Saat menyelesaikan berbagai masalah geometri, mekanika, fisika, dan cabang ilmu pengetahuan lainnya, muncul kebutuhan untuk menggunakan proses analisis yang sama dari fungsi ini kamu=f(x) dapatkan fungsi baru yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan) dari suatu fungsi tertentu f(x) dan ditandai dengan simbol

Proses dimana dari suatu fungsi tertentu f(x) mendapatkan fitur baru f" (x), ditelepon diferensiasi dan terdiri dari tiga langkah berikut: 1) memberikan argumen X kenaikan  X dan tentukan kenaikan fungsi yang sesuai  kamu = f(x+ x) -f(x); 2) menjalin hubungan

3) menghitung X konstan dan  X0, kami menemukan
, yang kami tunjukkan dengan f" (x), seolah menekankan bahwa fungsi yang dihasilkan hanya bergantung pada nilai X, di mana kita mencapai batasnya. Definisi: Turunan y " =f " (x) fungsi yang diberikan y=f(x) untuk x tertentu disebut limit rasio kenaikan suatu fungsi terhadap kenaikan argumen, asalkan kenaikan argumen cenderung nol, jika, tentu saja, batas ini ada, yaitu. terbatas. Dengan demikian,
, atau

Perhatikan bahwa jika untuk beberapa nilai X, misalnya kapan x=sebuah, sikap
pada  X0 tidak cenderung ke batas berhingga, maka dalam hal ini dikatakan fungsi f(x) pada x=sebuah(atau pada intinya x=sebuah) tidak mempunyai turunan atau tidak terdiferensiasi pada titiknya x=sebuah.

2. Arti geometris dari turunan.

Perhatikan grafik fungsi y = f (x), terdiferensiasi di sekitar titik x 0

f(x)

Mari kita perhatikan garis lurus sembarang yang melalui suatu titik pada grafik fungsi - titik A(x 0, f (x 0)) dan memotong grafik di suatu titik B(x;f(x)). Garis seperti itu (AB) disebut garis potong. Dari ∆ABC: ​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Sejak AC || Ox, maka ALO = BAC = β (sesuai dengan paralel). Tetapi ALO adalah sudut kemiringan garis potong AB terhadap arah positif sumbu Ox. Artinya tanβ = k - lereng lurus AB.

Sekarang kita akan mengurangi ∆x, yaitu. ∆х→ 0. Dalam hal ini, titik B akan mendekati titik A sesuai grafik, dan garis potong AB akan berputar. Posisi batas garis potong AB di ∆x→ 0 adalah garis lurus (a), yang disebut garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik A.

Jika kita menuju limit sebagai ∆x → 0 dalam persamaan tgβ =∆y/∆x, kita peroleh
ortg =f "(x 0), karena
-sudut kemiringan garis singgung terhadap arah positif sumbu Ox
, menurut definisi turunan. Tetapi tg = k adalah koefisien sudut garis singgung, yang berarti k = tg = f" (x 0).

Jadi, arti geometri turunannya adalah sebagai berikut:

Turunan suatu fungsi di titik x 0 sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi yang digambar di titik dengan absis x 0 .

3. Arti fisis turunan.

Perhatikan pergerakan suatu titik sepanjang garis lurus. Misalkan koordinat suatu titik pada suatu waktu x(t) diberikan. Diketahui (dari mata kuliah fisika) bahwa kecepatan rata-rata dalam suatu periode waktu sama dengan perbandingan jarak yang ditempuh selama periode waktu tersebut dengan waktu, yaitu.

Vav = ∆x/∆t. Mari kita menuju limit persamaan terakhir sebagai ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - kecepatan sesaat pada waktu t 0, ∆t → 0.

dan lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (menurut definisi turunan).

Jadi, (t) =x"(t).

Arti fisis turunan adalah sebagai berikut: turunan suatu fungsikamu = F(X) pada titikX 0 adalah laju perubahan fungsiF(x) di titikX 0

Turunannya digunakan dalam fisika untuk mencari kecepatan dari fungsi koordinat versus waktu yang diketahui, percepatan dari fungsi kecepatan versus waktu yang diketahui.

(t) = x"(t) - kecepatan,

a(f) = "(t) - percepatan, atau

Jika hukum gerak suatu titik material dalam lingkaran diketahui, maka kecepatan sudut dan percepatan sudut selama gerak rotasi dapat dicari:

φ = φ(t) - perubahan sudut seiring waktu,

ω = φ"(t) - kecepatan sudut,

ε = φ"(t) - percepatan sudut, atau ε = φ"(t).

Jika hukum distribusi massa batang tidak homogen diketahui, maka massa jenis linier batang tidak homogen dapat dicari:

m = m(x) - massa,

x  , aku - panjang batang,

p = m"(x) - kerapatan linier.

Dengan menggunakan turunan, permasalahan teori elastisitas dan getaran harmonik dapat diselesaikan. Jadi, menurut hukum Hooke

F = -kx, x – koordinat variabel, k – koefisien elastisitas pegas. Dengan meletakkan ω 2 =k/m, kita memperoleh persamaan diferensial pendulum pegas x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

dimana ω = √k/√m frekuensi osilasi (l/c), k - kekakuan pegas (H/m).

Persamaan bentuk y" + ω 2 y = 0 disebut persamaan osilasi harmonik (mekanik, listrik, elektromagnetik). Penyelesaian persamaan tersebut adalah fungsi

y = Asin(ωt + φ 0) atau y = Acos(ωt + φ 0), dimana

A - amplitudo osilasi, ω - frekuensi siklik,

φ 0 - fase awal.

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.

Sebagai hasil dari penyelesaian masalah mencari turunan dari fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana) dengan mendefinisikan turunan sebagai limit rasio kenaikan terhadap kenaikan argumen, muncullah tabel turunan dan tepatnya aturan tertentu diferensiasi. Orang pertama yang bekerja di bidang pencarian turunan adalah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Oleh karena itu, saat ini, untuk mencari turunan suatu fungsi, Anda tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi dan kenaikan argumen yang disebutkan di atas, tetapi Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut ini cocok untuk mencari turunannya.

Untuk mencari turunannya, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda prima memecah fungsi sederhana menjadi komponen-komponen dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini saling terkait. Turunan lebih lanjut fungsi dasar kita temukan di tabel turunan, dan rumus turunan dari hasil perkalian, jumlah dan hasil bagi ada pada aturan diferensiasi. Tabel turunan dan aturan diferensiasi diberikan setelah dua contoh pertama.

Contoh 1. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dari aturan diferensiasi kita mengetahui bahwa turunan dari suatu jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan dari suatu fungsi, yaitu.

Dari tabel turunan kita mengetahui bahwa turunan dari "x" sama dengan satu, dan turunan dari sinus sama dengan cosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam jumlah turunan dan mencari turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 2. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kita bedakan sebagai turunan suatu penjumlahan yang suku kedua mempunyai faktor konstan; dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

Jika pertanyaan masih muncul tentang dari mana sesuatu berasal, biasanya pertanyaan tersebut akan terjawab setelah Anda memahami tabel turunan dan aturan diferensiasi yang paling sederhana. Kami sedang beralih ke mereka sekarang.

Tabel turunan fungsi sederhana

1. Turunan dari suatu konstanta (angka). Bilangan apa pun (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu sama dengan nol. Hal ini sangat penting untuk diingat, karena sering kali diperlukan
2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "X". Selalu sama dengan satu. Hal ini juga penting untuk diingat dalam jangka waktu yang lama
3. Turunan derajat. Saat memecahkan masalah, Anda perlu mengubah akar non-kuadrat menjadi pangkat.
4. Turunan suatu variabel pangkat -1
5. Turunan akar pangkat dua
6. Turunan dari sinus
7. Turunan dari kosinus
8. Turunan dari garis singgung
9. Turunan dari kotangen
10. Turunan dari arcsinus
11. Turunan dari arc cosinus
12. Turunan dari arctangen
13. Turunan dari kotangen busur
14. Turunan dari logaritma natural
15. Turunan dari fungsi logaritma
16. Turunan dari eksponen
17. Turunan dari fungsi eksponensial

Aturan diferensiasi

1. Turunan dari suatu jumlah atau selisih
2. Turunan dari produk
2a. Turunan suatu ekspresi dikalikan dengan faktor konstan
3. Turunan dari hasil bagi
4. Turunan dari fungsi kompleks

Aturan 1.Jika fungsinya

terdiferensiasi pada suatu titik, maka fungsi-fungsi tersebut terdiferensiasi pada titik yang sama

Dan

itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar turunan dari fungsi tersebut.

Konsekuensi. Jika dua fungsi terdiferensiasi berbeda sukunya konstan, maka turunannya sama, yaitu.

Aturan 2.Jika fungsinya

terdiferensiasi pada suatu titik, maka hasil kali mereka terdiferensiasi pada titik yang sama

Dan

itu. Turunan hasil kali dua fungsi sama dengan jumlah hasil kali masing-masing fungsi tersebut dan turunan fungsi lainnya.

Akibat wajar 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

Akibat wajar 2. Turunan hasil kali beberapa fungsi terdiferensiasi sama dengan jumlah hasil kali turunan masing-masing faktor dan faktor lainnya.

Misalnya, untuk tiga pengganda:

Aturan 3.Jika fungsinya

dapat dibedakan pada suatu saat Dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga terdiferensiasiu/v , dan

itu. turunan hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan pembilang dan pembilang serta turunan penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya.

Di mana mencari sesuatu di halaman lain

Saat mencari turunan suatu hasil kali dan hasil bagi dalam permasalahan nyata, selalu perlu menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus, oleh karena itu lebih banyak contoh untuk turunan ini - di artikel"Turunan dari hasil kali dan hasil bagi fungsi".

Komentar. Anda tidak boleh bingung antara konstanta (yaitu bilangan) sebagai suku dalam penjumlahan dan sebagai faktor konstan! Dalam kasus suatu suku, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus suatu faktor konstan, turunannya dikeluarkan dari tanda turunannya. Ini kesalahan tipikal, yang terjadi pada tahap awal mempelajari turunan, tetapi ketika mereka menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bagian, rata-rata siswa tidak lagi membuat kesalahan ini.

Dan jika, ketika membedakan suatu produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"ay, di mana kamu- suatu bilangan, misalnya 2 atau 5, yaitu suatu konstanta, maka turunan bilangan tersebut akan sama dengan nol dan oleh karena itu, seluruh sukunya akan sama dengan nol (kasus ini dibahas pada contoh 10).

Lainnya kesalahan Umum - solusi mekanis turunan fungsi kompleks sebagai turunan fungsi sederhana. Itu sebabnya turunan dari fungsi kompleks artikel terpisah dikhususkan. Tapi pertama-tama kita akan belajar mencari turunan dari fungsi sederhana.

Sepanjang prosesnya, Anda tidak dapat melakukannya tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual di jendela baru. Tindakan dengan kekuatan dan akar Dan Operasi dengan pecahan .

Jika Anda mencari solusi turunan pecahan yang mempunyai pangkat dan akar, yaitu seperti apa bentuknya , lalu ikuti pelajaran “Menurunkan jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar”.

Jika Anda memiliki tugas seperti , selanjutnya anda akan mengambil pelajaran “Turunan fungsi trigonometri sederhana”.

Contoh langkah demi langkah - cara mencari turunannya

Contoh 3. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kami mendefinisikan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, yang salah satu sukunya mengandung faktor konstan. Kami menerapkan aturan diferensiasi perkalian: turunan perkalian dua fungsi sama dengan jumlah perkalian masing-masing fungsi tersebut dengan turunan fungsi lainnya:

Selanjutnya, kita menerapkan aturan diferensiasi jumlah: turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi tersebut. Dalam kasus kita, pada setiap penjumlahan, suku kedua mempunyai tanda minus. Dalam setiap penjumlahan kita melihat variabel bebas, yang turunannya sama dengan satu, dan sebuah konstanta (angka), yang turunannya sama dengan nol. Jadi, “X” berubah menjadi satu, dan minus 5 menjadi nol. Pada ekspresi kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita mengalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kami memperoleh nilai turunan berikut:

Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan mendapatkan turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 4. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kita diharuskan mencari turunan dari hasil bagi tersebut. Kita terapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilangnya serta turunan dari penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kita mendapatkan:

Kita telah menemukan turunan faktor pembilang pada contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor kedua pembilang pada contoh ini, diambil dengan tanda minus:

Jika Anda mencari solusi untuk soal yang mengharuskan Anda mencari turunan suatu fungsi, yang terdapat tumpukan akar dan pangkat yang kontinu, seperti, misalnya, , lalu selamat datang di kelas "Turunan dari jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar" .

Jika anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan sinus, cosinus, garis singgung dan lain-lain fungsi trigonometri, yaitu, ketika fungsi tersebut terlihat seperti , maka pelajaran untukmu "Turunan fungsi trigonometri sederhana" .

Contoh 5. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil kali yang salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel bebas, yang turunannya telah kita pelajari di tabel turunannya. Dengan menggunakan aturan diferensiasi produk dan nilai tabel turunan akar kuadrat, kita memperoleh:

Contoh 6. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya merupakan akar kuadrat dari variabel bebas. Dengan menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi, yang kita ulangi dan terapkan pada contoh 4, dan nilai tabulasi turunan akar kuadrat, kita peroleh:

Untuk menghilangkan pecahan pada pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .

Turunan dari suatu fungsi dari satu variabel.

Perkenalan.

Nyata perkembangan metodologis ditujukan bagi mahasiswa Fakultas Teknik Industri dan Sipil. Mereka disusun sehubungan dengan program kursus matematika di bagian “Kalkulus Diferensial Fungsi Satu Variabel”.

Perkembangan tersebut mewakili panduan metodologis tunggal, termasuk: informasi teoretis singkat; masalah dan latihan “standar” dengan solusi rinci dan penjelasan untuk solusi tersebut; pilihan tes.

Ada latihan tambahan di akhir setiap paragraf. Struktur perkembangan ini membuat mereka cocok untuk penguasaan bagian secara mandiri dengan bantuan minimal dari guru.

§1. Definisi turunan.

Arti mekanis dan geometris

turunan.

Konsep turunan adalah salah satu konsep analisis matematis yang paling penting dan muncul pada abad ke-17. Pembentukan konsep turunan secara historis dikaitkan dengan dua masalah: masalah kecepatan gerak bolak-balik dan masalah garis singgung suatu kurva.

Soal-soal ini, meskipun isinya berbeda, menghasilkan operasi matematika yang sama yang harus dilakukan pada suatu fungsi.Operasi ini mendapat nama khusus dalam matematika. Ini disebut operasi diferensiasi suatu fungsi. Hasil operasi diferensiasi disebut turunan.

Jadi, turunan fungsi y=f(x) di titik x0 adalah limit (jika ada) rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen
pada
.

Turunannya biasanya dilambangkan sebagai berikut:
.

Jadi, menurut definisi

Simbol juga digunakan untuk menunjukkan turunan
.

Arti mekanis dari turunan.

Jika s=s(t) adalah hukum gerak lurus suatu titik material, maka
adalah kecepatan titik ini pada waktu t.

Arti geometris turunan.

Jika fungsi y=f(x) mempunyai turunan di titik tersebut , maka koefisien sudut garis singgung grafik fungsi di titik tersebut
sama
.

Contoh.

Temukan turunan dari fungsi tersebut
pada intinya =2:

1) Mari kita beri poin =2 kenaikan
. Perhatikan itu.

2) Temukan pertambahan fungsi di titik tersebut =2:

3) Mari kita buat rasio pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen:

Mari kita cari limit perbandingannya di
:

.

Dengan demikian,
.

§ 2. Turunan dari beberapa

fungsi paling sederhana.

Siswa perlu mempelajari cara menghitung turunan fungsi tertentu: y=x,y= dan secara umum= .

Mari kita cari turunan dari fungsi y=x.

itu. (x)′=1.

Mari kita cari turunan dari fungsinya

Turunan

Membiarkan
Kemudian

Sangat mudah untuk melihat pola dalam ekspresi turunan fungsi pangkat
dengan n=1,2,3.

Karena itu,

. (1)

Rumus ini berlaku untuk semua n real.

Secara khusus, dengan menggunakan rumus (1), kita mendapatkan:

;

.

Contoh.

Temukan turunan dari fungsi tersebut

.

.

Fungsi ini merupakan kasus khusus dari suatu fungsi formulir

pada
.

Dengan menggunakan rumus (1), kita punya

.

Turunan dari fungsi y=sin x dan y=cos x.

Misalkan y=sinx.

Bagi dengan ∆x, kita peroleh

Melewati batas di ∆x→0, kita punya

Misalkan y=cosx.

Melewati limit di ∆x→0, kita peroleh

;
. (2)

§3. Aturan dasar diferensiasi.

Mari kita pertimbangkan aturan diferensiasi.

Dalil1 . Jika fungsi u=u(x) dan v=v(x) terdiferensialkan di suatu titik x, maka jumlah keduanya terdiferensialkan di titik tersebut, dan turunan dari jumlah tersebut sama dengan jumlah dari turunan suku-suku tersebut : (u+v)"=u"+v".(3 )

Bukti: perhatikan fungsi y=f(x)=u(x)+v(x).

Kenaikan ∆x dari argumen x sama dengan kenaikan ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) dari fungsi u dan v. Maka fungsi y akan bertambah

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Karena itu,

Jadi, (u+v)"=u"+v".

Dalil2. Jika fungsi u=u(x) dan v=v(x) terdiferensialkan di titik x tertentu, maka hasil kali kedua fungsi tersebut terdiferensialkan di titik yang sama.Dalam hal ini, turunan dari hasil kali tersebut dicari dengan rumus berikut: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Bukti: Misalkan y=uv, dimana u dan v adalah beberapa fungsi terdiferensiasi dari x. Mari kita beri x kenaikan sebesar ∆x; maka u akan menerima kenaikan sebesar ∆u, v akan menerima kenaikan sebesar ∆v, dan y akan menerima kenaikan sebesar ∆y.

Kita punya y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), atau

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Oleh karena itu, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Dari sini

Melewati limit di ∆x→0 dan dengan mempertimbangkan bahwa u dan v tidak bergantung pada ∆x, kita akan mendapatkan

Teorema 3. Turunan hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang penyebutnya sama dengan kuadrat pembaginya, dan pembilangnya adalah selisih antara hasil kali turunan pembilang dan pembagi serta hasil kali dari dividen dan turunan dari pembaginya, yaitu

Jika
Itu
(5)

Teorema 4. Turunan dari suatu konstanta adalah nol, mis. jika y=C, dimana C=const, maka y"=0.

Teorema 5. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya, yaitu. jika y=Cu(x), dimana С=const, maka y"=Cu"(x).

Contoh 1.

Temukan turunan dari fungsi tersebut

.

Fungsi ini berbentuk
, dimanau=x,v=cosx. Menerapkan aturan diferensiasi (4), kita temukan

.

Contoh 2.

Temukan turunan dari fungsi tersebut

.

Mari kita terapkan rumus (5).

Di Sini
;
.

Tugas.

Temukan turunan dari fungsi berikut:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Apa itu turunan?
Pengertian dan Arti Turunan Fungsi

Banyak yang akan terkejut dengan penempatan artikel ini yang tidak terduga dalam kursus penulis saya tentang turunan fungsi dari satu variabel dan penerapannya. Memang, seperti yang terjadi sejak masa sekolah: buku teks standar pertama-tama memberikan definisi turunan, makna geometris dan mekanisnya. Selanjutnya siswa mencari turunan fungsi menurut definisinya, dan baru kemudian menyempurnakan teknik diferensiasi yang digunakan tabel turunan.

Namun menurut saya, pendekatan berikut ini lebih pragmatis: pertama-tama, disarankan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK batas suatu fungsi, dan, khususnya, jumlah yang sangat kecil. Faktanya adalah itu pengertian turunan didasarkan pada konsep limit, yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebagian besar konsumen muda granit pengetahuan tidak memahami esensi turunannya. Jadi, jika Anda memiliki sedikit pengetahuan tentang kalkulus diferensial atau otak yang bijak bertahun-tahun yang panjang berhasil membuang bagasi ini, silakan mulai batas fungsi. Pada saat yang sama, kuasai/ingat solusi mereka.

Arti praktis yang sama menyatakan bahwa hal ini menguntungkan terlebih dahulu belajar mencari turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks. Teori tetaplah teori, tetapi seperti kata pepatah, Anda selalu ingin membedakannya. Dalam hal ini, lebih baik mempelajari pelajaran dasar yang tercantum, dan mungkin ahli diferensiasi tanpa menyadari inti dari tindakan mereka.

Saya sarankan memulai dengan materi di halaman ini setelah membaca artikel. Masalah paling sederhana dengan turunan, di mana, khususnya, masalah garis singgung grafik suatu fungsi dipertimbangkan. Tapi Anda bisa menunggu. Faktanya adalah banyak penerapan turunan yang tidak memerlukan pemahaman, dan tidak mengherankan jika pelajaran teori muncul cukup terlambat - ketika saya perlu menjelaskannya. menemukan interval naik/turun dan ekstrem fungsi. Apalagi dia sudah membahas topik itu cukup lama. Fungsi dan grafik”, hingga akhirnya saya memutuskan untuk memasangnya lebih awal.

Oleh karena itu teko sayang, jangan buru-buru menyerap sari turunannya seperti hewan lapar, karena rasa kenyangnya akan terasa hambar dan tidak lengkap.

Konsep kenaikan, penurunan, maksimum, minimum suatu fungsi

Banyak alat peraga mengarah pada konsep turunan menggunakan beberapa masalah praktis, dan saya juga menemukan contoh yang menarik. Bayangkan kita akan melakukan perjalanan ke kota yang dapat dicapai dengan berbagai cara. Mari kita segera membuang jalur berkelok-kelok dan hanya mempertimbangkan jalan raya yang lurus. Namun, petunjuk arah garis lurus juga berbeda: Anda dapat mencapai kota melalui jalan raya yang mulus. Atau di sepanjang jalan raya yang berbukit - naik turun, naik turun. Jalan lainnya hanya menanjak, dan jalan lainnya selalu menurun. Penggemar olahraga ekstrem akan memilih rute melalui jurang dengan tebing terjal dan tanjakan terjal.

Namun apa pun preferensi Anda, disarankan untuk mengetahui area tersebut atau setidaknya menemukannya peta topografi. Bagaimana jika informasi tersebut hilang? Lagi pula, Anda dapat memilih, misalnya, jalan yang mulus, tetapi sebagai hasilnya Anda akan menemukan lereng ski dengan orang Finlandia yang ceria. Bukan fakta bahwa navigator atau bahkan citra satelit akan memberikan data yang dapat diandalkan. Oleh karena itu, alangkah baiknya memformalkan relief jalan tersebut dengan menggunakan matematika.

Mari kita lihat beberapa jalan (tampilan samping):

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan Anda tentang fakta dasar: perjalanan terjadi dari kiri ke kanan. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa fungsinya kontinu di area yang sedang dipertimbangkan.

Apa sajakah fiturnya dari jadwal ini?

Secara berkala fungsi meningkat, yaitu, setiap nilai berikutnya lagi yang sebelumnya. Secara kasar, jadwalnya sudah aktif turun hingga(kami mendaki bukit). Dan pada interval fungsinya berkurang– setiap nilai berikutnya lebih sedikit sebelumnya, dan jadwal kami aktif Perintahkan ke bawah(kita menuruni lereng).

Mari kita perhatikan juga poin-poin khusus. Pada titik yang kita capai maksimum, itu adalah ada bagian jalur yang nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama hal itu tercapai minimum, Dan ada lingkungannya yang nilainya paling kecil (terendah).

Kita akan melihat terminologi dan definisi yang lebih ketat di kelas. tentang ekstrem dari fungsi tersebut, tapi untuk saat ini mari kita pelajari satu lagi fitur penting: secara berkala fungsinya meningkat, tetapi meningkat pada kecepatan yang berbeda. Dan hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah grafiknya melonjak selama interval jauh lebih keren, dibandingkan pada interval . Mungkinkah mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematika?

Tingkat perubahan fungsi

Idenya adalah ini: mari kita ambil nilai (baca "delta x"), yang akan kami panggil peningkatan argumen, dan mari kita mulai “mencobanya” ke berbagai titik di jalur kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak, kita mendaki lereng hingga ketinggian (garis hijau). Besarannya disebut peningkatan fungsi, dan masuk pada kasus ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu adalah Diatas nol). Mari kita buat rasio yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas sekali, ini adalah angka yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka .

Perhatian! Sebutannya adalah SATU simbol, yaitu, Anda tidak dapat "melepaskan" "delta" dari "X" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja komentar tersebut juga menyangkut simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan dengan lebih bermakna. Mari kita awalnya berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah menempuh jarak beberapa meter (garis merah kiri), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsinya adalah meter (garis hijau) dan: . Dengan demikian, pada setiap meter bagian jalan ini tinggi badan bertambah rata-rata sejauh 4 meter...lupa perlengkapan pendakianmu? =) Dengan kata lain, hubungan yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) dari fungsi tersebut.

Catatan : Nilai numerik dari contoh yang dimaksud hanya kira-kira sesuai dengan proporsi gambar.

2) Sekarang mari kita menempuh jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih bertahap, sehingga kenaikannya (garis merah tua) relatif kecil, dan rasionya dibandingkan kasus sebelumnya akan sangat kecil. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi adalah . Artinya, di sini ada untuk setiap meter jalan rata-rata kenaikan setengah meter.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat bagian atas titik hitam, terletak pada sumbu ordinat. Anggap saja ini adalah tanda 50 meter. Kami mengatasi jarak itu lagi, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - di ketinggian 30 meter. Sejak gerakan itu dilakukan Perintahkan ke bawah(dalam arah “berlawanan” sumbu), lalu yang terakhir kenaikan fungsi (tinggi) akan negatif: meter (segmen coklat pada gambar). Dan dalam hal ini kita sudah membicarakannya tingkat penurunan Fitur: , yaitu, untuk setiap meter lintasan pada bagian ini, ketinggiannya berkurang rata-rata sebesar 2 meter. Jagalah pakaian Anda pada poin kelima.

Sekarang mari kita bertanya pada diri kita sendiri: nilai “standar pengukuran” manakah yang paling baik digunakan? Dapat dimengerti sepenuhnya, 10 meter itu sangat kasar. Selusin gundukan yang bagus dapat dengan mudah dipasang di atasnya. Kenapa ada benjolan, mungkin ada di bawah sana? jurang yang dalam, dan setelah beberapa meter - sisi lainnya dengan tanjakan yang lebih curam. Jadi, dengan jarak sepuluh meter kita tidak akan mendapatkan gambaran yang jelas tentang bagian jalan yang melalui rasio tersebut.

Dari pembahasan di atas dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: Bagaimana nilainya lebih sedikit , semakin akurat kami menggambarkan topografi jalan. Selain itu, fakta-fakta berikut ini benar adanya:

– Untuk siapa pun poin pengangkatan Anda dapat memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dengan batas kenaikan tertentu. Artinya pertambahan ketinggian yang bersangkutan dijamin positif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan pertumbuhan fungsi di setiap titik pada interval tersebut dengan tepat.

- Juga, untuk apa pun titik kemiringan ada nilai yang sesuai sepenuhnya pada kemiringan ini. Akibatnya, pertambahan tinggi yang bersesuaian jelas negatif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan penurunan fungsi di setiap titik pada interval tertentu.

– Kasus yang sangat menarik adalah ketika laju perubahan fungsi adalah nol: . Pertama, kenaikan ketinggian nol () adalah tanda jalan mulus. Dan kedua, ada situasi menarik lainnya, contohnya dapat Anda lihat pada gambar. Bayangkan takdir membawa kita ke puncak bukit dengan elang yang terbang tinggi atau dasar jurang dengan katak yang berkokok. Jika Anda mengambil langkah kecil ke segala arah, perubahan ketinggian dapat diabaikan, dan kita dapat mengatakan bahwa laju perubahan fungsi sebenarnya adalah nol. Ini persis seperti gambaran yang terlihat pada titik-titik tersebut.

Oleh karena itu, kita mempunyai peluang luar biasa untuk secara akurat mengkarakterisasi laju perubahan suatu fungsi. Lagipula analisis matematis memungkinkan Anda mengarahkan kenaikan argumen ke nol: , yaitu membuatnya kecil sekali.

Akibatnya, muncul pertanyaan logis lainnya: apakah mungkin menemukan jalan dan jadwalnya fungsi lain, yang akan memberi tahu kami tentang semua bagian datar, tanjakan, turunan, puncak, lembah, serta laju pertumbuhan/penurunan di setiap titik sepanjang perjalanan?

Apa itu turunan? Definisi turunan.
Arti geometris turunan dan diferensial

Harap baca dengan cermat dan jangan terlalu cepat - materinya sederhana dan dapat diakses oleh semua orang! Tidak apa-apa jika di beberapa tempat ada sesuatu yang tidak begitu jelas, Anda selalu dapat kembali ke artikelnya nanti. Saya akan mengatakan lebih banyak, akan berguna untuk mempelajari teori beberapa kali untuk memahami semua poin secara menyeluruh (nasihat ini sangat relevan untuk siswa “teknisi” yang memiliki matematika yang lebih tinggi memainkan peran penting dalam proses pendidikan).

Tentu saja, dalam definisi turunan pada suatu titik kita menggantinya dengan:

Apa yang telah kita capai? Dan kami sampai pada kesimpulan bahwa untuk fungsinya sesuai undang-undang sudah sesuai fungsi lainnya, yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan).

Derivatifnya mencirikan tingkat perubahan fungsi Bagaimana? Idenya berjalan seperti benang merah sejak awal artikel. Mari kita pertimbangkan beberapa hal domain definisi fungsi Biarkan fungsi tersebut terdiferensiasi pada suatu titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsinya bertambah di titik . Dan jelas ada selang(bahkan yang sangat kecil), berisi titik di mana fungsi tersebut bertambah, dan grafiknya bergerak “dari bawah ke atas”.

2) Jika , maka fungsinya berkurang di titik . Dan ada interval yang berisi titik di mana fungsinya menurun (grafiknya “dari atas ke bawah”).

3) Jika , maka sangat dekat di dekat suatu titik fungsi tersebut mempertahankan kecepatannya konstan. Hal ini terjadi, sebagaimana dicatat, dengan fungsi konstan dan pada titik-titik kritis fungsi, secara khusus pada titik minimum dan maksimum.

Sedikit semantik. Apa arti kata kerja “membedakan” dalam arti luas? Membedakan berarti menonjolkan suatu ciri. Dengan mendiferensiasikan suatu fungsi, kita “mengisolasi” laju perubahannya dalam bentuk turunan fungsi tersebut. Ngomong-ngomong, apa yang dimaksud dengan kata “turunan”? Fungsi telah terjadi dari fungsi.

Istilah-istilah tersebut sangat berhasil ditafsirkan oleh makna mekanis turunannya :
Mari kita perhatikan hukum perubahan koordinat suatu benda, bergantung pada waktu, dan fungsi kecepatan gerak suatu benda. Fungsi tersebut mencirikan laju perubahan koordinat benda, oleh karena itu merupakan turunan pertama fungsi tersebut terhadap waktu: . Jika konsep “gerakan tubuh” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep "kecepatan tubuh".

Percepatan suatu benda adalah laju perubahan kecepatan, oleh karena itu: . Jika konsep awal “gerakan benda” dan “kecepatan benda” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep “percepatan benda”.

Kembali