Persamaan kuadrat - mudah dipecahkan! *Selanjutnya disebut “KU”. Teman-teman, tampaknya tidak ada yang lebih sederhana dalam matematika selain menyelesaikan persamaan seperti itu. Tapi sesuatu memberitahuku bahwa banyak orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tayangan berdasarkan permintaan yang diberikan Yandex per bulan. Inilah yang terjadi, lihat:

Apa artinya? Artinya ada sekitar 70.000 orang per bulan yang melakukan penelusuran informasi ini, apa hubungannya dengan musim panas, dan apa yang akan terjadi selama tahun ajaran - akan ada permintaan dua kali lebih banyak. Hal ini tidak mengherankan, karena para lelaki dan perempuan yang sudah lama lulus sekolah dan sedang mempersiapkan diri untuk Ujian Negara Bersatu mencari informasi ini, dan anak-anak sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.

Terlepas dari kenyataan bahwa ada banyak situs yang memberi tahu Anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk juga berkontribusi dan menerbitkan materinya. Pertama, saya ingin pengunjung datang ke situs saya berdasarkan permintaan ini; kedua, pada artikel lain, ketika topik “KU” muncul, saya akan memberikan link ke artikel ini; ketiga, saya akan memberi tahu Anda lebih banyak tentang solusinya daripada yang biasanya disebutkan di situs lain. Mari kita mulai! Isi artikel:

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:

dimana koefisien a,Bdan c adalah bilangan sembarang, dengan a≠0.

Dalam kursus sekolah, materi diberikan dalam bentuk berikut - persamaan dibagi menjadi tiga kelas:

1. Mereka mempunyai dua akar.

2. *Hanya memiliki satu akar.

3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu dicatat secara khusus di sini bahwa mereka tidak memiliki akar yang nyata

Bagaimana cara menghitung akar? Hanya!

Kami menghitung diskriminannya. Di bawah kata “mengerikan” ini terdapat rumus yang sangat sederhana:

Rumus akarnya adalah sebagai berikut:

*Anda perlu hafal rumus ini.

Anda dapat langsung menuliskan dan menyelesaikannya:

Contoh:

1. Jika D > 0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.

2. Jika D = 0, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaannya:

Oleh pada kesempatan ini, bila diskriminan sama dengan nol, di sekolah dikatakan hasilnya satu akar, ini sama dengan sembilan. Semuanya benar, memang benar, tapi...

Gagasan ini agak salah. Faktanya, ada dua akar. Ya, ya, jangan kaget, Anda mendapatkan dua akar yang sama, dan agar tepat secara matematis, maka jawabannya harus menulis dua akar:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tapi memang begitu - sebuah penyimpangan kecil. Di sekolah Anda dapat menuliskannya dan mengatakan bahwa akarnya hanya satu.

Sekarang contoh berikutnya:

Seperti yang kita ketahui, akar dari angka negatif tidak diekstraksi, jadi solusinya masuk pada kasus ini TIDAK.

Itulah keseluruhan proses pengambilan keputusan.

Fungsi kuadrat.

Ini menunjukkan seperti apa solusinya secara geometris. Hal ini sangat penting untuk dipahami (di masa depan, di salah satu artikel kami akan menganalisis secara rinci solusi pertidaksamaan kuadrat).

Ini adalah fungsi dari formulir:

dimana x dan y adalah variabel

a, b, c – bilangan tertentu, dengan a ≠ 0

Grafiknya adalah parabola:

Artinya, dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan “y” sama dengan nol, kita mencari titik potong parabola dengan sumbu x. Terdapat dua titik (diskriminan positif), satu (diskriminan nol) dan tidak ada (diskriminan negatif). Detail tentang fungsi kuadrat Anda dapat melihat artikel oleh Inna Feldman.

Mari kita lihat contohnya:

Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawaban: x 1 = 8 x 2 = –12

*Dimungkinkan untuk segera pergi dan sisi kanan membagi persamaan dengan 2, yaitu menyederhanakannya. Perhitungannya akan lebih mudah.

Contoh 2: Memutuskan x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami menemukan bahwa x 1 = 11 dan x 2 = 11

Boleh menuliskan x = 11 pada jawaban.

Jawaban: x = 11

Contoh 3: Memutuskan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminannya negatif, tidak ada solusi dalam bilangan real.

Jawaban: tidak ada solusi

Diskriminannya negatif. Ada solusinya!

Di sini kita akan membahas penyelesaian persamaan jika diperoleh diskriminan negatif. Tahukah Anda tentang bilangan kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara rinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apa peran spesifik dan kebutuhan mereka dalam matematika; ini adalah topik untuk artikel terpisah yang besar.

Konsep bilangan kompleks.

Sedikit teori.

Bilangan kompleks z adalah bilangan yang bentuknya

z = a + dua

dimana a dan b adalah bilangan real, i disebut satuan imajiner.

a+bi – ini adalah NOMOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Satuan imajiner sama dengan akar dari minus satu:

Sekarang perhatikan persamaannya:

Kami mendapatkan dua akar konjugasi.

Persamaan kuadrat tidak lengkap.

Mari kita pertimbangkan kasus khusus, yaitu ketika koefisien “b” atau “c” sama dengan nol (atau keduanya sama dengan nol). Masalah-masalah tersebut dapat diselesaikan dengan mudah tanpa adanya diskriminatif.

Kasus 1. Koefisien b = 0.

Persamaannya menjadi:

Mari kita konversi:

Contoh:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Kasus 2. Koefisien c = 0.

Persamaannya menjadi:

Mari kita transformasikan dan faktorkan:

*Perkaliannya sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kasus 3. Koefisien b = 0 dan c = 0.

Di sini jelas bahwa solusi persamaan tersebut akan selalu x = 0.

Sifat dan pola koefisien yang berguna.

Ada properti yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan dengan koefisien besar.

AX 2 + bx+ C=0 kesetaraan berlaku

A + B+ c = 0, Itu

- jika untuk koefisien persamaan AX 2 + bx+ C=0 kesetaraan berlaku

A+ c =B, Itu

Properti ini membantu untuk memutuskan tipe tertentu persamaan

Contoh 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Jumlah peluangnya adalah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 yang artinya

Contoh 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Kesetaraan berlaku A+ c =B, Cara

Keteraturan koefisien.

1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 +1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jika pada persamaan ax 2 – bx + c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 +1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = ax 2 = 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam Persamaan. kapak 2 + bx – c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 – 1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – ax 2 = 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jika pada persamaan ax 2 – bx – c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 – 1), dan koefisien c secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = ax 2 = – 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema Vieta.

Teorema Vieta diambil dari nama ahli matematika Perancis terkenal Francois Vieta. Dengan menggunakan teorema Vieta, kita dapat menyatakan jumlah dan hasil kali akar-akar KU sembarang dalam bentuk koefisiennya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Secara total, angka 14 hanya menghasilkan 5 dan 9. Inilah akar-akarnya. Dengan keterampilan tertentu, dengan menggunakan teorema yang disajikan, Anda dapat menyelesaikan banyak persamaan kuadrat secara lisan dengan segera.

Teorema Vieta, sebagai tambahan. nyaman karena setelah diselesaikan persamaan kuadrat dengan cara biasa(melalui diskriminan) akar yang dihasilkan dapat diperiksa. Saya sarankan melakukan ini selalu.

METODE TRANSPORTASI

Dengan metode ini, koefisien “a” dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” ke sana, oleh karena itu disebut metode "transfer". Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Jika A± b+c≠ 0, maka digunakan teknik transfer, misalnya:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Dengan menggunakan teorema Vieta pada persamaan (2), mudah untuk menentukan bahwa x 1 = 10 x 2 = 1

Akar-akar persamaan yang dihasilkan harus dibagi 2 (karena keduanya “dilempar” dari x 2), kita peroleh

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Apa alasannya? Lihat apa yang terjadi.

Diskriminan persamaan (1) dan (2) adalah sama:

Jika Anda melihat akar-akar persamaan, Anda hanya mendapatkan penyebut yang berbeda, dan hasilnya sangat bergantung pada koefisien x 2:

Yang kedua (dimodifikasi) memiliki akar yang 2 kali lebih besar.

Oleh karena itu, kami membagi hasilnya dengan 2.

*Jika kita memutar ulang ketiganya, kita akan membagi hasilnya dengan 3, dst.

Jawaban: x 1 = 5 x 2 = 0,5

persegi. ur-ie dan Ujian Negara Bersatu.

Saya akan ceritakan secara singkat tentang pentingnya - ANDA HARUS DAPAT MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berpikir panjang, Anda perlu hafal rumus akar dan diskriminan. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas-tugas Ujian Negara Bersatu bermuara pada penyelesaian persamaan kuadrat (termasuk persamaan geometris).

Sesuatu yang perlu diperhatikan!

1. Bentuk penulisan persamaan dapat bersifat “implisit”. Misalnya, entri berikut ini dimungkinkan:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Anda harus membawanya ke tampilan standar(agar tidak bingung saat mengambil keputusan).

2. Ingatlah bahwa x adalah besaran yang tidak diketahui dan dapat dilambangkan dengan huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Diskriminan memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun menggunakan rumus umum, yang memiliki bentuk berikut:

Rumus diskriminan bergantung pada derajat polinomialnya. Rumus di atas cocok untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tipe berikut:

Diskriminan memiliki sifat-sifat berikut yang perlu Anda ketahui:

* "D" adalah 0 ketika polinomial memiliki banyak akar (akar yang sama);

* "D" adalah polinomial simetris terhadap akar-akar polinomial dan oleh karena itu merupakan polinomial dalam koefisiennya; terlebih lagi, koefisien polinomial ini adalah bilangan bulat terlepas dari perluasan akar yang diambil.

Katakanlah kita diberikan persamaan kuadrat dengan bentuk berikut:

1 persamaan

Menurut rumus yang kita miliki:

Karena \, persamaan tersebut mempunyai 2 akar. Mari kita definisikan:

Di mana saya dapat menyelesaikan persamaan menggunakan pemecah online yang diskriminan?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mengetahui cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.

Persamaan kuadrat. Diskriminan. Solusi, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Jenis persamaan kuadrat

Apa itu persamaan kuadrat? Seperti apa bentuknya? Dalam ketentuan persamaan kuadrat kata kuncinya adalah "persegi". Artinya dalam persamaan Perlu harus ada x kuadratnya. Selain itu, persamaan tersebut mungkin (atau mungkin tidak!) hanya berisi X (pangkat satu) dan hanya sebuah angka (anggota gratis). Dan tidak boleh ada X yang pangkatnya lebih besar dari dua.

Dalam istilah matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:

Di Sini a, b dan c- beberapa nomor. b dan c- tentu saja apa saja, tapi A– apa pun selain nol. Misalnya:

Di Sini A =1; B = 3; C = -4

Di Sini A =2; B = -0,5; C = 2,2

Di Sini A =-3; B = 6; C = -18

Nah, Anda mengerti...

Dalam persamaan kuadrat di sebelah kiri ada set lengkap anggota. X dikuadratkan dengan koefisien A, x pangkat pertama dengan koefisien B Dan anggota bebas s.

Persamaan kuadrat seperti ini disebut penuh.

Dan jika B= 0, apa yang kita dapat? Kita punya X akan hilang pada pangkat pertama. Ini terjadi jika dikalikan dengan nol.) Ternyata, misalnya:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dan seterusnya. Dan jika kedua koefisien B Dan C sama dengan nol, maka lebih sederhana lagi:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Persamaan dimana ada sesuatu yang hilang disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Ini cukup logis.) Perlu diketahui bahwa x kuadrat ada di semua persamaan.

Ngomong-ngomong, kenapa A tidak bisa sama dengan nol? Dan Anda malah menggantikannya A nol.) X kuadrat kita akan hilang! Persamaannya akan menjadi linier. Dan solusinya sangat berbeda...

Itu semua jenis utama persamaan kuadrat. Lengkap dan tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat.

Memecahkan persamaan kuadrat lengkap.

Persamaan kuadrat mudah diselesaikan. Sesuai rumus dan aturan yang jelas dan sederhana. Pada tahap pertama itu perlu persamaan yang diberikan mengarah ke bentuk standar, yaitu ke formulir:

Jika persamaan sudah diberikan kepada Anda dalam bentuk ini, Anda tidak perlu melakukan tahap pertama.) Yang utama adalah menentukan semua koefisien dengan benar, A, B Dan C.

Rumus mencari akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut diskriminan. Tapi lebih banyak tentang dia di bawah. Seperti yang Anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. koefisien dari persamaan kuadrat. Ganti saja nilainya dengan hati-hati a, b dan c Kami menghitung ke dalam rumus ini. Mari kita gantikan dengan tandamu sendiri! Misalnya dalam persamaan:

A =1; B = 3; C= -4. Di sini kami menuliskannya:

Contohnya hampir terpecahkan:

Inilah jawabannya.

Semuanya sangat sederhana. Dan menurut Anda tidak mungkin membuat kesalahan? Ya, bagaimana...

Kesalahan paling umum adalah kebingungan dengan nilai-nilai tanda a, b dan c. Atau lebih tepatnya, bukan dengan tanda-tandanya (di mana harus bingung?), tetapi dengan substitusi nilai negatif ke dalam rumus menghitung akar-akarnya. Yang membantu di sini adalah pencatatan rumus secara detail dengan angka-angka tertentu. Jika ada masalah dalam perhitungan, lakukan itu!

Misalkan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di Sini A = -6; B = -5; C = -1

Katakanlah Anda tahu bahwa Anda jarang mendapatkan jawaban untuk pertama kalinya.

Yah, jangan malas. Diperlukan waktu sekitar 30 detik untuk menulis baris tambahan dan jumlah kesalahannya akan menurun tajam. Jadi kami menulis secara detail, dengan semua tanda kurung dan tanda:

Tampaknya sangat sulit untuk menulis dengan hati-hati. Tapi sepertinya hanya itu saja. Cobalah. Ya, atau pilih. Mana yang lebih baik, cepat atau benar? Selain itu, aku akan membuatmu bahagia. Setelah beberapa saat, tidak perlu menuliskan semuanya dengan hati-hati. Ini akan berjalan dengan sendirinya. Apalagi jika Anda menggunakan teknik praktis yang dijelaskan di bawah ini. Contoh jahat dengan banyak kekurangan ini dapat diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesalahan!

Namun seringkali persamaan kuadrat terlihat sedikit berbeda. Misalnya seperti ini:

Apakah Anda mengenalinya?) Ya! Ini persamaan kuadrat tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap.

Mereka juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus umum. Anda hanya perlu memahami dengan benar apa persamaannya di sini. a, b dan c.

Sudahkah Anda menemukan jawabannya? Pada contoh pertama sebuah = 1; b = -4; A C? Itu tidak ada sama sekali! Ya, itu benar. Dalam matematika, ini berarti bahwa c = 0 ! Itu saja. Gantikan nol ke dalam rumus C, dan kita akan berhasil. Sama dengan contoh kedua. Hanya saja kita tidak punya nol di sini Dengan, A B !

Namun persamaan kuadrat tidak lengkap dapat diselesaikan dengan lebih sederhana. Tanpa formula apa pun. Mari kita perhatikan persamaan tidak lengkap pertama. Apa yang bisa kamu lakukan di sisi kiri? Anda dapat mengeluarkan X dari tanda kurung! Mari kita keluarkan.

Dan bagaimana dengan ini? Dan fakta bahwa hasil kali sama dengan nol jika dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol! Tidak percaya padaku? Oke, lalu tentukan dua bilangan bukan nol yang jika dikalikan akan menghasilkan nol!
Tidak bekerja? Itu dia...
Oleh karena itu, kami dengan percaya diri dapat menulis: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semua. Ini akan menjadi akar persamaan kita. Keduanya cocok. Saat mensubstitusikan salah satu persamaan tersebut ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan identitas yang benar 0 = 0. Seperti yang Anda lihat, penyelesaiannya jauh lebih sederhana daripada menggunakan rumus umum. Izinkan saya mencatat, omong-omong, X mana yang akan menjadi yang pertama dan mana yang kedua - sama sekali tidak peduli. Lebih mudah untuk menulis secara berurutan, x 1- apa yang lebih kecil dan x 2- apa yang lebih besar.

Persamaan kedua juga dapat diselesaikan secara sederhana. Pindahkan 9 ke sisi kanan. Kita mendapatkan:

Yang tersisa hanyalah mengekstrak root dari 9, dan selesai. Ternyata:

Juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Beginilah cara menyelesaikan semua persamaan kuadrat tidak lengkap. Entah dengan menempatkan X di luar tanda kurung, atau pemindahan sederhana nomor ke kanan dan kemudian mengekstrak root.
Sangat sulit untuk mengacaukan teknik-teknik ini. Hanya karena dalam kasus pertama Anda harus mengekstrak root X, yang entah bagaimana tidak dapat dipahami, dan dalam kasus kedua tidak ada yang perlu dikeluarkan dari tanda kurung...

Diskriminan. Rumus diskriminan.

Kata ajaib diskriminan ! Jarang ada siswa SMA yang belum mendengar kata ini! Ungkapan “kita memecahkan masalah melalui pihak yang diskriminan” menginspirasi keyakinan dan kepastian. Karena tidak perlu mengharapkan tipu muslihat dari pihak yang diskriminan! Sederhana dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya paling mengingatkan Anda pada hal itu rumus umum untuk solusi setiap persamaan kuadrat:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut diskriminan. Biasanya diskriminan dilambangkan dengan huruf D. Rumus diskriminan:

D = b 2 - 4ac

Dan apa yang luar biasa dari ungkapan ini? Mengapa ia pantas mendapat nama khusus? Apa pengertian diskriminan? Lagipula -B, atau 2a dalam rumus ini mereka tidak secara khusus menyebutnya apa pun… Huruf dan huruf.

Inilah masalahnya. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini, hal itu dimungkinkan hanya tiga kasus.

1. Diskriminannya positif. Ini berarti root dapat diekstraksi darinya. Apakah akarnya diekstraksi dengan baik atau buruk adalah pertanyaan lain. Yang penting adalah apa yang diekstraksi secara prinsip. Maka persamaan kuadrat Anda memiliki dua akar. Dua solusi berbeda.

2. Diskriminannya adalah nol. Maka Anda akan punya satu solusi. Karena penjumlahan atau pengurangan nol pada pembilangnya tidak mengubah apapun. Sebenarnya, ini bukan satu akar, tapi dua identik. Tapi, di versi yang disederhanakan, sudah menjadi kebiasaan untuk dibicarakan satu solusi.

3. Diskriminannya negatif. Akar kuadrat dari suatu bilangan negatif tidak dapat diambil. Baiklah. Artinya tidak ada solusi.

Jujur saja, kapan solusi sederhana persamaan kuadrat, konsep diskriminan tidak terlalu diperlukan. Kami mengganti nilai koefisien ke dalam rumus dan menghitung. Segala sesuatu terjadi di sana dengan sendirinya, dua akar, satu, dan tidak ada satu pun. Namun, ketika menyelesaikan tugas yang lebih kompleks, tanpa sepengetahuan arti dan rumus diskriminan tidak cukup. Terutama pada persamaan dengan parameter. Persamaan tersebut adalah aerobatik untuk Ujian Negara dan Ujian Negara Terpadu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan yang Anda ingat. Atau Anda telah mempelajarinya, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara menentukan dengan benar a, b dan c. Apa kamu tau bagaimana caranya? dengan penuh perhatian substitusikan ke dalam rumus akar dan dengan penuh perhatian hitung hasilnya. Anda memahami bahwa kata kuncinya di sini adalah dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara signifikan mengurangi jumlah kesalahan. Hal yang sama karena kurangnya perhatian... Yang kemudian menjadi menyakitkan dan menyinggung...

Janji pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat dan membawanya ke bentuk standar. Apa artinya ini?
Katakanlah setelah semua transformasi Anda mendapatkan persamaan berikut:

Jangan terburu-buru menulis rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mendapatkan peluang yang tertukar a, b dan c. Buatlah contoh dengan benar. Pertama, X kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu suku bebas. Seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan terburu-buru! Tanda minus di depan tanda X kuadrat benar-benar bisa membuat Anda kesal. Gampang lupa... Singkirkan minusnya. Bagaimana? Ya, seperti yang diajarkan pada topik sebelumnya! Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Namun sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus akar-akarnya, menghitung diskriminannya, dan menyelesaikan penyelesaian contohnya. Putuskan sendiri. Anda sekarang seharusnya memiliki akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Menurut teorema Vieta. Jangan takut, saya akan menjelaskan semuanya! Memeriksa hal terakhir persamaannya. Itu. yang kami gunakan untuk menuliskan rumus akar. Jika (seperti dalam contoh ini) koefisien sebuah = 1, pengecekan rootnya mudah. Cukup dengan memperbanyaknya. Hasilnya harus menjadi anggota gratis, mis. dalam kasus kami -2. Harap diperhatikan, bukan 2, tapi -2! Anggota gratis dengan tandamu . Jika tidak berhasil, berarti mereka telah melakukan kesalahan di suatu tempat. Cari kesalahannya.

Jika berhasil, Anda perlu menambahkan akarnya. Pemeriksaan terakhir dan terakhir. Koefisiennya seharusnya B Dengan di depan akrab. Dalam kasus kita -1+2 = +1. Sebuah koefisien B, yang sebelum X, sama dengan -1. Jadi semuanya benar!
Sayangnya hal ini sangat sederhana hanya untuk contoh di mana x kuadrat murni, dengan koefisien sebuah = 1. Tapi setidaknya periksa persamaan seperti itu! Kesalahan akan semakin sedikit.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan Anda memiliki koefisien pecahan, hilangkan pecahan tersebut! Kalikan persamaan dengan penyebut yang sama seperti yang dijelaskan dalam pelajaran "Bagaimana menyelesaikan persamaan? Transformasi identitas". Saat bekerja dengan pecahan, kesalahan terus terjadi karena alasan tertentu...

Ngomong-ngomong, saya berjanji untuk menyederhanakan contoh jahat dengan banyak kekurangan. Silakan! Ini dia.

Agar tidak bingung dengan minusnya, kita kalikan persamaannya dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu saja! Menyelesaikannya adalah suatu kesenangan!

Jadi, mari kita rangkum topiknya.

Saran praktis:

1. Sebelum menyelesaikannya, kita membawa persamaan kuadrat ke bentuk standar dan membangunnya Benar.

2. Jika ada koefisien negatif di depan X kuadrat, kita hilangkan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan -1.

3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahan tersebut dengan mengalikan seluruh persamaan dengan faktor yang bersesuaian.

4. Jika x kuadrat murni, maka koefisiennya sama dengan satu, solusinya dapat dengan mudah diverifikasi menggunakan teorema Vieta. Lakukan!

Sekarang kita bisa memutuskan.)

Selesaikan persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawaban (berantakan):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - nomor berapa pun

x 1 = -3
x 2 = 3

tidak ada solusi

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Apakah semuanya cocok? Besar! Persamaan kuadrat bukanlah kesukaan Anda sakit kepala. Tiga yang pertama berhasil, tetapi sisanya tidak? Maka masalahnya bukan pada persamaan kuadrat. Masalahnya ada pada transformasi persamaan yang identik. Coba lihat linknya, sangat membantu.

Tidak cukup berhasil? Atau tidak berhasil sama sekali? Kemudian Bagian 555 akan membantu Anda Semua contoh ini dirinci di sana. Ditampilkan utama kesalahan dalam penyelesaiannya. Tentu saja, kita juga membicarakan penggunaan transformasi identik dalam menyelesaikan berbagai persamaan. Sangat membantu!

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Kami terus mempelajari topik “ menyelesaikan persamaan" Kita telah mengenal persamaan linear dan melanjutkan ke pengenalannya persamaan kuadrat.

Pertama kita akan melihat apa itu persamaan kuadrat dan cara penulisannya pandangan umum, dan berikan definisi terkait. Setelah ini, kita akan menggunakan contoh untuk memeriksa secara rinci bagaimana persamaan kuadrat tidak lengkap diselesaikan. Mari beralih ke solusinya persamaan lengkap, kita akan mendapatkan rumus akar, mengenal diskriminan persamaan kuadrat, dan mempertimbangkan solusi dari contoh-contoh tipikal. Terakhir, mari kita telusuri hubungan antara akar dan koefisien.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan kuadrat? Tipe mereka

Pertama, Anda perlu memahami dengan jelas apa itu persamaan kuadrat. Oleh karena itu, logis jika kita memulai pembicaraan tentang persamaan kuadrat dengan pengertian persamaan kuadrat, serta definisi-definisi yang terkait. Setelah ini, Anda dapat mempertimbangkan jenis utama persamaan kuadrat: persamaan tereduksi dan tidak tereduksi, serta persamaan lengkap dan tidak lengkap.

Pengertian dan contoh persamaan kuadrat

Definisi.

Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk a x 2 +b x+c=0, di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan, dan a bukan nol.

Katakanlah segera persamaan kuadrat sering disebut persamaan derajat kedua. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar tingkat dua.

Definisi yang disebutkan memungkinkan kita untuk memberikan contoh persamaan kuadrat. Jadi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, dst. Ini adalah persamaan kuadrat.

Definisi.

Angka a, b dan c disebut koefisien persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0, dan koefisien a disebut koefisien pertama, atau tertinggi, atau koefisien x 2, b adalah koefisien kedua, atau koefisien x, dan c adalah suku bebas .

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat berbentuk 5 x 2 −2 x −3=0, di sini koefisien utamanya adalah 5, koefisien kedua sama dengan −2, dan suku bebasnya sama dengan −3. Perhatikan bahwa jika koefisien b dan/atau c negatif, seperti pada contoh yang baru saja diberikan, maka bentuk pendek menulis persamaan kuadrat berbentuk 5 x 2 −2 x−3=0, dan bukan 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Perlu dicatat bahwa jika koefisien a dan/atau b sama dengan 1 atau −1, maka koefisien tersebut biasanya tidak secara eksplisit terdapat dalam persamaan kuadrat, karena kekhasan penulisannya. Misalnya, dalam persamaan kuadrat y 2 −y+3=0 koefisien utamanya adalah satu, dan koefisien y sama dengan −1.

Persamaan kuadrat tereduksi dan tidak tereduksi

Tergantung pada nilai koefisien terdepan, persamaan kuadrat tereduksi dan tidak tereduksi dibedakan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan kuadrat yang koefisien utamanya adalah 1 disebut persamaan kuadrat yang diberikan. Kalau tidak, persamaan kuadratnya adalah tidak tersentuh.

Berdasarkan definisi ini, persamaan kuadrat x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, dst. – diberikan, di masing-masing koefisien pertama sama dengan satu. A 5 x 2 −x−1=0, dst. - persamaan kuadrat tak tereduksi, koefisien utamanya berbeda dari 1.

Dari persamaan kuadrat tak tereduksi, dengan membagi kedua ruas dengan koefisien utama, Anda dapat beralih ke persamaan tereduksi. Tindakan ini merupakan transformasi ekuivalen, yaitu persamaan kuadrat tereduksi yang diperoleh dengan cara ini mempunyai akar-akar yang sama dengan persamaan kuadrat asli yang tidak tereduksi, atau seperti persamaan tersebut, tidak mempunyai akar-akar.

Mari kita lihat contoh bagaimana transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan kuadrat tereduksi dilakukan.

Contoh.

Dari persamaan 3 x 2 +12 x−7=0, lanjutkan ke persamaan kuadrat tereduksi yang bersangkutan.

Larutan.

Kita hanya perlu membagi kedua ruas persamaan awal dengan koefisien utama 3, yang bukan nol, sehingga kita dapat melakukan tindakan ini. Kita punya (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, yang sama, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, lalu (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, dari mana . Ini adalah bagaimana kami memperoleh persamaan kuadrat tereduksi, yang setara dengan persamaan aslinya.

Menjawab:

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Pengertian persamaan kuadrat mengandung syarat a≠0. Kondisi ini diperlukan agar persamaan a x 2 + b x + c = 0 bersifat kuadrat, karena jika a = 0 maka persamaan tersebut menjadi persamaan linier berbentuk b x + c = 0.

Adapun koefisien b dan c bisa sama dengan nol, baik secara sendiri-sendiri maupun bersama-sama. Dalam kasus ini, persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi.

Persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0 disebut tidak lengkap, jika paling sedikit salah satu koefisien b, c sama dengan nol.

Pada gilirannya

Definisi.

Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan yang semua koefisiennya berbeda dari nol.

Nama-nama seperti itu tidak diberikan secara kebetulan. Hal ini akan menjadi jelas dari diskusi berikut.

Jika koefisien b sama dengan nol, maka persamaan kuadratnya berbentuk a·x 2 +0·x+c=0, dan ekuivalen dengan persamaan a·x 2 +c=0. Jika c=0, yaitu persamaan kuadrat berbentuk a·x 2 +b·x+0=0, maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi a·x 2 +b·x=0. Dan dengan b=0 dan c=0 kita mendapatkan persamaan kuadrat a·x 2 =0. Persamaan yang dihasilkan berbeda dari persamaan kuadrat lengkap karena ruas kirinya tidak memuat suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya. Oleh karena itu namanya - persamaan kuadrat tidak lengkap.

Jadi persamaan x 2 +x+1=0 dan −2 x 2 −5 x+0.2=0 adalah contoh persamaan kuadrat lengkap, dan x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap

Dari informasi pada paragraf sebelumnya maka ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

• a·x 2 =0, koefisien b=0 dan c=0 sesuai dengannya;
• a x 2 +c=0 ketika b=0 ;
• dan a·x 2 +b·x=0 ketika c=0.

Mari kita periksa bagaimana persamaan kuadrat tidak lengkap dari masing-masing jenis ini diselesaikan.

sebuah x 2 =0

Mari kita mulai dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap yang koefisien b dan c sama dengan nol, yaitu dengan persamaan bentuk a x 2 =0. Persamaan a·x 2 =0 ekuivalen dengan persamaan x 2 =0, yang diperoleh dari persamaan asli dengan membagi kedua bagian dengan bilangan bukan nol a. Jelasnya, akar persamaan x 2 =0 adalah nol, karena 0 2 =0. Persamaan ini tidak memiliki akar lain, hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa untuk sembarang bilangan bukan nol p pertidaksamaan p 2 >0 berlaku, yang berarti bahwa untuk p≠0 persamaan p 2 =0 tidak pernah tercapai.

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a·x 2 =0 mempunyai akar tunggal x=0.

Sebagai contoh, kami memberikan solusi persamaan kuadrat tidak lengkap −4 x 2 =0. Ini setara dengan persamaan x 2 =0, satu-satunya akarnya adalah x=0, oleh karena itu, persamaan aslinya memiliki satu akar nol.

Solusi singkat dalam hal ini dapat ditulis sebagai berikut:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

ax 2 +c=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan kuadrat tidak lengkap diselesaikan yang koefisien b adalah nol dan c≠0, yaitu persamaan berbentuk ax 2 +c=0. Kita tahu bahwa memindahkan suku dari satu ruas persamaan ke ruas lain yang bertanda berlawanan, serta membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol, akan menghasilkan persamaan ekuivalen. Oleh karena itu, kita dapat melakukan transformasi ekuivalen berikut dari persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 +c=0:

• pindahkan c ke ruas kanan, sehingga diperoleh persamaan a x 2 =−c,
• dan bagi kedua ruasnya dengan a, kita peroleh .

Persamaan yang dihasilkan memungkinkan kita menarik kesimpulan tentang akar-akarnya. Bergantung pada nilai a dan c, nilai ekspresi bisa negatif (misalnya, jika a=1 dan c=2, maka ) atau positif (misalnya, jika a=−2 dan c=6, maka ), tidak sama dengan nol , karena dengan syarat c≠0. Mari kita lihat kasusnya secara terpisah.

Jika , maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar. Pernyataan ini mengikuti fakta bahwa kuadrat suatu bilangan adalah bilangan non-negatif. Oleh karena itu, ketika , maka untuk sembarang bilangan p persamaan tersebut tidak mungkin benar.

Jika , maka situasi dengan akar-akar persamaannya berbeda. Dalam hal ini, jika kita mengingat tentang , maka akar persamaan akan segera menjadi jelas; yaitu bilangan, karena . Mudah untuk ditebak bahwa bilangan tersebut juga merupakan akar persamaan, . Persamaan ini tidak mempunyai akar-akar lain, yang dapat ditunjukkan, misalnya dengan kontradiksi. Ayo lakukan.

Mari kita nyatakan akar-akar persamaan yang baru saja diumumkan sebagai x 1 dan −x 1 . Misalkan persamaan tersebut memiliki satu akar lagi x 2, berbeda dari akar-akar yang ditunjukkan x 1 dan −x 1. Diketahui bahwa mengganti akar-akarnya ke dalam persamaan dan bukan x akan mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan numerik yang benar. Untuk x 1 dan −x 1 kita punya , dan untuk x 2 kita punya . Sifat-sifat persamaan numerik memungkinkan kita melakukan pengurangan suku demi suku dari persamaan numerik yang benar, sehingga mengurangkan bagian persamaan yang bersesuaian menghasilkan x 1 2 −x 2 2 =0. Sifat-sifat operasi bilangan memungkinkan kita menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Kita tahu bahwa hasil kali dua bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satu bilangan tersebut sama dengan nol. Oleh karena itu, dari persamaan yang dihasilkan diperoleh x 1 −x 2 =0 dan/atau x 1 +x 2 =0, yang sama, x 2 =x 1 dan/atau x 2 =−x 1. Jadi kita sampai pada suatu kontradiksi, karena pada awalnya kita mengatakan bahwa akar persamaan x 2 berbeda dengan x 1 dan −x 1. Hal ini membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar selain dan .

Mari kita rangkum informasi dalam paragraf ini. Persamaan kuadrat tidak lengkap ax 2 +c=0 ekuivalen dengan persamaan itu

• tidak mempunyai akar jika ,
• memiliki dua akar dan , jika .

Mari kita perhatikan contoh penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk a·x 2 +c=0.

Mari kita mulai dengan persamaan kuadrat 9 x 2 +7=0. Setelah suku bebas dipindahkan ke ruas kanan persamaan, maka persamaan tersebut akan berbentuk 9 x 2 =−7. Membagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan 9, kita mendapatkan . Karena ruas kanannya mempunyai bilangan negatif, maka persamaan ini tidak mempunyai akar, sehingga persamaan kuadrat tidak lengkap asli 9 x 2 +7 = 0 tidak mempunyai akar.

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap lainnya −x 2 +9=0. Kita pindahkan sembilan ke sisi kanan: −x 2 =−9. Sekarang kita membagi kedua ruas dengan −1, kita mendapatkan x 2 =9. Di sisi kanan adalah nomor positif, dari situ kita menyimpulkan bahwa atau . Kemudian kita tuliskan jawaban akhirnya: persamaan kuadrat tidak lengkap −x 2 +9=0 memiliki dua akar x=3 atau x=−3.

a x 2 +b x=0

Masih membahas penyelesaian jenis persamaan kuadrat tidak lengkap yang terakhir untuk c=0. Persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk a x 2 + b x = 0 memungkinkan Anda menyelesaikannya metode faktorisasi. Jelasnya, kita bisa, terletak di sisi kiri persamaan, yang cukup dengan mengeluarkan faktor persekutuan x dari tanda kurung. Hal ini memungkinkan kita untuk berpindah dari persamaan kuadrat tidak lengkap awal ke persamaan ekuivalen dalam bentuk x·(a·x+b)=0. Dan persamaan ini ekuivalen dengan himpunan dua persamaan x=0 dan a·x+b=0, persamaan terakhir adalah linier dan mempunyai akar x=−b/a.

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a·x 2 +b·x=0 memiliki dua akar x=0 dan x=−b/a.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis solusi menggunakan contoh spesifik.

Contoh.

Selesaikan persamaannya.

Larutan.

Mengambil x dari tanda kurung menghasilkan persamaan. Ini setara dengan dua persamaan x=0 dan . Kami menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan: , dan melakukan pembagian nomor campuran pada pecahan biasa, kami menemukan. Oleh karena itu, akar-akar persamaan aslinya adalah x=0 dan .

Setelah mendapatkan latihan yang diperlukan, solusi persamaan tersebut dapat ditulis secara singkat:

Menjawab:

x=0 , .

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, ada rumus akar. Mari kita tuliskan rumus akar-akar persamaan kuadrat: , Di mana D=b 2 −4 a c- yang disebut diskriminan persamaan kuadrat. Entri tersebut pada dasarnya berarti bahwa.

Penting untuk mengetahui bagaimana rumus akar diturunkan dan bagaimana rumus tersebut digunakan dalam mencari akar persamaan kuadrat. Mari kita cari tahu.

Penurunan rumus akar-akar persamaan kuadrat

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0. Mari lakukan beberapa transformasi yang setara:

• Kita dapat membagi kedua ruas persamaan ini dengan bilangan bukan nol a, sehingga menghasilkan persamaan kuadrat berikut.
• Sekarang pilih kotak lengkap di sisi kirinya: . Setelah itu, persamaannya akan berbentuk .
• Pada tahap ini, dua suku terakhir dapat dipindahkan ke ruas kanan dengan tanda kebalikannya, yang kita miliki.
• Dan mari kita ubah juga ekspresi di sisi kanan: .

Hasilnya, kita mendapatkan persamaan yang ekuivalen dengan persamaan kuadrat awal a·x 2 +b·x+c=0.

Kita telah menyelesaikan persamaan yang bentuknya serupa di paragraf sebelumnya, ketika kita memeriksanya. Hal ini memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan berikut mengenai akar persamaan:

• jika , maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi real;
• jika , maka persamaannya berbentuk , oleh karena itu, , yang akarnya hanya terlihat;
• jika , maka atau , yang sama dengan atau , yaitu persamaan mempunyai dua akar.

Jadi, ada tidaknya akar-akar persamaan, dan oleh karena itu persamaan kuadrat aslinya, bergantung pada tanda ekspresi di ruas kanan. Pada gilirannya, tanda dari ekspresi ini ditentukan oleh tanda pembilangnya, karena penyebut 4·a 2 selalu positif, yaitu dengan tanda dari ekspresi b 2 −4·a·c. Ekspresi b 2 −4 a c ini disebut diskriminan persamaan kuadrat dan ditunjuk dengan surat itu D. Oleh karena itu esensi diskriminan menjadi jelas - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka menyimpulkan apakah persamaan kuadrat memiliki akar real, dan jika ya, berapa bilangannya - satu atau dua.

Mari kembali ke persamaan dan menulis ulang menggunakan notasi diskriminan: . Dan kami menarik kesimpulan:

• jika D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jika D=0, maka persamaan ini mempunyai akar tunggal;
• akhirnya, jika D>0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar atau, yang dapat ditulis ulang menjadi atau, dan setelah memperluas dan membawa pecahan ke penyebut yang sama kita peroleh.

Jadi kita mendapatkan rumus akar-akar persamaan kuadrat, bentuknya seperti , dimana diskriminan D dihitung dengan rumus D=b 2 −4·a·c.

Dengan bantuan mereka, dengan diskriminan positif, Anda dapat menghitung kedua akar real persamaan kuadrat. Ketika diskriminan sama dengan nol, kedua rumus memberikan nilai akar yang sama, sesuai dengan solusi unik persamaan kuadrat. Dan dengan diskriminan negatif, ketika mencoba menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, kita dihadapkan pada ekstraksi akar pangkat dua dari angka negatif, yang membawa kita melampaui dan kurikulum sekolah. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real, tetapi mempunyai pasangan konjugat kompleks akar, yang dapat ditemukan menggunakan rumus akar yang sama dengan yang kita peroleh.

Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Dalam praktiknya, saat menyelesaikan persamaan kuadrat, Anda dapat langsung menggunakan rumus akar untuk menghitung nilainya. Tapi ini lebih berkaitan dengan menemukan akar yang kompleks.

Namun, dalam pelajaran aljabar sekolah, kita biasanya tidak berbicara tentang kompleks, tetapi tentang akar real dari persamaan kuadrat. Dalam hal ini, sebaiknya sebelum menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, cari dulu diskriminannya, pastikan non-negatifnya (jika tidak, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar real), dan baru kemudian menghitung nilai akar-akarnya.

Alasan di atas memungkinkan kita untuk menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0, Anda perlu:

• menggunakan rumus diskriminan D=b 2 −4·a·c, hitung nilainya;
• menyimpulkan bahwa suatu persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real jika diskriminannya negatif;
• hitung satu-satunya akar persamaan menggunakan rumus jika D=0;
• temukan dua akar real persamaan kuadrat menggunakan rumus akar jika diskriminannya positif.

Di sini kita hanya mencatat bahwa jika diskriminan sama dengan nol, Anda juga dapat menggunakan rumus; rumus tersebut akan memberikan nilai yang sama dengan .

Anda dapat melanjutkan ke contoh penggunaan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Mari kita pertimbangkan penyelesaian tiga persamaan kuadrat dengan diskriminan positif, negatif, dan nol. Setelah mengetahui solusinya, dengan analogi, persamaan kuadrat lainnya dapat diselesaikan. Mari kita mulai.

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan x 2 +2·x−6=0.

Larutan.

Dalam hal ini, kita memiliki koefisien persamaan kuadrat berikut: a=1, b=2 dan c=−6. Menurut algoritme, pertama-tama Anda harus menghitung diskriminan; untuk melakukan ini, kita substitusikan a, b, dan c yang ditunjukkan ke dalam rumus diskriminan, kita punya D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Karena 28>0, yaitu diskriminan Diatas nol, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real. Mari kita temukan menggunakan rumus akar, kita dapatkan, di sini Anda dapat menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan dengan melakukan memindahkan pengali melampaui tanda akar diikuti dengan pengurangan pecahan:

Menjawab:

Mari beralih ke contoh tipikal berikutnya.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat −4 x 2 +28 x−49=0 .

Larutan.

Kita mulai dengan mencari diskriminannya: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Oleh karena itu, persamaan kuadrat ini mempunyai akar tunggal, yang kita temukan sebagai , yaitu,

Menjawab:

x=3,5.

Masih mempertimbangkan penyelesaian persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif.

Contoh.

Selesaikan persamaan 5·y 2 +6·y+2=0.

Larutan.

Berikut koefisien persamaan kuadratnya: a=5, b=6 dan c=2. Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus diskriminan yang kami miliki D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminannya negatif, oleh karena itu persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real.

Jika Anda perlu menunjukkan akar yang kompleks, lalu kita terapkan rumus terkenal untuk akar-akar persamaan kuadrat, dan lakukan operasi dengan bilangan kompleks:

Menjawab:

tidak ada akar real, akar kompleks adalah: .

Mari kita perhatikan sekali lagi bahwa jika diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah negatif, maka di sekolah biasanya mereka langsung menuliskan jawaban yang menunjukkan bahwa tidak ada akar real, dan akar kompleks tidak ditemukan.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus akar-akar persamaan kuadrat, di mana D=b 2 −4·a·c memungkinkan Anda memperoleh rumus dengan bentuk yang lebih ringkas, memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien genap untuk x (atau cukup dengan a koefisien yang berbentuk 2·n, misalnya, atau 14· ln5=2·7·ln5 ). Ayo keluarkan dia.

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +2 n x+c=0. Mari kita cari akarnya menggunakan rumus yang kita ketahui. Untuk melakukan ini, kami menghitung diskriminannya D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), lalu kita menggunakan rumus root:

Mari kita nyatakan ekspresi n 2 −a c sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Maka rumus akar-akar persamaan kuadrat yang ditinjau dengan koefisien kedua 2 n akan berbentuk , dimana D 1 =n 2 −a·c.

Sangat mudah untuk melihat bahwa D=4·D 1, atau D 1 =D/4. Dengan kata lain, D 1 adalah bagian keempat dari diskriminan. Jelas tanda D 1 sama dengan tanda D . Artinya, tanda D 1 juga merupakan indikator ada tidaknya akar-akar persamaan kuadrat.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2·n, Anda memerlukan

• Hitung D 1 =n 2 −a·c ;
• Jika D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jika D 1 =0, maka hitung satu-satunya akar persamaan menggunakan rumus;
• Jika D 1 >0, carilah dua akar real menggunakan rumus tersebut.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian contoh menggunakan rumus akar yang diperoleh di paragraf ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat 5 x 2 −6 x −32=0 .

Larutan.

Koefisien kedua persamaan ini dapat direpresentasikan sebagai 2·(−3) . Artinya, Anda dapat menulis ulang persamaan kuadrat asli dalam bentuk 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, di sini a=5, n=−3 dan c=−32, dan menghitung bagian keempat dari persamaan kuadrat tersebut diskriminan: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Karena nilainya positif, persamaan tersebut mempunyai dua akar real. Mari kita temukan menggunakan rumus akar yang sesuai:

Perhatikan bahwa rumus biasa untuk akar-akar persamaan kuadrat dapat digunakan, tetapi dalam kasus ini, lebih banyak pekerjaan komputasi yang harus dilakukan.

Menjawab:

Menyederhanakan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang, sebelum mulai menghitung akar-akar persamaan kuadrat menggunakan rumus, tidak ada salahnya untuk bertanya pada diri sendiri: “Apakah bentuk persamaan ini bisa disederhanakan?” Setuju bahwa dalam perhitungan akan lebih mudah menyelesaikan persamaan kuadrat 11 x 2 −4 x−6=0 daripada 1100 x 2 −400 x−600=0.

Biasanya, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dilakukan dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan tertentu. Misalnya, pada paragraf sebelumnya persamaan 1100 x 2 −400 x −600=0 dapat disederhanakan dengan membagi kedua ruasnya dengan 100.

Transformasi serupa dilakukan dengan persamaan kuadrat, yang koefisiennya bukan . Dalam hal ini, kita biasanya membagi kedua ruas persamaan dengan nilai absolut koefisiennya. Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 12 x 2 −42 x+48=0. nilai mutlak koefisiennya: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Membagi kedua ruas persamaan kuadrat asli dengan 6, kita mendapatkan persamaan kuadrat ekuivalen 2 x 2 −7 x+8=0.

Dan mengalikan kedua ruas persamaan kuadrat biasanya dilakukan untuk menghilangkan koefisien pecahan. Dalam hal ini perkalian dilakukan dengan penyebut koefisiennya. Misalnya, jika kedua ruas persamaan kuadrat dikalikan dengan KPK(6, 3, 1)=6, maka persamaan tersebut akan berbentuk x 2 +4·x−18=0 yang lebih sederhana.

Sebagai kesimpulan dari poin ini, kami mencatat bahwa mereka hampir selalu menghilangkan minus pada koefisien tertinggi persamaan kuadrat dengan mengubah tanda semua suku, yang setara dengan mengalikan (atau membagi) kedua ruas dengan −1. Misalnya, biasanya seseorang berpindah dari persamaan kuadrat −2 x 2 −3 x+7=0 ke solusi 2 x 2 +3 x−7=0 .

Hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat

Rumus akar-akar persamaan kuadrat menyatakan akar-akar persamaan melalui koefisiennya. Berdasarkan rumus akar, Anda dapat memperoleh hubungan lain antara akar dan koefisien.

Rumus yang paling terkenal dan dapat diterapkan dari teorema Vieta adalah bentuk dan . Khususnya, untuk persamaan kuadrat tertentu, jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua yang berlawanan tanda, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Misalnya dengan melihat bentuk persamaan kuadrat 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kita dapat langsung mengatakan bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan 7/3, dan hasil kali akar-akarnya adalah 22 /3.

Dengan menggunakan rumus yang sudah tertulis, Anda bisa mendapatkan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, Anda dapat menyatakan jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat melalui koefisiennya: .

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 14.00 Bagian 1. Buku Ajar untuk Siswa lembaga pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya seperti kapak 2 + dx + c = 0. Itu ada artinya a, c Dan Dengan nomor apa pun, dan A tidak sama dengan nol.

Semua persamaan kuadrat terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu:

Persamaan dengan hanya satu akar.
-Persamaan dengan dua akar yang berbeda.
-Persamaan yang tidak memiliki akar sama sekali.

Inilah yang membedakannya persamaan linear yang akarnya selalu sama, dari kuadrat. Untuk memahami berapa banyak akar dalam ekspresi, Anda perlu Diskriminan persamaan kuadrat.

Misalkan persamaan kita ax 2 + dx + c =0. Cara diskriminan persamaan kuadrat -

D = b 2 - 4 ac

Dan ini harus diingat selamanya. Dengan menggunakan persamaan ini kita menentukan jumlah akar persamaan kuadrat. Dan kami melakukannya dengan cara ini:

Ketika D kurang dari nol, tidak ada akar dalam persamaan tersebut.
- Ketika D nol, hanya ada satu akar.
- Jika D lebih besar dari nol, persamaan mempunyai dua akar.
Ingatlah bahwa diskriminan menunjukkan berapa banyak akar persamaan tanpa mengubah tandanya.

Mari kita pertimbangkan untuk kejelasan:

Kita perlu mencari tahu berapa banyak akar persamaan kuadrat tersebut.

1) x 2 - 8x + 12 = 0
2)5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0

Kami memasukkan nilai ke dalam persamaan pertama dan mencari diskriminannya.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Diskriminan mempunyai tanda tambah yang berarti persamaan tersebut mempunyai dua akar.

Kami melakukan hal yang sama dengan persamaan kedua
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Nilainya negatif, artinya tidak ada akar pada persamaan tersebut.

Mari kita kembangkan persamaan berikut dengan analogi.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
sebagai konsekuensinya, kita mempunyai satu akar dalam persamaan tersebut.

Penting bahwa dalam setiap persamaan kita menuliskan koefisiennya. Tentu saja ini bukan proses yang panjang, namun membantu kami agar tidak bingung dan mencegah terjadinya kesalahan. Jika Anda sering menyelesaikan persamaan serupa, Anda akan dapat melakukan perhitungan secara mental dan mengetahui sebelumnya berapa banyak akar persamaan tersebut.

Mari kita lihat contoh lainnya:

1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0

Mari kita paparkan yang pertama
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, yang lebih besar dari nol, artinya dua akar, mari kita turunkan
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

Kami menyusun yang kedua
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, yang lebih besar dari nol dan juga memiliki dua akar. Mari kita tampilkan:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Kami menyusun yang ketiga
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, yang sama dengan nol dan mempunyai satu akar
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Memecahkan persamaan ini tidaklah sulit.

Jika kita diberikan persamaan kuadrat tidak lengkap. Seperti

1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

Persamaan ini berbeda dengan persamaan di atas, karena tidak lengkap, tidak ada nilai ketiga di dalamnya. Namun meskipun demikian, persamaan ini lebih sederhana daripada persamaan kuadrat lengkap dan tidak perlu mencari diskriminan di dalamnya.

Apa yang harus dilakukan ketika Anda sangat membutuhkannya pekerjaan pascasarjana atau esai, tetapi tidak punya waktu untuk menulisnya? Semua ini dan masih banyak lagi dapat dipesan di situs Deeplom.by (http://deeplom.by/) dan dapatkan skor tertinggi.

Kembali