – x 2 atau x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 atau x = 1 x = 0 atau x = 1
3. Kami menggabungkan solusi dan O.D.Z.:
Hanya akar x = 1 dan x = 0 yang cocok.
Jawaban: x = 0, x = 1.
4. Persamaan bentuk |f(x)| = |g(x)|. Persamaan tersebut setara dengan dua persamaan berikut f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Persamaan ini setara dengan dua persamaan berikut:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 atau x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 atau x = 4 x = 2 atau x = 1
Jawaban: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Persamaan diselesaikan dengan metode substitusi (penggantian variabel). Metode solusi ini paling mudah dijelaskan di contoh spesifik. Jadi, diberikan persamaan kuadrat dengan modulus:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Berdasarkan sifat modulus x 2 = |x| 2, sehingga persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Mari kita lakukan penggantian |x| = t ≥ 0, maka diperoleh:
t 2 – 6t + 5 = 0. Dengan menyelesaikan persamaan ini, kita mendapatkan bahwa t = 1 atau t = 5. Mari kita kembali ke penggantian:
|x| = 1 atau |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Jawaban: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Mari kita lihat contoh lainnya:
x 2 + |x| – 2 = 0. Berdasarkan sifat modulus x 2 = |x| 2, oleh karena itu
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Mari kita lakukan penggantian |x| = t ≥ 0, maka:
t 2 + t – 2 = 0. Selesaikan persamaan ini, kita peroleh t = -2 atau t = 1. Mari kembali ke penggantian:
|x| = -2 atau |x| = 1
Tidak ada akar x = ± 1
Jawaban: x = -1, x = 1.
6. Jenis persamaan lainnya adalah persamaan dengan modulus “kompleks”. Persamaan tersebut mencakup persamaan yang memiliki “modul di dalam modul”. Persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan menggunakan properti modul.
1) |3 – |x|| = 4. Kita akan bertindak dengan cara yang sama seperti persamaan tipe kedua. Karena 4 > 0, maka kita mendapatkan dua persamaan:
3 – |x| = 4 atau 3 – |x| = -4.
Sekarang mari kita nyatakan modulus x pada setiap persamaan, lalu |x| = -1 atau |x| = 7.
Kami menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan. Tidak ada akar pada persamaan pertama, karena -1< 0, а во втором x = ±7.
Jawab x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Kita selesaikan persamaan ini dengan cara yang sama:
3 + |x + 1| = 5 atau 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 atau x + 1 = -2. Tidak ada akar.
Jawaban: x = -3, x = 1.
Ada juga metode universal menyelesaikan persamaan dengan modulus. Ini adalah metode interval. Tapi kita akan melihatnya nanti.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Tochilkina Yulia
Karya ini menyajikan berbagai metode untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus.
Unduh:
Pratinjau:
Lembaga pendidikan anggaran kota
"Rata-rata sekolah yang komprehensif Nomor 59"
Persamaan dengan modulus
Pekerjaan abstrak
Dilakukan 9Seorang siswa kelas
MBOU "Sekolah Menengah No. 59" Barnaul
Tochilkina Yulia
Pengawas
Zakharova Lyudmila Vladimirovna,
guru matematika
MBOU "Sekolah Menengah No. 59" Barnaul
Barnaul 2015
Perkenalan
Saya di kelas sembilan. Tahun ajaran ini saya harus mengambil sertifikasi akhir untuk kursus sekolah dasar. Untuk mempersiapkan ujian, kami membeli koleksi Matematika D. A. Maltsev. kelas 9. Melihat-lihat koleksinya, saya menemukan persamaan yang tidak hanya berisi satu, tetapi juga beberapa modul. Guru menjelaskan kepada saya dan teman sekelas saya bahwa persamaan seperti itu disebut persamaan “modul bersarang”. Nama ini tampak tidak biasa bagi kami, dan solusinya, pada pandangan pertama, cukup rumit. Beginilah topik karya saya “Persamaan dengan modulus” muncul. Saya memutuskan untuk mempelajari topik ini lebih dalam, terutama karena akan berguna bagi saya ketika mengikuti ujian akhir tahun ajaran dan menurut saya akan diperlukan di kelas 10 dan 11. Semua hal di atas menentukan relevansi topik yang saya pilih.
Tujuan pekerjaan :
- Mempertimbangkan berbagai metode menyelesaikan persamaan dengan modulus.
- Belajar menyelesaikan persamaan yang mengandung tanda nilai mutlak, berbagai metode
Untuk mengerjakan topik tersebut, tugas-tugas berikut dirumuskan:
Tugas:
- Mengeksplorasi materi teori pada topik “Modulus bilangan real”.
- Pertimbangkan metode untuk memecahkan persamaan dan mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dengan memecahkan masalah.
- Menerapkan ilmu yang diperoleh saat menyelesaikan berbagai persamaan yang mengandung tanda modulus di sekolah menengah
Objek studi:metode untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus
Subyek studi:persamaan dengan modulus
Metode penelitian:
Teoretis : studi literatur tentang topik penelitian;
Internet - informasi.
Analisis informasi yang diperoleh dari studi literatur; hasil yang diperoleh saat menyelesaikan persamaan dengan modulus cara yang berbeda.
Perbandingan metode penyelesaian persamaan tergantung pada rasionalitas penggunaannya dalam menyelesaikan berbagai persamaan dengan modulus.
“Kami mulai berpikir ketika kami menabrak sesuatu.” Paulus Valery.
1. Konsep dan definisi.
Konsep “modul” banyak digunakan di banyak bagian mata pelajaran matematika sekolah, misalnya, ketika mempelajari kesalahan absolut dan relatif dari suatu bilangan perkiraan; dalam geometri dan fisika konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor) dipelajari. Konsep modul diterapkan dalam kursus matematika yang lebih tinggi, ilmu fisika dan teknik dipelajari di lembaga pendidikan tinggi.
Kata “modul” berasal dari bahasa latin “modulus” yang berarti “mengukur”. Kata ini memiliki banyak arti dan digunakan tidak hanya dalam matematika, fisika dan teknologi, tetapi juga dalam arsitektur, pemrograman dan ilmu eksakta lainnya.
Istilah tersebut diyakini dikemukakan oleh Cotes, murid Newton. Tanda modulus diperkenalkan pada abad ke-19 oleh Weierstrass.
Dalam arsitektur, modul adalah unit pengukuran awal yang ditetapkan untuk struktur arsitektur tertentu.
Dalam teknologi, ini adalah istilah yang digunakan dalam berbagai bidang teknologi, digunakan untuk menyebut berbagai koefisien dan besaran, misalnya modulus elastisitas, modulus pengikatan...
Dalam matematika, modulus memiliki beberapa arti, namun saya akan menganggapnya sebagai nilai mutlak suatu bilangan.
Definisi1: Modulus (nilai absolut) suatu bilangan real A nomor ini sendiri disebut jika A ≥0, atau angka sebaliknya – dan jika A modulus nol adalah nol.
Saat menyelesaikan persamaan dengan modulus, akan lebih mudah jika menggunakan properti modulus.
Mari kita perhatikan bukti sifat 5,6,7.
Pernyataan 5. Persamaan │ a+b │=│ a │+│ b │ benar jika rata-rata ≥ 0.
Bukti. Memang, setelah mengkuadratkan kedua sisi persamaan ini, kita memperoleh │ a+b │²=│ a │²+2│ ab │+│ c │²,
a²+ 2 ab+b²=a²+ 2│ ab │+ b², dari mana │ ab │= ab
Dan persamaan terakhir akan menjadi kenyataan ketika rata-rata ≥0.
Pernyataan 6. Persamaan │ a-c │=│ a │+│ c │ benar bila av ≤0.
Bukti. Untuk membuktikannya, cukuplah pada persamaan
│ а+в │=│ а │+│ в │ ganti в dengan - в, lalu а· (- в ) ≥0, sehingga ав ≤0.
Pernyataan 7. Persamaan │ a │+│ b │= a+b dilakukan di a ≥0 dan b ≥0.
Bukti . Setelah mempertimbangkan empat kasus a ≥0 dan b ≥0; a ≥0 dan c A dalam ≥0; A V a ≥0 dan b ≥0.
(a-c) dalam ≥0.
Interpretasi geometris
|sebuah| - ini adalah jarak pada garis koordinat dari titik yang berkoordinat A , ke asal.
|-sebuah| |sebuah|
SEBUAH 0 x
Interpretasi geometris tentang arti |a| dengan jelas menegaskan bahwa |-a|=|a|
Jika sebuah 0, maka pada garis koordinat ada dua titik a dan –a yang berjarak sama dari nol, yang modulusnya sama.
Jika a=0, maka pada garis koordinat |a| diwakili oleh titik 0.
Definisi 2: Persamaan dengan modulus adalah persamaan yang memuat variabel yang berada di bawah tanda nilai mutlak (di bawah tanda modulus). Misalnya: |x +3|=1
Definisi 3: Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan semua akar-akarnya, atau membuktikan bahwa tidak ada akar-akarnya.
2. Metode penyelesaian
Dari pengertian dan sifat-sifat modul, metode utama penyelesaian persamaan dengan modul adalah sebagai berikut:
- "Memperluas" modul (yaitu menggunakan definisi);
- Menggunakan makna geometris modul (properti 2);
- Metode solusi grafis;
- Menggunakan transformasi yang setara (properti 4.6);
- Penggantian variabel (ini menggunakan properti 5).
- Metode interval.
Aku sudah cukup memutuskan sejumlah besar contoh, tetapi dalam karya ini saya sampaikan kepada Anda hanya beberapa, menurut saya, contoh tipikal, diselesaikan dengan berbagai cara, karena sisanya saling menduplikasi dan untuk memahami cara menyelesaikan persamaan dengan modulus tidak perlu pertimbangkan semua contoh yang diselesaikan.
PENYELESAIAN PERSAMAAN | f(x)| = A
Perhatikan persamaan | f(x)| = sebuah, sebuah R
Persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan definisi modulus:
Jika A maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar.
Jika sebuah= 0, maka persamaan tersebut ekuivalen dengan f(x)=0.
Jika a>0, maka persamaan tersebut ekuivalen dengan himpunan tersebut
Contoh. Selesaikan persamaan |3x+2|=4.
Larutan.
|3x+2|=4, maka 3x+2=4,
3x+2= -4;
X=-2,
X=2/3
JAWABAN: -2;2/3.
PENYELESAIAN PERSAMAAN MENGGUNAKAN SIFAT GEOMETRI MODUL.
Contoh 1. Selesaikan persamaan /x-1/+/x-3/=6.
Larutan.
Menyelesaikan persamaan ini berarti menemukan semua titik tersebut pada sumbu numerik Ox, yang masing-masing titik tersebut jumlah jaraknya ke titik-titik dengan koordinat 1 dan 3 sama dengan 6.
Tidak ada satu titik pun dari segmen tersebuttidak memenuhi kondisi ini, karena jumlah jarak yang ditunjukkan adalah 2. Di luar ruas ini ada dua titik: 5 dan -1.
1 1 3 5
Jawaban: -1;5
Contoh 2. Selesaikan persamaan |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.
Larutan.
Mari kita nyatakan x 2 +x-5= a, lalu / a /+/ a-4 /=10. Mari kita cari titik-titik pada sumbu Ox sedemikian rupa sehingga untuk masing-masing titik tersebut jumlah jarak ke titik-titik dengan koordinat 0 dan 4 sama dengan 10. Kondisi ini dipenuhi oleh -4 dan 7.
3 0 4 7
Jadi x 2 +x-5= 4 x 2 +x-5=7
x 2 +x-2=0 x 2 +x-12=0
X 1= 1, x 2= -2 x 1= -4, x 2= 3 Jawaban: -4;-2; 1; 3.
PENYELESAIAN PERSAMAAN | f(x)| = | g(x)|.
- Sejak | a |=|di |, jika a= di, maka persamaan bentuk | f(x)| = | g(x )| setara dengan totalitas
Contoh 1.
Selesaikan persamaan | x –2| = |3 – x |.
Larutan.
Persamaan ini setara dengan dua persamaan:
x – 2 = 3 – x (1) dan x – 2 = –3 + x (2)
2x = 5 –2 = –3 – salah
X = 2,5 persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
JAWABAN: 2.5.
Contoh 2.
Selesaikan persamaan |x 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.
Larutan.
Karena kedua ruas persamaan tersebut non-negatif, makamengkuadratkan adalah transformasi yang setara:
(x 2 +3x-20) 2 = (x 2 -3x+2) 2
(x 2 +3x-20) 2 - (x 2 -3x+2) 2 =0,
(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,
(6x-22)(2x 2 -18)=0,
6x-22=0 atau 2x 2 -18=0;
X=22/6, x=3, x=-3.
X=11/3
Jawaban: -3; 3; 11/3.
SOLUSI PERSAMAAN TAMPILAN | f(x)| =g(x).
Perbedaan antara persamaan ini dan| f(x)| = sebuah fakta bahwa ruas kanan juga merupakan variabel. Dan itu bisa positif dan negatif. Oleh karena itu, Anda perlu memverifikasi non-negatifnya secara khusus, karena modulusnya tidak bisa sama dengan angka negatif(Properti№1 )
1 cara
Solusi persamaan | f(x)| =g(x ) direduksi menjadi himpunan solusi persamaandan memeriksa keadilan dari kesenjangan g(x )>0 untuk nilai yang ditemukan dari hal yang tidak diketahui.
Metode 2 (menurut definisi modul)
Sejak | f(x)| = g(x) jika f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) jika f(x)
Contoh.
Selesaikan persamaan |3 x –10| = x – 2.
Larutan.
Persamaan ini setara dengan kombinasi dua sistem:
JAWABAN: 3; 4.
SOLUSI PERSAMAAN BENTUK |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)
Penyelesaian persamaan jenis ini didasarkan pada definisi modulus. Untuk setiap fungsi f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) perlu mencari domain definisi, titik nol dan titik diskontinuitasnya, membagi domain umum definisi menjadi interval-interval, yang masing-masing memiliki fungsi f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) mempertahankan tandanya. Selanjutnya, dengan menggunakan definisi modul, untuk setiap luas yang ditemukan kita memperoleh persamaan yang harus diselesaikan pada interval ini. Metode ini disebut "metode interval»
Contoh.
Selesaikan persamaan |x-2|-3|x+4|=1.
Larutan.
Mari kita cari titik di mana ekspresi submodularnya sama dengan nol
x-2=0, x+4=0,
x=2; x=-4.
Mari kita bagi garis bilangan menjadi interval x
Memecahkan persamaan berarti menyelesaikan tiga sistem:
JAWABAN: -15, -1.8.
METODE GRAFIS UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN YANG MENGANDUNG TANDA MODUL.
Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan adalah perkiraan, karena keakuratannya bergantung pada segmen satuan yang dipilih, ketebalan pensil, sudut perpotongan garis, dll. Namun metode ini memungkinkan Anda memperkirakan berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tertentu.
Contoh. Selesaikan secara grafis persamaan |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9
Larutan. Mari kita buat grafik fungsi dalam satu sistem koordinat
kamu=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| dan y=9.
Untuk membuat grafik, Anda perlu mempertimbangkan fungsi ini pada setiap interval (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞ )
Jawaban: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )
Kami juga menggunakan metode transformasi ekuivalen saat menyelesaikan persamaan | f(x)| = | g(x)|.
PERSAMAAN DENGAN MODUL KOMPLEKS
Jenis persamaan lainnya adalah persamaan dengan modulus “kompleks”. Persamaan tersebut mencakup persamaan yang memiliki “modul di dalam modul”. Persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan menggunakan berbagai metode.
Contoh 1.
Selesaikan persamaan ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.
Larutan.
Berdasarkan definisi modul, kita mempunyai:
Mari kita selesaikan persamaan pertama.
- ||| x |–2| –1| = 4
| x | – 2 = 5;
| x | = 7;
x = 7.
Mari kita selesaikan persamaan kedua.
- ||| x | –2| –1| = 0,
|| x | –2| = 1,
| x | –2 = 1,
| x | = 3 dan | x | = 1,
x = 3; x = 1.
Jawaban 1; 3; 7.
Contoh 2.
Selesaikan persamaan |2 – |x + 1|| = 3.
Larutan.
Mari kita selesaikan persamaannya dengan memasukkan variabel baru.
Biarkan | x+1| = kamu, lalu |2 – kamu | = 3, dari sini
Mari lakukan penggantian terbalik:
(1) | X + 1| = –1 – tidak ada solusi.
(2) | x+1| = 5
JAWABAN: –6; 4.
Contoh3.
Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan | 2 | x | -6 | = 5 - x?
Larutan. Mari selesaikan persamaan menggunakan skema kesetaraan.
Persamaan | 2 | x | -6 | = 5 ekuivalen dengan sistem:
Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus seringkali menimbulkan kesulitan. Namun, jika Anda memahami dengan baik apa itu nilai mutlak suatu bilangan, Dan cara memperluas ekspresi yang mengandung tanda modulus dengan benar, maka kehadiran dalam persamaan ekspresi di bawah tanda modulus, tidak lagi menjadi hambatan bagi penyelesaiannya.
Sedikit teori. Setiap bilangan mempunyai dua ciri: nilai mutlak bilangan tersebut dan tandanya.
Misalnya, bilangan +5, atau sekadar 5, memiliki tanda “+” dan nilai absolutnya 5.
Angka -5 mempunyai tanda “-” dan nilai absolutnya 5.
Nilai mutlak bilangan 5 dan -5 adalah 5.
Nilai absolut suatu bilangan x disebut modulus bilangan tersebut dan dilambangkan dengan |x|.
Seperti yang kita lihat, modulus suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri jika bilangan tersebut lebih besar dari atau sama dengan nol, dan dengan bilangan yang bertanda berlawanan jika bilangan tersebut negatif.
Hal yang sama berlaku untuk ekspresi apa pun yang muncul di bawah tanda modulus.
Aturan perluasan modul terlihat seperti ini:
|f(x)|= f(x) jika f(x) ≥ 0, dan
|f(x)|= - f(x), jika f(x)< 0
Misalnya |x-3|=x-3, jika x-3≥0 dan |x-3|=-(x-3)=3-x, jika x-3<0.
Untuk menyelesaikan persamaan yang berisi ekspresi di bawah tanda modulus, Anda harus menyelesaikannya terlebih dahulu perluas modul sesuai dengan aturan perluasan modul.
Maka persamaan atau pertidaksamaan kita menjadi menjadi dua persamaan berbeda yang ada pada dua interval numerik berbeda.
Suatu persamaan terdapat pada interval numerik yang ekspresi di bawah tanda modulusnya adalah non-negatif.
Dan persamaan kedua ada pada interval di mana ekspresi di bawah tanda modulus bernilai negatif.
Mari kita lihat contoh sederhana.
Mari selesaikan persamaannya:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Mari kita buka modulnya.
|x-3|=x-3, jika x-3≥0, mis. jika x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x jika x-3<0, т.е. если х<3
2. Kami menerima dua interval numerik: x≥3 dan x<3.
Mari kita perhatikan persamaan mana yang persamaan aslinya diubah pada setiap interval:
A) Untuk x≥3 |x-3|=x-3, dan luka kita berbentuk:
Perhatian! Persamaan ini hanya ada pada interval x≥3!
Mari kita buka tanda kurung dan sajikan istilah serupa:
dan selesaikan persamaan ini.
Persamaan ini memiliki akar:
x 1 =0, x 2 =3
Perhatian! karena persamaan x-3=-x 2 +4x-3 hanya ada pada interval x≥3, kita hanya tertarik pada akar-akar yang termasuk dalam interval ini. Kondisi ini hanya dipenuhi oleh x 2 =3.
B) Pada x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Perhatian! Persamaan ini hanya ada pada interval x<3!
Mari kita buka tanda kurung dan sajikan istilah serupa. Kami mendapatkan persamaan:
x 1 =2, x 2 =3
Perhatian! karena persamaan 3-x=-x 2 +4x-3 hanya ada pada interval x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Jadi: dari interval pertama kita hanya mengambil akar x=3, dari interval kedua - akar x=2.
Di antara contoh per modul Seringkali ada persamaan yang perlu Anda temukan modul berakar pada sebuah modul, yaitu persamaan bentuk
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Jika k=0, artinya ruas kanan sama dengan konstanta (m), maka lebih mudah mencari penyelesaiannya persamaan dengan modul secara grafis. Di bawah ini adalah caranya pembukaan modul ganda menggunakan contoh-contoh yang umum dalam praktik. Pahami algoritma penghitungan persamaan dengan modul dengan baik, agar tidak kesulitan saat kuis, ulangan, dan sekedar tahu.
Contoh 1. Selesaikan persamaan modulo |3|x|-5|=-2x-2.
Solusi: Selalu mulai membuka persamaan dari modul internal
|x|=0 <->x=0.
Pada titik x=0, persamaan dengan modulus dibagi 2.
Pada x< 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
Untuk x>0 atau sama, memperluas modul yang kita dapatkan
|3x-5|=-2x-2 .
Mari kita selesaikan persamaannya untuk variabel negatif (x< 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Dari persamaan pertama kita mendapatkan bahwa solusinya tidak boleh melebihi (-1), yaitu.
Keterbatasan ini sepenuhnya merupakan bagian dari bidang yang sedang kami selesaikan. Mari kita pindahkan variabel dan konstanta ke sisi persamaan yang berlawanan pada sistem pertama dan kedua
dan temukan solusinya 
Kedua nilai tersebut termasuk dalam interval yang sedang dipertimbangkan, yaitu akar.
Pertimbangkan persamaan dengan moduli untuk variabel positif
|3x-5|=-2x-2.
Memperluas modul kita mendapatkan dua sistem persamaan 
Dari persamaan pertama, yang umum pada kedua sistem, kita memperoleh kondisi yang lazim
yang, pada perpotongan dengan himpunan yang dicari penyelesaiannya, menghasilkan himpunan kosong (tidak ada titik potong). Jadi satu-satunya akar dari sebuah modul dengan modul adalah nilainya
x=-3; x=-1.4.
Contoh 2. Selesaikan persamaan dengan modulus ||x-1|-2|=3x-4.
Solusi: Mari kita mulai dengan membuka modul internal
|x-1|=0 <=>x=1.
Fungsi submodular berubah tanda satu. Untuk nilai yang lebih kecil bernilai negatif, untuk nilai yang lebih besar bernilai positif. Sesuai dengan ini, ketika modulus internal diperluas, kita memperoleh dua persamaan dengan modulus
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Pastikan untuk memeriksa sisi kanan persamaan modulus; itu harus lebih besar dari nol.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Artinya persamaan pertama tidak perlu diselesaikan karena persamaan tersebut ditulis untuk x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 atau x-3=4-3x;
4-3=3x-x atau x+3x=4+3;
2x=1 atau 4x=7;
x=1/2 atau x=7/4.
Kami menerima dua nilai, yang pertama ditolak karena tidak termasuk dalam interval yang diperlukan. Akhirnya, persamaan tersebut memiliki satu solusi x=7/4.
Contoh 3. Selesaikan persamaan dengan modulus ||2x-5|-1|=x+3.
Solusi: Mari kita buka modul internal
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2,5.
Titik x=2,5 membagi garis bilangan menjadi dua interval. Masing-masing, fungsi submodular berubah tanda saat melewati 2.5. Mari kita tuliskan kondisi penyelesaian di ruas kanan persamaan dengan modulus.
x+3>=0 -> x>=-3.
Jadi solusinya bisa bernilai tidak kurang dari (-3) . Mari kita perluas modul untuk nilai negatif dari modul internal
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Modul ini juga akan memberikan 2 persamaan ketika diperluas
-2x+4=x+3 atau 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 atau 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 atau x=7 .
Kita menolak nilai x=7, karena kita mencari solusi pada interval [-3;2.5]. Sekarang kita buka modul internal untuk x>2.5. Kami mendapatkan persamaan dengan satu modul
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Saat memperluas modul kita mendapatkan yang berikut ini persamaan linear
-2x+6=x+3 atau 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 atau 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 atau x=9 .
Nilai pertama x=1 tidak memenuhi kondisi x>2,5. Jadi pada interval ini kita mempunyai satu akar persamaan dengan modulus x=9, dan totalnya ada dua (x=1/3). Dengan substitusi, Anda dapat memeriksa kebenaran perhitungan yang dilakukan
Jawaban: x=1/3; x=9.
Contoh 4. Temukan solusi modul ganda ||3x-1|-5|=2x-3.
Solusi: Mari kita perluas modul internal persamaan tersebut
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
Titik x=2,5 membagi garis bilangan menjadi dua interval, dan persamaan yang diberikan untuk dua kasus. Kita tuliskan syarat penyelesaiannya berdasarkan bentuk persamaan di ruas kanan
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Oleh karena itu kami tertarik pada nilai >=1,5. Dengan demikian persamaan modular pertimbangkan pada dua interval
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Modul yang dihasilkan, jika diperluas, dibagi menjadi 2 persamaan
-3x-4=2x-3 atau 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 atau 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 atau x=-7 .
Kedua nilai tersebut tidak termasuk dalam interval, artinya bukan merupakan solusi persamaan dengan moduli. Selanjutnya, kita akan memperluas modul untuk x>2.5. Kami mendapatkan persamaan berikut
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Memperluas modul, kita mendapatkan 2 persamaan linier
3x-6=2x-3 atau –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 atau 2x+3x=6+3;
x=3 atau 5x=9; x=9/5=1,8.
Nilai kedua yang ditemukan tidak sesuai dengan kondisi x>2,5, kami tolak.
Akhirnya kita memiliki satu akar persamaan dengan moduli x=3.
Melakukan pemeriksaan
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Akar persamaan dengan modulus dihitung dengan benar.
Jawaban: x=1/3; x=9.