Nada datar
Sangat properti penting fungsi adalah monotonisitasnya. Mengetahui sifat berbagai fungsi khusus ini, seseorang dapat menentukan perilaku berbagai proses fisik, ekonomi, sosial, dan banyak proses lainnya.
Menyorot jenis berikut monotonnya fungsi:
1) fungsi meningkat, jika pada interval tertentu, jika untuk dua titik dan interval ini sedemikian rupa sehingga . Itu. nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih besar;
2) fungsi berkurang, jika pada interval tertentu, jika untuk dua titik dan interval ini sedemikian rupa sehingga . Itu. nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil;
3) fungsi tidak menurun, jika pada interval tertentu, jika untuk dua titik dan interval ini sedemikian rupa sehingga ;
4) fungsi tidak meningkat, jika pada interval tertentu, jika untuk dua titik dan interval ini sedemikian rupa sehingga .
2. Untuk dua kasus pertama, istilah “monotonisitas ketat” juga digunakan.
3. Dua kasus terakhir bersifat spesifik dan biasanya ditentukan sebagai komposisi beberapa fungsi.
4. Secara terpisah, kami mencatat bahwa kenaikan dan penurunan grafik suatu fungsi harus dipertimbangkan dari kiri ke kanan dan tidak lebih.
2. Bahkan aneh.
Fungsi tersebut disebut ganjil, jika ketika tanda argumen berubah, nilainya berubah menjadi sebaliknya. Rumusnya terlihat seperti ini 
. Artinya, setelah mensubstitusi nilai “minus x” ke dalam fungsi menggantikan semua x, fungsi tersebut akan berubah tandanya. Grafik fungsi tersebut simetris terhadap titik asal.
Contoh fungsi ganjil adalah dll.
Misalnya, grafik sebenarnya memiliki simetri terhadap titik asal:
Fungsi tersebut disebut genap, jika ketika tanda argumen berubah, nilainya tidak berubah. Rumusnya terlihat seperti ini. Artinya, setelah mensubstitusi nilai “minus x” ke dalam fungsi menggantikan semua x, hasilnya fungsi tersebut tidak akan berubah. Grafik fungsi tersebut simetris terhadap sumbunya.
Contoh fungsi genap adalah dll.
Misalnya, mari kita tunjukkan simetri grafik terhadap sumbu:
Jika suatu fungsi tidak termasuk dalam salah satu tipe yang ditentukan, maka fungsi tersebut disebut bukan genap atau ganjil atau fungsi pandangan umum . Fungsi-fungsi tersebut tidak memiliki simetri.
Fungsi seperti itu, misalnya, adalah yang baru-baru ini kami ulas fungsi linear dengan jadwal:
3. Sifat khusus suatu fungsi adalah periodisitas.
Faktanya adalah fungsi periodik yang dipertimbangkan dalam standar kurikulum sekolah, hanyalah fungsi trigonometri. Kami telah membicarakannya secara rinci ketika mempelajari topik yang relevan.
Fungsi periodik adalah fungsi yang tidak berubah nilainya ketika konstanta tertentu yang bukan nol ditambahkan ke argumen.
Jumlah minimum ini disebut periode fungsinya dan ditunjuk dengan surat itu.
Rumusnya terlihat seperti ini: 
.
Mari kita lihat properti ini menggunakan contoh grafik sinus:
Mari kita ingat periode dari fungsi dan adalah , dan periode dan adalah .
Seperti yang sudah kita ketahui, untuk fungsi trigonometri dengan argumen yang kompleks mungkin ada periode yang tidak standar. Kita berbicara tentang fungsi formulir:
Periode mereka sama. Dan tentang fungsinya:
Periode mereka sama.
Seperti yang Anda lihat, untuk menghitung periode baru, periode standar cukup dibagi dengan faktor dalam argumen. Itu tidak bergantung pada modifikasi fungsi lainnya.
Keterbatasan.
Fungsi kamu=f(x) disebut dibatasi dari bawah pada himpunan X⊂D(f) jika terdapat bilangan a sehingga untuk sembarang xϵX pertidaksamaan f(x) berlaku< a.
Fungsi kamu=f(x) disebut dibatasi dari atas pada himpunan X⊂D(f) jika terdapat bilangan a sehingga untuk sembarang хϵХ pertidaksamaan f(x) berlaku< a.
Jika interval X tidak ditentukan, maka fungsi tersebut dianggap terbatas pada seluruh domain definisi. Suatu fungsi yang dibatasi di atas dan di bawah disebut dibatasi.
Batasan fungsi mudah dibaca dari grafik. Anda dapat menggambar garis y=a, dan jika fungsinya lebih tinggi dari garis ini, maka fungsi tersebut dibatasi dari bawah.
Jika di bawah, maka di atas juga. Di bawah ini adalah grafik fungsi yang dibatasi di bawah ini. Teman-teman, coba gambar sendiri grafik fungsi terbatas.
Topik: Sifat-sifat fungsi: interval kenaikan dan penurunan; terbesar dan nilai terkecil; titik ekstrem (maksimum dan minimum lokal), konveksitas fungsi.
Interval kenaikan dan penurunan.
Berdasarkan kondisi (tanda) cukup bagi kenaikan dan penurunan suatu fungsi, dicari interval kenaikan dan penurunan fungsi tersebut.
Berikut rumusan tanda fungsi naik dan turun pada suatu interval:
· jika turunan dari fungsi tersebut kamu=f(x) positif bagi siapa pun X dari interval X, maka fungsinya bertambah sebesar X;
· jika turunan dari fungsi tersebut kamu=f(x) negatif bagi siapa pun X dari interval X, maka fungsinya berkurang sebesar X.
Jadi, untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi, perlu:
· mencari domain definisi fungsi;
· temukan turunan dari fungsi tersebut;
· menyelesaikan kesenjangan pada domain definisi;
Menaikkan, menurunkan, dan ekstrem suatu fungsi
Menemukan interval kenaikan, penurunan, dan ekstrem suatu fungsi merupakan tugas independen dan merupakan bagian penting dari tugas lain, khususnya, studi fungsi penuh. Informasi awal tentang kenaikan, penurunan, dan ekstrem fungsi diberikan dalam bab teori tentang turunan, yang sangat saya rekomendasikan untuk studi pendahuluan (atau pengulangan)– juga karena alasan bahwa materi berikut ini didasarkan pada hal tersebut pada dasarnya turunan, menjadi kelanjutan yang harmonis dari artikel ini. Meskipun demikian, jika waktunya singkat, maka praktik formal murni dari contoh-contoh dari pelajaran hari ini juga dimungkinkan.
Dan hari ini ada semangat kebulatan suara yang langka di udara, dan saya dapat langsung merasakan bahwa setiap orang yang hadir membara dengan hasrat. belajar mengeksplorasi suatu fungsi menggunakan turunannya. Oleh karena itu, terminologi yang masuk akal, baik, dan abadi segera muncul di layar monitor Anda.
Untuk apa? Salah satu alasannya adalah yang paling praktis: sehingga jelas apa yang umumnya diminta dari Anda dalam suatu tugas tertentu!
Monotonisitas fungsi. Titik ekstrem dan ekstrem suatu fungsi
Mari kita pertimbangkan beberapa fungsinya. Sederhananya, kita berasumsi bahwa dia kontinu pada seluruh garis bilangan:
Untuk berjaga-jaga, yuk segera hilangkan ilusi yang mungkin ada, terutama bagi para pembaca yang baru mengenalnya interval tanda konstan fungsi. Sekarang kita TIDAK TERTARIK, bagaimana letak grafik fungsi terhadap sumbu (di atas, di bawah, tempat perpotongan sumbu). Untuk meyakinkan, hapus sumbu secara mental dan sisakan satu grafik. Karena di situlah letak ketertarikannya.
Fungsi meningkat pada suatu interval jika untuk dua titik mana pun pada interval ini yang dihubungkan oleh relasi , pertidaksamaan tersebut benar. Artinya, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih besar, dan grafiknya bergerak “dari bawah ke atas”. Fungsi demonstrasi bertambah selama interval.
Begitu pula fungsinya berkurang pada suatu interval jika untuk dua titik mana pun pada interval tertentu sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan tersebut benar. Artinya, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil, dan grafiknya bergerak “dari atas ke bawah”. Fungsi kami menurun secara berkala 
.
Jika suatu fungsi bertambah atau berkurang dalam suatu interval, maka disebut sangat monoton pada interval ini. Apa itu monoton? Anggap saja secara harfiah – monoton.
Anda juga dapat mendefinisikan tidak menurun fungsi (kondisi santai pada definisi pertama) dan tidak meningkat fungsi (kondisi melunak dalam definisi ke-2). Fungsi yang tidak berkurang atau tidak bertambah pada suatu interval disebut fungsi monotonik pada interval tertentu (monoton yang ketat - kasus spesial“hanya” monoton).
Teori ini juga mempertimbangkan pendekatan lain untuk menentukan kenaikan/penurunan suatu fungsi, termasuk setengah interval, segmen, tetapi agar tidak menuangkan minyak-minyak-minyak ke kepala Anda, kami setuju untuk beroperasi dengan interval terbuka dengan definisi kategoris - ini lebih jelas, dan cukup untuk memecahkan banyak masalah praktis.
Dengan demikian, dalam artikel saya, kata-kata "monotonisitas suatu fungsi" hampir selalu disembunyikan interval monoton yang ketat(fungsi yang meningkat secara ketat atau menurun secara ketat).
Lingkungan suatu titik. Kata-kata yang membuat siswa lari kemanapun mereka bisa dan bersembunyi ketakutan di sudut. ...Meskipun setelah posting Batas Cauchy Mereka mungkin tidak lagi bersembunyi, tetapi hanya sedikit bergidik =) Jangan khawatir, tidak akan ada bukti teorema apa pun sekarang analisis matematis– Saya membutuhkan lingkungan untuk merumuskan definisi dengan lebih ketat titik ekstrim. Mari kita ingat:
Lingkungan suatu titik suatu interval yang memuat suatu titik tertentu disebut, dan untuk memudahkan interval tersebut sering dianggap simetris. Misalnya, suatu titik dan lingkungan standarnya:
Sebenarnya definisinya:
Intinya disebut titik maksimum yang ketat, Jika ada lingkungannya, untuk semua yang nilainya, kecuali titik itu sendiri, adalah pertidaksamaan . Di kami contoh spesifik inilah intinya.
Intinya disebut titik minimum yang ketat, Jika ada lingkungannya, untuk semua yang nilainya, kecuali titik itu sendiri, adalah pertidaksamaan . Pada gambar tersebut terdapat titik “a”.
Catatan : persyaratan kesimetrian lingkungan sama sekali tidak diperlukan. Selain itu, ini penting fakta keberadaan lingkungan sekitar (meski kecil, bahkan mikroskopis), memuaskan kondisi yang ditentukan
Poinnya disebut titik ekstrem yang ketat atau sederhananya titik ekstrim fungsi. Artinya, ini adalah istilah umum untuk poin maksimum dan poin minimum.
Bagaimana kita memahami kata “ekstrim”? Ya, sama langsungnya dengan monoton. Titik ekstrim roller coaster.
Seperti dalam kasus monotonisitas, ada postulat longgar dan bahkan lebih umum dalam teori (yang, tentu saja, termasuk dalam kasus-kasus ketat!):
Intinya disebut titik maksimum, Jika ada lingkungannya sedemikian rupa untuk semua
Intinya disebut poin minimum, Jika ada lingkungannya sedemikian rupa untuk semua nilai-nilai lingkungan ini, kesenjangan tetap ada.
Perhatikan bahwa menurut dua definisi terakhir, setiap titik dari suatu fungsi konstan (atau “bagian datar” dari suatu fungsi) dianggap sebagai titik maksimum dan minimum! Omong-omong, fungsinya tidak bertambah dan tidak berkurang, yaitu monotonik. Namun, kami akan menyerahkan pertimbangan ini kepada para ahli teori, karena dalam praktiknya kami hampir selalu merenungkan “bukit” dan “lubang” tradisional (lihat gambar) dengan “raja bukit” atau “putri rawa” yang unik. Sebagai variasi, hal itu terjadi tip, diarahkan ke atas atau ke bawah, misalnya fungsi minimum pada suatu titik.
Oh, dan berbicara tentang royalti:
– artinya disebut maksimum fungsi;
– artinya disebut minimum fungsi.
Nama yang umum - ekstrem fungsi.
Harap berhati-hati dengan kata-kata Anda!
Poin ekstrem– ini adalah nilai “X”.
Ekstrem– arti “permainan”.
! Catatan : terkadang istilah yang tercantum merujuk pada titik “X-Y” yang terletak tepat pada GRAFIK fungsi SENDIRI.
Berapa banyak ekstrem yang dapat dimiliki suatu fungsi?
Tidak ada, 1, 2, 3, ... dst. hingga tak terbatas. Misalnya, sinus mempunyai nilai minimum dan maksimum yang tak terhingga banyaknya.
PENTING! Istilah "fungsi maksimum" tidak identik istilah “nilai maksimum suatu fungsi”. Sangat mudah untuk melihat bahwa nilainya maksimal hanya di lingkungan lokal, dan di kiri atas ada “kawan yang lebih keren”. Demikian pula, “nilai minimum suatu fungsi” tidak sama dengan “nilai minimum suatu fungsi”, dan pada gambar kita melihat bahwa nilainya minimum hanya di daerah tertentu. Dalam hal ini, titik ekstrem juga disebut titik ekstrem lokal, dan ekstrem – ekstrem lokal . Mereka berjalan dan berkeliaran di dekatnya dan global saudara laki-laki. Jadi, setiap parabola mempunyai titik puncaknya minimum global atau maksimum global. Selanjutnya, saya tidak akan membedakan jenis-jenis ekstrem, dan penjelasannya lebih disuarakan untuk tujuan pendidikan umum - kata sifat tambahan “lokal”/“global” seharusnya tidak mengejutkan Anda.
Mari kita rangkum tamasya kecil ke dalam teori dengan uji coba: apa yang dimaksud dengan tugas “menemukan interval monotonisitas dan titik ekstrem suatu fungsi”?
Kata-katanya mendorong Anda untuk menemukan:
– interval fungsi naik/turun (tidak menurun, tidak meningkat lebih jarang muncul);
– poin maksimum dan/atau minimum (jika ada). Nah, untuk menghindari kegagalan, lebih baik cari sendiri nilai minimum/maksimumnya ;-)
Bagaimana cara menentukan semua ini? Menggunakan fungsi turunan!
Cara mencari interval kenaikan, penurunan,
titik ekstrem dan ekstrem fungsi?
Banyak aturan yang sebenarnya sudah diketahui dan dipahami pelajaran tentang arti turunan.
Turunan tangen 
membawa berita gembira bahwa fungsinya semakin meningkat domain definisi.
Dengan kotangen dan turunannya 
situasinya justru sebaliknya.
Arcsinus bertambah sepanjang interval - turunannya di sini positif: 
.
Ketika suatu fungsi terdefinisi tetapi tidak terdiferensiasi. Akan tetapi, pada titik kritis terdapat turunan bertangan kanan dan garis singgung bertangan kanan, dan pada sisi lainnya terdapat turunan bertangan kiri.
Saya rasa tidak akan terlalu sulit bagi Anda untuk melakukan penalaran serupa untuk arc cosinus dan turunannya.
Semua kasus di atas, banyak diantaranya turunan tabel, saya ingatkan, ikuti langsung dari definisi turunan.
Mengapa mengeksplorasi suatu fungsi menggunakan turunannya?
Untuk lebih memahami seperti apa grafik fungsi ini: dimana arahnya “bottom up”, dimana “top down”, dimana mencapai minimum dan maksimum (jika mencapai sama sekali). Tidak semua fungsi sesederhana itu - dalam banyak kasus, kita tidak tahu sama sekali tentang grafik fungsi tertentu.
Saatnya beralih ke contoh yang lebih bermakna dan mempertimbangkannya algoritma untuk mencari interval monotonisitas dan ekstrem suatu fungsi:
Contoh 1
Temukan interval kenaikan/penurunan dan ekstrem dari fungsi tersebut
Larutan:
1) Langkah pertama adalah menemukan domain suatu fungsi, dan catat juga break point (jika ada). DI DALAM pada kasus ini fungsinya kontinu pada seluruh garis bilangan, dan aksi ini sampai batas tertentu secara formal. Namun dalam beberapa kasus, gairah yang serius berkobar di sini, jadi mari kita perlakukan paragraf tersebut tanpa meremehkan.
2) Poin kedua dari algoritma ini adalah karena
kondisi yang diperlukan untuk ekstrem:
Jika terdapat titik ekstrem pada suatu titik, maka nilainya tidak ada.
Bingung dengan endingnya? Ekstrem dari fungsi “modulus x”. .
Syaratnya perlu, tapi tidak cukup, dan kebalikannya tidak selalu benar. Jadi, persamaan tersebut belum berarti bahwa fungsi tersebut mencapai maksimum atau minimum di titik . Contoh klasik telah disorot di atas - ini adalah parabola kubik dan titik kritisnya.
Namun bagaimanapun juga, kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem menentukan perlunya menemukan titik-titik yang mencurigakan. Untuk melakukannya, cari turunannya dan selesaikan persamaannya:
Di awal artikel pertama tentang grafik fungsi Saya sudah memberi tahu Anda cara cepat membuat parabola menggunakan sebuah contoh 
: “...kita ambil turunan pertama dan menyamakannya dengan nol: ...Jadi, penyelesaian persamaan kita: - pada titik inilah titik puncak parabola berada...”. Sekarang, saya rasa, semua orang mengerti mengapa titik puncak parabola terletak tepat di titik ini =) Secara umum, kita harus mulai dengan contoh serupa di sini, tetapi ini terlalu sederhana (bahkan untuk teko teh). Selain itu, ada analoginya di akhir pelajaran tentang turunan suatu fungsi. Oleh karena itu, mari kita tingkatkan derajatnya:
Contoh 2
Temukan interval monotonisitas dan ekstrem dari fungsi tersebut
Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan perkiraan contoh akhir dari masalah di akhir pelajaran.
Saat yang ditunggu-tunggu untuk bertemu dengan fungsi rasional pecahan telah tiba:
Contoh 3
Jelajahi suatu fungsi menggunakan turunan pertama
Perhatikan betapa bervariasinya satu tugas yang sama dapat dirumuskan ulang.
Larutan:
1) Fungsi tersebut mengalami diskontinuitas tak hingga di titik-titiknya.
2) Kami mendeteksi titik-titik kritis. Mari kita cari turunan pertama dan samakan dengan nol: 
Mari kita selesaikan persamaannya. Pecahan bernilai nol bila pembilangnya nol:
Jadi, kita mendapatkan tiga poin penting: 
3) Kami memplot SEMUA titik yang terdeteksi pada garis bilangan dan metode interval kami mendefinisikan tanda-tanda DERIVATIF:
Saya ingatkan Anda bahwa Anda perlu mengambil suatu titik dalam interval tersebut dan menghitung nilai turunannya 
dan tentukan tandanya. Lebih menguntungkan bahkan tidak menghitung, tetapi “memperkirakan” secara lisan. Mari kita ambil, misalnya, sebuah titik yang termasuk dalam interval dan melakukan substitusi: 
. 
Dua “plus” dan satu “minus” menghasilkan “minus”, yang berarti turunannya negatif pada seluruh interval.
Tindakan tersebut, seperti yang Anda pahami, perlu dilakukan untuk masing-masing dari enam interval. Omong-omong, perhatikan bahwa faktor pembilang dan penyebutnya benar-benar positif untuk setiap titik di interval mana pun, yang sangat menyederhanakan tugas.
Jadi, turunannya memberi tahu kita bahwa FUNGSI SENDIRI bertambah sebesar 
dan berkurang sebesar . Lebih mudah untuk menghubungkan interval dengan tipe yang sama dengan ikon gabung.
Pada saat fungsi mencapai maksimum:
Pada titik tersebut fungsi mencapai minimum: 
Pikirkan mengapa Anda tidak perlu menghitung ulang nilai kedua ;-)
Ketika melewati suatu titik, turunannya tidak berubah tanda, sehingga fungsinya TIDAK ADA EKSTREMUMnya - turun dan tetap menurun.
! Mari kita ulangi poin penting : poin tidak dianggap kritis - poin tersebut mengandung fungsi tidak ditentukan. Oleh karena itu, di sini Pada prinsipnya tidak ada yang ekstrem(walaupun turunannya berubah tanda).
Menjawab: fungsi bertambah sebesar 
dan berkurang sebesar Pada titik maksimum fungsi tercapai: 
, dan pada intinya – minimum: .
Pengetahuan tentang interval monotonisitas dan ekstrem, ditambah dengan mapan asimtot sudah memberikan ide yang sangat bagus penampilan grafik fungsi. Seseorang dengan tingkat pelatihan rata-rata mampu menentukan secara verbal bahwa grafik suatu fungsi memiliki dua asimtot vertikal dan asimtot miring. Inilah pahlawan kita: 
Coba korelasikan kembali hasil penelitian dengan grafik fungsi ini.
Tidak ada titik ekstrim pada titik kritis, tapi ada infleksi grafik(yang biasanya terjadi dalam kasus serupa).
Contoh 4
Temukan ekstrem dari fungsinya
Contoh 5
Temukan interval monotonisitas, maksimum dan minimum dari fungsi tersebut
…ini hampir seperti liburan “X in a cube” hari ini....
Soooo, siapa di galeri yang menawarkan minuman untuk ini? =)
Setiap tugas memiliki nuansa substantif dan rincian teknis, yang dikomentari di akhir pelajaran.
Tugas akhir berupa UN Unified State untuk siswa kelas XI tentu memuat tugas-tugas menghitung limit, interval penurunan dan kenaikan turunan suatu fungsi, mencari titik ekstrem, dan membuat grafik. Pengetahuan yang baik tentang topik ini memungkinkan Anda menjawab beberapa pertanyaan ujian dengan benar dan tidak mengalami kesulitan dalam pelatihan profesional lebih lanjut.
Dasar-dasar kalkulus diferensial - salah satu topik utama matematika sekolah modern. Dia mempelajari penggunaan turunan untuk mempelajari ketergantungan variabel - melalui turunan seseorang dapat menganalisis kenaikan dan penurunan suatu fungsi tanpa menggunakan gambar.
Persiapan lulusan yang komprehensif untuk lulus Ujian Negara Bersatu pada portal pendidikan"Shkolkovo" akan membantu Anda memahami secara mendalam prinsip-prinsip diferensiasi - memahami teori secara detail, mempelajari contoh solusi tugas-tugas khas dan cobalah pekerjaan mandiri Anda. Kami akan membantu Anda menutup kesenjangan dalam pengetahuan - memperjelas pemahaman Anda tentang konsep leksikal topik dan ketergantungan kuantitas. Siswa dapat meninjau kembali cara mencari interval monotonisitas yang berarti turunan suatu fungsi naik atau turun pada suatu ruas tertentu ketika titik-titik batas termasuk dan tidak termasuk dalam interval yang ditemukan.
Sebelum Anda mulai menyelesaikan masalah tematik secara langsung, sebaiknya Anda terlebih dahulu membuka bagian “Latar Belakang Teoritis” dan mengulangi definisi konsep, aturan, dan rumus tabel. Di sini Anda dapat membaca cara mencari dan menuliskan setiap interval fungsi naik dan turun pada grafik turunan.
Semua informasi yang ditawarkan disajikan dalam bentuk yang paling mudah dipahami, praktis dari awal. Website ini menyediakan materi untuk persepsi dan asimilasi dalam beberapa hal berbagai bentuk– membaca, menonton video dan pelatihan langsung di bawah bimbingan guru berpengalaman. Guru profesional Mereka akan memberi tahu Anda secara rinci cara mencari interval kenaikan dan penurunan turunan suatu fungsi menggunakan metode analitis dan grafis. Selama webinar, Anda dapat mengajukan pertanyaan apa pun yang Anda minati, baik mengenai teori maupun pemecahan masalah tertentu.
Setelah mengingat poin-poin utama topik, perhatikan contoh turunan fungsi yang serupa dengan tugas pilihan ujian. Untuk mengkonsolidasikan apa yang telah Anda pelajari, lihat "Katalog" - di sini Anda akan menemukan latihan praktisnya pekerjaan mandiri. Tugas-tugas di bagian ini dipilih pada tingkat kesulitan yang berbeda, dengan mempertimbangkan pengembangan keterampilan. Misalnya masing-masing disertai dengan algoritma penyelesaian dan jawaban yang benar.
Dengan memilih bagian “Konstruktor”, siswa dapat berlatih mempelajari kenaikan dan penurunan turunan suatu fungsi pada pilihan nyata Ujian Negara Terpadu, terus diperbarui dengan mempertimbangkan perubahan terkini dan inovasi.
Fungsi ekstrem
Definisi 2
Suatu titik $x_0$ disebut titik maksimum suatu fungsi $f(x)$ jika terdapat lingkungan pada titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk semua $x$ dalam lingkungan tersebut terdapat pertidaksamaan $f(x)\le f(x_0) $ ditahan.
Definisi 3
Suatu titik $x_0$ disebut titik maksimum suatu fungsi $f(x)$ jika terdapat lingkungan pada titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk semua $x$ dalam lingkungan tersebut terdapat pertidaksamaan $f(x)\ge f(x_0) $ ditahan.
Konsep titik ekstrem suatu fungsi erat kaitannya dengan konsep titik kritis suatu fungsi. Mari kita perkenalkan definisinya.
Definisi 4
$x_0$ disebut titik kritis fungsi $f(x)$ jika:
1) $x_0$ - titik internal domain definisi;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ atau tidak ada.
Untuk konsep ekstrem dapat dirumuskan teorema cukup dan kondisi yang diperlukan keberadaannya.
Teorema 2
Kondisi cukup untuk ekstrem
Misalkan titik $x_0$ kritis untuk fungsi $y=f(x)$ dan terletak pada interval $(a,b)$. Biarkan turunan $f"(x)$ ada pada setiap interval $\left(a,x_0\right)\ dan\ (x_0,b)$ dan pertahankan tanda permanen. Kemudian:
1) Jika pada interval $(a,x_0)$ turunannya adalah $f"\left(x\right)>0$, dan pada interval $(x_0,b)$ turunannya adalah $f"\left( x\kanan)
2) Jika pada interval $(a,x_0)$ turunan $f"\left(x\right)0$, maka titik $x_0$ adalah titik minimum untuk fungsi ini.
3) Jika keduanya pada interval $(a,x_0)$ dan pada interval $(x_0,b)$ turunan $f"\left(x\right) >0$ atau turunan $f"\left(x \Kanan)
Teorema ini diilustrasikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Kondisi cukup bagi keberadaan ekstrem
Contoh ekstrem (Gbr. 2).
Gambar 2. Contoh titik ekstrim
Aturan untuk mempelajari suatu fungsi ekstrem
2) Temukan turunan $f"(x)$;
7) Menarik kesimpulan tentang keberadaan maxima dan minima pada setiap interval, dengan menggunakan Teorema 2.
Menambah dan mengurangi fungsi
Mari kita perkenalkan terlebih dahulu definisi fungsi naik dan turun.
Definisi 5
Suatu fungsi $y=f(x)$ yang didefinisikan pada interval $X$ dikatakan meningkat jika untuk sembarang titik $x_1,x_2\di X$ pada $x_1
Definisi 6
Suatu fungsi $y=f(x)$ yang didefinisikan pada interval $X$ dikatakan menurun jika untuk sembarang titik $x_1,x_2\in X$ untuk $x_1f(x_2)$.
Mempelajari suatu fungsi naik dan turun
Anda dapat mempelajari fungsi naik dan turun menggunakan turunan.
Untuk memeriksa suatu fungsi pada interval naik dan turun, Anda harus melakukan hal berikut:
1) Temukan domain definisi fungsi $f(x)$;
2) Temukan turunan $f"(x)$;
3) Temukan titik di mana persamaan $f"\left(x\right)=0$ berlaku;
4) Temukan titik di mana $f"(x)$ tidak ada;
5) Tandai pada garis koordinat semua titik yang ditemukan dan domain definisi fungsi ini;
6) Tentukan tanda turunan $f"(x)$ pada setiap interval yang dihasilkan;
7) Tarik kesimpulan: pada interval di mana $f"\left(x\right)0$ fungsinya meningkat.
Contoh soal mempelajari fungsi kenaikan, penurunan dan keberadaan titik ekstrem
Contoh 1
Periksa fungsi kenaikan dan penurunan, serta keberadaan titik maksimum dan minimum: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Karena 6 poin pertama sama, mari kita jalankan terlebih dahulu.
1) Domain definisi - semua bilangan real;
2) $f"\kiri(x\kanan)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\kiri(x\kanan)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ ada di semua titik domain definisi;
5) Garis koordinat:
Gambar 3.
6) Tentukan tanda turunan $f"(x)$ pada setiap interval:
\ \}