Fitur membangun grafik fungsi periodik
Grafik fungsi periodik biasanya diplot terlebih dahulu pada interval [ X 0 ; X 0 + T). Lakukan transfer paralel titik-titik grafik ke seluruh area definisi.
Contoh fungsi periodik dan grafiknya.
Contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri. Mari kita lihat yang utama.
Fungsi F(x) =sin(x)
a) Domain definisi: D (sin x) = R .
b) Himpunan nilai: E (sin x) = [– 1 , 1] .
c) Genap, ganjil: fungsinya ganjil.
d) Periodisitas: fungsi periodik dengan periode utama.
e) Nol fungsi: sin x = 0 untuk , n Z.
f) Interval tanda konstan fungsi:
g) Interval monotonisitas: fungsinya meningkat seiring dengan ;
fungsinya menurun seiring dengan ,
h) Ekstrema fungsi:
; .
Grafik fungsi y= sin x ditunjukkan pada gambar.
Fungsi F(x) = cos(x)
a) Domain definisi.
b) Kelipatan nilai: E (cos X) = [ – 1 , 1 ] .
c) Genap, ganjil: fungsinya genap.
G ) Periodisitas: fungsinya periodik dengan periode utama.
d) Nol fungsi: di .
e) Interval keteguhan tanda:
g) Interval monoton:
fungsinya meningkat seiring dengan ;
fungsinya berkurang sebagai
h) Ekstrem:
Grafik suatu fungsi kamu= karena X ditunjukkan pada gambar.
Fungsi F(x) = tan(x)
a) Ruang lingkup definisi:
b) Kumpulan nilai: E()
c) Genap, ganjil. Fungsinya ganjil.
d) Frekuensi. Fungsi periodik dengan periode utama
e) Nol fungsi: tan x = 0 untuk x = n, n Z.
f) Interval keteguhan tanda:
g) Interval monotonisitas: fungsi bertambah pada setiap interval yang seluruhnya termasuk dalam domain definisinya.
h) Ekstrem: tidak.
Grafik suatu fungsi kamu= tg X ditunjukkan pada gambar.
Fungsi F(x) = cot(x)
a) Domain definisi: D (ctg x) = R\ ( n(n Z) ).
b) Nilai ganda: E (ctg x) = R .
c) Genap, ganjil merupakan fungsi ganjil.
d) Periodisitas: fungsi periodik dengan periode utama T = .
e) Nol fungsi: cot x = 0 di x = /2 + n, n Z.
f) Interval keteguhan tanda;
g) Interval monotonisitas: fungsi menurun pada setiap interval yang seluruhnya termasuk dalam domain definisinya.
h) Ekstrem: tidak.
Grafik fungsi y = ctg x ditunjukkan pada gambar.
Grafik menarik diperoleh dengan menggunakan superposisi - pembentukan fungsi kompleks berdasarkan fungsi periodik trigonometri.
Grafik fungsi periodik
II. Penerapan fungsi periodik. Fluktuasi berkala.
Osilasi.
Osilasi adalah proses yang berbeda dalam berbagai tingkat pengulangan. Osilasi adalah proses yang berulang secara berkala (namun, tidak semua proses yang berulang adalah osilasi). Tergantung pada sifat fisik dari proses berulang, getaran dibedakan antara mekanik, elektromagnetik, elektromekanis, dll. Selama getaran mekanis, posisi dan koordinat benda berubah secara berkala. Untuk listrik - tegangan dan arus. Tergantung pada sifat dampaknya pada sistem osilasi, osilasi bebas, osilasi paksa, osilasi mandiri, dan osilasi parametrik dibedakan.
Berulang-ulang proses yang terus menerus terjadi di dalam setiap organisme hidup, misalnya: kontraksi jantung, fungsi paru-paru; kita menggigil saat kedinginan; kita mendengar dan berbicara berkat getaran gendang telinga dan pita suara; Saat kita berjalan, kaki kita melakukan gerakan berosilasi. Atom-atom yang membentuk kita bergetar. Dunia tempat kita tinggal rentan terhadap fluktuasi.
Fluktuasi berkala.
Berkala disebut osilasi yang semua ciri geraknya berulang setelah jangka waktu tertentu.
Untuk osilasi periodik, karakteristik berikut digunakan:
periode osilasi T, sama dengan waktu terjadinya satu osilasi penuh;
frekuensi osilasiν, sama dengan jumlah osilasi yang dilakukan dalam satu detik (ν = 1/T);
Osilasi parametrik dilakukan ketika parameter sistem osilasi diubah secara berkala (seseorang yang mengayunkan ayunan secara berkala menaikkan dan menurunkan pusat gravitasinya, sehingga mengubah parameter sistem). Dalam kondisi tertentu, sistem menjadi tidak stabil - penyimpangan yang tidak disengaja dari posisi kesetimbangan menyebabkan munculnya dan peningkatan osilasi. Fenomena ini disebut eksitasi parametrik dari osilasi (yaitu, osilasi tereksitasi dengan mengubah parameter sistem), dan osilasi itu sendiri disebut parametrik. Meskipun sifat fisiknya berbeda, getaran dicirikan oleh pola yang sama, yang dipelajari dengan metode umum. Karakteristik kinematik yang penting adalah bentuk getarannya. Hal ini ditentukan oleh jenis fungsi waktu yang menggambarkan perubahan besaran fisika tertentu selama osilasi. Yang paling penting adalah osilasi di mana besaran yang berfluktuasi berubah seiring waktu menurut hukum sinus atau kosinus. Mereka disebut harmonis. Jenis osilasi ini sangat penting karena alasan berikut. Pertama, getaran di alam dan teknologi seringkali bersifat sangat mendekati harmonik. Kedua, proses periodik dalam bentuk yang berbeda (dengan ketergantungan waktu yang berbeda) dapat direpresentasikan sebagai pengenaan, atau superposisi, osilasi harmonik.
Lampiran No.7
Institusi pendidikan kota
Sekolah Menengah No.3
Guru
Korotkova
Asya Edikovna
Kurganinsk
2008
ISI
Pendahuluan................................................................................................ 2-3
Fungsi periodik dan sifat-sifatnya………. 4-6
Masalah…………………………………………………………………… 7-14
Perkenalan
Perlu kita perhatikan bahwa masalah periodisitas dalam literatur pendidikan dan metodologi tidak memiliki nasib yang mudah. Hal ini disebabkan oleh tradisi aneh yang membiarkan kelalaian tertentu dalam menentukan fungsi periodik, yang berujung pada keputusan kontroversial dan memicu insiden dalam ujian.
Misalnya dalam buku “Explanatory Dictionary of Mathematical Terms” - M, 1965 diberikan definisi sebagai berikut: “fungsi periodik adalah fungsi
y = f(x), yang terdapat bilangan t > 0, yang untuk semua x dan x+t dari domain f(x + t) = f(x).
Mari kita berikan contoh tandingan yang menunjukkan ketidaktepatan definisi ini. Berdasarkan definisi ini, fungsi tersebut periodik dengan periode t = 2π
с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 dengan domain definisi yang terbatas, yang bertentangan dengan sudut pandang yang berlaku umum tentang fungsi periodik.
Banyak buku pelajaran sekolah alternatif yang lebih baru menghadapi masalah serupa.
Dalam buku teks oleh A.N. Kolmogorov diberikan definisi berikut: “Berbicara tentang periodisitas suatu fungsi f, diyakini bahwa ada bilangan T ≠ 0 sehingga domain definisi D (f), bersama dengan setiap titik x, juga berisi titik-titik yang diperoleh dari x dengan translasi paralel sepanjang sumbu Sapi (ke kanan dan kiri) pada jarak T. Fungsi f disebut berkala dengan periode T ≠ 0, jika untuk salah satu domain definisi nilai fungsi ini di titik x, x – T, x + T sama, yaitu f (x + T) = f (x) = f (x – T).” Selanjutnya di buku teks tertulis: “Karena sinus dan cosinus terdefinisi pada seluruh garis bilangan dan Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) = Cos x untuk sembarang x, sinus dan cosinus adalah periode suatu fungsi yang berperiode 2π.”
Dalam contoh ini, karena alasan tertentu, kondisi yang diperlukan dalam definisi tidak dicentang:
Dosa (x – 2π) = Dosa x. Apa masalahnya? Faktanya adalah bahwa kondisi dalam definisi ini berlebihan. Jika T > 0 adalah periode dari fungsi f(x), maka T juga merupakan periode dari fungsi tersebut.
Saya ingin memberikan definisi lain dari buku teks MI Bashmakov "Aljabar dan permulaan analisis kelas 10-11". Fungsi y = f(x) disebut periodik jika terdapat bilangan T ≠ 0 sehingga persamaannya
f (x + T) = f (x) berlaku identik untuk semua nilai x.”
Definisi di atas tidak menjelaskan apa pun tentang domain suatu fungsi, meskipun itu berarti x dalam domain definisi, bukan x nyata. Berdasarkan definisi ini, fungsi y = Sin (√x) dapat bersifat periodik 2 , didefinisikan hanya untuk x ≥ 0, yang mana tidak benar.
Dalam Unified State Examination ada tugas yang periodisitasnya. Dalam salah satu majalah ilmiah, sebagai sesi pelatihan Ujian Negara Bersatu bagian C, diberikan solusi permasalahan: “apakah fungsi y (x) = Sin 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) periodik?”
Penyelesaiannya menunjukkan bahwa y (x – π) = y (x) pada jawaban terdapat entri tambahan
“T = π” (bagaimanapun juga, pertanyaan tentang menemukan periode positif terkecil tidak diajukan). Apakah memang perlu dilakukan pendidikan trigonometri yang kompleks untuk mengatasi permasalahan tersebut? Lagi pula, di sini Anda dapat fokus pada konsep periodisitas, sebagai kunci dalam kondisi permasalahan.
Larutan.
f 1 (x) = Sin x – fungsi periodik dengan periode Т = 2π
f 2 (x) = Karena x adalah fungsi periodik dengan periode T = 2π, maka 2π adalah periode fungsi f 3 (x) = Sin (2 + x) dan f 4 (x) = Cos (2 + x), (berikut definisi periodisitas)
f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, periodenya berapapun, termasuk 2π.
Karena jumlah dan hasil kali fungsi periodik dengan periode umum T juga T-periodik, maka fungsi tersebut periodik.
Saya berharap materi yang disampaikan dalam karya ini dapat membantu dalam persiapan Ujian Negara Bersatu dalam memecahkan masalah periodisitas.
Fungsi periodik dan sifat-sifatnya
Definisi: suatu fungsi f(t) disebut periodik jika untuk sembarang t dari domain definisi fungsi ini D F ada bilangan ω ≠ 0 sehingga:
1) angka (t ± ω) D f ;
2) f (t + ω) = f(t).
1. Jika bilangan ω = periode fungsi f (t), maka bilangan kω, dimana k = ±1, ±2, ±3, ... juga merupakan periode dari fungsi f(t).
CONTOH f (t) = Dosa t. Bilangan T = 2π adalah periode positif terkecil dari fungsi ini. Biarkan T 1 = 4π. Mari kita tunjukkan bahwa T 1 juga merupakan periode fungsi ini.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Dosa (t + 2π) = Dosa t.
Jadi T 1 – periode fungsi f (t) = Sin t.
2. Jika fungsi f(t) – ω merupakan fungsi periodik, maka fungsi f (аt), dengan а є R, dan f (t + с), dengan с adalah konstanta sembarang, juga bersifat periodik.
Mari kita cari periode dari fungsi f (аt).
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), yaitu f (аt) = f (а(t + ω/а).
Oleh karena itu, periode fungsi f(аt) – ω 1 = ω/a.
Contoh 1. Tentukan periode fungsi y = Sin t/2.
Contoh 2. Tentukan periode dari fungsi y = Sin (t + π/3).
Misalkan f(t) = Dosa t; kamu 0 = Dosa (t 0 + π/3).
Maka fungsi f(t) = Sin t akan mengambil nilai yang sama 0 pada t = t 0 + π/3.
Itu. semua nilai yang diambil oleh fungsi y juga diambil oleh fungsi f(t). Jika t diartikan waktu, maka masing-masing bernilai y 0 fungsi y = Sin (t + π/3) diterima π/3 satuan waktu lebih awal dari fungsi f(t) “digeser” ke kiri sebesar π/3. Jelasnya, periode fungsi tidak akan berubah karena hal ini, mis. T kamu = T 1.
3. Jika F(x) adalah suatu fungsi, dan f(t) adalah fungsi periodik, sehingga f(t) termasuk dalam daerah definisi fungsi F(x) – D F , maka fungsi F(f (t)) merupakan fungsi periodik.
Misalkan F(f (t)) = φ.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) untuk sembarang t є D F.
CONTOH Periksa fungsi periodisitas: F(x) = ℓ dosa.
Domain fungsi ini D F bertepatan dengan himpunan bilangan real R. f (x) = Sin x.
Himpunan nilai untuk fungsi ini adalah [-1; 1]. Karena segmen [-1; 1] milik D F , maka fungsi F(x) periodik.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π – periode fungsi ini.
4. Jika fungsi f 1 (t) dan f 2 (t) periodik, masing-masing, dengan periode ω 1 dan ω 2 dan ω 1 /ω 2 = r, dimana r adalah bilangan rasional, maka fungsinya
C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) dan f 1 (t) f 2 (t) bersifat periodik (C 1 dan C 2 adalah konstanta).
Catatan: 1) Jika r = ω 1 /ω 2 = p/q, karena r adalah bilangan rasional
ω 1 q = ω 2 p = ω, dimana ω adalah kelipatan persekutuan terkecil dari ω 1 dan ω 2 (NOC).
Perhatikan fungsi C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).
Memang, ω = KPK (ω 1 , ω 2 ) - periode fungsi ini
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (T) .
2) ω – periode fungsi f 1 (t) f 2 (t), karena
f 1 (t + ω) f 2 (t + ω =f 1 (t +ω 1 q) f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).
Definisi: Misalkan f 1 (t) dan f (t) masing-masing merupakan fungsi periodik dengan periode ω 1 dan ω 2 , maka dua periode dikatakan sepadan jikaω 1 /ω 2 = r adalah bilangan rasional.
3) Jika periode ω 1 dan ω 2 tidak sepadan, maka fungsinya f 1 (t) + f 2 (t) dan
f 1 (t) f 2 (t) tidak periodik. Artinya, jika f 1 (t) dan f 2 (t) berbeda dengan konstanta, periodik, kontinyu, periodenya tidak sepadan, maka f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) tidak periodik.
4) Misalkan f(t) = C, dengan C adalah konstanta sembarang. Fungsi ini bersifat periodik. Periodenya adalah bilangan rasional apa pun, artinya tidak mempunyai periode positif terkecil.
5) Pernyataan tersebut juga berlaku untuk sejumlah fungsi yang lebih besar.
Contoh 1. Selidiki periodisitas fungsi tersebut
F(x) = Dosa x + Cos x.
Larutan. Misalkan f 1 (x) = Sin x, maka ω 1 = 2πk, dimana k є Z.
T 1 = 2π – periode positif terkecil.
f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.
Rasio T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 – bilangan rasional, yaitu periode fungsi f 1 (x) dan f 2 (x) sepadan. Artinya fungsi ini bersifat periodik. Mari kita cari periodenya. Menurut definisi fungsi periodik yang kita miliki
Dosa (x + T) + Cos (x + T) = Dosa x + Cos x,
Dosa (x + T) - Dosa x = Cos x - Cos (x + T),
2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,
Dosa T/2 (Cos T+2x/2 - Dosa T+2x/2) =0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, maka,
Sin Т/2 = 0, maka Т = 2πk.
Karena (х ± 2πk) D f , dimana f(x) = Sin x + Cos x,
f(x + t) = f(x), maka fungsi f(x) periodik dengan periode positif terkecil 2π.
Contoh 2. Apakah fungsi f(x) = Cos 2x · Sin x periodik, berapa periodenya?
Larutan. Misal f 1 (x) = Cos 2x, maka T 1 = 2π: 2 = π (lihat 2)
Misalkan f 2 (x) = Sin x, maka T 2 = 2π. Karena π/2π = ½ adalah bilangan rasional, maka fungsi ini periodik. Periodenya T = NOC
(π, 2π) = 2π.
Jadi, fungsi ini periodik dengan periode 2π.
5. Misalkan fungsi f(t), yang tidak identik sama dengan suatu konstanta, kontinu dan periodik, maka fungsi tersebut mempunyai periode positif terkecil ω 0 , periode lain dari ω-nya berbentuk: ω= kω 0, dimana k є Z.
Catatan: 1) Dua kondisi sangat penting dalam properti ini:
f(t) kontinu, f(t) ≠ C, dimana C adalah konstanta.
2) Pernyataan sebaliknya tidak benar. Artinya, jika semua periodenya sepadan, maka tidak selalu ada periode positif terkecil. Itu. suatu fungsi periodik tidak boleh mempunyai periode positif terkecil.
Contoh 1. f(t) = C, periodik. Periodenya adalah bilangan real apa pun; tidak ada periode terkecil.
Contoh 2. Fungsi Dirichlet:
D(x) =
Bilangan rasional apa pun adalah periodenya; tidak ada periode positif terkecil.
6. Jika f(t) merupakan fungsi periodik kontinu dan ω 0 adalah periode positif terkecilnya, maka fungsi f(αt + β) mempunyai periode positif terkecil ω 0 //α/. Pernyataan ini mengikuti dari paragraf 2.
Contoh 1. Tentukan periode dari fungsi y = Sin (2x – 5).
Larutan. y = Dosa (2x – 5) = Dosa (2(x – 5/2)).
Grafik fungsi y diperoleh dari grafik fungsi Sin x, pertama dengan cara “dikompresi” sebanyak dua kali, kemudian dengan “digeser” ke kanan sebesar 2,5. “Pergeseran tidak mempengaruhi periodisitas, T = π adalah periode fungsi ini.
Sangat mudah untuk memperoleh periode fungsi ini menggunakan properti langkah 6:
= 2π/2 = π.
7. Jika f(t) – ω merupakan fungsi periodik dan mempunyai turunan kontinu f"(t), maka f"(t) juga merupakan fungsi periodik, Т = ω
Contoh 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Turunannya f"(t) = Cos t
F"(t) = Biaya t, Т = 2πk, k є Z.
Contoh 2. f(t) = Biaya t, Т = 2πk. Turunannya
F"(t) = - Sin t, T = 2πk, k Z.
Contoh 3. f(t) =tg t, periodenya T = πk.
F"(t) = 1/ Karena 2 t juga periodik berdasarkan sifat langkah 7 dan memiliki periode T = πk. Periode positif terkecilnya adalah T = π.
TUGAS.
№ 1
Apakah fungsi f(t) = Sin t + Sin πt periodik?
Larutan. Sebagai perbandingan, kami menyelesaikan masalah ini dengan dua cara.
Pertama, menurut definisi fungsi periodik. Misalkan f(t) bersifat periodik, maka untuk sembarang t є D jika kita punya:
Dosa (t + T) + Dosa π (t + T) = Dosa t + Dosa πt,
Dosa (t + T) - Dosa t = Dosa πt - Dosa π (t + T),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Karena ini berlaku untuk semua t D F , kemudian khususnya untuk t 0 , yang ruas kiri persamaan terakhir menjadi nol.
Maka kita memiliki: 1) Cos 2t 0 +T/2 Sin T/2 = 0. Mari kita selesaikan relatif terhadap T.
Sin Т/2 = 0 pada Т = 2 πk, dimana k є Z.
2) Karena 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. Mari kita selesaikan relatif terhadap T.
Sin πТ/2 = 0, maka Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, dimana n є Z.
Karena kita mempunyai identitas, maka 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, yang tidak mungkin, karena π adalah bilangan irasional, dan n/ k adalah bilangan rasional. Artinya, asumsi kita bahwa fungsi f(t) periodik salah.
Kedua, solusinya jauh lebih sederhana jika Anda menggunakan properti fungsi periodik di atas:
Misalkan f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. Maka, T 1 / T 2 = 2π/2 = π adalah bilangan irasional, yaitu periode T 1, T 2 tidak sepadan, artinya f(t) tidak periodik.
Jawaban: tidak.
№ 2
Tunjukkan bahwa jika α adalah bilangan irasional, maka fungsinya
F(t) = Biaya t + Cos αt
tidak periodik.
Larutan. Misalkan f 1 (t) = Biaya t, f 2 (t) = Cos αt.
Maka periodenya berturut-turut adalah T 1 = 2π, T 2 = 2π//α/ - periode positif terkecil. Ayo temukan, T 1 /T 2 = 2π/α//2π = /α/ adalah bilangan irasional. Jadi T 1 dan T 2 tidak dapat dibandingkan, dan fungsinya
f(t) tidak periodik.
№ 3
Tentukan periode positif terkecil dari fungsi f(t) = Sin 5t.
Larutan. Berdasarkan properti item 2 kita memiliki:
f(t) – periodik; T = 2π/5.
Jawaban: 2π/5.
№ 4
Apakah fungsi F(x) = arccos x + arcsin x periodik?
Larutan. Mari pertimbangkan fungsi ini
F(x) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
itu. F(x) adalah fungsi periodik (lihat properti paragraf 5, contoh 1.).
Jawaban: ya.
№ 5
Apakah fungsinya periodik?
F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5?
larutan. Misalkan f 1 (x) = Sin 2x, maka T 1 = π;
F 2 (x) = Cos 4x, maka T 2 = 2π/4 = π/2;
F 3 (x) = 5, T 3 – bilangan real apa pun, khususnya T 3 kita dapat berasumsi sama dengan T 1 atau T 2 . Maka periode fungsi ini T = KPK (π, π/2) = π. Artinya, f(x) periodik dengan periode T = π.
Jawaban: ya.
№ 6
Apakah fungsi f(x) = x – E(x) periodik, dengan E(x) adalah fungsi yang menetapkan argumen x ke bilangan bulat terkecil yang tidak melebihi bilangan tertentu.
Larutan. Seringkali fungsi f(x) dilambangkan dengan (x) – bagian pecahan dari bilangan x, yaitu.
F(x) = (x) = x – E(x).
Misalkan f(x) adalah fungsi periodik, mis. ada bilangan T > 0 sehingga x – E(x) = x + T – E(x + T). Mari kita tuliskan persamaan ini
(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),
(x) + (x + T) – benar untuk semua x dari domain D F, dengan syarat T ≠ 0 dan T є Z. Positif terkecilnya adalah T = 1, yaitu T =1 sedemikian rupa sehingga
X + T – E(x + T) = x – E(x),
Apalagi (x ± Tk) D f, dimana k Z.
Jawaban: fungsi ini bersifat periodik.
№ 7
Apakah fungsi f(x) = Sin x periodik? 2 .
Larutan. Misalkan f(x) = Sin x 2 fungsi periodik. Maka menurut definisi fungsi periodik, terdapat bilangan T ≠ 0 sehingga: Sin x 2 = Sin (x + T) 2 untuk sembarang x D f.
Dosa x 2 = Dosa (x + T) 2 = 0,
2 Cos x 2 + (x+T) 2 /2 Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0, maka
Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0 atau Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0.
Perhatikan persamaan pertama:
Karena x 2 + (x+T) 2 /2 = 0,
X 2 + (x+T) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
= √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)
Perhatikan persamaan kedua:
Dosa x 2 -(x+T) 2 /2 = 0,
X + T = √- 2πk + x 2,
T = √x 2 - 2πk – x. (2)
Dari ekspresi (1) dan (2) jelas bahwa nilai T yang ditemukan bergantung pada x, yaitu. tidak ada T>0 seperti itu
Dosa x 2 = Dosa (x+T) 2
Untuk setiap x dari domain definisi fungsi ini. f(x) tidak periodik.
Jawaban: tidak
№ 8
Periksa fungsi f(x) = Cos untuk mengetahui periodisitasnya 2x.
Larutan. Mari kita nyatakan f(x) menggunakan rumus kosinus sudut ganda
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
Misalkan f 1 (x) = ½, maka T 1 – dapat berupa bilangan real apa pun; F 2 (x) = ½ Cos 2x merupakan fungsi periodik, karena hasil kali dua fungsi periodik yang mempunyai periode T yang sama 2 = π. Maka periode positif terkecil dari fungsi ini
T = LOC (T 1, T 2) =π.
Jadi, fungsi f(x) = Cos 2 x – π – periodik.
Jawaban: π bersifat periodik.
№ 9
Dapatkah domain suatu fungsi periodik menjadi:
A) setengah garis [a, ∞),
B) segmen?
Larutan. Tidak karena
A) menurut definisi fungsi periodik, jika x D f, lalu x ± ω juga
Harus termasuk dalam domain fungsi. Misalkan x = a, maka
X 1 = (a – ω) [a, ∞);
B) misalkan x = 1, maka x 1 = (1 + T) .
№ 10
Bisakah fungsi periodik menjadi:
A) sangat monoton;
B) genap;
C) bahkan tidak?
Larutan. a) Misalkan f(x) adalah fungsi periodik, mis. terdapat Т≠0 sehingga untuk sembarang x dari domain definisi fungsi D f mengapa
(x ±T) є D f dan f (x±T) = f(x).
Mari kita perbaiki x apa pun 0 D f , Karena f(x) periodik, maka (x 0 +T) D f dan f(x 0) = f(x 0 +T).
Mari kita asumsikan bahwa f(x) benar-benar monoton dan di seluruh domain definisi D F , misalnya, meningkat. Kemudian menurut definisi fungsi meningkat untuk sembarang x 1 dan x 2 dari domain definisi D F dari pertidaksamaan x 1 2 maka f(x 1) 2 ). Khususnya dari kondisi x 0 0 + T, maka
F(x 0) 0 +T), yang bertentangan dengan kondisi.
Artinya fungsi periodik tidak boleh monotonik.
b) Ya, fungsi periodik bisa genap. Mari kita berikan beberapa contoh.
F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) merupakan fungsi periodik genap.
0 jika x adalah bilangan rasional;
D(x) =
1 jika x adalah bilangan irasional.
D(x) = D(-x), daerah definisi fungsi D(x) simetris.
Fungsi Direchlet D(x) merupakan fungsi periodik genap.
f(x) = (x),
f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).
Fungsi ini tidak genap.
c) Suatu fungsi periodik mungkin ganjil.
f(x) = Dosa x, f(-x) = Dosa (-x) = - Dosa = - f(x)
f(x) adalah fungsi periodik ganjil.
f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,
f(x) – ganjil dan periodik.
f(x) = ℓ Dosa x, f(-x) = ℓ Dosa(- x) = ℓ -Dosa x ≠ - f(x),
f(x) tidak ganjil.
f(x) = tan x – fungsi periodik ganjil.
Jawaban: tidak; Ya; Ya.
№ 11
Berapa banyak angka nol yang dapat dimiliki suatu fungsi periodik:
1) ; 2) pada seluruh sumbu bilangan, jika periode fungsinya sama dengan T?
Penyelesaian: 1. a) Pada ruas [a, b], fungsi periodik tidak boleh mempunyai nol, misalnya f(x) = C, C≠0; f(x) = Karena x + 2.
b) Pada interval [a, b], suatu fungsi periodik dapat mempunyai jumlah nol yang tak terhingga, misalnya fungsi Direchlet
0 jika x adalah bilangan rasional,
D(x) =
1 jika x adalah bilangan irasional.
c) Pada interval [a, b], suatu fungsi periodik dapat mempunyai jumlah nol yang berhingga. Ayo temukan nomor ini.
Misalkan T adalah periode dari fungsi tersebut. Mari kita tunjukkan
X 0 = (min x є(a,b), sehingga f(x) = 0).
Maka banyaknya angka nol pada ruas [a, b]: N = 1 + E (c-x 0 /T).
Contoh 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – fungsi periodik dengan periode T = π; X 0 = -π/2; maka banyaknya angka nol dari fungsi f(x) pada interval tertentu
N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.
Contoh 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8.5]. f(x) – fungsi periodik, T + 1,
x 0 = -2. Maka banyaknya angka nol dari fungsi f(x) pada interval tertentu
N = 1 + E (8,5 – (-2)/1) = 1 + E (10,5/1) = 1 + 10 = 11.
Contoh 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], T 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.
Maka banyaknya angka nol dari fungsi ini pada interval tertentu
N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. a) Jumlah nol yang tak terhingga, karena X 0 D f dan f(x 0 ) = 0, maka untuk semua bilangan
Х 0 +Тk, dimana k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0, dan titik-titik berbentuk x 0 ± Tk adalah himpunan tak hingga;
b) tidak memiliki angka nol; jika f(x) periodik dan untuk sembarang
x D f fungsi f(x) >0 atau f(x)
F(x) = Dosa x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;
F(x) = Dosa x – 8 + Cos x;
F(x) = Dosa x Karena x + 5.
№ 12
Bisakah jumlah fungsi non-periodik menjadi periodik?
Larutan. Ya mungkin. Misalnya:
- f 1 (x) = x – non-periodik, f 2 (x) = E(x) – non-periodik
F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – periodik.
- f 1 (x) = x – non-periodik, f(x) = Sin x + x – non-periodik
F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = Sin x – periodik.
Jawaban: ya.
№ 13
Fungsi f(x) dan φ(x) bersifat periodik dengan periode T 1 dan T 2 masing-masing. Apakah produknya selalu berfungsi periodik?
Larutan. Tidak, hanya ketika T 1 dan T 2 – sepadan. Misalnya,
F(x) = Dosa x Dosa πx, T 1 = 2π, T 2 = 2; lalu T 1 / T 2 = 2π/2 = π adalah bilangan irasional yang berarti f(x) tidak periodik.
f(x) = (x) Karena x = (x – E(x)) Karena x. Biarkan f 1 (x) = x – E(x), T 1 = 1;
f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π yang berarti f(x) tidak periodik.
Jawaban: Tidak.
Masalah untuk diselesaikan secara mandiri
Fungsi manakah yang periodik, tentukan periodenya?
1. f(x) = Sin 2x, 10. f(x) = Sin x/2 + tan x,
2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,
3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = Sin 2x+1,
4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,
5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πх + Cos x,
6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x 2),
7. f(x) = Sin (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,
8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),
9.f(x) = Dosa 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, jika n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
Misalkan f(x) – T merupakan fungsi periodik. Fungsi manakah yang periodik (temukan T)?
- φ(x) = f(x + λ) – periodik, karena “pergeseran” sepanjang sumbu Ox tidak mempengaruhi ω; periodenya ω = T.
- φ(x) = a f(x + λ) + в – fungsi periodik dengan periode ω = T.
- φ(х) = f(kh) – fungsi periodik dengan periode ω = Т/k.
- φ(x) = f(ax + b) merupakan fungsi periodik dengan periode ω = T/a.
- φ(x) = f(√x) tidak periodik, karena domain definisinya Dφ = (x/x ≥ 0), dan fungsi periodik tidak boleh memiliki domain yang didefinisikan oleh semi-sumbu.
- φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) merupakan fungsi periodik, karena
φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.
- φ(x) = af 2 (x) + dalam f(x) + c.
Misalkan φ 1 (x) = af 2 (x) – periodik, ω 1 = t/2;
φ 2 (x) = dalam f(x) – periodik, ω 2 = T/T = T;
φ 3 (x) = с – periodik, ω 3 – nomor berapa pun;
maka ω = KPK(T/2; T) = T, φ(x) periodik.
Jika tidak, karena daerah definisi fungsi ini adalah garis bilangan keseluruhan, kemudian himpunan nilai fungsi f – E f є D φ , yang berarti fungsinya
φ(x) bersifat periodik dan ω = Т.
- φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.
φ(x) – periodik dengan periode ω = T, karena untuk setiap x, fungsi f(x) mengambil nilai f(x) ≥ 0, yaitu himpunan nilainya E f є D φ , dimana
Dφ – daerah definisi fungsi φ(z) = √z.
№ 15
Apakah fungsinya f(x) = x 2 berkala?
Larutan. Misalkan x ≥ 0, maka untuk f(x) terdapat invers fungsi √x, artinya pada interval tersebut f(x) merupakan fungsi monoton, maka tidak dapat periodik (lihat No. 10).
№ 16
Diberikan polinomial P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ...an x.
Apakah P(x) merupakan fungsi periodik?
Larutan. 1. Jika identitasnya sama dengan suatu konstanta, maka P(x) adalah fungsi periodik, yaitu. jika sebuah saya = 0, dimana saya ≥ 1.
2. Misalkan P(x) ≠ с, dimana с adalah suatu konstanta. Katakanlah P(x) adalah fungsi periodik, dan misalkan P(x) mempunyai akar real, maka sejak itu P(x) adalah fungsi periodik, maka jumlahnya pasti tak terhingga. Dan menurut teorema dasar aljabar, bilangan k sedemikian rupa sehingga k ≤ n. Artinya P(x) bukan fungsi periodik.
3. Misalkan P(x) adalah polinomial identik bukan nol dan tidak mempunyai akar real. Katakanlah P(x) adalah fungsi periodik. Mari kita perkenalkan polinomial q(x) = a 0 , q(x) adalah fungsi periodik. Perhatikan selisih P(x) - q(x) = a 1 x 2 + … +anxn.
Karena Di ruas kiri persamaan terdapat fungsi periodik, kemudian fungsi di ruas kanan juga periodik, dan paling sedikit mempunyai satu akar real, x = 0. Karena Jika fungsinya periodik, pasti ada angka nol yang tak terhingga. Kami mendapat kontradiksi.
P(x) bukan fungsi periodik.
№ 17
Diberikan suatu fungsi f(t) – T – periodik. Apakah fungsinya f ke (t), dimana
k Z, fungsi periodik, bagaimana hubungan periodenya?
Larutan. Kami akan melakukan pembuktian dengan menggunakan metode fungsi matematika. Membiarkan
f 1 = f(t), maka f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),
F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 adalah fungsi periodik menurut sifat langkah 4.
………………………………………………………………………….
Misalkan f k-1 = f k-1 (t) – fungsi periodik dan periodenya T k-1 sebanding dengan periode T. Mengalikan kedua ruas persamaan terakhir dengan f(t), kita memperoleh f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),
Fk = fk (t) adalah fungsi periodik menurut sifat langkah 4. ω ≤ T.
№ 18
Misalkan f(x) adalah fungsi sembarang yang terdefinisi pada Apakah fungsi f((x)) periodik?
Jawaban: ya, karena himpunan nilai fungsi (x) termasuk dalam daerah definisi fungsi f(x), maka berdasarkan sifat butir 3 f((x)) merupakan fungsi periodik, periodenya = T = 1 .
№ 19
F(x) adalah fungsi arbitrer yang didefinisikan pada [-1; 1], apakah fungsi f(sinx) periodik?
Jawaban: ya, periodenya ω = Т = 2π (pembuktiannya mirip dengan No. 18).
ANALISIS HARMONIS
Perkenalan.
Perkembangan teknologi modern menempatkan peningkatan tuntutan pada pelatihan matematika para insinyur. Sebagai hasil dari perumusan dan kajian sejumlah masalah khusus di bidang mekanika dan fisika, muncullah teori deret trigonometri. Deret Fourier memainkan peran penting dalam semua bidang teknologi berdasarkan teori osilasi dan teori analisis spektral. Misalnya, dalam sistem transmisi data untuk mendeskripsikan sinyal, penggunaan praktis representasi spektral selalu mengarah pada perlunya implementasi eksperimental dekomposisi Fourier. Peran deret trigonometri dalam teknik kelistrikan sangat besar dalam studi arus non-sinusoidal periodik: spektrum amplitudo suatu fungsi ditemukan menggunakan deret Fourier dalam bentuk kompleks. Integral Fourier digunakan untuk merepresentasikan proses non-periodik.
Deret trigonometri menemukan penerapan penting dalam berbagai cabang matematika dan menyediakan metode yang sangat mudah untuk menyelesaikan masalah-masalah sulit dalam fisika matematika, misalnya masalah getaran tali dan masalah perambatan panas pada batang.
Fungsi periodik.
Banyak permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi melibatkan fungsi periodik yang mencerminkan proses siklus.
Definisi 1. Fenomena periodik adalah fenomena yang berulang dalam urutan yang sama dan dalam bentuk yang sama pada interval tertentu.
Contoh. Dalam analisis spektral - spektrum.
Definisi 2. Fungsi pada = F(X) disebut periodik dengan suatu titik T, Jika F(x + T) = F(X) di depan semua orang X Dan x + T dari domain fungsinya.
Gambar menunjukkan periode fungsi yang digambarkan T = 2.
Definisi 3. Periode positif terkecil suatu fungsi disebut periode fundamental.
Ketika kita berhadapan dengan fenomena periodik, fungsi trigonometri hampir selalu ditemui.
Periode fungsi 
sama dengan , periode fungsi 
sama dengan .
Periode fungsi trigonometri dengan argumen ( Oh) ditemukan dengan rumus:
.
Contoh. Temukan periode dasar fungsi 1) 
.
Larutan. 1) . 2) .
Kata pengantar singkat. Jika F(X) mempunyai titik T, maka integral dari fungsi ini, diambil dalam batas-batas yang berbeda T, tidak bergantung pada pilihan batas bawah integrasi, yaitu. = .
Periode utama itu sulit fungsi periodik pada = F(X) (terdiri dari jumlah fungsi periodik) adalah kelipatan persekutuan terkecil dari periode fungsi-fungsi komponennya.
Artinya, jika F(X) = F 1 (X) + F 2 (X), T 1 – periode fungsi F 1 (X), T 2 – periode fungsi F 2 (X), maka periode positif terkecil T harus memenuhi syarat:
T = tidak 1 + kT 2 dimana(*) –
Dalam tugas sekolah biasa buktikan periodisitas fungsi tertentu biasanya tidak sulit: jadi, untuk memastikan bahwa fungsi $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ bersifat periodik, cukup dengan mencatat hasil kali $T=4\times7\ dikalikan 2\pi$ adalah periodenya: jika kita menambahkan bilangan T ke x, maka hasil kali ini akan “memakan” kedua penyebutnya dan di bawah tanda sinus hanya kelipatan bilangan bulat $2\pi$ yang akan berlebihan, yaitu “ dimakan” oleh sinus itu sendiri.
Tetapi bukti non-periodisitas fungsi tertentu secara langsung menurut definisinya mungkin tidak sederhana sama sekali. Jadi, untuk membuktikan non-periodisitas fungsi $y=\sin x^2$ yang dibahas di atas, Anda dapat menuliskan persamaan $sin(x+T)^2=\sin x^2$, tetapi jangan menyelesaikannya persamaan trigonometri ini karena kebiasaan, tetapi tebak dan substitusikan ke dalamnya x=0, setelah itu hal berikut akan terjadi hampir secara otomatis: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, di mana k adalah beberapa bilangan bulat lebih besar dari 0, mis. $T=\sqrt (k\pi)$, dan jika sekarang kita menebak untuk mengganti $x=\sqrt (\pi)$ ke dalamnya, ternyata $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, sehingga $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, dan dengan demikian bilangan p adalah akar persamaan $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, yaitu bersifat aljabar, yang mana tidak benar: $\pi$, seperti yang kita ketahui, bersifat transendental, yakni bukan merupakan akar persamaan aljabar apa pun dengan koefisien bilangan bulat. Namun, di masa depan kita akan menerima bukti yang lebih sederhana dari pernyataan ini - tetapi dengan bantuan analisis matematis.
Saat membuktikan non-periodisitas suatu fungsi, trik logika dasar sering kali membantu: jika semua fungsi periodik memiliki suatu properti, tetapi fungsi tertentu tidak memilikinya, maka fungsi tersebut secara alami tidak periodik. Jadi, fungsi periodik mempunyai nilai berapa pun berkali-kali lipat, dan oleh karena itu, misalnya, fungsi $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ tidak periodik, karena nilainya 7 hanya diterima di dua titik. Seringkali, untuk membuktikan non-periodisitas, akan lebih mudah untuk menggunakan fitur-fiturnya domain definisi, dan untuk menemukan properti fungsi periodik yang diinginkan terkadang Anda harus menunjukkan imajinasi.
Perhatikan juga bahwa sering kali ketika ditanya apa itu fungsi non-periodik, seseorang akan mendengar jawaban dengan gaya yang telah kita bicarakan sehubungan dengan fungsi genap dan ganjil, adalah ketika $f(x+T)\neq f(x)$, yang tentu saja tidak dapat diterima.
Dan jawaban yang benar bergantung pada definisi spesifik dari fungsi periodik, dan berdasarkan definisi yang diberikan di atas, tentu saja kita dapat mengatakan bahwa suatu fungsi non-periodik jika tidak memiliki periode tunggal, tetapi ini akan menjadi definisi “buruk” yang tidak memberikan arahan bukti non-periodisitas. Dan jika kita menguraikannya lebih jauh, menjelaskan apa maksud dari kalimat “fungsi f tidak mempunyai periode tunggal”, atau yang sama, “tidak ada bilangan $T \neq 0$ yang merupakan periode dari fungsi f”, maka kita mendapatkan bahwa fungsi f tidak periodik jika dan hanya jika untuk setiap $T \neq 0$ terdapat bilangan $x\in D(f)$ sehingga setidaknya salah satu dari bilangan $x+T$ dan $ x-T$ bukan milik D(f), atau $f(x+T)\neq f(x)$.
Anda dapat mengatakannya dengan cara lain: “Ada bilangan $x\in D(f)$ sehingga persamaan $f(x+T) = f(x)$ tidak berlaku” - persamaan ini mungkin tidak berlaku untuk dua orang alasan: atau itu tidak masuk akal, yaitu. salah satu bagiannya tidak terdefinisi, atau - jika tidak, salah. Yang menarik, kami menambahkan bahwa efek bahasa yang kita bicarakan di atas juga terwujud di sini: karena kesetaraan “tidak benar” dan “menjadi salah” bukanlah hal yang sama - kesetaraan mungkin belum memiliki makna.
Penjelasan rinci tentang sebab dan akibat dari efek linguistik ini sebenarnya bukan pokok bahasan matematika, tetapi teori bahasa, linguistik, atau lebih tepatnya, bagian khususnya: semantik - ilmu makna, di mana, bagaimanapun, ini pertanyaannya sangat kompleks dan tidak memiliki solusi yang jelas. Dan matematika, termasuk matematika sekolah, dipaksa untuk menghadapi kesulitan-kesulitan ini dan mengatasi “masalah” linguistik - sementara dan karena ia menggunakan bahasa alami, bersama dengan simbolik.
Tujuan: merangkum dan mensistematisasikan pengetahuan siswa tentang topik “Periodisitas Fungsi”; mengembangkan keterampilan dalam menerapkan sifat-sifat fungsi periodik, mencari periode positif terkecil suatu fungsi, membuat grafik fungsi periodik; mempromosikan minat belajar matematika; menumbuhkan observasi dan ketelitian.
Perlengkapan: komputer, proyektor multimedia, kartu tugas, slide, jam, meja hiasan, unsur kerajinan rakyat
“Matematika adalah apa yang digunakan manusia untuk mengendalikan alam dan diri mereka sendiri.”
SEBUAH. Kolmogorov
Selama kelas
I. Tahap organisasi.
Memeriksa kesiapan siswa untuk pelajaran. Laporkan topik dan tujuan pelajaran.
II. Memeriksa pekerjaan rumah.
Kami memeriksa pekerjaan rumah menggunakan sampel dan mendiskusikan poin tersulit.
AKU AKU AKU. Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.
1. Pekerjaan lisan dan depan.
Masalah teori.
1) Membentuk definisi periode fungsi
2) Sebutkan periode positif terkecil dari fungsi y=sin(x), y=cos(x)
3). Berapa periode positif terkecil dari fungsi y=tg(x), y=ctg(x)
4) Dengan menggunakan lingkaran, buktikan kebenaran relasinya:
y=dosa(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
dosa(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Bagaimana cara memplot fungsi periodik?
Latihan lisan.
1) Buktikan hubungan berikut
A) dosa(740º) = dosa(20º)
B) cos(54º) = cos(-1026º)
C) dosa(-1000º) = dosa(80º)
2. Buktikan bahwa sudut 540º merupakan salah satu periode dari fungsi y= cos(2x)
3. Buktikan bahwa sudut 360º merupakan salah satu periode dari fungsi y=tg(x)
4. Ubah persamaan-persamaan ini sehingga sudut-sudut yang termasuk di dalamnya tidak melebihi nilai mutlak 90º.
A) tg375º
B) ctg530º
C) dosa1268º
D) karena(-7363º)
5. Di mana Anda menemukan kata PERIOD, PERIODICITY?
Jawaban siswa: Periode dalam musik adalah suatu struktur di mana pemikiran musik yang kurang lebih lengkap disajikan. Periode geologis adalah bagian dari suatu era dan dibagi menjadi beberapa zaman dengan jangka waktu 35 hingga 90 juta tahun.
Waktu paruh suatu zat radioaktif. Pecahan periodik. Majalah berkala adalah publikasi cetak yang terbit dalam tenggat waktu yang ditentukan secara ketat. Sistem periodik Mendeleev.
6. Gambar-gambar tersebut menunjukkan bagian-bagian grafik fungsi periodik. Tentukan periode fungsi tersebut. Tentukan periode fungsi tersebut.
Menjawab: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. Di manakah dalam hidup Anda Anda menemukan konstruksi elemen yang berulang?
Jawaban siswa: Unsur ornamen, kesenian rakyat.
IV. Pemecahan masalah secara kolektif.
(Memecahkan masalah pada slide.)
Mari kita pertimbangkan salah satu cara mempelajari fungsi periodisitas.
Metode ini menghindari kesulitan yang terkait dengan pembuktian bahwa periode tertentu adalah yang terkecil, dan juga menghilangkan kebutuhan untuk menjawab pertanyaan tentang operasi aritmatika pada fungsi periodik dan periodisitas fungsi kompleks. Alasannya hanya didasarkan pada definisi fungsi periodik dan fakta berikut: jika T adalah periode fungsi tersebut, maka nT(n?0) adalah periodenya.
Soal 1. Tentukan periode positif terkecil dari fungsi f(x)=1+3(x+q>5)
Solusi: Asumsikan periode T dari fungsi ini. Maka f(x+T)=f(x) untuk semua x € D(f), yaitu
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Misalkan x=-0,25 dan kita peroleh
(T)=0<=>T=n, n€Z
Kita telah memperoleh bahwa semua periode dari fungsi yang dimaksud (jika ada) adalah bilangan bulat. Mari kita pilih bilangan positif terkecil di antara bilangan-bilangan ini. Ini 1 . Mari kita periksa apakah ini benar-benar suatu periode 1 .
f(x+1) =3(x+1+0,25)+1
Karena (T+1)=(T) untuk sembarang T, maka f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), yaitu 1 – periode f. Karena 1 adalah bilangan bulat positif terkecil, maka T=1.
Soal 2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x)=cos 2 (x) bersifat periodik dan tentukan periode utamanya.
Soal 3. Temukan periode utama dari fungsi tersebut
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Mari kita asumsikan periode T dari fungsi tersebut, lalu untuk sembarang X rasio tersebut valid
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Jika x=0, maka
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Jika x=-T, maka
sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)
5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 |
Menambahkannya, kita mendapatkan:
10kos(0,75T)=10
2π n, n€Z
Mari kita pilih bilangan positif terkecil dari semua bilangan “mencurigakan” untuk periode tersebut dan periksa apakah itu merupakan periode untuk f. Nomor ini
f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
Artinya ini adalah periode utama dari fungsi f.
Soal 4. Mari kita periksa apakah fungsi f(x)=sin(x) periodik
Misalkan T adalah periode dari fungsi f. Lalu untuk sembarang x
dosa|x+Т|=dosa|x|
Jika x=0, maka sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Mari kita asumsikan. Bahwa untuk beberapa n bilangan π n adalah periodenya
fungsi yang sedang dipertimbangkan π n>0. Maka sin|π n+x|=sin|x|
Artinya n harus berupa bilangan genap dan ganjil, namun hal ini tidak mungkin. Oleh karena itu, fungsi ini tidak bersifat periodik.
Tugas 5. Periksa apakah fungsinya periodik
f(x)= 
Misalkan T adalah periode f
, maka sinT=0, Т=π n, n € Z. Mari kita asumsikan bahwa untuk beberapa n bilangan π n memang merupakan periode dari fungsi ini. Maka bilangan 2π n adalah periodenya
Karena pembilangnya sama, maka penyebutnya juga sama
Artinya fungsi f tidak periodik.
Bekerja dalam kelompok.
Tugas untuk kelompok 1.
Tugas untuk kelompok 2.
Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode fundamentalnya (jika ada).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Tugas untuk kelompok 3.
Di akhir pekerjaan mereka, kelompok mempresentasikan solusi mereka.
VI. Menyimpulkan pelajaran.
Cerminan.
Guru memberikan kepada siswa kartu berisi gambar dan meminta mereka mewarnai bagian gambar pertama sesuai dengan sejauh mana mereka merasa telah menguasai metode mempelajari suatu fungsi periodisitas, dan pada bagian gambar kedua - sesuai dengan mereka. kontribusi terhadap pekerjaan dalam pelajaran.
VII. Pekerjaan rumah
1). Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode fundamentalnya (jika ada)
B). f(x)=x 2 -2x+4
C). f(x)=2tg(3x+5)
2). Fungsi y=f(x) mempunyai periode T=2 dan f(x)=x 2 +2x untuk x € [-2; 0]. Temukan nilai ekspresi -2f(-3)-4f(3.5)
Literatur/
- Mordkovich A.G. Aljabar dan permulaan analisis dengan kajian mendalam.
- Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Aljabar dan analisis permulaan untuk kelas 10-11.