Mari kita mulai dengan mempertimbangkan rotasi benda di sekitar sumbu tetap, yang kita sebut sumbu z (Gbr. 41.1). Kecepatan linier suatu massa dasar sama dengan di mana adalah jarak massa dari sumbunya. Oleh karena itu, untuk energi kinetik massa dasar kita memperoleh persamaan

Energi kinetik tubuh terdiri dari energi kinetik bagian-bagiannya:

Jumlah di sisi kanan hubungan ini mewakili momen inersia benda 1 relatif terhadap sumbu rotasi. Jadi, energi kinetik suatu benda berputar sumbu tetap sama dengan

Biarkan gaya dalam dan gaya luar bekerja pada massa (lihat Gambar 41.1). Menurut (20.5), gaya-gaya ini akan melakukan usaha pada waktunya

Setelah melakukan penataan ulang siklik faktor-faktor dalam produk campuran vektor (lihat (2.34)), kita memperoleh:

dimana N adalah momen gaya dalam terhadap titik O, N adalah momen gaya luar yang serupa.

Setelah menjumlahkan ekspresi (41.2) untuk semua massa dasar, kita memperoleh usaha dasar yang dilakukan pada benda selama waktu dt:

Jumlah momen kekuatan internal sama dengan nol (lihat (29.12)). Oleh karena itu, menunjukkan momen total kekuatan luar melalui N kita sampai pada ekspresi

(kami menggunakan rumus (2.21)).

Akhirnya, dengan mempertimbangkan bahwa ada sudut di mana benda berputar terhadap waktu, kita memperoleh:

Tanda usaha bergantung pada tanda, yaitu pada tanda proyeksi vektor N ke arah vektor

Jadi, ketika sebuah benda berputar, gaya-gaya dalam tidak melakukan kerja, tetapi kerja gaya-gaya luar ditentukan oleh rumus (41.4).

Rumus (41.4) dapat dicapai dengan memanfaatkan fakta bahwa usaha yang dilakukan oleh semua gaya yang diterapkan pada benda mengarah pada peningkatan energi kinetiknya (lihat (19.11)). Mengambil diferensial dari kedua sisi persamaan (41.1), kita sampai pada relasinya

Menurut persamaan (38.8) jadi, mengganti melalui kita sampai pada rumus (41.4).

Tabel 41.1

Di meja 41.1 Rumus mekanika gerak rotasi dibandingkan dengan rumus mekanika sejenis gerak maju(titik mekanik). Dari perbandingan ini mudah untuk menyimpulkan bahwa dalam semua kasus peran massa dimainkan oleh momen inersia, peran gaya dimainkan oleh momen gaya, peran momentum dimainkan oleh momentum sudut, dan seterusnya.

Rumus. (41.1) kami memperoleh kasus ketika benda berputar mengelilingi sumbu stasioner yang terpasang pada benda. Sekarang mari kita asumsikan bahwa benda berputar secara sewenang-wenang terhadap suatu titik tetap yang bertepatan dengan pusat massanya.

Kita akan secara kaku mengasosiasikan sistem koordinat Cartesian dengan benda, yang asal mulanya akan ditempatkan pada pusat massa benda. Kecepatan i massa dasar sama dengan Oleh karena itu, untuk energi kinetik benda, kita dapat menulis persamaannya

di mana adalah sudut antar vektor Menggantikan melalui dan memperhitungkan bahwa kita mendapatkan:

Mari kita tuliskan produk titik melalui proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat yang berhubungan dengan benda:

Akhirnya, dengan menggabungkan suku-suku dengan hasil kali komponen kecepatan sudut yang identik dan mengeluarkan hasil kali ini dari tanda penjumlahannya, kita memperoleh: sehingga rumus (41.7) mengambil bentuk (lih. (41.1)). Ketika suatu benda sembarang berputar mengelilingi salah satu sumbu inersia utama, katakanlah sumbu dan, rumus (41.7) menjadi (41.10.

Dengan demikian. energi kinetik benda yang berputar sama dengan setengah hasil kali momen inersia dan kuadrat kecepatan sudut dalam tiga kasus: 1) untuk benda yang berputar pada sumbu tetap; 2) untuk benda yang berputar mengelilingi salah satu sumbu inersia utama; 3) untuk bagian atas bola. Dalam kasus lain, energi kinetik ditentukan dengan lebih jelas rumus yang rumit(41.5) atau (41.7).

Energi kinetik rotasi

Kuliah 3. Dinamika benda kaku

Garis besar kuliah

3.1. Momen kekuasaan.

3.2. Persamaan Dasar gerakan rotasi. Momen inersia.

3.3. Energi kinetik rotasi.

3.4. Momen impulsif. Hukum kekekalan momentum sudut.

3.5. Analogi antara gerak translasi dan rotasi.

Momen kekuasaan

Mari kita perhatikan gerak benda tegar mengelilingi sumbu tetap. Misalkan benda tegar mempunyai sumbu rotasi tetap OO ( Gambar.3.1) dan gaya sewenang-wenang diterapkan padanya.

Beras. 3.1

Mari kita menguraikan gaya menjadi dua komponen gaya, gaya terletak pada bidang rotasi, dan gaya sejajar dengan sumbu rotasi. Kemudian kita akan menguraikan gaya menjadi dua komponen: – bekerja sepanjang vektor jari-jari dan – tegak lurus terhadapnya.

Tidak semua gaya yang diterapkan pada suatu benda akan memutarnya. Gaya tersebut menciptakan tekanan pada bantalan, tetapi tidak memutarnya.

Suatu gaya mungkin atau mungkin juga tidak membuat suatu benda menjadi tidak seimbang, tergantung di mana gaya tersebut diterapkan pada vektor jari-jarinya. Oleh karena itu, konsep momen gaya terhadap suatu sumbu diperkenalkan. Momen penuh kekuatan relatif terhadap sumbu rotasi disebut hasil kali vektor vektor jari-jari dan gaya.

Vektor diarahkan sepanjang sumbu rotasi dan ditentukan oleh aturan perkalian silang atau aturan sekrup kanan atau aturan gimlet.

Modulus momen gaya

dimana α adalah sudut antara vektor dan .

Dari Gambar 3.1. sudah jelas itu .

r 0– jarak terpendek dari sumbu rotasi ke garis kerja gaya disebut bahu gaya. Maka momen gaya dapat dituliskan

M = F r 0 . (3.3)

Dari Gambar. 3.1.

Di mana F– proyeksi vektor ke arah, tegak lurus terhadap vektor vektor radius. Dalam hal ini, momen gaya sama dengan

. (3.4)

Jika beberapa gaya bekerja pada suatu benda, maka momen gaya yang dihasilkan sama dengan jumlah vektor momen masing-masing gaya, tetapi karena semua momen diarahkan sepanjang sumbu, maka momen tersebut dapat diganti dengan jumlah aljabar. Momen dianggap positif jika memutar benda searah jarum jam dan negatif jika berputar berlawanan arah jarum jam. Jika semua momen gaya () sama dengan nol, maka benda berada dalam keadaan setimbang.

Konsep torsi dapat didemonstrasikan dengan menggunakan "kumparan berubah-ubah". Gulungan benang ditarik dengan ujung benang yang bebas ( beras. 3.2).

Beras. 3.2

Tergantung pada arah tegangan benang, kumparan menggelinding ke satu arah atau lainnya. Jika ditarik secara miring α , maka momen gaya terhadap sumbu TENTANG(tegak lurus terhadap gambar) memutar kumparan berlawanan arah jarum jam dan menggulung kembali. Jika terjadi ketegangan pada suatu sudut β torsi diarahkan berlawanan arah jarum jam dan gulungan berputar ke depan.

Dengan menggunakan kondisi kesetimbangan (), kita dapat membangunnya mekanisme sederhana, yang merupakan “transformator” gaya, yaitu. Dengan sedikit tenaga, Anda dapat mengangkat dan memindahkannya bobot yang berbeda muatan. Tuas, gerobak dorong, dan balok didasarkan pada prinsip ini. berbagai jenis, yang banyak digunakan dalam konstruksi. Untuk memenuhi kondisi keseimbangan dalam konstruksi derek Untuk mengimbangi momen gaya yang disebabkan oleh berat beban, selalu ada sistem penyeimbang yang menciptakan momen gaya yang berlawanan tanda.

3.2. Persamaan dasar rotasi
gerakan. Momen inersia

Pertimbangkan benda yang benar-benar kaku yang berputar mengelilingi sumbu tetap OO(Gambar.3.3). Mari kita secara mental membagi benda ini menjadi elemen-elemen yang bermassa Δ m 1, Δ m 2, …, Δ M N. Ketika diputar, elemen-elemen ini akan menggambarkan lingkaran dengan jari-jari r 1,r 2 , …,tidak. Gaya bertindak sesuai dengan setiap elemen F 1,F 2 , …,Fn. Rotasi suatu benda pada suatu sumbu OO terjadi di bawah pengaruh torsi penuh M.

M = M 1 + M 2 + … + M n (3.4)

Di mana M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Menurut hukum II Newton, setiap gaya F, bekerja pada elemen bermassa D M, menyebabkan percepatan elemen ini A, yaitu.

F saya = D aku aku aku (3.5)

Mengganti nilai yang sesuai ke dalam (3.4), kita memperoleh

Beras. 3.3

Mengetahui hubungan percepatan sudut linier ε () dan agar percepatan sudut sama untuk semua elemen, rumus (3.6) akan berbentuk

M = (3.7)

=SAYA (3.8)

SAYA– momen inersia benda terhadap sumbu tetap.

Maka kita akan mendapatkan

M = saya ε (3.9)

Atau dalam bentuk vektor

(3.10)

Persamaan ini merupakan persamaan dasar dinamika gerak rotasi. Bentuknya mirip dengan persamaan II hukum Newton. Dari (3.10) momen inersia sama dengan

Jadi, momen inersia suatu benda adalah perbandingan momen gaya dengan percepatan sudut yang ditimbulkannya. Dari (3.11) jelas bahwa momen inersia adalah ukuran inersia suatu benda terhadap gerak rotasi. Momen inersia mempunyai peranan yang sama dengan massa dalam gerak translasi. satuan SI [ SAYA] = kg m 2. Dari rumus (3.7) dapat disimpulkan bahwa momen inersia mencirikan distribusi massa partikel suatu benda relatif terhadap sumbu rotasi.

Jadi, momen inersia suatu unsur bermassa ∆m yang bergerak dalam lingkaran berjari-jari r sama dengan

saya = r 2 D M (3.12)

saya= (3.13)

Dalam kasus distribusi massa kontinu, jumlahnya dapat diganti dengan integral

Saya= ∫ r 2 dm (3.14)

di mana integrasi dilakukan pada seluruh massa tubuh.

Hal ini menunjukkan bahwa momen inersia suatu benda bergantung pada massa dan distribusinya relatif terhadap sumbu rotasi. Hal ini dapat dibuktikan secara eksperimental ( Gambar.3.4).

Beras. 3.4

Dua silinder bundar, satu berongga (misalnya logam), yang lain padat (kayu) dengan panjang, jari-jari, dan massa yang sama mulai menggelinding secara bersamaan. Silinder berongga dengan momen besar inersia, akan tertinggal dibandingkan benda padat.

Momen inersia dapat dihitung jika massanya diketahui M dan distribusinya relatif terhadap sumbu rotasi. Kasus paling sederhana adalah sebuah cincin, ketika semua elemen massa terletak sama dari sumbu rotasi ( beras. 3.5):

saya = (3.15)

Beras. 3.5

Mari kita sajikan ekspresi momen inersia berbagai benda bermassa simetris M.

1. Momen inersia cincin, silinder berongga berdinding tipis relatif terhadap sumbu rotasi yang berimpit dengan sumbu simetri.

, (3.16)

R– jari-jari cincin atau silinder

2. Untuk silinder dan piringan padat, momen inersia terhadap sumbu simetri

(3.17)

3. Momen inersia bola terhadap sumbu yang melalui titik pusat

(3.18)

R– radius bola

4. Momen inersia batang tipis yang panjangnya panjang aku relatif terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melewati bagian tengahnya

(3.19)

aku– panjang batang.

Jika sumbu rotasi tidak melewati pusat massa, maka momen inersia benda terhadap sumbu tersebut ditentukan oleh teorema Steiner.

(3.20)

Menurut teorema ini, momen inersia terhadap sumbu sembarang O’O’ ( ) sama dengan momen inersia terhadap sumbu sejajar yang melalui pusat massa benda ( ) ditambah hasil kali massa benda dikalikan kuadrat jarak A antar sumbu ( beras. 3.6).

Beras. 3.6

Energi kinetik rotasi

Mari kita perhatikan rotasi benda tegar mutlak di sekitar sumbu tetap OO dengan kecepatan sudut ω (beras. 3.7). Mari kita pecahkan benda padat menjadi N massa dasar ∆ saya. Setiap elemen massa berputar sepanjang radius lingkaran r i dengan kecepatan linier (). Energi kinetik terdiri dari energi kinetik masing-masing unsur.

(3.21)

Beras. 3.7

Mari kita ingat dari (3.13) itu – momen inersia terhadap sumbu OO.

Jadi, energi kinetik benda yang berputar

E k = (3.22)

Kami mempertimbangkan energi kinetik rotasi pada sumbu tetap. Jika suatu benda terlibat dalam dua gerak: gerak translasi dan gerak rotasi, maka energi kinetik benda tersebut terdiri dari energi kinetik gerak translasi dan energi kinetik rotasi.

Misalnya saja bola bermassa M Gulungan; pusat massa bola bergerak secara translasi dengan kecepatan tertentu kamu (beras. 3.8).

Beras. 3.8

Energi kinetik total bola akan sama dengan

(3.23)

3.4. Momen impulsif. Hukum Konservasi
momentum sudut

Besaran fisika sama dengan hasil kali momen inersia SAYA ke kecepatan sudut ω , disebut momentum sudut (momentum sudut) L relatif terhadap sumbu rotasi.

– momentum sudut merupakan besaran vektor dan arahnya berimpit dengan arah kecepatan sudut.

Membedakan persamaan (3.24) terhadap waktu, kita peroleh

Di mana, M– momen total gaya luar. Dalam sistem terisolasi tidak ada torsi gaya luar ( M=0) dan

Karena benda padat adalah kasus spesial sistem poin materi, maka energi kinetik suatu benda ketika berputar pada sumbu tetap Z akan sama dengan jumlah energi kinetik semua titik materialnya, yaitu

Semua titik material suatu benda tegar dalam hal ini berputar dalam lingkaran dengan jari-jari dan kecepatan sudut yang sama. Kecepatan linier setiap titik material benda tegar adalah sama dengan . Energi kinetik benda padat akan berbentuk

Jumlah di sisi kanan ekspresi ini, sesuai dengan (4.4), mewakili momen inersia suatu benda terhadap sumbu rotasi tertentu. Oleh karena itu, rumus untuk menghitung energi kinetik benda tegar yang berputar relatif terhadap sumbu tetap akan mengambil bentuk akhirnya:

. (4.21)

Di sini diperhitungkan bahwa

Menghitung energi kinetik benda tegar dalam kasus gerak sewenang-wenang menjadi jauh lebih rumit. Mari kita perhatikan gerak bidang ketika lintasan semua titik material pada benda terletak pada bidang paralel. Kecepatan setiap titik material suatu benda tegar, menurut (1.44), dapat direpresentasikan dalam bentuk

,

dimana sebagai sumbu rotasi sesaat kita memilih sumbu yang melalui pusat inersia benda yang tegak lurus terhadap bidang lintasan titik mana pun pada benda tersebut. Dalam hal ini, dalam ekspresi terakhir ini mewakili kecepatan pusat inersia benda, jari-jari lingkaran di mana titik-titik benda berputar dengan kecepatan sudut di sekitar sumbu yang melalui pusat inersianya. Karena dengan gerak ^ seperti itu, vektor sama dengan terletak pada bidang lintasan titik tersebut.

Berdasarkan penjelasan di atas, energi kinetik suatu benda selama berada gerakan datar sama dengan

.

Dengan mengkuadratkan ekspresi dalam tanda kurung dan mengeluarkan besaran konstan untuk semua titik pada benda dari tanda penjumlahan, kita peroleh

Di sini diperhitungkan bahwa ^.

Mari kita pertimbangkan setiap suku di sisi kanan ekspresi terakhir secara terpisah. Suku pertama, karena persamaan yang jelas, adalah sama dengan

Suku kedua sama dengan nol, karena jumlah tersebut menentukan vektor jari-jari pusat inersia (3,5), yang pada pada kasus ini terletak pada sumbu rotasi. Dengan memperhatikan (4.4), suku terakhir akan berbentuk . Sekarang, akhirnya, energi kinetik selama gerak sembarang tetapi datar suatu benda tegar dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua suku:

, (4.23)

dimana suku pertama menyatakan energi kinetik suatu titik material yang massanya sama dengan massa benda dan bergerak dengan kecepatan pusat massa benda;

suku kedua menyatakan energi kinetik suatu benda yang berputar pada suatu sumbu (bergerak dengan kecepatan) melewati pusat inersianya.

Kesimpulan: Jadi, energi kinetik suatu benda tegar selama rotasinya pada sumbu tetap dapat dihitung menggunakan salah satu hubungan (4.21), dan dalam kasus gerak bidang menggunakan (4.23).

Pertanyaan kontrol.

4.4. Dalam kasus apa (4.23) berubah menjadi (4.21)?

4.5. Bagaimana rumus energi kinetik suatu benda ketika bergerak pada bidang datar jika sumbu rotasi sesaat tidak melalui pusat inersia? Apa yang dimaksud dengan besaran yang termasuk dalam rumus?

4.6. Tunjukkan bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya dalam selama rotasi suatu benda tegar adalah nol.

Mari kita perhatikan benda tegar yang berputar pada sumbu tetap. Mari kita secara mental memecah tubuh ini menjadi bagian-bagian yang sangat kecil dengan ukuran dan massa yang sangat kecil m v t., t 3,... terletak di kejauhan R v R 0 , R 3,... dari sumbu. Energi kinetik benda yang berputar kita menemukannya sebagai jumlah energi kinetik dari bagian-bagian kecilnya:

- momen inersia suatu benda tegar relatif terhadap sumbu tertentu 00,. Dari perbandingan rumus energi kinetik gerak translasi dan gerak rotasi terlihat jelas bahwa momen inersia pada gerak rotasi dianalogikan dengan massa pada gerak translasi. Rumus (4.14) cocok untuk menghitung momen inersia sistem yang terdiri dari titik-titik material individual. Untuk menghitung momen inersia benda tegar, dengan menggunakan definisi integral, Anda dapat mengubahnya ke dalam bentuk

Sangat mudah untuk melihat bahwa momen inersia bergantung pada pilihan sumbu dan berubah seiring dengan translasi dan rotasi paralelnya. Mari kita cari nilai momen inersia beberapa benda homogen.

Dari rumus (4.14) terlihat jelas bahwa momen inersia suatu titik material sama

Di mana T - massa titik; R- jarak ke sumbu rotasi.

Cara menghitung momen inersia sangatlah mudah silinder berongga berdinding tipis(atau kasus khusus silinder dengan ketinggian rendah - cincin tipis) radius R relatif terhadap sumbu simetri. Jarak ke sumbu rotasi semua titik pada benda tersebut adalah sama, sama dengan jari-jari dan dapat diambil dari bawah tanda penjumlahan (4.14):

Beras. 4.5

Silinder padat(atau wadah khusus silinder dengan ketinggian rendah - disk) radius R untuk menghitung momen inersia terhadap sumbu simetri diperlukan perhitungan integral (4.15). Anda dapat memahami sebelumnya bahwa massa dalam kasus ini, rata-rata, terkonsentrasi agak lebih dekat ke sumbu daripada dalam kasus silinder berongga, dan rumusnya akan mirip dengan (4.17), tetapi akan mengandung koefisien lebih kecil dari persatuan. Mari kita cari koefisien ini. Misalkan sebuah silinder padat mempunyai massa jenis p dan tinggi A. Mari kita bagi menjadi silinder berongga (permukaan silinder tipis) yang tebalnya dr(Gambar 4.5 menunjukkan proyeksi tegak lurus sumbu simetri). Volume silinder berongga dengan jari-jari r sama dengan luas permukaan dikalikan dengan ketebalan: dV = 2nrhdr, berat: dm = 2nphrdr, dan momen inersia sesuai dengan rumus (4.17): dj =

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Momen inersia total silinder padat diperoleh dengan mengintegrasikan (menjumlahkan) momen inersia silinder berongga:

Cari dengan cara yang sama momen inersia batang tipis panjang L dan massa T, jika sumbu rotasinya tegak lurus batang dan melewati bagian tengahnya. Mari kita uraikan yang ini

Mempertimbangkan fakta bahwa massa silinder padat berhubungan dengan massa jenis sesuai rumus t = nR 2 hp, akhirnya kita punya momen inersia silinder padat:

Beras. 4.6

batang sesuai dengan gambar. tebal 4,6 lembar dl. Massa potongan tersebut sama dengan dm = mdl/L, dan momen inersia sesuai dengan rumus (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Momen inersia total batang tipis diperoleh dengan mengintegrasikan (menjumlahkan) momen inersia potongan:

Pengambilan integral elementer menghasilkan momen inersia batang tipis yang panjangnya L dan massa T

Beras. 4.7

Agak lebih sulit untuk mengambil integral saat mencari momen inersia bola homogen radius R dan massa /77 relatif terhadap sumbu simetri. Misalkan bola padat mempunyai massa jenis p. Mari kita uraikan sesuai dengan Gambar. 4.7 untuk silinder tipis berongga tebal dr, sumbu simetrinya berimpit dengan sumbu rotasi bola. Volume silinder berongga tersebut berjari-jari G sama dengan luas permukaan dikalikan ketebalan:

dimana adalah tinggi silinder H ditemukan menggunakan teorema Pythagoras:

Maka mudah untuk mencari massa silinder berongga:

serta momen inersia sesuai dengan rumus (4.15):

Momen inersia total bola padat diperoleh dengan mengintegrasikan (menjumlahkan) momen inersia silinder berongga:

Mempertimbangkan fakta bahwa massa bola padat berhubungan dengan massa jenis bentuk-4.

setia T = -npR A y kita akhirnya mendapatkan momen inersia terhadap sumbu

simetri bola berjari-jari homogen R massa T:

Mari kita definisikan energi kinetik padat, berputar di sekitar sumbu tetap. Mari kita bagi tubuh ini menjadi n titik material. Setiap titik bergerak dengan kecepatan linier υ i =ωr i , maka energi kinetik titik tersebut

atau

Energi kinetik total benda tegar yang berputar sama dengan jumlah energi kinetik semua titik materialnya:

(3.22)

(J adalah momen inersia benda terhadap sumbu rotasi)

Jika lintasan semua titik terletak pada bidang sejajar (seperti silinder yang menggelinding ke bawah a bidang miring, setiap titik bergerak pada bidangnya sendiri (Gbr), ini gerakan datar. Menurut prinsip Euler, gerak bidang selalu dapat diuraikan menjadi gerak translasi dan rotasi dengan berbagai cara. Jika sebuah bola jatuh atau meluncur sepanjang bidang miring, bola hanya bergerak secara translasi; ketika bola menggelinding, ia juga berputar.

Jika suatu benda melakukan gerak translasi dan rotasi secara bersamaan, maka energi kinetik totalnya adalah sama

(3.23)

Dari perbandingan rumus energi kinetik gerak translasi dan gerak rotasi, terlihat bahwa besaran inersia pada gerak rotasi adalah momen inersia benda.

§ 3.6 Kerja gaya luar selama rotasi benda tegar

Ketika suatu benda tegar berputar, energi potensialnya tidak berubah, oleh karena itu kerja dasar gaya luar sama dengan pertambahan energi kinetik benda:

dA = dE atau

Mengingat Jβ = M, ωdr = dφ, kita mempunyai α benda pada sudut berhingga φ sama dengan

(3.25)

Ketika suatu benda tegar berputar mengelilingi sumbu tetap, kerja gaya-gaya luar ditentukan oleh aksi momen gaya-gaya tersebut terhadap sumbu tersebut. Jika momen gaya-gaya terhadap sumbu adalah nol, maka gaya-gaya tersebut tidak menghasilkan usaha.

Contoh pemecahan masalah

Contoh 2.1. Massa roda gilaM=5kg dan radiusR= 0,2 m berputar mengelilingi sumbu horizontal dengan frekuensiν 0 =720 menit -1 dan saat pengereman berhenti di belakangT=20 detik. Temukan torsi pengereman dan jumlah putaran sebelum berhenti.

Untuk menentukan torsi pengereman, kita menerapkan persamaan dasar dinamika gerak rotasi

dimana saya=Tuan 2 – momen inersia piringan; Δω =ω - ω 0, dan ω =0 adalah kecepatan sudut akhir, ω 0 =2πν 0 adalah kecepatan awal. M adalah momen pengereman gaya-gaya yang bekerja pada piringan.

Mengetahui semua besarannya, Anda dapat menentukan torsi pengereman

Tuan 2 2πν 0 = Δt (1)

(2)

Dari kinematika gerak rotasi, sudut putaran pada saat piringan berputar sebelum berhenti dapat ditentukan dengan rumus

(3)

di mana β adalah percepatan sudut.

Sesuai dengan kondisi soal: ω =ω 0 – βΔt, karena ω=0, ω 0 = βΔt

Maka ekspresi (2) dapat ditulis sebagai:

Contoh 2.2. Dua roda gila berbentuk piringan dengan jari-jari dan massa yang sama diputar hingga kecepatan rotasinyaN= 480 rpm dan diserahkan ke perangkat kita sendiri. Di bawah pengaruh gaya gesekan poros pada bantalan, bantalan pertama berhentiT=80 detik, dan detik kedua berhasilN= 240 rpm untuk berhenti. Roda gila manakah yang mempunyai momen gesekan lebih besar antara poros dan bantalan serta berapa kali?

Kita akan mencari momen gaya duri M 1 roda gila pertama menggunakan persamaan dasar dinamika gerak rotasi

M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1

dimana Δt adalah waktu kerja momen gaya gesek, I=mr 2 adalah momen inersia roda gila, ω 1 = 2πν dan ω 2 = 0 – kecepatan sudut awal dan akhir roda gila

Kemudian

Momen gaya gesekan M 2 roda gila kedua akan dinyatakan melalui hubungan antara kerja gaya gesekan A dan perubahan energi kinetiknya E k:

dimana Δφ = 2πN adalah sudut putaran, N adalah jumlah putaran roda gila.

Lalu dari mana

TENTANG rasionya akan sama

Momen gesek flywheel kedua 1,33 kali lebih besar.

Contoh 2.3. Massa piringan padat homogen m, massa beban m 1 dan m 2 (Gbr. 15). Tidak terjadi selip atau gesekan ulir pada sumbu silinder. Temukan percepatan beban dan rasio tegangan benangdalam proses pergerakan.

Tidak ada selip benang, oleh karena itu ketika m 1 dan m 2 melakukan gerak translasi, silinder akan berputar terhadap sumbu yang melalui titik O. Mari kita asumsikan dengan pasti bahwa m 2 > m 1.

Kemudian beban m 2 diturunkan dan silinder berputar searah jarum jam. Mari kita tuliskan persamaan gerak benda-benda yang termasuk dalam sistem

Dua persamaan pertama ditulis untuk benda bermassa m 1 dan m 2 yang mengalami gerak translasi, dan persamaan ketiga ditulis untuk silinder yang berputar. Pada persamaan ketiga di sebelah kiri adalah momen total gaya yang bekerja pada silinder (momen gaya T 1 diambil dengan tanda minus, karena gaya T 1 cenderung memutar silinder berlawanan arah jarum jam). Di sebelah kanan I adalah momen inersia silinder terhadap sumbu O, yaitu sama dengan

dimana R adalah jari-jari silinder; β adalah percepatan sudut silinder.

Karena tidak ada selip benang, maka
. Dengan mempertimbangkan ekspresi untuk I dan β, kita memperoleh:

Menambahkan persamaan sistem, kita sampai pada persamaan

Dari sini kita menemukan percepatannya A muatan

Dari persamaan yang dihasilkan jelas bahwa tegangan benang akan sama, yaitu. =1 jika massa silinder lebih kecil dari massa beban.

Contoh 2.4. Sebuah bola berongga bermassa m = 0,5 kg mempunyai jari-jari luar R = 0,08 m dan jari-jari dalam r = 0,06 m. Bola berputar mengelilingi sumbu yang melewati pusatnya. Pada saat tertentu, suatu gaya mulai bekerja pada bola, akibatnya sudut putaran bola berubah menurut hukum.
. Tentukan momen gaya yang diterapkan.

Kita menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan persamaan dasar dinamika gerak rotasi
. Kesulitan utamanya adalah menentukan momen inersia bola berongga, dan kita mencari percepatan sudut β sebagai
. Momen inersia I bola berongga sama dengan selisih momen inersia bola berjari-jari R dan bola berjari-jari r:

dimana ρ adalah massa jenis bahan bola. Mencari massa jenis dengan mengetahui massa bola berongga

Dari sini kita menentukan massa jenis material bola

Untuk momen gaya M kita peroleh persamaan berikut:

Contoh 2.5. Sebuah batang tipis bermassa 300 g dan panjang 50 cm berputar dengan kecepatan sudut 10 s -1 pada bidang horizontal mengelilingi sumbu vertikal yang melalui bagian tengah batang. Tentukan kecepatan sudut jika pada saat berputar pada bidang yang sama, batang bergerak sehingga sumbu rotasi melewati ujung batang.

Kita menggunakan hukum kekekalan momentum sudut

(1)

(J i adalah momen inersia batang terhadap sumbu rotasi).

Untuk sistem benda terisolasi, jumlah vektor momentum sudut tetap konstan. Karena distribusi massa batang relatif terhadap sumbu rotasi berubah, maka momen inersia batang juga berubah sesuai dengan (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Diketahui momen inersia batang terhadap sumbu yang melalui pusat massa dan tegak lurus batang adalah sama dengan

J 0 = mℓ 2 /12. (3)

Menurut teorema Steiner

J =J 0 +m A 2

(J adalah momen inersia batang terhadap sumbu rotasi sembarang; J 0 adalah momen inersia terhadap sumbu sejajar yang melalui pusat massa; A- jarak dari pusat massa ke sumbu rotasi yang dipilih).

Mari kita cari momen inersia terhadap sumbu yang melalui ujungnya dan tegak lurus batang:

J 2 =J 0 +m A 2, J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)

Mari kita substitusikan rumus (3) dan (4) ke dalam (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10s-1/4=2,5s -1

Contoh 2.6 . Manusia massaM=60kg, berdiri di tepi platform bermassa M=120kg, berputar secara inersia mengelilingi sumbu vertikal tetap dengan frekuensi ν 1 =12 menit -1 , berpindah ke pusatnya. Mengingat platform adalah piringan bulat homogen dan orangnya adalah massa titik, tentukan frekuensi berapa ν 2 platform kemudian akan berputar.

Diberikan: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12 menit -1 = 0,2 detik -1 .

Menemukan:ν 1

Larutan: Sesuai dengan kondisi soal, platform dengan orang tersebut berputar secara inersia, yaitu. momen yang dihasilkan dari semua gaya yang diterapkan pada sistem yang berputar adalah nol. Oleh karena itu, untuk sistem “platform-person” hukum kekekalan momentum sudut terpenuhi

Saya 1 ω 1 = Saya 2 ω 2

Di mana
- momen inersia sistem ketika seseorang berdiri di tepi platform (perhatikan bahwa momen inersia platform sama dengan (R – radius n
platform), momen inersia seseorang di tepi platform adalah mR 2).

- momen inersia sistem ketika seseorang berdiri di tengah platform (perlu diingat bahwa momen seseorang yang berdiri di tengah platform adalah nol). Kecepatan sudut ω 1 = 2π ν 1 dan ω 1 = 2π ν 2.

Mengganti ekspresi tertulis ke dalam rumus (1), kita memperoleh

dari manakah kecepatan putaran yang diinginkan berasal?

Menjawab: ν 2 =24 menit -1.

Kembali