Apa yang dimaksud dengan himpunan bilangan prima? Bilangan prima: sejarah dan fakta

Terjemahan

Sifat-sifat bilangan prima pertama kali dipelajari oleh ahli matematika Yunani kuno. Matematikawan dari aliran Pythagoras (500 - 300 SM) terutama tertarik pada sifat mistik dan numerologi bilangan prima. Merekalah yang pertama kali memunculkan ide tentang angka sempurna dan bersahabat.

Bilangan sempurna mempunyai jumlah pembaginya yang sama dengan bilangan itu sendiri. Misalnya pembagi bilangan 6 adalah 1, 2 dan 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pembagi bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7 dan 14. Selain itu, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Bilangan disebut bersahabat jika jumlah pembagi suatu bilangan sama dengan bilangan lain, dan sebaliknya - misalnya 220 dan 284. Kita dapat mengatakan bahwa bilangan sempurna bersahabat dengan bilangan itu sendiri.

Pada saat Elemen Euclid pada tahun 300 SM. beberapa telah terbukti fakta-fakta penting mengenai bilangan prima. Dalam Buku IX Elemen, Euclid membuktikan bahwa ada bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga. Omong-omong, ini adalah salah satu contoh pertama penggunaan pembuktian dengan kontradiksi. Dia juga membuktikan Teorema Dasar Aritmatika - setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan secara unik sebagai hasil kali bilangan prima.

Ia juga menunjukkan bahwa jika bilangan 2n-1 bilangan prima, maka bilangan 2n-1 * (2n-1) adalah bilangan sempurna. Matematikawan lain, Euler, mampu menunjukkan pada tahun 1747 bahwa semuanya genap angka sempurna dapat ditulis dalam bentuk ini. Sampai hari ini tidak diketahui apakah bilangan ganjil sempurna itu ada.

Pada tahun 200 SM. Eratosthenes Yunani menemukan algoritma untuk menemukan bilangan prima yang disebut Saringan Eratosthenes.

Dan kemudian terjadi terobosan besar dalam sejarah studi bilangan prima, terkait dengan Abad Pertengahan.

Penemuan berikut telah dilakukan pada awal abad ke-17 oleh ahli matematika Fermat. Ia membuktikan dugaan Albert Girard bahwa bilangan prima apa pun berbentuk 4n+1 dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dua kuadrat, dan juga merumuskan teorema bahwa bilangan apa pun dapat ditulis sebagai jumlah empat kuadrat.

Dia mengembangkan metode baru faktorisasi bilangan besar, dan mendemonstrasikannya pada bilangan 2027651281 = 44021 × 46061. Ia juga membuktikan Teorema Kecil Fermat: jika p adalah bilangan prima, maka untuk sembarang bilangan bulat a maka benar bahwa a p = modulo p.

Pernyataan ini membuktikan setengah dari apa yang dikenal sebagai "dugaan Cina" dan berasal dari tahun 2000 yang lalu: bilangan bulat n adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2 n -2 habis dibagi n. Hipotesis bagian kedua ternyata salah - misalnya, 2.341 - 2 habis dibagi 341, meskipun bilangan 341 adalah bilangan komposit: 341 = 31 × 11.

Teorema Kecil Fermat menjadi dasar bagi banyak hasil lain dalam teori bilangan dan metode untuk menguji apakah bilangan merupakan bilangan prima - banyak di antaranya masih digunakan hingga saat ini.

Fermat banyak berkorespondensi dengan orang-orang sezamannya, terutama dengan seorang biarawan bernama Maren Mersenne. Dalam salah satu suratnya, ia berhipotesis bahwa bilangan berbentuk 2 n +1 akan selalu prima jika n adalah pangkat dua. Dia mengujinya untuk n = 1, 2, 4, 8 dan 16, dan yakin bahwa dalam kasus di mana n bukan pangkat dua, bilangan tersebut belum tentu prima. Bilangan-bilangan ini disebut bilangan Fermat, dan 100 tahun kemudian Euler menunjukkan bahwa bilangan berikutnya, 2 32 + 1 = 4294967297, habis dibagi 641, dan karenanya bukan bilangan prima.

Bilangan berbentuk 2 n - 1 juga pernah menjadi bahan penelitian, karena mudah untuk menunjukkan bahwa jika n bilangan komposit, maka bilangan itu sendiri juga bilangan komposit. Angka-angka ini disebut bilangan Mersenne karena ia mempelajarinya secara ekstensif.

Namun tidak semua bilangan berbentuk 2 n - 1, dimana n adalah bilangan prima, adalah bilangan prima. Misalnya 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ini pertama kali ditemukan pada tahun 1536.

Selama bertahun-tahun, angka-angka jenis ini memberi para ahli matematika angka-angka terbesar yang pernah diketahui. bilangan prima. Bahwa M 19 dibuktikan oleh Cataldi pada tahun 1588, dan selama 200 tahun merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui, sampai Euler membuktikan bahwa M 31 juga merupakan bilangan prima. Rekor ini bertahan selama seratus tahun berikutnya, dan kemudian Lucas menunjukkan bahwa M 127 adalah bilangan prima (dan ini sudah merupakan bilangan 39 digit), dan setelah itu penelitian dilanjutkan dengan munculnya komputer.

Pada tahun 1952 terbukti keutamaan bilangan M 521, M 607, M 1279, M 2203 dan M 2281.

Pada tahun 2005, 42 bilangan prima Mersenne telah ditemukan. Yang terbesar, M 25964951, terdiri dari 7816230 digit.

Karya Euler berdampak besar pada teori bilangan, termasuk bilangan prima. Dia memperluas Teorema Kecil Fermat dan memperkenalkan fungsi φ. Memfaktorkan bilangan Fermat ke-5 2 32 +1, menemukan 60 pasang bilangan sahabat, dan merumuskan (tetapi tidak dapat membuktikan) hukum timbal balik kuadrat.

Dialah orang pertama yang memperkenalkan metode analisis matematis dan mengembangkan teori bilangan analitis. Ia membuktikan bahwa deret harmonik tidak hanya ∑ (1/n), tetapi juga deret yang bentuknya

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Hasil penjumlahan kebalikan bilangan prima juga berbeda. Jumlah n suku deret harmonik bertambah kira-kira sebesar log(n), dan deret kedua menyimpang lebih lambat sebesar log[ log(n) ]. Artinya, misalnya, jumlah kebalikan dari semua bilangan prima yang ditemukan sampai saat ini hanya akan menghasilkan 4, meskipun deretnya masih divergen.

Pada pandangan pertama, nampaknya bilangan prima terdistribusi secara acak di antara bilangan bulat. Misalnya, di antara 100 bilangan tepat sebelum 10.000000 terdapat 9 bilangan prima, dan di antara 100 bilangan tepat setelah nilai ini hanya terdapat 2. Namun pada segmen yang besar, bilangan prima tersebar cukup merata. Legendre dan Gauss menangani masalah distribusinya. Gauss pernah berkata kepada temannya bahwa dalam waktu luang 15 menit apa pun dia selalu menghitung jumlah bilangan prima pada 1000 bilangan berikutnya. Pada akhir hidupnya, ia telah menghitung semua bilangan prima hingga 3 juta. Legendre dan Gauss sama-sama menghitung bahwa untuk n besar kepadatan prima adalah 1/log(n). Legendre memperkirakan jumlah bilangan prima dalam rentang 1 sampai n as

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Dan Gauss seperti integral logaritma

π(n) = ∫ 1/log(t)dt

Dengan interval integrasi dari 2 hingga n.

Pernyataan tentang massa jenis bilangan prima 1/log(n) dikenal dengan Teorema Distribusi Prima. Mereka mencoba membuktikannya sepanjang abad ke-19, dan kemajuan dicapai oleh Chebyshev dan Riemann. Mereka menghubungkannya dengan hipotesis Riemann, hipotesis yang masih belum terbukti tentang distribusi angka nol pada fungsi Riemann zeta. Kepadatan bilangan prima dibuktikan secara bersamaan oleh Hadamard dan Vallée-Poussin pada tahun 1896.

Masih banyak pertanyaan yang belum terpecahkan dalam teori bilangan prima, beberapa di antaranya sudah berusia ratusan tahun:

Hipotesis prima kembar adalah tentang pasangan bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga dan berbeda satu sama lain sebesar 2
Dugaan Goldbach: bilangan genap apa pun, dimulai dengan 4, dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan prima
Apakah ada bilangan prima yang bentuknya n 2 + 1 tak terhingga?
Apakah selalu mungkin untuk menemukan bilangan prima antara n 2 dan (n + 1) 2? (fakta bahwa selalu ada bilangan prima antara n dan 2n dibuktikan oleh Chebyshev)
Apakah jumlah bilangan prima Fermat tidak terbatas? Apakah ada bilangan prima Fermat setelah 4?
apakah ada barisan aritmatika dari bilangan prima berurutan untuk panjang tertentu? misalnya untuk panjang 4: 251, 257, 263, 269. Panjang maksimum yang ditemukan adalah 26.
Apakah ada himpunan tiga bilangan prima berurutan yang jumlahnya tak terhingga dalam barisan aritmatika?
n 2 - n + 41 adalah bilangan prima untuk 0 ≤ n ≤ 40. Adakah bilangan prima seperti itu yang jumlahnya tak terhingga? Pertanyaan yang sama untuk rumus n 2 - 79 n + 1601. Bilangan-bilangan ini merupakan bilangan prima untuk 0 ≤ n ≤ 79.
Apakah ada bilangan prima berbentuk n# + 1 yang tak terhingga? (n# adalah hasil perkalian semua bilangan prima yang kurang dari n)
Apakah ada bilangan prima berbentuk n# -1 yang tak terhingga?
Apakah ada bilangan prima berbentuk n yang tak terhingga? + 1?
Apakah ada bilangan prima berbentuk n yang tak terhingga? - 1?
jika p bilangan prima, apakah 2 p -1 selalu tidak mengandung kuadrat prima di antara faktor-faktornya?
apakah barisan Fibonacci mengandung bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga?

Bilangan prima kembar terbesar adalah 2003663613 × 2 195000 ± 1. Bilangan prima tersebut terdiri dari 58711 digit dan ditemukan pada tahun 2007.

Bilangan prima faktorial terbesar (tipe n!±1) adalah 147855! - 1. Terdiri dari 142891 digit dan ditemukan pada tahun 2002.

Bilangan prima primordial terbesar (bilangan berbentuk n# ± 1) adalah 1098133# + 1.

Pencacahan pembagi. Menurut definisi, angka N adalah bilangan prima hanya jika bilangan tersebut tidak habis dibagi 2 dan bilangan bulat lain kecuali 1 dan dirinya sendiri. Rumus di atas menghilangkan langkah-langkah yang tidak perlu dan menghemat waktu: misalnya, setelah memeriksa apakah suatu bilangan habis dibagi 3, tidak perlu memeriksa apakah bilangan tersebut habis dibagi 9.

Fungsi floor(x) membulatkan x ke bilangan bulat terdekat yang lebih kecil atau sama dengan x.

Pelajari tentang aritmatika modular. Operasi "x mod y" (mod adalah singkatan dari kata Latin "modulo", yaitu "modul") berarti "bagi x dengan y dan cari sisanya". Dengan kata lain, dalam aritmatika modular, setelah mencapai nilai tertentu, disebut modul, angkanya “berubah” menjadi nol lagi. Misalnya, sebuah jam menjaga waktu dengan modulus 12: ia menunjukkan jam 10, 11 dan 12 dan kemudian kembali ke 1.

Banyak kalkulator memiliki kunci mod. Akhir bagian ini menunjukkan cara mengevaluasi fungsi ini secara manual untuk sejumlah besar.

Pelajari tentang kelemahan Teorema Kecil Fermat. Semua bilangan yang syarat pengujiannya tidak terpenuhi adalah bilangan komposit, tetapi bilangan selebihnya hanyalah bilangan mungkin tergolong sederhana. Jika Anda ingin menghindari hasil yang salah, carilah N dalam daftar "bilangan Carmichael" (bilangan gabungan yang memenuhi tes ini) dan “bilangan Fermat prima semu” (angka-angka ini sesuai dengan kondisi pengujian hanya untuk nilai tertentu A).

Jika nyaman, gunakan uji Miller-Rabin. Meskipun metode ini cukup rumit untuk dihitung dengan tangan, metode ini sering digunakan dalam program komputer. Ini memberikan kecepatan yang dapat diterima dan menghasilkan kesalahan lebih sedikit dibandingkan metode Fermat. Suatu bilangan komposit tidak akan diterima sebagai bilangan prima jika penghitungan dilakukan lebih dari ¼ nilainya A. Jika Anda memilih secara acak arti yang berbeda A dan bagi semuanya tes tersebut akan memberikan hasil yang positif, kita dapat berasumsi dengan tingkat keyakinan yang cukup tinggi bahwa N adalah bilangan prima.

Untuk bilangan besar, gunakan aritmatika modular. Jika Anda tidak memiliki kalkulator dengan mod, atau kalkulator Anda tidak dirancang untuk menangani bilangan sebesar itu, gunakan properti pangkat dan aritmatika modular untuk mempermudah penghitungan. Di bawah ini adalah contoh untuk 3 50 (\gaya tampilan 3^(50)) mod 50:

Tulis ulang ekspresi tersebut secara lebih rinci bentuk yang nyaman: mod 50. Untuk perhitungan manual, penyederhanaan lebih lanjut mungkin diperlukan.
(3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Di sini kami memperhitungkan properti perkalian modular.
3 25 (\gaya tampilan 3^(25)) mod 50 = 43.
(3 25 (\gaya tampilan (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\gaya tampilan (43*43)) mod 50.
= 1849 (\gaya tampilan =1849) mod 50.
= 49 (\gaya tampilan =49).

Bilangan-bilangan itu berbeda-beda: natural, rasional, rasional, bilangan bulat dan pecahan, positif dan negatif, kompleks dan prima, ganjil dan genap, nyata, dll. Dari artikel ini Anda bisa mengetahui apa itu bilangan prima.

Angka apa yang disebut “sederhana” dalam bahasa Inggris?

Seringkali, anak sekolah tidak mengetahui bagaimana menjawab salah satu pertanyaan paling sederhana dalam matematika, tentang apa itu bilangan prima. Mereka sering mengacaukan bilangan prima dengan bilangan asli (yaitu bilangan yang digunakan orang saat menghitung benda, sementara di beberapa sumber dimulai dengan nol, dan di sumber lain dimulai dengan satu). Tapi ini adalah dua konsep yang berbeda. Bilangan prima adalah bilangan asli, yaitu bilangan bulat dan bilangan positif yang lebih besar dari satu dan hanya mempunyai 2 pembagi alami. Selain itu, salah satu pembagi ini adalah bilangan tertentu, dan pembagi kedua adalah satu. Misalnya, tiga adalah bilangan prima karena tidak dapat dibagi tanpa sisa oleh bilangan lain selain bilangan itu sendiri dan satu.

Bilangan komposit

Kebalikan dari bilangan prima adalah bilangan komposit. Mereka juga alami, juga lebih besar dari satu, tetapi tidak memiliki dua, tetapi jumlah pembaginya lebih banyak. Jadi, misalnya bilangan 4, 6, 8, 9, dst adalah bilangan asli, bilangan komposit, tetapi bukan bilangan prima. Seperti yang Anda lihat, sebagian besar bilangan genap, tetapi tidak semua. Namun “dua” adalah bilangan genap dan “bilangan pertama” dalam rangkaian bilangan prima.

Selanjutnya

Untuk menyusun rangkaian bilangan prima, perlu untuk memilih dari semua bilangan asli, dengan mempertimbangkan definisinya, yaitu, Anda harus bertindak dengan kontradiksi. Penting untuk memeriksa setiap bilangan asli positif untuk melihat apakah bilangan tersebut memiliki lebih dari dua pembagi. Mari kita coba membuat deret (deretan) yang terdiri dari bilangan prima. Daftarnya dimulai dengan dua, diikuti dengan tiga, karena hanya habis dibagi dengan dirinya sendiri dan satu. Perhatikan angka empat. Apakah ada pembaginya selain empat dan satu? Ya, bilangan itu adalah 2. Jadi empat bukanlah bilangan prima. Lima juga bilangan prima (tidak habis dibagi bilangan lain, kecuali 1 dan 5), tetapi enam habis dibagi. Dan secara umum, jika Anda mengikuti semua bilangan genap, Anda akan melihat bahwa kecuali “dua”, tidak ada satupun bilangan prima. Dari sini kita menyimpulkan bahwa bilangan genap, kecuali dua, bukanlah bilangan prima. Penemuan lain: semua bilangan habis dibagi tiga, kecuali tiga itu sendiri, baik genap maupun ganjil, juga bukan bilangan prima (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, dst). Begitu pula dengan bilangan yang habis dibagi lima dan tujuh. Keseluruhan jumlahnya juga tidak sederhana. Mari kita rangkum. Jadi, bilangan satu digit sederhana mencakup semua bilangan ganjil kecuali satu dan sembilan, dan “dua” genap adalah bilangan genap. Puluhan itu sendiri (10, 20,... 40, dst.) tidaklah sederhana. Bilangan prima dua digit, tiga digit, dst. dapat ditentukan berdasarkan prinsip di atas: jika bilangan tersebut tidak memiliki pembagi selain dirinya sendiri dan satu.

Teori tentang sifat-sifat bilangan prima

Ada ilmu yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat, termasuk bilangan prima. Ini adalah cabang matematika yang disebut lebih tinggi. Selain sifat-sifat bilangan bulat, ia juga membahas bilangan aljabar dan transendental, serta fungsi berbagai asal usul yang berkaitan dengan aritmatika bilangan tersebut. Dalam penelitian ini, selain metode dasar dan aljabar, juga digunakan metode analitik dan geometri. Secara khusus, “Teori Bilangan” berkaitan dengan studi tentang bilangan prima.

Bilangan prima adalah “bahan penyusun” bilangan asli

Dalam aritmatika ada teorema yang disebut teorema fundamental. Menurutnya, bilangan asli apa pun, kecuali satu, dapat direpresentasikan sebagai suatu produk yang faktor-faktornya merupakan bilangan prima, dan urutan faktor-faktornya unik, artinya cara representasinya juga unik. Ini disebut memfaktorkan bilangan asli menjadi faktor prima. Ada nama lain untuk proses ini - faktorisasi bilangan. Berdasarkan hal ini, bilangan prima dapat disebut “bahan bangunan”, “balok” untuk menyusun bilangan asli.

Cari bilangan prima. Tes kesederhanaan

Banyak ilmuwan dari berbagai zaman mencoba menemukan beberapa prinsip (sistem) untuk menemukan daftar bilangan prima. Ilmu pengetahuan mengetahui sistem yang disebut saringan Atkin, saringan Sundartham, dan saringan Eratosthenes. Namun, mereka tidak memberikan hasil yang signifikan, dan tes sederhana digunakan untuk mencari bilangan prima. Matematikawan juga menciptakan algoritma. Biasanya disebut tes primalitas. Misalnya saja tes yang dikembangkan oleh Rabin dan Miller. Ini digunakan oleh kriptografer. Ada juga tes Kayal-Agrawal-Sasquena. Namun, meskipun cukup akurat, perhitungannya sangat sulit, sehingga mengurangi signifikansi praktisnya.

Apakah himpunan bilangan prima mempunyai limit?

Ilmuwan Yunani kuno Euclid menulis dalam bukunya “Elements” bahwa himpunan bilangan prima adalah tak terhingga. Dia mengatakan ini: “Mari kita bayangkan sejenak bahwa bilangan prima mempunyai batas. Lalu mari kalikan keduanya, dan tambahkan satu ke hasil perkaliannya. Bilangan yang diperoleh dari tindakan sederhana ini tidak dapat dibagi dengan deret bilangan prima mana pun, karena sisanya selalu satu. Artinya masih ada bilangan lain yang belum termasuk dalam daftar bilangan prima. Oleh karena itu, asumsi kami tidak benar, dan himpunan ini tidak memiliki batas. Selain bukti Euclid, ada rumus yang lebih modern yang diberikan oleh ahli matematika Swiss abad kedelapan belas, Leonhard Euler. Menurutnya, jumlah kebalikan dari jumlah n bilangan pertama bertambah tanpa batas seiring bertambahnya bilangan n. Dan berikut rumus teorema sebaran bilangan prima: (n) bertambah n/ln (n).

Berapakah bilangan prima terbesar?

Leonard Euler yang sama mampu menemukan bilangan prima terbesar pada masanya. Ini adalah 2 31 - 1 = 2147483647. Namun, pada tahun 2013, bilangan prima terbesar lainnya yang paling akurat telah dihitung - 2 57885161 - 1. Ini disebut bilangan Mersenne. Ini berisi sekitar 17 juta digit desimal. Seperti yang Anda lihat, jumlah yang ditemukan oleh ilmuwan abad kedelapan belas jauh lebih kecil dari jumlah ini. Seharusnya begitu, karena Euler melakukan perhitungan ini secara manual, sedangkan orang sezaman kita mungkin dibantu oleh komputer. Apalagi nomor tersebut didapat di Fakultas Matematika salah satu jurusan Amerika. Nomor yang dinamai ilmuwan ini lulus uji primalitas Luc-Lemaire. Namun ilmu pengetahuan tidak mau berhenti sampai disitu saja. Electronic Frontier Foundation, yang didirikan pada tahun 1990 di Amerika Serikat (EFF), telah menawarkan imbalan berupa uang untuk menemukan bilangan prima yang besar. Dan jika hingga tahun 2013 hadiah tersebut diberikan kepada para ilmuwan yang menemukan mereka dari antara 1 dan 10 juta angka desimal, maka saat ini angkanya sudah mencapai 100 juta hingga 1 miliar. Hadiahnya berkisar antara 150 hingga 250 ribu dollar AS.

Nama-nama bilangan prima khusus

Angka-angka yang ditemukan berkat algoritma yang dibuat oleh ilmuwan tertentu dan lulus uji kesederhanaan disebut bilangan istimewa. Berikut beberapa di antaranya:

1. Mersen.

4. Cullen.

6. Pabrik dkk.

Kesederhanaan angka-angka ini, yang dinamai menurut nama para ilmuwan di atas, ditentukan dengan menggunakan tes berikut:

1.Luc-Lemaire.

2. pepina.

3. Risel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge dan lain-lain.

Ilmu pengetahuan modern tidak berhenti di situ, dan mungkin dalam waktu dekat dunia akan mengetahui nama-nama orang yang mampu menerima hadiah $250.000 dengan menemukan bilangan prima terbesar.

Pembagian bilangan asli menjadi bilangan prima dan bilangan komposit dilakukan oleh ahli matematika Yunani kuno, Pythagoras. Dan jika mengikuti Pythagoras, maka himpunan bilangan asli dapat dibagi menjadi tiga kelas: (1) - himpunan yang terdiri dari satu bilangan - satu; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – himpunan bilangan prima; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – sekumpulan bilangan komposit.

Set kedua menyembunyikan banyak misteri berbeda. Tapi pertama-tama, mari kita cari tahu apa itu bilangan prima. Kami membuka "Kamus Ensiklopedia Matematika" (Yu. V. Prokhorov, penerbit "Soviet Encyclopedia", 1988) dan membaca:

“Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu, yang tidak mempunyai pembagi selain dirinya sendiri dan satu: 2,3,5,7,11,13,

Konsep bilangan prima merupakan hal mendasar dalam studi tentang pembagian bilangan asli; yaitu, teorema dasar aritmatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif kecuali 1 dapat diuraikan secara unik menjadi hasil kali bilangan prima (urutan faktornya tidak diperhitungkan). Ada banyak bilangan prima yang tak terhingga banyaknya (proposisi ini, yang disebut teorema Euclid, telah diketahui oleh ahli matematika Yunani kuno; buktinya dapat ditemukan di buku 9 Elemen Euclid). P. Dirichlet (1837) menetapkan bahwa dalam perkembangan aritmatika a + bx untuk x = 1. ,2,c dengan bilangan bulat koprima a dan b juga mengandung bilangan prima yang tak terhingga banyaknya.

Untuk mencari bilangan prima dari 1 sampai x telah diketahui sejak abad ke-3. SM e. Metode saringan Eratosthenes. Pemeriksaan terhadap barisan (*) bilangan prima dari 1 sampai x menunjukkan bahwa dengan bertambahnya x, rata-rata bilangan tersebut menjadi semakin langka. Ada segmen-segmen panjang sembarang dari serangkaian bilangan asli, di antaranya tidak ada satu pun bilangan prima (Teorema 4). Pada saat yang sama, ada bilangan prima yang selisihnya sama dengan 2 (disebut kembar). Masih belum diketahui (1987) apakah himpunan kembar tersebut berhingga atau tak terhingga. Tabel bilangan prima dalam 11 juta bilangan asli pertama menunjukkan adanya bilangan kembar yang sangat besar (misalnya, 10.006.427 dan 10.006.429).

Mencari tahu sebaran bilangan prima pada deret bilangan asli merupakan permasalahan yang sangat sulit dalam teori bilangan. Ini dirumuskan sebagai studi tentang perilaku asimtotik suatu fungsi yang menunjukkan jumlah bilangan prima tidak melebihi nomor positif X. Dari teorema Euclid jelas kapan. L. Euler memperkenalkan fungsi zeta pada tahun 1737.

Dia juga membuktikannya ketika

Dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua bilangan asli, dan hasil perkaliannya diambil atas semua bilangan prima. Identitas ini dan generalisasinya memainkan peran mendasar dalam teori distribusi bilangan prima. Berdasarkan hal tersebut, L. Euler membuktikan bahwa deret dan hasil kali terhadap p prima berbeda. Selain itu, L. Euler menetapkan bahwa ada “banyak” bilangan prima, karena

Dan pada saat yang sama, hampir semuanya bilangan bulat bersifat komposit, karena pada.

dan, untuk apa pun (yaitu, apa yang tumbuh sebagai suatu fungsi). Secara kronologis, hasil penting berikutnya yang menyempurnakan teorema Chebyshev adalah apa yang disebut. hukum asimtotik distribusi bilangan prima (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), yang menyatakan bahwa batas rasio sama dengan 1. Selanjutnya, upaya signifikan para ahli matematika diarahkan untuk memperjelas asimtotik hukum distribusi bilangan prima. Pertanyaan tentang distribusi bilangan prima dipelajari dengan menggunakan metode dasar dan metode analisis matematis.”

Di sini masuk akal untuk memberikan bukti dari beberapa teorema yang diberikan dalam artikel.

Lemma 1. Jika gcd(a, b)=1, maka terdapat bilangan bulat x, y sehingga.

Bukti. Misalkan a dan b merupakan bilangan relatif prima. Perhatikan himpunan J dari semua bilangan asli z, yang dapat direpresentasikan dalam bentuk, dan pilih bilangan terkecil d di dalamnya.

Mari kita buktikan bahwa a habis dibagi d. Bagilah a dengan d dengan sisanya: dan biarkan. Oleh karena itu, karena mempunyai bentuk,

Kami melihatnya.

Karena kita berasumsi bahwa d adalah bilangan terkecil dalam J, kita mendapatkan kontradiksi. Artinya a habis dibagi d.

Mari kita buktikan dengan cara yang sama bahwa b habis dibagi d. Jadi d=1. Lemmanya terbukti.

Teorema 1. Jika bilangan a dan b koprima dan hasil kali bx habis dibagi a, maka x habis dibagi a.

Bukti1. Kita harus membuktikan bahwa ax habis dibagi b dan gcd(a,b)=1, maka x habis dibagi b.

Berdasarkan Lemma 1, terdapat x, y sehingga. Maka jelas habis dibagi b.

Bukti 2. Misalkan himpunan J dari semua bilangan asli z sedemikian rupa sehingga zc habis dibagi b. Misalkan d adalah bilangan terkecil dalam J. Hal ini mudah untuk dilihat. Sebagaimana pembuktian Lemma 1, dibuktikan bahwa a habis dibagi d dan b habis dibagi d

Lemma 2. Jika bilangan q,p1,p2,pn adalah bilangan prima dan hasil kali habis dibagi q, maka salah satu bilangan pi sama dengan q.

Bukti. Pertama-tama, perhatikan bahwa jika bilangan prima p habis dibagi q, maka p=q. Ini segera mengikuti pernyataan lemma untuk n=1. Untuk n=2 mengikuti langsung Teorema 1: jika p1p2 habis dibagi bilangan prima q dan, maka p2 habis dibagi q(yaitu).

Kita akan membuktikan lemma untuk n=3 sebagai berikut. Misalkan p1 p2 p3 dibagi q. Jika p3 =q, maka semuanya terbukti. Jika, maka menurut Teorema 1, p1 p2 habis dibagi q. Jadi, kami mereduksi kasus n=3 menjadi kasus yang sudah dipertimbangkan n=2.

Dengan cara yang sama, dari n=3 kita dapat melanjutkan ke n=4, lalu ke n=5, dan secara umum, dengan asumsi bahwa pernyataan n=k dari lemma terbukti, kita dapat dengan mudah membuktikannya untuk n=k+ 1. Hal ini meyakinkan kita bahwa lemma tersebut berlaku untuk semua n.

Teorema dasar aritmatika. Setiap bilangan asli dapat difaktorkan dengan cara yang unik.

Bukti. Misalkan ada dua penguraian bilangan a menjadi faktor prima:

Karena bagian kanan habis dibagi q1, maka ruas kiri persamaan tersebut harus habis dibagi q1. Menurut Lemma 2, salah satu bilangan sama dengan q1. Mari kita batalkan kedua ruas persamaan dengan q1.

Mari kita lakukan alasan yang sama untuk q2, lalu untuk q3, untuk qi. Pada akhirnya, semua faktor di sebelah kanan akan hilang dan akan tetap ada 1. Tentu saja, di sebelah kiri tidak akan ada yang tersisa kecuali satu. Dari sini kita menyimpulkan bahwa kedua perluasan tersebut hanya dapat berbeda dalam urutan faktornya. Teorema tersebut telah terbukti.

teorema Euclid. Deret bilangan prima tidak terhingga.

Bukti. Misalkan deret bilangan prima berhingga, dan bilangan prima terakhir dilambangkan dengan huruf N. Mari kita buat hasil perkaliannya

Mari kita tambahkan 1. Kita mendapatkan:

Bilangan ini, sebagai bilangan bulat, harus mengandung paling sedikit satu faktor prima, yaitu harus habis dibagi paling sedikit satu bilangan prima. Namun semua bilangan prima, dengan asumsi, tidak melebihi N, dan bilangan M+1 tidak habis dibagi tanpa sisa oleh bilangan prima mana pun yang kurang dari atau sama dengan N - setiap kali sisanya adalah 1. Teorema tersebut terbukti.

Teorema 4. Bagian bilangan komposit antar bilangan prima dapat panjangnya berapa pun. Sekarang kita akan membuktikan bahwa deret tersebut terdiri dari n bilangan komposit berurutan.

Angka-angka ini muncul berturut-turut dalam deret natural, karena angka-angka berikutnya lebih banyak 1 dari angka sebelumnya. Masih harus dibuktikan bahwa semuanya komposit.

Nomor pertama

Genap, karena kedua sukunya mempunyai faktor 2. Dan setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 adalah bilangan komposit.

Bilangan kedua terdiri dari dua suku yang masing-masing merupakan kelipatan 3. Artinya bilangan tersebut komposit.

Dengan cara yang sama, kita menetapkan bahwa bilangan berikutnya adalah kelipatan 4, dan seterusnya. Dengan kata lain, setiap bilangan dalam deret kita mengandung faktor selain kesatuan dan bilangan itu sendiri; oleh karena itu bersifat komposit. Teorema tersebut telah terbukti.

Setelah mempelajari bukti teorema, kami melanjutkan pembahasan artikel kami. Teksnya menyebutkan metode saringan Eratosthenes sebagai cara mencari bilangan prima. Mari membaca tentang metode ini dari kamus yang sama:

“Saringan Eratosthenes adalah metode yang dikembangkan oleh Eratosthenes yang memungkinkan Anda menyaring bilangan komposit dari kisaran alami. Inti dari saringan Eratosthenes adalah sebagai berikut. Satuannya dicoret. Nomor dua adalah bilangan prima. Semua bilangan asli yang habis dibagi 2 dicoret.Bilangan 3 – bilangan pertama yang tidak dicoret adalah bilangan prima. Selanjutnya semua bilangan asli yang habis dibagi 3 dicoret.Angka 5 - bilangan berikutnya yang tidak dicoret - akan menjadi bilangan prima. Melanjutkan perhitungan serupa, Anda dapat menemukan segmen barisan bilangan prima yang panjangnya sembarang. Saringan Eratosthenes sebagai metode teoretis Kajian teori bilangan dikembangkan oleh V. Brun (1919).

Di Sini jumlah terbesar, yang saat ini dikenal sederhana:

Angka ini memiliki sekitar tujuh ratus tempat desimal. Perhitungan yang menentukan bahwa bilangan ini adalah bilangan prima dilakukan pada komputer modern.

“Fungsi Riemann zeta, -fungsi, adalah fungsi analitik dari variabel kompleks, karena σ>1 ditentukan secara mutlak dan seragam oleh deret Dirichlet yang konvergen:

Untuk σ>1, representasi dalam bentuk produk Euler valid:

(2) dimana p melewati semua bilangan prima.

Identitas deret (1) dan hasil kali (2) merupakan salah satu sifat utama fungsi zeta. Hal ini memungkinkan kita memperoleh berbagai hubungan yang menghubungkan fungsi zeta dengan fungsi teori bilangan yang paling penting. Oleh karena itu, fungsi zeta berperan besar dalam teori bilangan.

Fungsi zeta diperkenalkan sebagai fungsi variabel nyata oleh L. Euler (1737, publ. 1744), yang menunjukkan lokasinya pada hasil kali (2). Kemudian fungsi zeta dipertimbangkan oleh P. Dirichlet dan khususnya berhasil oleh P. L. Chebyshev sehubungan dengan studi tentang hukum distribusi bilangan prima. Namun, sifat paling mendalam dari fungsi zeta ditemukan setelah karya B. Riemann, yang untuk pertama kalinya pada tahun 1859 menganggap fungsi zeta sebagai fungsi dari variabel kompleks; ia juga memperkenalkan nama “fungsi zeta” dan fungsi zeta. penamaan """.

Namun timbul pertanyaan: apa penggunaan praktis ada untuk semua pekerjaan pada bilangan prima ini? Memang hampir tidak ada gunanya, tetapi ada satu bidang di mana bilangan prima dan sifat-sifatnya masih digunakan hingga saat ini. Ini adalah kriptografi. Di sini bilangan prima digunakan dalam sistem enkripsi tanpa mentransfer kunci.

Sayangnya, hanya ini yang diketahui tentang bilangan prima. Masih banyak misteri yang tersisa. Misalnya, tidak diketahui apakah himpunan bilangan prima yang dapat direpresentasikan sebagai dua kuadrat adalah tak terhingga.

"PERWAKILAN SULIT".

Saya memutuskan untuk melakukan sedikit riset untuk menemukan jawaban atas beberapa pertanyaan tentang bilangan prima. Pertama-tama, saya menyusun program yang menghasilkan semua bilangan prima berurutan kurang dari 1.000.000.000. Selain itu, saya menyusun program yang menentukan apakah bilangan yang dimasukkan adalah bilangan prima. Untuk mempelajari masalah bilangan prima, saya membuat grafik yang menunjukkan ketergantungan nilai bilangan prima nomor seri Sebagai rencana penelitian lebih lanjut, saya memutuskan untuk menggunakan artikel oleh I. S. Zeltser dan B. A. Kordemsky “Kawanan bilangan prima yang menarik.” Para penulis mengidentifikasi jalur penelitian berikut:

1. 168 tempat dalam seribu bilangan asli pertama ditempati oleh bilangan prima. Dari jumlah tersebut, 16 bilangan merupakan bilangan palindromik - masing-masing bilangan sama dengan kebalikannya: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Hanya ada 1061 bilangan prima empat digit, dan tidak ada satupun yang palindromik.

Ada banyak bilangan palindrom prima yang terdiri dari lima digit. Ini termasuk keindahan seperti: 13331, 15551, 16661, 19991. Tidak diragukan lagi, ada kawanan jenis ini :,. Tetapi berapa banyak spesimen yang ada di setiap kawanan tersebut?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Terlihat bahwa jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 3, oleh karena itu bilangan-bilangan itu sendiri juga habis dibagi 3.

Adapun bilangan yang berbentuk bilangan prima diantaranya adalah 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. Dalam seribu bilangan pertama terdapat lima “kuartet” yang terdiri dari bilangan-bilangan prima berurutan yang angka-angka terakhirnya membentuk barisan 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Berapa banyak kuartet yang ada di antara bilangan prima n-digit untuk n›3?

Dengan menggunakan program yang saya tulis, ditemukan kuartet yang terlewatkan oleh penulis: (479, 467, 463, 461) dan kuartet untuk n = 4, 5, 6. Untuk n = 4, ada 11 kuartet

3. Kumpulan sembilan bilangan prima: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 menarik bukan hanya karena apa yang diwakilinya perkembangan aritmatika dengan selisih 210, tapi juga kemampuan untuk masuk ke dalam sembilan sel sehingga terbentuk kotak ajaib dengan konstanta sebesar selisih dua bilangan prima: 3119 – 2:

Suku kesepuluh berikutnya dari barisan yang sedang dipertimbangkan, 2089, juga merupakan bilangan prima. Jika Anda menghapus angka 199 dari kawanan, tetapi menyertakan 2089, bahkan dalam komposisi ini kawanan dapat membentuk kotak ajaib - topik yang harus dicari.

Perlu dicatat bahwa ada kotak ajaib lain yang terdiri dari bilangan prima:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Alun-alun yang diusulkan menarik karena

1. Ini adalah kotak ajaib 7x7;

2. Berisi kotak ajaib 5x5;

3. Kotak ajaib 5x5 berisi kotak ajaib 3x3;

4. Semua kotak ini memiliki satu nomor pusat yang sama - 3407;

5. Semua 49 angka yang termasuk dalam persegi 7x7 diakhiri dengan angka 7;

6. Semua 49 bilangan yang termasuk dalam persegi 7x7 adalah bilangan prima;

7. Masing-masing dari 49 angka yang terdapat dalam persegi 7x7 dapat direpresentasikan sebagai 30n + 17.

Program yang digunakan saya tulis dalam bahasa pemrograman Dev-C++ dan teksnya saya sediakan di lampiran (lihat file dengan ekstensi .srr). Selain semua hal di atas, saya menulis sebuah program yang menguraikan bilangan asli berurutan menjadi faktor prima (lihat Pembagi 1. срр) dan sebuah program yang hanya menguraikan bilangan yang dimasukkan menjadi faktor prima (lihat Pembagi 2. срр). Karena program ini memakan terlalu banyak ruang dalam bentuk kompilasi, hanya teksnya saja yang diberikan. Namun, siapapun dapat mengkompilasinya jika mereka memiliki program yang tepat.

BIOGRAFI ILMUWAN YANG TERLIBAT DALAM MASALAH PRIME

EUCLIDE

(c. 330 SM – c. 272 SM)

Sangat sedikit informasi terpercaya yang disimpan tentang kehidupan ahli matematika paling terkenal di Zaman Kuno. Diyakini bahwa ia belajar di Athena, yang menjelaskan penguasaan geometrinya yang brilian, yang dikembangkan oleh aliran Plato. Namun rupanya ia belum familiar dengan karya-karya Aristoteles. Dia mengajar di Alexandria, di mana dia mendapat pujian yang tinggi atas kegiatan mengajarnya pada masa pemerintahan Ptolemy I Soter. Ada legenda bahwa raja ini menuntut agar dia menemukan cara untuk mencapai kesuksesan cepat dalam matematika, dan Euclid menjawab bahwa tidak ada cara kerajaan dalam geometri (namun, cerita serupa juga diceritakan tentang Menchem, yang diduga ditanya tentang sama oleh Alexander Agung). Tradisi telah melestarikan ingatan Euclid sebagai orang yang baik hati dan rendah hati. Euclid adalah penulis risalah tentang berbagai topik, tetapi namanya dikaitkan terutama dengan salah satu risalah yang disebut Elemen. Ini tentang kumpulan karya para ahli matematika yang bekerja sebelum dia (yang paling terkenal adalah Hippocrates dari Kos), yang hasilnya dia sempurnakan berkat kemampuannya untuk menggeneralisasi dan kerja keras.

LEONARD EULER

(Basel, Swiss 1707 – St. Petersburg, 1783)

Matematikawan, mekanik dan fisikawan. Lahir dari keluarga pendeta miskin, Paul Euler. Ia menerima pendidikannya pertama kali dari ayahnya, dan pada tahun 1720–24 di Universitas Basel, di mana ia mengikuti kuliah matematika oleh I. Bernoulli.

Pada akhir tahun 1726, Euler diundang ke Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg dan pada Mei 1727 ia tiba di St. Di akademi yang baru diorganisir, Euler menemukan kondisi yang menguntungkan untuk kegiatan ilmiah, yang memungkinkan dia untuk segera mulai mempelajari matematika dan mekanika. Selama 14 tahun periode St. Petersburg pertama dalam hidupnya, Euler menyiapkan sekitar 80 karya untuk diterbitkan dan menerbitkan lebih dari 50 karya. Di St. Petersburg, ia belajar bahasa Rusia.

Euler berpartisipasi dalam banyak bidang kegiatan Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg. Dia mengajar kepada mahasiswa di universitas akademis, berpartisipasi dalam berbagai ujian teknis, bekerja menyusun peta Rusia, dan menulis “Manual Aritmatika” yang tersedia untuk umum (1738–40). Atas instruksi khusus dari Akademi, Euler mempersiapkan publikasi “Nautical Science” (1749), sebuah karya mendasar tentang teori pembuatan kapal dan navigasi.

Pada tahun 1741, Euler menerima tawaran raja Prusia Frederick II untuk pindah ke Berlin, tempat reorganisasi Akademi Ilmu Pengetahuan akan dilakukan. Di Akademi Ilmu Pengetahuan Berlin, Euler menjabat sebagai direktur kelas matematika dan anggota dewan, dan setelah kematian presiden pertamanya P. Maupertuis, selama beberapa tahun (sejak 1759) ia benar-benar memimpin akademi tersebut. Selama 25 tahun hidupnya di Berlin, ia menyiapkan sekitar 300 karya, termasuk sejumlah monografi besar.

Selama tinggal di Berlin, Euler tidak berhenti bekerja secara intensif di Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg, mempertahankan gelar anggota kehormatannya. Dia melakukan korespondensi ilmiah dan organisasi ilmiah yang ekstensif, khususnya dia berkorespondensi dengan M. Lomonosov, yang sangat dia hargai. Euler mengedit departemen matematika dari badan ilmiah akademis Rusia, di mana selama ini ia menerbitkan artikel yang hampir sama banyaknya dengan "Memoirs" dari Akademi Ilmu Pengetahuan Berlin. Dia aktif berpartisipasi dalam pelatihan matematikawan Rusia; Akademisi masa depan S. Kotelnikov, S. Rumovsky dan M. Sofronov dikirim ke Berlin untuk belajar di bawah kepemimpinannya. Euler memberikan bantuan besar kepada Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg dengan memperolehnya literatur ilmiah dan peralatan, bernegosiasi dengan kandidat untuk posisi di akademi, dll.

17 Juli (28), 1766 Euler dan keluarganya kembali ke St. Meski usianya sudah lanjut dan hampir mengalami kebutaan total, ia tetap bekerja produktif hingga akhir hayatnya. Selama 17 tahun kunjungan keduanya di St. Petersburg, ia menyiapkan sekitar 400 karya, termasuk beberapa buku besar. Euler terus berpartisipasi kerja organisasi akademi. Pada tahun 1776, ia adalah salah satu ahli dalam proyek jembatan lengkung tunggal melintasi Neva, yang diusulkan oleh I. Kulibin, dan dari seluruh komisi, ia adalah satu-satunya yang secara luas mendukung proyek tersebut.

Kelebihan Euler sebagai ilmuwan dan organisator utama penelitian ilmiah mendapat pujian yang tinggi semasa hidupnya. Selain akademi St. Petersburg dan Berlin, ia adalah anggota lembaga ilmiah terbesar: Akademi Ilmu Pengetahuan Paris, Royal Society of London, dan lainnya.

Salah satu aspek yang membedakan karya Euler adalah produktivitasnya yang luar biasa. Selama hidupnya saja, sekitar 550 buku dan artikelnya diterbitkan (daftar karya Euler memuat kurang lebih 850 judul). Pada tahun 1909, Swiss Natural Science Society mulai menerbitkan karya lengkap Euler, yang selesai pada tahun 1975; terdiri dari 72 volume. Korespondensi ilmiah Euler yang sangat besar (sekitar 3.000 surat) juga sangat menarik; sejauh ini hanya diterbitkan sebagian.

Kisaran kegiatan Euler sangat luas, mencakup semua departemen matematika dan mekanika kontemporer, teori elastisitas, fisika matematika, optik, teori musik, teori mesin, balistik, ilmu kelautan, asuransi, dll. Sekitar 3/5 karya Euler berhubungan dengan untuk matematika, 2/5 sisanya terutama untuk penerapannya. Ilmuwan mensistematisasikan hasil-hasilnya dan hasil-hasil yang diperoleh orang lain dalam sejumlah monografi klasik, ditulis dengan kejelasan yang luar biasa dan dilengkapi dengan contoh yang berharga. Ini misalnya, “Mekanika, atau Ilmu Gerak, Dijelaskan Secara Analitik” (1736), “Pengantar Analisis” (1748), “Kalkulus Diferensial” (1755), “Teori Gerak padat"(1765)," Aritmatika Universal "(1768–69), yang diterbitkan sekitar 30 edisi dalam 6 bahasa," Kalkulus Integral "(1768–94), dll. Pada abad ke-18. , dan sebagian pada abad ke-19. “Surat-surat tentang berbagai masalah fisik dan filosofis yang ditulis untuk seorang putri Jerman tertentu” yang tersedia untuk umum menjadi sangat populer. "(1768–74), yang diterbitkan lebih dari 40 edisi dalam 10 bahasa. Sebagian besar isi monografi Euler kemudian dimasukkan dalam manual pendidikan untuk pendidikan tinggi dan sebagian sekolah menengah atas. Tidak mungkin untuk membuat daftar semua teorema, metode, dan rumus Euler yang masih digunakan, dan hanya sedikit yang muncul dalam literatur dengan namanya [misalnya, metode garis putus-putus Euler, substitusi Euler, konstanta Euler, persamaan Euler, rumus Euler, Fungsi Euler, bilangan Euler, rumus Euler - Maclaurin, rumus Euler–Fourier, karakteristik Euler, integral Euler, sudut Euler].

Dalam Mekanika, Euler pertama kali menguraikan dinamika suatu titik menggunakan analisis matematis: pergerakan bebas suatu titik di bawah pengaruh berbagai gaya baik dalam ruang hampa maupun dalam medium yang mempunyai hambatan; pergerakan suatu titik sepanjang garis atau permukaan tertentu; gerakan di bawah pengaruh kekuatan pusat. Pada tahun 1744, ia pertama kali merumuskan dengan tepat prinsip mekanis tindakan terkecil dan menunjukkan penerapan pertamanya. Dalam “The Theory of Rigid Body Motion,” Euler mengembangkan kinematika dan dinamika benda tegar dan memberikan persamaan rotasinya di sekitar titik tetap, yang meletakkan dasar bagi teori giroskop. Dalam teorinya tentang kapal, Euler memberikan kontribusi yang berharga terhadap teori stabilitas. Penemuan Euler penting dalam mekanika langit (misalnya, dalam teori gerak Bulan), mekanika kontinum (persamaan dasar gerak fluida ideal dalam bentuk Euler dan dalam apa yang disebut variabel Lagrange, osilasi gas dalam pipa , dll.). Dalam bidang optik, Euler memberikan (1747) rumus untuk lensa bikonveks dan mengusulkan metode untuk menghitung indeks bias suatu medium. Euler menganut teori gelombang cahaya. Dia percaya itu warna yang berbeda sesuai panjang yang berbeda gelombang cahaya. Euler mengusulkan cara untuk menghilangkan penyimpangan kromatik lensa dan memberikan metode untuk menghitung komponen optik mikroskop. Euler mengabdikan serangkaian karyanya yang luas, dimulai pada tahun 1748, untuk fisika matematika: masalah getaran tali, pelat, membran, dll. Semua penelitian ini merangsang pengembangan teori persamaan diferensial, metode analisis perkiraan, dan teknik khusus. . fungsi, geometri diferensial, dll. Banyak penemuan matematika Euler terkandung dalam karya-karya ini.

Karya utama Euler sebagai ahli matematika adalah pengembangan analisis matematika. Dia meletakkan dasar-dasar beberapa disiplin matematika, yang hanya dalam bentuk dasar atau sama sekali tidak ada dalam kalkulus yang sangat kecil oleh I. Newton, G. Leibniz, dan Bernoulli bersaudara. Jadi, Euler adalah orang pertama yang memperkenalkan fungsi argumen kompleks dan menyelidiki sifat-sifat fungsi dasar dasar variabel kompleks (fungsi eksponensial, logaritma, dan trigonometri); khususnya, dia memperoleh rumus-rumus yang menghubungkan fungsi trigonometri dengan demonstratif. Karya Euler ke arah ini meletakkan dasar bagi teori fungsi variabel kompleks.

Euler adalah pencipta kalkulus variasi, yang dituangkan dalam karyanya “Metode menemukan garis lengkung yang memiliki sifat maksimum atau minimum. "(1744). Metode yang digunakan Euler pada tahun 1744 untuk memperoleh kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem - persamaan Euler - adalah prototipe metode langsung kalkulus variasi abad ke-20. Euler menciptakan teori persamaan diferensial biasa sebagai disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan meletakkan dasar bagi teori persamaan diferensial parsial. Di sini dia memiliki banyak sekali penemuan: cara klasik solusi persamaan linear dengan koefisien konstanta, metode variasi konstanta sembarang, klarifikasi sifat-sifat dasar persamaan Riccati, integrasi persamaan linear dengan koefisien variabel menggunakan deret tak hingga, kriteria penyelesaian khusus, doktrin faktor pengintegrasi, berbagai metode perkiraan dan a sejumlah teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Euler mengumpulkan sebagian besar hasil ini dalam “Kalkulus Integral” miliknya.

Euler juga memperkaya kalkulus diferensial dan integral dalam arti sempit (misalnya doktrin perubahan variabel, teorema fungsi homogen, konsep integral rangkap dan perhitungan banyak integral khusus). Dalam “Kalkulus Diferensial,” Euler mengungkapkan dan mendukung dengan contoh keyakinannya akan kelayakan menggunakan deret divergen dan metode yang diusulkan untuk penjumlahan deret yang digeneralisasi, mengantisipasi ide-ide teori deret divergen modern yang ketat, yang diciptakan pada pergantian abad ke-19 dan ke-19. abad ke-20. Selain itu, Euler memperoleh banyak hasil konkrit dalam teori deret. Dia menemukan apa yang disebut. rumus penjumlahan Euler–Maclaurin, mengusulkan transformasi deret yang menyandang namanya, menentukan jumlah deret dalam jumlah besar, dan memperkenalkan deret baru ke dalam matematika tipe penting deret (misalnya deret trigonometri). Hal ini juga mencakup penelitian Euler tentang teori pecahan lanjutan dan proses tak hingga lainnya.

Euler adalah pendiri teori fungsi khusus. Dia adalah orang pertama yang menganggap sinus dan kosinus sebagai fungsi, dan bukan sebagai segmen dalam lingkaran. Dia memperoleh hampir semua perluasan klasik fungsi dasar menjadi deret dan hasil kali tak hingga. Karya-karyanya menciptakan teori fungsi γ. Ia mempelajari sifat-sifat integral elips, fungsi hiperbolik dan silinder, fungsi ζ, beberapa fungsi θ, logaritma integral, dan kelas penting polinomial khusus.

Menurut P. Chebyshev, Euler meletakkan dasar bagi semua penelitian yang membentuk bagian umum teori bilangan. Dengan demikian, Euler membuktikan sejumlah pernyataan yang dibuat oleh P. Fermat (misalnya teorema kecil Fermat), mengembangkan landasan teori sisa daya dan teori bentuk kuadrat, menemukan (tetapi tidak membuktikan) hukum timbal balik kuadrat dan mempelajari sejumlah masalah dalam analisis Diophantine. Dalam karyanya tentang pembagian bilangan menjadi suku-suku dan teori bilangan prima, Euler adalah orang pertama yang menggunakan metode analisis, sehingga menjadi pencipta teori bilangan analitik. Secara khusus, ia memperkenalkan fungsi ζ dan membuktikan apa yang disebut. Identitas Euler yang menghubungkan bilangan prima dengan semua bilangan asli.

Euler juga menorehkan prestasi besar di bidang matematika lainnya. Dalam aljabar, ia menulis karya tentang penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi dalam radikal dan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui, serta apa yang disebut. Identitas empat persegi Euler. Euler secara signifikan memajukan geometri analitik, khususnya doktrin permukaan orde kedua. Dalam geometri diferensial, ia mempelajari secara rinci sifat-sifat garis geodesik, merupakan orang pertama yang menerapkan persamaan kurva alami, dan yang terpenting, meletakkan dasar bagi teori permukaan. Dia memperkenalkan konsep arah utama pada suatu titik pada suatu permukaan, membuktikan ortogonalitasnya, memperoleh rumus untuk kelengkungan setiap bagian normal, memulai studi tentang permukaan yang dapat dikembangkan, dll.; dalam salah satu karya yang diterbitkan secara anumerta (1862), ia sebagian mengantisipasi penelitian K. Gauss tentang geometri internal permukaan. Euler juga menangani pertanyaan-pertanyaan tertentu tentang topologi dan membuktikan, misalnya, teorema penting tentang polihedra cembung. Euler sang ahli matematika sering digambarkan sebagai “kalkulator” yang brilian. Memang, dia adalah ahli tata letak dan transformasi formal yang tak tertandingi; dalam karyanya banyak rumus matematika dan menerima simbol tampilan modern(misalnya, dia memiliki notasi e dan π). Namun, Euler juga memperkenalkan sejumlah gagasan mendalam ke dalam sains, yang kini dibuktikan secara ketat dan menjadi contoh kedalaman penetrasi ke dalam subjek penelitian.

Menurut P. Laplace, Euler adalah guru matematikawan kedua setengah dari XVIII V.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, sekarang Jerman, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

Ia belajar di Paris dan memelihara hubungan persahabatan dengan ahli matematika terkemuka, khususnya dengan Fourier. Setelah menerima gelar akademisnya, dia menjadi profesor di universitas Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) dan Göttingen, di mana dia menjadi kepala departemen matematika setelah kematian ilmuwan Carl Friedrich Gauss. Kontribusinya yang paling menonjol terhadap sains berkaitan dengan teori bilangan, terutama studi tentang deret. Hal ini memungkinkan dia untuk mengembangkan teori deret yang dikemukakan oleh Fourier. Membuat bukti teorema Fermat versinya sendiri, menggunakan fungsi analitik untuk menyelesaikan masalah aritmatika, dan memperkenalkan kriteria konvergensi untuk deret. Di bidang analisis matematis, ia menyempurnakan definisi dan konsep suatu fungsi; di bidang mekanika teoretis, ia fokus pada studi stabilitas sistem dan konsep potensial Newton.

CHEBYSHEV PAFNUTY LVOVICH

Matematikawan Rusia, pendiri sekolah ilmiah St. Petersburg, akademisi Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg (1856). Karya Chebyshev meletakkan dasar bagi pengembangan banyak cabang baru matematika.

Karya Chebyshev yang paling banyak terdapat di bidang analisis matematis. Secara khusus, disertasi tentang hak untuk memberikan kuliah dikhususkan untuknya, di mana Chebyshev menyelidiki keterintegrasian ekspresi irasional tertentu dalam fungsi aljabar dan logaritma. Chebyshev juga mengabdikan sejumlah karyanya pada integrasi fungsi aljabar. Dalam salah satunya (1853) diperoleh teorema terkenal tentang kondisi keterpaduan dalam fungsi dasar binomial diferensial. Bidang penelitian yang penting analisis matematis merupakan karyanya pada konstruksi teori umum polinomial ortogonal. Alasan penciptaannya adalah interpolasi parabola menggunakan metode kuadrat terkecil. Penelitian Chebyshev tentang masalah momen dan rumus kuadratur berdekatan dengan lingkaran gagasan yang sama. Untuk mereduksi perhitungan, Chebyshev mengusulkan (1873) untuk mempertimbangkan rumus kuadratur dengan koefisien yang sama (perkiraan integrasi). Penelitian rumus kuadratur dan teori interpolasi berkaitan erat dengan tugas yang diberikan kepada Chebyshev di departemen artileri komite ilmiah militer.

Dalam teori probabilitas, Chebyshev dipuji karena memperkenalkannya secara sistematis variabel acak dan penciptaan teknik baru untuk membuktikan teorema limit dalam teori probabilitas - yang disebut. metode momen (1845, 1846, 1867, 1887). Ia membuktikan hukum bilangan besar dalam bentuk yang sangat umum; Terlebih lagi, buktinya sangat mencolok dalam kesederhanaan dan kedasarannya. Chebyshev tidak menyelesaikan studi tentang kondisi konvergensi fungsi distribusi jumlah variabel acak independen ke hukum normal. Namun, melalui beberapa tambahan pada metode Chebyshev, A. A. Markov berhasil melakukan hal ini. Tanpa kesimpulan yang tegas, Chebyshev juga menguraikan kemungkinan untuk memperjelas teorema limit ini dalam bentuk perluasan asimtotik dari fungsi distribusi jumlah suku-suku bebas dalam pangkat n21/2, di mana n adalah banyaknya suku. Karya Chebyshev tentang teori probabilitas berjumlah banyak tahap penting dalam perkembangannya; selain itu, mereka adalah dasar berkembangnya aliran teori probabilitas Rusia, yang awalnya terdiri dari siswa langsung Chebyshev.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Lower Saxony, 1826 - Selaska, dekat Intra, Italia 66)

matematikawan Jerman. Pada tahun 1846 ia masuk Universitas Göttingen: ia mendengarkan ceramah K. Gauss, yang sebagian besar idenya kemudian dikembangkan olehnya. Pada tahun 1847–1849 dia menghadiri kuliah di Universitas Berlin; pada tahun 1849 ia kembali ke Göttingen, di mana ia menjadi dekat dengan kolaborator Gauss, fisikawan W. Weber, yang membangkitkan minatnya yang mendalam pada pertanyaan-pertanyaan ilmu matematika.

Pada tahun 1851 ia mempertahankan disertasi doktoralnya “Dasar-dasar teori umum fungsi satu variabel kompleks.” Sejak tahun 1854, privatdozent, sejak tahun 1857, profesor di Universiti Göttingen.

Karya Riemann mempunyai pengaruh yang besar terhadap perkembangan matematika ke-2 setengah abad ke-19 V. dan pada abad ke-20. Dalam disertasi doktoralnya, Riemann meletakkan dasar bagi arah geometri teori fungsi analitik; ia memperkenalkan apa yang disebut permukaan Riemann, yang penting dalam studi fungsi multi-nilai, mengembangkan teori pemetaan konformal dan, dalam hal ini, memberikan ide-ide dasar topologi, mempelajari kondisi keberadaan fungsi analitik. di dalam domain berbagai jenis(yang disebut prinsip Dirichlet), dll. Metode yang dikembangkan oleh Riemann banyak digunakan dalam karya selanjutnya tentang teori fungsi aljabar dan integral, pada teori analitik persamaan diferensial (khususnya, persamaan yang mendefinisikan fungsi hipergeometri), pada teori bilangan analitis (misalnya , Riemann menunjukkan hubungan antara distribusi bilangan prima dan sifat-sifat fungsi, khususnya dengan distribusi angka nol di wilayah kompleks - yang disebut hipotesis Riemann, yang validitasnya belum terbukti), dsb.

Dalam sejumlah karyanya, Riemann mempelajari penguraian fungsi menjadi deret trigonometri dan, dalam hal ini, menentukan kondisi perlu dan cukup untuk keterintegrasian dalam pengertian Riemannian, yang penting untuk teori himpunan dan fungsi variabel nyata. Riemann juga mengusulkan metode untuk mengintegrasikan persamaan diferensial parsial (misalnya, menggunakan apa yang disebut invarian Riemann dan fungsi Riemann).

Dalam kuliahnya yang terkenal pada tahun 1854 “Tentang hipotesis yang mendasari geometri” (1867), Riemann memberikan Ide umum ruang matematika (dalam kata-katanya, “manifold”), termasuk ruang fungsional dan topologi. Di sini ia menganggap geometri dalam arti luas sebagai studi tentang lipatan n-dimensi yang kontinu, yaitu kumpulan benda-benda homogen dan, dengan menggeneralisasi hasil Gauss pada geometri internal suatu permukaan, ia memberikan konsep umum elemen linier (perbedaan jarak antar titik manifold), sehingga mendefinisikan apa yang disebut ruang Finsler. Secara lebih rinci, Riemann meneliti apa yang disebut ruang Riemannian, menggeneralisasi ruang geometri elips Euclidean, Lobachevsky, dan Riemannian, yang dicirikan oleh tipe khusus elemen linier, dan mengembangkan doktrin kelengkungannya. Membahas penerapan gagasannya pada ruang fisik, Riemann mengajukan pertanyaan tentang “penyebab sifat metrik” ruang fisik, seolah mengantisipasi apa yang dilakukan dalam teori relativitas umum.

Ide dan metode yang dikemukakan oleh Riemann membuka jalur baru dalam perkembangan matematika dan diterapkan dalam mekanika dan teori relativitas umum. Ilmuwan tersebut meninggal pada tahun 1866 karena TBC.

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan oleh satu.

Bilangan sisanya disebut bilangan komposit.

Bilangan asli prima

Namun tidak semua bilangan asli adalah bilangan prima.

Bilangan asli prima hanyalah bilangan yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan oleh satu.

Contoh bilangan prima:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

bilangan bulat prima

Oleh karena itu, hanya bilangan asli yang merupakan bilangan prima.

Artinya, bilangan prima adalah bilangan asli.

Tapi semua bilangan asli juga bilangan bulat.

Jadi, semua bilangan prima adalah bilangan bulat.

Contoh bilangan prima:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Bahkan bilangan prima

Hanya ada satu bilangan prima genap, yaitu bilangan dua.

Semua bilangan prima lainnya ganjil.

Mengapa bilangan genap yang lebih besar dari dua tidak bisa menjadi bilangan prima?

Tetapi karena bilangan genap yang lebih besar dari dua akan habis dibagi oleh dirinya sendiri, bukan oleh satu dan oleh dua, maka bilangan tersebut akan selalu mempunyai tiga pembagi, dan mungkin lebih.