Kemajuan aritmatika sebutkan barisan bilangan (suku suatu barisan)
Dimana setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan suku baru, yang disebut juga perbedaan langkah atau perkembangan.
Jadi, dengan menentukan langkah perkembangan dan suku pertamanya, Anda dapat mencari salah satu elemennya menggunakan rumus
Sifat-sifat barisan aritmatika
1) Setiap anggota suatu barisan aritmatika, mulai dari bilangan kedua, adalah rata-rata aritmatika dari anggota barisan sebelumnya dan berikutnya
Hal sebaliknya juga benar. Jika rata-rata aritmatika suku-suku ganjil (genap) yang berdekatan suatu barisan sama dengan suku-suku yang berada di antara suku-suku tersebut, maka barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmatika. Dengan menggunakan pernyataan ini, sangat mudah untuk memeriksa urutan apa pun.
Selain itu, berdasarkan sifat perkembangan aritmatika, rumus di atas dapat digeneralisasikan sebagai berikut
Hal ini mudah diverifikasi jika Anda menuliskan suku-sukunya di sebelah kanan tanda sama dengan
Ini sering digunakan dalam praktik untuk menyederhanakan perhitungan dalam soal.
2) Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dihitung dengan menggunakan rumus
Ingat baik-baik rumus jumlah suatu barisan aritmatika, ini sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup sering ditemukan dalam situasi kehidupan sederhana.
3) Jika Anda tidak perlu mencari jumlah keseluruhannya, tetapi sebagian barisan yang dimulai dari suku ke-k, maka rumus penjumlahan berikut akan berguna bagi Anda
4) Yang menarik secara praktis adalah mencari jumlah n suku suatu barisan aritmatika yang dimulai dari bilangan ke-k. Untuk melakukan ini, gunakan rumus
Hal ini materi teori berakhir dan kami melanjutkan untuk memecahkan masalah umum dalam praktik.
Contoh 1. Tentukan suku keempat puluh barisan aritmatika 4;7;...
Larutan:
Sesuai dengan kondisi yang kita miliki
Mari kita tentukan langkah perkembangannya
Dengan menggunakan rumus terkenal, kita mencari suku keempat puluh dari perkembangan tersebut
Contoh 2. Perkembangan aritmatika ditentukan oleh suku ketiga dan ketujuh. Tentukan suku pertama barisan tersebut dan jumlah sepuluhnya.
Larutan:
Mari kita tuliskan unsur-unsur perkembangan tertentu menggunakan rumus
Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kami menemukan langkah perkembangannya
Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan mana pun untuk mencari suku pertama barisan aritmatika
Kami menghitung jumlah sepuluh suku pertama perkembangannya
Tanpa menggunakan perhitungan yang rumit, kami menemukan semua jumlah yang dibutuhkan.
Contoh 3. Suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan penyebut dan salah satu sukunya. Tentukan suku pertama suatu barisan, jumlah 50 sukunya dimulai dari 50, dan jumlah 100 suku pertama.
Larutan:
Mari kita tuliskan rumus unsur keseratus dari perkembangan tersebut
dan temukan yang pertama
Berdasarkan persamaan pertama, kita mencari suku ke-50 dari perkembangan tersebut
Menemukan jumlah bagian perkembangannya
dan jumlah 100 yang pertama
Jumlah perkembangannya adalah 250.
Contoh 4.
Tentukan banyaknya suku suatu barisan aritmatika jika:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Larutan:
Mari kita tulis persamaan suku pertama dan langkah perkembangannya dan tentukan
Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus penjumlahan untuk menentukan jumlah suku dalam penjumlahan
Kami melakukan penyederhanaan
dan selesaikan persamaan kuadratnya
Dari dua nilai yang ditemukan, hanya angka 8 yang sesuai dengan kondisi permasalahan. Jadi, jumlah delapan suku pertama barisan tersebut adalah 111.
Contoh 5.
Selesaikan persamaannya
1+3+5+...+x=307.
Solusi: Persamaan ini adalah jumlah dari barisan aritmatika. Mari kita tuliskan suku pertamanya dan temukan perbedaan perkembangannya
Jumlah perkembangan aritmatika.
Penjumlahan suatu barisan aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik arti maupun rumusnya. Tapi ada berbagai macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup solid.
Mari kita pahami dulu pengertian dan rumus besarannya. Dan kemudian kita akan memutuskan. Untuk kesenangan Anda sendiri.) Arti dari jumlah itu sesederhana moo. Untuk mencari jumlah suatu barisan aritmatika, Anda hanya perlu menjumlahkan semua sukunya dengan cermat. Jika suku-sukunya sedikit, Anda dapat menambahkannya tanpa rumus apa pun. Tetapi jika jumlahnya banyak, atau banyak... penambahannya menjengkelkan.) Dalam hal ini, rumusnya akan membantu.
Rumus besarannya sederhana:
Mari kita cari tahu huruf apa saja yang termasuk dalam rumus. Ini akan memperjelas banyak hal.
S n - jumlah perkembangan aritmatika. Hasil tambahan setiap orang anggota, dengan Pertama Oleh terakhir. Itu penting. Jumlahnya tepat Semua anggota berturut-turut, tanpa melewatkan atau melewatkan. Dan tepatnya, dimulai dari Pertama. Dalam soal seperti mencari jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku kelima hingga kedua puluh, penerapan rumus secara langsung akan mengecewakan.)
sebuah 1 - Pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana saja Pertama nomor baris.
sebuah- terakhir anggota kemajuan. Nomor terakhir dari seri. Bukan nama yang terlalu familiar, tapi jika diterapkan pada jumlahnya, cocok sekali. Kemudian Anda akan melihatnya sendiri.
N - nomor anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa rumus ini berisi angka ini bertepatan dengan jumlah suku yang ditambahkan.
Mari kita definisikan konsepnya terakhir anggota sebuah. Pertanyaan rumit: anggota mana yang akan menjadi yang terakhir jika diberikan tak ada habisnya perkembangan aritmatika?)
Untuk menjawab dengan percaya diri, Anda perlu memahami arti dasar perkembangan aritmatika dan... bacalah tugas dengan cermat!)
Dalam tugas mencari jumlah suatu barisan aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang seharusnya dibatasi. Jika tidak, jumlah final dan spesifik tidak ada. Untuk penyelesaiannya, tidak masalah apakah perkembangannya diberikan: berhingga atau tak terhingga. Tidak peduli bagaimana cara pemberiannya: serangkaian angka, atau rumus suku ke-n.
Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus tersebut bekerja dari suku pertama deret ke suku dengan bilangan N. Sebenarnya nama lengkap rumusnya seperti ini: jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu. N, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam sebuah tugas, semua informasi berharga ini sering kali dienkripsi ya... Tapi sudahlah, pada contoh di bawah ini kami mengungkap rahasia tersebut.)
Contoh soal penjumlahan barisan aritmatika.
Pertama, informasi bermanfaat:
Kesulitan utama dalam tugas-tugas yang melibatkan jumlah barisan aritmatika terletak pada penentuan unsur-unsur rumus yang benar.
Penulis tugas mengenkripsi elemen yang sama dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup menguraikannya saja. Mari kita lihat beberapa contoh secara detail. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA yang sebenarnya.
1. Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 suku pertamanya.
Kerja bagus. Gampang.) Untuk menentukan besarannya menggunakan rumus apa saja yang perlu kita ketahui? Anggota pertama sebuah 1, semester terakhir sebuah, ya nomor anggota terakhir N.
Dimana saya bisa mendapatkan nomor anggota terakhir? N? Ya, di sana, dengan syarat! Bunyinya: temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, dengan nomor berapa? terakhir, anggota kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nomornya kesepuluh!) Oleh karena itu, alih-alih sebuah Kami akan menggantinya ke dalam rumus sebuah 10, dan sebagai gantinya N- sepuluh. Saya ulangi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.
Masih harus ditentukan sebuah 1 Dan sebuah 10. Ini mudah dihitung menggunakan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam rumusan masalah. Tidak tahu bagaimana melakukan ini? Hadiri pelajaran sebelumnya, tanpa ini tidak ada jalan.
sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
sebuah 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Kita telah menemukan arti semua elemen rumus jumlah barisan aritmatika. Yang tersisa hanyalah menggantinya dan menghitung:
Itu dia. Jawaban: 75.
Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:
2. Diketahui barisan aritmatika (an) yang selisihnya 3,7; sebuah 1 =2.3. Tentukan jumlah 15 suku pertamanya.
Kita langsung tuliskan rumus penjumlahannya:
Rumus ini memungkinkan kita mencari nilai suku apa pun berdasarkan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Tetap mengganti semua elemen ke dalam rumus jumlah perkembangan aritmatika dan menghitung jawabannya:
Jawaban: 423.
Omong-omong, jika dalam rumus penjumlahan, bukan sebuah Kita cukup mengganti rumus suku ke-n dan mendapatkan:
Mari kita sajikan rumus serupa dan dapatkan rumus baru untuk jumlah suku suatu barisan aritmatika:
 |
Seperti yang Anda lihat, ini tidak diperlukan di sini istilah ke-n sebuah. Dalam beberapa soal rumus ini sangat membantu ya... Anda bisa mengingat rumus ini. Atau Anda cukup menampilkannya di waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, Anda harus selalu mengingat rumus jumlah dan rumus suku ke-n.)
Sekarang tugasnya berupa enkripsi singkat):
3. Tentukan jumlah semua bilangan positif dua angka yang merupakan kelipatan tiga.
Wow! Baik anggota pertama Anda, maupun anggota terakhir Anda, atau kemajuan sama sekali... Bagaimana cara hidup!?
Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan mengeluarkan semua elemen jumlah perkembangan aritmatika dari kondisi tersebut. Kita tahu apa itu angka dua digit. Mereka terdiri dari dua angka.) Berapakah angka dua digitnya Pertama? 10, mungkin.) A hal terakhir angka dua digit? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya...
Kelipatan tiga... Hm... Ini bilangan-bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi... 12... habis dibagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah dapat menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi soal:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Apakah deret tersebut merupakan barisan aritmatika? Tentu! Setiap istilah berbeda dari yang sebelumnya hanya tiga. Jika Anda menambahkan 2 atau 4 ke suatu suku, katakanlah hasilnya, mis. bilangan baru tersebut sudah tidak habis dibagi 3. Anda dapat langsung menentukan selisih barisan aritmatikanya: d = 3. Ini akan berguna!)
Jadi, kita dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan:
Berapa nomornya? N anggota terakhir? Siapa pun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal... Angkanya selalu berurutan, tapi anggota kami melompati tiga. Mereka tidak cocok.
Ada dua solusi di sini. Salah satu caranya adalah untuk pekerja super keras. Anda dapat menuliskan perkembangannya, seluruh rangkaian angkanya, dan menghitung jumlah anggotanya dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Anda perlu mengingat rumus suku ke-n. Jika kita menerapkan rumus tersebut pada soal kita, kita akan menemukan bahwa 99 adalah suku ketiga puluh dari barisan tersebut. Itu. n = 30.
Mari kita lihat rumus jumlah barisan aritmatika:
Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan dari rumusan masalah semua yang diperlukan untuk menghitung jumlahnya:
sebuah 1= 12.
sebuah 30= 99.
S n = S 30.
Yang tersisa hanyalah aritmatika dasar. Kami mengganti angka-angka tersebut ke dalam rumus dan menghitung:
Jawaban: 1665
Jenis teka-teki populer lainnya:
4. Diketahui barisan aritmatika:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Temukan jumlah suku dari dua puluh hingga tiga puluh empat.
Kami melihat rumus jumlahnya dan... kami kesal.) Izinkan saya mengingatkan Anda, rumusnya menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam soal Anda perlu menghitung jumlahnya sejak tanggal dua puluh... Rumusnya tidak akan berhasil.
Anda tentu saja dapat menuliskan seluruh perkembangannya dalam satu rangkaian, dan menambahkan suku dari 20 hingga 34. Tapi... itu agak bodoh dan memakan waktu lama, bukan?)
Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita bagi seri kita menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah dari semester pertama hingga semester sembilan belas. Bagian kedua - dari dua puluh menjadi tiga puluh empat. Jelas jika kita menghitung jumlah suku-suku bagian pertama S 1-19, mari kita tambahkan dengan jumlah suku-suku bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama hingga suku ketiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Dari sini kita dapat melihat bahwa temukan jumlahnya S 20-34 dapat dilakukan dengan pengurangan sederhana
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Kedua jumlah di sisi kanan dipertimbangkan dari yang pertama anggota, yaitu rumus penjumlahan standar cukup dapat diterapkan pada mereka. Mari kita mulai?
Kami mengekstrak parameter perkembangan dari pernyataan masalah:
d = 1,5.
sebuah 1= -21,5.
Untuk menghitung jumlah 19 suku pertama dan 34 suku pertama, kita memerlukan suku ke-19 dan ke-34. Kita menghitungnya menggunakan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:
sebuah 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
sebuah 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Tidak ada yang tersisa. Dari jumlah 34 suku, kurangi jumlah 19 suku:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Jawaban: 262.5
Satu catatan penting! Ada trik yang sangat berguna untuk mengatasi masalah ini. Daripada perhitungan langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung sesuatu yang tampaknya tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka memutuskan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil keseluruhan. “Tipuan dengan telinga” semacam ini sering kali menyelamatkan Anda dari masalah yang buruk.)
Dalam pelajaran ini kita melihat soal-soal yang cukup untuk memahami arti jumlah suatu barisan aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa rumus.)
Saat menyelesaikan masalah apa pun yang melibatkan jumlah barisan aritmatika, saya sarankan segera menuliskan dua rumus utama dari topik ini.
Rumus suku ke-n:
Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari dan ke arah mana harus berpikir untuk menyelesaikan masalah. Membantu.
Dan sekarang tugas untuk diselesaikan secara mandiri.
5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga.
Keren?) Petunjuknya tersembunyi di catatan soal 4. Nah, soal 3 akan membantu.
6. Perkembangan aritmatika diberikan dengan syarat: a 1 = -5,5; sebuah+1 = sebuah+0,5. Tentukan jumlah 24 suku pertamanya.
Tidak biasa?) Ini rumus kekambuhan. Anda dapat membacanya pada pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan linknya, masalah seperti itu sering ditemukan di Akademi Ilmu Pengetahuan Negeri.
7. Vasya menabung uang untuk liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberikan beberapa hari kebahagiaan kepada orang yang saya cintai (diri saya sendiri). Hiduplah dengan indah tanpa menyangkal apa pun. Habiskan 500 rubel pada hari pertama, dan pada setiap hari berikutnya belanjakan 50 rubel lebih banyak dari hari sebelumnya! Sampai uangnya habis. Berapa hari kebahagiaan yang dialami Vasya?
Apakah sulit?) Rumus tambahan dari tugas 2 akan membantu.
Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Perkembangan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya lebih besar (atau lebih kecil) dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Topik ini sering kali tampak rumit dan tidak dapat dipahami. Indeks huruf-hurufnya, suku ke-n dari barisan tersebut, selisih dari barisan tersebut - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya... Mari kita cari tahu arti dari barisan aritmatika dan semuanya akan segera menjadi lebih baik.)
Konsep perkembangan aritmatika.
Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Apakah Anda ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.
Saya akan menulis rangkaian angka yang belum selesai:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bisakah Anda memperpanjang seri ini? Angka apa yang akan muncul berikutnya, setelah angka lima? Semuanya... uh..., singkatnya, semua orang akan menyadari bahwa angka 6, 7, 8, 9, dst akan muncul berikutnya.
Mari kita mempersulit tugas ini. Saya memberi Anda serangkaian angka yang belum selesai:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Anda akan dapat menangkap polanya, memperluas rangkaiannya, dan memberi namanya ketujuh nomor baris?
Jika Anda menyadari bahwa angka ini adalah 20, selamat! Bukan hanya kamu yang merasakannya poin-poin penting perkembangan aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda belum mengetahuinya, baca terus.
Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin penting dari sensasi ke dalam matematika.)
Poin penting pertama.
Perkembangan aritmatika berkaitan dengan serangkaian angka. Ini membingungkan pada awalnya. Kita terbiasa menyelesaikan persamaan, menggambar grafik dan sebagainya... Tapi di sini kita perpanjang deretnya, cari nomor deretnya...
Tidak apa-apa. Hanya saja perkembangannya merupakan perkenalan pertama dengan cabang matematika yang baru. Bagian ini disebut "Seri" dan bekerja secara khusus dengan rangkaian angka dan ekspresi. Terbiasalah.)
Poin penting kedua.
Dalam perkembangan aritmatika, suatu bilangan berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Pada contoh pertama, perbedaannya adalah satu. Berapa pun nomor yang Anda ambil, itu lebih banyak satu dari yang sebelumnya. Yang kedua - tiga. Angka berapa pun tiga lebih banyak dari angka sebelumnya. Sebenarnya momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk memahami pola dan menghitung angka-angka selanjutnya.
Poin kunci ketiga.
Momen ini memang tidak mencolok ya... Tapi ini sangat-sangat penting. Ini dia: setiap nomor perkembangan berdiri di tempatnya. Ada angka pertama, ada angka ketujuh, ada angka empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda mencampurkannya secara acak, polanya akan hilang. Perkembangan aritmatika juga akan hilang. Yang tersisa hanyalah serangkaian angka.
Itulah intinya.
Tentu saja, di topik baru istilah dan sebutan baru muncul. Anda perlu mengenal mereka. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugasnya. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:
Tuliskan enam suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 2 = 5, d = -2,5.
Menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan omong-omong, tugasnya sangat sederhana. Anda hanya perlu memahami arti istilah dan sebutannya. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.
Syarat dan sebutan.
Kemajuan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Besaran ini disebut . Mari kita lihat konsep ini lebih detail.
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Perbedaan perkembangan aritmatika adalah jumlah dimana setiap angka perkembangan lagi yang sebelumnya.
Satu poin penting. Mohon perhatikan kata tersebut "lagi". Secara matematis, ini berarti setiap bilangan perkembangan adalah dengan menambahkan selisih barisan aritmatika dengan bilangan sebelumnya.
Untuk menghitung, katakanlah Kedua nomor seri, Anda perlu Pertama nomor menambahkan perbedaan perkembangan aritmatika ini. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu menambahkan Ke keempat, baik, dll.
Perbedaan perkembangan aritmatika Mungkin positif, maka setiap angka dalam rangkaian tersebut akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Kemajuan ini disebut meningkat. Misalnya:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Di sini setiap nomor diperoleh dengan menambahkan nomor positif, +5 ke yang sebelumnya.
Perbedaannya mungkin negatif, maka setiap angka pada deret tersebut adalah kurang dari yang sebelumnya. Kemajuan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.
Misalnya:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Di sini setiap nomor juga diperoleh dengan menambahkan ke yang sebelumnya, tapi sudah angka negatif, -5.
Omong-omong, ketika bekerja dengan perkembangan, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah meningkat atau menurun. Ini sangat membantu untuk mengarahkan keputusan, menemukan kesalahan Anda dan memperbaikinya sebelum terlambat.
Perbedaan perkembangan aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf D.
Bagaimana menemukan D? Sangat sederhana. Anda perlu mengurangi angka mana pun dalam deret tersebut sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "selisih".)
Mari kita definisikan, misalnya, D untuk meningkatkan perkembangan aritmatika:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kita ambil bilangan apa saja pada deret yang kita inginkan, misalnya 11. Kita kurangi darinya nomor sebelumnya itu. 8:
Ini adalah jawaban yang benar. Untuk perkembangan aritmatika ini, selisihnya adalah tiga.
Kamu bisa mengambilnya nomor perkembangan apa pun, Karena untuk kemajuan tertentu D-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak bisa hanya mengambil angka pertama saja. Hanya karena angka pertama tidak ada yang sebelumnya.)
Ngomong-ngomong, mengetahui hal itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangatlah sederhana. Mari kita tambahkan 3 ke angka kelima - kita mendapatkan angka keenam, jadinya 17. Mari kita tambahkan tiga ke angka keenam, kita mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.
Mari kita definisikan D untuk perkembangan aritmatika menurun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Saya mengingatkan Anda bahwa, apa pun tandanya, Anda harus menentukannya D butuhkan dari nomor mana pun ambil yang sebelumnya. Pilih nomor perkembangan apa saja, misalnya -7. Nomor sebelumnya adalah -2. Kemudian:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Selisih suatu barisan aritmatika dapat berupa bilangan apa pun: bilangan bulat, pecahan, irasional, bilangan apa pun.
Istilah dan sebutan lainnya.
Setiap nomor dalam rangkaian tersebut dipanggil anggota barisan aritmatika.
Setiap anggota perkembangan mempunyai nomor tersendiri. Angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah suku pertama, lima adalah suku kedua, sebelas adalah suku keempat, nah, Anda mengerti...) Harap dipahami dengan jelas - angka-angka itu sendiri bisa berupa apa saja, utuh, pecahan, negatif, apa pun, tapi penomoran angka- secara ketat!
Bagaimana cara menulis perkembangan dalam bentuk umum? Tidak masalah! Setiap angka dalam suatu rangkaian ditulis sebagai sebuah huruf. Untuk menyatakan barisan aritmatika, biasanya digunakan huruf A. Nomor anggota ditunjukkan dengan indeks di kanan bawah. Kami menulis istilah yang dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
sebuah 1- ini adalah angka pertama, sebuah 3- ketiga, dll. Tidak ada yang mewah. Seri ini dapat ditulis secara singkat seperti ini: (sebuah).
Kemajuan terjadi terbatas dan tidak terbatas.
Terakhir perkembangannya memiliki jumlah anggota yang terbatas. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu angka yang terbatas.
Tak terbatas perkembangan - memiliki jumlah anggota yang tidak terbatas, seperti yang Anda duga.)
Tuliskan perkembangan yang terbatas Anda dapat melihat rangkaian seperti ini, semua istilah dan titik di akhir:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
Atau seperti ini jika anggotanya banyak:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
DI DALAM catatan pendek Anda juga harus menunjukkan jumlah anggota. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:
(an), n = 20
Perkembangan tak terhingga dapat dikenali dengan elipsis di akhir baris, seperti pada contoh dalam pelajaran ini.
Sekarang Anda dapat menyelesaikan tugas-tugas tersebut. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti barisan aritmatika.
Contoh soal perkembangan aritmatika.
Mari kita lihat tugas yang diberikan di atas secara detail:
1. Tuliskan enam suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 2 = 5, d = -2,5.
Kami menerjemahkan tugas ke dalam bahasa yang dapat dimengerti. Perkembangan aritmatika tak terbatas diberikan. Bilangan kedua dari perkembangan ini diketahui: sebuah 2 = 5. Perbedaan perkembangan diketahui: d = -2,5. Kita perlu mencari suku pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.
Agar lebih jelas, saya akan menuliskan rangkaiannya sesuai dengan kondisi soal. Enam suku pertama, sedangkan suku kedua berjumlah lima:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
sebuah 3 = sebuah 2 + D
Gantikan dengan ekspresi sebuah 2 = 5 Dan d = -2,5. Jangan lupakan minusnya!
sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Istilah ketiga ternyata kurang dari dua. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilainya, artinya angka itu sendiri akan lebih kecil dari angka sebelumnya. Kemajuan menurun. Oke, mari kita perhitungkan.) Kita hitung suku keempat deret kita:
sebuah 4 = sebuah 3 + D
sebuah 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
sebuah 5 = sebuah 4 + D
sebuah 5=0+(-2,5)= - 2,5
sebuah 6 = sebuah 5 + D
sebuah 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Jadi, suku ketiga sampai keenam dihitung. Hasilnya adalah rangkaian berikut:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Masih mencari suku pertama sebuah 1 menurut yang kedua yang terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Jadi, selisih barisan aritmatika D tidak boleh ditambahkan ke sebuah 2, A membawa pergi:
sebuah 1 = sebuah 2 - D
sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Itu dia. Jawaban tugas:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Secara sepintas, saya ingin mencatat bahwa kami telah menyelesaikan tugas ini berulang jalan. Kata mengerikan ini hanya berarti pencarian anggota perkembangan sesuai dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Kami akan melihat cara lain untuk mengatasi kemajuan di bawah.
Satu kesimpulan penting dapat diambil dari tugas sederhana ini.
Ingat:
Jika kita mengetahui setidaknya satu suku dan selisih suatu barisan aritmatika, kita dapat mencari suku apa pun dari barisan tersebut.
Apakah kamu ingat? Kesimpulan sederhana ini memungkinkan Anda untuk memecahkan sebagian besar tugas kursus sekolah tentang topik ini. Semua tugas berputar tiga utama parameter: anggota barisan aritmatika, selisih barisan, jumlah anggota barisan. Semua.
Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain melekat pada perkembangan. Tetapi sesuai dengan perkembangan itu sendiri- semuanya berkisar pada tiga parameter.
Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa tugas populer tentang topik ini.
2. Tulislah barisan aritmatika berhingga sebagai suatu deret jika n=5, d = 0,4, dan a 1 = 3,6.
Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota suatu barisan aritmatika dihitung, dihitung, dan dituliskan. Dianjurkan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: “final” dan “ n=5". Agar tidak dihitung sampai mukamu benar-benar membiru.) Anggota dalam perkembangan ini hanya ada 5 (lima) orang:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
sebuah 5 = sebuah 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Tetap menuliskan jawabannya:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Tugas lain:
3. Tentukan apakah bilangan 7 termasuk anggota barisan aritmatika (an), jika sebuah 1 = 4.1; d = 1,2.
Hmm... Siapa yang tahu? Bagaimana cara menentukan sesuatu?
Bagaimana-bagaimana... Tuliskan perkembangannya dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada angka tujuh di sana atau tidak! Kita menghitung:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Sekarang terlihat jelas bahwa kami baru berusia tujuh tahun lolos antara 6,5 dan 7,7! Tujuh tidak termasuk dalam rangkaian angka kami, dan oleh karena itu, tujuh tidak akan menjadi anggota perkembangan ini.
Jawaban: tidak.
Berikut masalah berdasarkan pilihan nyata GIA:
4. Dituliskan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika:
...; 15; X; 9; 6; ...
Ini adalah seri yang ditulis tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan D. Tidak apa-apa. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, cukup memahami pengertian barisan aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang mungkin untuk mengetahui dari seri ini? Apa tiga parameter utama?
Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.
Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "konsisten" dalam kondisi. Artinya angka-angkanya berurutan, tanpa ada celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang diketahui? Ya saya punya! Ini adalah 9 dan 6. Oleh karena itu, kita dapat menghitung selisih barisan aritmatika! Kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:
Hanya ada hal-hal sepele yang tersisa. Nomor berapa yang sebelumnya untuk X? Limabelas. Artinya X dapat dengan mudah dicari dengan penjumlahan sederhana. Tambahkan selisih barisan aritmatika menjadi 15:
Itu saja. Menjawab: x=12
Kami memecahkan sendiri masalah berikut. Catatan: soal-soal ini tidak didasarkan pada rumus. Murni untuk memahami pengertian barisan aritmatika.) Kita tinggal menuliskan rangkaian angka dan huruf, melihat dan mencari tahu.
5. Tentukan suku positif pertama suatu barisan aritmatika jika a 5 = -3; d = 1.1.
6. Diketahui bilangan 5,5 merupakan anggota barisan aritmatika (an), dimana a 1 = 1,6; d = 1,3. Tentukan bilangan n anggota tersebut.
7. Diketahui pada barisan aritmatika a 2 = 4; sebuah 5 = 15.1. Temukan 3 .
8. Dituliskan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Tentukan suku barisan yang dilambangkan dengan huruf x.
9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, kecepatannya meningkat secara merata sebesar 30 meter per menit. Berapa kecepatan kereta dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.
10. Diketahui bahwa pada barisan aritmatika a 2 = 5; sebuah 6 = -5. Temukan 1.
Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.
Semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat menguasai perkembangan aritmatika lebih lanjut level tinggi, dalam pelajaran berikut.
Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Dalam Bagian Khusus 555, semua masalah ini diurutkan sepotong demi sepotong.) Dan, tentu saja, teknik praktis sederhana dijelaskan yang segera menyoroti solusi untuk tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, sekilas!
Ngomong-ngomong, dalam teka-teki kereta api ada dua soal yang sering membuat orang tersandung. Yang pertama murni dalam hal perkembangan, dan yang kedua bersifat umum untuk semua masalah dalam matematika, dan juga fisika. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Ini menunjukkan bagaimana masalah-masalah ini harus diselesaikan.
Dalam pelajaran ini kita melihat arti dasar barisan aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada topik ini. Menambahkan D ke angka, tulis seri, semuanya akan terselesaikan.
Solusi jari bekerja dengan baik untuk potongan baris yang sangat pendek, seperti pada contoh dalam tutorial ini. Jika deretnya lebih panjang maka perhitungannya menjadi lebih rumit. Misalnya saja pada soal 9 pada soal tersebut kita ganti "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)
Dan ada juga tugas-tugas yang pada hakikatnya sederhana, namun tidak masuk akal dari segi perhitungannya, misalnya:
Perkembangan aritmatika (an) diberikan. Tentukan a 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Jadi apa, apakah kita akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Kamu bisa bunuh diri !?
Anda bisa.) Jika Anda tidak tahu rumus sederhana, yang memungkinkan Anda menyelesaikan tugas tersebut dalam satu menit. Rumus ini akan ada pada pelajaran berikutnya. Dan masalah ini terpecahkan di sana. Dalam semenit.)
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Saat mempelajari aljabar di sekolah Menengah(kelas 9) salah satu topik penting adalah studi tentang barisan bilangan, yang meliputi barisan - geometri dan aritmatika. Pada artikel ini kita akan melihat barisan aritmatika dan contoh solusinya.
Apa yang dimaksud dengan perkembangan aritmatika?
Untuk memahami hal tersebut, perlu didefinisikan perkembangan yang dimaksud, serta memberikan rumus-rumus dasar yang nantinya akan digunakan dalam menyelesaikan masalah.
Diketahui bahwa pada suatu barisan aljabar suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Kita perlu mencari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.
Mari kita gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Mari kita substitusikan data yang diketahui dari kondisi tersebut ke dalamnya, yaitu bilangan a 1 dan a 7, kita peroleh: 18 = 6 + 6 * d. Dari persamaan ini Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) /6 = 2. Jadi, kita telah menjawab soal bagian pertama.
Untuk mengembalikan barisan tersebut ke suku ke-7, sebaiknya menggunakan definisi barisan aljabar, yaitu a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Hasilnya, kita mengembalikan seluruh barisan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Contoh No. 3: menyusun perkembangan
Mari kita buat lebih rumit lagi kondisi lebih kuat tugas. Sekarang kita perlu menjawab pertanyaan bagaimana mencari barisan aritmatika. Contoh berikut dapat diberikan: diberikan dua bilangan, misalnya - 4 dan 5. Perlu dibuat barisan aljabar sehingga tiga suku lagi ditempatkan di antara keduanya.
Sebelum Anda mulai memecahkan masalah ini, Anda perlu memahami tempat apa yang akan ditempati oleh angka-angka ini dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara keduanya, maka a 1 = -4 dan a 5 = 5. Setelah menetapkan ini, kita beralih ke soal yang mirip dengan soal sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n kita menggunakan rumus, kita mendapatkan: a 5 = a 1 + 4 * d. Dari: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Apa yang kita peroleh di sini bukanlah nilai bilangan bulat dari selisihnya, melainkan nilai bilangan bulat bilangan rasional, jadi rumus barisan aljabarnya tetap sama.
Sekarang mari kita tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan kembalikan suku-suku perkembangan yang hilang. Kita peroleh: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, yang bertepatan dengan kondisi permasalahannya.
Contoh No. 4: perkembangan suku pertama
Mari kita terus memberikan contoh barisan aritmatika beserta penyelesaiannya. Dalam semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari perkembangan aljabar telah diketahui. Sekarang mari kita perhatikan jenis soal yang berbeda: misalkan diberikan dua bilangan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Kita perlu mencari bilangan mana yang memulai barisan ini.
Rumus yang digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Dalam rumusan masalah, tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini. Namun demikian, kami akan menuliskan ekspresi untuk setiap suku yang informasinya tersedia: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami menerima dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Artinya masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear.
Cara termudah untuk menyelesaikan sistem ini adalah dengan menyatakan angka 1 pada setiap persamaan dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, maka selisih d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (hanya diberikan 3 tempat desimal).
Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1. Misal pertama: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Jika Anda ragu dengan hasil yang diperoleh, Anda dapat memeriksanya, misalnya menentukan suku ke-43 dari perkembangan yang ditentukan dalam kondisi. Didapatkan: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Kesalahan kecil ini disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.
Contoh No. 5: jumlah
Sekarang mari kita lihat beberapa contoh solusi jumlah barisan aritmatika.
Biarkan perkembangan numerik diberikan tipe berikut: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 angka-angka ini?
Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diatasi, yaitu dengan menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun permasalahan tersebut dapat diselesaikan secara mental jika memperhatikan bahwa deret bilangan yang disajikan merupakan barisan aljabar, dan selisihnya sama dengan 1. Dengan menerapkan rumus penjumlahan, kita memperoleh: S n = n * (a 1 + dan) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Menarik untuk dicatat bahwa masalah ini disebut “Gaussian” karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang baru berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya di kepalanya dalam beberapa detik. Anak laki-laki tersebut tidak mengetahui rumus jumlah suatu barisan aljabar, tetapi ia memperhatikan bahwa jika Anda menjumlahkan bilangan-bilangan di ujung barisan secara berpasangan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlahnya tepat 50 (100/2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar cukup mengalikan 50 dengan 101.
Contoh No. 6: jumlah suku dari n sampai m
Contoh umum lainnya dari jumlah suatu barisan aritmatika adalah sebagai berikut: jika diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu mencari jumlah suku-sukunya dari 8 hingga 14 yang akan sama dengan .
Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan pencarian suku-suku yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena istilahnya sedikit, metode ini tidak memakan banyak tenaga. Namun demikian, diusulkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan metode kedua, yang lebih universal.
Idenya adalah untuk mendapatkan rumus jumlah barisan aljabar antara suku m dan n, dengan n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus tersebut, kami menulis dua ekspresi untuk penjumlahannya:
- S m = m * (saya + a 1) / 2.
- S n = n * (an + a 1) / 2.
Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah ke-2 termasuk jumlah pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil selisih antara jumlah-jumlah ini dan menambahkan suku m ke dalamnya (dalam hal mengambil selisihnya, dikurangi dari jumlah S n), kita akan memperoleh jawaban yang diperlukan untuk soal tersebut. Kita mempunyai: S mn = S n - S m + am =n * (a 1 + an) / 2 - m *(a 1 + am)/2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n/2 + pagi * (1- m/2). Rumus a n dan m perlu disubstitusikan ke dalam ekspresi ini. Maka kita mendapatkan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substitusikan bilangan-bilangan ini, kita peroleh: S mn = 301.
Seperti terlihat dari penyelesaian di atas, semua soal didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum mulai menyelesaikan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang perlu Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.
Tip lainnya adalah mengupayakan kesederhanaan, yaitu jika Anda dapat menjawab suatu pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematis yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, pada contoh barisan aritmatika dengan solusi No. 6, kita dapat berhenti pada rumus S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, dan membagi masalah keseluruhan menjadi subtugas terpisah (V pada kasus ini cari dulu suku a n dan a m).
Jika Anda ragu dengan hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Kami menemukan cara menemukan perkembangan aritmatika. Jika Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.
Catatan penting!
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk mendapatkan sumber daya yang paling berguna
Urutan nomor
Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa menentukan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:
Urutan nomor
Misalnya, untuk urutan kami:
Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.
Bilangan yang mempunyai bilangan disebut suku ke-th barisan tersebut.
Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .
Dalam kasus kami: 
Katakanlah kita punya urutan nomor, yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Misalnya: 
dll.
Barisan bilangan ini disebut barisan aritmatika.
Istilah "perkembangan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada abad ke-6 dan dipahami dalam arti yang lebih luas sebagai barisan numerik yang tak terhingga. Nama "aritmatika" berasal dari teori proporsi kontinu yang dipelajari oleh orang Yunani kuno.
Ini adalah barisan bilangan yang masing-masing sukunya sama dengan suku sebelumnya ditambah dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut selisih suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.
Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:
A)
B)
C)
D)
Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:
Adalah perkembangan aritmatika - b, c.
Tidak perkembangan aritmatika - a, d.
Mari kita kembali ke barisan berikut () dan mencoba mencari nilai suku ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.
1. Metode
Kita dapat menambahkan bilangan perkembangan ke nilai sebelumnya hingga kita mencapai suku ke-progresi. Ada baiknya kita tidak perlu meringkas banyak hal - hanya tiga nilai:
Jadi, suku ke-th dari barisan aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.
2. Metode
Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-1 dari perkembangan tersebut? Penjumlahannya akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menjumlahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara yang tidak perlu menjumlahkan selisih suatu barisan aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan lebih dekat gambar yang digambar... Pasti Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:
Sebagai contoh, mari kita lihat terdiri dari apa nilai suku ke-th dari barisan aritmatika ini: 
Dengan kata lain:
Cobalah untuk menemukan sendiri nilai suatu suku dari perkembangan aritmatika tertentu dengan cara ini.
Apakah Anda menghitung? Bandingkan catatan Anda dengan jawabannya:
Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan suku-suku perkembangan aritmatika secara berurutan ke nilai sebelumnya.
Mari kita coba untuk "depersonalisasi" rumus ini- ayo bawa dia ke bentuk umum dan kami mendapatkan:
|
Persamaan perkembangan aritmatika. |
Perkembangan aritmatika dapat meningkat atau menurun.
Meningkat- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya.
Misalnya:
Menurun- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.
Misalnya:
Rumus turunan digunakan dalam menghitung suku-suku dalam suku naik dan turun dari suatu barisan aritmatika.
Mari kita periksa ini dalam praktiknya.
Kita diberikan barisan aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut: Mari kita periksa berapa bilangan ke-th dari barisan aritmatika tersebut jika kita menggunakan rumus kita untuk menghitungnya:
Dari dulu:
Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam perkembangan aritmatika menurun maupun meningkat.
Cobalah mencari sendiri suku ke-th dan ke-th dari perkembangan aritmatika ini.
Mari kita bandingkan hasilnya:
Properti perkembangan aritmatika
Mari kita memperumit masalahnya - kita akan memperoleh sifat perkembangan aritmatika.
Katakanlah kita diberikan kondisi berikut:
- perkembangan aritmatika, temukan nilainya.
Gampang, ucapkan dan mulailah menghitung sesuai rumus yang sudah Anda ketahui:
Biarkan, ah, kalau begitu:
Benar-benar tepat. Ternyata kita cari dulu, lalu dijumlahkan dengan angka pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangannya diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang ribet, tapi bagaimana jika kita diberi angka pada kondisi tersebut? Setuju, ada kemungkinan terjadi kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan apakah mungkin menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja ya, dan itulah yang akan kami coba tampilkan sekarang.
Mari kita nyatakan suku yang diperlukan dari barisan aritmatika sebagai, rumus untuk mencarinya kita ketahui - ini adalah rumus yang sama yang kita turunkan di awal:
, Kemudian:
- suku perkembangan sebelumnya adalah:
- suku perkembangan berikutnya adalah:
Mari kita rangkum suku-suku perkembangan sebelumnya dan selanjutnya:
Ternyata jumlah suku-suku perkembangan sebelumnya dan suku-suku selanjutnya adalah dua kali lipat nilai suku-suku perkembangan yang terletak di antara keduanya. Dengan kata lain, untuk mencari nilai suku perkembangan dengan nilai sebelumnya dan nilai berurutan yang diketahui, Anda perlu menjumlahkannya dan membaginya.
Benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari amankan materinya. Hitung sendiri nilai kemajuannya, sama sekali tidak sulit.
Bagus sekali! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tinggal menemukan satu rumus saja, yang menurut legenda, dengan mudah disimpulkan oleh salah satu ahli matematika terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematika" - Karl Gauss...
Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, seorang guru yang sibuk memeriksa pekerjaan siswa di kelas lain, menanyakan soal berikut di kelas: “Hitung jumlah semua bilangan asli dari hingga (menurut sumber lain hingga) inklusif.” Bayangkan betapa terkejutnya sang guru ketika salah satu muridnya (ini adalah Karl Gauss) semenit kemudian memberikan jawaban yang benar untuk tugas tersebut, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani, setelah perhitungan yang panjang, menerima hasil yang salah...
Carl Gauss muda memperhatikan pola tertentu yang juga dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Misalkan kita mempunyai barisan aritmatika yang terdiri dari suku -th: Kita perlu mencari jumlah suku-suku barisan aritmatika tersebut. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas tersebut memerlukan pencarian jumlah suku-sukunya, seperti yang dicari Gauss?
Mari kita gambarkan kemajuan yang diberikan kepada kita. Perhatikan baik-baik angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengannya. 
Sudahkah Anda mencobanya? Apa yang kamu perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama
Sekarang beritahu saya, berapa total pasangan tersebut dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari seluruh angka.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku suatu barisan aritmatika adalah sama, dan pasangan-pasangan sebangun adalah sama, kita peroleh bahwa jumlah totalnya sama dengan:
.
Jadi, rumus jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:
Dalam beberapa soal kita tidak mengetahui suku ke-nya, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Coba substitusikan rumus suku ke dalam rumus penjumlahan.
Apa yang kamu dapatkan?
Bagus sekali! Sekarang mari kita kembali ke soal yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari th dan jumlah bilangan yang dimulai dari th.
Berapa banyak yang kamu dapat?
Gauss menemukan bahwa jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Itukah yang kamu putuskan?
Faktanya, rumus jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini, orang-orang cerdas memanfaatkan sepenuhnya sifat-sifat barisan aritmatika.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan proyek konstruksi terbesar saat itu - pembangunan piramida... Gambar menunjukkan salah satu sisinya. 
Di mana kemajuannya, kata Anda? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding limas. 
Mengapa bukan perkembangan aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang dibutuhkan untuk membangun satu dinding jika alasnya adalah blok batu bata. Saya harap Anda tidak menghitung sambil menggerakkan jari Anda melintasi monitor, Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang perkembangan aritmatika?
Dalam hal ini, perkembangannya terlihat seperti ini: .
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya suku suatu barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus terakhir (hitung jumlah blok dengan 2 cara).
Metode 1.
Metode 2.
Dan sekarang Anda dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah blok yang ada di piramida kita. Mengerti? Bagus sekali, Anda telah menguasai penjumlahan suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok-balok di dasarnya, tetapi dari? Coba hitung berapa jumlah batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi seperti ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:
Pelatihan
Tugas:
- Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squatnya. Berapa kali Masha melakukan squat dalam seminggu jika dia melakukan squat pada sesi latihan pertama?
- Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada.
- Saat menyimpan log, penebang menumpuknya sedemikian rupa sehingga masing-masing log dapat disimpan lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak kayu gelondongan dalam satu pasangan bata, jika fondasi pasangan bata tersebut adalah kayu gelondongan?
Jawaban:
- Mari kita tentukan parameter barisan aritmatika. Pada kasus ini
(minggu = hari).Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus melakukan squat sekali sehari.
- Angka ganjil pertama, angka terakhir.
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya bilangan ganjil adalah setengahnya, namun mari kita periksa fakta ini menggunakan rumus mencari suku ke-th suatu barisan aritmatika:Angka memang mengandung angka ganjil.
Mari kita substitusikan data yang tersedia ke dalam rumus:Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya adalah sama.
- Mari kita ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kita, a , karena setiap lapisan atas dikurangi satu log, maka totalnya ada banyak lapisan, yaitu.
Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:Menjawab: Ada kayu gelondongan di pasangan bata.
Mari kita simpulkan
- - barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama. Bisa saja bertambah atau berkurang.
- Menemukan rumus Suku ke-th suatu barisan aritmatika ditulis dengan rumus - , dimana adalah banyaknya bilangan pada barisan tersebut.
- Properti anggota perkembangan aritmatika- - dimana banyaknya angka yang berurutan.
- Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
, di mana jumlah nilainya.
PROGRESI ARITMATIK. LEVEL RATA-RATA
Urutan nomor
Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka. Tapi kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.
Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.
Dengan kata lain, setiap bilangan dapat diasosiasikan dengan bilangan asli tertentu, dan bilangan unik. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari kumpulan ini.
Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-th.
Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .
Sangat mudah jika suku ke-th suatu barisan dapat ditentukan dengan suatu rumus. Misalnya saja rumusnya
mengatur urutannya:
Dan rumusnya adalah urutan berikut:
Misalnya, barisan aritmatika adalah suatu barisan (suku pertama di sini sama, dan selisihnya adalah). Atau (, perbedaan).
rumus suku ke-n
Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku ke-th, Anda perlu mengetahui suku sebelumnya atau beberapa suku sebelumnya:
Misalnya, untuk mencari suku ke-th suatu barisan dengan menggunakan rumus ini, kita harus menghitung sembilan suku sebelumnya. Misalnya, biarkan saja. Kemudian:
Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?
Di setiap baris yang kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Yang mana? Sederhana sekali: ini jumlah anggota saat ini dikurangi:
Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:
Putuskan sendiri:
Dalam barisan aritmatika, carilah rumus suku ke-n dan carilah suku keseratus.
Larutan:
Suku pertama sama. Apa bedanya? Inilah yang:
(Inilah mengapa disebut selisih karena sama dengan selisih suku-suku perkembangan yang berurutan).
Jadi rumusnya:
Maka suku keseratus sama dengan:
Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?
Menurut legenda, ahli matematika hebat Carl Gauss, saat masih berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Dia memperhatikan bahwa jumlah yang pertama dan tanggal terakhir sama, jumlah bilangan kedua dan kedua dari belakang sama, jumlah bilangan ketiga dan ketiga dari akhir sama, dan seterusnya. Berapa banyak total pasangan seperti itu? Itu benar, tepatnya setengah dari jumlah semua angka. Jadi,
Rumus umum jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:
Contoh:
Temukan jumlah semua kelipatan dua digit.
Larutan:
Nomor pertama adalah ini. Setiap bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan bilangan sebelumnya. Jadi, bilangan-bilangan yang kita minati membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.
Rumus suku ke-1 perkembangan ini:
Berapa banyak suku dalam deret tersebut jika semuanya harus terdiri dari dua digit?
Sangat mudah: .
Suku terakhir perkembangannya akan sama. Maka jumlahnya:
Menjawab: .
Sekarang putuskan sendiri:
- Setiap hari atlet berlari lebih banyak meter dibandingkan hari sebelumnya. Berapa kilometer total yang akan dia tempuh dalam seminggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
- Seorang pengendara sepeda menempuh jarak lebih jauh setiap hari dibandingkan hari sebelumnya. Pada hari pertama dia menempuh perjalanan km. Berapa hari yang harus dia tempuh untuk menempuh jarak satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
- Harga lemari es di toko turun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga sebuah lemari es setiap tahunnya jika, dijual dengan harga rubel, enam tahun kemudian lemari es tersebut dijual dengan harga rubel.
Jawaban:
- Hal terpenting di sini adalah mengenali barisan aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
.
Menjawab: - Di sini diberikan: , harus ditemukan.
Tentunya, Anda perlu menggunakan rumus penjumlahan yang sama seperti pada soal sebelumnya:
.
Gantikan nilainya:Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama sehari terakhir menggunakan rumus suku ke-th:
(km).
Menjawab: - Diberikan: . Menemukan: .
Ini sangat sederhana:
(menggosok).
Menjawab:
PROGRESI ARITMATIK. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA
Ini adalah barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Perkembangan aritmatika dapat meningkat () dan menurun ().
Misalnya:
Rumus mencari suku ke-n suatu barisan aritmatika
ditulis dengan rumus dimana adalah banyaknya bilangan yang berurutan.
Properti anggota perkembangan aritmatika
Hal ini memungkinkan Anda dengan mudah menemukan suku suatu barisan jika suku-suku tetangganya diketahui - di mana jumlah bilangan dalam barisan tersebut.
Jumlah suku suatu barisan aritmatika
Ada dua cara untuk mencari jumlahnya:
Dimana jumlah nilainya.
Dimana jumlah nilainya.
Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.
Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!
Sekarang hal yang paling penting.
Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.
Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...
Untuk apa?
Untuk sukses lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...
Orang yang mengenyam pendidikan baik memperoleh penghasilan lebih banyak dibandingkan mereka yang tidak mengenyam pendidikan. Ini adalah statistik.
Tapi ini bukanlah hal yang utama.
Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...
Tapi pikirkan sendiri...
Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.
Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.
Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.
Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.
Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.
Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!
Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.
Bagaimana? Ada dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR
Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.
Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.
Kesimpulannya...
Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.
“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.
Temukan masalah dan selesaikan!