Dan soal lain B11 dengan topik yang sama - dari Ujian Negara Bersatu yang sebenarnya dalam matematika.
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Dalam video tutorial singkat ini kita akan belajar bagaimana menerapkannya rumus reduksi untuk memecahkan masalah nyata B11 dari Unified State Examination dalam matematika. Seperti yang Anda lihat, kita memiliki dua ekspresi trigonometri, masing-masing berisi sinus dan cosinus, serta beberapa argumen numerik yang cukup brutal.
Sebelum menyelesaikan soal-soal ini, mari kita ingat apa itu rumus reduksi. Jadi, jika kita memiliki ekspresi seperti:
Kemudian kita dapat menghilangkan suku pertama (dalam bentuk k · π/2) berdasarkan aturan khusus. Mari kita menggambar lingkaran trigonometri dan menandai titik-titik utama di atasnya: 0, π/2; π; 3π/2 dan 2π. Kemudian kita lihat suku pertama di bawah tanda fungsi trigonometri. Kita punya:
- Jika suku yang kita minati terletak pada sumbu vertikal lingkaran trigonometri (misalnya: 3π/2; π/2, dst.), maka fungsi aslinya diganti dengan co-fungsi: sinus diganti dengan cosinus, dan kosinus, sebaliknya, dengan sinus.
- Jika suku kita terletak pada sumbu horizontal, maka fungsi aslinya tidak berubah. Kami cukup menghapus istilah pertama dalam ekspresi dan hanya itu.
Jadi, kita memperoleh fungsi trigonometri yang tidak mengandung suku-suku berbentuk k · π/2. Namun, pekerjaan dengan rumus reduksi tidak berakhir di situ. Faktanya adalah bahwa fungsi baru kita, yang diperoleh setelah “membuang” suku pertama, mungkin memiliki tanda plus atau minus di depannya. Bagaimana cara mengidentifikasi tanda ini? Sekarang kita akan mencari tahu.
Bayangkan sudut α yang tersisa di dalam fungsi trigonometri setelah transformasi memiliki besaran derajat yang sangat kecil. Namun apa yang dimaksud dengan “ukuran kecil”? Katakanlah α ∈ (0; 30°) - ini sudah cukup. Mari kita ambil contoh fungsinya:
Kemudian, mengikuti asumsi kita bahwa α ∈ (0; 30°), kita menyimpulkan bahwa sudut 3π/2 − α terletak pada kuarter koordinat ketiga, yaitu. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Mari kita ingat tanda fungsi aslinya, yaitu. y = sin x pada interval ini. Jelasnya, sinus pada kuarter koordinat ketiga adalah negatif, karena menurut definisi, sinus adalah ordinat dari ujung jari-jari yang bergerak (singkatnya, sinus adalah koordinat y). Nah, koordinat y di setengah bidang bawah selalu bernilai negatif. Artinya pada triwulan ketiga y juga negatif.
Berdasarkan refleksi ini, kita dapat menuliskan ungkapan akhir:
Soal B11 - Opsi 1
Teknik yang sama ini cukup cocok untuk menyelesaikan soal B11 dari Unified State Examination dalam matematika. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa dalam banyak soal B11 nyata, alih-alih ukuran radian (yaitu angka π, π/2, 2π, dll.) digunakan ukuran derajat (yaitu 90°, 180°, 270°, dan lain-lain). Mari kita lihat tugas pertama:
Mari kita lihat pembilangnya terlebih dahulu. karena 41° adalah nilai non-tabular, jadi kita tidak bisa berbuat apa pun dengannya. Mari kita biarkan seperti itu untuk saat ini.
Sekarang mari kita lihat penyebutnya:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Jelas ini rumus reduksi, jadi sinus diganti dengan kosinus. Selain itu, sudut 41° terletak pada ruas (0°; 90°), yaitu. di kuadran koordinat pertama - persis seperti yang diperlukan untuk menerapkan rumus reduksi. Namun 90° + 41° adalah kuarter koordinat kedua. Fungsi asli y = sin x positif di sana, jadi kita beri tanda plus di depan kosinus pada langkah terakhir (dengan kata lain, kita tidak memasukkan apa pun).
Masih membahas elemen terakhir:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Di sini kita melihat bahwa 180° adalah sumbu horizontal. Akibatnya, fungsinya sendiri tidak akan berubah: ada kosinus - dan kosinus juga akan tetap ada. Namun muncul pertanyaan lagi: akankah plus atau minus muncul sebelum ekspresi yang dihasilkan cos 60°? Perhatikan bahwa 180° adalah kuarter koordinat ketiga. Kosinusnya negatif, oleh karena itu kosinus tersebut pada akhirnya akan memiliki tanda minus di depannya. Secara total, kita mendapatkan konstruksi −cos 60° = −0,5 - ini adalah nilai tabel, jadi semuanya mudah untuk dihitung.
Sekarang kita substitusikan angka-angka yang dihasilkan ke dalam rumus asli dan dapatkan:
Seperti yang Anda lihat, bilangan cos 41° pada pembilang dan penyebut pecahan mudah dikurangi, dan ekspresi biasa tetap ada, yaitu sama dengan −10. Dalam hal ini, minus dapat dikeluarkan dan ditempatkan di depan tanda pecahan, atau “disimpan” di sebelah faktor kedua hingga langkah terakhir penghitungan. Bagaimanapun, jawabannya adalah −10. Itu saja, masalah B11 terpecahkan!
Soal B14 - opsi 2
Mari kita beralih ke tugas kedua. Kita memiliki pecahan lagi di depan kita:
Ya, 27° terletak pada kuarter koordinat pertama, jadi kita tidak akan mengubah apa pun di sini. Tetapi sin 117° perlu ditulis (tanpa persegi untuk saat ini):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Jelas sekali, sebelum kita lagi rumus reduksi: 90° adalah sumbu vertikal, maka sinus akan berubah menjadi kosinus. Selain itu, sudut α = 117° = 90° + 27° terletak pada kuadran koordinat kedua. Fungsi awal y = sin x di sana positif, oleh karena itu setelah semua transformasi masih ada tanda tambah di depan kosinus. Dengan kata lain, tidak ada yang ditambahkan di sana - kita biarkan seperti ini: cos 27°.
Kami kembali ke ekspresi awal yang perlu dihitung:
Seperti yang bisa kita lihat, setelah transformasi, identitas trigonometri utama muncul pada penyebutnya: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Total −4: 1 = −4 - jadi kami menemukan jawaban untuk soal kedua B11.
Seperti yang Anda lihat, dengan bantuan rumus reduksi, masalah-masalah seperti itu dari Ujian Negara Bersatu dalam matematika diselesaikan secara harfiah dalam beberapa baris. Tidak ada sinus dari jumlah dan cosinus dari selisihnya. Yang perlu kita ingat hanyalah lingkaran trigonometri saja.
Bagaimana cara mengingat rumus pengurangan fungsi trigonometri? Mudah saja jika Anda menggunakan asosiasi, asosiasi ini tidak saya temukan. Seperti yang telah disebutkan, pergaulan yang baik harus “menangkap”, yaitu membangkitkan emosi yang jelas. Saya tidak bisa menyebut emosi yang disebabkan oleh asosiasi ini positif. Namun hal ini memberikan hasil - memungkinkan Anda mengingat rumus reduksi, yang berarti ia berhak untuk hidup. Lagi pula, kalau tidak suka, tidak perlu digunakan, bukan?
Rumus reduksinya berbentuk: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Ingatlah bahwa +α memberikan gerakan berlawanan arah jarum jam, - α memberikan gerakan searah jarum jam.
Untuk bekerja dengan rumus reduksi, Anda memerlukan dua poin:
1) beri tanda fungsi awal (di buku teks ditulis: dapat direduksi. Tapi agar tidak bingung, lebih baik disebut inisial), jika kita menganggap α sebagai sudut kuarter pertama, yaitu , kecil.
2) Diameter horizontal - π±α, 2π±α, 3π±α... - secara umum, jika tidak ada pecahan, nama fungsinya tidak berubah. Vertikal π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - bila ada pecahan, nama fungsinya berubah: sinus - menjadi kosinus, kosinus - menjadi sinus, tangen - menjadi kotangen dan kotangen - bersinggungan. 
Sekarang, sebenarnya, asosiasinya:
diameter vertikal (ada pecahan) -
berdiri dalam keadaan mabuk. Apa yang akan terjadi padanya lebih awal?
atau sudah terlambat? Itu benar, itu akan jatuh.
Nama fungsi akan berubah.
Jika diameternya mendatar, berarti pemabuk sudah berbaring. Dia mungkin tertidur. Tidak akan terjadi apa-apa padanya; dia sudah mengambil posisi horizontal. Oleh karena itu, nama fungsinya tidak berubah.
Artinya, sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α), dst. berikan ±cosα,
dan sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.
Kami sudah tahu caranya.
Bagaimana itu bekerja? Mari kita lihat contohnya.
1) cos(π/2+α)=?
Kita menjadi π/2. Karena +α berarti kita maju, berlawanan arah jarum jam. Kita berada di kuartal kedua, di mana kosinus memiliki tanda “-”. Nama fungsinya berubah (“orang mabuk berdiri”, yang artinya dia akan jatuh). Jadi,
cos(π/2+α)=-sin α.
Mari kita ke 2π. Karena -α - kita mundur, yaitu searah jarum jam. Kita sampai pada kuartal IV, di mana garis singgungnya memiliki tanda “-”. Nama fungsinya tidak berubah (diameternya mendatar, “pemabuk sudah berbaring”). Jadi, tan(2π-α)=- tanα.
3) ctg²(3π/2-α)=?
Contoh di mana suatu fungsi dipangkatkan bahkan lebih mudah diselesaikan. Derajat genap “-” menghilangkannya, yaitu Anda hanya perlu mencari tahu apakah nama fungsinya berubah atau tetap. Diameternya vertikal (ada pecahan “berdiri mabuk”, nanti jatuh), nama fungsinya berubah. Kita mendapatkan: ctg²(3π/2-α)= tan²α.
Mereka termasuk dalam bagian trigonometri matematika. Esensinya adalah mereduksi fungsi trigonometri sudut menjadi bentuk yang “sederhana”. Banyak yang bisa ditulis tentang pentingnya mengetahuinya. Sudah ada 32 rumus ini!
Jangan khawatir, Anda tidak perlu mempelajarinya, seperti banyak rumus lainnya dalam kursus matematika. Tidak perlu mengisi kepala Anda dengan informasi yang tidak perlu, Anda perlu mengingat “kunci” atau hukumnya, dan mengingat atau menurunkan rumus yang diperlukan tidak akan menjadi masalah. Ngomong-ngomong, ketika saya menulis di artikel “...kamu perlu belajar!!!” - Artinya sangat perlu dipelajari.
Jika Anda tidak terbiasa dengan rumus reduksi, maka kesederhanaan penurunannya akan mengejutkan Anda - ada "hukum" yang dapat digunakan untuk melakukan hal ini dengan mudah. Dan Anda dapat menulis salah satu dari 32 rumus tersebut dalam 5 detik.
Saya hanya akan mencantumkan beberapa soal yang akan muncul pada Ujian Negara Terpadu matematika, dimana tanpa mengetahui rumus-rumus tersebut kemungkinan besar akan gagal dalam menyelesaikannya. Misalnya:
– soal penyelesaian segitiga siku-siku, yang membahas tentang sudut luar, dan soal sudut dalam, beberapa rumus ini juga diperlukan.
– tugas menghitung nilai ekspresi trigonometri; mengkonversi ekspresi trigonometri numerik; mengonversi ekspresi trigonometri literal.
– soal garis singgung dan arti geometri garis singgung, diperlukan rumus reduksi garis singgung, serta soal-soal lainnya.
– soal stereometrik, dalam penyelesaiannya sering kali perlu menentukan sinus atau kosinus suatu sudut yang terletak pada kisaran 90 hingga 180 derajat.
Dan ini hanyalah poin-poin yang berhubungan dengan Unified State Examination. Dan dalam mata kuliah aljabar sendiri terdapat banyak permasalahan yang penyelesaiannya tidak dapat dilakukan tanpa mengetahui rumus-rumus reduksi.
Jadi apa yang menyebabkan hal ini dan bagaimana rumus yang diberikan memudahkan kita dalam menyelesaikan masalah?
Misalnya, Anda perlu menentukan sinus, cosinus, tangen, atau kotangen sudut mana pun dari 0 hingga 450 derajat:
sudut alfa berkisar antara 0 hingga 90 derajat
* * *
Jadi, perlu dipahami “hukum” yang berlaku di sini:
1. Tentukan tanda fungsi pada kuadran yang bersesuaian.
Izinkan saya mengingatkan Anda:
2. Ingatlah hal berikut:
perubahan fungsi menjadi fungsi
fungsi tidak berubah menjadi fungsi
Apa arti konsep - suatu fungsi berubah menjadi kofungsi?
Jawaban: sinus berubah menjadi cosinus atau sebaliknya, bersinggungan dengan kotangen atau sebaliknya.
Itu saja!
Sekarang, menurut hukum yang disajikan, kami akan menuliskan sendiri beberapa rumus reduksi:
Sudut ini terletak pada kuarter ketiga, kosinus pada kuarter ketiga negatif. Fungsi tersebut tidak kita ubah menjadi kofungsi, karena kita mempunyai sudut 180 derajat, yang artinya:
Sudutnya terletak pada kuarter pertama, sinus pada kuarter pertama positif. Fungsi tersebut tidak kita ubah menjadi cofunction, karena kita mempunyai 360 derajat yang artinya:
Berikut ini konfirmasi tambahan lainnya bahwa sinus sudut-sudut yang berdekatan adalah sama:
Sudutnya terletak pada kuarter kedua, sinus pada kuarter kedua positif. Kita tidak mengubah fungsinya menjadi cofunction, karena kita mempunyai 180 derajat, yang artinya:
Kerjakan setiap rumus secara mental atau tertulis, dan Anda akan yakin bahwa tidak ada yang rumit.
***
Dalam artikel tentang solusinya, fakta berikut dicatat - sinus dari satu sudut lancip dalam segitiga siku-siku sama dengan kosinus sudut lancip lainnya di dalamnya.
Rumus reduksi adalah hubungan yang memungkinkan Anda beralih dari sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dengan sudut `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` dengan fungsi yang sama dari sudut `\alpha`, yang terletak di seperempat pertama lingkaran satuan. Jadi, rumus reduksi “mengarahkan” kita untuk bekerja dengan sudut dalam kisaran 0 hingga 90 derajat, yang sangat memudahkan.
Secara keseluruhan ada 32 rumus reduksi. Mereka pasti akan berguna selama Ujian Negara Bersatu, ujian, dan ulangan. Namun izinkan kami segera memperingatkan Anda bahwa tidak perlu menghafalnya! Anda perlu meluangkan sedikit waktu dan memahami algoritma penerapannya, maka tidak akan sulit bagi Anda untuk mendapatkan persamaan yang diperlukan pada waktu yang tepat.
Pertama, mari kita tuliskan semua rumus reduksinya:
Untuk sudut (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) atau (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Untuk sudut (`\pi \pm \alpha`) atau (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Untuk sudut (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) atau (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Untuk sudut (`2\pi \pm \alpha`) atau (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Anda sering dapat menemukan rumus reduksi dalam bentuk tabel yang sudutnya ditulis dalam radian:
Untuk menggunakannya, kita perlu memilih baris dengan fungsi yang kita perlukan dan kolom dengan argumen yang diinginkan. Misalnya, untuk mengetahui dengan menggunakan tabel berapa nilai ` sin(\pi + \alpha)`, cukup mencari jawabannya di perpotongan baris ` sin \beta` dan kolom ` \pi + \alfa`. Kita mendapatkan ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Dan tabel kedua yang serupa, di mana sudut ditulis dalam derajat:
Aturan mnemonik untuk rumus reduksi atau cara mengingatnya
Seperti yang telah kami sebutkan, tidak perlu menghafal semua hubungan di atas. Jika Anda memperhatikannya dengan cermat, Anda mungkin memperhatikan beberapa pola. Mereka memungkinkan kita merumuskan aturan mnemonik (mnemonik - ingat), yang dengannya kita dapat dengan mudah mendapatkan rumus reduksi apa pun.
Mari kita segera perhatikan bahwa untuk menerapkan aturan ini Anda harus pandai mengidentifikasi (atau mengingat) tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai bagian lingkaran satuan. 
Vaksinnya sendiri terdiri dari 3 tahap:
- Argumen fungsi harus direpresentasikan sebagai `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, dan `\alpha` tentu merupakan sudut lancip (dari 0 hingga 90 derajat).
- Untuk argumen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` fungsi trigonometri dari ekspresi yang ditransformasikan berubah menjadi kofungsi, yaitu kebalikannya (sinus ke kosinus, bersinggungan dengan kotangen dan sebaliknya). Untuk argumen `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` fungsinya tidak berubah.
- Tanda fungsi aslinya ditentukan. Fungsi yang dihasilkan di ruas kanan akan mempunyai tanda yang sama.
Untuk melihat bagaimana aturan ini dapat diterapkan dalam praktiknya, mari kita ubah beberapa ekspresi:
1. `cos(\pi + \alfa)`.
Fungsinya tidak terbalik. Sudut `\pi + \alpha` berada pada kuarter ketiga, kosinus pada kuarter ini bertanda “-”, sehingga fungsi yang ditransformasi juga akan bertanda “-”.
Jawaban: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `dosa(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.
Menurut aturan mnemonik, fungsinya akan dibalik. Sudut `\frac (3\pi)2 - \alpha` berada pada kuarter ketiga, sinus disini bertanda “-”, jadi hasilnya juga bertanda “-”.
Jawaban: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Mari kita nyatakan `3\pi` sebagai `2\pi+\pi`. `2\pi` adalah periode fungsi.
Penting: Fungsi `cos \alpha` dan `sin \alpha` memiliki periode `2\pi` atau `360^\circ`, nilainya tidak akan berubah jika argumen ditambah atau dikurangi sebesar nilai tersebut.
Berdasarkan hal ini, ekspresi kita dapat ditulis sebagai berikut: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Menerapkan aturan mnemonik dua kali, kita mendapatkan: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Jawaban: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Aturan kuda
Poin kedua dari aturan mnemonik yang dijelaskan di atas disebut juga aturan rumus reduksi kuda. Saya bertanya-tanya mengapa kuda?
Jadi, kita mempunyai fungsi dengan argumen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, titik `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` adalah kuncinya, terletak pada sumbu koordinat. `\pi` dan `2\pi` berada pada sumbu x horizontal, dan `\frac (\pi)2` dan `\frac (3\pi)2` berada pada ordinat vertikal.
Kita bertanya pada diri sendiri pertanyaan: “Apakah suatu fungsi berubah menjadi kofungsi?” Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda perlu menggerakkan kepala Anda sepanjang sumbu tempat titik kunci berada.
Artinya, untuk argumen yang poin-poin kuncinya terletak pada sumbu horizontal, kita menjawab “tidak” dengan menggelengkan kepala ke samping. Dan untuk sudut yang titik-titik kuncinya terletak pada sumbu vertikal, kita menjawab “ya” dengan menganggukkan kepala dari atas ke bawah seperti kuda :)
Kami menyarankan Anda menonton video tutorial yang penulis menjelaskan secara detail cara mengingat rumus reduksi tanpa menghafalnya.
Contoh praktis penggunaan rumus reduksi
Penggunaan rumus reduksi dimulai pada kelas 9 dan 10. Banyak soal yang menggunakannya diserahkan ke Ujian Negara Bersatu. Berikut beberapa soal yang mengharuskan Anda menerapkan rumus ini:
- masalah untuk menyelesaikan segitiga siku-siku;
- transformasi ekspresi trigonometri numerik dan alfabet, perhitungan nilainya;
- tugas stereometrik.
Contoh 1. Hitung menggunakan rumus reduksi a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Penyelesaian: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Contoh 2. Setelah menyatakan kosinus melalui sinus menggunakan rumus reduksi, bandingkan bilangan: 1) `sin \frac (9\pi)8` dan `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` dan `cos \frac (3\pi)10`.
Penyelesaian: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`dosa \frac (\pi)8 `dosa \frac (\pi)8 Mari kita buktikan dulu dua rumus sinus dan cosinus dari argumen `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` dan ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Sisanya berasal dari mereka. Mari kita ambil lingkaran satuan dan titik A di atasnya dengan koordinat (1,0). Biarkan setelah beralih ke Berdasarkan definisi tangen dan kotangen, diperoleh ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` dan ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, yang membuktikan rumus reduksi tangen dan kotangen sudut `\frac (\pi)2 + \alpha`. Untuk membuktikan rumus dengan argumen `\frac (\pi)2 - \alpha`, cukup dengan menyatakannya sebagai `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` dan ikuti jalur yang sama seperti di atas. Misalnya, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Sudut `\pi + \alpha` dan `\pi - \alpha` dapat direpresentasikan sebagai `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` dan `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` masing-masing. Dan `\frac (3\pi)2 + \alpha` dan `\frac (3\pi)2 - \alpha` sebagai `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` dan `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Bagaimana tidak menghafal rumus reduksi. Saat menyelesaikan persamaan trigonometri atau melakukan transformasi trigonometri, langkah pertama adalah meminimalkan jumlah argumen fungsi trigonometri yang berbeda. Untuk melakukan ini, Anda perlu membawa semua sudut ke sudut kuartal pertama, menggunakan rumus reduksi. Saya ingin memperkenalkan Anda pada aturan mnemonik yang memungkinkan Anda menghindari menghafal. Aturan ini secara bercanda disebut "Aturan Kuda". Dalam VIDEO TUTORIAL ini saya akan memberi tahu Anda cara menggunakan aturan ini: kurangi fungsi trigonometri sudut sembarang menjadi sudut kuarter pertama, membebaskan diri Anda dari keharusan mengingat rumus reduksi: Jadi, " aturan kuda
" terdengar seperti ini: Jika kita memplot sudut dari sumbu vertikal, kuda berkata “ya” (kita menganggukkan kepala sepanjang sumbu OY) dan fungsi yang dapat direduksi mengubah namanya: sinus ke cosinus, cosinus ke sinus, tangen ke kotangen, kotangen ke tangen.
Jika kita memplot sudut dari sumbu horisontal, kuda berkata “tidak” (kita menganggukkan kepala sepanjang sumbu OX) dan fungsi tereduksi tidak mengubah namanya.
Tanda di sisi kanan persamaan bertepatan dengan tanda fungsi tereduksi di sisi kiri persamaan.
Berikut beberapa contoh penggunaan rumus reduksi: 1
. Temukan arti dari ungkapan: 1. Pilih seluruh bagian dalam pecahan: 2. Karena periode fungsinya sama dengan , mari kita soroti “kecepatan idle”: Sekarang argumen kita berkisar dari nol hingga , dan inilah saatnya menerapkan "aturan kuda": Untuk sampai ke titik yang sesuai dengan sudut rotasi sebesar , pertama-tama kita membuat rotasi sebesar radian, dan kemudian dari titik ini kita memplot sudut radian: 2
. Temukan arti dari ungkapan: Mari kita lihat masing-masing fungsi secara terpisah: Pertama-tama kita memutar sebesar satu radian lalu membuat sudut 1 radian dari sumbu vertikal ke arah negatif dan berakhir di kuarter ketiga:
sudut `\alpha` akan menuju ke titik `A_1(x, y)`, dan setelah memutar sudut `\frac (\pi)2 + \alpha` ke titik `A_2(-y, x)`. Dengan menjatuhkan garis tegak lurus dari titik-titik ini ke garis OX, kita melihat bahwa segitiga `OA_1H_1` dan `OA_2H_2` adalah sama besar, karena sisi miring dan sudut-sudut yang berdekatan sama besar. Kemudian, berdasarkan definisi sinus dan cosinus, kita dapat menulis `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Dimana kita dapat menulis bahwa ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` dan ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, yang membuktikan reduksi rumus sudut sinus dan cosinus `\frac (\pi)2 + \alpha`.
Kami memplot sudut dari sumbu horizontal (kuda berkata "tidak") - ia tidak mengubah namanya, sudutnya terletak di kuartal ketiga, di mana kosinusnya negatif, oleh karena itu fungsi tereduksinya negatif. Kita mendapatkan:
Akibatnya, fungsi yang dapat direduksi berubah namanya, fungsi yang dapat direduksi lebih besar dari nol (garis singgung sudut seperempat ketiga lebih besar dari nol): 
.
Pertama kita berbelok sebesar satu radian, lalu dari titik ini kita bergerak sebesar 1 radian ke arah negatif. Kita sisihkan sudut 1 radian dari sumbu horizontal (sinus tidak mengubah namanya) dan kita mendapati diri kita berada di kuarter kedua, di mana sinusnya lebih besar dari nol: