Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul pada akhir tahun 70an, telah menjadi mapan di kalangan matematikawan dan pemrogram sejak pertengahan tahun 80an. Kata fraktal berasal dari bahasa latin fractus yang berarti terdiri dari pecahan-pecahan. Ini diusulkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur yang tidak teratur namun serupa dengan dirinya. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan terbitnya buku Mandelbrot “The Fractal Geometry of Nature” pada tahun 1977. Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Namun hanya di zaman kita yang memungkinkan untuk menggabungkan pekerjaan mereka ke dalam satu sistem.
Peran fraktal dalam grafik komputer saat ini cukup besar. Mereka datang untuk menyelamatkan, misalnya, ketika diperlukan, dengan menggunakan beberapa koefisien, untuk menentukan garis dan permukaan dengan bentuk yang sangat kompleks. Dari sudut pandang grafik komputer, geometri fraktal sangat diperlukan saat menghasilkan awan buatan, gunung, dan permukaan laut. Faktanya, telah ditemukan cara untuk dengan mudah merepresentasikan objek non-Euclidean yang kompleks, yang gambarnya sangat mirip dengan objek alami.
Salah satu sifat utama fraktal adalah kesamaan diri. Dalam kasus yang paling sederhana, sebagian kecil dari suatu fraktal berisi informasi tentang keseluruhan fraktal. Definisi Mandelbrot tentang fraktal adalah: "Fraktal adalah struktur yang terdiri dari bagian-bagian yang dalam arti serupa dengan keseluruhan."

Ada sejumlah besar objek matematika yang disebut fraktal (segitiga Sierpinski, kepingan salju Koch, kurva Peano, himpunan Mandelbrot, dan penarik Lorentz). Fraktal menggambarkan dengan sangat akurat banyak fenomena fisik dan formasi dunia nyata: gunung, awan, aliran turbulen (pusaran), akar, cabang dan daun pohon, pembuluh darah, yang jauh dari sesuai dengan bentuk geometris sederhana. Untuk pertama kalinya, Benoit Mandelbrot berbicara tentang sifat fraktal dunia kita dalam karya penting “Fractal Geometry of Nature”.
Istilah fraktal diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1977 dalam karya fundamentalnya Fractals, Form, Chaos and Dimension. Menurut Mandelbrot, kata fraktal berasal dari kata Latin fractus - pecahan dan frangere - pecah, yang mencerminkan esensi fraktal sebagai himpunan yang “rusak” dan tidak beraturan.

Klasifikasi fraktal.

Untuk menyajikan seluruh variasi fraktal, akan lebih mudah untuk menggunakan klasifikasi yang diterima secara umum. Ada tiga kelas fraktal.

1. Fraktal geometris.

Fraktal di kelas ini adalah yang paling visual. Dalam kasus dua dimensi, mereka diperoleh dengan menggunakan garis putus-putus (atau permukaan dalam kasus tiga dimensi), yang disebut generator. Dalam satu langkah algoritma, setiap segmen yang membentuk polyline diganti dengan generator polyline pada skala yang sesuai. Sebagai hasil dari pengulangan prosedur ini tanpa henti, diperoleh fraktal geometris.

Mari kita perhatikan contoh salah satu objek fraktal ini - kurva triadik Koch.

Konstruksi kurva triadik Koch.

Mari kita ambil ruas lurus yang panjangnya 1. Sebut saja benih. Mari kita bagi benih menjadi tiga bagian yang sama panjang 1/3, buang bagian tengahnya dan ganti dengan garis putus-putus yang terdiri dari dua mata rantai sepanjang 1/3.

Kita akan mendapatkan garis putus-putus yang terdiri dari 4 link dengan panjang total 4/3 - yang disebut generasi pertama.

Untuk beralih ke kurva Koch generasi berikutnya, bagian tengah setiap tautan perlu dibuang dan diganti. Dengan demikian, panjang generasi kedua adalah 16/9, generasi ketiga - 64/27. jika kita melanjutkan proses ini tanpa batas, hasilnya adalah kurva Koch triadik.

Sekarang mari kita perhatikan sifat-sifat kurva triadik Koch dan cari tahu mengapa fraktal disebut “monster”.

Pertama, kurva ini tidak mempunyai panjang – seperti yang telah kita lihat, dengan banyaknya generasi, panjangnya cenderung tak terhingga.

Kedua, tidak mungkin membuat garis singgung kurva ini - setiap titiknya merupakan titik belok yang tidak ada turunannya - kurva ini tidak mulus.

Panjang dan kehalusan adalah sifat dasar kurva, yang dipelajari baik oleh geometri Euclidean maupun geometri Lobachevsky dan Riemann. Metode analisis geometri tradisional ternyata tidak dapat diterapkan pada kurva triadik Koch, sehingga kurva Koch ternyata menjadi monster – “monster” di antara penghuni halus geometri tradisional.

Pembangunan "naga" Harter-Haithaway.

Untuk mendapatkan objek fraktal lain, Anda perlu mengubah aturan konstruksinya. Misalkan elemen pembentuknya adalah dua ruas sama besar yang dihubungkan tegak lurus. Pada generasi ke-nol, segmen satuan kita ganti dengan elemen pembangkit ini sehingga sudutnya berada di atas. Kita dapat mengatakan bahwa dengan penggantian seperti itu terjadi perpindahan pada bagian tengah link. Ketika membangun generasi berikutnya, aturannya diikuti: tautan pertama di sebelah kiri diganti dengan elemen pembentuk sehingga bagian tengah tautan digeser ke kiri arah pergerakan, dan ketika mengganti tautan berikutnya, arah dari perpindahan bagian tengah ruas harus bergantian. Gambar tersebut menunjukkan beberapa generasi pertama dan generasi ke-11 dari kurva yang dibangun berdasarkan prinsip yang dijelaskan di atas. Kurva dengan n cenderung tak terhingga disebut naga Harter-Haithway.
Dalam grafik komputer, penggunaan fraktal geometris diperlukan saat memperoleh gambar pohon dan semak. Fraktal geometris dua dimensi digunakan untuk membuat tekstur tiga dimensi (pola pada permukaan suatu benda).

2.Fraktal aljabar

Ini adalah kelompok fraktal terbesar. Mereka diperoleh dengan menggunakan proses nonlinier dalam ruang berdimensi n. Proses dua dimensi adalah yang paling banyak dipelajari. Ketika menafsirkan proses iteratif nonlinier sebagai sistem dinamis diskrit, terminologi teori sistem ini dapat digunakan: potret fase, proses keadaan tunak, penarik, dll.
Diketahui bahwa sistem dinamis nonlinier mempunyai beberapa keadaan stabil. Keadaan di mana sistem dinamis menemukan dirinya sendiri setelah sejumlah iterasi tertentu bergantung pada keadaan awalnya. Oleh karena itu, setiap keadaan stabil (atau, seperti yang mereka katakan, penarik) memiliki wilayah keadaan awal tertentu, yang darinya sistem tersebut akan masuk ke keadaan akhir yang sedang dipertimbangkan. Dengan demikian, ruang fase sistem dibagi menjadi area tarikan penarik. Jika ruang fasenya dua dimensi, maka warnai daerah tarik-menariknya warna yang berbeda, Anda dapat memperoleh potret fase warna dari sistem ini (proses berulang). Dengan mengubah algoritma pemilihan warna, Anda bisa mendapatkan pola fraktal yang kompleks dengan pola multiwarna yang aneh. Kejutan bagi ahli matematika adalah kemampuan untuk menghasilkan struktur non-trivial yang sangat kompleks menggunakan algoritma primitif.

Mandelbrot siap.

Sebagai contoh, perhatikan himpunan Mandelbrot. Algoritme konstruksinya cukup sederhana dan didasarkan pada ekspresi iteratif sederhana: Z = Z[i] * Z[i] + C, Di mana Zi Dan C- variabel kompleks. Iterasi dilakukan untuk setiap titik awal dari wilayah persegi panjang atau persegi - bagian dari bidang kompleks. Proses berulang berlanjut hingga Z[i] tidak akan melampaui lingkaran berjari-jari 2, yang pusatnya terletak di titik (0,0), (ini berarti penarik sistem dinamis berada di tak terhingga), atau setelah sejumlah iterasi yang cukup besar (misalnya , 200-500) Z[i] akan berkumpul di suatu titik pada lingkaran. Tergantung pada jumlah iterasi selama itu Z[i] tetap berada di dalam lingkaran, Anda dapat mengatur warna titik C(Jika Z[i] tetap berada di dalam lingkaran untuk jumlah iterasi yang cukup besar, proses iterasi berhenti dan titik raster ini dicat hitam).

3. Fraktal stokastik

Kelas fraktal terkenal lainnya adalah fraktal stokastik, yang diperoleh jika beberapa parameternya diubah secara acak dalam proses berulang. Dalam hal ini, objek yang dihasilkan sangat mirip dengan objek alami - pepohonan asimetris, garis pantai terjal, dll. Fraktal stokastik dua dimensi digunakan dalam pemodelan medan dan permukaan laut.
Ada klasifikasi lain dari fraktal, misalnya membagi fraktal menjadi deterministik (aljabar dan geometri) dan non-deterministik (stokastik).

Tentang penggunaan fraktal

Pertama-tama, fraktal adalah bidang seni matematika yang menakjubkan, ketika dengan bantuan rumus dan algoritma paling sederhana, gambar dengan keindahan dan kompleksitas luar biasa diperoleh! Daun, pepohonan, dan bunga sering kali terlihat pada kontur gambar yang dibuat.

Beberapa aplikasi fraktal yang paling kuat terletak pada grafik komputer. Pertama, kompresi gambar fraktal, dan kedua, konstruksi lanskap, pepohonan, tanaman, dan pembuatan tekstur fraktal. Fisika dan mekanika modern baru mulai mempelajari perilaku objek fraktal. Dan tentu saja fraktal digunakan langsung dalam matematika itu sendiri.
Keuntungan dari algoritma kompresi gambar fraktal adalah ukuran file yang dikemas sangat kecil dan waktu pemulihan gambar yang singkat. Gambar yang dikemas fraktal dapat diskalakan tanpa menyebabkan pikselasi. Namun proses kompresinya memakan waktu lama dan terkadang memakan waktu berjam-jam. Algoritme pengemasan fraktal lossy memungkinkan Anda mengatur tingkat kompresi, mirip dengan format jpeg. Algoritme ini didasarkan pada pencarian potongan besar dari suatu gambar yang serupa dengan beberapa potongan kecil. Dan hanya bagian mana yang mirip dengan yang ditulis ke file keluaran. Saat mengompresi, kotak persegi biasanya digunakan (potongan adalah kotak), yang menyebabkan sedikit sudut saat memulihkan gambar; kotak heksagonal tidak memiliki kelemahan ini.
Iterated telah mengembangkan format gambar baru, "Sting", yang menggabungkan kompresi lossless fraktal dan "gelombang" (seperti jpeg). Format baru ini memungkinkan Anda membuat gambar dengan kemungkinan penskalaan berkualitas tinggi berikutnya, dan volume file grafik adalah 15-20% dari volume gambar yang tidak terkompresi.
Kecenderungan fraktal menyerupai gunung, bunga, dan pepohonan dimanfaatkan oleh beberapa editor grafis, misalnya awan fraktal dari 3D studio MAX, pegunungan fraktal di World Builder. Pohon fraktal, gunung, dan seluruh lanskap ditentukan oleh rumus sederhana, mudah diprogram, dan tidak pecah menjadi segitiga dan kubus terpisah saat didekati.
Kita tidak bisa mengabaikan penggunaan fraktal dalam matematika itu sendiri. Dalam teori himpunan, himpunan Cantor membuktikan keberadaan himpunan padat yang tidak ada tempat sempurna; dalam teori ukuran, fungsi afinitas diri “tangga Cantor” adalah contoh yang baik fungsi distribusi ukuran tunggal.
Dalam mekanika dan fisika, fraktal digunakan karena sifat uniknya yang mengulangi garis besar banyak objek alam. Fraktal memungkinkan Anda memperkirakan pohon, permukaan gunung, dan retakan dengan akurasi lebih tinggi dibandingkan perkiraan menggunakan kumpulan segmen atau poligon (dengan jumlah data tersimpan yang sama). Model fraktal, seperti objek alam, memiliki “kekasaran”, dan sifat ini tetap dipertahankan tidak peduli seberapa besar perbesaran model tersebut. Kehadiran ukuran seragam pada fraktal memungkinkan seseorang untuk menerapkan integrasi, teori potensial, dan menggunakannya sebagai pengganti objek standar dalam persamaan yang sudah dipelajari.
Dengan pendekatan fraktal, kekacauan tidak lagi menjadi gangguan biru dan memperoleh struktur yang halus. Ilmu fraktal masih sangat muda dan memiliki masa depan yang cerah. Keindahan fraktal masih jauh dari kata habis dan masih akan memberi kita banyak mahakarya - yang memanjakan mata, dan yang memberikan kenikmatan sejati bagi pikiran.

Tentang membangun fraktal

Metode perkiraan berturut-turut

Melihat gambar ini, tidak sulit untuk memahami bagaimana Anda dapat membangun fraktal yang serupa (dalam hal ini, piramida Sierpinski). Kita perlu mengambil piramida biasa (tetrahedron), lalu memotong bagian tengahnya (oktahedron), sehingga diperoleh empat piramida kecil. Dengan masing-masingnya kami melakukan operasi yang sama, dll. Ini adalah penjelasan yang agak naif namun jelas.

Mari kita pertimbangkan inti dari metode ini dengan lebih ketat. Biarkan ada beberapa sistem IFS, mis. sistem pemetaan kompresi S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (misalnya, untuk piramida kita, pemetaannya berbentuk S i (x)=1/2*x+o i , di mana o i berada simpul tetrahedron, i=1,..,4). Kemudian kita memilih beberapa himpunan kompak A 1 di R n (dalam kasus kita, kita memilih tetrahedron). Dan kita definisikan dengan induksi barisan himpunan A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Diketahui bahwa himpunan A k dengan meningkatnya k mendekati penarik sistem yang diinginkan dengan lebih baik dan lebih baik S.

Perhatikan bahwa setiap iterasi ini merupakan penarik sistem berulang dari fungsi yang diulang(Istilah bahasa Inggris Digraf IFS, RIFS dan juga IFS yang diarahkan pada grafik) dan oleh karena itu mudah dibuat menggunakan program kami.

Metode poin demi poin atau probabilistik

Ini adalah metode termudah untuk diterapkan di komputer. Untuk mempermudah, kami mempertimbangkan kasus himpunan self-affine datar. Jadi ayo

) - beberapa sistem kontraksi affine. Tampilan S

dapat diwakilkan sebagai: S

Memperbaiki ukuran matriks 2x2 dan o

Kolom vektor dua dimensi.

• Mari kita ambil titik tetap dari pemetaan pertama S 1 sebagai titik awal:
  x:= o1;
  Di sini kita memanfaatkan fakta bahwa semua titik tetap kompresi S 1 ,..,S m termasuk dalam fraktal. Anda dapat memilih titik sembarang sebagai titik awal dan urutan titik yang dihasilkannya akan digambar menjadi fraktal, tetapi kemudian beberapa titik tambahan akan muncul di layar.
• Mari tandai titik saat ini x=(x 1 ,x 2) di layar:
  piksel put(x 1 ,x 2 ,15);
• Mari kita pilih secara acak bilangan j dari 1 sampai m dan hitung ulang koordinat titik x:
  j:=Acak(m)+1;
  x:=S j (x);
• Kita lanjutkan ke langkah 2, atau, jika kita telah melakukan iterasi dalam jumlah yang cukup banyak, kita berhenti.

Catatan. Jika rasio kompresi pemetaan S i berbeda, maka fraktal akan terisi titik-titik secara tidak merata. Jika pemetaan S i serupa, hal ini dapat dihindari dengan sedikit mempersulit algoritma. Untuk melakukan ini, pada langkah ke-3 algoritma, bilangan j dari 1 sampai m harus dipilih dengan probabilitas p 1 =r 1 s,..,p m =rm s, di mana r i menunjukkan koefisien kompresi pemetaan Si, dan bilangan s (disebut dimensi kesamaan) ditemukan dari persamaan r 1 s +...+rm s =1. Solusi persamaan ini dapat ditemukan, misalnya dengan metode Newton.

Tentang fraktal dan algoritmanya

Fraktal berasal dari kata sifat Latin "fractus", dan dalam terjemahannya berarti terdiri dari fragmen, dan kata kerja Latin yang sesuai "frangere" berarti memecahkan, yaitu membuat fragmen tidak beraturan. Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul pada akhir tahun 70an, telah menjadi mapan di kalangan matematikawan dan pemrogram sejak pertengahan tahun 80an. Istilah ini diciptakan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur yang tidak teratur namun mirip dengan dirinya. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan terbitnya buku Mandelbrot “The Fractal Geometry of Nature” pada tahun 1977. Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff).

Penyesuaian

Izinkan saya membuat beberapa penyesuaian pada algoritma yang diusulkan dalam buku karya H.-O. Peitgen dan P.H. Richter “The Beauty of Fractals” M. 1993 semata-mata untuk menghilangkan kesalahan ketik dan memfasilitasi pemahaman proses karena setelah mempelajarinya masih banyak yang menjadi misteri bagi saya. Sayangnya, algoritme yang “dapat dimengerti” dan “sederhana” ini menjalani gaya hidup yang sulit.

Konstruksi fraktal didasarkan pada fungsi nonlinier tertentu dari proses kompleks dengan umpan balik z => z 2 +c karena z dan c adalah bilangan kompleks, maka z = x + iy, c = p + iq maka perlu diuraikan menjadi x dan y agar lebih realistis orang biasa pesawat:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
kamu(k+1)=2*x(k)*kamu(k) + q.

Sebuah bidang yang terdiri dari semua pasangan (x,y) dapat dianggap seolah-olah memiliki nilai tetap hal dan q, dan dengan yang dinamis. Dalam kasus pertama, dengan menelusuri semua titik (x, y) pada bidang menurut hukum dan mewarnainya tergantung pada jumlah pengulangan fungsi yang diperlukan untuk keluar dari proses iteratif atau tidak mewarnainya (warna hitam) ketika jika jumlah pengulangan maksimum yang diijinkan terlampaui, kita akan mendapatkan tampilan himpunan Julia. Sebaliknya, jika kita menentukan pasangan nilai awal (x,y) dan menelusuri nasib warnanya dengan nilai parameter p dan q yang berubah secara dinamis, maka kita memperoleh gambar yang disebut himpunan Mandelbrot.

Tentang pertanyaan tentang algoritma untuk mewarnai fraktal.

Biasanya badan suatu himpunan direpresentasikan sebagai bidang hitam, meskipun jelas bahwa warna hitam dapat diganti dengan warna lain, namun ini juga merupakan hasil yang sedikit menarik. Mendapatkan gambar suatu himpunan yang diwarnai dengan semua warna adalah tugas yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan operasi siklik karena jumlah iterasi dari himpunan yang membentuk badan sama dengan jumlah maksimum yang mungkin dan selalu sama. Warnai setnya warna yang berbeda mungkin menggunakan hasil pemeriksaan kondisi untuk keluar dari loop (z_magnitude) atau yang serupa, tetapi dengan operasi matematika lainnya, sebagai nomor warna.

Penerapan "mikroskop fraktal"

untuk mendemonstrasikan fenomena batas.

Penarik adalah pusat yang memimpin perebutan dominasi di bidang tersebut. Batas muncul di antara penarik, mewakili pola kemerahan. Dengan meningkatkan skala pertimbangan dalam batas-batas himpunan, seseorang dapat memperoleh pola-pola non-sepele yang mencerminkan keadaan kekacauan deterministik - sebuah fenomena umum di dunia alami.

Objek-objek yang dipelajari oleh para ahli geografi membentuk suatu sistem dengan batas-batas yang terorganisir dengan sangat kompleks, sehingga identifikasinya bukanlah tugas praktis yang sederhana. Kompleks alam memiliki inti kekhasan yang bertindak sebagai penarik yang kehilangan pengaruhnya terhadap wilayah tersebut seiring dengan menjauhnya wilayah tersebut.

Dengan menggunakan mikroskop fraktal untuk himpunan Mandelbrot dan Julia, seseorang dapat membentuk gagasan tentang proses dan fenomena batas yang sama kompleksnya terlepas dari skala pertimbangannya dan dengan demikian mempersiapkan persepsi spesialis untuk menghadapi objek alam yang dinamis dan tampak kacau. dalam ruang dan waktu, untuk pemahaman tentang sifat geometri fraktal. Warna-warni warna dan musik fraktal pasti akan meninggalkan bekas yang mendalam di benak siswa.

Ribuan publikasi dan sumber daya Internet yang luas dikhususkan untuk fraktal, tetapi bagi banyak spesialis yang jauh dari ilmu komputer, istilah ini tampaknya benar-benar baru. Fraktal, sebagai objek yang diminati oleh para ahli di berbagai bidang ilmu, harus mendapat tempat yang layak dalam mata kuliah ilmu komputer.

Contoh

Kisi-kisi SIEPINSKI

Ini adalah salah satu fraktal yang bereksperimen dengan Mandelbrot ketika mengembangkan konsep dimensi dan iterasi fraktal. Segitiga yang dibentuk dengan menghubungkan titik tengah segitiga yang lebih besar dipotong dari segitiga utama sehingga membentuk segitiga yang lubangnya lebih banyak. Dalam hal ini, pemrakarsanya adalah segitiga besar dan templatnya adalah operasi pemotongan segitiga serupa dengan segitiga yang lebih besar. Anda juga bisa mendapatkan segitiga versi tiga dimensi dengan menggunakan tetrahedron biasa dan memotong tetrahedron kecil. Dimensi fraktal tersebut adalah ln3/ln2 = 1,584962501. Untuk memperoleh Karpet Sierpinski, ambil sebuah persegi, bagi menjadi sembilan kotak, dan gunting bagian tengahnya. Kami akan melakukan hal yang sama dengan kotak lainnya yang lebih kecil. Akhirnya, jaringan fraktal datar terbentuk, tidak memiliki luas tetapi dengan koneksi tak terbatas. Dalam bentuk spasialnya, spons Sierpinski ditransformasikan menjadi sistem bentuk ujung ke ujung, di mana setiap elemen ujung ke ujung terus-menerus digantikan oleh jenisnya sendiri. Struktur ini sangat mirip dengan bagian jaringan tulang. Suatu hari nanti struktur berulang seperti itu akan menjadi elemen struktur bangunan. Statika dan dinamikanya, menurut Mandelbrot, patut dipelajari secara mendalam.

KURVA KOCH

Kurva Koch adalah salah satu fraktal deterministik yang paling umum. Ini ditemukan pada abad kesembilan belas oleh seorang matematikawan Jerman bernama Helge von Koch, yang, ketika mempelajari karya Georg Kontor dan Karl Weierstrasse, menemukan deskripsi beberapa kurva aneh dengan perilaku yang tidak biasa. Inisiatornya adalah garis lurus. Generatornya adalah segitiga sama sisi, yang sisi-sisinya sama dengan sepertiga panjang segmen yang lebih besar. Segitiga ini ditambahkan ke tengah setiap segmen berulang kali. Dalam penelitiannya, Mandelbrot bereksperimen secara ekstensif dengan kurva Koch, dan menghasilkan gambar seperti Pulau Koch, Persilangan Koch, Kepingan Salju Koch, dan bahkan representasi tiga dimensi dari kurva Koch dengan menggunakan tetrahedron dan menambahkan tetrahedron yang lebih kecil pada setiap permukaannya. Kurva Koch berdimensi ln4/ln3 = 1.261859507.

FRAKTAL MANDELBROT

Ini BUKAN himpunan Mandelbrot yang sering Anda lihat. Himpunan Mandelbrot didasarkan pada persamaan nonlinier dan merupakan fraktal kompleks. Ini juga merupakan varian dari kurva Koch, meskipun objek ini tidak serupa. Inisiator dan generatornya juga berbeda dengan yang digunakan untuk membuat fraktal berdasarkan prinsip kurva Koch, namun idenya tetap sama. Alih-alih menggabungkan segitiga sama sisi ke segmen kurva, persegi digabung ke persegi. Karena fraktal ini menempati tepat setengah dari ruang yang dialokasikan pada setiap iterasi, maka fraktal ini memiliki dimensi fraktal sederhana 3/2 = 1,5.

PENTAGON BERANI

Fraktal tampak seperti sekumpulan segi lima yang dirapatkan. Faktanya, ia dibentuk dengan menggunakan segi lima sebagai inisiator dan segitiga sama kaki yang perbandingan sisi besar dan sisi kecilnya sama persis dengan apa yang disebut rasio emas (1,618033989 atau 1/(2cos72)) sebagai generator. . Segitiga-segitiga ini dipotong dari tengah tiap segi lima, sehingga menghasilkan bentuk seperti 5 segi lima kecil yang direkatkan pada satu segi lima besar. Varian fraktal ini dapat diperoleh dengan menggunakan segi enam sebagai inisiator. Fraktal ini disebut Bintang Daud dan sangat mirip dengan Kepingan Salju Koch versi heksagonal. Dimensi fraktal segi lima Darer adalah ln6/ln(1+g), dengan g adalah perbandingan panjang sisi segitiga yang lebih besar dengan panjang sisi yang lebih kecil. Dalam hal ini, g adalah Rasio Emas, sehingga dimensi fraktalnya kira-kira 1,86171596. Dimensi fraktal Bintang Daud ln6/ln3 atau 1.630929754.

Fraktal yang kompleks

Faktanya, jika Anda memperbesar area kecil dari suatu fraktal kompleks dan kemudian melakukan hal yang sama dengan area kecil dari area tersebut, kedua perbesaran tersebut akan berbeda secara signifikan satu sama lain. Kedua gambar tersebut akan sangat mirip secara detail, namun tidak sepenuhnya identik.

Gambar 1. Pendekatan himpunan Mandelbrot

Bandingkan, misalnya, gambar himpunan Mandelbrot yang ditampilkan di sini, yang salah satunya diperoleh dengan memperbesar area tertentu pada gambar lainnya. Seperti yang Anda lihat, keduanya sama sekali tidak identik, meskipun pada keduanya kita melihat lingkaran hitam, dari mana tentakel yang menyala memanjang ke arah yang berbeda. Unsur-unsur ini diulangi tanpa batas waktu dalam himpunan Mandelbrot dengan proporsi yang semakin menurun.

Fraktal deterministik bersifat linier, sedangkan fraktal kompleks tidak. Karena nonlinier, fraktal ini dihasilkan oleh apa yang disebut Mandelbrot sebagai persamaan aljabar nonlinier. Contoh yang baik adalah proses Zn+1=ZnI + C, yang merupakan persamaan yang digunakan untuk membangun himpunan Mandelbrot dan Julia derajat kedua. Menyelesaikan persamaan matematika ini melibatkan bilangan kompleks dan bilangan imajiner. Ketika persamaan tersebut ditafsirkan secara grafis dalam bidang kompleks, hasilnya adalah gambar aneh di mana garis lurus menjadi kurva dan efek kesamaan diri muncul, meskipun bukan tanpa deformasi, pada berbagai tingkat skala. Pada saat yang sama, keseluruhan gambaran secara keseluruhan tidak dapat diprediksi dan sangat kacau.

Seperti yang Anda lihat dari gambar, fraktal kompleks memang sangat kompleks dan tidak dapat dibuat tanpa bantuan komputer. Untuk memperoleh hasil yang berwarna, komputer ini harus memiliki koprosesor matematis yang kuat dan monitor resolusi tinggi. Berbeda dengan fraktal deterministik, fraktal kompleks tidak dihitung dalam 5-10 iterasi. Hampir setiap titik di layar komputer seperti fraktal yang terpisah. Selama pemrosesan matematis, setiap titik diperlakukan sebagai gambar terpisah. Setiap poin sesuai dengan nilai tertentu. Persamaan dibangun untuk setiap titik dan dilakukan, misalnya, 1000 iterasi. Untuk mendapatkan gambar yang relatif tidak terdistorsi dalam jangka waktu yang dapat diterima untuk komputer rumahan, dimungkinkan untuk melakukan 250 iterasi untuk satu titik.

Sebagian besar fraktal yang kita lihat saat ini memiliki warna yang indah. Mungkin gambar fraktal mendapatkan makna estetika yang begitu besar justru karena skema warnanya. Setelah persamaan dihitung, komputer menganalisis hasilnya. Jika hasilnya tetap stabil, atau berfluktuasi di sekitar nilai tertentu, titik biasanya berubah menjadi hitam. Jika nilai pada satu langkah atau lainnya cenderung tak terhingga, titik tersebut dicat dengan warna berbeda, mungkin biru atau merah. Selama proses ini, komputer memberikan warna pada semua kecepatan gerakan.

Biasanya titik yang bergerak cepat diberi warna merah, sedangkan titik yang bergerak lambat diberi warna kuning, dan seterusnya. Bintik hitam mungkin yang paling stabil.

Fraktal kompleks berbeda dari fraktal deterministik dalam arti bahwa fraktal tersebut sangat kompleks, namun masih dapat dihasilkan dengan rumus yang sangat sederhana. Fraktal deterministik tidak memerlukan rumus atau persamaan. Ambil saja beberapa kertas gambar dan Anda dapat membuat saringan Sierpinski hingga 3 atau 4 iterasi tanpa kesulitan apa pun. Coba ini dengan banyak Julia! Lebih mudah mengukur panjang garis pantai Inggris!

SET MANDELBROT

Gambar 2. Himpunan Mandelbrot

Himpunan Mandelbrot dan Julia mungkin adalah dua himpunan fraktal kompleks yang paling umum. Mereka dapat ditemukan di banyak jurnal ilmiah, sampul buku, kartu pos, dan screen saver komputer. Himpunan Mandelbrot, yang dibuat oleh Benoit Mandelbrot, mungkin merupakan asosiasi pertama yang dimiliki orang ketika mendengar kata fraktal. Fraktal ini, yang menyerupai mesin carding dengan area berbentuk pohon menyala dan melingkar di atasnya, dihasilkan oleh rumus sederhana Zn+1=Zna+C, di mana Z dan C adalah bilangan kompleks dan a adalah bilangan positif.

Himpunan Mandelbrot yang paling sering terlihat adalah himpunan Mandelbrot derajat 2, yaitu a = 2. Fakta bahwa himpunan Mandelbrot bukan hanya Zn+1=ZnІ+C, tetapi juga fraktal, yang eksponen rumusnya bisa berapa saja nomor positif telah menyesatkan banyak orang. Di halaman ini Anda melihat contoh himpunan Mandelbrot arti yang berbeda indikator a.
Gambar 3. Kemunculan gelembung pada a=3.5

Proses Z=Z*tg(Z+C) juga populer. Dengan memasukkan fungsi tangen, diperoleh himpunan Mandelbrot yang dikelilingi luas menyerupai apel. Saat menggunakan fungsi kosinus, efek gelembung udara diperoleh. Singkatnya, ada banyak sekali cara untuk mengkonfigurasi set Mandelbrot untuk menghasilkan gambar indah yang berbeda.

BANYAK JULIA

Anehnya, himpunan Julia terbentuk menurut rumus yang sama dengan himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia ditemukan oleh ahli matematika Perancis Gaston Julia, yang kemudian diberi nama himpunan tersebut. Pertanyaan pertama yang muncul setelah pengenalan visual dengan himpunan Mandelbrot dan Julia adalah “jika kedua fraktal dihasilkan menurut rumus yang sama, mengapa keduanya begitu berbeda?” Pertama lihat gambar set Julia. Cukup aneh, tapi mereka ada jenis yang berbeda Julia siap. Saat menggambar fraktal menggunakan titik awal yang berbeda (untuk memulai proses iterasi), gambar berbeda akan dihasilkan. Ini hanya berlaku untuk set Julia.

Gambar 4. Set Julia

Meskipun tidak terlihat dalam gambar, fraktal Mandelbrot sebenarnya adalah banyak fraktal Julia yang dihubungkan bersama. Setiap titik (atau koordinat) dari himpunan Mandelbrot berhubungan dengan fraktal Julia. Himpunan Julia dapat dihasilkan dengan menggunakan titik-titik ini sebagai nilai awal dalam persamaan Z=ZI+C. Namun ini tidak berarti jika Anda memilih suatu titik pada fraktal Mandelbrot dan memperbesarnya, Anda bisa mendapatkan fraktal Julia. Kedua poin ini identik, tetapi hanya dalam pengertian matematis. Jika Anda mengambil titik ini dan menghitungnya menggunakan rumus ini, Anda bisa mendapatkan fraktal Julia yang sesuai dengan titik tertentu dari fraktal Mandelbrot.

Kekacauan adalah keteraturan yang perlu diuraikan.

Jose Saramago, "Si Ganda"

“Untuk generasi mendatang, abad ke-20 hanya akan dikenang karena terciptanya teori relativitas, mekanika kuantum, dan kekacauan... teori relativitas menghilangkan ilusi Newton tentang ruang-waktu absolut, mekanika kuantum menghilangkan impian akan ruang-waktu absolut. determinisme peristiwa fisik, dan, akhirnya, kekacauan membantah fantasi Laplace tentang penentuan awal perkembangan sistem." Kata-kata sejarawan Amerika terkenal dan pemopuler ilmu pengetahuan James Gleick ini mencerminkan betapa pentingnya masalah ini, yang hanya dibahas secara singkat dalam artikel yang menarik perhatian pembaca. Dunia kita muncul dari kekacauan. Namun, jika kekacauan tidak mematuhi hukumnya sendiri, jika tidak ada logika khusus di dalamnya, maka tidak akan mampu menghasilkan apa pun.

Yang baru adalah yang lama yang terlupakan

Izinkan saya mengutip satu lagi dari Gleick:

Pemikiran tentang kesamaan internal, bahwa hal yang besar dapat melekat pada hal yang kecil, sudah lama ada jiwa manusia... Menurut Leibniz, setetes air berisi seluruh dunia penuh warna, tempat percikan air berkilauan dan alam semesta tak dikenal lainnya hidup. “Melihat dunia dalam sekejap,” seru Blake, dan beberapa ilmuwan mencoba mengikuti perintahnya. Para peneliti pertama tentang cairan mani cenderung melihat di dalam setiap sperma sejenis homunculus, yaitu manusia yang kecil namun sudah terbentuk sempurna.

Retrospeksi pandangan-pandangan seperti itu dapat dimasukkan lebih jauh ke dalam sejarah. Salah satu prinsip dasar sihir - suatu tahap integral dalam perkembangan masyarakat mana pun - adalah postulat: suatu bagian serupa dengan keseluruhan. Hal itu diwujudkan dalam tindakan seperti mengubur tengkorak binatang sebagai pengganti seluruh hewan, membuat model kereta sebagai ganti kereta itu sendiri, dll. Dengan melestarikan tengkorak leluhur, kerabat percaya bahwa ia terus tinggal di sebelah mereka. dan mengambil bagian dalam urusan mereka.

Bahkan filsuf Yunani kuno Anaxagoras menganggap elemen utama alam semesta sebagai partikel yang mirip dengan partikel lain dari keseluruhan dan keseluruhan itu sendiri, “tak terbatas baik dalam jumlah maupun kecilnya”. Aristoteles mencirikan unsur Anaxagoras dengan kata sifat “mirip bagian”.

Dan ahli cybernetic Amerika kontemporer kita Ron Eglash, yang menjelajahi budaya suku-suku Afrika dan Indian Amerika Selatan, membuat penemuan: sejak zaman kuno, beberapa dari mereka telah menggunakan prinsip konstruksi fraktal dalam ornamen, pola yang diterapkan pada pakaian dan barang-barang rumah tangga, dalam perhiasan. , upacara ritual, dan bahkan dalam arsitektur. Jadi, struktur desa beberapa suku Afrika adalah sebuah lingkaran yang di dalamnya terdapat lingkaran-lingkaran kecil - rumah, di dalamnya terdapat lingkaran yang lebih kecil lagi - rumah roh. Bagi suku-suku lain, alih-alih lingkaran, figur-figur lain berfungsi sebagai elemen arsitektur, tetapi figur-figur lain juga diulangi pada skala yang berbeda, di bawah satu struktur. Selain itu, prinsip-prinsip konstruksi ini bukanlah tiruan sederhana dari alam, tetapi sejalan dengan pandangan dunia dan organisasi sosial yang ada.

Peradaban kita tampaknya telah bergerak jauh dari keberadaan primitif. Namun, kita terus hidup di dunia yang sama; kita masih dikelilingi oleh alam, hidup sesuai dengan hukumnya sendiri, meskipun manusia berupaya untuk menyesuaikannya dengan kebutuhan kita. Dan manusia itu sendiri (jangan lupakan hal ini) tetap menjadi bagian dari alam ini.

Gert Eilenberger, seorang fisikawan Jerman yang mulai mempelajari nonlinier, pernah berkata:

Mengapa siluet pohon gundul yang membungkuk di bawah tekanan angin badai dengan latar belakang langit musim dingin yang suram dianggap indah, tetapi garis besar bangunan multifungsi modern, terlepas dari semua upaya arsiteknya, tidak tampak begitu indah. semua? Tampak bagi saya bahwa... rasa keindahan kita “dipicu” oleh kombinasi harmonis antara keteraturan dan ketidakteraturan, yang dapat diamati dalam fenomena alam: awan, pepohonan, pegunungan, atau kristal kepingan salju. Semua kontur tersebut adalah proses dinamis yang dibekukan bentuk fisik, dan kombinasi stabilitas dan kekacauan merupakan ciri khas mereka.

Tentang asal mula teori chaos

Apa yang kami maksud dengan kekacauan? Ketidakmampuan untuk memprediksi perilaku sistem, lompatan acak ke berbagai arah yang tidak akan pernah berubah menjadi urutan yang teratur.

Peneliti kekacauan pertama adalah ahli matematika, fisikawan, dan filsuf Perancis Henri Poincaré. Kembali ke akhir abad ke-19. Saat mempelajari perilaku sistem dengan tiga benda yang berinteraksi secara gravitasi, ia memperhatikan bahwa mungkin ada orbit non-periodik yang terus-menerus tidak menjauh atau mendekati titik tertentu.

Metode geometri tradisional, yang banyak digunakan dalam ilmu alam, didasarkan pada perkiraan struktur objek yang diteliti dengan bangun-bangun geometris, misalnya garis, bidang, bola, yang dimensi metrik dan topologinya sama satu sama lain. Dalam kebanyakan kasus, sifat-sifat objek yang diteliti dan interaksinya dengan lingkungan dijelaskan oleh karakteristik termodinamika integral, yang menyebabkan hilangnya sebagian besar informasi tentang sistem dan penggantiannya dengan model yang kurang lebih memadai. Seringkali, penyederhanaan seperti itu sepenuhnya dibenarkan, namun ada banyak situasi di mana penggunaan model topologi yang tidak memadai tidak dapat diterima. Contoh ketidaksesuaian tersebut diberikan dalam tesis kandidatnya (sekarang Doktor Ilmu Kimia) oleh Vladimir Konstantinovich Ivanov: hal ini terdeteksi ketika mengukur luas permukaan padatan yang berkembang (misalnya berpori) menggunakan penyerapan metode yang mencatat isoterm adsorpsi. Ternyata ukuran luas tidak bergantung pada ukuran linier molekul yang “mengukur” secara kuadrat, seperti yang diharapkan dari pertimbangan geometris paling sederhana, tetapi dengan eksponen, terkadang sangat mendekati tiga.

Prakiraan cuaca adalah salah satu masalah yang dihadapi umat manusia sejak zaman kuno. Ada lelucon terkenal tentang topik ini, di mana ramalan cuaca ditransmisikan sepanjang rantai dari dukun - ke penggembala rusa, lalu ke ahli geologi, lalu ke editor program radio, dan akhirnya lingkaran ditutup, karena ternyata dukun mengetahui ramalan cuaca dari radio. Deskripsi sistem yang kompleks seperti cuaca, dengan banyak variabel, tidak dapat direduksi menjadi model sederhana. Masalah ini mengawali penggunaan komputer untuk memodelkan sistem dinamis nonlinier. Salah satu pendiri teori chaos, ahli meteorologi dan matematikawan Amerika Edward Norton Lorenz mengabdikan bertahun-tahun pada masalah prakiraan cuaca. Kembali ke tahun 60an abad yang lalu, ketika mencoba memahami alasan tidak dapat diandalkannya prakiraan cuaca, ia menunjukkan bahwa keadaan sistem dinamis yang kompleks dapat sangat bergantung pada kondisi awal: Sedikit perubahan pada salah satu dari banyak parameter dapat mengubah hasil yang diharapkan secara drastis. Lorenz menyebut ketergantungan ini sebagai efek kupu-kupu: “Kepakan sayap ngengat di Beijing saat ini dapat menyebabkan badai di New York dalam waktu satu bulan.” Karyanya mengenai sirkulasi umum atmosfer membuatnya terkenal. Mempelajari sistem persamaan dengan tiga variabel yang menggambarkan proses, Lorenz secara grafis menampilkan hasil analisisnya: garis-garis grafik mewakili koordinat titik-titik yang ditentukan oleh solusi dalam ruang variabel-variabel tersebut (Gbr. 1). Heliks ganda yang dihasilkan disebut Penarik Lorentz(atau “penarik aneh”), tampak seperti sesuatu yang membingungkan tanpa henti, tetapi selalu berada dalam batas-batas tertentu dan tidak pernah terulang kembali. Pergerakan penarik bersifat abstrak (variabelnya dapat berupa kecepatan, massa jenis, suhu, dll.), namun tetap menyampaikan ciri-ciri fenomena fisik nyata, seperti pergerakan kincir air, konveksi dalam putaran tertutup, radiasi dari suatu benda. laser mode tunggal, osilasi harmonik disipatif (parameternya berperan sebagai variabel yang sesuai).

Dari ribuan publikasi yang menjadi literatur khusus mengenai masalah chaos, hampir tidak ada satu pun yang dikutip lebih sering daripada makalah Lorentz tahun 1963 yang berjudul “Deterministic Non-Periodic Flow”. Meskipun pemodelan komputer telah mengubah prakiraan cuaca dari “seni menjadi sains” pada saat penelitian ini dilakukan, prakiraan jangka panjang masih belum dapat diandalkan dan tidak dapat diandalkan. Alasannya adalah efek kupu-kupu yang sama.

Pada tahun 60an yang sama, ahli matematika Stephen Smail dari Universitas California mengumpulkan di Berkeley kelompok penelitian dari orang-orang muda yang berpikiran sama. Dia sebelumnya dianugerahi Fields Medal atas penelitiannya yang luar biasa di bidang topologi. Smale mempelajari sistem dinamis, khususnya osilator chaos nonlinier. Untuk mereproduksi semua ketidakteraturan osilator van der Pol dalam ruang fase, ia menciptakan struktur yang dikenal sebagai “tapal kuda” - sebuah contoh sistem dinamik yang memiliki dinamika kacau.

“Horseshoe” (Gbr. 2) adalah gambaran yang tepat dan terlihat dari ketergantungan yang kuat pada kondisi awal: Anda tidak akan pernah menebak di mana titik awalnya setelah beberapa iterasi. Contoh ini adalah pendorong penemuan “Diffeomorphisms Anosov” oleh ahli matematika Rusia, spesialis teori sistem dinamik dan persamaan diferensial, geometri diferensial dan topologi, Dmitry Viktorovich Anosov. Belakangan, dari kedua karya tersebut tumbuh teori sistem dinamik hiperbolik. Butuh waktu satu dekade sebelum karya Smale menarik perhatian disiplin ilmu lain. “Ketika hal ini benar-benar terjadi, fisikawan menyadari bahwa Smail telah mengubah seluruh cabang matematika untuk menghadapi dunia nyata.”

Pada tahun 1972, ahli matematika Universitas Maryland James York membaca makalah Lorentz yang disebutkan di atas dan dia terkejut. York melihat model fisik yang hidup dalam artikel tersebut dan menganggapnya sebagai tugas sucinya untuk menyampaikan kepada fisikawan apa yang belum pernah mereka lihat dalam karya Lorentz dan Smail. Dia meneruskan salinan artikel Lorenz ke Smail. Dia kagum saat mengetahui bahwa seorang ahli meteorologi tak dikenal (Lorentz) sepuluh tahun sebelumnya telah menemukan kelainan yang dia sendiri pernah anggap luar biasa secara matematis, dan mengirimkan salinannya ke semua rekannya.

Ahli biologi Robert May, teman York, sedang mempelajari perubahan populasi hewan. May mengikuti jejak Pierre Verchlust, yang pada tahun 1845 menarik perhatian pada perubahan jumlah hewan yang tidak dapat diprediksi dan sampai pada kesimpulan bahwa laju pertumbuhan populasi bukanlah nilai yang konstan. Dengan kata lain, prosesnya menjadi nonlinier. May mencoba menangkap apa yang terjadi pada suatu populasi ketika fluktuasi koefisien pertumbuhan mendekati titik kritis tertentu (titik bifurkasi). Dengan memvariasikan nilai parameter nonlinier ini, ia menemukan bahwa perubahan mendasar mungkin terjadi pada inti sistem: peningkatan parameter berarti peningkatan derajat nonlinier, yang, pada gilirannya, tidak hanya mengubah nilai kuantitatif. , tetapi juga karakteristik kualitatif dari hasilnya. Operasi semacam itu mempengaruhi nilai akhir dari jumlah populasi yang berada dalam keseimbangan dan kemampuannya untuk mencapai keseimbangan tersebut secara umum. Pada kondisi tertentu periodisitas memberi jalan pada kekacauan, fluktuasi yang tidak pernah mereda.

York secara matematis menganalisis fenomena yang dijelaskan dalam karyanya, membuktikan bahwa dalam sistem satu dimensi apa pun hal berikut terjadi: jika siklus teratur muncul dengan tiga gelombang (naik dan turunnya nilai parameter apa pun dengan lancar), maka di masa depan sistem akan mulai menunjukkan betapa teraturnya siklus dengan durasi lain, dan benar-benar kacau. (Ternyata beberapa tahun setelah publikasi artikel di konferensi internasional di Berlin Timur, matematikawan Soviet (Ukraina) Alexander Nikolaevich Sharkovsky agak mendahului York dalam penelitiannya). York menulis artikel untuk publikasi ilmiah terkenal American Mathematical Monthly. Namun, York mencapai lebih dari sekedar hasil matematis: ia menunjukkan kepada fisikawan bahwa kekacauan ada di mana-mana, stabil, dan terstruktur. Dia memberikan alasan untuk percaya bahwa sistem yang kompleks, yang secara tradisional digambarkan dengan persamaan diferensial yang sulit dipecahkan, dapat direpresentasikan menggunakan grafik visual.

May mencoba menarik perhatian para ahli biologi pada fakta bahwa populasi hewan mengalami lebih dari sekedar siklus yang teratur. Dalam perjalanan menuju kekacauan, terjadilah serangkaian penggandaan periode. Pada titik percabangan itulah sedikit peningkatan kesuburan individu dapat menyebabkan, misalnya, penggantian siklus empat tahun populasi ngengat gipsi dengan siklus delapan tahun. Mitchell Feigenbaum dari Amerika memutuskan untuk memulai dengan menghitung nilai pasti dari parameter yang menyebabkan perubahan tersebut. Perhitungannya menunjukkan bahwa tidak peduli berapa populasi awalnya, populasi tersebut masih terus mendekati penariknya. Kemudian, dengan penggandaan periode pertama, penarik, seperti sel pemisah, bercabang dua. Kemudian terjadi penggandaan periode berikutnya, dan setiap titik penarik mulai membelah lagi. Angka tersebut - sebuah invarian yang diperoleh Feigenbaum - memungkinkan dia untuk memprediksi dengan tepat kapan hal ini akan terjadi. Ilmuwan menemukan bahwa dia dapat memprediksi efek ini untuk penarik paling kompleks - pada dua, empat, delapan titik... Berbicara dalam bahasa ekologi, dia dapat memprediksi jumlah aktual yang dicapai populasi selama fluktuasi tahunan. Jadi Feigenbaum menemukan “periode penggandaan kaskade” pada tahun 1976, berdasarkan karya May dan penelitiannya tentang turbulensi. Teorinya mencerminkan hukum alam yang berlaku pada semua sistem yang mengalami transisi dari keadaan teratur ke keadaan kacau. York, May dan Feigenbaum adalah orang pertama di Barat yang sepenuhnya memahami pentingnya penggandaan periode dan mampu menyampaikan gagasan ini kepada seluruh komunitas ilmiah. May menyatakan bahwa kekacauan harus diajarkan.

Para matematikawan dan fisikawan Soviet maju dalam penelitian mereka secara independen dari rekan-rekan asing mereka. Studi tentang kekacauan dimulai dengan karya A. N. Kolmogorov di tahun 50-an. Namun gagasan rekan-rekan asing tidak luput dari perhatian. Pelopor teori chaos dianggap sebagai ahli matematika Soviet Andrei Nikolaevich Kolmogorov dan Vladimir Igorevich Arnold dan ahli matematika Jerman Jurgen Moser, yang membangun teori chaos yang disebut KAM (teori Kolmogorov-Arnold-Moser). Rekan senegara kita yang luar biasa lainnya, fisikawan dan matematikawan brilian Yakov Grigorievich Sinai, menerapkan pertimbangan yang mirip dengan “tapal kuda kecil” dalam termodinamika. Segera setelah fisikawan Barat mengenal karya Lorentz pada tahun 70an, karya tersebut menjadi terkenal di Uni Soviet. Pada tahun 1975, ketika York dan May masih melakukan upaya besar untuk mendapatkan perhatian rekan-rekan mereka, Sinai dan rekan-rekannya mengorganisir kelompok penelitian di Gorky untuk mempelajari masalah ini.

Pada abad terakhir, ketika spesialisasi sempit dan pemisahan antara berbagai disiplin ilmu menjadi norma dalam sains, matematikawan, fisikawan, biologi, kimia, fisiologi, dan ekonom berjuang mengatasi masalah serupa tanpa mendengarkan satu sama lain. Ide-ide yang memerlukan perubahan pandangan dunia yang biasa selalu sulit menemukan jalannya. Namun lambat laun menjadi jelas bahwa hal-hal seperti perubahan populasi hewan, fluktuasi harga pasar, perubahan cuaca, distribusi benda langit berdasarkan ukuran, dan masih banyak lagi, mempunyai pola yang sama. “Kesadaran akan fakta ini memaksa para manajer untuk mempertimbangkan kembali sikap mereka terhadap asuransi, para astronom untuk melihat tata surya dari sudut yang berbeda, dan para politisi untuk mengubah pendapat mereka tentang penyebab konflik bersenjata.”

Pada pertengahan tahun 80an, situasinya telah banyak berubah. Ide-ide geometri fraktal menyatukan para ilmuwan yang bingung dengan pengamatan mereka sendiri dan tidak tahu bagaimana menafsirkannya. Bagi peneliti kekacauan, matematika menjadi ilmu eksperimental, dan komputer menggantikan laboratorium. Gambar grafis telah menjadi sangat penting. Ilmu pengetahuan baru memberi dunia bahasa khusus, konsep baru: potret fase, penarik, bifurkasi, bagian ruang fase, fraktal...

Benoit Mandelbrot, dengan mengandalkan ide dan karya para pendahulu dan orang sezamannya, menunjukkan bahwa proses kompleks seperti pertumbuhan pohon, pembentukan awan, variasi karakteristik ekonomi atau besarnya populasi hewan diatur oleh hukum alam yang pada dasarnya serupa. Ini adalah pola-pola tertentu yang menjadi dasar kehidupan kekacauan. Dari sudut pandang pengorganisasian diri secara alami, mereka jauh lebih sederhana daripada bentuk-bentuk buatan yang akrab bagi masyarakat beradab. Mereka hanya dapat dianggap kompleks dalam konteks geometri Euclidean, karena fraktal ditentukan dengan menentukan suatu algoritma, dan oleh karena itu dapat dijelaskan dengan menggunakan sedikit informasi.

Geometri fraktal alam

Mari kita coba mencari tahu apa itu fraktal dan apa yang dimakannya. Dan Anda sebenarnya bisa memakannya, seperti ciri khas yang terlihat di foto.

Kata fraktal berasal dari bahasa Latin fraktus - hancur, pecah, pecah berkeping-keping. Fraktal adalah himpunan matematika yang memiliki sifat kesamaan diri, yaitu invarian skala.

Istilah "fraktal" diciptakan oleh Mandelbrot pada tahun 1975 dan mendapatkan popularitas luas dengan diterbitkannya bukunya tahun 1977 The Fractal Geometry of Nature. “Beri monster itu nama yang nyaman dan sederhana, dan Anda akan terkejut betapa mudahnya menjinakkannya!” - kata Mandelbrot. Keinginan untuk mendekatkan dan memahami objek-objek yang diteliti (himpunan matematika) menyebabkan lahirnya istilah-istilah matematika baru, seperti debu, Pondok keju, serum, dengan jelas menunjukkan hubungan mendalamnya dengan proses alam.

Konsep matematika fraktal mengidentifikasi objek yang memiliki struktur berbagai skala, baik besar maupun kecil, dan dengan demikian mencerminkan prinsip organisasi hierarki. Tentu saja, cabang-cabang pohon yang berbeda, misalnya, tidak dapat disejajarkan secara persis satu sama lain, namun cabang-cabang tersebut dapat dianggap serupa secara statistik. Demikian pula, bentuk awan, garis pegunungan, garis pantai laut, pola api, sistem pembuluh darah, jurang, kilat, jika dilihat dari skala berbeda, terlihat serupa. Meskipun idealisasi ini mungkin merupakan penyederhanaan realitas, idealisasi ini secara signifikan meningkatkan kedalaman deskripsi matematis tentang alam.

Mandelbrot memperkenalkan konsep “fraktal alami” untuk menunjukkan struktur alami yang dapat dideskripsikan menggunakan himpunan fraktal. Benda-benda alam ini termasuk unsur kebetulan. Teori yang diciptakan oleh Mandelbrot memungkinkan untuk menggambarkan secara kuantitatif dan kualitatif semua bentuk yang sebelumnya disebut kusut, bergelombang, kasar, dll.

Proses dinamis yang dibahas di atas, yang disebut proses umpan balik, muncul dalam berbagai masalah fisika dan matematika. Mereka semua memiliki satu kesamaan - persaingan antara beberapa pusat (disebut “penarik”) untuk mendapatkan dominasi di bidang tersebut. Keadaan sistem setelah sejumlah iterasi tertentu bergantung pada “tempat awalnya”. Oleh karena itu, setiap penarik berhubungan dengan wilayah keadaan awal tertentu, yang darinya sistem akan masuk ke keadaan akhir yang sedang dipertimbangkan. Dengan demikian, ruang fase sistem (ruang abstrak parameter yang terkait dengan sistem dinamis tertentu, titik-titik yang secara unik mencirikan semua kemungkinan keadaannya) dibagi menjadi area atraksi penarik. Ada semacam kembalinya dinamika Aristoteles, yang menyatakan bahwa setiap tubuh cenderung pada tempatnya yang telah ditentukan. Batasan sederhana antara “wilayah yang bersebelahan” jarang muncul akibat persaingan seperti itu. Di wilayah perbatasan inilah terjadi peralihan dari satu bentuk eksistensi ke bentuk eksistensi lainnya: dari keteraturan menuju kekacauan. Bentuk umum persamaan hukum dinamis sangat sederhana: x n+1 → f x n C . Seluruh kesulitannya terletak pada hubungan nonlinier antara nilai awal dan hasilnya. Jika Anda memulai proses iteratif dari tipe yang ditunjukkan dari beberapa nilai arbitrer \(x_0\), maka hasilnya akan menjadi barisan \(x_1\), \(x_2\), ..., yang akan menyatu ke suatu batasan nilai \(X\) , berjuang untuk keadaan istirahat, ia akan sampai pada siklus nilai tertentu yang akan berulang lagi dan lagi, atau ia akan berperilaku tidak menentu dan tidak dapat diprediksi sepanjang waktu. Proses inilah yang dipelajari oleh matematikawan Perancis Gaston Julia dan Pierre Fateau selama Perang Dunia Pertama.

Mempelajari himpunan yang mereka temukan, Mandelbrot pada tahun 1979 menggambarkan sebuah gambar pada bidang kompleks, yang, seperti akan terlihat jelas berikut ini, semacam daftar isi untuk seluruh kelas bentuk yang disebut himpunan Julia. Himpunan Julia adalah himpunan titik-titik yang timbul sebagai hasil iterasi transformasi kuadrat: x n → x n−1 2 + C, yang dinamika di sekitarnya tidak stabil terhadap gangguan kecil pada posisi awal. Setiap nilai \(x\) yang berurutan diperoleh dari nilai sebelumnya; bilangan kompleks \(C\) disebut parameter kontrol. Perilaku barisan angka bergantung pada parameter \(C\) dan titik awal \(x_0\). Jika kita memperbaiki \(C\) dan mengubah \(x_0\) pada bidang bilangan kompleks, kita mendapatkan himpunan Julia. Jika kita memperbaiki \(x_0\) = 0 dan mengubah \(C\), kita memperoleh himpunan Mandelbrot (\(M\)). Ini memberitahu kita set Julia seperti apa yang kita harapkan untuk pilihan \(C\) tertentu. Setiap bilangan kompleks \(C\) termasuk dalam wilayah \(M\) (hitam pada Gambar 3) atau tidak. \(C\) termasuk dalam \(M\) jika dan hanya jika “titik kritis” \(x_0\) = 0 tidak cenderung tak terhingga. Himpunan \(M\) terdiri dari semua titik \(C\) yang berasosiasi dengan himpunan Julia yang terhubung, tetapi jika sebuah titik \(C\) terletak di luar himpunan \(M\), maka himpunan Julia yang berasosiasi dengannya adalah terputus. Batas himpunan \(M\) menentukan momen transisi fase matematika untuk himpunan Julia x n → x n−1 2 + C . Ketika parameter \(C\) keluar dari \(M\), kumpulan Julia kehilangan konektivitasnya, secara kiasan, meledak dan berubah menjadi debu. Lompatan kualitatif yang terjadi pada batas \(M\) juga berdampak pada wilayah yang berdekatan dengan batas tersebut. Struktur dinamis kompleks dari wilayah batas dapat kira-kira ditunjukkan dengan mengecat (secara kondisional) dalam warna berbeda zona-zona dengan waktu yang sama “melarikan diri hingga tak terhingga dari titik awal \(x_0\) = 0”. Nilai \(C\) (satu bayangan) yang titik kritisnya memerlukan sejumlah iterasi tertentu berada di luar lingkaran jari-jari \(N\) mengisi celah antara dua garis. Saat kita mendekati batas \(M\), jumlah iterasi yang diperlukan meningkat. Intinya semakin terpaksa menyusuri jalan berkelok-kelok di dekat lokasi syuting Julia. Himpunan Mandelbrot melambangkan proses transisi dari keteraturan ke kekacauan.

Menarik untuk menelusuri jalan yang diambil Mandelbrot hingga penemuannya. Benoit lahir di Warsawa pada tahun 1924, pada tahun 1936 keluarganya beremigrasi ke Paris. Setelah lulus dari Ecole Polytechnique dan kemudian Universitas di Paris, Mandelbrot pindah ke Amerika Serikat, di mana ia juga belajar di California Institute of Technology. Pada tahun 1958, dia bekerja di pusat penelitian IBM di Yorktown. Meskipun kegiatan perusahaannya murni terapan, posisinya memungkinkan dia untuk melakukan penelitian di berbagai bidang. Bekerja di bidang ekonomi, spesialis muda ini mulai mempelajari statistik harga kapas dalam jangka waktu yang lama (lebih dari 100 tahun). Menganalisis simetri fluktuasi harga jangka panjang dan jangka pendek, ia memperhatikan bahwa fluktuasi pada siang hari tampak acak dan tidak dapat diprediksi, namun urutan perubahan tersebut tidak bergantung pada skala. Untuk mengatasi masalah ini, ia pertama kali menggunakan pengembangan teori fraktal masa depan dan tampilan grafis dari proses yang dipelajari.

Tertarik pada berbagai bidang ilmu pengetahuan, Mandelbrot beralih ke linguistik matematika, kemudian giliran teori permainan. Dia juga mengusulkan pendekatannya sendiri terhadap perekonomian, dengan menunjukkan keteraturan skala penyebaran kota-kota kecil dan besar. Saat mempelajari karya ilmuwan Inggris Lewis Richardson yang kurang dikenal, yang diterbitkan setelah kematian penulisnya, Mandelbrot menemukan fenomena garis pantai. Dalam artikel "Berapa panjang garis pantai Inggris?" dia mengeksplorasi secara rinci pertanyaan ini, yang hanya terpikirkan oleh sedikit orang sebelumnya, dan sampai pada kesimpulan yang tidak terduga: panjang garis pantai adalah... tak terhingga! Semakin akurat Anda mencoba mengukurnya, semakin besar nilainya!

Untuk menggambarkan fenomena tersebut, Mandelbrot mengemukakan gagasan tentang dimensi. Dimensi fraktal suatu benda berfungsi sebagai ciri kuantitatif dari salah satu cirinya, yaitu pengisian ruang.

Definisi konsep dimensi fraktal berawal dari karya Felix Hausdorff yang diterbitkan pada tahun 1919, dan akhirnya dirumuskan oleh Abram Samoilovich Besikovich. Dimensi fraktal adalah ukuran detail, retakan, dan ketidakrataan suatu objek fraktal. Dalam ruang Euclidean, dimensi topologi selalu ditentukan oleh bilangan bulat (dimensi titik 0, garis 1, bidang 2, benda volumetrik 3). Jika kita menelusuri, misalnya, proyeksi ke bidang gerak sebuah partikel Brown, yang tampaknya terdiri dari segmen-segmen lurus, yaitu berdimensi 1, maka akan segera terlihat bahwa jejaknya memenuhi hampir seluruh bidang. Tetapi dimensi bidangnya adalah 2. Perbedaan antara besaran-besaran ini memberi kita hak untuk mengklasifikasikan “kurva” ini sebagai fraktal, dan menyebut dimensi perantara (fraksional) sebagai fraktal. Jika kita mempertimbangkan gerakan kacau partikel dalam volume, dimensi fraktal lintasannya akan lebih besar dari 2, tetapi kurang dari 3. Arteri manusia, misalnya, memiliki dimensi fraktal sekitar 2,7. Hasil Ivanov yang disebutkan di awal artikel terkait pengukuran luas pori silika gel, yang tidak dapat ditafsirkan dalam kerangka konsep Euclidean konvensional, menemukan penjelasan yang masuk akal ketika menggunakan teori fraktal.

Jadi, dari sudut pandang matematika, fraktal adalah himpunan yang dimensi Hausdorff-Besicovichnya lebih besar daripada dimensi topologinya dan dapat berupa (dan paling sering) pecahan.

Perlu ditekankan secara khusus bahwa dimensi fraktal suatu benda tidak menggambarkan bentuknya, dan benda-benda yang mempunyai dimensi yang sama, tetapi dihasilkan oleh mekanisme pembentukan yang berbeda, seringkali sangat berbeda satu sama lain. Fraktal fisik agak mirip secara statistik.

Pengukuran pecahan memungkinkan penghitungan karakteristik yang tidak dapat ditentukan dengan jelas: derajat ketidakrataan, diskontinuitas, kekasaran atau ketidakstabilan suatu benda. Misalnya, garis pantai yang berkelok-kelok, meski panjangnya tak terukur, memiliki kekasaran yang unik. Mandelbrot menunjukkan cara menghitung pengukuran pecahan objek dalam realitas sekitarnya. Dalam menciptakan geometrinya, ia mengemukakan hukum tentang bentuk-bentuk tak beraturan yang terjadi di alam. Hukum tersebut menyatakan: derajat ketidakstabilan adalah konstan pada skala yang berbeda.

Jenis fraktal khusus adalah fraktal waktu. Pada tahun 1962, Mandelbrot dihadapkan pada tugas menghilangkan kebisingan di saluran telepon yang menyebabkan masalah pada modem komputer. Kualitas transmisi sinyal tergantung pada kemungkinan terjadinya kesalahan. Para insinyur berjuang dengan masalah pengurangan kebisingan, menghasilkan teknik yang membingungkan dan mahal, namun tidak mendapatkan hasil yang mengesankan. Berdasarkan karya pendiri teori himpunan, Georg Cantor, Mandelbrot menunjukkan bahwa munculnya kebisingan - produk dari kekacauan - pada prinsipnya tidak dapat dihindari, oleh karena itu metode yang diusulkan untuk mengatasinya tidak akan membuahkan hasil. Untuk mencari pola terjadinya kebisingan, ia menerima "Debu Cantor" - rangkaian peristiwa fraktal. Menariknya, sebaran bintang di Galaksi mengikuti pola yang sama:

“Materi”, yang terdistribusi secara merata di sepanjang inisiator (satu segmen sumbu waktu), terkena pusaran sentrifugal, yang “menyapu” hingga sepertiga interval terjauh... Mengental dapat disebut rangkaian keadaan tidak stabil apa pun, yang pada akhirnya menyebabkan penebalan materi, dan istilahnya Pondok keju dapat menentukan volume di mana karakteristik fisik tertentu menjadi - sebagai akibat dari penggumpalan - menjadi sangat terkonsentrasi.

Fenomena kacau seperti turbulensi atmosfer, mobilitas kerak, dll., menunjukkan perilaku serupa pada skala waktu berbeda, seperti halnya objek invarian skala menunjukkan pola struktural serupa pada skala spasial berbeda.

Sebagai contoh, kami akan memberikan beberapa situasi umum di mana berguna untuk menggunakan gagasan tentang struktur fraktal. Profesor Universitas Columbia Christopher Scholz mengkhususkan diri dalam mempelajari bentuk dan struktur materi padat bumi dan mempelajari gempa bumi. Pada tahun 1978, dia membaca buku Mandelbrot Fraktal: Bentuk, Keacakan dan Dimensi » dan mencoba menerapkan teori tersebut pada deskripsi, klasifikasi dan pengukuran objek geofisika. Scholz menemukan bahwa geometri fraktal memberikan ilmu pengetahuan metode yang efektif deskripsi lanskap kental tertentu di Bumi. Dimensi fraktal lanskap planet ini membuka pintu untuk memahami karakteristik terpentingnya. Ahli metalurgi telah menemukan hal yang sama pada skala yang berbeda - pada permukaan berbagai jenis baja. Secara khusus, dimensi fraktal permukaan logam sering kali memungkinkan seseorang menilai kekuatannya. Sejumlah besar objek fraktal menghasilkan fenomena kristalisasi. Jenis fraktal paling umum yang muncul selama pertumbuhan kristal adalah dendrit; mereka tersebar luas di alam hidup. Kumpulan nanopartikel sering menunjukkan penerapan "debu Lewy". Ansambel ini, dalam kombinasi dengan pelarut yang diserap, berpotensi membentuk benda padat transparan - gelas Levy bahan penting fotonik

Karena fraktal tidak diekspresikan dalam bentuk geometris primer, tetapi dalam algoritma, kumpulan prosedur matematika, jelas bahwa bidang matematika ini mulai berkembang dengan pesat seiring dengan munculnya dan perkembangan komputer yang kuat. Kekacauan, pada gilirannya, memunculkan teknologi komputer baru, teknologi grafis khusus yang mampu mereproduksi struktur menakjubkan dengan kompleksitas luar biasa yang dihasilkan oleh jenis gangguan tertentu. Di era Internet dan komputer pribadi, apa yang cukup sulit pada masa Mandelbrot kini menjadi mudah diakses oleh siapa saja. Namun hal terpenting dalam teorinya tentu saja bukanlah penciptaan gambar yang indah, melainkan kesimpulan bahwa peralatan matematika ini cocok untuk menggambarkan fenomena dan proses alam kompleks yang sebelumnya tidak pernah dipertimbangkan dalam sains sama sekali. Repertoar elemen algoritmik tidak ada habisnya.

Setelah Anda menguasai bahasa fraktal, Anda dapat mendeskripsikan bentuk awan sejelas dan sesederhana seorang arsitek mendeskripsikan sebuah bangunan menggunakan gambar yang menggunakan bahasa geometri tradisional.<...>Hanya beberapa dekade telah berlalu sejak Benoit Mandelbrot menyatakan: “Geometri alam adalah fraktal!” Saat ini kita sudah dapat berasumsi lebih banyak lagi, yaitu bahwa fraktalitas adalah prinsip utama konstruksi semua objek alam tanpa kecuali.

Sebagai penutup, izinkan saya menyampaikan kepada Anda serangkaian foto yang mengilustrasikan kesimpulan ini, dan fraktal yang dibuat menggunakan program komputer Penjelajah Fraktal. Artikel kami berikutnya akan membahas masalah penggunaan fraktal dalam fisika kristal.

Posting Naskah

Dari tahun 1994 hingga 2013, sebuah karya unik ilmuwan dalam negeri, “Atlas Variasi Temporal dalam Proses Antropogenik dan Sosial Alami,” diterbitkan dalam lima volume - sumber bahan yang tak tertandingi yang mencakup data pemantauan ruang, biosfer, litosfer, atmosfer, hidrosfer , bidang sosial dan teknogenik serta bidang yang berkaitan dengan kesehatan manusia dan kualitas hidup. Teks tersebut memberikan rincian data dan hasil pengolahannya, serta membandingkan ciri-ciri dinamika deret waktu dan fragmennya. Penyajian hasil yang terpadu memungkinkan diperolehnya hasil yang sebanding untuk mengidentifikasi ciri-ciri umum dan individual dari dinamika proses dan hubungan sebab-akibat di antara keduanya. Materi percobaan menunjukkan bahwa proses-proses di berbagai area, pertama, serupa, dan kedua, kurang lebih berhubungan satu sama lain.

Jadi, atlas tersebut merangkum hasil penelitian interdisipliner dan disajikan analisis perbandingan data yang benar-benar berbeda dalam rentang waktu dan ruang yang luas. Buku tersebut menunjukkan bahwa “proses yang terjadi di bumi disebabkan oleh sejumlah besar faktor yang saling berinteraksi, yang di wilayah berbeda (dan pada waktu berbeda) menyebabkan reaksi berbeda,” yang menunjukkan “perlunya pendekatan terpadu terhadap analisis bumi. pengamatan geodinamik, kosmik, sosial, ekonomi dan medis " Masih ada harapan bahwa pekerjaan yang sangat penting ini akan dilanjutkan.

. Jurgens H., Peitgen H.-O., Zaupe D. Bahasa fraktal // Dalam dunia sains. 1990. No. 10. hlm. 36–44.
. Atlas variasi temporal dalam proses antropogenik dan sosial alami. T. 1: Keteraturan dan kekacauan di litosfer dan bidang lainnya. M., 1994; T. 2: Dinamika siklik di alam dan masyarakat. M., 1998; T.3: Lingkungan alam dan sosial sebagai bagian lingkungan dan sebagai objek pengaruh. M., 2002; T. 4: Manusia dan ketiga lingkungannya. M., 2009. T. 5: Manusia dan ketiga lingkungannya. M., 2013.

Seringkali, penemuan-penemuan cemerlang dalam sains dapat mengubah hidup kita secara radikal. Misalnya, penemuan vaksin bisa menyelamatkan banyak orang, namun penciptaan senjata baru berujung pada pembunuhan. Secara harfiah kemarin (dalam skala sejarah) manusia “menjinakkan” listrik, dan hari ini dia tidak dapat lagi membayangkan hidupnya tanpa listrik. Namun, ada juga penemuan-penemuan yang konon masih tersembunyi, meskipun faktanya penemuan-penemuan tersebut juga mempunyai dampak tertentu terhadap kehidupan kita. Salah satu penemuan tersebut adalah fraktal. Kebanyakan orang bahkan belum pernah mendengar konsep ini dan tidak dapat menjelaskan maknanya. Pada artikel ini kita akan mencoba memahami pertanyaan tentang apa itu fraktal dan mempertimbangkan arti istilah ini dari sudut pandang sains dan alam.

Ketertiban dalam kekacauan

Untuk memahami apa itu fraktal, sebaiknya kita memulai pembekalan dari sudut pandang matematika, namun sebelum mendalaminya, kita akan sedikit berfilsafat. Setiap orang memiliki keingintahuan alami, berkat itu ia belajar tentang dunia di sekitarnya. Seringkali, dalam pencariannya akan pengetahuan, dia mencoba menggunakan logika dalam penilaiannya. Oleh karena itu, dengan menganalisis proses-proses yang terjadi di sekitarnya, ia mencoba menghitung hubungan-hubungan dan memperoleh pola-pola tertentu. Para pemikir terhebat di planet ini sibuk memecahkan masalah ini. Secara kasar, para ilmuwan kita mencari pola yang tidak ada, dan seharusnya tidak ada. Namun, bahkan dalam kekacauan pun ada hubungan antara peristiwa-peristiwa tertentu. Koneksi inilah yang dimaksud dengan fraktal. Sebagai contoh, perhatikan dahan patah yang tergeletak di jalan. Jika kita perhatikan lebih dekat, kita akan melihat bahwa dengan segala cabang dan rantingnya ia tampak seperti sebuah pohon. Kesamaan bagian yang terpisah dengan satu kesatuan menunjukkan apa yang disebut prinsip kesamaan diri rekursif. Fraktal dapat ditemukan di mana-mana di alam, karena banyak bentuk anorganik dan organik yang terbentuk dengan cara yang sama. Ini adalah awan, kerang laut, cangkang siput, tajuk pohon, dan bahkan sistem peredaran darah. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Semua bentuk acak ini mudah dijelaskan dengan algoritma fraktal. Sekarang kita telah membahas apa itu fraktal dari sudut pandang ilmu eksakta.

Beberapa fakta kering

Kata “fraktal” sendiri diterjemahkan dari bahasa Latin sebagai “parsial”, “terbagi”, “terfragmentasi”, dan mengenai isi istilah ini, tidak ada rumusan seperti itu. Biasanya diartikan sebagai himpunan yang serupa diri, bagian dari keseluruhan, yang mengulangi strukturnya pada tingkat mikro. Istilah ini diciptakan pada tahun tujuh puluhan abad kedua puluh oleh Benoit Mandelbrot, yang diakui sebagai bapaknya.Saat ini, konsep fraktal berarti gambaran grafis dari suatu struktur tertentu, yang bila ditingkatkan, akan serupa dengan dirinya sendiri. Namun, dasar matematis untuk penciptaan teori ini telah diletakkan bahkan sebelum kelahiran Mandelbrot sendiri, namun teori tersebut tidak dapat berkembang sampai komputer elektronik muncul.

Latar belakang sejarah, atau Bagaimana semuanya dimulai

Pada pergantian abad ke-19 dan ke-20, studi tentang sifat fraktal bersifat sporadis. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa matematikawan lebih suka mempelajari objek yang dapat diteliti berdasarkan teori dan metode umum. Pada tahun 1872, matematikawan Jerman K. Weierstrass membuat contoh fungsi kontinu yang tidak dapat terdiferensiasi di mana pun. Namun konstruksi ini ternyata sepenuhnya abstrak dan sulit dipahami. Berikutnya adalah Helge von Koch dari Swedia, yang pada tahun 1904 membuat kurva kontinu yang tidak memiliki garis singgung di mana pun. Menggambarnya cukup mudah dan ternyata memiliki sifat fraktal. Salah satu varian kurva ini dinamai menurut penulisnya - "Koch kepingan salju". Selanjutnya, gagasan kemiripan diri tokoh dikembangkan oleh mentor masa depan B. Mandelbrot, orang Prancis Paul Levy. Pada tahun 1938, ia menerbitkan artikel "Kurva dan permukaan bidang dan spasial yang terdiri dari bagian-bagian yang serupa dengan keseluruhan." Di dalamnya, ia menggambarkan tipe baru - kurva Lewy C. Semua angka di atas secara kondisional diklasifikasikan sebagai fraktal geometris.

Fraktal dinamis atau aljabar

Himpunan Mandelbrot termasuk dalam kelas ini. Peneliti pertama dalam arah ini adalah matematikawan Perancis Pierre Fatou dan Gaston Julia. Pada tahun 1918, Julia menerbitkan makalah berdasarkan studi tentang iterasi fungsi kompleks rasional. Di sini dia menggambarkan keluarga fraktal yang berkerabat dekat dengan himpunan Mandelbrot. Terlepas dari kenyataan bahwa karya ini memuliakan penulisnya di kalangan ahli matematika, karya ini dengan cepat dilupakan. Dan hanya setengah abad kemudian, berkat komputer, karya Julia mendapat kehidupan kedua. Komputer memungkinkan setiap orang untuk melihat keindahan dan kekayaan dunia fraktal yang dapat “dilihat” oleh para ahli matematika dengan menampilkannya melalui fungsi. Mandelbrot adalah orang pertama yang menggunakan komputer untuk melakukan perhitungan (volume seperti itu tidak dapat dilakukan secara manual) yang memungkinkan untuk membuat gambar dari angka-angka ini.

Seseorang dengan imajinasi spasial

Mandelbrot memulai karir ilmiahnya di IBM Research Center. Saat mempelajari kemungkinan transmisi data jarak jauh, para ilmuwan dihadapkan pada fakta kerugian besar yang timbul akibat gangguan kebisingan. Benoit sedang mencari cara untuk mengatasi masalah ini. Melihat hasil pengukurannya, ia melihat adanya pola yang aneh, yaitu: grafik noise tampak sama pada skala waktu yang berbeda.

Gambaran serupa diamati baik selama satu hari maupun selama tujuh hari atau satu jam. Benoit Mandelbrot sendiri kerap mengulangi bahwa ia tidak bekerja dengan rumus, melainkan bermain dengan gambar. Ilmuwan ini dibedakan oleh pemikiran imajinatifnya, ia menerjemahkan masalah aljabar apa pun ke dalam bidang geometris, di mana jawaban yang benar sudah jelas. Maka tidak mengherankan jika ia dibedakan dari kekayaannya dan menjadi bapak geometri fraktal. Bagaimanapun, kesadaran akan sosok ini hanya bisa muncul ketika Anda mempelajari gambarnya dan memikirkan arti dari pusaran aneh yang membentuk pola tersebut. Pola fraktal tidak memiliki elemen yang identik, namun serupa pada skala apa pun.

Julia - Mandelbrot

Salah satu gambar pertama dari gambar ini adalah interpretasi grafis dari himpunan, yang lahir dari karya Gaston Julia dan dikembangkan lebih lanjut oleh Mandelbrot. Gaston mencoba membayangkan seperti apa suatu himpunan berdasarkan rumus sederhana yang diulangi melalui putaran umpan balik. Mari kita coba menjelaskan apa yang telah dikatakan dalam bahasa manusia, bisa dikatakan, dengan jari. Untuk nilai numerik tertentu, kami menemukan nilai baru menggunakan rumus. Kami menggantinya ke dalam rumus dan menemukan yang berikut ini. Hasilnya besar. Untuk merepresentasikan himpunan seperti itu, operasi ini perlu dilakukan berkali-kali: ratusan, ribuan, jutaan. Inilah yang dilakukan Benoit. Dia memproses urutannya dan mentransfer hasilnya ke bentuk grafik. Selanjutnya, dia mewarnai gambar yang dihasilkan (setiap warna berhubungan dengan sejumlah iterasi tertentu). Gambar grafis ini diberi nama “Fraktal Mandelbrot”.

L. Carpenter: seni yang diciptakan oleh alam

Teori fraktal dengan cepat menemukan penerapan praktis. Karena sangat erat kaitannya dengan visualisasi gambar kemiripan diri, senimanlah yang pertama kali mengadopsi prinsip dan algoritma untuk membangun bentuk-bentuk yang tidak biasa ini. Yang pertama adalah calon pendiri Pixar, Lauren Carpenter. Saat mengerjakan presentasi prototipe pesawat, ia mendapat ide untuk menggunakan gambar pegunungan sebagai latar belakang. Saat ini, hampir setiap pengguna komputer dapat mengatasi tugas seperti itu, tetapi pada tahun tujuh puluhan abad yang lalu, komputer tidak dapat melakukan proses tersebut, karena tidak ada editor grafis atau aplikasi untuk grafik tiga dimensi pada saat itu. Dan kemudian Loren menemukan buku Mandelbrot “Fractals: Form, Randomness and Dimension.” Di dalamnya Benoit memberikan banyak contoh yang menunjukkan bahwa fraktal ada di alam (fyva), ia mendeskripsikan bentuknya yang bervariasi dan membuktikan bahwa fraktal mudah dijelaskan dengan ekspresi matematika. Ahli matematika tersebut mengutip analogi ini sebagai argumen atas kegunaan teori yang ia kembangkan dalam menanggapi rentetan kritik dari rekan-rekannya. Mereka berpendapat bahwa fraktal hanyalah sebuah gambaran indah, tidak memiliki nilai, dan merupakan produk sampingan dari kerja mesin elektronik. Carpenter memutuskan untuk mencoba metode ini dalam praktiknya. Setelah mempelajari buku tersebut dengan cermat, animator masa depan mulai mencari cara untuk menerapkan geometri fraktal dalam grafik komputer. Hanya butuh tiga hari baginya untuk membuat gambar lanskap gunung yang benar-benar realistis di komputernya. Dan saat ini prinsip ini banyak digunakan. Ternyata, membuat fraktal tidak memerlukan banyak waktu dan tenaga.

solusi tukang kayu

Prinsip yang digunakan Lauren sederhana saja. Ini terdiri dari membagi elemen-elemen yang lebih besar menjadi elemen-elemen kecil, dan membagi elemen-elemen tersebut menjadi elemen-elemen serupa yang lebih kecil, dan seterusnya. Carpenter, dengan menggunakan segitiga besar, membaginya menjadi 4 segitiga kecil, dan seterusnya, hingga ia mendapatkan lanskap pegunungan yang realistis. Dengan demikian, ia menjadi seniman pertama yang menggunakan algoritma fraktal dalam grafik komputer untuk membuat gambar yang dibutuhkan. Saat ini prinsip ini digunakan untuk meniru berbagai bentuk alam yang realistis.

Visualisasi 3D pertama menggunakan algoritma fraktal

Beberapa tahun kemudian, Lauren menerapkan perkembangannya dalam proyek berskala besar - video animasi Vol Libre, yang ditayangkan di Siggraph pada tahun 1980. Video ini mengejutkan banyak orang, dan penciptanya diundang untuk bekerja di Lucasfilm. Di sini animator mampu mewujudkan potensi penuhnya, ia menciptakan lanskap tiga dimensi (seluruh planet) untuk film fitur "Star Trek". Setiap program modern (“Fraktal”) atau aplikasi untuk membuat grafik 3D (Terragen, Vue, Bryce) menggunakan algoritma yang sama untuk memodelkan tekstur dan permukaan.

Tom Beddard

Dulunya seorang ahli fisika laser dan sekarang menjadi seniman dan seniman digital, Beddard menciptakan sejumlah bentuk geometris yang sangat menarik, yang ia sebut fraktal Fabergé. Secara lahiriah, mereka menyerupai telur hias dari toko perhiasan Rusia, mereka memiliki pola yang sama cemerlang dan rumitnya. Beddard menggunakan metode templat untuk membuat rendering model digitalnya. Produk yang dihasilkan memukau dengan keindahannya. Meski banyak yang menolak membandingkan produknya buatan sendiri dengan program komputer, namun harus diakui bentuk yang dihasilkan sangatlah indah. Puncaknya adalah siapa pun dapat membuat fraktal tersebut menggunakan perpustakaan perangkat lunak WebGL. Ini memungkinkan Anda menjelajahi berbagai struktur fraktal secara real time.

Fraktal di alam

Hanya sedikit orang yang memperhatikan, tetapi angka-angka menakjubkan ini hadir di mana-mana. Alam tercipta dari sosok-sosok yang serupa, hanya saja kita tidak menyadarinya. Cukup dengan melihat melalui kaca pembesar pada kulit kita atau daun pohon, dan kita akan melihat fraktal. Atau ambil contoh, nanas atau bahkan ekor merak - keduanya terdiri dari bentuk yang serupa. Dan varietas brokoli Romanescu secara umum sangat mencolok penampilannya, karena memang bisa disebut sebagai keajaiban alam.

Jeda musik

Ternyata fraktal tidak hanya berupa bentuk geometris, tetapi juga bisa berupa suara. Misalnya, musisi Jonathan Colton menulis musik menggunakan algoritma fraktal. Ia mengklaim sesuai dengan harmoni alam. Komposer menerbitkan semua karyanya di bawah lisensi Atribusi-Nonkomersial CreativeCommons, yang menyediakan distribusi, penyalinan, dan transfer karya secara gratis kepada orang lain.

Indikator fraktal

Teknik ini telah menemukan penerapan yang sangat tidak terduga. Atas dasar itu, alat untuk menganalisis pasar bursa diciptakan, dan sebagai hasilnya, alat ini mulai digunakan di pasar Forex. Saat ini, indikator fraktal ditemukan di semua platform perdagangan dan digunakan dalam teknik perdagangan yang disebut price breakout. Teknik ini dikembangkan oleh Bill Williams. Ketika penulis mengomentari penemuannya, algoritma ini adalah kombinasi dari beberapa “lilin”, di mana lilin di tengah mencerminkan titik ekstrim maksimum atau, sebaliknya, titik ekstrim minimum.

Akhirnya

Jadi kita melihat apa itu fraktal. Ternyata di tengah kekacauan yang melingkupi kita, ternyata ada bentuk-bentuk ideal. Alam adalah arsitek terbaik, pembangun dan insinyur terbaik. Susunannya sangat logis, dan jika kita tidak dapat menemukan polanya, bukan berarti tidak ada. Mungkin kita perlu melihat pada skala yang berbeda. Kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa fraktal masih menyimpan banyak rahasia yang belum kita temukan.

Lembaga pendidikan anggaran kota

"Sekolah menengah Siverskaya No. 3"

Riset

matematika.

Selesai pekerjaannya

Siswa kelas 8-1

Emelin Pavel

Direktur Ilmiah

guru matematika

Tupitsyna Natalya Alekseevna

Desa Siversky

tahun 2014

Matematika dipenuhi dengan keindahan dan harmoni,

Anda hanya perlu melihat keindahan ini.

B.Mandelbrot

Pendahuluan__________________________________________3-4pp.

Bab 1.sejarah munculnya fraktal._______5-6pp.

Bab 2. Klasifikasi fraktal ______6-10pp.

Fraktal geometris

Fraktal aljabar

Fraktal stokastik

Bab 3. "Geometri alam fraktal"______11-13pp.

Bab 4. Penerapan fraktal_______________13-15pp.

Bab 5 Kerja Praktek______16-24pp.

Kesimpulan_________________________________25.halaman

Daftar referensi dan sumber internet________26 halaman.

Perkenalan

Matematika,

jika Anda melihatnya dengan benar,

tidak hanya mencerminkan kebenaran,

tapi juga keindahan yang tiada tara.

Bertrand Russel

Kata “fraktal” adalah sesuatu yang banyak dibicarakan orang saat ini, mulai dari ilmuwan hingga siswa sekolah menengah. Itu muncul di sampul banyak buku pelajaran matematika, majalah sains, dan kotak perangkat lunak komputer. Gambar berwarna fraktal dapat ditemukan di mana-mana saat ini: mulai dari kartu pos, T-shirt hingga gambar di desktop komputer pribadi. Jadi, bentuk-bentuk berwarna apa yang kita lihat di sekitar?

Matematika adalah ilmu tertua. Tampaknya bagi kebanyakan orang bahwa geometri di alam hanya sebatas itu angka sederhana, seperti garis, lingkaran, poligon, bola, dll. Ternyata, banyak sistem alam yang begitu kompleks sehingga hanya menggunakan objek geometri biasa yang sudah dikenal untuk memodelkannya tampaknya tidak ada harapan lagi. Bagaimana, misalnya, Anda dapat membuat model pegunungan atau mahkota pohon dalam geometri? Bagaimana menggambarkan keanekaragaman keanekaragaman hayati yang kita amati di dunia tumbuhan dan hewan? Bagaimana membayangkan rumitnya sistem peredaran darah, yang terdiri dari banyak kapiler dan pembuluh darah dan mengantarkan darah ke setiap sel tubuh manusia? Bayangkan struktur paru-paru dan ginjal yang menyerupai struktur pohon dengan tajuk bercabang?

Fraktal adalah alat yang cocok untuk mengeksplorasi pertanyaan-pertanyaan ini. Seringkali apa yang kita lihat di alam membuat kita penasaran dengan pengulangan pola yang sama tanpa henti, bertambah atau berkurang beberapa kali. Misalnya pohon mempunyai cabang. Di cabang-cabang ini ada cabang-cabang yang lebih kecil, dan seterusnya. Secara teoritis, elemen percabangan berulang tanpa batas, menjadi semakin kecil. Hal serupa juga terlihat ketika melihat foto daerah pegunungan. Coba perbesar sedikit lebih dekat ke pegunungan --- Anda akan melihat pegunungan itu lagi. Ini adalah bagaimana sifat kesamaan diri yang merupakan karakteristik fraktal memanifestasikan dirinya.

Studi tentang fraktal membuka kemungkinan-kemungkinan luar biasa, baik dalam studi penerapan yang jumlahnya tak terbatas maupun dalam bidang matematika. Penerapan fraktal sangat luas! Bagaimanapun, benda-benda ini begitu indah sehingga digunakan oleh para desainer, seniman, dengan bantuannya banyak elemen digambar dalam grafik: pohon, awan, gunung, dll. Namun fraktal bahkan digunakan sebagai antena di banyak ponsel.

Bagi banyak chaologist (ilmuwan yang mempelajari fraktal dan chaos), ini bukan hanya bidang pengetahuan baru yang menggabungkan matematika, fisika teoretis, seni, dan teknologi komputer - ini adalah sebuah revolusi. Ini adalah penemuan geometri jenis baru, geometri yang menggambarkan dunia di sekitar kita dan dapat dilihat tidak hanya di buku teks, tetapi juga di alam dan di mana pun di alam semesta tanpa batas..

Dalam pekerjaan saya, saya juga memutuskan untuk “menyentuh” dunia kecantikan dan bertekad untuk diri saya sendiri...

Tujuan pekerjaan: membuat objek yang gambarnya sangat mirip dengan gambar alami.

Metode penelitian: analisis komparatif, sintesis, pemodelan.

Tugas:

pengenalan konsep, sejarah asal usul dan penelitian B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky dan lainnya;

keakraban dengan berbagai jenis himpunan fraktal;

mempelajari literatur ilmiah populer tentang masalah ini, berkenalan

hipotesis ilmiah;

menemukan konfirmasi teori fraktalitas dunia sekitar;

mempelajari penggunaan fraktal dalam ilmu-ilmu lain dan dalam praktik;

melakukan percobaan untuk membuat gambar fraktal Anda sendiri.

Pertanyaan mendasar dari karya ini:

Untuk menunjukkan bahwa matematika bukanlah mata pelajaran yang kering dan tidak berjiwa; matematika dapat mengungkapkan dunia spiritual seseorang secara individu dan masyarakat secara keseluruhan.

Subyek studi: Geometri fraktal.

Objek studi: fraktal dalam matematika dan dunia nyata.

Hipotesa: Segala sesuatu yang ada di dunia nyata adalah fraktal.

Metode penelitian: analitis, pencarian.

Relevansi Topik yang dikemukakan pertama-tama ditentukan oleh subjek penelitiannya, yaitu geometri fraktal.

Hasil yang diharapkan: Selama bekerja, saya akan dapat memperluas pengetahuan saya di bidang matematika, melihat keindahan geometri fraktal, dan mulai bekerja membuat fraktal saya sendiri.

Hasil pekerjaannya adalah pembuatan presentasi komputer, buletin dan booklet.

Bab 1. Sejarah

B kapan Mandelbrot

Konsep “fraktal” ditemukan oleh Benoit Mandelbrot. Kata tersebut berasal dari bahasa Latin “fractus” yang berarti “rusak, patah”.

Fraktal (lat. fractus - hancur, pecah, pecah) adalah istilah yang berarti bangun geometri kompleks yang mempunyai sifat kemiripan diri, yaitu tersusun dari beberapa bagian yang masing-masing mirip dengan keseluruhan bangun.

Objek matematika yang dirujuknya dicirikan oleh sifat-sifat yang sangat menarik. Dalam geometri biasa, garis mempunyai satu dimensi, permukaan mempunyai dua dimensi, dan bangun ruang mempunyai tiga dimensi. Fraktal bukanlah garis atau permukaan, namun jika Anda bisa membayangkannya, sesuatu di antara keduanya. Dengan bertambahnya ukuran, volume fraktal juga bertambah, tetapi dimensinya (eksponen) bukanlah keseluruhan, melainkan nilai pecahan, sehingga batas gambar fraktal bukanlah garis: pada perbesaran tinggi menjadi jelas bahwa itu adalah kabur dan terdiri dari spiral dan ikal, berulang pada skala perbesaran rendah dari gambar itu sendiri. Keteraturan geometri ini disebut invariansi skala atau kesamaan diri. Inilah yang menentukan dimensi pecahan dari bangun fraktal.

Sebelum munculnya geometri fraktal, sains berurusan dengan sistem yang terdapat dalam tiga dimensi spasial. Berkat Einstein, menjadi jelas bahwa ruang tiga dimensi hanyalah model realitas, dan bukan realitas itu sendiri. Faktanya, dunia kita terletak dalam kontinum ruang-waktu empat dimensi.
Berkat Mandelbrot, menjadi jelas seperti apa ruang empat dimensi, secara kiasan, wajah fraktal Chaos. Benoit Mandelbrot menemukan bahwa dimensi keempat tidak hanya mencakup tiga dimensi pertama, tetapi juga (ini sangat penting!) interval di antara ketiga dimensi tersebut.

Geometri rekursif (atau fraktal) menggantikan geometri Euclidean. Ilmu pengetahuan baru mampu menggambarkan sifat sebenarnya dari benda dan fenomena. Geometri Euclidean hanya berhubungan dengan benda-benda imajiner buatan yang termasuk dalam tiga dimensi. Hanya dimensi keempat yang dapat mengubahnya menjadi kenyataan.

Cairan, gas, padat- tiga keadaan fisik materi yang ada di dunia tiga dimensi. Namun berapakah dimensi dari awan asap, awan, atau lebih tepatnya, batas-batasnya, yang terus-menerus terkikis oleh pergerakan udara yang bergejolak?

Pada dasarnya fraktal diklasifikasikan menjadi tiga kelompok:

Fraktal aljabar

Fraktal stokastik

Fraktal geometris

Mari kita lihat lebih dekat masing-masingnya.

Bab 2. Klasifikasi fraktal

Fraktal geometris

Benoit Mandelbrot mengusulkan model fraktal, yang telah menjadi model klasik dan sering digunakan untuk mendemonstrasikan contoh khas fraktal itu sendiri dan untuk menunjukkan keindahan fraktal, yang juga menarik perhatian para peneliti, seniman, dan orang-orang yang tertarik.

Di sinilah sejarah fraktal dimulai. Fraktal jenis ini diperoleh melalui konstruksi geometris sederhana. Biasanya, ketika membangun fraktal ini, mereka melakukan ini: mereka mengambil "benih" - sebuah aksioma - sekumpulan segmen yang menjadi dasar pembuatan fraktal. Selanjutnya, seperangkat aturan diterapkan pada “benih” ini, yang mengubahnya menjadi semacam bentuk geometris. Selanjutnya, seperangkat aturan yang sama diterapkan lagi pada setiap bagian dari gambar ini. Dengan setiap langkah, angka tersebut akan menjadi semakin kompleks, dan jika kita melakukan (setidaknya dalam pikiran kita) transformasi dalam jumlah tak terbatas, kita akan mendapatkan fraktal geometris.

Fraktal kelas ini adalah yang paling visual, karena kemiripan diri langsung terlihat pada skala pengamatan apa pun. Dalam kasus dua dimensi, fraktal tersebut dapat diperoleh dengan menentukan beberapa garis putus-putus yang disebut generator. Dalam satu langkah algoritma, masing-masing segmen yang membentuk polyline diganti dengan generator polyline, pada skala yang sesuai. Sebagai hasil dari pengulangan prosedur ini tanpa henti (atau, lebih tepatnya, saat mencapai batas), diperoleh kurva fraktal. Meskipun kurva yang dihasilkan tampak rumit, tampilan umumnya hanya ditentukan oleh bentuk generator. Contoh kurva tersebut adalah: Kurva Koch (Gbr. 7), Kurva Peano (Gbr. 8), Kurva Minkowski.

Pada awal abad kedua puluh, ahli matematika mencari kurva yang tidak mempunyai garis singgung di titik mana pun. Artinya, kurva tersebut tiba-tiba berubah arahnya, dan terlebih lagi, secara kolosal kecepatan tinggi(turunannya sama dengan tak terhingga). Pencarian kurva-kurva ini bukan hanya disebabkan oleh minat kosong para ahli matematika. Faktanya pada awal abad ke-20 mekanika kuantum berkembang sangat pesat. Peneliti M. Brown membuat sketsa lintasan pergerakan partikel tersuspensi dalam air dan menjelaskan fenomena ini sebagai berikut: atom-atom cairan yang bergerak secara acak menyerang partikel tersuspensi dan dengan demikian menggerakkannya. Setelah penjelasan tentang gerak Brown ini, para ilmuwan dihadapkan pada tugas untuk menemukan kurva yang sesuai jalan terbaik menunjukkan pergerakan partikel Brown. Untuk melakukan ini, kurva harus memenuhi sifat-sifat berikut: tidak bersinggungan di titik mana pun. Ahli matematika Koch mengusulkan salah satu kurva tersebut.

KE Kurva Koch adalah fraktal geometris yang khas. Proses pembuatannya adalah sebagai berikut: kita ambil satu ruas, bagi menjadi tiga bagian yang sama besar dan ganti titik tengahnya dengan segitiga sama sisi tanpa ruas tersebut. Hasilnya adalah garis putus-putus yang terdiri dari empat mata rantai dengan panjang 1/3. Pada langkah selanjutnya, kami mengulangi operasi untuk masing-masing dari empat tautan yang dihasilkan, dll...

Kurva batasnya adalah Kurva Koch.

Kepingan Salju Koch. Dengan melakukan transformasi serupa pada sisi segitiga sama sisi, Anda bisa mendapatkan gambar fraktal kepingan salju Koch.

T
Perwakilan sederhana lain dari fraktal geometris adalah Alun-alun Sierpinski. Bentuknya cukup sederhana: Persegi dibagi oleh garis lurus yang sejajar sisi-sisinya menjadi 9 persegi yang sama besar. Alun-alun pusat dihilangkan dari alun-alun. Hasilnya adalah satu set yang terdiri dari 8 kotak “peringkat pertama” yang tersisa. Melakukan hal yang persis sama dengan masing-masing kotak pada peringkat pertama, kita memperoleh himpunan yang terdiri dari 64 kotak pada peringkat kedua. Melanjutkan proses ini tanpa batas, kita memperoleh barisan tak hingga atau persegi Sierpinski.

Fraktal aljabar

Ini adalah kelompok fraktal terbesar. Fraktal aljabar mendapatkan namanya karena dibuat menggunakan rumus aljabar sederhana.

Mereka diperoleh dengan menggunakan proses nonlinier di N ruang -dimensi. Diketahui bahwa sistem dinamis nonlinier mempunyai beberapa keadaan stabil. Keadaan di mana sistem dinamis menemukan dirinya sendiri setelah sejumlah iterasi tertentu bergantung pada keadaan awalnya. Oleh karena itu, setiap keadaan stabil (atau, seperti yang mereka katakan, penarik) memiliki wilayah keadaan awal tertentu, yang darinya sistem tersebut akan masuk ke keadaan akhir yang sedang dipertimbangkan. Dengan demikian, ruang fase sistem dibagi menjadi area atraksi penarik. Jika ruang fasanya dua dimensi, maka dengan mewarnai daerah tarik-menarik dengan warna yang berbeda-beda dapat diperoleh potret fase warna sistem ini (proses berulang). Dengan mengubah algoritma pemilihan warna, Anda bisa mendapatkan pola fraktal yang kompleks dengan pola multiwarna yang aneh. Apa yang mengejutkan para ahli matematika adalah kemampuan untuk menghasilkan struktur yang sangat kompleks menggunakan algoritma primitif.

Sebagai contoh, perhatikan himpunan Mandelbrot. Mereka membangunnya menggunakan bilangan kompleks.

Bagian dari batas himpunan Mandelbrot, diperbesar 200 kali.

Himpunan Mandelbrot berisi titik-titik yang, selamatak terbatas jumlah iterasinya tidak sampai tak terhingga (titik yang berwarna hitam). Titik-titik yang termasuk dalam batas himpunan(di sinilah struktur kompleks muncul) menuju tak terhingga dalam jumlah iterasi yang terbatas, dan titik-titik yang terletak di luar himpunan menjadi tak terhingga setelah beberapa iterasi (latar belakang putih).

P



Contoh fraktal aljabar lainnya adalah himpunan Julia. Ada 2 jenis fraktal ini. Anehnya, himpunan Julia dibentuk menggunakan rumus yang sama dengan himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia ditemukan oleh ahli matematika Perancis Gaston Julia, yang kemudian diberi nama himpunan tersebut.

DAN
fakta yang menarik, beberapa fraktal aljabar sangat mirip dengan gambar hewan, tumbuhan, dan objek biologis lainnya, sehingga disebut biomorf.

Fraktal stokastik

Kelas fraktal terkenal lainnya adalah fraktal stokastik, yang diperoleh jika beberapa parameternya diubah secara acak dalam proses berulang. Dalam hal ini, objek yang dihasilkan sangat mirip dengan objek alami - pepohonan asimetris, garis pantai terjal, dll.

Perwakilan khas dari kelompok fraktal ini adalah “plasma”.

D
Untuk membuatnya, ambil sebuah persegi panjang dan beri warna pada setiap sudutnya. Selanjutnya, titik pusat persegi panjang ditemukan dan dicat dengan warna yang sama dengan rata-rata aritmatika warna-warna di sudut-sudut persegi panjang ditambah beberapa bilangan acak. Semakin besar angka acaknya, gambarnya akan semakin “tidak rapi”. Jika kita berasumsi bahwa warna suatu titik adalah ketinggian di atas permukaan laut, kita mendapatkan pegunungan, bukan plasma. Berdasarkan prinsip inilah pegunungan dimodelkan di sebagian besar program. Menggunakan algoritma yang mirip dengan plasma, peta ketinggian dibuat, berbagai filter diterapkan padanya, tekstur diterapkan, dan pegunungan fotorealistik siap

E
Jika kita melihat fraktal ini secara melintang, kita akan melihat fraktal ini bersifat volumetrik, dan memiliki “kekasaran”, justru karena “kekasaran” inilah penerapan fraktal ini sangat penting.

Katakanlah Anda perlu mendeskripsikan bentuk gunung. Gambar biasa dari geometri Euclidean tidak akan membantu di sini, karena tidak memperhitungkan topografi permukaan. Namun ketika menggabungkan geometri konvensional dengan geometri fraktal, Anda bisa mendapatkan “kekasaran” sebuah gunung. Kita perlu mengoleskan plasma ke kerucut biasa dan kita akan mendapatkan relief gunung. Operasi semacam itu dapat dilakukan dengan banyak objek lain di alam; berkat fraktal stokastik, alam itu sendiri dapat dideskripsikan.

Sekarang mari kita bicara tentang fraktal geometris.

.

Bab 3 "Geometri alam fraktal"

" Mengapa geometri sering disebut "dingin" dan "kering"? Salah satu alasannya adalah geometri tidak dapat menggambarkan bentuk awan, gunung, garis pantai, atau pohon. Awan bukan bola, gunung bukan kerucut, garis pantai bukan lingkaran, kulit pohon tidak mulus, petir tidak merambat dalam garis lurus. Secara umum, saya berpendapat bahwa banyak objek di Alam sangat tidak beraturan dan terfragmentasi sehingga dibandingkan dengan Euclid - istilah yang dalam karya ini berarti semua geometri standar - Alam tidak hanya memiliki kompleksitas yang lebih besar , tetapi kompleksitas pada tingkat yang sama sekali berbeda. Jumlah skala panjang objek alam yang berbeda, untuk semua tujuan praktis, tidak terbatas."

(Benoit Mandelbrot "Geometri alam fraktal" ).

KE Keindahan fraktal ada dua: memanjakan mata, sebagaimana dibuktikan dengan pameran gambar fraktal di seluruh dunia, yang diselenggarakan oleh sekelompok ahli matematika Bremen di bawah kepemimpinan Peitgen dan Richter. Belakangan, pameran pameran megah ini diabadikan dalam ilustrasi untuk buku karya penulis yang sama, “The Beauty of Fractals.” Namun ada aspek lain yang lebih abstrak atau luhur dari keindahan fraktal, yang menurut R. Feynman hanya terbuka bagi pandangan mental seorang ahli teori; dalam pengertian ini, fraktal menjadi indah karena keindahan dari masalah matematika yang sulit. . Benoit Mandelbrot menunjukkan kepada orang-orang sezamannya (dan, mungkin, keturunannya) sebuah celah yang mengganggu dalam Elemen Euclid, yang melaluinya, tanpa menyadari kelalaiannya, hampir dua milenium umat manusia memahami geometri dunia sekitarnya dan mempelajari ketelitian matematika dalam penyajiannya. Tentu saja kedua aspek keindahan fraktal tersebut saling berkaitan erat dan tidak mengecualikan, melainkan saling melengkapi, meskipun masing-masing bersifat mandiri.

Geometri fraktal alam menurut Mandelbrot merupakan geometri nyata yang memenuhi definisi geometri yang dikemukakan dalam Program Erlangen oleh F. Klein. Faktanya adalah sebelum munculnya geometri non-Euclidean N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, hanya ada satu geometri - geometri yang ditetapkan dalam "Prinsip", dan pertanyaan tentang apa itu geometri dan geometri mana yang merupakan geometri dunia nyata tidak muncul, dan tidak bisa timbul. Namun dengan munculnya geometri lain, muncul pertanyaan tentang apa itu geometri secara umum, dan geometri manakah yang sesuai dengan dunia nyata. Menurut F. Klein, geometri berkaitan dengan studi tentang sifat-sifat benda yang invarian di bawah transformasi: Euclidean - invarian kelompok gerak (transformasi yang tidak mengubah jarak antara dua titik mana pun, yaitu mewakili superposisi terjemahan paralel dan rotasi dengan atau tanpa mengubah orientasi) , geometri Lobachevsky-Bolyai - invarian dari grup Lorentz. Geometri fraktal berkaitan dengan studi tentang invarian dari kelompok transformasi afinitas diri, yaitu. sifat-sifat yang dinyatakan oleh hukum kekuasaan.

Mengenai korespondensi dengan dunia nyata, geometri fraktal menggambarkan kelas proses dan fenomena alam yang sangat luas, dan oleh karena itu kita dapat, mengikuti B. Mandelbrot, dengan tepat berbicara tentang geometri fraktal alam. Baru - objek fraktal memiliki sifat yang tidak biasa. Panjang, luas, dan volume beberapa fraktal adalah nol, sementara fraktal lainnya berubah menjadi tak terhingga.

Alam sering kali menciptakan fraktal yang menakjubkan dan indah, dengan geometri ideal dan harmoni sehingga Anda membeku karena kagum. Dan inilah contohnya:

Kerang laut

Petir kagumi dengan kecantikan mereka. Fraktal yang diciptakan oleh petir tidak sembarangan atau teratur

Bentuk fraktal subspesies kembang kol(Brassica cauliflora). Spesies khusus ini adalah fraktal yang sangat simetris.

P pakis juga merupakan contoh yang baik dari fraktal di antara flora.

burung merak semua orang dikenal karena bulunya yang berwarna-warni, di mana fraktal padat tersembunyi.

Pola es dan beku di jendela ini juga fraktal

TENTANG
t gambar diperbesar daun, sebelum cabang pohon- Fraktal dapat ditemukan dalam segala hal

Fraktal ada dimana-mana dan dimana saja di alam sekitar kita. Seluruh Alam Semesta dibangun menurut hukum-hukum yang sangat harmonis dengan ketepatan matematis. Mungkinkah setelah ini kita berpikir bahwa planet kita adalah kumpulan partikel yang acak? Hampir tidak.

Bab 4. Penerapan fraktal

Fraktal semakin banyak diterapkan dalam sains. Alasan utama untuk ini adalah penjelasannya dunia nyata terkadang bahkan lebih baik daripada fisika atau matematika tradisional. Berikut beberapa contohnya:

TENTANG
hari-hari penerapan fraktal yang paling kuat grafik komputer. Ini adalah kompresi gambar fraktal. Fisika dan mekanika modern baru mulai mempelajari perilaku objek fraktal.

Keuntungan dari algoritma kompresi gambar fraktal adalah ukuran file yang dikemas sangat kecil dan waktu pemulihan gambar yang singkat. Gambar yang dikemas fraktal dapat diskalakan tanpa munculnya pikselasi (kualitas gambar buruk - kotak besar). Namun proses kompresinya memakan waktu lama dan terkadang memakan waktu berjam-jam. Algoritme pengemasan fraktal lossy memungkinkan Anda mengatur tingkat kompresi, mirip dengan format jpeg. Algoritme ini didasarkan pada pencarian potongan besar dari suatu gambar yang serupa dengan beberapa potongan kecil. Dan hanya bagian mana yang mirip dengan yang ditulis ke file keluaran. Saat mengompresi, kotak persegi biasanya digunakan (potongan adalah kotak), yang menyebabkan sedikit sudut saat memulihkan gambar; kotak heksagonal tidak memiliki kelemahan ini.

Iterated telah mengembangkan format gambar baru, "Sting", yang menggabungkan kompresi lossless fraktal dan "gelombang" (seperti jpeg). Format baru ini memungkinkan Anda membuat gambar dengan kemungkinan penskalaan berkualitas tinggi berikutnya, dan volume file grafik adalah 15-20% dari volume gambar yang tidak terkompresi.

Dalam mekanika dan fisika Fraktal digunakan karena sifat uniknya yang mengulangi garis besar banyak objek alam. Fraktal memungkinkan Anda memperkirakan pohon, permukaan gunung, dan retakan dengan akurasi lebih tinggi dibandingkan perkiraan menggunakan kumpulan segmen atau poligon (dengan jumlah data tersimpan yang sama). Model fraktal, seperti objek alam, memiliki “kekasaran”, dan sifat ini tetap dipertahankan tidak peduli seberapa besar perbesaran model tersebut. Kehadiran ukuran seragam pada fraktal memungkinkan seseorang untuk menerapkan integrasi, teori potensial, dan menggunakannya sebagai pengganti objek standar dalam persamaan yang sudah dipelajari.

T
Geometri fraktal juga digunakan untuk merancang perangkat antena. Ini pertama kali digunakan oleh insinyur Amerika Nathan Cohen, yang saat itu tinggal di pusat kota Boston, di mana pemasangan antena eksternal pada gedung dilarang. Cohen memotong bentuk kurva Koch dari aluminium foil lalu menempelkannya ke selembar kertas lalu menempelkannya ke penerima. Ternyata antena seperti itu bekerja tidak lebih buruk dari antena biasa. Meskipun prinsip fisik antena semacam itu belum dipelajari, hal ini tidak menghentikan Cohen untuk mendirikan perusahaannya sendiri dan meluncurkan produksi serialnya. Saat ini, perusahaan Amerika “Fractal Antenna System” telah mengembangkan antena jenis baru. Anda sekarang dapat berhenti menggunakan ponsel antena eksternal yang menonjol. Antena fraktal disebut terletak langsung di papan utama di dalam perangkat.

Ada juga banyak hipotesis tentang penggunaan fraktal - misalnya, sistem limfatik dan peredaran darah, paru-paru, dan banyak lagi juga memiliki sifat fraktal.

Bab 5. Kerja Praktek.

Pertama, mari kita lihat fraktal “Kalung”, “Kemenangan” dan “Kotak”.

Pertama - "Kalung"(Gbr. 7). Penggagas fraktal ini adalah lingkaran. Lingkaran ini terdiri dari sejumlah lingkaran yang sama, tetapi berukuran lebih kecil, dan merupakan salah satu dari beberapa lingkaran yang sama, tetapi berukuran lebih besar. Jadi proses pendidikan tidak ada habisnya dan dapat dilaksanakan baik dalam satu arah maupun berlawanan arah. Itu. gambar tersebut dapat diperbesar dengan mengambil satu busur kecil saja, atau dapat diperkecil dengan mempertimbangkan konstruksinya dari busur yang lebih kecil.

beras. 7.

“Kalung” Fraktal

Fraktal kedua adalah "Kemenangan"(Gbr. 8). Ia mendapat nama ini karena bentuknya seperti huruf Latin "V", yaitu "kemenangan". Fraktal ini terdiri dari sejumlah “vs” kecil yang membentuk satu “V” besar, dan di bagian kiri, yang kecil ditempatkan sehingga bagian kirinya membentuk satu garis lurus, bagian kanannya dibuat dalam bentuk cara yang sama. Masing-masing “v” ini dibangun dengan cara yang sama dan melanjutkan ad infinitum ini.

Gambar.8. Fraktal "Kemenangan"

Fraktal ketiga adalah "Persegi" (Gbr. 9). Masing-masing sisinya terdiri dari satu baris sel, berbentuk persegi, yang sisi-sisinya juga mewakili baris sel, dan seterusnya.

Gambar 9. Fraktal “Kotak”

Fraktal tersebut diberi nama “Mawar” (Gbr. 10), karena kemiripan luarnya dengan bunga ini. Konstruksi fraktal melibatkan konstruksi serangkaian lingkaran konsentris, yang jari-jarinya bervariasi sebanding dengan rasio tertentu (dalam hal ini, R m / R b = ¾ = 0,75.). Setelah itu, sebuah segi enam beraturan dimasukkan ke dalam setiap lingkaran, yang sisinya sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitarnya.

Beras. 11. Fraktal “Mawar *”

Selanjutnya, mari kita beralih ke segi lima biasa, di mana kita menggambar diagonalnya. Kemudian, pada segi lima yang dihasilkan di perpotongan segmen yang sesuai, kita menggambar diagonal lagi. Mari kita lanjutkan proses ini tanpa batas waktu dan dapatkan fraktal “Pentagram” (Gbr. 12).

Mari kita perkenalkan elemen kreativitas dan fraktal kita akan berbentuk objek yang lebih visual (Gbr. 13).

R
adalah. 12. Fraktal “Pentagram”.

Beras. 13. Fraktal “Pentagram *”

Beras. 14 fraktal “Lubang hitam”

Eksperimen No. 1 “Pohon”

Sekarang setelah saya memahami apa itu fraktal dan cara membuatnya, saya mencoba membuat gambar fraktal sendiri. Di Adobe Photoshop, saya membuat subrutin atau tindakan kecil, kekhasan dari tindakan ini adalah mengulangi tindakan yang saya lakukan, dan inilah cara saya mendapatkan fraktal.

Untuk memulainya, saya membuat latar belakang fraktal masa depan kita dengan resolusi 600 x 600. Kemudian saya menggambar 3 garis pada latar belakang ini - dasar fraktal masa depan kita.

DENGAN Langkah selanjutnya adalah menulis naskah.

duplikat lapisan ( lapisan> duplikat) dan ubah jenis campuran menjadi " Layar" .

Ayo panggil dia" fr1". Salin lapisan ini (" fr1") 2 kali lagi.

Sekarang kita perlu beralih ke lapisan terakhir (fr3) dan gabungkan dua kali dengan yang sebelumnya ( Ctrl+E). Kurangi kecerahan lapisan ( Gambar > Penyesuaian > Kecerahan/Kontras , pengaturan kecerahan 50% ). Gabungkan lagi dengan lapisan sebelumnya dan rapikan tepi seluruh gambar untuk menghilangkan bagian yang tidak terlihat.

Langkah terakhir Saya menyalin gambar ini dan menempelkannya lebih kecil dan diputar. Ini adalah hasil akhirnya.

Kesimpulan

Karya ini merupakan pengenalan terhadap dunia fraktal. Kami hanya membahas sebagian kecil dari apa itu fraktal dan berdasarkan prinsip pembuatannya.

Grafik fraktal bukan hanya sekumpulan gambar yang berulang, melainkan model struktur dan prinsip dari segala sesuatu yang ada. Seluruh hidup kita diwakili oleh fraktal. Seluruh alam di sekitar kita terdiri dari mereka. Perlu diperhatikan meluasnya penggunaan fraktal dalam permainan komputer, di mana relief medan sering kali berupa gambar fraktal berdasarkan model tiga dimensi dari himpunan kompleks. Fraktal sangat memudahkan menggambar grafik komputer, dengan bantuan fraktal banyak efek khusus, berbagai gambar yang luar biasa dan luar biasa, dll. Selain itu, pepohonan, awan, pantai, dan semua alam lainnya digambar menggunakan geometri fraktal. Grafik fraktal dibutuhkan di mana-mana, dan pengembangan “teknologi fraktal” adalah salah satu tugas penting saat ini.

Di masa depan, saya berencana untuk mempelajari cara membuat fraktal aljabar setelah saya mempelajari bilangan kompleks secara lebih detail. Saya juga ingin mencoba membuat gambar fraktal saya sendiri dalam bahasa pemrograman Pascal menggunakan loop.

Perlu diperhatikan penggunaan fraktal dalam teknologi komputer, selain sekadar membuat gambar indah di layar komputer. Fraktal dalam teknologi komputer digunakan di bidang berikut:

1. Mengompresi gambar dan informasi

2. Menyembunyikan informasi pada gambar, suara,…

3. Enkripsi data menggunakan algoritma fraktal

4. Membuat musik fraktal

5. Pemodelan sistem

Pekerjaan kami tidak mencantumkan semua bidang pengetahuan manusia di mana teori fraktal telah menemukan penerapannya. Kami hanya ingin mengatakan bahwa tidak lebih dari sepertiga abad telah berlalu sejak teori tersebut muncul, namun selama ini fraktal bagi banyak peneliti menjadi cahaya terang yang tiba-tiba di malam hari, yang menerangi fakta dan pola yang sampai sekarang tidak diketahui di area data tertentu. . Dengan bantuan teori fraktal, mereka mulai menjelaskan evolusi galaksi dan perkembangan sel, munculnya gunung dan pembentukan awan, pergerakan harga di bursa saham dan perkembangan masyarakat dan keluarga. Mungkin, pada awalnya, ketertarikan terhadap fraktal ini terlalu kuat dan upaya untuk menjelaskan segala sesuatu menggunakan teori fraktal tidak dapat dibenarkan. Namun, tidak diragukan lagi, teori ini mempunyai hak untuk hidup, dan kami menyesalinya Akhir-akhir ini itu entah bagaimana dilupakan dan tetap menjadi milik segelintir orang terpilih. Dalam mempersiapkan karya ini, sangat menarik bagi kami untuk menemukan penerapan TEORI dalam PRAKTEK. Karena seringkali ada perasaan bahwa pengetahuan teoritis terpisah dari kenyataan hidup.

Dengan demikian, konsep fraktal tidak hanya menjadi bagian dari ilmu pengetahuan “murni”, tetapi juga menjadi elemen budaya universal manusia. Ilmu fraktal masih sangat muda dan memiliki masa depan yang cerah. Keindahan fraktal masih jauh dari kata habis dan masih akan memberi kita banyak mahakarya - yang memanjakan mata, dan yang memberikan kenikmatan sejati bagi pikiran.

10. Referensi

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktal dan multifraktal. RHD 2001 .

Vitolin D. Penerapan fraktal dalam grafik komputer. // Computerworld-Rusia.-1995

Mandelbrot B. Kumpulan fraktal afinitas diri, “Fraktal dalam Fisika.” M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Geometri fraktal alam. - M.: “Lembaga Penelitian Komputer”, 2002.

Morozov A.D. Pengantar teori fraktal. N.Novgorod: Rumah Penerbitan Nizhny Novgorod. Universitas 1999

Peitgen H.-O., Richter P. H. Keindahan fraktal. - M.: “Mir”, 1993.

Sumber daya internet

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Penemuan paling cerdik dalam sains dapat mengubah kehidupan manusia secara radikal. Vaksin yang ditemukan dapat menyelamatkan jutaan orang; penciptaan senjata, sebaliknya, merenggut nyawa orang-orang tersebut. Baru-baru ini (dalam skala evolusi manusia) kita telah belajar untuk “menjinakkan” listrik - dan sekarang kita tidak dapat membayangkan hidup tanpa semua perangkat praktis yang menggunakan listrik. Namun ada juga penemuan-penemuan yang hanya dianggap penting oleh sedikit orang, meskipun penemuan-penemuan tersebut juga sangat mempengaruhi kehidupan kita.

Salah satu penemuan yang “tidak mencolok” ini adalah fraktal. Anda mungkin pernah mendengar kata menarik ini sebelumnya, tetapi tahukah Anda apa artinya dan seberapa banyak informasi menarik yang tersembunyi dalam istilah ini?

Setiap orang memiliki keingintahuan alami, keinginan untuk memahami dunia di sekitarnya. Dan dalam upaya ini, seseorang berusaha berpegang pada logika dalam penilaian. Menganalisis proses yang terjadi di sekitarnya, ia mencoba menemukan logika dari apa yang terjadi dan memperoleh beberapa pola. Para pemikir terhebat di planet ini sedang sibuk dengan tugas ini. Secara kasar, para ilmuwan sedang mencari pola yang seharusnya tidak ada. Namun demikian, bahkan dalam kekacauan pun dimungkinkan untuk menemukan hubungan antar peristiwa. Dan hubungan ini adalah fraktal.

Putri kecil kami, yang berusia empat setengah tahun, kini berada pada usia yang luar biasa ketika banyaknya pertanyaan “Mengapa?” berkali-kali lipat melebihi jumlah jawaban yang bisa diberikan orang dewasa. Belum lama ini, saat mengamati sebuah dahan yang terangkat dari tanah, putri saya tiba-tiba menyadari bahwa dahan tersebut, beserta ranting dan cabangnya, tampak seperti pohon. Dan tentu saja yang terjadi selanjutnya adalah pertanyaan biasa “Mengapa?”, yang mana orang tua harus mencari penjelasan sederhana yang dapat dipahami oleh anak.

Kemiripan satu cabang dengan seluruh pohon yang ditemukan oleh seorang anak merupakan pengamatan yang sangat akurat, yang sekali lagi membuktikan prinsip kesamaan diri yang rekursif di alam. Banyak bentuk organik dan anorganik di alam terbentuk dengan cara yang sama. Awan, kerang laut, “rumah” siput, kulit kayu dan tajuk pohon, sistem peredaran darah, dan sebagainya—bentuk acak dari semua objek ini dapat dijelaskan dengan algoritma fraktal.

⇡ Benoit Mandelbrot: bapak geometri fraktal

Kata “fraktal” sendiri muncul berkat ilmuwan brilian Benoit B. Mandelbrot.

Dia sendiri yang menciptakan istilah tersebut pada tahun 1970-an, meminjam kata fractus dari bahasa Latin, yang secara harfiah berarti “rusak” atau “hancur”. Apa itu? Saat ini, kata “fraktal” paling sering berarti representasi grafis dari suatu struktur yang, dalam skala lebih besar, mirip dengan struktur itu sendiri.

Dasar matematis munculnya teori fraktal telah diletakkan bertahun-tahun sebelum kelahiran Benoit Mandelbrot, tetapi teori itu hanya dapat berkembang dengan munculnya perangkat komputasi. Pada awal karir ilmiahnya, Benoit bekerja di pusat penelitian IBM. Saat itu, karyawan pusat tersebut sedang mengerjakan transmisi data jarak jauh. Selama penelitian, para ilmuwan dihadapkan pada masalah kerugian besar yang timbul akibat gangguan kebisingan. Benoit mempunyai tugas yang sulit dan sangat penting - untuk memahami bagaimana memprediksi terjadinya gangguan kebisingan pada rangkaian elektronik ketika metode statistik ternyata tidak efektif.

Melihat hasil pengukuran kebisingan, Mandelbrot memperhatikan satu pola aneh - grafik kebisingan pada skala berbeda tampak sama. Pola serupa diamati terlepas dari apakah itu grafik kebisingan selama satu hari, seminggu, atau satu jam. Skala grafik perlu diubah, dan gambar diulang setiap saat.

Semasa hidupnya, Benoit Mandelbrot berulang kali mengatakan bahwa ia tidak mempelajari rumus, melainkan hanya bermain-main dengan gambar. Orang ini berpikir dengan sangat kiasan, dan menerjemahkan masalah aljabar apa pun ke dalam bidang geometri, yang menurutnya, jawaban yang benar selalu jelas.

Tidak mengherankan jika pria dengan imajinasi spasial yang kaya itulah yang menjadi bapak geometri fraktal. Bagaimanapun, kesadaran akan esensi fraktal muncul tepat ketika Anda mulai mempelajari gambar dan memikirkan tentang arti pola pusaran yang aneh.

Pola fraktal tidak memiliki elemen yang identik, namun serupa pada skala apa pun. Sebelumnya mustahil untuk membuat gambar seperti itu dengan tingkat detail yang tinggi secara manual; hal ini memerlukan sejumlah besar perhitungan. Misalnya, ahli matematika Perancis Pierre Joseph Louis Fatou menggambarkan himpunan ini lebih dari tujuh puluh tahun sebelum penemuan Benoit Mandelbrot. Jika kita berbicara tentang prinsip kesamaan diri, mereka disebutkan dalam karya Leibniz dan Georg Cantor.

Salah satu gambar fraktal pertama adalah interpretasi grafis dari himpunan Mandelbrot, yang lahir berkat penelitian Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (selalu memakai topeng - cedera akibat Perang Dunia I)

Matematikawan Perancis ini bertanya-tanya seperti apa himpunan jika dibuat dari rumus sederhana yang diiterasi melalui putaran umpan balik. Jika kita menjelaskannya “dengan jari kita”, artinya untuk suatu bilangan tertentu kita mencari nilai baru menggunakan rumus, setelah itu kita substitusikan lagi ke dalam rumus dan mendapatkan nilai lain. Hasilnya adalah deretan angka yang besar.

Untuk mendapatkan gambaran lengkap tentang himpunan seperti itu, Anda perlu melakukan banyak perhitungan - ratusan, ribuan, jutaan. Tidak mungkin melakukan ini secara manual. Namun ketika perangkat komputasi canggih tersedia bagi para ahli matematika, mereka dapat melihat kembali rumus dan ekspresi yang telah lama diminati. Mandelbrot adalah orang pertama yang menggunakan komputer untuk menghitung fraktal klasik. Setelah memproses suatu barisan yang terdiri dari sejumlah besar nilai, Benoit memplot hasilnya pada grafik. Itu yang dia dapat.

Selanjutnya gambar ini diwarnai (misalnya salah satu cara pewarnaannya adalah dengan jumlah iterasi) dan menjadi salah satu gambar terpopuler yang pernah dibuat manusia.

Seperti pepatah kuno yang dikaitkan dengan Heraclitus dari Efesus, “Anda tidak dapat melangkah ke sungai yang sama dua kali.” Ini sangat cocok untuk menafsirkan geometri fraktal. Tidak peduli seberapa detail kita melihat gambar fraktal, kita akan selalu melihat pola serupa.

Mereka yang ingin melihat seperti apa gambar ruang Mandelbrot ketika diperbesar berkali-kali dapat melakukannya dengan mengunduh animasi GIF.

⇡ Lauren Carpenter: seni yang diciptakan oleh alam

Teori fraktal segera menemukan penerapan praktis. Karena berkaitan erat dengan visualisasi gambar yang mirip diri, tidak mengherankan jika yang pertama mengadopsi algoritma dan prinsip untuk membangun bentuk yang tidak biasa adalah seniman.

Salah satu pendiri studio Pixar yang legendaris di masa depan, Loren C. Carpenter, mulai bekerja pada tahun 1967 di Boeing Computer Services, yang merupakan salah satu divisi dari perusahaan terkenal yang mengembangkan pesawat baru.

Pada tahun 1977, ia membuat presentasi dengan model prototipe terbang. Tanggung jawab Loren termasuk mengembangkan gambar pesawat yang sedang dirancang. Dia harus membuat gambar model-model baru, menunjukkan pesawat masa depan dari berbagai sudut. Suatu saat, calon pendiri Pixar Animation Studios muncul dengan ide kreatif menggunakan gambar pegunungan sebagai background. Saat ini, setiap anak sekolah dapat memecahkan masalah seperti itu, tetapi pada akhir tahun tujuh puluhan abad yang lalu, komputer tidak dapat mengatasi perhitungan rumit seperti itu - tidak ada editor grafis, apalagi aplikasi untuk grafik 3D. Pada tahun 1978, Lauren secara tidak sengaja melihat buku Fractals: Form, Chance and Dimension karya Benoit Mandelbrot di sebuah toko. Dalam buku ini, perhatiannya tertuju pada kenyataan bahwa Benoit banyak memberikan contoh bentuk fraktal kehidupan nyata dan berpendapat bahwa mereka dapat dijelaskan dengan ekspresi matematika.

Analogi ini tidak dipilih oleh ahli matematika secara kebetulan. Faktanya, begitu dia mempublikasikan penelitiannya, dia harus menghadapi rentetan kritik. Hal utama yang dicela rekan-rekannya adalah tidak bergunanya teori yang dikembangkan. “Ya,” kata mereka, “ini adalah gambar yang indah, tapi tidak lebih. Teori fraktal tidak memiliki nilai praktis.” Ada juga orang-orang yang secara umum percaya bahwa pola fraktal hanyalah produk sampingan dari kerja “mesin jahat”, yang pada akhir tahun tujuh puluhan tampak bagi banyak orang sebagai sesuatu yang terlalu rumit dan belum dijelajahi untuk dapat dipercaya sepenuhnya. Mandelbrot mencoba menemukan penerapan yang jelas untuk teori fraktal, namun dalam skema besar dia tidak perlu melakukannya. Selama 25 tahun berikutnya, para pengikut Benoit Mandelbrot membuktikan manfaat besar dari “keingintahuan matematis” tersebut, dan Lauren Carpenter adalah salah satu orang pertama yang mencoba metode fraktal dalam praktiknya.

Setelah mempelajari buku tersebut, calon animator dengan serius mempelajari prinsip-prinsip geometri fraktal dan mulai mencari cara untuk mengimplementasikannya dalam grafik komputer. Hanya dalam tiga hari kerja, Lauren mampu membuat gambaran realistis sistem pegunungan di komputernya. Dengan kata lain, dia menggunakan formula untuk melukis pemandangan pegunungan yang benar-benar dapat dikenali.

Prinsip yang digunakan Lauren untuk mencapai tujuannya sangat sederhana. Ini terdiri dari pembagian bangun geometri yang lebih besar menjadi elemen-elemen kecil, dan selanjutnya, dibagi menjadi bangun-bangun serupa dengan ukuran yang lebih kecil.

Dengan menggunakan segitiga yang lebih besar, Carpenter membaginya menjadi empat segitiga yang lebih kecil dan kemudian mengulangi proses ini berulang kali hingga ia mendapatkan lanskap pegunungan yang realistis. Dengan demikian, ia berhasil menjadi seniman pertama yang menggunakan algoritma fraktal untuk membangun gambar dalam grafik komputer. Segera setelah karya tersebut diketahui, para peminat di seluruh dunia menerima ide tersebut dan mulai menggunakan algoritma fraktal untuk meniru bentuk alam yang realistis.

Salah satu visualisasi 3D pertama yang menggunakan algoritma fraktal

Hanya beberapa tahun kemudian, Lauren Carpenter mampu menerapkan perkembangannya dalam proyek yang jauh lebih besar. Animator membuat demo Vol Libre berdurasi dua menit dari mereka, yang ditampilkan di Siggraph pada tahun 1980. Video ini mengejutkan semua orang yang melihatnya, dan Lauren mendapat undangan dari Lucasfilm.

Animasi tersebut dirender pada komputer VAX-11/780 dari Digital Equipment Corporation dengan kecepatan clock lima megahertz, dan setiap frame membutuhkan waktu sekitar setengah jam untuk dirender.

Bekerja untuk Lucasfilm Limited, animator menciptakan lanskap 3D menggunakan skema yang sama untuk film berdurasi penuh kedua dalam kisah Star Trek. Dalam The Wrath of Khan, Carpenter mampu menciptakan seluruh planet menggunakan prinsip pemodelan permukaan fraktal yang sama.

Saat ini, semua aplikasi populer untuk membuat lanskap 3D menggunakan prinsip serupa untuk menghasilkan objek alam. Terragen, Bryce, Vue, dan editor 3D lainnya mengandalkan algoritma fraktal untuk memodelkan permukaan dan tekstur.

⇡ Antena fraktal: lebih sedikit lebih baik

Selama setengah abad terakhir, kehidupan mulai berubah dengan cepat. Kebanyakan dari kita menganggap remeh kemajuan teknologi modern. Anda terbiasa dengan segala sesuatu yang membuat hidup lebih nyaman dengan sangat cepat. Jarang ada orang yang menanyakan pertanyaan “Dari mana asalnya?” dan “Bagaimana cara kerjanya?” Microwave memanaskan sarapan - bagus, ponsel cerdas memberi Anda kesempatan untuk berbicara dengan orang lain - bagus. Tampaknya ini merupakan kemungkinan yang jelas bagi kami.

Namun hidup bisa menjadi sangat berbeda jika seseorang tidak mencari penjelasan atas peristiwa yang terjadi. Ambil contoh telepon seluler. Ingat antena yang dapat ditarik pada model pertama? Mereka mengganggu, memperbesar ukuran perangkat, dan pada akhirnya sering rusak. Kami percaya mereka telah terlupakan selamanya, dan salah satu alasannya adalah... fraktal.

Pola fraktal mempesona dengan polanya. Mereka pasti menyerupai gambar objek kosmik - nebula, gugus galaksi, dan sebagainya. Oleh karena itu, sangatlah wajar jika Mandelbrot menyuarakan teorinya tentang fraktal, penelitiannya meningkatkan minat di antara mereka yang mempelajari astronomi. Salah satu amatir bernama Nathan Cohen, setelah mengikuti ceramah Benoit Mandelbrot di Budapest, mendapat ide aplikasi praktis pengetahuan yang diperoleh. Benar, dia melakukan ini secara intuitif, dan kebetulan memainkan peran penting dalam penemuannya. Sebagai seorang amatir radio, Nathan berusaha menciptakan antena dengan sensitivitas setinggi mungkin.

Satu-satunya cara untuk meningkatkan parameter antena yang dikenal pada saat itu adalah dengan meningkatkan dimensi geometrisnya. Namun, pemilik properti di pusat kota Boston yang disewa Nathan dengan tegas menentang pemasangan perangkat berukuran besar di atap. Kemudian Nathan mulai bereksperimen berbagai bentuk antena, berusaha mendapatkan hasil yang maksimal dengan ukuran minimal. Terinspirasi oleh gagasan bentuk fraktal, Cohen, seperti yang mereka katakan, secara acak membuat salah satu fraktal paling terkenal dari kawat - "kepingan salju Koch". Matematikawan Swedia Helge von Koch menemukan kurva ini pada tahun 1904. Diperoleh dengan membagi suatu ruas menjadi tiga bagian dan mengganti ruas tengah dengan segitiga sama sisi tanpa sisi yang berhimpitan dengan ruas tersebut. Definisinya agak sulit untuk dipahami, namun pada gambar semuanya jelas dan sederhana.

Ada juga variasi lain dari kurva Koch, tetapi perkiraan bentuk kurvanya tetap sama

Ketika Nathan menghubungkan antena ke penerima radio, dia sangat terkejut - sensitivitasnya meningkat drastis. Setelah serangkaian percobaan, calon profesor di Universitas Boston menyadari bahwa antena yang dibuat berdasarkan pola fraktal memiliki efisiensi tinggi dan mencakup rentang frekuensi yang jauh lebih luas dibandingkan dengan solusi klasik. Selain itu, bentuk antena yang berbentuk kurva fraktal memungkinkan pengurangan dimensi geometris secara signifikan. Nathan Cohen bahkan mengemukakan teorema yang membuktikan bahwa untuk membuat antena broadband, cukup memberinya bentuk kurva fraktal yang serupa.

Penulis mematenkan penemuannya dan mendirikan perusahaan untuk pengembangan dan desain antena fraktal Sistem Antena Fraktal, dengan keyakinan yang tepat bahwa di masa depan, berkat penemuannya, ponsel akan mampu menghilangkan antena besar dan menjadi lebih kompak.

Pada prinsipnya, inilah yang terjadi. Benar, hingga hari ini Nathan terlibat dalam perselisihan hukum dengan perusahaan besar yang secara ilegal menggunakan penemuannya untuk memproduksi perangkat komunikasi kompak. Beberapa produsen perangkat seluler ternama, seperti Motorola, telah mencapai kesepakatan baik dengan penemu antena fraktal.

⇡ Dimensi fraktal: Anda tidak dapat memahaminya dengan pikiran Anda

Benoit meminjam pertanyaan ini dari ilmuwan terkenal Amerika Edward Kasner.

Yang terakhir, seperti banyak ahli matematika terkenal lainnya, senang berkomunikasi dengan anak-anak, mengajukan pertanyaan kepada mereka, dan menerima jawaban yang tidak terduga. Terkadang hal ini menimbulkan konsekuensi yang mengejutkan. Misalnya, keponakan Edward Kasner yang berusia sembilan tahun menemukan kata “googol” yang sekarang terkenal, artinya satu diikuti seratus angka nol. Tapi mari kita kembali ke fraktal. Ahli matematika Amerika suka bertanya berapa panjang garis pantai Amerika. Setelah mendengarkan pendapat lawan bicaranya, Edward sendiri mengucapkan jawaban yang benar. Jika mengukur panjang pada peta dengan menggunakan ruas putus-putus maka hasilnya akan menjadi tidak akurat, karena garis pantainya banyak terdapat ketidakteraturan. Apa jadinya jika kita mengukur seakurat mungkin? Anda harus memperhitungkan panjang setiap ketidakrataan - Anda perlu mengukur setiap tanjung, setiap teluk, batu, panjang langkan berbatu, batu di atasnya, sebutir pasir, atom, dan sebagainya. Karena jumlah ketidakteraturan cenderung tak terhingga, maka panjang garis pantai yang diukur akan bertambah hingga tak terhingga ketika mengukur setiap ketidakteraturan baru.

Semakin kecil ukuran saat mengukur, semakin panjang panjang yang diukur

Menariknya, mengikuti petunjuk Edward, anak-anak jauh lebih cepat daripada orang dewasa dalam memberikan solusi yang tepat, sementara orang dewasa kesulitan menerima jawaban yang luar biasa tersebut.

Dengan menggunakan masalah ini sebagai contoh, Mandelbrot menyarankan untuk menggunakan pendekatan baru untuk pengukuran. Karena garis pantai dekat dengan kurva fraktal, ini berarti parameter karakterisasi dapat diterapkan padanya - yang disebut dimensi fraktal.

Apa yang dimaksud dengan dimensi reguler jelas bagi siapa pun. Jika dimensinya sama dengan satu, kita mendapatkan garis lurus, jika dua - bangun datar, tiga - volume. Namun pemahaman dimensi dalam matematika ini tidak berlaku pada kurva fraktal, dimana parameter ini memiliki nilai pecahan. Dimensi fraktal dalam matematika secara konvensional dapat dianggap sebagai “kekasaran”. Semakin tinggi kekasaran kurva, semakin besar dimensi fraktalnya. Kurva yang menurut Mandelbrot mempunyai dimensi fraktal lebih tinggi dari dimensi topologinya mempunyai perkiraan panjang yang tidak bergantung pada jumlah dimensi.

Saat ini, para ilmuwan menemukan lebih banyak bidang untuk menerapkan teori fraktal. Dengan menggunakan fraktal, Anda dapat menganalisis fluktuasi harga bursa, mempelajari semua jenis proses alam, seperti fluktuasi jumlah spesies, atau mensimulasikan dinamika arus. Algoritma fraktal dapat digunakan untuk kompresi data, seperti kompresi gambar. Dan omong-omong, untuk mendapatkan fraktal yang indah di layar komputer Anda, Anda tidak harus memiliki gelar doktor.

⇡ Fraktal di browser

Mungkin salah satu cara termudah untuk mendapatkan pola fraktal adalah dengan menggunakan editor vektor online dari programmer muda berbakat Toby Schachman. Alat editor grafis sederhana ini didasarkan pada prinsip kesamaan diri yang sama.

Yang Anda inginkan hanya ada dua bentuk paling sederhana - segi empat dan lingkaran. Anda dapat menambahkannya ke kanvas, menskalakannya (untuk menskalakan sepanjang salah satu sumbu, tahan tombol Shift) dan memutarnya. Tumpang tindih menurut prinsip operasi penjumlahan Boolean, elemen paling sederhana ini membentuk bentuk baru yang tidak terlalu sepele. Bentuk-bentuk baru ini kemudian dapat ditambahkan ke proyek, dan program akan mengulangi pembuatan gambar-gambar ini tanpa batas. Pada setiap tahap pengerjaan fraktal, Anda dapat kembali ke komponen bentuk kompleks mana pun dan mengedit posisi serta geometrinya. Sebuah aktivitas yang menyenangkan, apalagi mengingat satu-satunya alat yang Anda perlukan untuk membuat adalah browser. Jika Anda tidak memahami prinsip bekerja dengan editor vektor rekursif ini, kami menyarankan Anda untuk menonton video di situs resmi proyek, yang menunjukkan secara rinci seluruh proses pembuatan fraktal.

⇡ XaoS: fraktal untuk setiap selera

Banyak editor grafis memiliki alat bawaan untuk membuat pola fraktal. Namun, alat ini biasanya bersifat sekunder dan tidak memungkinkan penyesuaian pola fraktal yang dihasilkan. Jika diperlukan untuk membuat fraktal yang akurat secara matematis, editor lintas platform XaoS akan membantu. Program ini memungkinkan tidak hanya untuk membangun gambar yang mirip dengan diri sendiri, tetapi juga untuk melakukan berbagai manipulasi dengannya. Misalnya, secara real time Anda dapat “berjalan” di sepanjang fraktal dengan mengubah skalanya. Gerakan animasi sepanjang fraktal dapat disimpan sebagai file XAF dan kemudian direproduksi dalam program itu sendiri.

XaoS dapat memuat serangkaian parameter acak, dan juga menggunakan berbagai filter pasca-pemrosesan gambar - menambahkan efek gerakan buram, menghaluskan transisi tajam antara titik fraktal, mensimulasikan gambar 3D, dan sebagainya.

⇡ Zoomer Fraktal: generator fraktal ringkas

Dibandingkan dengan generator gambar fraktal lainnya, generator ini memiliki beberapa keunggulan. Pertama, ukurannya sangat kecil dan tidak memerlukan instalasi. Kedua, mengimplementasikan kemampuan menentukan Palet warna menggambar. Anda dapat memilih corak dalam model warna RGB, CMYK, HVS dan HSL.

Juga sangat nyaman untuk menggunakan opsi pemilihan corak warna secara acak dan fungsi membalikkan semua warna dalam gambar. Untuk menyesuaikan warna, ada fungsi pemilihan warna siklis - saat Anda mengaktifkan mode yang sesuai, program akan menganimasikan gambar, mengubah warna di dalamnya secara siklis.

Fractal Zoomer dapat memvisualisasikan 85 fungsi fraktal yang berbeda, dan rumusnya ditampilkan dengan jelas di menu program. Terdapat filter untuk pasca-pemrosesan gambar dalam program ini, meskipun dalam jumlah kecil. Setiap filter yang ditetapkan dapat dibatalkan kapan saja.

⇡ Mandelbulb3D: editor fraktal 3D

Ketika istilah "fraktal" digunakan, istilah ini paling sering mengacu pada gambar dua dimensi yang datar. Namun, geometri fraktal melampaui dimensi 2D. Di alam, Anda dapat menemukan contoh bentuk fraktal datar, misalnya geometri petir, dan bentuk volumetrik tiga dimensi. Permukaan fraktal bisa berbentuk tiga dimensi, dan salah satunya ilustrasi visual Fraktal 3D dalam kehidupan sehari-hari - kepala kubis. Mungkin cara terbaik untuk melihat fraktal adalah pada varietas Romanesco, hibrida kembang kol dan brokoli.

Anda juga bisa memakan fraktal ini

Program Mandelbulb3D dapat membuat objek tiga dimensi dengan bentuk serupa. Untuk mendapatkan permukaan 3D menggunakan algoritma fraktal, penulis aplikasi ini, Daniel White dan Paul Nylander, mengubah himpunan Mandelbrot menjadi koordinat bola. Program Mandelbulb3D yang mereka buat adalah editor tiga dimensi nyata yang memodelkan permukaan fraktal dari berbagai bentuk. Karena kita sering mengamati pola fraktal di alam, objek tiga dimensi fraktal yang dibuat secara artifisial tampak sangat realistis dan bahkan “hidup”.

Mungkin menyerupai tumbuhan, mungkin menyerupai binatang aneh, planet, atau yang lainnya. Efek ini ditingkatkan dengan algoritma rendering tingkat lanjut, yang memungkinkan untuk mendapatkan refleksi realistis, menghitung transparansi dan bayangan, mensimulasikan efek kedalaman bidang, dan sebagainya. Mandelbulb3D memiliki banyak sekali pengaturan dan opsi rendering. Anda dapat mengontrol corak sumber cahaya, memilih latar belakang dan tingkat detail objek yang disimulasikan.

Editor fraktal Incendia mendukung penghalusan gambar ganda, berisi perpustakaan lima puluh fraktal tiga dimensi yang berbeda, dan memiliki modul terpisah untuk mengedit bentuk dasar.

Aplikasi ini menggunakan skrip fraktal, yang dengannya Anda dapat mendeskripsikan jenis desain fraktal baru secara mandiri. Incendia memiliki editor tekstur dan material, dan mesin rendering memungkinkan Anda menggunakan efek kabut volumetrik dan berbagai shader. Program ini mengimplementasikan opsi untuk menyimpan buffer selama rendering jangka panjang, dan mendukung pembuatan animasi.

Incendia memungkinkan Anda mengekspor model fraktal ke format grafik 3D populer - OBJ dan STL. Incendia menyertakan utilitas kecil yang disebut Geometrica, alat khusus untuk mengatur ekspor permukaan fraktal ke model 3D. Dengan menggunakan utilitas ini, Anda dapat menentukan resolusi permukaan 3D dan menentukan jumlah iterasi fraktal. Model yang diekspor dapat digunakan dalam proyek 3D saat bekerja dengan editor 3D seperti Blender, 3ds max, dan lainnya.

Baru-baru ini, pengerjaan proyek Incendia agak melambat. Saat ini penulis sedang mencari sponsor untuk membantunya mengembangkan program tersebut.

Jika Anda tidak memiliki cukup imajinasi untuk menggambar fraktal tiga dimensi yang indah dalam program ini, tidak masalah. Gunakan perpustakaan parameter, yang terletak di folder INCENDIA_EX\parameters. Dengan menggunakan file PAR, Anda dapat dengan cepat menemukan bentuk fraktal yang paling tidak biasa, termasuk bentuk animasi.

⇡ Aural: bagaimana fraktal bernyanyi

Kami biasanya tidak membicarakan proyek yang baru saja dikerjakan, tetapi dalam hal ini kami harus membuat pengecualian, karena ini adalah aplikasi yang sangat tidak biasa. Proyek yang disebut Aural ini ditemukan oleh orang yang sama yang menciptakan Incendia. Namun, program kali ini tidak memvisualisasikan himpunan fraktal, melainkan membunyikannya, mengubahnya menjadi musik elektronik. Idenya sangat menarik, terutama mengingat sifat fraktal yang tidak biasa. Aural adalah editor audio yang menghasilkan melodi menggunakan algoritma fraktal, yang pada dasarnya adalah sequencer synthesizer audio.

Urutan suara yang dihasilkan oleh program ini tidak biasa dan... indah. Ini mungkin berguna untuk menulis ritme modern dan, menurut kami, sangat cocok untuk membuat soundtrack untuk screensaver program televisi dan radio, serta “loop” musik latar untuk permainan komputer. Ramiro belum memberikan demo programnya, tetapi berjanji bahwa ketika dia melakukannya, untuk bekerja dengan Aural, Anda tidak perlu mempelajari teori fraktal - Anda hanya perlu bermain-main dengan parameter algoritme untuk menghasilkan urutan catatan. Dengarkan bagaimana fraktal terdengar, dan.

Fraktal: jeda musik

Faktanya, fraktal dapat membantu Anda menulis musik meski tanpanya perangkat lunak. Namun hal ini hanya dapat dilakukan oleh seseorang yang benar-benar diilhami oleh gagasan tentang harmoni alam dan belum berubah menjadi “kutu buku” yang malang. Masuk akal untuk mengikuti contoh seorang musisi bernama Jonathan Coulton, yang antara lain menulis komposisi untuk majalah Popular Science. Dan tidak seperti artis lainnya, Colton menerbitkan semua karyanya di bawah lisensi Creative Commons Attribution-Noncommercial, yang (bila digunakan untuk tujuan non-komersial) menyediakan penyalinan, distribusi, transfer karya kepada orang lain, serta modifikasinya secara gratis ( pembuatan karya turunan) sehingga sesuaikan dengan tugas Anda.

Jonathan Colton tentu saja punya lagu tentang fraktal.

⇡ Kesimpulan

Dalam segala hal yang ada di sekitar kita, kita sering melihat kekacauan, namun sebenarnya ini bukanlah suatu kebetulan, melainkan suatu bentuk ideal yang fraktal bantu kita pahami. Alam adalah arsitek terbaik, pembangun dan insinyur terbaik. Ini terstruktur dengan sangat logis, dan jika kita tidak melihat suatu pola di suatu tempat, ini berarti kita perlu mencarinya pada skala yang berbeda. Orang-orang semakin memahami hal ini, mencoba meniru bentuk-bentuk alam dengan berbagai cara. Insinyur merancang sistem speaker berbentuk cangkang, membuat antena berbentuk kepingan salju, dan sebagainya. Kami yakin fraktal masih menyimpan banyak rahasia, dan banyak di antaranya yang belum ditemukan oleh manusia.

Kembali