Bagian ini berisi materi referensi tentang fungsi dasar dasar dan sifat-sifatnya. Sebuah klasifikasi fungsi dasar diberikan. Di bawah ini adalah tautan ke subbagian yang membahas sifat-sifat fungsi tertentu - grafik, rumus, turunan, antiturunan (integral), perluasan ke deret, ekspresi dalam bentuk variabel kompleks.
Halaman referensi untuk fungsi dasar
Klasifikasi fungsi dasar
Fungsi aljabar adalah fungsi yang memenuhi persamaan:
,
dimana adalah polinomial dalam variabel dependen y dan variabel independen x . Itu dapat ditulis sebagai:
,
di mana polinomial.
Fungsi aljabar dibagi menjadi polinomial (seluruh fungsi rasional), fungsi rasional dan fungsi irasional.
Seluruh fungsi rasional, yang juga disebut polinomial atau polinomial, diperoleh dari variabel x dan sejumlah bilangan terbatas menggunakan operasi aritmatika penjumlahan (pengurangan) dan perkalian. Setelah tanda kurung dibuka, polinomial direduksi menjadi bentuk kanonis:
.
Fungsi rasional pecahan, atau sederhana Fungsi rasional, diperoleh dari variabel x dan bilangan berhingga bilangan menggunakan operasi aritmatika penjumlahan (pengurangan), perkalian dan pembagian. Fungsi rasional dapat direduksi menjadi bentuk
,
dimana dan adalah polinomial.
Fungsi irasional merupakan fungsi aljabar yang tidak rasional. Sebagai aturan, fungsi irasional dipahami sebagai akar dan komposisinya dengan fungsi rasional. Akar derajat n didefinisikan sebagai solusi persamaan
.
Itu ditandai seperti ini:
.
Fungsi transenden disebut fungsi non-aljabar. Ini adalah fungsi eksponensial, trigonometri, hiperbolik dan invers.
Tinjauan fungsi dasar dasar
Semua fungsi dasar dapat direpresentasikan sebagai jumlah terbatas operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang dilakukan pada ekspresi bentuk:
zt.
Fungsi invers juga dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma. Fungsi dasar utama tercantum di bawah ini.
Fungsi daya:
y(x) = x p ,
di mana p adalah eksponen. Itu tergantung pada basis x.
Kembali ke fungsi daya juga merupakan fungsi daya:
.
Untuk nilai eksponen p bilangan bulat non-negatif, itu adalah polinomial. Untuk nilai integer p adalah fungsi rasional. Pada makna rasional- fungsi irasional.
Fungsi Transenden
Fungsi eksponensial :
y(x) = a x ,
di mana a adalah dasar derajat. Itu tergantung pada eksponen x.
Fungsi invers adalah logaritma ke basis a:
x= log a y.
Pangkat, e pangkat x:
y(x) = e x ,
Ini adalah fungsi eksponensial yang turunannya sama dengan fungsi itu sendiri:
.
Basis eksponen adalah angka e:
≈ 2,718281828459045...
.
Fungsi terbalik - logaritma natural - logaritma ke basis e :
x= Dalam y ≡ log e y.
Fungsi trigonometri:
Sinus : ;
Kosinus : ;
Tangen : ;
Kotangen : ;
Di sini i adalah unit imajiner, i 2 = -1.
Fungsi trigonometri terbalik:
Arcsinus: x = arcsin y,
;
Arccosine: x = busur cos y,
;
Arctangen: x = arctg y,
;
Garis singgung busur: x = arcctg y,
.
Bengkel
Dengan analisis matematis
Untuk mahasiswa malam
Wah tentu saja
(Bagian I)
Moskow, 2006
UDC 512.8:516
BBK S42
Peninjau:
Calon Ilmu Fisika dan Matematika, Associate Professor Karolinskaya S.N. (Institut Penerbangan Moskow dinamai S. Ordzhonikidze);
Calon Ilmu Fisika dan Matematika, Associate Professor Krasnoslobodtseva T.P. (MITHT dinamai M.V. Lomonosov).
Skvortsova M.I., Mudrakova O.A., Krotov G.S., Lokakarya analisis matematika untuk mahasiswa jurusan malam tahun pertama (Bagian I), Manual pendidikan dan metodologi - M .: MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006 - 44 s.: sakit. 29 .
Disetujui oleh Library and Publishing Commission MITHT mereka. M.V. Lomonosov sebagai alat bantu pengajaran. Pos. ___/2006.
Manual ini adalah ringkasan dari 6 pelajaran praktis di lapangan analisis matematis untuk mahasiswa jurusan malam MITHT mereka. M.V. Lomonosov. Bagian I mencakup bagian-bagian berikut: "Fungsi dan sifat dasarnya", "Batas fungsi", "Titik kontinuitas dan diskontinuitas fungsi".
Setiap pelajaran dikhususkan untuk topik yang terpisah. Ringkasan dari 5 pelajaran berisi ringkasan teori yang relevan, contoh khas dan tugas untuk keputusan mandiri(dengan jawaban). Dalam abstrak pelajaran No. 6 diberikan contoh pilihan pekerjaan kontrol(dengan solusi) yang diberikan dalam pelajaran ini.
Manual ini ditujukan untuk mahasiswa jurusan malam universitas profil kimia.
© MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006
Pelajaran 1.
| |
Pelajaran 2. Sistem koordinat kutub. Konstruksi grafik fungsi dengan menggeser dan merentang sepanjang sumbu koordinat ……………………………………………………….
Pelajaran 3. Batas fungsi. Kontinuitas fungsi. Perhitungan limit fungsi kontinyu, rasional, dan irasional …………………………
Pelajaran 4. Pertama dan kedua batas yang indah. Perhitungan batas fungsi eksponensial daya. Sangat kecil dan sangat besar
nilai ………………………………………………………….
Pelajaran 5. Titik kontinuitas dan titik diskontinuitas suatu fungsi. Klasifikasi titik henti. Investigasi fungsi untuk kontinuitas ………………………………
Pelajaran 6. Ujian No. 1 dengan topik "Perhitungan limit fungsi. Investigasi fungsi untuk kontinuitas"………………………………………………….
literatur……………………………………………….
Pelajaran 1.
Konsep fungsi. Fungsi dasar dasar, sifat dan grafiknya.
Definisi 1. Ketergantungan suatu variabel pada suatu variabel disebut fungsi jika setiap nilai sesuai dengan satu nilai .
Kami menulis: dan pembicaraan, yang merupakan fungsi dari . Pada saat yang sama itu disebut variabel bebas(atau argumen), dan - variabel tak bebas.
Definisi 2. Lingkup fungsi(dilambangkan dengan ) adalah semua nilai yang . Kumpulan nilai fungsi(dilambangkan dengan ) adalah semua nilai yang .
Definisi 3. Fungsinya disebut meningkat (memudar) pada interval numerik , jika untuk salah satu dari , sehingga berlaku pertidaksamaan berikut:
.
Definisi 4. Fungsinya disebut membosankan pada interval jika hanya berkurang atau hanya bertambah sebesar .
Definisi 5. Fungsinya disebut bahkan (aneh) jika simetris terhadap nol dan untuk salah satu dari :
.
Panjang segmen pada sumbu koordinat ditemukan dengan rumus:
Panjang segmen pada bidang koordinat dicari dengan rumus:
Untuk menemukan panjang segmen dalam sistem koordinat tiga dimensi, rumus berikut digunakan:
Koordinat bagian tengah segmen (untuk sumbu koordinat hanya rumus pertama yang digunakan, untuk bidang koordinat - dua rumus pertama, untuk sistem koordinat tiga dimensi - ketiga rumus) dihitung dengan rumus:
Fungsi adalah korespondensi bentuk y= f(x) antara variabel, karena masing-masing menganggap nilai dari beberapa variabel x(argumen atau variabel independen) cocok nilai tertentu variabel lain, y(variabel dependen, terkadang nilai ini hanya disebut nilai fungsi). Perhatikan bahwa fungsi mengasumsikan bahwa satu nilai argumen X hanya ada satu nilai dari variabel dependen pada. Namun, nilainya sama pada dapat diperoleh dengan berbagai X.
Lingkup fungsi adalah semua nilai variabel independen (argumen fungsi, biasanya X) yang fungsinya didefinisikan, yaitu maknanya ada. Domain definisi ditunjukkan D(y). Secara umum, Anda sudah familiar dengan konsep ini. Ruang lingkup suatu fungsi disebut ruang lingkup nilai yang diperbolehkan, atau ODZ, yang sudah lama bisa Anda temukan.
Rentang fungsi- itu semua nilai-nilai yang mungkin variabel dependen dari fungsi ini. Dilambangkan e(pada).
Fungsi naik pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar. Fungsi Menurun pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.
Interval fungsi adalah interval variabel independen di mana variabel dependen mempertahankan tanda positif atau negatifnya.
Fungsi nol adalah nilai-nilai argumen yang nilai fungsinya sama dengan nol. Pada titik-titik ini, grafik fungsi memotong sumbu absis (sumbu OX). Sangat sering, kebutuhan untuk menemukan nol suatu fungsi berarti hanya menyelesaikan persamaan. Juga, sering kali kebutuhan untuk menemukan interval tanda konstan berarti kebutuhan untuk menyelesaikan pertidaksamaan.
Fungsi y = f(x) disebut bahkan X
Ini berarti bahwa untuk nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi genap adalah sama. Jadwal bahkan fungsi selalu simetris terhadap sumbu y dari y.
Fungsi y = f(x) disebut aneh, jika didefinisikan pada himpunan simetris dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan terpenuhi:
Ini berarti bahwa untuk setiap nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi ganjil juga berlawanan. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.
Jumlah dari akar genap dan fitur aneh(titik perpotongan sumbu x OX) selalu nol, karena untuk setiap akar positif X memiliki akar negatif X.
Penting untuk dicatat bahwa beberapa fungsi tidak harus genap atau ganjil. Ada banyak fungsi yang bukan genap dan bukan ganjil. Fungsi seperti itu disebut fungsi pandangan umum , dan tidak satu pun dari persamaan atau properti di atas berlaku untuknya.
Fungsi linear disebut fungsi yang dapat diberikan oleh rumus:
Jadwal fungsi linear adalah garis lurus dan dalam kasus umum terlihat seperti ini (contoh diberikan untuk kasus ketika k> 0, dalam hal ini fungsinya meningkat; untuk kasus ini k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola)
Grafik parabola diberikan oleh fungsi kuadrat:
Fungsi kuadrat, seperti fungsi lainnya, memotong sumbu OX pada titik-titik yang merupakan akarnya: ( x satu ; 0) dan ( x 2; 0). Jika tidak ada akar, maka fungsi kuadrat tidak memotong sumbu OX, jika ada satu akar, maka pada titik ini ( x 0; 0) fungsi kuadrat hanya menyentuh sumbu OX, tetapi tidak memotongnya. Fungsi kuadrat selalu memotong sumbu OY pada titik dengan koordinat: (0; c). Jadwal fungsi kuadrat(parabola) mungkin terlihat seperti ini (gambar menunjukkan contoh yang jauh dari kata melelahkan jenis yang mungkin parabola):
Di mana:
- jika koefisien sebuah> 0, dalam fungsi y = kapak 2 + bx + c, maka cabang parabola diarahkan ke atas;
- jika sebuah < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinat puncak parabola dapat dihitung menggunakan rumus berikut. X atasan (p- pada gambar di atas) parabola (atau titik di mana trinomial kuadrat mencapai nilai maksimum atau minimumnya):
Y atasan (q- pada gambar di atas) parabola atau maksimum jika cabang parabola diarahkan ke bawah ( sebuah < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (sebuah> 0), nilai trinomial persegi:
Grafik fungsi lainnya
fungsi daya
Berikut adalah beberapa contoh grafik fungsi daya:
Ketergantungan berbanding terbalik panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
Tergantung pada tanda nomornya k bagan kembali ketergantungan proporsional mungkin memiliki dua pilihan utama:
Asimtot adalah garis yang mendekati garis grafik fungsi yang sangat dekat, tetapi tidak berpotongan. Asimtot untuk Grafik proporsionalitas terbalik ditunjukkan pada gambar di atas adalah sumbu koordinat yang mendekati grafik fungsi yang sangat dekat, tetapi tidak memotongnya.
Fungsi eksponensial dengan basis sebuah panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
sebuah grafik fungsi eksponensial dapat memiliki dua opsi mendasar (kami juga akan memberikan contoh, lihat di bawah):
fungsi logaritmik panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
Bergantung pada apakah jumlahnya lebih besar atau lebih kecil dari satu sebuah Grafik fungsi logaritmik dapat memiliki dua opsi mendasar:
Grafik Fungsi y = |x| sebagai berikut:
Grafik fungsi periodik (trigonometri).
Fungsi pada = f(x) disebut berkala, jika ada bilangan bukan nol seperti itu T, Apa f(x + T) = f(x), untuk siapa saja X diluar ruang lingkup fungsi f(x). Jika fungsi f(x) periodik dengan periode T, maka fungsinya:
di mana: SEBUAH, k, b adalah bilangan konstan, dan k tidak sama dengan nol, juga periodik dengan periode T 1 , yang ditentukan dengan rumus:
Kebanyakan contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri. Berikut adalah grafik utama fungsi trigonometri. Gambar berikut menunjukkan bagian dari grafik fungsi y= dosa x(seluruh grafik berlanjut tanpa batas ke kiri dan kanan), grafik fungsi y= dosa x ditelepon sinusoidal:
Grafik Fungsi y= cos x ditelepon gelombang kosinus. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Karena grafik sinus, itu berlanjut tanpa batas di sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan:
Grafik Fungsi y=tg x ditelepon tangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik lainnya, bagan ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan.
Dan terakhir, grafik fungsi y=ctg x ditelepon cotangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik dan trigonometri lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan.
Implementasi yang sukses, rajin, dan bertanggung jawab dari ketiga poin ini akan memungkinkan Anda untuk tampil di VU hasil yang sangat baik, maksimal dari kemampuan Anda.
Menemukan kesalahan?
Jika Anda merasa telah menemukan kesalahan di materi pelatihan, lalu tulis, tolong, tentang itu melalui surat. Anda juga dapat melaporkan bug di jaringan sosial(). Dalam surat tersebut, tunjukkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau tes, nomor tugas, atau tempat di teks (halaman) yang menurut Anda ada kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahannya. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.
Universitas Riset Nasional
Departemen Geologi Terapan
Esai tentang matematika tingkat tinggi
Pada topik: "Fungsi dasar dasar,
sifat dan grafiknya"
Lengkap:
Diperiksa:
guru
Definisi. Fungsi yang diberikan oleh rumus y=a x (di mana a>0, a≠1) disebut fungsi eksponensial dengan basis a.
Mari kita merumuskan sifat-sifat utama dari fungsi eksponensial:
1. Domain definisi adalah himpunan (R) dari semua bilangan real.
2. Rentang nilainya adalah himpunan (R+) dari semua bilangan real positif.
3. Ketika a > 1, fungsi bertambah pada seluruh garis real; pada 0<а<1 функция убывает.
4. Merupakan fungsi umum.
, pada interval xн [-3;3]
, pada interval xн [-3;3] Fungsi dengan bentuk y(х)=х n , di mana n adalah bilangan ОR, disebut fungsi pangkat. Angka n dapat mengambil nilai yang berbeda: bilangan bulat dan pecahan, genap dan ganjil. Bergantung pada ini, fungsi daya akan memiliki bentuk yang berbeda. Pertimbangkan kasus khusus yang merupakan fungsi pangkat dan refleksikan sifat utama dari jenis kurva ini dengan urutan sebagai berikut: fungsi pangkat y \u003d x² (fungsi dengan eksponen genap - parabola), fungsi pangkat y \u003d x³ (fungsi dengan eksponen ganjil - parabola kubik) dan fungsi y \u003d √ x (x pangkat ½) (berfungsi dengan eksponen pecahan), fungsi dengan eksponen bilangan bulat negatif (hiperbola).
Fungsi daya y=x²
1. D(x)=R – fungsi didefinisikan pada seluruh sumbu numerik;
2. E(y)= dan meningkat pada interval
Fungsi daya y=x³
1. Grafik fungsi y \u003d x³ disebut parabola kubik. Fungsi pangkat y=x³ memiliki sifat-sifat berikut:
2. D(x)=R – fungsi didefinisikan pada seluruh sumbu numerik;
3. E(y)=(-∞;∞) – fungsi mengambil semua nilai dalam domain definisinya;
4. Ketika x=0 y=0 – fungsi melewati asal O(0;0).
5. Fungsi meningkat di seluruh domain definisi.
6. Fungsi ganjil (simetris terhadap titik asal).
, pada interval xн [-3;3] Bergantung pada faktor numerik di depan x³, fungsinya bisa curam/datar dan naik/turun.
Fungsi pangkat dengan eksponen negatif bilangan bulat:
Jika eksponen n ganjil, maka grafik fungsi pangkat seperti itu disebut hiperbola. Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif memiliki sifat-sifat berikut:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) untuk sembarang n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) jika n bilangan ganjil; E(y)=(0;∞) jika n bilangan genap;
3. Fungsi berkurang di seluruh domain definisi jika n adalah bilangan ganjil; fungsi meningkat pada interval (-∞;0) dan menurun pada interval (0;∞) jika n adalah bilangan genap.
4. Fungsi ganjil (simetris terhadap titik asal) jika n bilangan ganjil; suatu fungsi genap jika n adalah bilangan genap.
5. Fungsi melewati titik (1;1) dan (-1;-1) jika n bilangan ganjil dan melalui titik (1;1) dan (-1;1) jika n bilangan genap.
, pada interval xн [-3;3] Fungsi daya dengan eksponen pecahan
Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan bentuk (gambar) memiliki grafik fungsi yang ditunjukkan pada gambar. Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan memiliki sifat-sifat berikut: (gambar)
1. D(x) нR jika n bilangan ganjil dan D(x)= 
, pada interval xн 
, pada interval xн [-3;3]
Fungsi logaritmik y \u003d log a x memiliki properti berikut:
1. Domain definisi D(x)н (0; + ∞).
2. Rentang nilai E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Fungsinya bukan genap dan bukan ganjil (umum).
4. Fungsi meningkat pada interval (0; + ∞) untuk a > 1, menurun pada (0; + ∞) untuk 0< а < 1.
Grafik fungsi y = log ax dapat diperoleh dari grafik fungsi y = ax dengan menggunakan transformasi simetri terhadap garis y = x. Pada Gambar 9, plot fungsi logaritmik untuk a > 1 diplot, dan pada Gambar 10 - untuk 0< a < 1.
; pada interval xО 
; pada interval xО Fungsi y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x disebut fungsi trigonometri.
Fungsi y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ganjil, dan fungsi y \u003d cos x genap.
Fungsi y \u003d sin (x).
1. Domain definisi D(x) ОR.
2. Rentang nilai E(y) О [ - 1; satu].
3. Fungsinya periodik; periode utamanya adalah 2π.
4. Fungsi ganjil.
5. Fungsi meningkat pada interval [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] dan menurun pada interval [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Grafik fungsi y \u003d sin (x) ditunjukkan pada Gambar 11.