Pendahuluan…………………………………………………………………………………3
1. Nilai vektor dan skalar…………………………………….4
2. Pengertian proyeksi, sumbu dan koordinat suatu titik………………...5
3. Proyeksi vektor ke sumbu…………………………………………………...6
4. Rumus dasar aljabar vektor……………………………..8
5. Perhitungan modulus suatu vektor dari proyeksinya…………………...9
Kesimpulan………………………………………………………………………...11
Sastra…………………………………………………………………………………...12
Perkenalan:
Fisika terkait erat dengan matematika. Matematika memberi fisika sarana dan teknik untuk menyatakan hubungan antara besaran-besaran fisis secara umum dan tepat yang ditemukan sebagai hasil eksperimen atau penelitian teoretis.Bagaimanapun, metode utama penelitian dalam fisika adalah eksperimental. Artinya seorang ilmuwan mengungkapkan perhitungan dengan menggunakan pengukuran. Menunjukkan hubungan antara berbagai kuantitas fisik. Kemudian semuanya diterjemahkan ke dalam bahasa matematika. Terbentuk model matematika. Fisika merupakan ilmu yang mempelajari paling sederhana dan sekaligus paling banyak pola umum. Tugas fisika adalah menciptakan dalam pikiran kita gambaran dunia fisik yang paling mencerminkan sifat-sifatnya dan memastikan hubungan antara elemen-elemen model yang ada antar elemen.
Jadi, fisika menciptakan model dunia sekitar kita dan mempelajari sifat-sifatnya. Namun model apa pun terbatas. Saat membuat model fenomena tertentu, hanya properti dan koneksi yang penting untuk rentang fenomena tertentu yang diperhitungkan. Ini adalah seni seorang ilmuwan - untuk memilih hal utama dari semua keragaman.
Model fisik bersifat matematis, tetapi matematika bukanlah landasannya. Hubungan kuantitatif antara besaran fisis ditentukan sebagai hasil pengukuran, observasi dan studi eksperimental dan hanya diungkapkan dalam bahasa matematika. Namun, tidak ada bahasa lain untuk membangun teori fisika.
1. Pengertian vektor dan skalar.
Dalam fisika dan matematika, vektor adalah besaran yang dicirikan oleh nilai numerik dan arahnya. Dalam ilmu fisika banyak sekali besaran-besaran penting yang bersifat vektor, misalnya gaya, posisi, kecepatan, percepatan, torsi, momentum, kuat medan listrik dan magnet. Besaran-besaran tersebut dapat dibandingkan dengan besaran-besaran lain seperti massa, volume, tekanan, suhu dan massa jenis, yang dapat dinyatakan dengan bilangan biasa, dan disebut " skalar" .
Mereka ditulis dengan huruf biasa atau angka (a, b, t, G, 5, −7....). Besaran skalar bisa positif atau negatif. Pada saat yang sama, beberapa objek studi mungkin memiliki sifat-sifat seperti itu deskripsi lengkap Karena pengetahuan tentang ukuran numerik saja tidak cukup, sifat-sifat ini juga perlu dikarakterisasi berdasarkan arah dalam ruang. Sifat-sifat tersebut dicirikan oleh besaran vektor (vektor). Vektor, tidak seperti skalar, dilambangkan dengan huruf tebal: a, b, g, F, C....
Seringkali vektor dilambangkan dengan huruf biasa (tidak tebal), tetapi dengan panah di atasnya:
Selain itu, vektor sering kali dilambangkan dengan sepasang huruf (biasanya menggunakan huruf kapital), dengan huruf pertama menunjukkan awal vektor dan huruf kedua menunjukkan akhir.
Modulus suatu vektor, yaitu panjang suatu ruas garis lurus berarah, dinyatakan dengan huruf yang sama dengan vektor itu sendiri, tetapi dengan penulisan biasa (tidak tebal) dan tanpa tanda panah di atasnya, atau dengan cara yang persis sama. sebagai vektor (yaitu, dicetak tebal atau teratur, tetapi dengan panah), tetapi penunjukan vektor diapit dengan tanda hubung vertikal.
Vektor adalah suatu benda kompleks yang secara simultan dicirikan oleh besaran dan arahnya.
Juga tidak ada vektor positif dan negatif. Tapi vektor bisa sama satu sama lain. Ini terjadi ketika, misalnya, a dan b memiliki modul yang sama dan diarahkan ke arah yang sama. Dalam hal ini notasinya benar A= b. Perlu juga diingat bahwa simbol vektor dapat diawali dengan tanda minus, misalnya - c, namun tanda ini secara simbolis menunjukkan bahwa vektor -c mempunyai modulus yang sama dengan vektor c, tetapi arahnya berlawanan. arah.
Vektor -c disebut kebalikan (atau kebalikan) dari vektor c.
Dalam fisika, setiap vektor diisi dengan konten tertentu, dan ketika membandingkan vektor-vektor dengan jenis yang sama (misalnya gaya), poin penerapannya juga bisa menjadi signifikan.
2. Penentuan proyeksi, sumbu dan koordinat suatu titik.
Sumbu- Ini adalah garis lurus yang diberi arah tertentu.
Suatu sumbu dilambangkan dengan beberapa huruf: X, Y, Z, s, t... Biasanya sebuah titik dipilih (secara sewenang-wenang) pada sumbu, yang disebut titik asal dan, biasanya, dilambangkan dengan huruf O. Dari titik ini jarak ke tempat menarik lainnya diukur.
Proyeksi suatu titik pada suatu sumbu adalah alas suatu garis tegak lurus yang ditarik dari titik ini ke suatu sumbu tertentu. Artinya, proyeksi suatu titik pada sumbunya adalah sebuah titik.
Koordinat titik pada sumbu ini disebut bilangan, nilai mutlak yang sama dengan panjang segmen sumbu (pada skala yang dipilih) yang berada di antara titik asal sumbu dan proyeksi titik ke sumbu tersebut. Angka ini diambil dengan tanda plus jika proyeksi titik tersebut terletak pada arah sumbu dari titik asal dan dengan tanda minus jika berlawanan arah.
3. Proyeksi vektor ke sumbu.
Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu adalah vektor yang diperoleh dengan mengalikan proyeksi skalar suatu vektor pada sumbu tersebut dan vektor satuan pada sumbu tersebut. Misalnya, jika a x adalah proyeksi skalar vektor a pada sumbu X, maka a x ·i adalah proyeksi vektornya pada sumbu tersebut.
Mari kita nyatakan proyeksi vektor dengan cara yang sama seperti vektor itu sendiri, tetapi dengan indeks sumbu di mana vektor tersebut diproyeksikan. Jadi, proyeksi vektor dari vektor a ke sumbu X dilambangkan dengan ax (huruf tebal yang menunjukkan vektor dan subskrip dari nama sumbu) atau
(huruf tebal rendah yang menunjukkan vektor, tetapi dengan panah di bagian atas (!) dan subskrip untuk nama sumbu).
Proyeksi skalar vektor per sumbu disebut nomor, yang nilai absolutnya sama dengan panjang segmen sumbu (pada skala yang dipilih) yang berada di antara proyeksi titik awal dan titik akhir vektor. Biasanya bukan ekspresi proyeksi skalar mereka hanya mengatakan - proyeksi. Proyeksi dilambangkan dengan huruf yang sama dengan vektor yang diproyeksikan (dalam penulisan normal, tidak tebal), dengan indeks yang lebih rendah (sebagai aturan) dari nama sumbu di mana vektor ini diproyeksikan. Misalnya, jika sebuah vektor diproyeksikan ke sumbu X A, maka proyeksinya dilambangkan dengan ax. Ketika memproyeksikan vektor yang sama ke sumbu lain, jika sumbunya adalah Y, proyeksinya akan dilambangkan dengan y.
Untuk menghitung proyeksi vektor pada suatu sumbu (misalnya sumbu X), koordinat titik awal perlu dikurangi dari koordinat titik akhirnya, yaitu
ax = xk − xn.
Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu adalah suatu bilangan. Apalagi proyeksinya bisa positif jika nilai x k lebih besar dari nilai x n,
negatif jika nilai x k lebih kecil dari nilai x n
dan sama dengan nol jika x k sama dengan x n.
Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu juga dapat diketahui dengan mengetahui modulus vektor dan sudut yang dibentuknya terhadap sumbu tersebut.
Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa a x = a Cos α
Artinya, proyeksi vektor ke sumbu sama dengan hasil kali modulus vektor dan kosinus sudut antara arah sumbu dan arah vektor. Jika sudutnya lancip, maka
Cos α > 0 dan a x > 0, dan jika tumpul, maka kosinus sudut tumpul tersebut negatif, dan proyeksi vektor ke sumbu juga akan negatif.
Sudut yang diukur dari sumbu berlawanan arah jarum jam dianggap positif, dan sudut yang diukur sepanjang sumbu dianggap negatif. Namun, karena kosinus merupakan fungsi genap, yaitu Cos α = Cos (− α), saat menghitung proyeksi, sudut dapat dihitung searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam.
Untuk mencari proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu, modulus vektor tersebut harus dikalikan dengan kosinus sudut antara arah sumbu dan arah vektor.
4. Rumus dasar aljabar vektor.
Mari kita memproyeksikan vektor a pada sumbu X dan Y dari sistem koordinat persegi panjang. Mari kita cari proyeksi vektor dari vektor a pada sumbu berikut:
ax = ax ·i, dan y = ay ·j.
Namun sesuai dengan aturan penjumlahan vektor
a = ax + ay.
a = axi + ayj.
Jadi, kami menyatakan vektor dalam proyeksinya dan vektor sistem koordinat persegi panjang (atau dalam proyeksi vektornya).
Proyeksi vektor ax dan ay disebut komponen atau komponen vektor a. Operasi yang kami lakukan disebut penguraian vektor sepanjang sumbu sistem koordinat persegi panjang.
Jika vektor diberikan dalam ruang, maka
a = a x i + a y j + a z k.
Rumus ini disebut rumus dasar aljabar vektor. Tentu saja bisa ditulis seperti ini.
Banyak besaran fisis yang ditentukan seluruhnya dengan menentukan bilangan tertentu. Ini misalnya volume, massa, massa jenis, suhu benda, dll. Besaran seperti itu disebut skalar. Oleh karena itu, bilangan terkadang disebut skalar. Namun ada juga besaran yang ditentukan dengan menentukan tidak hanya angka, tetapi juga arah tertentu. Misalnya, ketika suatu benda bergerak, Anda harus menunjukkan tidak hanya kecepatan gerak benda tersebut, tetapi juga arah pergerakannya. Dengan cara yang sama, ketika mempelajari aksi suatu gaya, perlu untuk menunjukkan tidak hanya besarnya gaya ini, tetapi juga arah aksinya. Besaran yang demikian disebut vektor. Untuk mendeskripsikannya, konsep vektor diperkenalkan, yang ternyata berguna untuk matematika.
Definisi vektor
Setiap pasangan terurut titik A ke B dalam ruang terdefinisi segmen terarah, yaitu. suatu segmen beserta arah yang ditentukan di atasnya. Jika titik A adalah titik pertama, maka titik tersebut disebut awal ruas berarah, dan titik B adalah ujungnya. Arah suatu segmen dianggap sebagai arah dari awal hingga akhir.
Definisi
Segmen berarah disebut vektor.
Kita akan menyatakan suatu vektor dengan simbol \(\overrightarrow(AB) \), dengan huruf pertama menunjukkan awal vektor, dan huruf kedua menunjukkan akhir vektor.
Vektor yang awal dan akhirnya berimpit disebut nol dan dilambangkan dengan \(\vec(0)\) atau cukup 0.
Jarak antara titik awal dan titik akhir suatu vektor disebut jaraknya panjang dan dilambangkan dengan \(|\overrightarrow(AB)| \) atau \(|\vec(a)| \).
Vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) dipanggil segaris, jika keduanya terletak pada satu garis atau sejajar. Vektor-vektor yang segaris dapat mempunyai arah yang sama atau berlawanan.
Sekarang kita dapat merumuskan konsep penting persamaan dua vektor.
Definisi
Vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) dikatakan sama (\(\vec(a) = \vec(b) \)) jika keduanya segaris, mempunyai persamaan arah dan panjangnya sama.
Pada Gambar. Gambar 1 menunjukkan vektor-vektor tak sama di sebelah kiri dan vektor-vektor sama besar \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) di sebelah kanan. Dari definisi persamaan vektor dapat disimpulkan bahwa jika suatu vektor tertentu dipindahkan sejajar dengan vektor itu sendiri, maka hasilnya adalah vektor yang sama dengan vektor tersebut. Dalam hal ini, vektor dalam geometri analitik disebut bebas.
Proyeksi vektor ke sumbu
Misalkan sumbu \(u\) dan beberapa vektor \(\overrightarrow(AB)\) diberikan dalam ruang. Mari kita menggambar bidang yang tegak lurus sumbu \(u\) melalui titik A dan B. Mari kita nyatakan dengan A" dan B" titik potong bidang-bidang ini dengan sumbunya (lihat Gambar 2).
Proyeksi vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada sumbu \(u\) adalah nilai A"B" dari ruas berarah A"B" pada sumbu \(u\). Izinkan kami mengingatkan Anda akan hal itu
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , jika arah \(\overrightarrow(A"B") \) berimpit dengan arah sumbu \(u\),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , jika arah \(\overrightarrow(A"B") \) berlawanan dengan arah sumbu \(u\),
Proyeksi vektor \(\overrightarrow(AB)\) pada sumbu \(u\) dinotasikan sebagai berikut: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).
Dalil
Proyeksi vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada sumbu \(u\) sama dengan panjang vektor \(\overrightarrow(AB) \) dikalikan kosinus sudut antara vektor \ (\overrightarrow(AB) \) dan sumbu \( u\) , yaitu
Komentar
Misalkan \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) dan beberapa sumbu \(u\) ditentukan. Menerapkan rumus teorema untuk masing-masing vektor ini, kita memperoleh
Proyeksi vektor pada sumbu koordinat
Mari kita diberikan di luar angkasa sistem persegi panjang koordinat Oxyz dan vektor sembarang \(\overrightarrow(AB)\). Misalkan, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Proyeksi vektor X, Y, Z \(\overrightarrow(AB)\) pada sumbu koordinat disebut koordinat. Pada saat yang sama mereka menulis
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)
Dalil
Apapun dua titik A(x 1 ; y 1 ; z 1) dan B(x 2 ; y 2 ; z 2), koordinat vektor \(\overrightarrow(AB) \) ditentukan dengan rumus berikut :
X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1
Komentar
Jika vektor \(\overrightarrow(AB) \) meninggalkan titik asal, mis. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, maka koordinat X, Y, Z dari vektor \(\overrightarrow(AB) \) sama dengan koordinat ujungnya:
X = x, Y = y, Z = z.
Kosinus arah suatu vektor
Misalkan suatu vektor sembarang \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); kita asumsikan \(\vec(a) \) keluar dari titik asal dan tidak terletak pada bidang koordinat mana pun. Mari kita menggambar bidang yang tegak lurus sumbu melalui titik A. Bersama-sama dengan bidang koordinat, mereka membentuk paralelepiped persegi panjang, yang diagonalnya adalah segmen OA (lihat gambar).
Dari geometri dasar diketahui kuadrat panjang diagonalnya paralelepiped persegi panjang sama dengan jumlah kuadrat panjang ketiga dimensinya. Karena itu,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Namun \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); demikianlah yang kita dapatkan
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
atau
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Rumus ini menyatakan panjang suatu vektor sembarang melalui koordinatnya.
Mari kita nyatakan dengan \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) sudut antara vektor \(\vec(a) \) dan sumbu koordinat. Dari rumus proyeksi vektor ke sumbu dan panjang vektor kita peroleh
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) disebut cosinus arah vektor \(\vec(a) \).
Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan dari masing-masing persamaan sebelumnya dan menjumlahkan hasilnya, kita dapatkan
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
itu. jumlah kuadrat cosinus arah suatu vektor sama dengan satu.
Operasi linier pada vektor dan sifat dasarnya
Operasi linier pada vektor adalah operasi penjumlahan dan pengurangan vektor serta perkalian vektor dengan bilangan.Penjumlahan dua vektor
Misalkan dua vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) diberikan. Jumlah \(\vec(a) + \vec(b) \) adalah vektor yang dimulai dari awal vektor \(\vec(a) \) hingga akhir vektor \(\vec(b) \) dengan syarat vektor \(\vec(b) \) menempel pada ujung vektor \(\vec(a) \) (lihat gambar).Komentar
Tindakan pengurangan vektor merupakan kebalikan dari tindakan penjumlahan, yaitu. selisih \(\vec(b) - \vec(a) \) vektor \(\vec(b) \) dan \(\vec(a) \) adalah suatu vektor yang jika dijumlahkan dengan vektor \(\ vec(a ) \) menghasilkan vektor \(\vec(b) \) (lihat gambar).
Komentar
Dengan menentukan jumlah dua vektor, Anda dapat mencari jumlah berapa pun vektor yang diberikan. Misalkan, diberikan tiga vektor \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Menambahkan \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \), kita memperoleh vektor \(\vec(a) + \vec(b) \). Sekarang dengan menambahkan vektor \(\vec(c) \), kita memperoleh vektor \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) 
Hasil kali vektor dan bilangan
Misalkan vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) dan bilangan \(\lambda \neq 0 \) diberikan. Hasil kali \(\lambda \vec(a) \) adalah suatu vektor yang segaris terhadap vektor \(\vec(a) \), mempunyai panjang sama dengan \(|\lambda| |\vec(a)| \), dan arahnya sama dengan vektor \(\vec(a) \) jika \(\lambda > 0 \), dan kebalikannya jika \(\lambda Arti geometris operasi perkalian vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) dengan bilangan \(\lambda \neq 0 \) dapat dinyatakan sebagai berikut: if \(|\lambda| >1 \ ), maka ketika vektor \(\vec(a) \) dikalikan dengan bilangan \(\lambda \) maka vektor \(\vec(a) \) “diregangkan” \(\lambda \) kali, dan jika \ (|\lambda| 1 \ ).Jika \(\lambda =0 \) atau \(\vec(a) = \vec(0) \), maka hasil kali \(\lambda \vec(a) \) dianggap sama dengan vektor nol.
Komentar
Dengan menggunakan definisi mengalikan suatu vektor dengan suatu bilangan, mudah untuk membuktikan bahwa jika vektor-vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) adalah segaris dan \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), maka terdapat (dan hanya satu) bilangan \(\lambda \) sehingga \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
Sifat dasar operasi linier
1. Sifat komutatif penjumlahan
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. Sifat kombinatif penjumlahan
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. Sifat kombinatif perkalian
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. Properti distributif relatif terhadap jumlah angka
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)
5. Sifat distributif terhadap jumlah vektor
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
Komentar
Sifat-sifat operasi linier ini sangat penting karena memungkinkan dilakukannya operasi aljabar biasa pada vektor. Misalnya, karena sifat 4 dan 5, Anda dapat mengalikan polinomial skalar dengan polinomial vektor “suku demi suku”.
Teorema proyeksi vektor
Dalil
Proyeksi jumlah dua vektor pada suatu sumbu sama dengan jumlah proyeksinya pada sumbu tersebut, yaitu.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
Teorema ini dapat digeneralisasikan pada kasus sejumlah suku berapa pun.
Dalil
Ketika vektor \(\vec(a) \) dikalikan dengan bilangan \(\lambda \), proyeksinya pada sumbu juga dikalikan dengan bilangan tersebut, yaitu. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)
Konsekuensi
Jika \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) dan \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), maka
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Konsekuensi
Jika \(\vec(a) = (x;y;z) \), maka \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) untuk nomor apa saja \(\lambda \)
Dari sini mudah untuk menyimpulkan kondisi kolinearitas dua vektor dalam koordinat.
Memang, persamaan \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) ekuivalen dengan persamaan \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) atau
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) yaitu vektor-vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) segaris jika dan hanya jika koordinatnya proporsional.
Penguraian vektor menjadi basis
Misalkan vektor \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) adalah vektor satuan dari sumbu koordinat, yaitu \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), dan masing-masing berarah sama dengan sumbu koordinat yang bersesuaian (lihat gambar). Tripel vektor \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) disebut dasar.
Teorema berikut berlaku.
Dalil
Setiap vektor \(\vec(a) \) dapat diperluas secara unik pada basis \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), mis. disajikan sebagai
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
dimana \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) adalah beberapa angka. 
Sumbu adalah arahnya. Artinya proyeksi pada suatu sumbu atau pada garis berarah dianggap sama. Proyeksi dapat berbentuk aljabar atau geometris. Dalam istilah geometri, proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu dipahami sebagai vektor, dan dalam istilah aljabar dipahami sebagai bilangan. Artinya, konsep proyeksi vektor ke suatu sumbu dan proyeksi numerik suatu vektor ke suatu sumbu digunakan.
Yandex.RTB RA-339285-1
Jika kita mempunyai sumbu L dan vektor bukan nol A B →, maka kita dapat membuat vektor A 1 B 1 ⇀, yang menyatakan proyeksi titik-titiknya A 1 dan B 1.
A 1 B → 1 akan menjadi proyeksi vektor A B → ke L.
Definisi 1
Proyeksi vektor ke sumbu adalah suatu vektor yang awal dan akhirnya merupakan proyeksi awal dan akhir setelahnya vektor yang diberikan. n p L A B → → biasanya dilambangkan dengan proyeksi A B → ke L. Untuk membuat proyeksi ke L, garis tegak lurus dijatuhkan ke L.
Contoh 1
Contoh proyeksi vektor pada suatu sumbu.
Pada bidang koordinat O x y ditentukan titik M 1 (x 1, y 1). Perlu dibuat proyeksi pada O x dan O y untuk menggambarkan vektor jari-jari titik M 1. Kita memperoleh koordinat vektor (x 1, 0) dan (0, y 1).
Jika kita berbicara tentang proyeksi a → ke benda bukan nol b → atau proyeksi a → ke arah b → , maka yang kita maksud adalah proyeksi a → ke sumbu yang arahnya bertepatan b →. Proyeksi a → ke garis yang ditentukan oleh b → dilambangkan dengan n p b → a → → . Diketahui bahwa jika sudut antara a → dan b → , n p b → a → → dan b → dapat dianggap searah. Jika sudutnya tumpul, n p b → a → → dan b → berlawanan arah. Dalam situasi tegak lurus a → dan b →, dan a → adalah nol, maka proyeksi a → pada arah b → adalah vektor nol.
Karakteristik numerik dari proyeksi suatu vektor ke suatu sumbu adalah proyeksi numerik suatu vektor ke suatu sumbu tertentu.
Definisi 2
Proyeksi numerik vektor ke sumbu adalah bilangan yang sama dengan hasil kali panjang suatu vektor dan kosinus sudut antara vektor tersebut dan vektor yang menentukan arah sumbu.
Proyeksi numerik A B → ke L dilambangkan dengan n p L A B → , dan a → ke b → - n p b → a → .
Berdasarkan rumus tersebut, kita memperoleh n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , dimana a → adalah panjang vektor a → , a ⇀ , b → ^ adalah sudut antara vektor a → dan b → .
Kita memperoleh rumus untuk menghitung proyeksi numerik: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Ini berlaku untuk panjang a → dan b → dan sudut di antara keduanya yang diketahui. Rumus ini berlaku untuk koordinat a → dan b → yang diketahui, tetapi ada bentuk yang disederhanakan.
Contoh 2
Tentukan proyeksi numerik a → pada garis lurus searah b → dengan panjang a → sama dengan 8 dan sudut antara keduanya 60 derajat. Dengan syarat kita mempunyai a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Artinya kita substitusikan nilai numerik tersebut ke dalam rumus n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
Menjawab: 4.
Dengan diketahui cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , kita mempunyai a → , b → sebagai produk skalar a → dan b → . Mengikuti rumus n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , kita dapat mencari proyeksi numerik a → yang diarahkan sepanjang vektor b → dan mendapatkan n p b → a → = a → , b → b → . Rumusnya setara dengan definisi yang diberikan di awal paragraf.
Definisi 3
Proyeksi numerik vektor a → pada sumbu yang searah dengan b → adalah perbandingan hasil kali skalar vektor a → dan b → dengan panjangnya b → . Rumus n p b → a → = a → , b → b → dapat diterapkan untuk mencari proyeksi numerik a → pada garis yang searah dengan b → , yang diketahui koordinat a → dan b →.
Contoh 3
Diberikan b → = (- 3 , 4) . Temukan proyeksi numerik a → = (1, 7) ke L.
Larutan
Pada bidang koordinat n p b → a → = a → , b → b → berbentuk n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , dengan a → = (ax , a y ) dan b → = bx , oleh y . Untuk mencari proyeksi numerik vektor a → ke sumbu L, Anda memerlukan: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.
Menjawab: 5.
Contoh 4
Tentukan proyeksi a → pada L yang berimpit dengan arah b →, dimana terdapat a → = - 2, 3, 1 dan b → = (3, - 2, 6). Ruang tiga dimensi ditentukan.
Larutan
Diketahui a → = a x , a y , a z dan b → = b x , b y , b z , kita menghitung hasil kali skalar: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Panjang b → dicari menggunakan rumus b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Maka rumus untuk menentukan proyeksi numerik a → adalah: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Substitusikan nilai numeriknya: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Jawaban: - 6 7.
Mari kita lihat hubungan antara a → di L dan panjang proyeksi a → di L. Mari kita menggambar sumbu L, menambahkan a → dan b → dari suatu titik di L, setelah itu kita menggambar garis tegak lurus dari ujung a → ke L dan menggambar proyeksi ke L. Ada 5 variasi gambar:
Pertama kasus dengan a → = n p b → a → → berarti a → = n p b → a → → , maka n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .
Kedua kasus tersebut menyiratkan penggunaan n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , yang artinya n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
Ketiga kasus tersebut menjelaskan bahwa ketika n p b → a → → = 0 → kita memperoleh n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , maka n p b → a → → = 0 dan n p b → a → = 0 = n p b → a → → .
Keempat kasus menunjukkan n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , mengikuti n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .
Kelima kasusnya menunjukkan a → = n p b → a → → , artinya a → = n p b → a → → , maka kita punya n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .
Definisi 4
Proyeksi numerik vektor a → pada sumbu L, yang arahnya sama seperti b →, mempunyai nilai sebagai berikut:
- panjang proyeksi vektor a → ke L, dengan syarat sudut antara a → dan b → kurang dari 90 derajat atau sama dengan 0: n p b → a → = n p b → a → → dengan syarat 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
- nol dengan syarat a → dan b → tegak lurus: n p b → a → = 0, bila (a → , b → ^) = 90 °;
- panjang proyeksi a → ke L dikalikan -1, bila terdapat sudut tumpul atau lurus dari vektor a → dan b →: n p b → a → = - n p b → a → → dengan syarat 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .
Contoh 5
Diketahui panjang proyeksi a → ke L, sama dengan 2. Temukan proyeksi numerik a → asalkan sudutnya 5 π 6 radian.
Larutan
Dari kondisi tersebut jelas bahwa sudut ini tumpul: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Jawaban: - 2.
Contoh 6
Diberikan sebuah bidang O x y z dengan panjang vektor a → sama dengan 6 3, b → (- 2, 1, 2) dengan sudut 30 derajat. Temukan koordinat proyeksi a → pada sumbu L.
Larutan
Pertama, kita menghitung proyeksi numerik vektor a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30° = 6 3 · 3 2 = 9 .
Syaratnya sudut lancip, maka proyeksi numerik a → = panjang proyeksi vektor a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Kasus ini menunjukkan bahwa vektor n p L a → → dan b → berarah bersama, artinya ada bilangan t yang persamaannya benar: n p L a → → = t · b → . Dari sini kita melihat bahwa n p L a → → = t · b → , yang berarti kita dapat mencari nilai parameter t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Maka n p L a → → = 3 · b → dengan koordinat proyeksi vektor a → pada sumbu L sama dengan b → = (- 2 , 1 , 2) , dimana perlu mengalikan nilainya dengan 3. Kita punya n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Jawaban: (- 6, 3, 6).
Penting untuk mengulangi informasi yang telah dipelajari sebelumnya tentang kondisi kolinearitas vektor.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Dalam gambar, gambar benda geometris dibuat dengan menggunakan metode proyeksi. Namun untuk ini satu gambar saja tidak cukup; setidaknya diperlukan dua proyeksi. Dengan bantuan mereka, titik-titik dalam ruang ditentukan. Oleh karena itu, Anda perlu mengetahui cara mencari proyeksi suatu titik.
Proyeksi suatu titik
Untuk melakukan ini, Anda perlu memperhitungkan ruang sudut dihedral, dengan titik (A) terletak di dalamnya. Di sini bidang proyeksi P1 horizontal dan P2 vertikal digunakan. Titik (A) diproyeksikan secara ortogonal ke bidang proyeksi. Adapun sinar-sinar proyeksi tegak lurus digabungkan menjadi bidang proyeksi, tegak lurus terhadap bidang proyeksi. Jadi, ketika bidang horizontal P1 dan bidang P2 frontal digabungkan dengan memutar sepanjang sumbu P2/P1, kita mendapatkan gambar datar.
Kemudian sebuah garis dengan titik-titik proyeksi yang terletak di atasnya diperlihatkan tegak lurus terhadap sumbunya. Ini menciptakan gambar yang rumit. Berkat segmen yang dibangun di atasnya dan garis sambungan vertikal, Anda dapat dengan mudah menentukan posisi titik relatif terhadap bidang proyeksi.
Untuk memudahkan memahami cara mencari proyeksi, Anda perlu memperhatikan segitiga siku-siku. Sisi pendeknya adalah kaki, dan sisi panjangnya adalah sisi miring. Jika Anda memproyeksikan kaki ke sisi miring, kaki itu akan terbagi menjadi dua segmen. Untuk menentukan nilainya, Anda perlu menghitung sekumpulan data awal. Mari kita perhatikan pada segitiga ini bagaimana menghitung proyeksi utama.
Biasanya, dalam soal ini mereka menunjukkan panjang kaki N dan panjang sisi miring D, yang proyeksinya perlu dicari. Untuk melakukan ini, kita akan mengetahui cara menemukan proyeksi kaki.
Mari kita perhatikan metode mencari panjang kaki (A). Mengingat rata-rata geometri proyeksi kaki dan panjang sisi miring sama dengan nilai kaki yang kita cari: N = √(D*Nd).
Cara mencari panjang proyeksi
Akar hasil kali dapat dicari dengan mengkuadratkan panjang kaki yang diinginkan (N), lalu membaginya dengan panjang sisi miring: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Saat menentukan nilai hanya kaki D dan N pada data sumber, proyeksi panjangnya harus dicari menggunakan teorema Pythagoras.
Mari kita cari panjang sisi miring D. Untuk melakukannya, Anda perlu menggunakan nilai kaki √ (N² + T²), lalu substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam rumus berikut untuk mencari proyeksi: Nd = N² / √ (N² + T²).
Apabila data awal berisi data panjang proyeksi kaki RD, serta data nilai sisi miring D, maka panjang proyeksi kaki kedua ND harus dihitung dengan menggunakan rumus pengurangan sederhana: ND = D – RD.
Proyeksi kecepatan
Mari kita lihat cara mencari proyeksi kecepatan. Agar vektor tertentu mewakili deskripsi gerak, vektor tersebut harus ditempatkan dalam proyeksi ke sumbu koordinat. Terdapat satu sumbu koordinat (sinar), dua sumbu koordinat (bidang), dan tiga sumbu koordinat (ruang). Saat menemukan proyeksi, garis tegak lurus dari ujung vektor harus diturunkan ke sumbu.
Untuk memahami pengertian proyeksi, Anda perlu mengetahui cara mencari proyeksi suatu vektor.
Proyeksi vektor
Ketika benda bergerak tegak lurus terhadap sumbu, proyeksinya akan direpresentasikan sebagai sebuah titik dan bernilai sama dengan nol. Jika geraknya dilakukan sejajar sumbu koordinat, maka proyeksinya akan berimpit dengan modulus vektor. Jika benda bergerak sedemikian rupa sehingga vektor kecepatan diarahkan pada sudut φ relatif terhadap sumbu (x), proyeksi ke sumbu ini akan berupa segmen: V(x) = V cos(φ), dimana V adalah model vektor kecepatan, bila arah vektor kecepatan dan sumbu koordinat berimpit maka proyeksinya positif, begitu pula sebaliknya.
Mari kita ambil persamaan koordinat berikut: x = x(t), y = y(t), z = z(t). DI DALAM pada kasus ini fungsi kecepatan akan diproyeksikan ke tiga sumbu dan akan ada tampilan berikutnya: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Oleh karena itu, carilah kecepatan yang diperlukan untuk mengambil turunannya.Vektor kecepatan itu sendiri dinyatakan dengan persamaan bentuk berikut: V = V(x) i + V(y) j + V(z) k. Di sini i, j, k adalah vektor satuan dari sumbu koordinat x, y, z. Jadi, modulus kecepatan dihitung menggunakan rumus berikut: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).
Mari kita nyatakan dengan sudut antara vektor dan sumbu proyeksi dan pindahkan vektornya
sehingga titik asal berimpit dengan suatu titik pada sumbunya. Jika arah komponen vektor dan sumbunya sama, maka sudut a akan lancip dan, seperti terlihat pada Gambar. 24, sebuah,
dimana a adalah modul vektor a. Jika arah vektor dan sumbunya berlawanan, maka dengan memperhatikan tanda proyeksinya, kita akan mendapatkan (lihat Gambar 24, b)
yaitu ekspresi sebelumnya (Anda harus ingat bahwa dalam hal ini sudut a tumpul dan
Jadi, proyeksi vektor ke sumbu sama dengan hasil kali modulus vektor dan kosinus sudut antara vektor dan sumbu:
Selain itu memiliki secara eksklusif penting rumus proyeksi vektor ke sumbu, Anda dapat memberikan satu lagi rumus sederhana. Mari kita atur titik asal pada sumbu dan pilih skala yang sama dengan skala vektor. Sebagaimana diketahui, koordinat suatu titik adalah suatu bilangan yang menyatakan, pada skala yang dipilih, jarak dari titik asal sumbu ke proyeksi suatu titik tertentu pada sumbunya, dan bilangan ini diambil dengan tanda tambah jika proyeksi titik dihilangkan dari titik asal searah sumbu, dan dengan tanda minus sebaliknya. Jadi, misalnya, koordinat titik A (Gbr. 23, b) adalah bilangan bertanda yang menyatakan panjang ruas, dan koordinat titik B adalah bilangan bertanda yang menentukan panjang ruas (kita lakukan tidak memikirkan hal ini
secara lebih rinci, dengan asumsi pembaca sudah familiar dengan konsep koordinat suatu titik dari mata kuliah matematika dasar).
Mari kita nyatakan dengan koordinat awal, dan dengan koordinat akhir vektor pada sumbu x. Kemudian, seperti dapat dilihat dari Gambar. 23, ah, kita akan punya
Proyeksi vektor ke sumbu x akan sama dengan
atau, dengan mempertimbangkan persamaan sebelumnya,
Sangat mudah untuk melihat bahwa rumus ini memiliki karakter umum dan tidak bergantung pada letak vektor relatif terhadap sumbu dan titik asal. Memang benar, perhatikan kasus yang digambarkan pada Gambar. 23,b. Dari definisi koordinat titik dan proyeksi vektor berturut-turut kita peroleh
(pembaca dapat dengan mudah memeriksa validitas rumus dan dan pada lokasi vektor yang berbeda relatif terhadap sumbu dan titik asal).
Dari (6.11) dapat disimpulkan bahwa proyeksi vektor pada sumbu sama dengan selisih antara koordinat ujung dan awal vektor.
Menghitung proyeksi suatu vektor ke suatu sumbu cukup sering terjadi dalam berbagai masalah. Oleh karena itu, perlu dikembangkan keterampilan yang kuat dalam menghitung proyeksi. Anda dapat menunjukkan beberapa teknik yang memudahkan proses penghitungan proyeksi.
1. Tanda proyeksi vektor ke sumbu, biasanya, dapat ditentukan langsung dari gambar, dan modulus proyeksi dapat dihitung dengan menggunakan rumus
di mana sudut lancip antara vektor dan sumbu proyeksi - jika dan jika Teknik ini, tanpa memperkenalkan sesuatu yang baru secara fundamental, agak
memudahkan penghitungan proyeksi karena tidak memerlukan transformasi trigonometri.
2. Jika Anda perlu menentukan proyeksi suatu vektor pada dua sumbu x dan y yang saling tegak lurus (diasumsikan bahwa vektor terletak pada bidang sumbu tersebut) dan merupakan sudut lancip antara vektor dan sumbu x, maka
(tanda proyeksi ditentukan dari gambar).
Contoh. Temukan proyeksi pada sumbu koordinat x dan y dari gaya yang ditunjukkan pada Gambar. 25. Dari gambar terlihat jelas bahwa kedua proyeksi tersebut akan bernilai negatif. Karena itu,
3. Terkadang diterapkan aturan desain ganda, yaitu sebagai berikut. Misalkan sebuah vektor dan sebuah sumbu yang terletak pada bidang diberikan, Mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari ujung vektor ke bidang dan garis lurus, lalu hubungkan alas garis tegak lurus tersebut dengan ruas garis lurus (Gbr. 26). Mari kita nyatakan sudut antara vektor dan bidang dengan sudut antara dan oleh dan sudut antara vektor dan sumbu proyeksi dengan a. Karena sudutnya siku-siku (menurut konstruksi), maka