Catatan penting!
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk mendapatkan sumber daya yang paling berguna

Bayangkan sebuah jalan lurus melewati daerah perbukitan. Artinya, naik turun, tetapi tidak berbelok ke kanan atau ke kiri. Jika sumbu diarahkan secara horizontal sepanjang jalan dan vertikal, maka garis jalan akan sangat mirip dengan grafik beberapa fungsi kontinu:

Sumbunya adalah tingkat ketinggian nol tertentu, dalam kehidupan kita menggunakan permukaan laut sebagai itu.

Saat kita bergerak maju di sepanjang jalan tersebut, kita juga bergerak ke atas atau ke bawah. Kita juga dapat mengatakan: ketika argumen berubah (pergerakan sepanjang sumbu absis), nilai fungsi berubah (pergerakan sepanjang sumbu ordinat). Sekarang mari kita pikirkan bagaimana cara menentukan “kecuraman” jalan kita? Nilai macam apa ini? Sederhana saja: seberapa besar perubahan ketinggian ketika bergerak maju dalam jarak tertentu. Memang, di berbagai ruas jalan, bergerak maju (sepanjang sumbu x) sejauh satu kilometer, kita akan naik atau turun sebesar jumlah yang berbeda meter relatif terhadap permukaan laut (sepanjang sumbu ordinat).

Mari kita nyatakan kemajuan (baca “delta x”).

Huruf Yunani (delta) umumnya digunakan dalam matematika sebagai awalan yang berarti "perubahan". Yaitu - ini adalah perubahan kuantitas, - perubahan; lalu apa itu? Itu benar, perubahan besarnya.

Penting: suatu ekspresi adalah satu kesatuan, satu variabel. Jangan pernah memisahkan “delta” dari “x” atau huruf lainnya! Misalnya, .

Jadi, kita telah bergerak maju, secara horizontal. Jika kita bandingkan garis jalan dengan grafik fungsinya, lalu bagaimana kita menyatakan tanjakannya? Tentu, . Artinya, saat kita bergerak maju, kita naik lebih tinggi.

Nilainya mudah dihitung: jika pada awalnya kita berada di ketinggian, dan setelah bergerak kita menemukan diri kita berada di ketinggian, maka. Jika titik akhir lebih rendah dari titik awal, maka akan negatif - artinya kita tidak naik, tetapi turun.

Mari kita kembali ke "kecuraman": ini adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar (curam) ketinggian bertambah ketika bergerak maju satu satuan jarak:

Mari kita asumsikan bahwa di beberapa bagian jalan, ketika bergerak maju satu kilometer, jalan tersebut naik satu kilometer. Maka kemiringan di tempat ini adalah sama. Dan bagaimana jika jalan tersebut, ketika bergerak maju sejauh m, turun sejauh km? Maka kemiringannya sama.

Sekarang mari kita lihat puncak sebuah bukit. Jika kita mengambil bagian awal setengah kilometer sebelum puncak, dan akhir setengah kilometer setelahnya, terlihat bahwa tingginya hampir sama.

Artinya, menurut logika kita, ternyata kemiringan di sini hampir sama dengan nol, yang jelas tidak benar. Hanya dalam jarak beberapa kilometer, banyak hal bisa berubah. Penting untuk mempertimbangkan area yang lebih kecil agar penilaian kecuraman lebih memadai dan akurat. Misalnya, jika Anda mengukur perubahan ketinggian saat Anda bergerak satu meter, hasilnya akan jauh lebih akurat. Namun keakuratan ini pun mungkin belum cukup bagi kita - lagipula, jika ada tiang di tengah jalan, kita bisa melewatinya begitu saja. Jarak apa yang harus kita pilih? Sentimeter? Milimeter? Lebih sedikit lebih baik!

DI DALAM kehidupan nyata Mengukur jarak hingga milimeter terdekat sudah lebih dari cukup. Namun matematikawan selalu berusaha mencapai kesempurnaan. Oleh karena itu, konsep tersebut diciptakan kecil sekali, yaitu nilai mutlaknya lebih kecil dari bilangan apa pun yang dapat kita sebutkan. Misalnya, Anda berkata: sepertriliun! Berapa banyak lagi? Dan Anda membagi angka ini dengan - dan jumlahnya akan lebih sedikit. Dan seterusnya. Jika kita ingin menuliskan suatu besaran yang sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca “x cenderung nol”). Sangat penting untuk dipahami bahwa angka ini bukan nol! Tapi sangat dekat dengannya. Artinya, Anda dapat membaginya.

Konsep kebalikan dari sangat kecil adalah sangat besar (). Anda mungkin pernah menemukannya saat mengerjakan pertidaksamaan: bilangan ini modulo lebih besar dari bilangan mana pun yang dapat Anda pikirkan. Jika kamu berhasil mendapatkan angka terbesar, kalikan saja dengan dua dan kamu akan mendapatkan angka yang lebih besar lagi. Dan ketidakterbatasan bahkan lebih besar dari apa yang terjadi. Faktanya, besar tak terhingga dan kecil tak terhingga merupakan kebalikan satu sama lain, yaitu pada, dan sebaliknya: pada.

Sekarang mari kita kembali ke jalan kita. Kemiringan yang dihitung secara ideal adalah kemiringan yang dihitung untuk suatu ruas jalan yang sangat kecil, yaitu:

Saya perhatikan bahwa dengan perpindahan yang sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan sangat kecil. Namun izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sangat kecil tidak berarti sama dengan nol. Jika Anda membagi bilangan yang sangat kecil satu sama lain, Anda bisa mendapatkan bilangan biasa, misalnya, . Artinya, satu nilai kecil bisa saja berukuran beberapa kali lebih besar dari nilai lainnya.

Untuk apa semua ini? Jalannya, kecuramannya... Kami tidak ikut reli mobil, tapi kami mengajar matematika. Dan dalam matematika semuanya persis sama, hanya disebut berbeda.

Konsep turunan

Turunan suatu fungsi adalah rasio pertambahan fungsi terhadap pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil.

Secara bertahap dalam matematika mereka menyebutnya perubahan. Sejauh mana argumen () berubah seiring pergerakannya sepanjang sumbu disebut peningkatan argumen dan dilambangkan Berapa banyak perubahan fungsi (ketinggian) ketika bergerak maju sepanjang sumbu dengan suatu jarak disebut peningkatan fungsi dan ditunjuk.

Jadi, turunan suatu fungsi adalah perbandingan terhadap kapan. Kami menyatakan turunannya dengan huruf yang sama dengan fungsinya, hanya dengan bilangan prima di kanan atas: atau sederhananya. Jadi, mari kita tulis rumus turunannya menggunakan notasi berikut:

Seperti analogi jalan, di sini jika fungsinya naik, turunannya bernilai positif, dan jika turun, turunannya negatif.

Bisakah turunannya sama dengan nol? Tentu. Misalnya kita berkendara di jalan datar mendatar maka kecuramannya nol. Dan memang benar, tingginya tidak berubah sama sekali. Begitu pula dengan turunannya: turunan suatu fungsi konstanta (konstanta) sama dengan nol:

karena kenaikan fungsi tersebut sama dengan nol untuk sembarang.

Mari kita ingat contoh di puncak bukit. Ternyata ujung-ujung ruas dapat disusun pada sisi-sisi yang berlawanan dari titik sudut sedemikian rupa sehingga tinggi ujung-ujungnya menjadi sama, yaitu ruas tersebut sejajar dengan sumbu:

Namun segmen yang besar merupakan tanda pengukuran yang tidak akurat. Kita angkat ruas kita sejajar dengan dirinya, lalu panjangnya akan berkurang.

Akhirnya, ketika kita sudah sangat dekat dengan puncak, panjang segmen tersebut akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada saat yang sama, ia tetap sejajar dengan sumbu, yaitu perbedaan ketinggian di ujung-ujungnya sama dengan nol (tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi turunannya

Hal ini dapat dipahami sebagai berikut: ketika kita berdiri di puncak, pergeseran kecil ke kiri atau ke kanan akan mengubah tinggi badan kita secara signifikan.

Ada juga penjelasan aljabar murni: di sebelah kiri titik, fungsinya bertambah, dan di sebelah kanan turun. Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, jika suatu fungsi meningkat, turunannya bernilai positif, dan jika turun, maka turunannya negatif. Tapi perubahannya mulus, tanpa lompatan (karena kemiringan jalan tidak berubah tajam di mana pun). Oleh karena itu, antara negatif dan nilai-nilai positif pasti ada. Di sinilah fungsinya tidak bertambah atau berkurang - di titik puncak.

Hal yang sama berlaku untuk palung (area dimana fungsi di sebelah kiri berkurang dan di sebelah kanan bertambah):

Sedikit lagi tentang peningkatan.

Jadi kita ubah argumennya menjadi besaran. Kita berubah dari nilai apa? Apa jadinya (argumennya) sekarang? Kita dapat memilih titik mana saja, dan sekarang kita akan menari dari titik tersebut.

Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kita melakukan kenaikan yang sama: kita menambah koordinat sebesar. Apa argumennya sekarang? Sangat mudah: . Berapa nilai fungsinya sekarang? Ke mana argumennya pergi, begitu pula fungsinya: . Bagaimana dengan peningkatan fungsi? Bukan hal baru: ini masih merupakan jumlah perubahan fungsi:

Berlatihlah menemukan peningkatan:

1. Temukan pertambahan fungsi pada titik ketika pertambahan argumen sama dengan.
2. Hal yang sama berlaku untuk fungsi pada suatu titik.

Solusi:

Pada titik berbeda dengan kenaikan argumen yang sama, kenaikan fungsi akan berbeda. Artinya turunan di setiap titik berbeda (kita sudah membahasnya di awal - kecuraman jalan berbeda di titik yang berbeda). Oleh karena itu, ketika kita menulis turunan, kita harus menunjukkan pada titik mana:

Fungsi daya.

Fungsi pangkat adalah fungsi yang argumennya sampai taraf tertentu (logis, bukan?).

Selain itu - sampai batas tertentu: .

Kasus paling sederhana adalah ketika eksponennya adalah:

Mari kita cari turunannya di suatu titik. Mari kita ingat kembali definisi turunan:

Jadi argumennya berubah dari menjadi. Berapa kenaikan fungsinya?

Peningkatannya adalah ini. Namun suatu fungsi di titik mana pun sama dengan argumennya. Itu sebabnya:

Turunannya sama dengan:

Turunan dari sama dengan:

b) Sekarang pertimbangkan fungsi kuadrat (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Artinya, nilai kenaikan dapat diabaikan, karena sangat kecil, dan oleh karena itu tidak signifikan dibandingkan dengan suku lainnya:

Jadi, kami membuat aturan lain:

c) Kami melanjutkan rangkaian logika: .

Ekspresi ini dapat disederhanakan dengan berbagai cara: buka tanda kurung pertama menggunakan rumus perkalian pangkat tiga yang disingkat, atau faktorkan seluruh ekspresi menggunakan rumus selisih pangkat tiga. Cobalah melakukannya sendiri menggunakan salah satu metode yang disarankan.

Jadi, saya mendapatkan yang berikut ini:

Dan sekali lagi mari kita ingat itu. Artinya kita bisa mengabaikan semua istilah yang mengandung:

Kita mendapatkan: .

d) Aturan serupa dapat diperoleh untuk kekuatan besar:

e) Ternyata aturan ini dapat digeneralisasikan menjadi fungsi daya dengan eksponen sembarang, bahkan bukan bilangan bulat:

(2)

Aturannya dapat dirumuskan dengan kata-kata: “derajat dimajukan sebagai koefisien, dan kemudian dikurangi sebesar .”

Kami akan membuktikan aturan ini nanti (hampir di bagian paling akhir). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Temukan turunan dari fungsi:

1. (dalam dua cara: dengan rumus dan menggunakan definisi turunan - dengan menghitung kenaikan fungsi);

Fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta dari matematika yang lebih tinggi:

Dengan ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya di tahun pertama institut (dan untuk mencapainya, Anda harus lulus Ujian Negara Bersatu dengan baik). Sekarang saya akan menunjukkannya secara grafis:

Kita melihat bahwa ketika fungsinya tidak ada, titik pada grafik terpotong. Namun semakin dekat nilainya, semakin dekat fungsinya. Inilah yang “dituju”.

Selain itu, Anda dapat memeriksa aturan ini menggunakan kalkulator. Iya iya jangan malu-malu ambil kalkulator, kita belum ada di Unified State Examination.

Jadi, mari kita coba: ;

Jangan lupa untuk mengalihkan kalkulator Anda ke mode Radian!

dll. Kita melihat bahwa semakin kecil, semakin dekat nilai rasionya.

a) Perhatikan fungsinya. Seperti biasa, mari kita cari kenaikannya:

Mari kita ubah perbedaan sinus menjadi sebuah hasil kali. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus (ingat topik “”): .

Sekarang turunannya:

Mari kita buat penggantinya: . Lalu untuk yang sangat kecil juga sangat kecil: . Ekspresi untuk berbentuk:

Dan sekarang kita mengingatnya dengan ungkapan. Dan juga, bagaimana jika suatu kuantitas yang sangat kecil dapat diabaikan dalam jumlah tersebut (yaitu, di).

Jadi kita mengerti aturan selanjutnya:turunan sinus sama dengan kosinus:

Ini adalah turunan dasar (“tabel”). Ini dia dalam satu daftar:

Nanti kita akan menambahkan beberapa lagi, tapi ini yang paling penting, karena paling sering digunakan.

Praktik:

1. Temukan turunan fungsi di suatu titik;
2. Temukan turunan dari fungsi tersebut.

Solusi:

Logaritma eksponen dan natural.

Ada suatu fungsi dalam matematika yang turunannya untuk suatu nilai sama dengan nilai fungsi itu sendiri pada waktu yang sama. Ini disebut “eksponen”, dan merupakan fungsi eksponensial

Dasar dari fungsi ini adalah konstanta - tidak terbatas desimal, yaitu bilangan irasional (seperti). Ini disebut “bilangan Euler”, oleh karena itu dilambangkan dengan huruf.

Jadi, aturannya:

Sangat mudah diingat.

Baiklah, tidak usah jauh-jauh, langsung saja kita simak fungsi terbalik. Fungsi manakah yang merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma seperti itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut “alami”, dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulisnya.

Sama dengan apa? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Berapakah turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: Logaritma eksponensial dan natural adalah fungsi unik dan sederhana dari perspektif turunan. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lain akan mempunyai turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita membahas aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Lagi istilah baru, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses mencari turunannya.

Itu saja. Apa lagi yang bisa Anda sebut proses ini dalam satu kata? Bukan turunan... Matematikawan menyebut diferensial sebagai pertambahan fungsi yang sama di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential – perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kita juga memerlukan rumus untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - suatu bilangan konstan (konstan), maka.

Tentu saja, aturan ini juga berlaku untuk perbedaannya: .

Mari kita buktikan. Biarlah, atau lebih sederhana.

Contoh.

Temukan turunan dari fungsi:

1. pada suatu titik;
2. pada suatu titik;
3. pada suatu titik;
4. pada intinya.

Solusi:

Turunan dari produk

Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baru dan temukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi dan;
2. Temukan turunan fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari turunan dari fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi, di mana nomornya.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba mereduksi fungsi kita ke basis baru:

Untuk ini kami akan menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Ya, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan eksponen: tetap sama, hanya muncul faktor yang hanya berupa bilangan, bukan variabel.

Contoh:
Temukan turunan dari fungsi:

Jawaban:

Turunan dari fungsi logaritma

Di sini serupa: Anda sudah mengetahui turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari logaritma sembarang dengan basis berbeda, misalnya:

Kita perlu mengurangi logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang kami akan menulis:

Penyebutnya hanyalah sebuah konstanta (bilangan konstan, tanpa variabel). Turunannya diperoleh dengan sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam Unified State Examination, namun tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa yang dimaksud dengan "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika Anda merasa logaritmanya sulit, bacalah topik “Logaritma” dan Anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandang matematika, kata “kompleks” tidak berarti “sulit”.

Bayangkan sebuah ban berjalan kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa benda. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang coklat dengan bungkusnya, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Hasilnya adalah sebuah benda gabungan: sebatang coklat yang dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah sebaliknya dalam urutan terbalik.

Mari kita membuat alur matematika serupa: pertama kita akan mencari kosinus suatu bilangan, lalu mengkuadratkan bilangan yang dihasilkan. Jadi, kita diberi nomor (cokelat), saya mencari cosinusnya (pembungkusnya), lalu Anda mengkuadratkan apa yang saya dapat (ikat dengan pita). Apa yang telah terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk mencari nilainya, kita melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua dengan hasil yang pertama.

Kita dapat dengan mudah melakukan langkah yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda mengkuadratkannya, lalu saya mencari kosinus dari bilangan yang dihasilkan: . Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur Penting fungsi yang kompleks: Ketika urutan tindakan diubah, fungsinya berubah.

Dengan kata lain, fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya merupakan fungsi lain: .

Sebagai contoh pertama, .

Contoh kedua: (hal yang sama). .

Tindakan yang terakhir kita lakukan akan dipanggil fungsi "eksternal"., dan tindakan yang dilakukan pertama kali - sesuai fungsi "internal".(ini nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri mana fungsi eksternal dan mana internal:

Jawaban: Memisahkan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan mengubah variabel: misalnya, dalam suatu fungsi

Kami mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak coklat batangan kita dan mencari turunannya. Prosedurnya selalu terbalik: pertama kita mencari turunan fungsi luar, lalu kita mengalikan hasilnya dengan turunan fungsi dalam. Sehubungan dengan contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita rumuskan aturan resminya:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

Tampaknya sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

TURUNAN. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Turunan dari suatu fungsi- rasio pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta dikeluarkan dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Turunan dari produk:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

1. Kami mendefinisikan fungsi "internal" dan mencari turunannya.
2. Kami mendefinisikan fungsi "eksternal" dan mencari turunannya.
3. Kita kalikan hasil poin pertama dan kedua.

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk sukses lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang mengenyam pendidikan baik memperoleh penghasilan lebih banyak dibandingkan mereka yang tidak mengenyam pendidikan. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Jika mengikuti definisi tersebut, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi tersebut Δ kamu dengan kenaikan argumen Δ X:

Segalanya tampak jelas. Tapi coba gunakan rumus ini untuk menghitung, katakanlah, turunan suatu fungsi F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X dosa X. Jika Anda melakukan semuanya sesuai definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa dari seluruh ragam fungsi kita dapat membedakan apa yang disebut fungsi dasar. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan ditabulasikan. Fungsi seperti itu cukup mudah diingat - beserta turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Semua fungsi dasar tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus dihafal. Selain itu, menghafalnya sama sekali tidak sulit - itulah mengapa mereka bersifat dasar.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Nama	Fungsi	Turunan
Konstan	F(X) = C, C ∈ R	0 (ya, nol!)
Kekuatan dengan eksponen rasional	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = dosa X	karena X
Kosinus	F(X) = karena X	−dosa X(dikurangi sinus)
Garis singgung	F(X) = tg X	1/karena 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/dosa 2 X
Logaritma natural	F(X) = catatan X	1/X
Logaritma sewenang-wenang	F(X) = catatan A X	1/(X dalam A)
Fungsi eksponensial	F(X) = e X	e X(Tidak ada yang berubah)

Jika suatu fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru tersebut juga mudah dihitung:

(C · F)’ = C · F ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Misalnya:

(2X 3)' = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Jelasnya, fungsi-fungsi dasar dapat dijumlahkan, dikalikan, dibagi - dan masih banyak lagi. Dengan demikian akan muncul fungsi-fungsi baru, tidak lagi bersifat dasar, tetapi juga dibedakan menurut aturan-aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan dari jumlah dan selisih

Biarkan fungsinya diberikan F(X) Dan G(X), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat mencari turunan dari jumlah dan selisih fungsi berikut:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Misalnya, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep “pengurangan” dalam aljabar. Ada konsep “elemen negatif”. Oleh karena itu perbedaannya F − G dapat ditulis ulang sebagai jumlah F+ (−1) G, dan hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

F(X) = X 2 + dosa x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fungsi F(X) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, oleh karena itu:

F ’(X) = (X 2 + dosa X)’ = (X 2)' + (dosa X)’ = 2X+ karena x;

Kami beralasan serupa untuk fungsinya G(X). Hanya saja sudah ada tiga suku (dari sudut pandang aljabar):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Menjawab:
F ’(X) = 2X+ karena x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Turunan dari produk

Matematika merupakan ilmu logika, sehingga banyak orang yang meyakini bahwa jika turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya, maka turunan dari hasil perkaliannya memukul">sama dengan hasil kali turunan. Tapi persetan! Turunan suatu hasil kali dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Rumusnya sederhana, namun sering dilupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tapi juga pelajar. Hasilnya adalah masalah yang diselesaikan secara tidak benar.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = X 3 karena x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fungsi F(X) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

F ’(X) = (X 3 karena X)’ = (X 3)' karena X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 karena X + X 3 (− dosa X) = X 2 (3ko X − X dosa X)

Fungsi G(X) pengali pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umumnya tidak berubah. Jelasnya, faktor pertama adalah fungsinya G(X) adalah polinomial dan turunannya merupakan turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Menjawab:
F ’(X) = X 2 (3ko X − X dosa X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Harap dicatat bahwa pada langkah terakhir turunannya difaktorkan. Secara formal, hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, melainkan untuk menguji fungsinya. Artinya, selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, ditentukan tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti ini, lebih baik ekspresi difaktorkan.

Jika ada dua fungsi F(X) Dan G(X), Dan G(X) ≠ 0 pada himpunan yang kita minati, kita dapat mendefinisikan fungsi baru H(X) = F(X)/G(X). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat mencari turunannya:

Tidak lemah, ya? Minusnya dari mana? Mengapa G 2? Dan seperti ini! Ini adalah salah satu formula yang paling rumit - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Oleh karena itu, lebih baik mempelajarinya contoh spesifik.

Tugas. Temukan turunan fungsi:

Pembilang dan penyebut setiap pecahan mengandung fungsi dasar, jadi yang kita perlukan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Menurut tradisi, mari kita memfaktorkan pembilangnya - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks belum tentu merupakan rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya saja mengambil fungsinya saja F(X) = dosa X dan ganti variabelnya X, katakanlah, aktif X 2 + ln X. Ini akan berhasil F(X) = dosa ( X 2 + ln X) - ini adalah fungsi yang kompleks. Ia juga memiliki turunannya, tetapi tidak mungkin menemukannya menggunakan aturan yang dibahas di atas.

Apa yang harus saya lakukan? Dalam kasus seperti itu, mengganti variabel dan rumus dengan turunan fungsi kompleks akan membantu:

F ’(X) = F ’(T) · T', Jika X digantikan oleh T(X).

Biasanya, situasi pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan dibandingkan dengan turunan hasil bagi. Oleh karena itu, lebih baik juga menjelaskannya dengan contoh spesifik, dengan Detil Deskripsi setiap langkah.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = dosa ( X 2 + ln X)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsinya F(X) alih-alih ekspresi 2 X+3 akan mudah X, maka itu akan berhasil fungsi dasar F(X) = e X. Oleh karena itu, kami melakukan penggantian: misalkan 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Kita mencari turunan fungsi kompleks menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Dan sekarang - perhatian! Kami melakukan penggantian terbalik: T = 2X+ 3. Kita mendapatkan:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya G(X). Jelas itu perlu diganti X 2 + ln X = T. Kita punya:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (dosa T)’ · T' = karena T · T ’

Penggantian terbalik: T = X 2 + ln X. Kemudian:

G ’(X) = karena ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Itu saja! Seperti dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah direduksi menjadi menghitung jumlah turunan.

Menjawab:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) karena ( X 2 + ln X).

Seringkali dalam pelajaran saya, alih-alih menggunakan istilah “turunan”, saya menggunakan kata “prima”. Misalnya, pukulan dari penjumlahan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Jadi, penghitungan turunannya dilakukan untuk menghilangkan goresan yang sama sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir Mari kita kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(X N)’ = N · X N − 1

Hanya sedikit orang yang mengetahui peran itu N mungkin merupakan bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah X 0,5. Bagaimana jika ada sesuatu yang mewah di bawah akarnya? Sekali lagi, hasilnya akan menjadi fungsi yang kompleks - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu tes dan ujian.

Tugas. Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Pertama, mari kita tulis ulang akar sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Sekarang kita buat penggantinya: biarkan X 2 + 8X − 7 = T. Kami menemukan turunannya menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Mari lakukan penggantian terbalik: T = X 2 + 8X− 7. Kita mempunyai:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Terakhir, kembali ke akar:

Apa itu turunan?
Pengertian dan Arti Turunan Fungsi

Banyak yang akan terkejut dengan penempatan artikel ini yang tidak terduga dalam kursus penulis saya tentang turunan fungsi dari satu variabel dan penerapannya. Lagi pula, seperti yang terjadi sejak sekolah: buku teks standar pertama-tama memberikan definisi turunan, geometriknya, pengertian mekanis. Selanjutnya siswa mencari turunan fungsi menurut definisinya, dan baru kemudian menyempurnakan teknik diferensiasi yang digunakan tabel turunan.

Namun menurut saya, pendekatan berikut ini lebih pragmatis: pertama-tama, disarankan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK batas suatu fungsi, dan, khususnya, jumlah yang sangat kecil. Faktanya adalah itu pengertian turunan didasarkan pada konsep limit, yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebagian besar konsumen muda granit pengetahuan tidak memahami esensi turunannya. Jadi, jika Anda memiliki sedikit pengetahuan tentang kalkulus diferensial atau otak yang bijak bertahun-tahun yang panjang berhasil membuang bagasi ini, silakan mulai batas fungsi. Pada saat yang sama, kuasai/ingat solusi mereka.

Arti praktis yang sama menyatakan bahwa hal ini menguntungkan terlebih dahulu belajar mencari turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks. Teori tetaplah teori, tetapi seperti kata pepatah, Anda selalu ingin membedakannya. Dalam hal ini, lebih baik mempelajari pelajaran dasar yang tercantum, dan mungkin ahli diferensiasi tanpa menyadari inti dari tindakan mereka.

Saya sarankan memulai dengan materi di halaman ini setelah membaca artikel. Masalah paling sederhana dengan turunan, di mana, khususnya, masalah garis singgung grafik suatu fungsi dipertimbangkan. Tapi Anda bisa menunggu. Faktanya adalah banyak penerapan turunan yang tidak memerlukan pemahaman, dan tidak mengherankan jika pelajaran teori muncul cukup terlambat - ketika saya perlu menjelaskannya. menemukan interval naik/turun dan ekstrem fungsi. Apalagi dia sudah membahas topik itu cukup lama. Fungsi dan grafik”, hingga akhirnya saya memutuskan untuk memasangnya lebih awal.

Oleh karena itu teko sayang, jangan buru-buru menyerap sari turunannya seperti hewan lapar, karena rasa kenyangnya akan terasa hambar dan tidak lengkap.

Konsep kenaikan, penurunan, maksimum, minimum suatu fungsi

Banyak alat peraga mengarah pada konsep turunan menggunakan beberapa masalah praktis, dan saya juga menemukan contoh yang menarik. Bayangkan kita akan melakukan perjalanan ke kota yang dapat dicapai dengan berbagai cara. Mari kita segera membuang jalur berkelok-kelok dan hanya mempertimbangkan jalan raya yang lurus. Namun, petunjuk arah garis lurus juga berbeda: Anda dapat mencapai kota melalui jalan raya yang mulus. Atau di sepanjang jalan raya yang berbukit - naik turun, naik turun. Jalan lainnya hanya menanjak, dan jalan lainnya selalu menurun. Penggemar olahraga ekstrem akan memilih rute melalui jurang dengan tebing terjal dan tanjakan terjal.

Namun apa pun preferensi Anda, disarankan untuk mengetahui area tersebut atau setidaknya menemukannya peta topografi. Bagaimana jika informasi tersebut hilang? Lagi pula, Anda dapat memilih, misalnya, jalan yang mulus, tetapi sebagai hasilnya Anda akan menemukan lereng ski dengan orang Finlandia yang ceria. Bukan fakta bahwa navigator atau bahkan citra satelit akan memberikan data yang dapat diandalkan. Oleh karena itu, alangkah baiknya memformalkan relief jalan tersebut dengan menggunakan matematika.

Mari kita lihat beberapa jalan (tampilan samping):

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan Anda tentang fakta dasar: perjalanan terjadi dari kiri ke kanan. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa fungsinya kontinu di area yang sedang dipertimbangkan.

Apa sajakah ciri-ciri grafik ini?

Secara berkala fungsi meningkat, yaitu, setiap nilai berikutnya lagi yang sebelumnya. Secara kasar, jadwalnya sudah aktif turun hingga(kami mendaki bukit). Dan pada interval fungsinya berkurang– setiap nilai berikutnya lebih sedikit sebelumnya, dan jadwal kami aktif Perintahkan ke bawah(kita menuruni lereng).

Mari kita perhatikan juga poin-poin khusus. Pada titik yang kita capai maksimum, itu adalah ada bagian jalur yang nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama hal itu tercapai minimum, Dan ada lingkungannya yang nilainya paling kecil (terendah).

Kita akan melihat terminologi dan definisi yang lebih ketat di kelas. tentang ekstrem dari fungsi tersebut, tapi untuk saat ini mari kita pelajari satu lagi fitur penting: secara berkala fungsinya meningkat, tetapi meningkat pada kecepatan yang berbeda. Dan hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah grafiknya melonjak selama interval jauh lebih keren, dibandingkan pada interval . Mungkinkah mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematika?

Tingkat perubahan fungsi

Idenya adalah ini: mari kita ambil nilai (baca "delta x"), yang akan kami panggil peningkatan argumen, dan mari kita mulai “mencobanya” ke berbagai titik di jalur kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak, kita mendaki lereng hingga ketinggian (garis hijau). Besarannya disebut peningkatan fungsi, dan masuk pada kasus ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu adalah Diatas nol). Mari kita buat rasio yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas sekali, ini adalah angka yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka .

Perhatian! Sebutannya adalah SATU simbol, yaitu, Anda tidak dapat "melepaskan" "delta" dari "X" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja komentar tersebut juga menyangkut simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan dengan lebih bermakna. Mari kita awalnya berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah menempuh jarak beberapa meter (garis merah kiri), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsinya adalah meter (garis hijau) dan: . Dengan demikian, pada setiap meter bagian jalan ini tinggi badan bertambah rata-rata sejauh 4 meter...lupa perlengkapan pendakianmu? =) Dengan kata lain, hubungan yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) dari fungsi tersebut.

Catatan : Nilai numerik dari contoh yang dimaksud hanya kira-kira sesuai dengan proporsi gambar.

2) Sekarang mari kita menempuh jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih bertahap, sehingga kenaikannya (garis merah tua) relatif kecil, dan rasionya dibandingkan kasus sebelumnya akan sangat kecil. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi adalah . Artinya, di sini ada untuk setiap meter jalan rata-rata kenaikan setengah meter.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat bagian atas titik hitam, terletak pada sumbu ordinat. Anggap saja ini adalah tanda 50 meter. Kami mengatasi jarak itu lagi, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - di ketinggian 30 meter. Sejak gerakan itu dilakukan Perintahkan ke bawah(dalam arah “berlawanan” sumbu), lalu yang terakhir kenaikan fungsi (tinggi) akan negatif: meter (segmen coklat pada gambar). Dan dalam hal ini kita sudah membicarakannya tingkat penurunan Fitur: , yaitu, untuk setiap meter lintasan pada bagian ini, ketinggiannya berkurang rata-rata sebesar 2 meter. Jagalah pakaian Anda pada poin kelima.

Sekarang mari kita bertanya pada diri kita sendiri: nilai “standar pengukuran” manakah yang paling baik digunakan? Dapat dimengerti sepenuhnya, 10 meter itu sangat kasar. Selusin gundukan yang bagus dapat dengan mudah dipasang di atasnya. Kenapa ada benjolan, mungkin ada di bawah sana? jurang yang dalam, dan setelah beberapa meter - sisi lainnya dengan tanjakan yang lebih curam. Jadi, dengan jarak sepuluh meter kita tidak akan mendapatkan gambaran yang jelas tentang bagian jalan yang melalui rasio tersebut.

Dari pembahasan di atas dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: Bagaimana nilainya lebih sedikit , semakin akurat kami menggambarkan topografi jalan. Selain itu, fakta-fakta berikut ini benar adanya:

– Untuk siapa pun poin pengangkatan Anda dapat memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dengan batas kenaikan tertentu. Ini berarti bahwa pertambahan tinggi yang bersesuaian dijamin positif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan pertumbuhan fungsi di setiap titik pada interval ini dengan tepat.

- Juga, untuk apa pun titik kemiringan ada nilai yang sesuai sepenuhnya pada kemiringan ini. Akibatnya, pertambahan tinggi yang bersesuaian jelas negatif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan penurunan fungsi di setiap titik pada interval tertentu.

– Kasus yang sangat menarik adalah ketika laju perubahan fungsi adalah nol: . Pertama, kenaikan ketinggian nol () adalah tanda jalan mulus. Dan kedua, ada situasi menarik lainnya, contohnya dapat Anda lihat pada gambar. Bayangkan nasib telah membawa kita ke puncak bukit dengan elang yang terbang tinggi atau dasar jurang dengan katak yang berkokok. Jika Anda mengambil langkah kecil ke segala arah, perubahan ketinggian dapat diabaikan, dan kita dapat mengatakan bahwa laju perubahan fungsi sebenarnya adalah nol. Ini persis seperti gambaran yang terlihat pada titik-titik tersebut.

Oleh karena itu, kita mempunyai peluang luar biasa untuk secara akurat mengkarakterisasi laju perubahan suatu fungsi. Lagipula analisis matematis memungkinkan Anda mengarahkan kenaikan argumen ke nol: , yaitu membuatnya kecil sekali.

Akibatnya, muncul pertanyaan logis lainnya: apakah mungkin menemukan jalan dan jadwalnya fungsi lain, yang akan memberi tahu kami tentang semua bagian datar, tanjakan, turunan, puncak, lembah, serta laju pertumbuhan/penurunan di setiap titik sepanjang perjalanan?

Apa itu turunan? Definisi turunan.
Arti geometris turunan dan diferensial

Harap baca dengan cermat dan jangan terlalu cepat - materinya sederhana dan dapat diakses oleh semua orang! Tidak apa-apa jika di beberapa tempat ada sesuatu yang tidak begitu jelas, Anda selalu dapat kembali ke artikelnya nanti. Saya akan mengatakan lebih banyak, akan berguna untuk mempelajari teori beberapa kali untuk memahami semua poin secara menyeluruh (nasihat ini sangat relevan untuk siswa "teknis", yang matematika tingkat tinggi memainkan peran penting dalam proses pendidikan).

Tentu saja, dalam definisi turunan pada suatu titik kita menggantinya dengan:

Apa yang telah kita capai? Dan kami sampai pada kesimpulan bahwa untuk fungsinya sesuai undang-undang sudah sesuai fungsi lainnya, yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan).

Derivatifnya mencirikan tingkat perubahan fungsi Bagaimana? Idenya berjalan seperti benang merah sejak awal artikel. Mari kita pertimbangkan beberapa hal domain definisi fungsi Biarkan fungsi tersebut terdiferensiasi pada suatu titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsinya bertambah di titik . Dan jelas ada selang(bahkan yang sangat kecil), berisi titik di mana fungsi tersebut bertambah, dan grafiknya bergerak “dari bawah ke atas”.

2) Jika , maka fungsinya berkurang di titik . Dan ada interval yang berisi titik di mana fungsinya menurun (grafiknya “dari atas ke bawah”).

3) Jika , maka sangat dekat di dekat suatu titik fungsi tersebut mempertahankan kecepatannya konstan. Hal ini terjadi, sebagaimana dicatat, dengan fungsi konstan dan pada titik-titik kritis fungsi, secara khusus pada titik minimum dan maksimum.

Sedikit semantik. Apa arti kata kerja “membedakan” dalam arti luas? Membedakan berarti menonjolkan suatu ciri. Dengan mendiferensiasikan suatu fungsi, kita “mengisolasi” laju perubahannya dalam bentuk turunan fungsi tersebut. Ngomong-ngomong, apa yang dimaksud dengan kata “turunan”? Fungsi telah terjadi dari fungsi.

Istilah-istilah tersebut sangat berhasil ditafsirkan oleh makna mekanis turunannya :
Mari kita perhatikan hukum perubahan koordinat suatu benda, bergantung pada waktu, dan fungsi kecepatan gerak suatu benda. Fungsi tersebut mencirikan laju perubahan koordinat benda, oleh karena itu merupakan turunan pertama fungsi tersebut terhadap waktu: . Jika konsep “gerakan tubuh” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep "kecepatan tubuh".

Percepatan suatu benda adalah laju perubahan kecepatan, oleh karena itu: . Jika konsep awal “gerakan benda” dan “kecepatan benda” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep “percepatan benda”.

Pada artikel ini kami akan memberikan konsep dasar yang menjadi dasar semua teori selanjutnya tentang topik turunan fungsi satu variabel.

Jalur x adalah argumen dari fungsi f(x) dan merupakan bilangan kecil selain nol.

(dibaca “delta x”) disebut menambah argumen fungsi. Pada gambar, garis merah menunjukkan perubahan argumen dari nilai x ke nilai (karena itulah inti dari nama “kenaikan” argumen).

Saat berpindah dari nilai argumen ke nilai fungsi, ubah sesuai dari ke, asalkan fungsi tersebut monotonik pada intervalnya. Perbedaannya disebut kenaikan fungsi f(x), sesuai dengan kenaikan argumen ini. Pada gambar, kenaikan fungsi ditunjukkan dengan garis biru.

Mari kita lihat konsep-konsep ini dengan menggunakan contoh spesifik.

Mari kita ambil contoh fungsinya . Mari kita perbaiki poin dan peningkatan argumennya. Dalam hal ini, pertambahan fungsi ketika berpindah dari ke akan sama dengan

Kenaikan negatif menunjukkan penurunan fungsi pada segmen tersebut.

Ilustrasi grafis

Menentukan turunan suatu fungsi di suatu titik.

Misalkan fungsi f(x) terdefinisi pada interval (a; b) dan dan menjadi titik-titik pada interval tersebut. Turunan dari fungsi f(x) di titik disebut limit rasio pertambahan suatu fungsi dengan pertambahan argumen di . Ditunjuk .

Ketika batas terakhir mencapai nilai akhir tertentu, kita berbicara tentang keberadaan turunan terbatas pada titik tersebut. Jika batasnya tidak terhingga, maka mereka mengatakan demikian turunan tidak terhingga pada suatu titik tertentu. Jika batasnya tidak ada, maka turunan fungsi pada titik ini tidak ada.

Fungsi f(x) dipanggil dapat dibedakan pada intinya, jika memiliki turunan berhingga di dalamnya.

Jika suatu fungsi f(x) terdiferensiasi pada setiap titik pada interval tertentu (a; b), maka fungsi tersebut disebut terdiferensiasi pada interval tersebut. Jadi, setiap titik x dari interval (a; b) dapat diasosiasikan dengan nilai turunan fungsi pada titik tersebut, yaitu kita mempunyai kesempatan untuk mendefinisikan fungsi baru, yang disebut turunan dari fungsi f(x) pada interval (a; b).

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.

Mari kita bedakan sifat konsep turunan suatu fungsi pada suatu titik dan pada suatu interval: turunan suatu fungsi pada suatu titik adalah suatu bilangan, dan turunan suatu fungsi pada suatu interval adalah suatu fungsi.

Mari kita lihat ini dengan contoh untuk membuat gambarannya lebih jelas. Saat melakukan diferensiasi, kita akan menggunakan definisi turunan, yaitu kita akan melanjutkan ke mencari limit. Jika timbul kesulitan, sebaiknya Anda merujuk pada bagian teori.

Contoh.

Temukan turunan fungsi di suatu titik menggunakan definisi.

Larutan.

Karena kita mencari turunan suatu fungsi di suatu titik, maka jawabannya harus mengandung bilangan. Mari kita tuliskan limit rasio pertambahan suatu fungsi dengan pertambahan argumen dan gunakan rumus trigonometri:

Tanggal: 20/11/2014

Apa itu turunan?

Tabel turunan.

Turunan adalah salah satu konsep utama matematika tingkat tinggi. Dalam pelajaran ini kami akan memperkenalkan konsep ini. Mari saling mengenal, tanpa rumusan dan pembuktian matematis yang ketat.

Kenalan ini akan memungkinkan Anda untuk:

Memahami esensi tugas sederhana dengan turunan;

Selesaikan tugas paling sederhana ini dengan sukses;

Bersiaplah untuk pelajaran yang lebih serius tentang derivatif.

Pertama - kejutan yang menyenangkan.)

Definisi ketat dari turunan didasarkan pada teori limit dan hal tersebut cukup rumit. Ini menjengkelkan. Namun penerapan praktis turunan, pada umumnya, tidak memerlukan pengetahuan yang begitu luas dan mendalam!

Untuk berhasil menyelesaikan sebagian besar tugas di sekolah dan universitas, pengetahuan saja sudah cukup beberapa istilah saja- untuk memahami tugas, dan hanya beberapa aturan- untuk mengatasinya. Itu saja. Ini membuatku senang.

Mari kita mulai berkenalan?)

Syarat dan sebutan.

Ada banyak operasi matematika yang berbeda dalam matematika dasar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial, logaritma, dll. Jika Anda menambahkan operasi lain ke operasi ini, matematika dasar menjadi lebih tinggi. Operasi baru ini disebut diferensiasi. Definisi dan makna operasi ini akan dibahas dalam pelajaran tersendiri.

Penting untuk dipahami di sini bahwa diferensiasi itu sederhana operasi matematika atas fungsinya. Kami mengambil fungsi apa pun dan, menurut aturan tertentu, ubahlah. Hasilnya akan menjadi fungsi baru. Fungsi baru ini disebut: turunan.

Diferensiasi- tindakan pada suatu fungsi.

Turunan- hasil dari tindakan ini.

Sama seperti, misalnya, jumlah- hasil penjumlahan. Atau pribadi- hasil pembagian.

Mengetahui istilah-istilahnya, setidaknya Anda dapat memahami tugasnya.) Rumusannya adalah sebagai berikut: temukan turunan suatu fungsi; ambil turunannya; membedakan fungsinya; menghitung turunan dan seterusnya. Ini semua sama. Tentu saja, ada juga tugas yang lebih kompleks, di mana mencari turunan (diferensiasi) hanyalah salah satu langkah dalam menyelesaikan masalah.

Turunan ditunjukkan dengan tanda hubung di kanan atas fungsi. Seperti ini: kamu" atau f"(x) atau S"(t) dan seterusnya.

Membaca guratan igrek, guratan ef dari x, guratan es dari te, baiklah, kamu mengerti...)

Bilangan prima juga dapat menunjukkan turunan suatu fungsi tertentu, misalnya: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" dll. Seringkali turunan dilambangkan dengan menggunakan diferensial, namun kita tidak akan membahas notasi tersebut dalam pelajaran ini.

Anggaplah kita telah belajar memahami tugas-tugas. Yang tersisa hanyalah mempelajari cara menyelesaikannya.) Izinkan saya mengingatkan Anda sekali lagi: mencari turunannya adalah transformasi suatu fungsi menurut aturan tertentu. Anehnya, aturan-aturan ini sangat sedikit.

Untuk mencari turunan suatu fungsi, Anda hanya perlu mengetahui tiga hal. Tiga pilar yang menjadi landasan semua diferensiasi. Inilah ketiga pilar tersebut:

1. Tabel turunan (rumus diferensiasi).

3. Turunan dari fungsi kompleks.

Mari kita mulai secara berurutan. Dalam pelajaran ini kita akan melihat tabel turunan.

Tabel turunan.

Ada banyak sekali fungsi di dunia. Di antara keragaman tersebut, ada fungsi yang paling penting aplikasi praktis. Fungsi-fungsi ini ditemukan dalam semua hukum alam. Dari fungsi-fungsi ini, seperti dari batu bata, Anda dapat membuat fungsi lainnya. Kelas fungsi ini disebut fungsi dasar. Fungsi-fungsi inilah yang dipelajari di sekolah - linier, kuadrat, hiperbola, dll.

Diferensiasi fungsi "dari awal", mis. Berdasarkan definisi turunan dan teori limit, ini merupakan hal yang memakan banyak tenaga. Dan matematikawan juga manusia, ya, ya!) Jadi mereka menyederhanakan kehidupan mereka (dan kita). Mereka menghitung turunan fungsi dasar sebelum kita. Hasilnya adalah tabel turunan, dimana semuanya sudah siap.)

Ini dia, pelat ini untuk fungsi paling populer. Di sebelah kiri adalah fungsi dasar, di sebelah kanan adalah turunannya.

	Fungsi kamu	Turunan dari fungsi y kamu"
1	C (nilai konstan)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - nomor berapa pun)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	dosa x	(dosa x)" = cosx
	karena x	(karena x)" = - dosa x
	terima kasih
	ctg x
5	busur x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	catatan A X
	dalam x ( sebuah = e)

Saya sarankan untuk memperhatikan kelompok fungsi ketiga dalam tabel turunan ini. Turunan fungsi pangkat adalah salah satu rumus yang paling umum, bahkan paling umum! Apakah Anda mengerti petunjuknya?) Ya, disarankan untuk hafal tabel turunannya. Ngomong-ngomong, ini tidak sesulit kelihatannya. Cobalah untuk memutuskan lebih banyak contoh, tabel itu sendiri akan diingat!)

Menemukan nilai tabel turunannya, seperti yang Anda pahami, bukanlah tugas yang paling sulit. Oleh karena itu, sangat sering ada chip tambahan dalam tugas seperti itu. Entah dalam kata-kata tugasnya, atau dalam fungsi aslinya, yang sepertinya tidak ada di tabel...

Mari kita lihat beberapa contoh:

1. Tentukan turunan dari fungsi y = x 3

Tidak ada fungsi seperti itu di tabel. Tapi ada turunan dari fungsi pangkat di pandangan umum(kelompok ketiga). Dalam kasus kami n=3. Jadi kita gantikan tiga, bukan n, dan tuliskan hasilnya dengan hati-hati:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Itu dia.

Menjawab: kamu" = 3x 2

2. Tentukan nilai turunan fungsi y = sinx di titik x = 0.

Tugas ini berarti Anda harus mencari turunan sinus terlebih dahulu, lalu mensubstitusikan nilainya x = 0 menjadi turunan ini. Tepat dalam urutan itu! Jika tidak, kebetulan mereka segera mengganti nol ke dalam fungsi aslinya... Kita diminta untuk mencari bukan nilai dari fungsi aslinya, tetapi nilainya turunannya. Turunannya, izinkan saya mengingatkan Anda, adalah fungsi baru.

Dengan menggunakan tablet kita menemukan sinus dan turunannya yang sesuai:

y" = (dosa x)" = cosx

Kami mengganti nol ke dalam turunannya:

kamu"(0) = cos 0 = 1

Ini akan menjadi jawabannya.

3. Bedakan fungsinya:

Apa, menginspirasi?) Tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk membedakan suatu fungsi berarti mencari turunan dari fungsi tersebut. Jika kita lupa trigonometri dasar, mencari turunan fungsi kita cukup merepotkan. Tabel tidak membantu...

Namun jika kita lihat fungsi kita adalah cosinus sudut ganda, maka semuanya akan segera menjadi lebih baik!

Ya ya! Ingatlah bahwa mengubah fungsi aslinya sebelum diferensiasi cukup bisa diterima! Dan hal itu membuat hidup jauh lebih mudah. Menggunakan rumus kosinus sudut ganda:

Itu. fungsi rumit kami tidak lebih dari itu y = karenax. Dan ini adalah - fungsi tabel. Kami segera mendapatkan:

Menjawab: kamu" = - dosa x.

Contoh untuk lulusan dan mahasiswa tingkat lanjut:

4. Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Tentu saja, tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan. Tapi jika Anda ingat matematika dasar, tindakan dengan derajat... Maka sangat mungkin untuk menyederhanakan fungsi ini. Seperti ini:

Dan x pangkat sepersepuluh sudah merupakan fungsi tabel! Kelompok ketiga, n=1/10. Kita tulis langsung sesuai rumus:

Itu saja. Ini akan menjadi jawabannya.

Saya harap semuanya jelas dengan pilar diferensiasi pertama - tabel turunan. Masih berurusan dengan dua paus yang tersisa. Pada pelajaran selanjutnya kita akan mempelajari aturan diferensiasi.

Kembali