$A_(nn)$ memiliki properti itu dominasi diagonal, Jika

$|a_(ii)| \geqslant \sum_(j \neq i) |a_(ij)|,\qquad i = 1, \titik, n,$

dan setidaknya ada satu ketimpangan yang sangat ketat. Jika semua pertidaksamaan bersifat tegas, maka matriksnya dikatakan demikian $A_(nn)$ memiliki ketat dominasi diagonal.

Matriks dominan diagonal cukup sering muncul dalam penerapan. Keuntungan utama mereka adalah bahwa metode berulang untuk menyelesaikan SLAE dengan matriks seperti itu (metode iterasi sederhana, metode Seidel) menyatu ke solusi eksak yang ada secara unik untuk setiap sisi kanan.

Properti

Matriks dengan dominasi diagonal yang ketat adalah matriks non-singular.

Lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Dominasi diagonal"

Kutipan yang mencirikan Dominasi Diagonal

Resimen Pavlograd Hussar ditempatkan dua mil dari Braunau. Skuadron, tempat Nikolai Rostov bertugas sebagai kadet, terletak di desa Salzeneck, Jerman. Komandan skuadron, Kapten Denisov, yang dikenal di seluruh divisi kavaleri dengan nama Vaska Denisov, diberi apartemen terbaik di desa. Junker Rostov, sejak dia berhasil menyusul resimen di Polandia, tinggal bersama komandan skuadron.
Pada tanggal 11 Oktober, hari ketika semua orang di apartemen utama bangkit kembali karena berita kekalahan Mack, di markas skuadron, kehidupan kamp berjalan dengan tenang seperti sebelumnya. Denisov, yang tersesat sepanjang malam dalam permainan kartu, belum pulang ketika Rostov kembali dari mencari makan di pagi hari dengan menunggang kuda. Rostov, berseragam kadet, naik ke teras, mendorong kudanya, melepaskan kakinya dengan gerakan luwes dan awet muda, berdiri di atas sanggurdi, seolah tak ingin berpisah dengan kudanya, akhirnya melompat turun dan berteriak kepada sang kuda. kurir.

NON-SENERASI MATRIK DAN SIFAT DOMINASI DIAGONAL1

Liliana Cvetkovic - Profesor, Departemen Matematika dan Ilmu Komputer, Fakultas Sains, Universitas Novi Sad, Serbia, Obradovica 4, Novi Sad, Serbia, 21000, email: [dilindungi email].

Kostic Vladimir - asisten profesor, doktor, Departemen Matematika dan Informatika, Fakultas Sains, Universitas Novi Sad, Serbia, Obradovica 4, 21000, Novi Sad, Serbia, email: [dilindungi email].

Krukier Lev Abramovich - Doktor Ilmu Fisika dan Matematika, Profesor, Kepala Departemen Komputasi Kinerja Tinggi dan Teknologi Informasi dan Komunikasi, Direktur Pusat Informatisasi Regional Rusia Selatan dari Universitas Federal Selatan, Stachki Ave. 200/1, gedung. 2, Rostov-on-Don, 344090, email: krukier@sfedu. ru.

Cvetkovic Ljiljana - Profesor, Departemen Matematika dan Informatika, Fakultas Sains, Universitas Novi Sad, Serbia, D. Obradovica 4, Novi Sad, Serbia, 21000, email: [dilindungi email].

Kostic Vladimir - Asisten Profesor, Departemen Matematika dan Informatika, Fakultas Sains, Universitas Novi Sad, Serbia, D. Obradovica 4, Novi Sad, Serbia, 21000, email: [dilindungi email].

Krukier Lev Abramovich - Doktor Ilmu Fisika dan Matematika, Profesor, Kepala Departemen Komputasi Kinerja Tinggi dan Teknologi Informasi dan Komunikasi, Direktur Pusat Komputer Universitas Federal Selatan, Stachki Ave, 200/1, bild. 2, Rostov-on-Don, Rusia, 344090, email: krukier@sfedu. ru.

Dominasi diagonal dalam sebuah matriks adalah kondisi sederhana yang memastikan non-degenerasi. Sifat-sifat matriks yang menggeneralisasi konsep dominasi diagonal selalu banyak diminati. Mereka dianggap sebagai kondisi tipe dominasi diagonal dan membantu menentukan subkelas matriks (seperti matriks H) yang tetap tidak merosot dalam kondisi ini. Dalam karya ini, kelas baru matriks non-singular dibangun yang mempertahankan keunggulan dominasi diagonal, namun tetap berada di luar kelas matriks H. Sifat-sifat ini sangat berguna karena banyak penerapan yang mengarah pada matriks dari kelas ini, dan teori nondegenerasi matriks yang bukan matriks-H kini dapat diperluas.

Kata Kunci: dominasi diagonal, non-degenerasi, scaling.

Meskipun kondisi sederhana yang memastikan nonsingularitas matriks selalu diterima dengan baik, banyak di antaranya yang dapat dianggap sebagai jenis dominasi diagonal yang cenderung menghasilkan subkelas matriks H yang terkenal. Dalam makalah ini kami membangun kelas matriks nonsingular baru yang mempertahankan kegunaan dominasi diagonal, namun memiliki hubungan umum dengan kelas matriks H. Sifat ini sangat menguntungkan, karena banyak penerapan teori H-matriks kini dapat diperluas.

Kata Kunci: dominasi diagonal, nonsingularitas, teknik penskalaan.

Solusi numerik dari masalah nilai batas fisika matematika, sebagai suatu peraturan, mereduksi masalah awal menjadi penyelesaian sistem persamaan aljabar linier. Saat memilih algoritma solusi, kita perlu mengetahui apakah matriks aslinya non-singular? Selain itu, pertanyaan tentang non-degenerasi suatu matriks juga relevan, misalnya dalam teori konvergensi metode iteratif, lokalisasi nilai eigen, ketika memperkirakan determinan, akar Perron, radius spektral, nilai singular dari matriks. matriks, dll.

Perhatikan bahwa salah satu kondisi paling sederhana namun sangat berguna yang memastikan non-degenerasi suatu matriks adalah properti terkenal dari dominasi diagonal yang ketat (dan referensi di dalamnya).

Teorema 1. Misalkan matriks A = e Cnxn diberikan sedemikian rupa sehingga

s > g (a):= S k l, (1)

untuk semua i e N:= (1,2,...n).

Maka matriks A tidak berdegenerasi.

Matriks yang mempunyai sifat (1) disebut matriks yang dominasi diagonalnya tegas

(matriks 8BB). Generalisasi alaminya adalah kelas matriks dominasi diagonal umum (vBD), yang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 1. Matriks A = [a^ ] e Cxn disebut matriks BB jika terdapat matriks diagonal tak tunggal W sehingga AW merupakan matriks BB.

Mari kita perkenalkan beberapa definisi matriks

A = [au] dan Sphp.

Definisi 2. Matriks (A) = [tuk], terdefinisi

(A) = e Cn

disebut matriks perbandingan dari matriks A.

Definisi 3. Matriks A = e C

\üj > 0, saya = j

adalah matriks-M jika

aj< 0, i * j,

membalikkan mat-

ritsa A" >0, yaitu semua elemennya positif.

Jelas sekali bahwa matriks dari kelas vBB juga merupakan matriks non-tunggal dan bisa juga

1Pekerjaan ini sebagian didukung oleh Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Serbia, hibah 174019, dan Kementerian Sains dan Pengembangan Teknologi Vojvodina, hibah 2675 dan 01850.

ditemukan dalam literatur dengan nama matriks H non-degenerasi. Mereka dapat ditentukan dengan menggunakan kondisi perlu dan cukup berikut ini:

Teorema 2. Matriks A = [ау]е сых adalah Н-

matriks jika dan hanya jika matriks pembandingnya merupakan matriks M non-tunggal.

Sampai saat ini, banyak subkelas matriks H non-tunggal telah dipelajari, tetapi semuanya dianggap dari sudut pandang generalisasi sifat dominasi diagonal (lihat juga referensi di dalamnya).

Makalah ini mempertimbangkan kemungkinan untuk melampaui kelas matriks H dengan menggeneralisasi kelas 8BB dengan cara yang berbeda. Ide dasarnya adalah tetap menggunakan pendekatan penskalaan, namun dengan matriks yang tidak diagonal.

Perhatikan matriks A = [ау] e спхн dan indeksnya

Mari kita perkenalkan matriksnya

r (A):= £ a R (A):= £

ßk (A) := £ dan yk (A) := aü - ^

Mudah untuk memeriksa bahwa elemen-elemen matriks bk abk memiliki bentuk sebagai berikut:

ßk (A), У k (A), akj,

saya = j = k, saya = j * k,

saya = k, j * k, saya * k, j = k,

Sebuah inöaeüiüö neö^äyö.

Jika kita menerapkan Teorema 1 pada matriks bk ABk1 yang dijelaskan di atas dan transposnya, kita memperoleh dua teorema utama.

Teorema 3. Biarkan matriks apa pun diberikan

A = [ау] e схп dengan elemen diagonal bukan nol. Jika terdapat k e N sehingga > Tk(A), dan untuk setiap g e N\(k),

maka matriks A adalah non-singular.

Teorema 4. Biarkan matriks apa pun diberikan

A = [ау] e схп dengan elemen diagonal bukan nol. Jika terdapat k e N sehingga > Jak(A), dan untuk setiap r e N\(k),

Maka matriks A tidak berdegenerasi. Sebuah pertanyaan wajar muncul tentang hubungan antara

matriks dari dua teorema sebelumnya: b^ - BOO -matriks (ditentukan oleh rumus (5)) dan

Lk - BOO -matriks (ditentukan oleh rumus (6)) dan kelas matriks H. Contoh sederhana berikut memperjelas hal ini.

Contoh. Perhatikan 4 matriks berikut:

dan perhatikan matriks bk Abk, ke N, mirip dengan A asli. Mari kita cari kondisi matriks ini akan memiliki sifat matriks SDD (dalam baris atau kolom).

Sepanjang artikel kita akan menggunakan notasi untuk r,k eN:= (1,2,.../?)

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

Teorema nondegenerasi

Semuanya tidak merosot:

A1 adalah b - BOO, meskipun sebenarnya bukan bk - BOO untuk sembarang k = (1,2,3). Ini juga bukan matriks-H, karena (A^ 1 bukan non-negatif;

A2, karena simetri, secara bersamaan adalah bA - BOO dan b<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

B<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

A3 adalah b9 - BOO, tetapi bukan keduanya

Lr - SDD (untuk k = (1,2,3)), atau matriks H, karena (A3 ^ juga tunggal;

A4 adalah matriks-H karena (A^ non-tunggal, dan ^A4) 1 > 0, meskipun A4 bukan LR - SDD atau Lk - SDD untuk k = (1,2,3).

Gambar tersebut menunjukkan hubungan umum antara

Lr - SDD, Lk - SDD dan H-matriks beserta matriks dari contoh sebelumnya.

Hubungan antara lR - SDD, lC - SDD dan

iklan min(|au - r (A)|) "

Dimulai dari ketimpangan

dan menerapkan hasil ini pada matriks bk AB^, kita peroleh

Teorema 5. Misalkan matriks sembarang A = [a-- ] e Cxn diberikan dengan elemen diagonal bukan nol

polisi. Jika A termasuk dalam kelas - BOO, maka

1 + maks^ i*k \acc\

H-matriks

Menarik untuk dicatat bahwa meskipun kami menerimanya

kelas matriks LKk BOO dengan menerapkan Teorema 1 pada matriks yang diperoleh dengan melakukan transposisi matriks Lk AB^1, kelas ini tidak berhimpitan dengan kelas yang diperoleh dengan menerapkan Teorema 2 pada matriks At.

Mari kita perkenalkan beberapa definisi.

Definisi 4. Matriks A disebut ( Lk -BOO demi baris) jika AT ( Lk - BOO ).

Definisi 5. Matriks A disebut ( bSk -BOO per baris) jika AT ( bSk - BOO ).

Contoh menunjukkan bahwa kelas Shch - BOO,

BC-BOO, ( bk - BOO menurut garis) dan ( b^-BOO menurut garis) saling berhubungan. Jadi, kami telah memperluas kelas matriks-H dalam empat cara berbeda.

Penerapan teorema baru

Mari kita ilustrasikan kegunaan hasil baru dalam memperkirakan norma-C dari matriks invers.

Untuk matriks sembarang A dengan dominasi diagonal yang ketat, teorema Varach yang terkenal (VaraI) memberikan perkiraannya

menit[|pf (A)| - tk (A), min(|yk (A)| - qk(A) - |af (A)|)]" i i (фf ii ii

Demikian pula, kita memperoleh hasil berikut untuk matriks Lk - SDD berdasarkan kolom.

Teorema 6. Misalkan diberikan matriks sembarang A = e cihi dengan elemen diagonal bukan nol. Jika A termasuk kelas bk -SDD berdasarkan kolom, maka

Aku akan melakukannya<_ie#|akk|_

" " juta[|pf(A)| - Rf (AT), juta(|уk (A)|- qk (AT)- |belakang |)]"

Pentingnya hasil ini adalah bahwa untuk banyak subkelas matriks H non-singular terdapat batasan jenis ini, tetapi untuk matriks non-singular yang bukan matriks H, hal ini merupakan masalah yang tidak sepele. Oleh karena itu, pembatasan semacam ini, seperti pada teorema sebelumnya, sangat populer.

literatur

Levy L. Sur le possibilité du l "equlibre electrique C. R. Acad. Paris, 1881. Vol. 93. P. 706-708.

Tanduk R.A., Johnson C.R. Analisis Matriks. Cambridge, 1994. Varga R.S. Gersgorin dan Lingkarannya // Seri Springer dalam Matematika Komputasi. 2004. Jil. 36.226 gosok. Berman A., Plemons R.J. Matriks Nonnegatif dalam Ilmu Matematika. Seri SIAM Klasik dalam Matematika Terapan. 1994. Jil. 9.340 gosok.

Cvetkovic Lj. Teori H-matriks vs. lokalisasi nilai eigen // Angka. algoritma. 2006. Jil. 42.Hal.229-245. Cvetkovic Lj., Kostic V., Kovacevic M., Szulc T. Hasil lebih lanjut tentang matriks H dan komplemen Schurnya // Appl. Matematika. Hitung. 1982.Hal.506-510.

Varah J.M. Batas bawah untuk nilai terkecil suatu matriks // Aplikasi Aljabar Linier. 1975. Jil. 11.Hal.3-5.

Diterima oleh editor

Definisi.

Mari kita sebut suatu sistem sebagai sistem dengan dominasi baris diagonal jika elemen-elemen matriksnyamemenuhi ketidaksetaraan:

Pertidaksamaan berarti pada setiap baris matriks elemen diagonal disorot: modulusnya lebih besar dari jumlah modulus semua elemen lain pada baris yang sama.

Dalil

Sebuah sistem dengan dominasi diagonal selalu dapat dipecahkan dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.

Pertimbangkan sistem homogen yang sesuai:

Mari kita asumsikan bahwa ia mempunyai solusi nontrivial , Biarkan komponen modulo terbesar dari solusi ini sesuai dengan indeks
, yaitu.

,
,
.

Mari kita tuliskan persamaan sistem dalam bentuk

dan ambil modulus kedua ruas persamaan ini. Hasilnya kita mendapatkan:

Mengurangi ketimpangan dengan satu faktor
, yang menurut kami tidak sama dengan nol, kami mengalami kontradiksi dengan pertidaksamaan yang menyatakan dominasi diagonal. Kontradiksi yang dihasilkan memungkinkan kita membuat tiga pernyataan secara berurutan:

Yang terakhir berarti pembuktian teorema sudah lengkap.

Sistem dengan matriks tridiagonal. Metode berjalan.

Ketika memecahkan banyak masalah, kita harus berurusan dengan sistem persamaan linear dalam bentuk:

,
,

di mana koefisiennya
, sisi kanan
diketahui beserta nomornya Dan . Relasi tambahan sering disebut kondisi batas sistem. Dalam banyak kasus, hal ini bisa menjadi lebih kompleks. Misalnya:

;
,

Di mana
- nomor yang diberikan. Namun, agar tidak mempersulit penyajiannya, kami akan membatasi diri pada bentuk syarat tambahan yang paling sederhana.

Memanfaatkan fakta bahwa nilai-nilai Dan diberikan, kami menulis ulang sistem dalam bentuk:

Matriks sistem ini memiliki struktur tridiagonal:

Hal ini sangat menyederhanakan solusi sistem berkat metode khusus yang disebut metode sapuan.

Metode ini didasarkan pada asumsi bahwa yang tidak diketahui adalah yang tidak diketahui Dan
dihubungkan oleh relasi perulangan

,
.

Berikut kuantitasnya
,
, yang disebut koefisien berjalan, dapat ditentukan berdasarkan kondisi permasalahan, . Faktanya, prosedur seperti itu berarti mengganti definisi langsung dengan yang tidak diketahui tugas menentukan koefisien berjalan dan kemudian menghitung nilainya berdasarkan koefisien tersebut .

Untuk mengimplementasikan program yang dijelaskan, kami mengekspresikannya menggunakan relasi
melalui
:

dan penggantinya
Dan , diungkapkan melalui
, ke dalam persamaan aslinya. Hasilnya kita mendapatkan:

Hubungan yang terakhir pasti akan terpuaskan dan, terlebih lagi, terlepas dari solusinya, jika kita memerlukannya kapan
ada persamaan:

Dari sini ikuti hubungan perulangan untuk koefisien sapuan:

,
,
.

Kondisi batas kiri
dan rasio
konsisten jika kita menempatkan

Nilai lain dari koefisien sapuan
Dan
kita temukan dari, yang melengkapi tahap penghitungan koefisien berjalan.

Dari sini Anda dapat menemukan sisa yang belum diketahui
dalam proses menyapu ke belakang menggunakan rumus perulangan.

Jumlah operasi yang diperlukan untuk menyelesaikan sistem umum dengan metode Gaussian meningkat seiring dengan peningkatan secara proporsional . Metode sapuan direduksi menjadi dua siklus: pertama, koefisien sapuan dihitung menggunakan rumus, kemudian, dengan menggunakan rumus tersebut, komponen solusi sistem dicari menggunakan rumus berulang. . Artinya seiring bertambahnya ukuran sistem, jumlah operasi aritmatika akan meningkat secara proporsional , tapi tidak . Dengan demikian, metode sapuan, dalam lingkup kemungkinan penerapannya, jauh lebih ekonomis. Untuk ini harus ditambahkan kesederhanaan khusus implementasi perangkat lunaknya di komputer.

Dalam banyak permasalahan terapan yang mengarah pada SLAE dengan matriks tridiagonal, koefisiennya memenuhi pertidaksamaan:

yang menyatakan sifat dominasi diagonal. Secara khusus, kita akan menemui sistem seperti itu di bab ketiga dan kelima.

Menurut teorema bagian sebelumnya, solusi untuk sistem seperti itu selalu ada dan bersifat unik. Pernyataan ini juga berlaku untuk mereka, yang penting untuk perhitungan sebenarnya dari solusi menggunakan metode sapuan.

Kata pengantar singkat

Jika untuk sistem dengan matriks tridiagonal kondisi dominasi diagonal terpenuhi, maka koefisien sapuan memenuhi pertidaksamaan:

Pembuktiannya akan kami lakukan dengan induksi. Berdasarkan
, yaitu kapan
pernyataan lemma tersebut benar. Sekarang mari kita asumsikan bahwa hal itu benar dan pertimbangkan
:

Jadi, induksi dari Ke
dibenarkan, yang melengkapi pembuktian lemma.

Ketimpangan untuk koefisien sapuan membuat jalannya stabil. Memang, misalkan itu komponen solusi Sebagai hasil dari prosedur pembulatan, perhitungannya mengalami beberapa kesalahan. Kemudian saat menghitung komponen selanjutnya
menurut rumus berulang, kesalahan ini, karena ketimpangan, tidak akan bertambah.

Definisi.

Mari kita sebut suatu sistem sebagai sistem dengan dominasi baris diagonal jika elemen-elemen matriksnyamemenuhi ketidaksetaraan:

Pertidaksamaan berarti pada setiap baris matriks elemen diagonal disorot: modulusnya lebih besar dari jumlah modulus semua elemen lain pada baris yang sama.

Dalil

Sebuah sistem dengan dominasi diagonal selalu dapat dipecahkan dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.

Pertimbangkan sistem homogen yang sesuai:

Mari kita asumsikan bahwa ia mempunyai solusi nontrivial , Biarkan komponen modulo terbesar dari solusi ini sesuai dengan indeks
, yaitu.

,
,
.

Mari kita tuliskan persamaan sistem dalam bentuk

dan ambil modulus kedua ruas persamaan ini. Hasilnya kita mendapatkan:

Yang terakhir berarti pembuktian teorema sudah lengkap.

Sistem dengan matriks tridiagonal. Metode berjalan.

Ketika memecahkan banyak masalah, kita harus berurusan dengan sistem persamaan linear dalam bentuk:

,
,

di mana koefisiennya
, sisi kanan
diketahui beserta nomornya Dan . Relasi tambahan sering disebut kondisi batas sistem. Dalam banyak kasus, hal ini bisa menjadi lebih kompleks. Misalnya:

;
,

Di mana
- nomor yang diberikan. Namun, agar tidak mempersulit penyajiannya, kami akan membatasi diri pada bentuk syarat tambahan yang paling sederhana.

Memanfaatkan fakta bahwa nilai-nilai Dan diberikan, kami menulis ulang sistem dalam bentuk:

Matriks sistem ini memiliki struktur tridiagonal:

Hal ini sangat menyederhanakan solusi sistem berkat metode khusus yang disebut metode sapuan.

Metode ini didasarkan pada asumsi bahwa yang tidak diketahui adalah yang tidak diketahui Dan
dihubungkan oleh relasi perulangan

,
.

Untuk mengimplementasikan program yang dijelaskan, kami mengekspresikannya menggunakan relasi
melalui
:

dan penggantinya
Dan , diungkapkan melalui
, ke dalam persamaan aslinya. Hasilnya kita mendapatkan:

Hubungan yang terakhir pasti akan terpuaskan dan, terlebih lagi, terlepas dari solusinya, jika kita memerlukannya kapan
ada persamaan:

Dari sini ikuti hubungan perulangan untuk koefisien sapuan:

,
,
.

Kondisi batas kiri
dan rasio
konsisten jika kita menempatkan

Nilai lain dari koefisien sapuan
Dan
kita temukan dari, yang melengkapi tahap penghitungan koefisien berjalan.

Dari sini Anda dapat menemukan sisa yang belum diketahui
dalam proses menyapu ke belakang menggunakan rumus perulangan.

Dalam banyak permasalahan terapan yang mengarah pada SLAE dengan matriks tridiagonal, koefisiennya memenuhi pertidaksamaan:

yang menyatakan sifat dominasi diagonal. Secara khusus, kita akan menemui sistem seperti itu di bab ketiga dan kelima.

Kata pengantar singkat

Jika untuk sistem dengan matriks tridiagonal kondisi dominasi diagonal terpenuhi, maka koefisien sapuan memenuhi pertidaksamaan:

Pembuktiannya akan kami lakukan dengan induksi. Berdasarkan
, yaitu kapan
pernyataan lemma tersebut benar. Sekarang mari kita asumsikan bahwa hal itu benar dan pertimbangkan
:

Jadi, induksi dari Ke
dibenarkan, yang melengkapi pembuktian lemma.

UNIVERSITAS NEGARA ST.PETERSBURG

Fakultas Matematika Terapan – Proses Kontrol

A.P.IVANOV

WORKSHOP METODE NUMERIK

SISTEM PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR LINEAR

Pedoman

Saint Petersburg

BAB 1. INFORMASI PENDUKUNG

Manual metodologi memberikan klasifikasi metode untuk memecahkan SLAE dan algoritma untuk penerapannya. Metode-metode tersebut disajikan dalam bentuk yang memungkinkan penggunaannya tanpa menggunakan sumber lain. Diasumsikan bahwa matriks sistem adalah non-singular, yaitu. itu SEBUAH 6= 0.

§1. Norma vektor dan matriks

Ingatlah bahwa ruang linier Ω dari elemen x disebut dinormalisasi jika suatu fungsi k · kΩ dimasukkan ke dalamnya, didefinisikan untuk semua elemen ruang Ω dan memenuhi kondisi:

1. kxk Ω ≥ 0, dan kxkΩ = 0 x = 0Ω ;

2. kλxk Ω = |λ| · kxkΩ;

3. kx + yk Ω ≤ kxkΩ + kykΩ .

Kita akan sepakat di masa depan untuk menyatakan vektor dengan huruf Latin kecil, dan kita akan menganggapnya sebagai vektor kolom, dengan huruf Latin besar kita akan menyatakan matriks, dan dengan huruf Yunani kita akan menyatakan besaran skalar (mempertahankan huruf i, j, k, l, m, n untuk bilangan bulat) .

Norma vektor yang paling umum digunakan adalah sebagai berikut:


	\|xi \|;
1.kxk1 =	\|xi \|;

2. kxk2 = kamu x2 ; T

3. kxk∞ = maksimal |xi |.

Perhatikan bahwa semua norma dalam ruang Rn adalah setara, yaitu. dua norma kxki dan kxkj dihubungkan oleh relasi:

αij kxkj ≤ kxki ≤ βij kxkj ,

kk ≤ kk ≤ ˜kk

α˜ ij x saya x j β ij x saya,

dan αij , βij , α˜ij , βij tidak bergantung pada x. Selain itu, dalam ruang berdimensi terbatas, dua norma mana pun adalah setara.

Ruang matriks dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan yang diperkenalkan secara alami membentuk ruang linier di mana konsep norma dapat diperkenalkan dengan berbagai cara. Namun, apa yang disebut norma bawahan paling sering dipertimbangkan, yaitu. norma yang berhubungan dengan norma vektor melalui relasi:

Dengan menandai norma-norma bawahan matriks dengan indeks yang sama dengan norma-norma vektor yang bersesuaian, kita dapat menetapkannya

k k1

|aij|; kAk2

k∞

(DI A);

Di sini, λi (AT A) menunjukkan nilai eigen matriks AT A, di mana AT adalah matriks yang ditransposisikan ke A. Selain tiga sifat utama norma yang disebutkan di atas, kami mencatat dua lagi di sini:

kABk ≤ kAk kBk,

kAxk ≤ kAk kxk,

Selain itu, pada pertidaksamaan terakhir, norma matriks berada di bawah norma vektor yang bersesuaian. Kami akan setuju untuk menggunakan di masa depan hanya norma-norma matriks yang tunduk pada norma-norma vektor. Perhatikan bahwa untuk norma-norma tersebut persamaan berikut berlaku: jika E adalah matriks identitas, maka kEk = 1, .

§2. Matriks yang dominan secara diagonal

Definisi 2.1. Matriks A dengan elemen (aij )n i,j=1 disebut matriks dengan dominasi diagonal (nilai δ) jika pertidaksamaannya tetap

|aii | − |aij | ≥ δ > 0, saya = 1, n.

§3. Matriks pasti positif

Definisi 3.1. Kita akan menyebut matriks simetris A dengan

pasti positif jika bentuk kuadrat xT Ax dengan matriks ini hanya mengambil nilai positif untuk sembarang vektor x 6= 0.

Kriteria kepastian positif suatu matriks dapat berupa kepositifan nilai eigennya atau kepositifan minor utamanya.

§4. Nomor kondisi SLAE

Saat memecahkan masalah apa pun, seperti diketahui, ada tiga jenis kesalahan: kesalahan fatal, kesalahan metodologis, dan kesalahan pembulatan. Mari kita pertimbangkan pengaruh kesalahan yang tidak dapat dihindari dalam data awal terhadap solusi SLAE, dengan mengabaikan kesalahan pembulatan dan mempertimbangkan tidak adanya kesalahan metodologis.

matriks A diketahui secara pasti, dan ruas kanan b mengandung kesalahan yang tidak dapat dihilangkan δb.

Kemudian untuk kesalahan relatif solusinya kδxk/kxk

	Tidak sulit untuk mendapatkan perkiraan:

dimana ν(A) = kAkkA−1 k.

Bilangan ν(A) disebut bilangan kondisi sistem (4.1) (atau matriks A). Ternyata ν(A) ≥ 1 untuk sembarang matriks A. Karena nilai bilangan kondisi bergantung pada pilihan norma matriks, saat memilih norma tertentu kita akan mengindeks ν(A) sesuai: ν1 (A), ν2 (A) atau ν ∞(A).

Dalam kasus ν(A) 1, sistem (4.1) atau matriks A disebut berkondisi buruk. Dalam hal ini, sebagai berikut dari perkiraannya

(4.2), kesalahan dalam menyelesaikan sistem (4.1) mungkin menjadi sangat besar. Konsep diterima atau tidaknya suatu kesalahan ditentukan oleh rumusan masalah.

Untuk matriks dengan dominasi diagonal, mudah untuk mendapatkan batas atas bilangan kondisinya. Terjadi

Teorema 4.1. Misalkan A adalah matriks yang dominasi diagonalnya bernilai δ > 0. Maka matriks tersebut nonsingular dan ν∞ (A) ≤ kAk∞ /δ.

§5. Contoh sistem yang terkondisi buruk.

Pertimbangkan SLAE (4.1) di mana

−1

− 1 . . .

−1

.. .

−1

Sistem ini mempunyai solusi unik x = (0, 0, . . . , 0, 1)T. Misalkan ruas kanan sistem mempunyai kesalahan δb = (0, 0, . . . , 0, ε), ε > 0. Maka

δxn = ε, δxn−1 = ε, δxn−2 = 2 ε, δxn−k = 2 k−1 ε, . . . , δx1 = 2 n−2 ε.

k∞ =

2 n−2ε,

k∞

kk∞

Karena itu,

ν∞ (A) ≥ kδxk ∞ : kδbk ∞ = 2n−2 . kxk ∞ kbk ∞

Karena kAk∞ = n, maka kA−1 k∞ ≥ n−1 2 n−2 , meskipun det(A−1 ) = (det A)−1 = 1. Misalkan, n = 102. Maka ν( SEBUAH ) ≥ 2100 > 1030 . Selain itu, meskipun ε = 10−15 kita memperoleh kδxk∞ > 1015. Dan lagi

Dominasi diagonal. Sistem dengan dominasi diagonal Sistem dengan dominasi diagonal

Properti

Lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Dominasi diagonal"

Kutipan yang mencirikan Dominasi Diagonal

Sistem dengan matriks tridiagonal. Metode berjalan.

Sistem dengan matriks tridiagonal. Metode berjalan.

BAB 1. INFORMASI PENDUKUNG

§1. Norma vektor dan matriks

§2. Matriks yang dominan secara diagonal

§3. Matriks pasti positif

§4. Nomor kondisi SLAE

§5. Contoh sistem yang terkondisi buruk.